Matematikk 1T Eksamen våren 2022 – løsningsforslag

Matematikk 1T - LK20

Matematikk 1T eksamen Vår 2022 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål til MAT1021 Matematikk 1T, eksamen 25.05.2022. Løsningene er skrevet med eksakte verdier der det er naturlig, og Del 2 dokumenterer digitale framgangsmåter med GeoGebra CAS og Python.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a Likninger og nullprodukt

Oppgave 1a

Oppgave:

Løs likningen

\[(x-2)(x+1)=0\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle verdier av \(x\) som gjør produktet lik null.

Steg 1 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én av faktorene være null.

\[(x-2)(x+1)=0\]

Steg 2 — Sett hver faktor lik null

\[x-2=0 \quad \text{eller} \quad x+1=0\]

Dette er grunnen til at vi kan løse to enkle førstegradslikninger i stedet for å multiplisere ut først.

Steg 3 — Løs de to likningene

\[x=2 \quad \text{eller} \quad x=-1\]

Steg 4 — Kontroller ved innsetting

\[(2-2)(2+1)=0\cdot 3=0\]

\[(-1-2)(-1+1)=-3\cdot 0=0\]

Tolkning

Likningen har to løsninger fordi produktet blir null når en av faktorene blir null.

Vanlig feil: Å glemme løsningen \(x=-1\), eller å skrive \(x+1=0\) som \(x=1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs((x-2)(x+1)=0) → \(x=-1 \lor x=2\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve x = symbols('x') print(solve((x - 2)*(x + 1), x))

Fasit: \(x=-1\) eller \(x=2\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 1b Ulikheter

Oppgave 1b

Oppgave:

Sett opp en ulikhet som har løsning \(x\in\langle \leftarrow,-1\rangle\cup\langle 2,\rightarrow\rangle\). Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en ulikhet der løsningen er alle tall mindre enn \(-1\) og alle tall større enn \(2\), men ikke endepunktene.

Steg 1 — Velg nullpunktene

Endepunktene i intervallene er \(-1\) og \(2\). Derfor passer faktorene \(x+1\) og \(x-2\).

Steg 2 — Bruk fortegn utenfor røttene

Et andregradsuttrykk med positivt fortegn foran \(x^2\) er positivt utenfor nullpunktene.

\[(x+1)(x-2)>0\]

Steg 3 — Begrunn med fortegnslinje

For \(x\lt -1\) er begge faktorene negative, og produktet er positivt. For \(-1\lt x\lt 2\) har faktorene ulikt fortegn, og produktet er negativt. For \(x\gt 2\) er begge faktorene positive, og produktet er positivt.

Steg 4 — Endepunktene er ikke med

Siden intervallene er åpne, må ulikheten være streng:

\[(x+1)(x-2)>0\]

Tolkning

Ulikheten er positiv akkurat i de to åpne intervallene oppgaven ber om.

Vanlig feil: Å bruke \(\ge\) i stedet for \(>\). Da ville \(-1\) og \(2\) også blitt med i løsningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Løs((x+1)(x-2)>0) → \(x\lt -1 \lor x\gt 2\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality x = symbols('x', real=True) print(solve_univariate_inequality((x + 1)*(x - 2) > 0, x))

Fasit: En mulig ulikhet er \((x+1)(x-2)>0\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 2 Identitet og kvadratsetning

Oppgave 2

Oppgave:

Bestem \(r\) og \(s\) slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet

\[9x^2-30x+r=(3x-s)^2\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tallene som gjør at venstre og høyre side er like for alle \(x\).

Steg 1 — Utvid høyre side

\[(3x-s)^2=(3x)^2-2\cdot 3x\cdot s+s^2\]

Steg 2 — Forenkle uttrykket

\[(3x-s)^2=9x^2-6sx+s^2\]

Steg 3 — Sammenlikn koeffisientene foran \(x\)

For at uttrykkene skal være identiske, må \(-6s=-30\).

\[s=5\]

Steg 4 — Finn konstantleddet

Når \(s=5\), får vi \(s^2=25\). Derfor må

\[r=25\]

Tolkning

Da blir høyre side \((3x-5)^2=9x^2-30x+25\), som er lik venstre side for alle \(x\).

Vanlig feil: Å skrive midtleddet som \(-3sx\) i stedet for \(-6sx\). Faktoren 2 i kvadratsetningen må være med.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 Utvid((3x-5)^2) → \(9x^2-30x+25\)

💻 Python

from sympy import symbols, expand x = symbols('x') print(expand((3*x - 5)**2))

Fasit: \(s=5\) og \(r=25\) (bekreftet digitalt). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 3 Trigonometri i rettvinklet trekant

Oppgave 3

Oppgave:

Om en rettvinklet trekant \(ABC\) får du vite at \(\tan\angle B=\dfrac{3}{4}\).

• Kan det være riktig at \(\sin\angle B=\dfrac{3}{10}\)?
• Kan det være riktig at den ene kateten er \(6\) og den andre kateten er \(8\)?
• Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn \(4\)?

Husk å begrunne alle tre svarene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke forholdet \(\tan B=\dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}\) til å vurdere tre påstander.

Steg 1 — Lag en generell trekant

Når \(\tan B=\dfrac{3}{4}\), kan katetene skrives som \(3k\) og \(4k\), der \(k>0\).

Steg 2 — Finn hypotenusen

Ved Pytagoras blir hypotenusen

\[\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=\sqrt{25k^2}=5k\]

Steg 3 — Vurder sinus-påstanden

\[\sin B=\dfrac{3k}{5k}=\dfrac{3}{5}\]

Derfor kan det ikke være riktig at \(\sin B=\dfrac{3}{10}\).

Steg 4 — Vurder katetene \(6\) og \(8\)

Hvis \(k=2\), får vi \(3k=6\) og \(4k=8\). Dette passer med tangensforholdet.

Steg 5 — Vurder hypotenusen kortere enn \(4\)

Hypotenusen er \(5k\). Velger vi for eksempel \(k=\dfrac{1}{2}\), blir hypotenusen \(\dfrac{5}{2}=2{,}5\), som er kortere enn \(4\).

Tolkning

Tangens bestemmer formen på trekanten, men ikke størrelsen. Derfor kan trekanten skaleres opp eller ned.

Vanlig feil: Å tro at \(\tan B=\dfrac{3}{4}\) betyr at katetene må være akkurat \(3\) og \(4\). De kan være \(3k\) og \(4k\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS 1 sqrt(3^2+4^2) → \(5\) 2 3/5 → \(\dfrac{3}{5}\)

💻 Python

from sympy import sqrt, Rational hyp = sqrt(3**2 + 4**2) print(hyp, Rational(3, hyp))

Fasit: Nei, ja, ja. Begrunnelsen er at sidene kan skrives \(3k\), \(4k\), \(5k\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 4 Programmering og løkker

Oppgave 4

Oppgave:

Forklar hva som skjer når programmet ovenfor kjøres. Hva blir resultatet?

def f(x): return x ** 2 # Definerer funksjonen f gitt ved f(x) = x ^ 2 x = 1 while f(x) <= 400: print(f(x)) x = x + 1

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare både hva løkken gjør, og hvilke tall som skrives ut.

Steg 1 — Tolk funksjonen

Funksjonen er \(f(x)=x^2\). Den returnerer kvadratet av tallet som settes inn.

Steg 2 — Startverdien

Programmet setter først \(x=1\). Da er \(f(1)=1\).

Steg 3 — Løkkevilkåret

Løkken kjører så lenge \(f(x)\le 400\), altså så lenge \(x^2\le 400\).

Steg 4 — Finn siste verdi

\[20^2=400 \quad \text{og} \quad 21^2=441\]

Derfor skrives \(f(x)\) ut for \(x=1,2,3,\ldots,20\), men ikke for \(x=21\).

Steg 5 — Resultatet

Programmet skriver ut kvadrattallene fra \(1^2\) til \(20^2\):

\[1,4,9,16,25,\ldots,361,400\]

Tolkning

Løkken teller oppover og skriver ut alle kvadrattall som er mindre enn eller lik \(400\).

Vanlig feil: Å stoppe ved \(19^2=361\). Siden vilkåret er \(\le 400\), skal \(400\) også skrives ut.

Kontroll (Python)

💻 Python

def f(x): return x**2 x = 1 verdier = [] while f(x) <= 400: verdier.append(f(x)) x = x + 1 print(verdier)

Fasit: Programmet skriver ut \(1,4,9,16,\ldots,400\). Få mer forklaring Del 1 - Oppgave 5 Rasjonale funksjoner og asymptoter

Oppgave 5

Oppgave:

En rasjonal funksjon \(f\) har vertikal asymptote \(x=-2\) og horisontal asymptote \(y=3\).

Bestem to mulige funksjonsuttrykk for \(f\). Husk å forklare hvordan du tenker. …