Matematikk 1T Eksamen høsten 2022 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1T

Matematikk 1T eksamen Høst 2022 – løsningsforslag

Komplett originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt, og hver deloppgave har plan, forklaring, tolkning, vanlig feil og digital kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Trigonometri

Oppgave 1

Oppgave:

Gitt trekanten til høyre. Vis at \[\dfrac{\sin u}{\cos u}= an u\] Figuren viser en rettvinklet trekant med kateter \(3\) og \(4\), hypotenus \(5\), og vinkelen \(u\) ved siden som har lengde \(3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Finn sidene i forhold til vinkelen

For vinkelen \(u\) er motstående katet \(4\), hosliggende katet \(3\), og hypotenusen \(5\).

Steg 2 — Skriv sinus og cosinus

\[\sin u=\dfrac{4}{5},\qquad \cos u=\dfrac{3}{5}\]

Steg 3 — Del sinus på cosinus

\[\dfrac{\sin u}{\cos u}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}\]

Steg 4 — Sammenlikn med tangens

\[ an u=\dfrac{ ext{motstående}}{ ext{hosliggende}}=\dfrac{4}{3}\]

Tolkning

Begge uttrykkene gir samme forhold mellom motstående og hosliggende katet.

Vanlig feil: Å bytte motstående og hosliggende side for vinkelen \(u\). GeoGebra · CAS 1 sin(u)/cos(u) → \(\dfrac{4}{3}\) 2 tan(u) → \(\dfrac{4}{3}\) Fasit: \(\dfrac{\sin u}{\cos u}= an u\), siden begge er lik \(\dfrac{4}{3}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2a Funksjoner

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \[f(x)=(x-4)(x-2)(x+4)\] Hvilken av grafene A, B og C kan være grafen til \(f\)? Husk å forklare hvordan du tenker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Finn nullpunktene

Faktorene viser at \(f(x)=0\) når \(x=-4\), \(x=2\) eller \(x=4\).

Steg 2 — Bruk fortegnet til ledende ledd

Når parentesene multipliseres ut, blir høyestegradsleddet \(x^3\). Grafen skal derfor gå ned til venstre og opp til høyre.

Steg 3 — Sjekk skjæringen med \(y\)-aksen

\[f(0)=(-4)(-2)(4)=32\] Grafen skal altså ligge over \(x\)-aksen når \(x=0\).

Steg 4 — Velg graf

Graf B har tre nullpunkter, positiv verdi ved \(x=0\), og riktig endeadferd for en tredjegradsfunksjon med positivt ledende ledd.

Tolkning

Valget bygger på nullpunkter, fortegn og grafens retning, ikke på nøyaktig avlesning av skala.

Vanlig feil: Å velge graf bare ut fra at den har en tredjegradsform, uten å kontrollere \(f(0)\). Fasit: Graf B kan være grafen til \(f\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2b Ulikheter

Oppgave 2b

Oppgave:

Løs ulikheten \[(x-4)(x-2)(x+4)>0\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Bruk nullpunktene fra faktoriseringen

Nullpunktene er \(-4\), \(2\) og \(4\). Disse deler tallinjen i fire intervaller.

Steg 2 — Lag fortegnslinje

Vi undersøker fortegnet på \((x-4)(x-2)(x+4)\) i intervallene \((-\infty,-4)\), \((-4,2)\), \((2,4)\) og \((4,\infty)\).

Steg 3 — Bestem fortegnet

Et tredjegradspolynom med enkle nullpunkter skifter fortegn i hvert nullpunkt. Siden uttrykket er positivt for store positive \(x\), får vi positivt på \((4,\infty)\), negativt på \((2,4)\), positivt på \((-4,2)\) og negativt på \((-\infty,-4)\).

Steg 4 — Velg intervallene der uttrykket er positivt

Ulikheten er streng, så nullpunktene skal ikke være med.

Tolkning

Grafen ligger over \(x\)-aksen på de intervallene vi tar med.

Vanlig feil: Å ta med nullpunktene selv om ulikheten er \(>0\), ikke \(\ge 0\). GeoGebra · CAS 1 Løs((x - 4)(x - 2)(x + 4) > 0) → \(-4 4\) Fasit: \(x\in (-4,2)\cup(4,\infty)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3a Programmering og funksjoner

Oppgave 3a

Oppgave:

Lars har skrevet programkoden

def f(x): return (1 - 2*x) / (x - 2) x = 8 while x >= -8: if x != 2: print(x, f(x)) x = x - 1

Programmet skriver blant annet ut \(8\ -2{,}5\), \(7\ -2{,}6\), \(6\ -2{,}75\), \(5\ -3{,}0\), \(4\ -3{,}5\), \(3\ -5{,}0\). Hva ønsker Lars å bruke programmet til, og hvorfor får han en feilmelding?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Les funksjonen i koden

Koden definerer \[f(x)=\dfrac{1-2x}{x-2}\]

Steg 2 — Les løkken

Løkken starter med \(x=8\), skriver ut \(x\) og \(f(x)\), og reduserer \(x\) med \(1\) hver gang.

Steg 3 — Forklar formålet

Lars ønsker å lage en verditabell for funksjonen for heltallsverdier fra \(8\) og nedover.

Steg 4 — Finn feilen

Når \(x=2\), blir nevneren \(x-2=0\). Da prøver programmet å dele på null.

Tolkning

Feilmeldingen kommer ikke fordi løkken er feil, men fordi funksjonen ikke er definert for \(x=2\).

Vanlig feil: Å tro at programmet stopper ved \(x=3\). Det stopper først når det prøver å regne ut \(f(2)\).

Python

def f(x): return (1 - 2*x)/(x - 2) for x in [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2]: print(x, 'nevner =', x - 2)

Fasit: Lars vil lage verditabell for \(f(x)=\dfrac{1-2x}{x-2}\). Feilen skyldes divisjon med null når \(x=2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3b Programmering

Oppgave 3b

Oppgave:

Foreslå endringer Lars kan gjøre i koden for å unngå feilmeldingen. …