Matematikk 1T Eksempelsett – løsningsforslag

ifingo - Matematikk 1T

Matematikk 1T eksempelsett - løsningsforslag

Komplett bokmålsfil med trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra/CAS-kontroll og realistiske Python-kontroller i nøytral kodefarge.

Type 1 — korte svar

Type 1 - Oppgave 1 Derivasjon

Oppgave 1

Oppgave:

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen \(f\) gitt ved \[f(x)=4x^2+3x+8\] når \(x=2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk definisjonen av momentan vekstfart

Momentan vekstfart i punktet er den deriverte verdien \(f\prime(2)\).

Steg 2 — Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=8x+3\] fordi \((4x^2)\prime=8x\), \((3x)\prime=3\) og konstanten forsvinner.

Steg 3 — Sett inn \(x=2\)

\[f\prime(2)=8\cdot 2+3=19\]

Steg 4 — Skriv svaret med mening

Den momentane vekstfarten er \(19\) når \(x=2\).

Vanlig feil: Å regne \(f(2)\) i stedet for \(f\prime(2)\).

Tolkning

Svaret må leses i lys av spørsmålet, ikke bare som et tall fra en beregning.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Derivert(4x^2+3x+8) -> \(8x+3\) 2 SettInn(8x+3,x,2) -> \(19\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, diff x = symbols('x') f = 4*x**2 + 3*x + 8 f_derivert = diff(f, x) verdi = f_derivert.subs(x, 2) print('f(x) =', f) print("f'(x) =", f_derivert) print("f'(2) =", verdi) # Output: # f(x) = 4*x**2 + 3*x + 8 # f'(x) = 8*x + 3 # f'(2) = 19

Fasit: \(19\) Få mer forklaring Type 1 - Oppgave 2 Trigonometri

Oppgave 2

Oppgave:

Kari skal bestemme hvor stor en vinkel \(v\) er. Hun har regnet ut at \(\sin v\) er lik \(2\). Kan hun ha regnet riktig?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk verdimengden til sinus

For alle vinkler gjelder \[-1\le \sin v\le 1.\]

Steg 2 — Sammenlign med tallet i oppgaven

Tallet \(2\) ligger utenfor intervallet \([-1,1]\).

Steg 3 — Trekk konklusjonen

Det finnes ingen reell vinkel som har sinusverdi \(2\).

Vanlig feil: Sinus og cosinus kan aldri bli større enn \(1\) eller mindre enn \(-1\).

Tolkning

Svaret må leses i lys av spørsmålet, ikke bare som et tall fra en beregning.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 Løs(sin(v)=2, v) -> Ingen reell løsning

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solveset, sin, S v = symbols('v', real=True) losning = solveset(sin(v) - 2, v, domain=S.Reals) print(losning) # Output: # EmptySet

Fasit: Nei. Kari kan ikke ha regnet riktig. Få mer forklaring Type 1 - Oppgave 3 Enhetssirkelen

Oppgave 3

Oppgave:

Punktet \(P(0{,}692,0{,}722)\) ligger på enhetssirkelen. Hvor stor er \(\angle u\)? Videre er \(v\in[180^\circ,360^\circ]\) og \(\cos v=\cos u\). Hvor stor er \(\angle v\)?

Skisse av punktet på enhetssirkelen. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk at x-koordinaten er cosinus

På enhetssirkelen er \(\cos u\approx 0{,}692\).

Steg 2 — Finn vinkelen \(u\)

\[u\approx \cos^{-1}(0{,}692)\approx 46{,}2^\circ\]

Steg 3 — Bruk symmetri for cosinus

Cosinus har samme verdi i 1. og 4. kvadrant.

Steg 4 — Finn vinkelen i intervallet

\[v=360^\circ-u\approx 360^\circ-46{,}2^\circ=313{,}8^\circ\]

Vanlig feil: Å velge \(46{,}2^\circ\) også for \(v\), selv om \(v\) skal ligge mellom \(180^\circ\) og \(360^\circ\).

Tolkning

Svaret må leses i lys av spørsmålet, ikke bare som et tall fra en beregning.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS 1 acos(0.692) -> \(46.2^\circ\) 2 360 - 46.2 -> \(313.8^\circ\)

Kontroll (Python)

Python

from math import acos, degrees cos_u = 0.692 u = degrees(acos(cos_u)) v = 360 - u print('u =', round(u, 1), 'grader') print('v =', round(v, 1), 'grader') # Output: # u = 46.2 grader # v = 313.8 grader

Fasit: \(u\approx 46{,}2^\circ\) og \(v\approx 313{,}8^\circ\). Få mer forklaring Type 1 - Oppgave 4 Lineære funksjoner

Oppgave 4

Oppgave:

Funksjonene \(f\) og \(g\) er gitt ved \(f(x)=ax+4\) og \(g(x)=-ax-4\), der \(a e0\). Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom grafen til \(f\) og grafen til \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke oppgaveteksten, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett funksjonene like

I skjæringspunktet har de samme \(y\)-verdi: \[ax+4=-ax-4.\]

Steg 2 — Samle \(x\)-leddene

\[2ax=-8\]

Steg 3 — Del på \(2a\)

Siden \(a e0\), kan vi dele på \(2a\): \[x=-\dfrac{4}{a}.\]

Steg 4 — Finn \(y\)-verdien

\[y=a\left(-\dfrac{4}{a}\right)+4=-4+4=0.\] …