Matematikk 1T Eksamen våren 2021 – løsningsforslag

Matematikk 1T eksamen Vår 2021 (LK20) – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag basert på den opplastede PDF-en 1T_V21_LK20.pdf. Zip-filen inneholder 14 PDF-er. Dette er første eksamenssett i filrekkefølgen.

Bokmål Del 1 og Del 2 skilt GeoGebra CAS + Python-kontroll

Del 1 — uten hjelpemidler

PDF-en bruker betegnelsen «Oppgavetype 1». Her er den lagt under Del 1 fordi oppgavene er korte håndregningsoppgaver uten behov for digitale hjelpemidler.

Del 1 · Oppgave 1 Funksjoner

Oppgave 1

Oppgave:

En funksjon \(f\) er gitt ved \[f(x)=ax+8\] Bestem \(a\) slik at grafen til \(f\) går gjennom punktet \((4,4)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne konstanten \(a\) i en lineær funksjon når vi vet at grafen går gjennom ett bestemt punkt.

Steg 1 - Bruk punktet i funksjonsuttrykket

Siden punktet \((4,4)\) ligger på grafen, må \(x=4\) gi \(f(x)=4\).

\[f(4)=4\]

Steg 2 - Sett \(x=4\) inn i uttrykket

Vi erstatter \(x\) med \(4\) i \(f(x)=ax+8\).

\[4a+8=4\]

Steg 3 - Løs likningen

Trekk fra \(8\) på begge sider og del deretter på \(4\).

\[4a=-4\]

\[a=-1\]

Steg 4 - Kontroller i funksjonen

Når \(a=-1\), får vi \(f(x)=-x+8\). Da er \(f(4)=-4+8=4\), som stemmer med punktet.

Tolkning

Stigningstallet må være negativt fordi funksjonsverdien skal ned fra \(8\) til \(4\) når \(x\) øker fra \(0\) til \(4\).

Vanlig feil: Å sette inn punktet som \(f(4)=8\) i stedet for \(f(4)=4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(4a + 8 = 4, a) → \(a=-1\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve a = symbols('a') print(solve(4*a + 8 - 4, a))

Fasit: \(a=-1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Trigonometri

Oppgave 2

Oppgave:

Du får vite følgende om trekanten \(ABC\): \(AC=10\) og \(\sin A=\dfrac{3}{5}\). Figuren viser en rettvinklet trekant med rett vinkel i \(B\). Bestem lengden av \(BC\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne motstående katet \(BC\) når hypotenusen \(AC\) og \(\sin A\) er kjent.

Steg 1 - Knytt sinus til sidene

I en rettvinklet trekant er sinus til en vinkel lik motstående katet delt på hypotenusen.

\[\sin A=\dfrac{BC}{AC}\]

Steg 2 - Sett inn kjente verdier

Her er \(\sin A=\dfrac{3}{5}\) og \(AC=10\).

\[\dfrac{3}{5}=\dfrac{BC}{10}\]

Steg 3 - Løs for \(BC\)

Multipliser begge sider med \(10\).

\[BC=10\cdot \dfrac{3}{5}=6\]

Steg 4 - Sjekk rimelighet

Kateten \(BC\) må være kortere enn hypotenusen \(AC=10\). Svaret \(6\) er derfor rimelig.

Tolkning

Lengden \(BC\) er den siden som ligger rett overfor vinkelen \(A\).

Vanlig feil: Å bruke hosliggende katet i stedet for motstående katet i sinusforholdet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs(BC / 10 = 3 / 5, BC) → \(BC=6\)

💻 Python

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational BC = symbols('BC') print(solve(Eq(BC/10, Rational(3,5)), BC))

Fasit: \(BC=6\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Polynomdivisjon

Oppgave 3

Oppgave:

\[\left(x^3+x^2-2x-8\right):\left(x+k\right)\] Bestem en verdi for \(k\) slik at divisjonen går opp.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge \(k\) slik at \(x+k\) blir en faktor i polynomet \(x^3+x^2-2x-8\).

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Hvis \(x+k\) er en faktor, må polynomet ha nullpunktet \(x=-k\).

Steg 2 - Prøv et enkelt heltallsnullpunkt

Vi tester \(x=2\), fordi konstantleddet er \(-8\), og \(2\) er en naturlig kandidat.

\[2^3+2^2-2\cdot 2-8=8+4-4-8=0\]

Steg 3 - Finn faktoren

Siden \(x=2\) er nullpunkt, er \(x-2\) en faktor.

Steg 4 - Sammenlikn med \(x+k\)

Vi må ha

\[x+k=x-2\]

Dermed er \(k=-2\).

Tolkning

Divisjonen går opp fordi \(x+k=x-2\) deler polynomet uten rest.

Vanlig feil: Å svare \(k=2\). Faktoren \(x-2\) tilsvarer \(x+k\) med \(k=-2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^3 + x^2 - 2x - 8) → \((x-2)(x^2+3x+4)\)

💻 Python

from sympy import symbols, factor x = symbols('x') print(factor(x**3 + x**2 - 2*x - 8))

Fasit: \(k=-2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Andregradslikninger

Oppgave 4

Oppgave:

\[x^2+2kx-2k-1=0\] Bestem \(k\) slik at likningen har én løsning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne parameteren \(k\) slik at andregradslikningen får nøyaktig én reell løsning.

Steg 1 - Bruk diskriminanten

En andregradslikning har én reell løsning når diskriminanten er \(0\).

\[D=b^2-4ac\]

Steg 2 - Identifiser koeffisientene

I likningen \(x^2+2kx-2k-1=0\) er \(a=1\), \(b=2k\) og \(c=-2k-1\).

Steg 3 - Sett inn i diskriminanten

\[D=(2k)^2-4\cdot 1\cdot (-2k-1)\]

\[D=4k^2+8k+4\]

Steg 4 - Sett \(D=0\)

\[4k^2+8k+4=0\]

\[4(k+1)^2=0\]

\[k=-1\]

Tolkning

For \(k=-1\) tangerer parabelen \(x\)-aksen, og likningen har derfor én løsning.

Vanlig feil: Å kreve at selve likningen skal være lineær. Her er koeffisienten foran \(x^2\) alltid \(1\), så metoden er diskriminanten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Løs((2k)^2 - 4*(-2k - 1) = 0, k) → \(k=-1\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve k = symbols('k') D = (2*k)**2 - 4*(-2*k - 1) print(solve(D, k))

Fasit: \(k=-1\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 5 Lineære modeller

Oppgave 5

Oppgave:

Ester skal leie bil. Hun kan velge å leie hos firma A eller hos firma B. Modellene i diagrammet viser hvor mye hun må betale når hun kjører \(x\) kilometer i løpet av et døgn. Hvor langt må Ester kjøre i løpet av et døgn for at prisen skal være lik hos firma A og firma B?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av to lineære prismodeller og finne når prisene er like. …