Matematikk 1T Eksamen høsten 2025 – løsningsforslag

ifingo - løsningsforslag

Matematikk 1T eksamen Høst 2025 – løsningsforslag

Alle oppgaver er på bokmål og løst trinnvis. Del 1 viser eksakt håndregning. Del 2 dokumenterer digitale metoder med GeoGebra/CAS og komplette Python-kontroller med utskrift slik eleven ser når koden kjøres.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1 - 2 poeng Ulikheter

Oppgave 1

Oppgave:

Løs ulikheten \(x^2+4x-5<0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle \(x\)-verdier som gjør andregradsuttrykket negativt.

Steg 1 — Finn nullpunktene

Vi faktoriserer uttrykket:

\[x^2+4x-5=(x+5)(x-1)\]

Nullpunktene er derfor \(x=-5\) og \(x=1\).

Steg 2 — Bruk fortegn

Parabelen vender oppover fordi koeffisienten foran \(x^2\) er positiv.

Da er uttrykket negativt mellom nullpunktene.

Steg 3 — Skriv løsningen som intervall

Ulikheten er streng, så nullpunktene skal ikke være med:

\[-5<x<1\]

Tolkning

Grafen ligger under \(x\)-aksen for \(x\)-verdier mellom \(-5\) og \(1\).

Vanlig feil: Å ta med endepunktene. Siden ulikheten er \(<0\), ikke \(\le 0\), skal \(-5\) og \(1\) ikke være med. GeoGebra - CAS 1 Faktoriser(x^2 + 4x - 5) → \((x+5)(x-1)\) 2 Løs(x^2 + 4x - 5 < 0) → \(-5<x<1\)

Python-kontroll

Koden under er skrevet slik at eleven ser både mellomregningene og svaret når programmet kjøres.

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality x = symbols('x') uttrykk = x**2 + 4*x - 5 faktorisert = factor(uttrykk) losning = solve_univariate_inequality(uttrykk < 0, x) print("Uttrykk:", uttrykk) print("Faktorisert:", faktorisert) print("Løsning av ulikheten:", losning)

Typisk utskrift

Uttrykk: x**2 + 4*x - 5 Faktorisert: (x - 1)*(x + 5) Løsning av ulikheten: (-5 < x) & (x < 1)

Fasit: \(-5<x<1\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 - 3 poeng Polynom og nullpunkter

Oppgave 2

Oppgave:

Bestem nullpunktene til funksjonen \(f\) gitt ved \(f(x)=x^3-5x^2-8x+12\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Nullpunktene er de \(x\)-verdiene der \(f(x)=0\).

Steg 1 — Prøv enkle heltallsrøtter

Vi ser at \(x=1\) gir

\[1^3-5\cdot1^2-8\cdot1+12=0\]

Dermed er \((x-1)\) en faktor.

Steg 2 — Faktoriser polynomet

Polynomet kan faktoriseres slik:

\[x^3-5x^2-8x+12=(x-6)(x-1)(x+2)\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

Når produktet er null, må minst én faktor være null:

\[x-6=0\quad\lor\quad x-1=0\quad\lor\quad x+2=0\]

Steg 4 — Finn nullpunktene

Dette gir

\[x=6,\quad x=1,\quad x=-2\]

Tolkning

Grafen skjærer \(x\)-aksen i \((-2,0)\), \((1,0)\) og \((6,0)\).

Vanlig feil: Å stoppe etter å ha funnet én rot. En tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter. GeoGebra - CAS 1 Faktoriser(x^3 - 5x^2 - 8x + 12) → \((x-6)(x-1)(x+2)\) 2 Løs(x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = 0) → \(x=-2\lor x=1\lor x=6\)

Python-kontroll

Koden under er skrevet slik at eleven ser både mellomregningene og svaret når programmet kjøres.

from sympy import symbols, factor, solve x = symbols('x') f = x**3 - 5*x**2 - 8*x + 12 faktorisert = factor(f) nullpunkter = solve(f, x) print("f(x) =", f) print("Faktorisert form =", faktorisert) print("Nullpunkter =", nullpunkter) for rot in nullpunkter: print("Kontroll f(", rot, ") =", f.subs(x, rot))

Typisk utskrift

f(x) = x**3 - 5*x**2 - 8*x + 12 Faktorisert form = (x - 6)*(x - 1)*(x + 2) Nullpunkter = [-2, 1, 6] Kontroll f( -2 ) = 0 Kontroll f( 1 ) = 0 Kontroll f( 6 ) = 0

Fasit: Nullpunktene er \(x=-2\), \(x=1\) og \(x=6\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 - 4 poeng Rasjonale funksjoner

Oppgave 3

Oppgave:

En rasjonal funksjon \(f\) er gitt ved \(f(x)=\dfrac{2x+6}{x^2+4}\). Hvilke av påstandene nedenfor er riktige? Husk å begrunne svarene dine. Påstand 1: Grafen til \(f\) har nøyaktig ett nullpunkt. Påstand 2: Grafen til \(f\) har ingen vertikale asymptoter. Påstand 3: Grafen til \(f\) skjærer aldri \(y\)-aksen. Påstand 4: Grafen til \(f\) har horisontal asymptote \(y=2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere fire påstander om nullpunkt, asymptoter og skjæring med aksene.

Steg 1 — Nullpunkt

Et nullpunkt får vi når telleren er null og nevneren ikke er null:

\[2x+6=0\Rightarrow x=-3\]

Nevneren er \((-3)^2+4=13\), altså ikke null. Påstand 1 er riktig.

Steg 2 — Vertikale asymptoter

Vertikale asymptoter kan oppstå når nevneren er null:

\[x^2+4=0\]

Denne likningen har ingen reelle løsninger, fordi \(x^2\ge0\). Påstand 2 er riktig.

Steg 3 — Skjæring med \(y\)-aksen

Grafen skjærer \(y\)-aksen når \(x=0\):

\[f(0)=\dfrac{2\cdot0+6}{0^2+4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\]

Grafen skjærer altså \(y\)-aksen. Påstand 3 er feil.

Steg 4 — Horisontal asymptote

Graden i nevneren er større enn graden i telleren. Da går brøken mot \(0\) når \(x\) blir stor i absoluttverdi.

Den horisontale asymptoten er \[y=0\]

Påstand 4 er derfor feil.

Tolkning

De riktige påstandene er 1 og 2.

Vanlig feil: Å tro at \(x^2+4=0\) gir \(x=\pm2\). Det ville vært riktig for \(x^2-4=0\), men ikke her. GeoGebra - CAS 1 Løs(2x + 6 = 0) → \(x=-3\) 2 Løs(x^2 + 4 = 0) → ingen reelle løsninger 3 f(0) → \(\dfrac{3}{2}\) 4 Grense((2x+6)/(x^2+4), x, ∞) → \(0\)

Python-kontroll

Koden under er skrevet slik at eleven ser både mellomregningene og svaret når programmet kjøres.

from sympy import symbols, solve, limit, oo, Rational x = symbols('x') f = (2*x + 6)/(x**2 + 4) nullpunkter = solve(2*x + 6, x) nevner_null = solve(x**2 + 4, x) y_akse = f.subs(x, 0) horisontal = limit(f, x, oo) print("Nullpunkt fra telleren:", nullpunkter) print("Reelle nullpunkter i nevneren:", nevner_null) print("Skjæring med y-aksen:", y_akse) print("Horisontal asymptote y =", horisontal) print("Riktige påstander: 1 og 2")

Typisk utskrift

Nullpunkt fra telleren: [-3] Reelle nullpunkter i nevneren: [] Skjæring med y-aksen: 3/2 Horisontal asymptote y = 0 Riktige påstander: 1 og 2

Fasit: Påstand 1 og påstand 2 er riktige. Påstand 3 og 4 er feil. Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4 - 2 poeng Eksponentialregning

Oppgave 4

Oppgave:

For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått \(4{,}5\) % rente per år. I dag har han \(250\ 000\) kroner på kontoen. Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan vi bruke for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto? 1) \(250\ 000\cdot0{,}955^5\), 2) \(\dfrac{250\ 000}{1{,}045^5}\), 3) \(250\ 000\cdot1{,}045^5\), 4) \(250\ 000\cdot0{,}955^{-5}\), 5) \(\dfrac{250\ 000}{0{,}955^5}\), 6) \(250\ 000\cdot1{,}045^{-5}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner sluttverdien etter fem år og skal finne startbeløpet.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

Rente på \(4{,}5\) % per år gir vekstfaktor

\[1+\dfrac{4{,}5}{100}=1{,}045\]

Steg 2 — Skriv sammenhengen

Hvis startbeløpet er \(S\), er beløpet etter fem år

\[S\cdot1{,}045^5=250\ 000\]

Steg 3 — Løs for startbeløpet

Vi deler på vekstfaktoren fem ganger:

\[S=\dfrac{250\ 000}{1{,}045^5}\]

Dette er uttrykk 2.

Steg 4 — Bruk negativ eksponent

Siden \(a^{-5}=\dfrac{1}{a^5}\), kan vi også skrive

\[S=250\ 000\cdot1{,}045^{-5}\]

Dette er uttrykk 6.

Tolkning

Uttrykkene 2 og 6 regner bakover fra dagens beløp til beløpet for fem år siden.

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}955\) som om det er motsatsen til \(1{,}045\). Å gå bakover med \(4{,}5\) % rente betyr å dele på \(1{,}045\), ikke å multiplisere med \(0{,}955\). GeoGebra - CAS 1 250000 / 1.045^5 → \(200\ 677{,}99\ldots\) 2 250000 * 1.045^(-5) → \(200\ 677{,}99\ldots\)

Python-kontroll

Koden under er skrevet slik at eleven ser både mellomregningene og svaret når programmet kjøres. …