Matematikk 1T Eksamen våren 2025 – løsningsforslag

ifingo · Matematikk 1T

Matematikk 1T eksamen Vår 2025 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål til MAT1021 Matematikk 1T Vår 2025. Oppgavene er transkribert fra Udir-settet og løst med trinnvis forklaring, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll der det er relevant.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 Rasjonale funksjoner

Oppgave 1

Oppgave:

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[f(x ight)=\dfrac{12x-3}{2x+1}\]

Bestem likningene for eventuelle asymptoter til grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vertikale og horisontale asymptoter for en rasjonal funksjon.

Steg 1 — Undersøk nevneren

En vertikal asymptote kan oppstå der nevneren er null, så vi løser

\[2x+1=0\]

Dette gir \(x=-\dfrac{1}{2}\).

Steg 2 — Sjekk at telleren ikke også blir null

Telleren ved \(x=-\dfrac{1}{2}\) er

\[12\cdot(-\dfrac{1}{2})-3=-9\]

Den er ikke null. Derfor er \(x=-\dfrac{1}{2}\) en vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn horisontal asymptote

Teller og nevner har samme grad. Da er den horisontale asymptoten forholdet mellom koeffisientene foran \(x\):

\[y=\dfrac{12}{2}=6\]

Tolkning

Grafen nærmer seg linjen \(x=-\dfrac{1}{2}\) vertikalt og linjen \(y=6\) når \(x\) blir svært stor eller svært negativ.

Vanlig feil: Å sette telleren lik null for å finne vertikal asymptote. Vertikale asymptoter bestemmes av nevneren, etter at eventuell forkorting er vurdert.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(2x+1=0) → \(x=-\dfrac{1}{2}\) 2 Grenseverdi((12x-3)/(2x+1), x, ∞) → \(6\)

Kontroll (Python)

💻 Python

from sympy import symbols, solve, limit, oo x = symbols('x') f = (12*x - 3)/(2*x + 1) print(solve(2*x + 1, x)) print(limit(f, x, oo))

Fasit: Asymptotene er \(x=-\dfrac{1}{2}\) og \(y=6\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 2 Andregradsulikhet

Oppgave 2

Oppgave:

Løs ulikheten

\[x^2-4x-12<0\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle \(x\)-verdier som gjør andregradsuttrykket negativt.

Steg 1 — Faktoriser uttrykket

Vi trenger to tall med produkt \(-12\) og sum \(-4\). Det er \(-6\) og \(2\).

\[x^2-4x-12=(x-6)(x+2)\]

Steg 2 — Finn nullpunktene

Nullpunktene er

\[x=6 \quad \text{og} \quad x=-2\]

Steg 3 — Bruk fortegn

Parabelen vender oppover fordi koeffisienten foran \(x^2\) er positiv. Uttrykket er derfor negativt mellom nullpunktene.

Steg 4 — Skriv løsningsmengden

Dermed får vi

\[-2

Tolkning

Grafen til \(y=x^2-4x-12\) ligger under \(x\)-aksen mellom \(-2\) og \(6\).

Vanlig feil: Å inkludere endepunktene. Siden ulikheten er streng, \(<0\), skal \(-2\) og \(6\) ikke være med.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Løs(x^2-4x-12<0) → \(-2

Kontroll (Python)

💻 Python

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality x = symbols('x') print(solve_univariate_inequality(x**2 - 4*x - 12 < 0, x))

Fasit: \(-2 Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 3 Andregradsfunksjoner

Oppgave 3

Oppgave:

En andregradsfunksjon \(f\) har ett nullpunkt. Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0,9 ight)\).

Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(f(x ight)\) for andregradsfunksjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage ett eksempel på en andregradsfunksjon som har nøyaktig ett nullpunkt og konstantledd \(9\).

Steg 1 — Bruk at ett nullpunkt betyr dobbeltrot

En andregradsfunksjon med ett nullpunkt kan skrives som et kvadrat:

\[f(x)=a(x-r)^2\]

Steg 2 — Velg en enkel dobbeltrot

Velger vi \(r=3\) og \(a=1\), får vi

\[f(x)=(x-3)^2\]

Steg 3 — Sjekk skjæring med y-aksen

Skjæring med \(y\)-aksen finner vi ved \(x=0\):

\[f(0)=(0-3)^2=9\]

Steg 4 — Sjekk nullpunkt

\((x-3)^2=0\) bare når \(x=3\). Dermed har funksjonen ett nullpunkt.

Tolkning

Grafen tangerer \(x\)-aksen i \(x=3\) og skjærer \(y\)-aksen i \(9\).

Vanlig feil: Å velge en funksjon med to ulike nullpunkter, for eksempel \(x^2-9\). Den har ikke bare ett nullpunkt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser((x-3)^2) → \((x-3 ight)^2\) 2 Nullpunkt((x-3)^2) → \(x=3\)

Kontroll (Python)

💻 Python

from sympy import symbols, solve x = symbols('x') f = (x-3)**2 print(f.subs(x,0)) print(solve(f, x))

Fasit: Et mulig svar er \(f(x ight)=(x-3 ight)^2\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4a Tredjegradslikning

Oppgave 4a

Oppgave:

Løs likningen

\[x^3-7x^2-10x+16=0\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en tredjegradslikning eksakt ved faktorisering.

Steg 1 — Prøv en enkel heltallsrot

Vi tester \(x=1\):

\[1^3-7\cdot1^2-10\cdot1+16=0\]

Dermed er \(x=1\) en rot, og \(x-1\) er en faktor.

Steg 2 — Del polynomet på \(x-1\)

Polynomdivisjon gir

\[x^3-7x^2-10x+16=(x-1)(x^2-6x-16)\]

Steg 3 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi trenger to tall med produkt \(-16\) og sum \(-6\). Det er \(-8\) og \(2\).

\[x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\]

Steg 4 — Sett hver faktor lik null

\[(x-1)(x-8)(x+2)=0\]

Da får vi

\[x=1 \quad \text{eller} \quad x=8 \quad \text{eller} \quad x=-2\]

Tolkning

Likningen har tre reelle løsninger, som også er nullpunktene til funksjonen i deloppgave b.

Vanlig feil: Å stoppe etter å ha funnet én rot. En tredjegradslikning kan ha tre reelle røtter.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS 1 Faktoriser(x^3-7x^2-10x+16) → \((x-8 ight)(x-1 ight)(x+2 ight)\) 2 Løs(x^3-7x^2-10x+16=0) → \(x=-2 \lor x=1 \lor x=8\)

Kontroll (Python)

💻 Python

from sympy import symbols, factor, solve x = symbols('x') p = x**3 - 7*x**2 - 10*x + 16 print(factor(p)) print(solve(p, x))

Fasit: \(x=-2\), \(x=1\) eller \(x=8\). Få mer forklaring Del 1 · Oppgave 4b Graf og fortegn

Oppgave 4b

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x ight)=x^3-7x^2-10x+16\]

Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til \(f\)? Husk å begrunne svaret.

Skisse av grafalternativene. Valget begrunnes med nullpunkter, fortegn, konstantledd og ledende koeffisient. Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke algebraiske kjennetegn for å velge riktig graf.

Steg 1 — Bruk nullpunktene fra deloppgave a

Vi fant

\[x=-2,\quad x=1,\quad x=8\]

Grafen må derfor krysse \(x\)-aksen tre steder.

Steg 2 — Bruk konstantleddet

\[f(0)=16\]

Grafen skal derfor skjære \(y\)-aksen over \(x\)-aksen.

Steg 3 — Bruk ledende koeffisient

Koeffisienten foran \(x^3\) er positiv. Da går grafen ned til venstre og opp til høyre.

Steg 4 — Sammenlign med alternativene

Graf C har positivt skjæringspunkt med \(y\)-aksen og riktig endeoppførsel for en tredjegradsfunksjon med positiv ledende koeffisient. Den kan også ha tre nullpunkter. …