Matematikk 1T Eksamen høsten 2024 – løsningsforslag

ifingo · løsningsforslag

Matematikk 1T eksamen Høst 2024 – løsningsforslag

Alle oppgaver er transkribert på bokmål og løst trinnvis. Del 1 viser eksakt håndregning. Del 2 dokumenterer digitale metoder med GeoGebra/CAS og mer fullstendige Python-kontroller.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 · 2 poeng Trigonometri

Oppgave 1

Oppgave:

Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok: \\(2\cdot\sin(u)\cdot\cos(u)=\sin(2\cdot u)\\). Bruk trekanten til høyre og vis at formelen gjelder når \\(u=30^\circ\\). Trekanten har sider \\(1\\), \\(\sqrt{3}\\) og \\(2\\), og vinklene \\(30^\circ\\) og \\(60^\circ\\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke trekanten til å kontrollere identiteten for én bestemt vinkel, ikke bevise den generelt.

Steg 1 — Les sinus og cosinus fra trekanten

Hypotenusen er \\(2\\). For vinkelen \\(30^\circ\\) er motstående katet \\(1\\) og hosliggende katet \\(\sqrt{3}\\).

Derfor er \\[\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2},\qquad \cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

Dette er definisjonene av sinus og cosinus i en rettvinklet trekant.

Steg 2 — Regn venstre side

Vi setter inn \\(u=30^\circ\\):

\[2\cdot\sin(30^\circ)\cdot\cos(30^\circ)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

Venstre side blir altså \\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\).

Steg 3 — Regn høyre side

Høyre side er

\[\sin(2\cdot30^\circ)=\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

Verdien \\(\sin(60^\circ)\\) leses også fra den samme trekanten.

Steg 4 — Sammenlign sidene

Begge sider gir samme verdi:

\[2\cdot\sin(30^\circ)\cdot\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin(60^\circ)\]

Tolkning

Formelen stemmer for \\(u=30^\circ\\) fordi venstre og høyre side gir nøyaktig samme verdi.

Vanlig feil: Å bruke desimalverdier for \\(\sqrt{3}\\) i Del 1. Her bør svaret holdes eksakt. GeoGebra · CAS 1 2*sin(30°)*cos(30°) → \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 2 sin(2*30°) → \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Python-kontroll

from sympy import sqrt, Rational, simplify sin30 = Rational(1, 2) cos30 = sqrt(3) / 2 venstre_side = 2 * sin30 * cos30 hoyre_side = sqrt(3) / 2 print("Venstre side =", venstre_side) print("Høyre side =", hoyre_side) print("Er sidene like?", simplify(venstre_side - hoyre_side) == 0)

Fasit: Formelen gjelder for \\(u=30^\circ\\), siden begge sider er \\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 · 2 poeng Andregradsfunksjoner

Oppgave 2

Oppgave:

Funksjonen \\(f\\) er gitt ved \\(f(x)=(x-1)(x+3)\\). Bestem koordinatene til bunnpunktet på grafen til \\(f\\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne topp- eller bunnpunktet til en parabel. Siden koeffisienten foran \\(x^2\\) er positiv, får grafen et bunnpunkt.

Steg 1 — Utvid uttrykket

\[f(x)=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3\]

Dette gjør det lett å lese av \\(a\\) og \\(b\\).

Steg 2 — Finn symmetrilinjen

For \\(f(x)=ax^2+bx+c\\) ligger ekstremalpunktet ved

\[x=-\dfrac{b}{2a}\]

Her er \\(a=1\\) og \\(b=2\\), så

\[x=-\dfrac{2}{2\cdot1}=-1\]

Steg 3 — Finn funksjonsverdien

\[f(-1)=(-1-1)(-1+3)=(-2)\cdot2=-4\]

Dermed er \\(y\\)-koordinaten \\(-4\\).

Steg 4 — Skriv koordinatene

Bunnpunktet er punktet der \\(x=-1\\) og \\(y=-4\\):

\[(-1,-4)\]

Tolkning

Grafen synker fram til \\(x=-1\\) og stiger etterpå.

Vanlig feil: Å finne nullpunktene \\(x=1\\) og \\(x=-3\\), men glemme at bunnpunktet ligger midt mellom dem. GeoGebra · CAS 1 Ekstremalpunkt((x - 1)(x + 3)) → \((-1,-4)\) 2 f(-1) → \(-4\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, diff, solve x = symbols('x') f = (x - 1)*(x + 3) f_utvidet = expand(f) derivert = diff(f, x) x_ekstremal = solve(derivert, x)[0] y_ekstremal = f.subs(x, x_ekstremal) print("f(x) =", f_utvidet) print("f'(x) =", derivert) print("x-koordinat =", x_ekstremal) print("y-koordinat =", y_ekstremal) print("Bunnpunkt =", (x_ekstremal, y_ekstremal))

Fasit: Bunnpunktet er \\((-1,-4)\\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 · 4 poeng Polynom og ulikheter

Oppgave 3

Oppgave:

Funksjonen \\(f\\) er gitt ved \\(f(x)=x^3+7x^2+4x-12\\). Løs ulikheten \\(f(x)<0\\) og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor grafen til tredjegradsfunksjonen ligger under \\(x\\)-aksen.

Steg 1 — Finn en rot

Vi prøver enkle heltall. For \\(x=1\\) får vi

\[f(1)=1+7+4-12=0\]

Dermed er \\(x-1\\) en faktor.

Steg 2 — Faktoriser polynomet

Polynomet faktoriseres til

\[x^3+7x^2+4x-12=(x-1)(x+2)(x+6)\]

Nullpunktene er derfor \\(x=1\\), \\(x=-2\\) og \\(x=-6\\).

Steg 3 — Lag fortegnslinje

Faktorene skifter fortegn i nullpunktene. Intervallene blir

\[(-\infty,-6),\quad (-6,-2),\quad (-2,1),\quad (1,\infty)\]

Tester vi ett tall i hvert intervall, får vi fortegnene \\(-,+,-,+\\).

Steg 4 — Velg intervallene der funksjonen er negativ

Ulikheten \\(f(x)<0\\) betyr at vi skal ha intervallene der fortegnet er negativt:

\[x<-6\quad\text{eller}\quad -2

Nullpunktene er ikke med fordi ulikheten er streng.

Tolkning

Grafen ligger under \\(x\\)-aksen før \\(-6\\) og mellom \\(-2\\) og \\(1\\).

Vanlig feil: Å ta med nullpunktene i svaret. Siden det står \\(f(x)<0\\), er punktene der \\(f(x)=0\\) ikke med. GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) → \((x-1)(x+2)(x+6)\) 2 Løs(x^3 + 7x^2 + 4x - 12 < 0) → \(x<-6\ \lor\ -2

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality x = symbols('x') f = x**3 + 7*x**2 + 4*x - 12 f_faktorisert = factor(f) losning = solve_univariate_inequality(f < 0, x) print("f(x) faktorisert =", f_faktorisert) print("Løsning av f(x) < 0:") print(losning) for testpunkt in [-7, -4, 0, 2]: print("f(", testpunkt, ") =", f.subs(x, testpunkt))

Fasit: \(x<-6\\) eller \\(-2 Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a · 1 poeng Enhetssirkelen

Oppgave 4a

Oppgave:

I koordinatsystemet er det tegnet en sirkel med radius \\(r=1\\). Punktet \\(P(0{,}64,0{,}77)\\) ligger på sirkelen. Er \\(\tan 50^\circ>1\\)? Husk å begrunne svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om tangensverdien er større enn \\(1\\) ved å bruke punktet på enhetssirkelen.

Steg 1 — Bruk definisjonen av tangens

På enhetssirkelen er

\[\tan v=\dfrac{\sin v}{\cos v}=\dfrac{y}{x}\]

For \\(50^\circ\\) kan punktet leses omtrent som \\((0{,}64,0{,}77)\\).

Steg 2 — Sammenlign teller og nevner

\[\tan 50^\circ\approx\dfrac{0{,}77}{0{,}64}\]

Siden \\(0{,}77>0{,}64\\), blir brøken større enn \\(1\\).

Steg 3 — Konkluder

\[\dfrac{0{,}77}{0{,}64}\approx1{,}20>1\]

Tolkning

Vinkelen \\(50^\circ\\) ligger i første kvadrant, og \\(y\\)-koordinaten er større enn \\(x\\)-koordinaten.

Vanlig feil: Å blande \\(x/y\\) og \\(y/x\\). Tangens er \\(y\\)-koordinat delt på \\(x\\)-koordinat. GeoGebra · CAS 1 0.77 / 0.64 → \(1{,}203125\) 2 tan(50°) → \(1{,}19175\ldots\)

Python-kontroll

from math import tan, radians punkt_x = 0.64 punkt_y = 0.77 tilnaermet_tangens = punkt_y / punkt_x kalkulatorverdi = tan(radians(50)) print("Tangens fra punktet =", round(tilnaermet_tangens, 4)) print("tan(50 grader) =", round(kalkulatorverdi, 4)) print("Er tan(50 grader) > 1?", kalkulatorverdi > 1)

Fasit: Ja. \\(\tan 50^\circ>1\\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b · 1 poeng Enhetssirkelen

Oppgave 4b

Oppgave:

I koordinatsystemet er det tegnet en sirkel med radius \\(r=1\\). Er \\(\tan 130^\circ>0\\)? Husk å begrunne svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre fortegnet til tangens i andre kvadrant.

Steg 1 — Plasser vinkelen

Vinkelen \\(130^\circ\\) ligger i andre kvadrant. …