Matematikk 1T Eksempeloppgave 2021 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1T

Matematikk 1T eksempelsett Høst 2021 – løsningsforslag

Komplett bokmålsversjon med nøyaktig transkriberte oppgaver, trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra/CAS-kontroll og Python-kontroll med nøytral kodefarge.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Funksjoner

Oppgave 1a

Oppgave:

Grafen viser temperaturen ved Lindesnes fyr \(x\) timer etter midnatt et døgn i januar. Vis hvordan du kan regne ut stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((4,4{,}7)\) og \((14,7{,}3)\).

Sekanten gjennom punktene viser gjennomsnittlig temperaturendring per time. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstallet til linjen gjennom to punkter. Stigningstallet er endring i temperatur delt på endring i tid.

Steg 1 — Skriv formelen for stigningstall

For punktene \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) er stigningstallet

\[a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.\]

Vi bruker denne fordi grafen viser en sammenheng mellom tid \(x\) og temperatur \(y\).

Steg 2 — Sett inn punktene

\[a=\dfrac{7{,}3-4{,}7}{14-4}.\]

Telleren er temperaturendringen, og nevneren er antall timer mellom målingene.

Steg 3 — Regn ut endringene

\[7{,}3-4{,}7=2{,}6,\qquad 14-4=10.\]

Steg 4 — Del temperaturendringen på tidsendringen

\[a=\dfrac{2{,}6}{10}=0{,}26.\]

Tolkning

Stigningstallet er \(0{,}26\). Enheten er grader celsius per time.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner. Da får man timer per grad i stedet for grader per time.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS 1 Stigningstall((4, 4.7), (14, 7.3)) → \(0{,}26\)

Python

x1 = 4 T1 = 4.7 x2 = 14 T2 = 7.3 stigningstall = (T2 - T1) / (x2 - x1) print("Stigningstall:", stigningstall) print("Temperaturen øker med", stigningstall, "grader per time.")

Stigningstall: 0.26 Temperaturen øker med 0.26 grader per time.

Fasit: \(a=0{,}26\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Funksjoner

Oppgave 1b

Oppgave:

Gi en praktisk tolkning av stigningstallet fra oppgave 1a.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva tallet \(0{,}26\) betyr i situasjonen, ikke bare oppgi tallet.

Steg 1 — Knytt \(x\) og \(y\) til praktiske størrelser

Her er \(x\) antall timer etter midnatt, og \(y\) er temperatur målt i grader celsius.

Steg 2 — Bruk enheten

Stigningstallet har enheten \(\dfrac{^\circ\mathrm{C}}{\text{time}}\).

Steg 3 — Tolk fortegnet

Siden stigningstallet er positivt, øker temperaturen langs den rette linjen.

Steg 4 — Formuler tolkningen

Temperaturen øker i gjennomsnitt med \(0{,}26\ ^\circ\mathrm{C}\) per time mellom kl. 04 og kl. 14.

Tolkning

Linjen beskriver en gjennomsnittlig utvikling mellom to punkter, ikke nødvendigvis den eksakte temperaturen i hvert minutt.

Vanlig feil: Å skrive at temperaturen er \(0{,}26\ ^\circ\mathrm{C}\). Det er ikke en temperatur, men en endring per time. Fasit: Temperaturen øker i gjennomsnitt med \(0{,}26\ ^\circ\mathrm{C}\) per time fra kl. 04 til kl. 14. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Trigonometri

Oppgave 2

Oppgave:

Om en rettvinklet trekant \(ABC\) får du vite at \(AC\) er den lengste siden, \(AB=4\) og \(\tan \angle A=1\). Bestem \(BC\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke tangens i en rettvinklet trekant til å finne lengden \(BC\).

Steg 1 — Finn hypotenusen

Den lengste siden i en rettvinklet trekant er hypotenusen. Siden \(AC\) er lengst, må den rette vinkelen ligge ved \(B\).

Steg 2 — Plasser sidene i forhold til \(\angle A\)

I forhold til vinkelen \(A\) er \(AB\) hosliggende katet, og \(BC\) er motstående katet.

Steg 3 — Bruk tangensdefinisjonen

\[\tan A=\dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}=\dfrac{BC}{AB}.\]

Steg 4 — Sett inn det vi vet

\[1=\dfrac{BC}{4}.\]

Steg 5 — Løs for \(BC\)

\[BC=4.\]

Tolkning

Begge katetene er like lange, så trekanten er en rettvinklet likebeint trekant.

Vanlig feil: Å bruke \(AC\) i tangensbrøken. Hypotenusen brukes ikke direkte i \(\tan A\).

Kontroll

GeoGebra · CAS 1 tan(A)=BC/4=1 → \(BC=4\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve BC = symbols("BC", positive=True) likning = Eq(BC / 4, 1) losning = solve(likning, BC) print("Løsning for BC:", losning)

Løsning for BC: [4]

Fasit: \(BC=4\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Ulikheter

Oppgave 3

Oppgave:

Vis to ulike strategier du kan bruke for å løse ulikheten \(x^2-4<2x-1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse den samme ulikheten på to måter. Begge skal gi samme intervall.

Strategi 1 — Flytt alt til venstre side

\[x^2-4<2x-1\quad \Longleftrightarrow \quad x^2-2x-3<0.\]

Steg 2 — Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2-2x-3=(x-3)(x+1).\]

Nullpunktene er \(x=3\) og \(x=-1\).

Steg 3 — Bruk fortegn

Parabelen vender oppover. Derfor er uttrykket negativt mellom nullpunktene.

\[-1 Strategi 2 — Sammenlikn grafene

Ulikheten \(x^2-4<2x-1\) betyr at grafen til \(y=x^2-4\) ligger under grafen til \(y=2x-1\).

Steg 5 — Finn skjæringspunktene

\[x^2-4=2x-1 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2-2x-3=0.\]

Dette gir \(x=-1\) og \(x=3\).

Tolkning

Parabelen ligger under linjen mellom skjæringspunktene, altså for \(-1 Vanlig feil: Å ta med endepunktene. Ulikheten er streng, så \(x=-1\) og \(x=3\) skal ikke være med.

Kontroll

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2 - 4 < 2x - 1, x) → \(-1 < x < 3\)

Python

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality x = symbols("x", real=True) ulikhet = x**2 - 4 < 2*x - 1 losning = solve_univariate_inequality(ulikhet, x) print("Løsning:", losning)

Løsning: (-1 < x) & (x < 3)

Fasit: \(-1 Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4 Algebra

Oppgave 4

Oppgave:

Løs likningen \(x^3-3x^2-x+3=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en tredjegradslikning eksakt. Her passer gruppering godt.

Steg 1 — Gruppér leddene

\[x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-1(x-3).\]

Steg 2 — Faktoriser felles faktor

\[x^2(x-3)-1(x-3)=(x^2-1)(x-3).\]

Steg 3 — Bruk konjugatsetningen

\[x^2-1=(x-1)(x+1).\]

Steg 4 — Skriv hele faktoriseringen

\[x^3-3x^2-x+3=(x-1)(x+1)(x-3).\]

Steg 5 — Sett hver faktor lik null

\[x-1=0 \quad \lor \quad x+1=0 \quad \lor \quad x-3=0.\]

Tolkning

Likningen har tre reelle løsninger: \(-1\), \(1\) og \(3\). …