Matematikk 1T Eksamen høsten 2023 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1T

Matematikk 1T eksamen Høst 2023 – løsningsforslag

Komplett originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt, og hver deloppgave har plan, forklaring, tolkning, vanlig feil, GeoGebra/CAS-kontroll og Python-kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Trigonometri

Oppgave 1

Oppgave:

En likesidet trekant har sidelengder 2. Se figuren til høyre.

Bruk trekanten til å vise at \(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke geometrien i en likesidet trekant til å finne en eksakt trigonometrisk verdi.

Steg 1 — Del trekanten i to

Høyden fra toppunktet deler den likesidede trekanten i to kongruente rettvinklede trekanter. Grunnlinjen \(2\) deles i to deler med lengde \(1\).

Steg 2 — Finn vinkelen

Alle vinklene i en likesidet trekant er \(60^\circ\). I den lille rettvinklede trekanten har vi derfor en vinkel på \(60^\circ\).

Steg 3 — Bruk definisjonen av cosinus

For vinkelen \(60^\circ\) er hosliggende katet \(1\), og hypotenusen er \(2\).

\[\cos 60^\circ=\dfrac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}=\dfrac{1}{2}\]

Tolkning

Dette er en eksakt verdi, ikke en avrunding fra kalkulator.

Vanlig feil: Å bruke motsatt katet og dermed finne sinus i stedet for cosinus. GeoGebra · CAS 1 cos(pi/3) → \(\dfrac{1}{2}\)

💻 Python

from sympy import cos, pi, simplify print(simplify(cos(pi/3)))

Fasit: \(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Nullpunkter

Oppgave 2

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x)=x^3+2x^2-5x-6\]

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen \(x\)-aksen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Skjæring med \(x\)-aksen betyr at \(f(x)=0\).

Steg 1 — Sett uttrykket lik null

\[x^3+2x^2-5x-6=0\]

Steg 2 — Finn en faktor

Vi prøver \(x=2\): \(8+8-10-6=0\). Derfor er \(x-2\) en faktor.

Steg 3 — Faktoriser videre

\[x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3)\]

\[x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\]

Steg 4 — Les av nullpunktene

\[(x-2)(x+1)(x+3)=0\]

Dermed er \(x=2\), \(x=-1\) og \(x=-3\).

Tolkning

Punktene på \(x\)-aksen har and koordinat \(y=0\).

Vanlig feil: Å oppgi bare \(x\)-verdier når oppgaven spør etter punkter. GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^3+2x^2-5x-6) → \((x-2)(x+1)(x+3)\)

💻 Python

from sympy import symbols, factor, solve x = symbols('x') print(factor(x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6)) print(solve(x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6, x))

Fasit: Grafen skjærer \(x\)-aksen i \((-3,0)\), \((-1,0)\) og \((2,0)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Derivasjon

Oppgave 3

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x)=x^3-3x^2-x+4\]

Bestem likningen for tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((1,f(1))\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? En tangent bestemmes av et punkt og stigningstallet fra den deriverte.

Steg 1 — Finn punktet

\[f(1)=1-3-1+4=1\]

Punktet er \((1,1)\).

Steg 2 — Deriver

\[f'(x)=3x^2-6x-1\]

Steg 3 — Finn stigningstallet

\[f'(1)=3-6-1=-4\]

Steg 4 — Bruk ettpunktsformelen

\[y-1=-4(x-1)\]

\[y=-4x+5\]

Tolkning

Tangenten faller med \(4\) når \(x\) øker med \(1\).

Vanlig feil: Å bruke \(f(1)\) som stigningstall i stedet for \(f'(1)\). GeoGebra · CAS 1 Tangent(1, x^3-3x^2-x+4) → \(y=-4x+5\)

💻 Python

from sympy import symbols, diff, expand x = symbols('x') f = x**3 - 3*x**2 - x + 4 m = diff(f, x).subs(x, 1) print(expand(f.subs(x, 1) + m*(x - 1)))

Fasit: Tangenten er \(y=-4x+5\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Areal og sinus

Oppgave 4

Oppgave:

To trekanter er vist. I den ene er to sider \(6\) og \(6\) med mellomliggende vinkel \(150^\circ\). I den andre er to sider \(6\) og \(6\) med mellomliggende vinkel \(32^\circ\).

Hvilken av de to trekantene har størst areal? Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne areal når to sider og mellomliggende vinkel er kjent.

Steg 1 — Bruk arealformelen

\[A=\dfrac{1}{2}ab\sin C\]

Steg 2 — Første trekant

\[A_1=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \sin 150^\circ=18\cdot \dfrac{1}{2}=9\]

Steg 3 — Andre trekant

\[A_2=18\sin 32^\circ\]

Steg 4 — Sammenlikn

Fordi \(32^\circ>30^\circ\) og sinus øker fra \(0^\circ\) til \(90^\circ\), er \(\sin 32^\circ>\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\). Dermed er \(A_2>9\).

Tolkning

Den andre trekanten har størst høyde relativt til siden \(6\). …