Matematikk 1T Eksamen våren 2024 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1T

Matematikk 1T eksamen Vår 2024 – løsningsforslag

Komplett bokmålsversjon med Del 1 og Del 2, nøyaktig transkribering av oppgavetekst, trinnvise forklaringer, vanlige feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1a Trigonometri

Oppgave 1a

Oppgave:

Tom har arbeidet med trekanten ovenfor og påstår at \( an u \cdot an v = 1\).

Vis at Tom har rett.

Figur brukt i oppgave 1: rettvinklet trekant med kateter 6 og 8. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sidene i den rettvinklede trekanten til å beregne tangensverdiene for de to spisse vinklene.

Steg 1 — Finn motstående og hosliggende side til \(u\)

For vinkelen \(u\) er den motstående kateten \(6\), og den hosliggende kateten er \(8\).

Derfor får vi

\[\tan u=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\]

Vi bruker tangens fordi tangens i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motstående og hosliggende katet.

Steg 2 — Finn motstående og hosliggende side til \(v\)

For vinkelen \(v\) er den motstående kateten \(8\), og den hosliggende kateten er \(6\).

Da er

\[\tan v=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\]

Steg 3 — Multipliser tangensverdiene

\[\tan u\cdot \tan v=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{4}{3}=1\]

Produktet blir \(1\) fordi brøkene er inverse av hverandre.

Tolkning

Toms påstand stemmer for trekanten på figuren: de to tangensverdiene opphever hverandre når de multipliseres.

Vanlig feil: Å bytte motstående og hosliggende side for én av vinklene. Da får man samme brøk to ganger i stedet for inverse brøker.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 tan(u) := 6/8 → \( an\left(u\right)=\dfrac{3}{4}\) 2 tan(v) := 8/6 → \( an\left(v\right)=\dfrac{4}{3}\) 3 tan(u)*tan(v) → \(1\)

Kontroll (Python)

💻 Python

from sympy import Rational tan_u = Rational(6, 8) tan_v = Rational(8, 6) print(tan_u*tan_v)

Fasit: \( an u\cdot an v=1\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 1b Trigonometri og bevis

Oppgave 1b

Oppgave:

Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler \(u\) og \(v\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om resultatet fra én bestemt trekant også gjelder generelt.

Steg 1 — Bruk at de spisse vinklene er komplementvinkler

I en rettvinklet trekant er de to spisse vinklene til sammen \(90^\circ\).

\[u+v=90^\circ\]

Dermed er \(v=90^\circ-u\).

Steg 2 — Skriv tangens for en generell trekant

La katetene være \(p\) og \(q\). For den ene spisse vinkelen er

\[\tan u=\dfrac{p}{q}\]

For den andre spisse vinkelen bytter katetene rolle:

\[\tan v=\dfrac{q}{p}\]

Steg 3 — Multipliser

\[\tan u\cdot \tan v=\dfrac{p}{q}\cdot \dfrac{q}{p}=1\]

Dette gjelder så lenge \(p\) og \(q\) er positive katetlengder.

Tolkning

Påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler, fordi de to tangensforholdene alltid blir inverse.

Vanlig feil: Å tro at påstanden bare gjelder \(6\)-\(8\)-\(10\)-trekanter. Det avgjørende er at trekanten er rettvinklet, ikke de konkrete sidelengdene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Simplify((p/q)*(q/p)) → \(1\)

Kontroll (Python)

💻 Python

from sympy import symbols, simplify p, q = symbols('p q', positive=True) print(simplify((p/q)*(q/p)))

Fasit: Påstanden stemmer for alle slike rettvinklede trekanter. Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Polynomdivisjon og faktorisering

Oppgave 2

Oppgave:

Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår at begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig.

\[2x^3+3x^2-11x-6=\left(2x^2+7x+3\right)\cdot \left(x-2\right)\]

Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført? Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at produktet består av to faktorer ved å dele polynomet på hver av faktorene og få resten \(0\).

Steg 1 — Del på den lineære faktoren

Første mulige divisjon er

\[\left(2x^3+3x^2-11x-6\right):\left(x-2\right)\]

Polynomdivisjon gir

\[\dfrac{2x^3+3x^2-11x-6}{x-2}=2x^2+7x+3\]

Resten er \(0\), så \(x-2\) er en faktor.

Steg 2 — Kontroller divisjonen ved multiplikasjon

\[\left(x-2\right)\left(2x^2+7x+3\right)=2x^3+3x^2-11x-6\]

Dette viser at første divisjon stemmer.

Steg 3 — Del på andregradsfaktoren

Den andre mulige divisjonen er

\[\left(2x^3+3x^2-11x-6\right):\left(2x^2+7x+3\right)\]

Da får vi

\[\dfrac{2x^3+3x^2-11x-6}{2x^2+7x+3}=x-2\]

Også her er resten \(0\).

Steg 4 — Forklar hvorfor begge divisjonene beviser faktoriseringen

Når en divisjon gir rest \(0\), betyr det at dividenden er lik divisor multiplisert med kvotient.

Begge divisjonene gir derfor samme faktorisering:

\[2x^3+3x^2-11x-6=\left(2x^2+7x+3\right)\left(x-2\right)\]

Tolkning

Guri kan ha delt polynomet på \(x-2\) og på \(2x^2+7x+3\). Begge divisjonene viser den samme faktoriseringen fra hver sin side.

Vanlig feil: Å bare multiplisere faktorene sammen. Oppgaven ber eksplisitt om to polynomdivisjoner, så divisjonene og rest \(0\) må dokumenteres.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Divisjon(2x^3+3x^2-11x-6, x-2) → \(2x^2+7x+3\), rest \(0\) 2 Divisjon(2x^3+3x^2-11x-6, 2x^2+7x+3) → \(x-2\), rest \(0\)

Kontroll (Python)

💻 Python

from sympy import symbols, div x = symbols('x') P = 2*x**3 + 3*x**2 - 11*x - 6 print(div(P, x - 2)) print(div(P, 2*x**2 + 7*x + 3))

Fasit: Guri kan ha utført \(\left(2x^3+3x^2-11x-6\right):\left(x-2\right)\) og \(\left(2x^3+3x^2-11x-6\right):\left(2x^2+7x+3\right)\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Algebraisk identitet

Oppgave 3

Oppgave:

Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det grønne området.

Det grønne området kan regnes som hele kvadratet minus det hvite kvadratet, eller som to grønne rektangler. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive det samme grønne arealet på to måter og sette uttrykkene lik hverandre.

Steg 1 — Areal som stort kvadrat minus lite kvadrat

Hele figuren er et kvadrat med side \(a\), og det hvite kvadratet har side \(b\).

Det grønne arealet er derfor

\[a^2-b^2\]

Steg 2 — Areal som summen av to grønne rektangler

Det venstre grønne rektangelet har bredde \(a-b\) og høyde \(a\), og det øverste høyre grønne rektangelet har bredde \(b\) og høyde \(a-b\).

Dermed er grønt areal

\[a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\]

Steg 3 — Faktoriser felles faktor

Begge leddene har faktoren \(a-b\).

\[a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\]

Steg 4 — Sett arealuttrykkene lik hverandre

Siden uttrykkene beskriver samme grønne område, får vi identiteten

\[a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\]

Tolkning

Figuren gir en geometrisk begrunnelse for konjugatsetningen. …