Forventningsverdi, varians og standardavvik

Forventningsverdi

Forventningsverdien E(X) er gjennomsnittet du ville fått hvis forsøket ble gjentatt svært mange ganger.

E(X) = Σ x · P(X = x) — gang hver verdi med sannsynligheten sin, og summer.

For ett terningkast: E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + … + 6·(1/6) = 3,5.

Merk at 3,5 aldri kan komme opp på en terning. Forventningsverdien er et gjennomsnitt, ikke et utfall — det er et vanlig misforståelsespunkt.

Varians

Variansen måler hvor mye verdiene sprer seg rundt forventningsverdien:

Var(X) = Σ (x − E(X))² · P(X = x)

Avvikene kvadreres slik at de ikke opphever hverandre, og slik at store avvik teller mer.

Et raskere alternativ er Var(X) = E(X²) − [E(X)]².

Standardavvik

SD(X) = √Var(X).

Kvadratrota setter tallet tilbake i samme enhet som variabelen. Er X målt i kroner, er standardavviket i kroner, mens variansen er i kroner kvadrert — som ikke betyr noe konkret.

Regneregler

• E(aX + b) = a · E(X) + b
• Var(aX + b) = a² · Var(X)

Legg merke til at konstanten b flytter forventningsverdien, men ikke variansen. Å legge det samme til alle verdier endrer midtpunktet, ikke spredningen.

Praktisk tolkning

I spill og forsikring er E(X) den langsiktige gevinsten eller tapet per omgang. Er den negativ for deg, taper du penger over tid uansett hvor heldig du er en enkelt kveld.