S2 eksamenVår 2026

Matematikk S2 eksamen – vår 2026

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo - Matematikk S2 - LK20

Matematikk S2 eksamen Vår 2026 - løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt tydelig, alle deloppgaver er løst trinnvis, og digitale kontroller er lagt inn med GeoGebra CAS og Python der det er nyttig.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1aIntegrasjon

Bestemt integral

Oppgave:

Bestem integralet

\[ \int_{0}^{2}\left(e^{2x}+x\right)\,dx \]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Del integralet

Bruk linearitet:

\[ \int_{0}^{2}\left(e^{2x}+x\right)\,dx=\int_{0}^{2}e^{2x}\,dx+\int_{0}^{2}x\,dx. \]

Steg 2 — Integrer eksponentialleddet

Siden den deriverte av \(2x\) er \(2\), får vi

\[ \int e^{2x}\,dx=\dfrac{1}{2}e^{2x}. \]

Steg 3 — Integrer polynomleddet

For \(x\) bruker vi potensregelen:

\[ \int x\,dx=\dfrac{x^2}{2}. \]

Steg 4 — Sett inn grensene

Dermed blir

\[ \left[\dfrac{1}{2}e^{2x}+\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}. \]

Steg 5 — Regn ut verdien

Vi får

\[ \left(\dfrac{1}{2}e^4+2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{e^4+3}{2}. \]

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen til \(e^{2x}+x\) fra \(x=0\) til \(x=2\).

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(\dfrac{1}{2}\) når man integrerer \(e^{2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Integral(e^(2x)+x,0,2)
→ \(\dfrac{e^4+3}{2}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, exp, integrate
x = symbols("x")
print(integrate(exp(2*x)+x, (x, 0, 2)))
Fasit: \(\dfrac{e^4+3}{2}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1bIntegrasjon

Ubestemt integral med logaritme

Oppgave:

Bestem integralet

\[ \int \dfrac{\left(\ln x\right)^2}{x}\,dx. \]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Se etter kjerneregelen baklengs

Uttrykket inneholder \(\ln x\), og den deriverte er \(\dfrac{1}{x}\). Det passer med substitusjon.

Steg 2 — Sett substitusjon

La

\[ u=\ln x. \]

Da er

\[ du=\dfrac{1}{x}\,dx. \]

Steg 3 — Skriv integralet med \(u\)

Da blir integralet

\[ \int u^2\,du. \]

Steg 4 — Integrer

Potensregelen gir

\[ \int u^2\,du=\dfrac{u^3}{3}+C. \]

Steg 5 — Sett tilbake \(u=\ln x\)

Dermed får vi

\[ \dfrac{\left(\ln x\right)^3}{3}+C. \]

Tolkning

Faktoren \(\dfrac{1}{x}\) viser at integralet er laget for substitusjonen \(u=\ln x\).

Vanlig feil: Å integrere \(\left(\ln x\right)^2\) som om \(\ln x\) var en vanlig potens av \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Integral((ln(x))^2/x)
→ \(\dfrac{\left(\ln x\right)^3}{3}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, log, integrate
x = symbols("x", positive=True)
print(integrate(log(x)**2/x, x))
Fasit: \(\dfrac{\left(\ln x\right)^3}{3}+C\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2aDerivasjon og integrasjon

Bestemme funksjon fra derivert

Oppgave:

Du får vite at funksjonen \(f\) er definert for \(x>0\), at \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{x^2}\), og at grafen til \(f\) går gjennom punktet \((2,2)\). Bestem \(f(x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Skriv den deriverte som potens

Vi skriver

\[ f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{x^2}=2x^{-2}. \]

Steg 2 — Integrer

En antiderivert er

\[ f(x)=\int 2x^{-2}\,dx=-2x^{-1}+C. \]

Steg 3 — Skriv som brøk

Det gir

\[ f(x)=-\dfrac{2}{x}+C. \]

Steg 4 — Bruk punktet \((2,2)\)

Vi setter inn \(x=2\) og \(f(2)=2\):

\[ 2=-\dfrac{2}{2}+C=-1+C. \]

Steg 5 — Finn konstanten

Likningen gir

\[ C=3. \]

Tolkning

Punktet på grafen bestemmer integrasjonskonstanten entydig.

Vanlig feil: Å glemme konstanten \(C\) etter integrasjon.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs(2=-2/2+C,C)
→ \(C=3\)
2
f(x):=3-2/x
→ \(f(x)=3-\dfrac{2}{x}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve
x, C = symbols("x C")
print(solve(-2/2 + C - 2, C))
Fasit: \(f(x)=3-\dfrac{2}{x}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2bIntegrasjon

Areal mellom grafer

Oppgave:

Funksjonene \(g\) og \(h\) er gitt ved \(g(x)=x\) og \(h(x)=-\dfrac{3}{x}+4\) for \(x>0\). Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til \(g\) og \(h\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Finn skjæringspunktene

Vi løser

\[ x=-\dfrac{3}{x}+4. \]

Siden \(x>0\), kan vi multiplisere med \(x\).

Steg 2 — Løs likningen

Vi får

\[ x^2= -3+4x \quad\Rightarrow\quad x^2-4x+3=0. \]

Dermed er \(x=1\) eller \(x=3\).

Steg 3 — Finn øverste graf

For \(x=2\) er \(h(2)=2{,}5\) og \(g(2)=2\). Derfor ligger \(h\) øverst på intervallet.

Steg 4 — Sett opp arealet

Arealet er

\[ A=\int_{1}^{3}\left(h(x)-g(x)\right)\,dx=\int_{1}^{3}\left(-\dfrac{3}{x}+4-x\right)\,dx. \]

Steg 5 — Integrer

En antiderivert er

\[ -3\ln x+4x-\dfrac{x^2}{2}. \]

Steg 6 — Sett inn grensene

Da får vi

\[ A=\left[-3\ln x+4x-\dfrac{x^2}{2}\right]_{1}^{3}=4-3\ln 3\approx 0{,}704. \]

Tolkning

Arealet er positivt, og den numeriske verdien er rimelig fordi området er smalt.

Vanlig feil: Å integrere \(g-h\) i stedet for \(h-g\), eller å glemme at \(x>0\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs(x=-3/x+4)
→ \(x=1 \lor x=3\)
2
Integral(-3/x+4-x,1,3)
→ \(4-3\ln 3\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, integrate, log, solve
x = symbols("x", positive=True)
print(solve(x + 3/x - 4, x))
print(integrate(-3/x + 4 - x, (x, 1, 3)))
Fasit: \(A=4-3\ln 3\approx 0{,}704\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3aFølger og rekker

Aritmetisk rekke

Oppgave:

Selma bygger et tårn av kvadratiske treplater. Den første platen har sidelengde \(5\) m. Hver ny sidelengde er \(0{,}1\) m kortere enn platen under. Sett opp en aritmetisk rekke for summen av sidelengdene, og finn maksimalt antall plater.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Identifiser følgen

Sidelengdene er

\[ 5,\ 4{,}9,\ 4{,}8,\ldots \]

Dette er en aritmetisk følge med \(a_1=5\) og \(d=-0{,}1\).

Steg 2 — Skriv leddformelen

For en aritmetisk følge er

\[ a_n=a_1+(n-1)d=5-0{,}1(n-1). \]

Steg 3 — Sett opp rekken

Summen av sidelengdene kan skrives

\[ S_n=5+4{,}9+4{,}8+\cdots+\left(5-0{,}1(n-1)\right). \]

Steg 4 — Finn kravet for positiv sidelengde

Vi må ha

\[ 5-0{,}1(n-1)>0. \]

Steg 5 — Løs ulikheten

Ulikheten gir

\[ 5>0{,}1(n-1) \quad\Rightarrow\quad 50>n-1 \quad\Rightarrow\quad n<51. \]

Steg 6 — Finn største heltall

Største mulige heltall er derfor \(n=50\). Da er siste sidelengde \(0{,}1\) m.

Tolkning

Tårnet kan ikke ha en plate med sidelengde \(0\) m, derfor stopper vi ved 50 plater.

Vanlig feil: Å ta med en 51. plate med sidelengde \(0\) m.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs(5-0.1(n-1)>0,n)
→ \(n<51\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
n = symbols("n", real=True)
print(solve_univariate_inequality(5 - 0.1*(n-1) > 0, n))
Fasit: \(S_n=5+4{,}9+4{,}8+\cdots+\left(5-0{,}1(n-1)\right)\), maksimalt \(50\) plater (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3bFølger og rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

Vilfred starter med en kvadratisk treplate med areal \(19\,\text{m}^2\). Hver ny sidelengde er \(10\,\%\) kortere enn sidelengden under. Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Finn faktor for sidelengde

Når sidelengden blir \(10\,\%\) kortere, blir ny sidelengde \(0{,}9\) ganger den forrige.

Steg 2 — Finn faktor for areal

Arealet skaleres med kvadratet av sidelengdefaktoren:

\[ 0{,}9^2=0{,}81. \]

Steg 3 — Skriv arealrekken

Arealene danner den geometriske rekken

\[ 19+19\cdot 0{,}81+19\cdot 0{,}81^2+\cdots. \]

Steg 4 — Sjekk konvergens

Siden \(|0{,}81|<1\), har den uendelige geometriske rekken en endelig sum.

Steg 5 — Bruk sumformelen

For en uendelig geometrisk rekke er

\[ S=\dfrac{a_1}{1-k}. \]

Her er \(a_1=19\) og \(k=0{,}81\).

Steg 6 — Regn ut summen

Dermed får vi

\[ S=\dfrac{19}{1-0{,}81}=\dfrac{19}{0{,}19}=100. \]

Tolkning

Samlet areal kan nærme seg \(100\,\text{m}^2\), men ikke bli større enn dette i modellen.

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}9\) som arealkvotient. Areal må bruke \(0{,}9^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
19/(1-0.81)
→ \(100\)

Kontroll (Python)

Python

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(19,1)
k = Fraction(81,100)
print(a1/(1-k))
Fasit: \(100\,\text{m}^2\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4aSannsynlighet

Binomisk fordeling

Oppgave:

Silas skal ta bussen \(20\) ganger. Sannsynligheten for billettkontroll på en busstur er \(5\,\%\). La \(X\) være antall kontroller. Bestem \(E(X)\) og \(\operatorname{Var}(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Velg modell

Antall kontroller kan modelleres binomisk:

\[ X\sim \operatorname{Bin}(20,0{,}05). \]

Steg 2 — Forventningsverdi

For binomisk fordeling er

\[ E(X)=np. \]

Steg 3 — Sett inn

Dermed får vi

\[ E(X)=20\cdot 0{,}05=1. \]

Steg 4 — Varians

For binomisk fordeling er

\[ \operatorname{Var}(X)=np(1-p). \]

Steg 5 — Regn ut variansen

Dermed får vi

\[ \operatorname{Var}(X)=20\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95=0{,}95. \]

Tolkning

I gjennomsnitt forventes én kontroll på 20 bussturer.

Vanlig feil: Å bruke \(p=5\) i stedet for \(p=0{,}05\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
20*0.05
→ \(1\)
2
20*0.05*0.95
→ \(0{,}95\)

Kontroll (Python)

Python

n = 20
p = 0.05
print(n*p, n*p*(1-p))
Fasit: \(E(X)=1\) og \(\operatorname{Var}(X)=0{,}95\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4bSannsynlighet og økonomi

Forventet kostnad

Oppgave:

Hver busstur koster \(65\) kr, og Silas får bot på \(1470\) kr dersom han blir tatt i kontroll. Vis at det sannsynligvis vil lønne seg å kjøpe billetter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Kostnad ved billetter

Kjøper han billett hver gang, betaler han

\[ 20\cdot 65=1300 \text{ kr}. \]

Steg 2 — Forventet antall kontroller

Fra del a er forventet antall kontroller

\[ E(X)=1. \]

Steg 3 — Forventet bot uten billetter

Hvis han ikke kjøper billetter, blir forventet bot

\[ 1470\cdot E(X)=1470\cdot 1=1470 \text{ kr}. \]

Steg 4 — Sammenlign

Vi sammenligner

\[ 1300<1470. \]

Steg 5 — Konklusjon

Den forventede kostnaden er lavere ved å kjøpe billetter.

Tolkning

«Sannsynligvis lønne seg» betyr her at forventet kostnad er lavere.

Vanlig feil: Å sammenligne boten \(1470\) med én billett \(65\), i stedet for med forventet samlet kostnad.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
20*65
→ \(1300\)
2
1470*1
→ \(1470\)

Kontroll (Python)

Python

ticket = 20*65
expected_fine = 1470*1
print(ticket, expected_fine, ticket < expected_fine)
Fasit: Det lønner seg i forventning å kjøpe billetter, siden \(1300<1470\). (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5aNormalfordeling

Normalfordeling

Oppgave:

Vannmengden i flaskene er normalfordelt med forventningsverdi \(1{,}50\) L og standardavvik \(0{,}01\) L. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske inneholder \(1{,}48\) L eller mindre.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Definer variabelen

La \(Y\) være vannmengden i én flaske. Da er

\[ Y\sim N(1{,}50,0{,}01). \]

Steg 2 — Standardiser

Vi regner

\[ z=\dfrac{1{,}48-1{,}50}{0{,}01}=-2. \]

Steg 3 — Bruk standard normalfordeling

Da er

\[ P(Y\le 1{,}48)=P(Z\le -2). \]

Steg 4 — Les av eller beregn

Fra tabell eller CAS får vi

\[ P(Z\le -2)\approx 0{,}0228. \]

Steg 5 — Skriv som prosent

Dette er omtrent \(2{,}28\,\%\).

Tolkning

En flaske med \(1{,}48\) L eller mindre er uvanlig, men ikke ekstremt sjelden.

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}01^2\) som standardavvik i standardiseringen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Normal(1.50,0.01,1.48)
→ \(0{,}0228\)

Kontroll (Python)

Python

from statistics import NormalDist
N = NormalDist(mu=1.50, sigma=0.01)
print(N.cdf(1.48))
Fasit: \(P(Y\le 1{,}48)\approx 0{,}0228\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5bStatistikk

Vurdering av argument

Oppgave:

Forklar hvorfor Henrik ikke kan bruke én flaske med lite vann som argument for at påstanden hans er riktig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Én observasjon er ikke nok

En enkelt lav verdi kan oppstå selv om produsentens oppgitte forventningsverdi er riktig.

Steg 2 — Bruk sannsynligheten fra del a

For én flaske er sannsynligheten for \(1{,}48\) L eller mindre omtrent \(0{,}0228\).

Steg 3 — Henrik har 24 flasker

Når han undersøker \(24\) flasker, øker sannsynligheten for at minst én flaske er lav.

Steg 4 — Regn minst én lav flaske

Sannsynligheten er

\[ 1-\left(1-0{,}0228\right)^{24}\approx 0{,}425. \]

Steg 5 — Vurder resultatet

Omtrent \(42{,}5\,\%\) er ikke sjeldent nok til å være et sterkt argument alene.

Tolkning

Henrik bør se på gjennomsnittet av alle flaskene, ikke bare minimumsverdien.

Vanlig feil: Å behandle den laveste av 24 flasker som om den var én tilfeldig flaske uten utvalgseffekt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
1-(1-0.0228)^24
→ \(0{,}425\)

Kontroll (Python)

Python

p = 0.0228
print(1 - (1-p)**24)
Fasit: Én flaske med \(1{,}48\) L er ikke tilstrekkelig dokumentasjon; sannsynligheten for minst én slik flaske i 24 er omtrent \(0{,}425\). (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5cStatistikk

Hypotesetest

Oppgave:

Formuler Henriks påstand som en hypotesetest.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Definer parameteren

La \(\mu\) være forventet vannmengde i flasker fra produsenten.

Steg 2 — Nullhypotese

Produsentens opplysning brukes som nullhypotese:

\[ H_0:\ \mu=1{,}50. \]

Steg 3 — Alternativ hypotese

Henrik påstår at flaskene inneholder mindre, derfor er testen venstresidig:

\[ H_1:\ \mu<1{,}50. \]

Steg 4 — Velg testtype

Siden standardavviket er oppgitt som \(0{,}01\), kan man bruke en \(z\)-test for gjennomsnittet.

Steg 5 — Presiser datagrunnlaget

Utvalget består av \(n=24\) flasker.

Tolkning

Hypotesetesten undersøker om gjennomsnittlig vannmengde er lavere enn produsenten oppgir.

Vanlig feil: Å formulere alternativet som \(\mu\ne 1{,}50\) når påstanden er ensidig lavere.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
H_0: mu=1.50, H_1: mu<1.50
→ Venstresidig test

Kontroll (Python)

Python

mu0 = 1.50
claim = "less"
H0 = f"mu = {mu0:.2f}"
H1 = f"mu < {mu0:.2f}" if claim == "less" else None
print("H0:", H0)
print("H1:", H1)
print("Testtype: venstresidig")
Fasit: \(H_0:\mu=1{,}50\), \(H_1:\mu<1{,}50\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5dStatistikk

Testobservator

Oppgave:

Forklar hvordan Henrik kan gjennomføre en hypotesetest ved å se på gjennomsnittet av vannmengden i flaskene. Forklaringen må inkludere relevante formler.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Regn ut utvalgsgjennomsnittet

Henrik må først beregne

\[ \overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_{24}}{24}. \]

Steg 2 — Standardfeil

Standardfeilen til gjennomsnittet er

\[ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}01}{\sqrt{24}}. \]

Steg 3 — Testobservator

Under \(H_0\) kan han bruke

\[ z=\dfrac{\overline{x}-1{,}50}{0{,}01/\sqrt{24}}. \]

Steg 4 — P-verdi

Siden testen er venstresidig, er p-verdien

\[ P(Z\le z). \]

Steg 5 — Beslutningsregel

På \(5\,\%\)-nivå forkaster han \(H_0\) dersom

\[ z<-1{,}645. \]

Steg 6 — Praktisk konklusjon

Hvis p-verdien er liten nok, har Henrik statistisk grunnlag for å si at gjennomsnittlig vannmengde er lavere enn \(1{,}50\) L.

Tolkning

Gjennomsnittet bruker informasjon fra alle 24 flaskene og er derfor bedre enn minimumsverdien.

Vanlig feil: Å teste bare den minste flasken i stedet for utvalgsgjennomsnittet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
z=(mean-1.50)/(0.01/sqrt(24))
→ Testobservator

Kontroll (Python)

Python

from math import sqrt
def z_test(mean):
    return (mean - 1.50)/(0.01/sqrt(24))
print(z_test(1.496))
Fasit: Bruk \(z=\dfrac{\overline{x}-1{,}50}{0{,}01/\sqrt{24}}\) og venstresidig p-verdi \(P(Z\le z)\). (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6aDerivasjon og økonomi

Størst overskudd fra graf

Oppgave:

Figuren viser kostnads- og inntektsfunksjoner for to varer. Hvilken vare vil kunne gi størst overskudd, og hvor mange enheter må produseres og selges for å få størst mulig overskudd?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Definer overskudd

Overskudd er inntekt minus kostnad:

\[ O(x)=I(x)-K(x). \]

Grafisk er dette den loddrette avstanden mellom inntektsgrafen og kostnadsgrafen.

Steg 2 — Les av vare 1

For vare 1 er størst loddrett avstand omtrent ved \(x=80\). Avstanden er rundt \(400\) kr.

Steg 3 — Les av vare 2

For vare 2 er størst loddrett avstand omtrent ved \(x=50\). Avstanden er rundt \(900\) kr.

Steg 4 — Sammenlign avstandene

Siden \(900>400\), kan vare 2 gi størst overskudd.

Steg 5 — Finn produksjonsmengden

Produksjonsmengden som gir størst overskudd for vare 2, er derfor omtrent

\[ x=50. \]

Tolkning

Bedriften bør velge varen der inntektsgrafen ligger mest over kostnadsgrafen.

Vanlig feil: Å velge høyest inntekt i stedet for størst forskjell mellom inntekt og kostnad.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
O_2(x):=120x-(x^2+20x+1600)
→ \(-x^2+100x-1600\)
2
Ekstremalpunkt(O_2)
→ \(x=50\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x=symbols("x")
O2=120*x-(x**2+20*x+1600)
print(solve(diff(O2,x), x), O2.subs(x,50))
Fasit: Vare 2, ved omtrent \(50\) enheter. (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6bØkonomi

Prisforskjell fra inntektsgraf

Oppgave:

Bestem prisforskjellen mellom vare 1 og vare 2.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Tolk stigningstallet

Når inntektsfunksjonen er lineær, er stigningstallet prisen per enhet.

Steg 2 — Les av vare 1

Grafen til \(I_1\) går gjennom omtrent \((60,12000)\). Derfor er prisen

\[ \dfrac{12000}{60}=200 \text{ kr}. \]

Steg 3 — Les av vare 2

Grafen til \(I_2\) går gjennom omtrent \((80,9600)\). Derfor er prisen

\[ \dfrac{9600}{80}=120 \text{ kr}. \]

Steg 4 — Finn forskjellen

Prisforskjellen er

\[ 200-120=80 \text{ kr}. \]

Steg 5 — Kontroller mot grafen

Grafen for vare 1 er brattere enn grafen for vare 2, og derfor er prisen for vare 1 høyere.

Tolkning

Vare 1 koster omtrent \(80\) kr mer per enhet enn vare 2.

Vanlig feil: Å lese av en tilfeldig \(y\)-verdi i stedet for stigningstallet til inntektslinjen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
12000/60-9600/80
→ \(80\)

Kontroll (Python)

Python

print(12000/60 - 9600/80)
Fasit: \(80\) kr (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6cDerivasjon og økonomi

Lavest enhetskostnad

Oppgave:

Forklar hvordan figuren kan brukes til å bestemme lavest mulig enhetskostnad for vare 2, og bestem denne enhetskostnaden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Definer enhetskostnad

Enhetskostnaden er

\[ \dfrac{K_2(x)}{x}. \]

Steg 2 — Tolk grafisk

Grafisk er \(\dfrac{K_2(x)}{x}\) stigningstallet til linjen fra origo til punktet \((x,K_2(x))\).

Steg 3 — Finn lavest stigningstall

Lavest mulig enhetskostnad fås når linjen fra origo akkurat tangerer kostnadsgrafen.

Steg 4 — Les tangentlinjen

I figuren er linjen

\[ y=100x \]

tangent til \(K_2\) ved omtrent \(x=40\).

Steg 5 — Les enhetskostnaden

Stigningstallet er \(100\), så lavest mulig enhetskostnad er

\[ 100 \text{ kr per enhet}. \]

Tolkning

Ved omtrent \(40\) enheter er kostnaden per produsert enhet lavest.

Vanlig feil: Å bruke minimumspunktet til \(K_2\), ikke minimumspunktet til \(K_2(x)/x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Tangent(K_2,40)
→ \(y=100x\)
2
K_2(40)/40
→ \(100\)

Kontroll (Python)

Python

x=40
K2=x**2+20*x+1600
print(K2/x)
Fasit: \(100\) kr per enhet (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6dDerivasjon og økonomi

Bestemme funksjonsuttrykk fra tangenter

Oppgave:

Bruk figuren til å finne funksjonsuttrykkene \(K_2(x)\) og \(I_2(x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Skriv generell kostnadsfunksjon

Kostnadsfunksjonen er andregradsfunksjon:

\[ K_2(x)=ax^2+bx+c. \]

Steg 2 — Bruk tangenten ved \(x=0\)

Tangenten \(y=20x+1600\) gir \(K_2(0)=1600\) og \(K_2^{\prime}(0)=20\). Dermed er \(c=1600\) og \(b=20\).

Steg 3 — Bruk tangenten ved \(x=40\)

Tangenten \(y=100x\) har stigningstall \(100\), så

\[ K_2^{\prime}(40)=100. \]

Steg 4 — Finn \(a\)

Siden \(K_2^{\prime}(x)=2ax+20\), får vi

\[ 2a\cdot 40+20=100 \quad\Rightarrow\quad a=1. \]

Steg 5 — Skriv \(K_2\)

Dermed er

\[ K_2(x)=x^2+20x+1600. \]

Steg 6 — Finn inntektsfunksjonen

Inntektslinjen går gjennom origo og har pris \(120\) kr per enhet. Derfor er

\[ I_2(x)=120x. \]

Tolkning

Kostnaden har fastledd \(1600\), mens inntekten er proporsjonal med antall solgte enheter.

Vanlig feil: Å tolke tangentlinjen \(y=100x\) som kostnadsfunksjonen i stedet for en tangent til kostnadsfunksjonen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs({c=1600,b=20,2*a*40+20=100},{a,b,c})
→ \(a=1, b=20, c=1600\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve
a,b,c=symbols("a b c")
print(solve([c-1600,b-20,2*a*40+b-100],[a,b,c]))
Fasit: \(K_2(x)=x^2+20x+1600\) og \(I_2(x)=120x\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 7aProgrammering og normalfordeling

Forklare simulering

Oppgave:

Øystein har skrevet programkode der \(A\) trekkes fra \(N(80,20)\), \(B\) trekkes fra \(N(70,30)\), og programmet teller hvilken av \(A\) og \(B\) som vinner når minst én av verdiene er over grensen \(110\). Forklar kort hva programkoden gjør.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Simuleringer

Programmet kjører \(100\) simuleringer, fordi \(\text{SIMULERINGER}=100\).

Steg 2 — Trekker to normalfordelte verdier

I hver simulering trekkes \(A\sim N(80,20)\) og \(B\sim N(70,30)\).

Steg 3 — Bruker en grense

Programmet undersøker bare en simulering videre dersom \(A>110\) eller \(B>110\).

Steg 4 — Sammenligner verdiene

Hvis minst én verdi er over grensen, sammenligner programmet \(A\) og \(B\).

Steg 5 — Teller vinner

Hvis \(A>B\), økes \(A\_vinner\). Ellers økes \(B\_vinner\).

Steg 6 — Skriver resultat

Til slutt skriver programmet ut om \(A\), \(B\) eller ingen av dem har flest seire.

Tolkning

Programmet estimerer med simulering hvilken fordeling som oftest gir størst verdi i de tilfellene minst én verdi er over \(110\).

Vanlig feil: Å tro at alle 100 simuleringer alltid teller som en seier. Simuleringer der både \(A\le 110\) og \(B\le 110\), telles ikke.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
P(A>110)
→ \(P(Z>1{,}5)\)
2
P(B>110)
→ \(P(Z>1{,}33)\)

Kontroll (Python)

Python

from numpy.random import normal
SIMULERINGER = 100
GRENSE = 110
# A = normal(80, 20), B = normal(70, 30)
Fasit: Programmet simulerer 100 trekninger og teller om \(A\) eller \(B\) oftest er størst når minst én verdi er over \(110\). (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 7bProgrammering og sannsynlighet

Endre antall simuleringer

Oppgave:

Forklar hvordan Øystein kan endre verdien i variabelen \(\text{SIMULERINGER}\) for å øke sannsynligheten for at programmet skriver ut «B vinner».

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Forstå tilfeldig variasjon

Med bare \(100\) simuleringer kan resultatet variere mye fra kjøring til kjøring.

Steg 2 — Bruk opplysningen i oppgaven

Oppgaven sier at det er størst sannsynlighet for at programmet skriver ut «B vinner».

Steg 3 — Øk antall simuleringer

Øystein bør derfor øke \(\text{SIMULERINGER}\), for eksempel fra \(100\) til \(10000\).

Steg 4 — Begrunn med store talls lov

Når antall simuleringer øker, vil de relative frekvensene nærme seg de teoretiske sannsynlighetene.

Steg 5 — Konsekvens

Siden \(B\) har størst teoretisk vinnersannsynlighet, blir det mer sannsynlig at programmet faktisk skriver «B vinner».

Tolkning

Flere simuleringer gjør ikke \(B\) sterkere i én trekning, men gjør simuleringen mer stabil.

Vanlig feil: Å tro at færre simuleringer gir større sannsynlighet. Færre simuleringer gir bare mer tilfeldig støy.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
SIMULERINGER := 10000
→ Mer stabil simulering

Kontroll (Python)

Python

SIMULERINGER = 10000
print(SIMULERINGER)
Fasit: Øk \(\text{SIMULERINGER}\). (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 7cNormalfordeling

Endre grense

Oppgave:

Forklar hvordan Øystein kan endre verdien i variabelen \(\text{GRENSE}\) for å øke sannsynligheten for at programmet skriver ut «B vinner».

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Sammenlign fordelingene

Fordeling \(B\) har lavere forventningsverdi, men større standardavvik enn \(A\).

Steg 2 — Se på høye verdier

For høye grenser får fordelingen med størst spredning relativt større hale.

Steg 3 — Bruk grensen

Når \(\text{GRENSE}\) økes, teller programmet i større grad ekstreme høye verdier.

Steg 4 — Effekt for \(B\)

Siden \(B\) har standardavvik \(30\), mens \(A\) har standardavvik \(20\), får \(B\) en fordel langt ute i høyre hale.

Steg 5 — Konklusjon

Øystein kan øke \(\text{GRENSE}\) for å øke sannsynligheten for at «B vinner» skrives ut.

Tolkning

Høyere grense velger ut mer ekstreme observasjoner, og da blir stor spredning viktigere.

Vanlig feil: Å senke grensen fordi \(B\) har lavere forventningsverdi. Det vil ofte gjøre \(A\) mer konkurransedyktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
P(Normal(70,30)>g)/P(Normal(80,20)>g)
→ Øker for store \(g\)

Kontroll (Python)

Python

from statistics import NormalDist
A=NormalDist(80,20); B=NormalDist(70,30)
for g in [110, 130, 150]:
    print(g, 1-B.cdf(g), 1-A.cdf(g))
Fasit: Øk \(\text{GRENSE}\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 1aDerivasjon og modeller

Vekstfart i eksponentialmodell

Oppgave:

Antall millioner bakterier i den første bakteriekulturen er gitt ved \(f(t)=2{,}2\cdot e^{0{,}1t+0{,}4}\). Bestem \(f^{\prime}(8)\) og løs likningen \(f^{\prime}(t)=8\). Gi praktisk tolkning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Deriver modellen

Kjerneregelen gir

\[ f^{\prime}(t)=2{,}2\cdot 0{,}1\cdot e^{0{,}1t+0{,}4}=0{,}22e^{0{,}1t+0{,}4}. \]

Steg 2 — Regn \(f^{\prime}(8)\)

Vi setter inn \(t=8\):

\[ f^{\prime}(8)=0{,}22e^{1{,}2}\approx 0{,}730. \]

Steg 3 — Sett opp likningen

Likningen \(f^{\prime}(t)=8\) blir

\[ 0{,}22e^{0{,}1t+0{,}4}=8. \]

Steg 4 — Isoler eksponentialuttrykket

Da får vi

\[ e^{0{,}1t+0{,}4}=\dfrac{8}{0{,}22}. \]

Steg 5 — Ta naturlig logaritme

Dermed er

\[ 0{,}1t+0{,}4=\ln\left(\dfrac{8}{0{,}22}\right). \]

Steg 6 — Løs for \(t\)

Vi får

\[ t=10\left(\ln\left(\dfrac{8}{0{,}22}\right)-0{,}4\right)\approx 31{,}94. \]

Tolkning

Etter 8 dager vokser kulturen med omtrent \(0{,}730\) millioner bakterier per dag. Vekstfarten blir \(8\) millioner per dag etter omtrent \(31{,}9\) dager.

Vanlig feil: Å tolke \(f(8)\) som vekstfart. Vekstfarten er \(f^{\prime}(8)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
f(t):=2.2*exp(0.1t+0.4)
→
2
f'(8)
→ \(0{,}730\)
3
Løs(f'(t)=8,t)
→ \(t\approx 31{,}94\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, solve, N
t=symbols("t")
f=2.2*exp(0.1*t+0.4)
fp=diff(f,t)
print(N(fp.subs(t,8)))
print(N(solve(fp-8,t)[0]))
Fasit: \(f^{\prime}(8)\approx 0{,}730\), og \(t\approx 31{,}94\) dager (bekreftet digitalt).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1bDerivasjon og modeller

Like vekstfarter

Oppgave:

Den andre bakteriekulturen er gitt ved \(g(t)=1{,}2\cdot e^{0{,}2t-0{,}2}\). Når er veksten i de to bakteriekulturene like stor? Hvor stor er denne veksten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Deriver \(g\)

Vi har

\[ g^{\prime}(t)=1{,}2\cdot 0{,}2e^{0{,}2t-0{,}2}=0{,}24e^{0{,}2t-0{,}2}. \]

Steg 2 — Sett vekstfartene like

Vi løser

\[ 0{,}22e^{0{,}1t+0{,}4}=0{,}24e^{0{,}2t-0{,}2}. \]

Steg 3 — Ta logaritme

Logaritmering gir

\[ \ln(0{,}22)+0{,}1t+0{,}4=\ln(0{,}24)+0{,}2t-0{,}2. \]

Steg 4 — Samle \(t\)-ledd

Dermed får vi

\[ 0{,}1t=\ln\left(\dfrac{0{,}22}{0{,}24}\right)+0{,}6. \]

Steg 5 — Regn ut tidspunktet

Dette gir

\[ t\approx 5{,}13. \]

Steg 6 — Finn vekstfarten

Vi setter inn i en av de deriverte:

\[ f^{\prime}(5{,}13)\approx 0{,}548. \]

Tolkning

Etter omtrent \(5{,}13\) dager vokser begge kulturene med omtrent \(0{,}548\) millioner bakterier per dag.

Vanlig feil: Å sette \(f(t)=g(t)\) i stedet for \(f^{\prime}(t)=g^{\prime}(t)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs(0.22 exp(0.1t+0.4)=0.24 exp(0.2t-0.2),t)
→ \(t\approx 5{,}13\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, exp, solve, N
t=symbols("t")
fp=0.22*exp(0.1*t+0.4)
gp=0.24*exp(0.2*t-0.2)
sol=solve(fp-gp,t)[0]
print(N(sol), N(fp.subs(t,sol)))
Fasit: \(t\approx 5{,}13\) dager, vekst \(\approx 0{,}548\) millioner bakterier per dag (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2aFinansmatematikk

BSU som geometrisk rekke

Oppgave:

Kasper setter inn \(27\,500\) kr 1. januar hvert år fra og med 2021 til og med 2025. Rentesatsen er \(5{,}40\,\%\). Bruk en geometrisk rekke til å finne beløpet på BSU-kontoen 31.12.2025.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Rentefaktor

Rentefaktoren er

\[ 1+0{,}054=1{,}054. \]

Steg 2 — Finn antall renteår

Innskuddet fra 2021 forrentes i 5 år, mens innskuddet fra 2025 forrentes i 1 år.

Steg 3 — Sett opp rekken

Beløpet blir

\[ 27500\left(1{,}054^5+1{,}054^4+1{,}054^3+1{,}054^2+1{,}054\right). \]

Steg 4 — Skriv som geometrisk sum

Dette kan skrives

\[ 27500\cdot 1{,}054\cdot \dfrac{1{,}054^5-1}{1{,}054-1}. \]

Steg 5 — Regn ut

Utregningen gir

\[ 161445{,}17. \]

Steg 6 — Rund av

Kasper har omtrent \(161\,445\) kr på kontoen.

Tolkning

Hvert innskudd får ulik renteperiode fordi alle innskudd skjer 1. januar.

Vanlig feil: Å la innskuddet fra 2025 få null renteår eller la alle innskudd få like mange renteår.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
27500*Sum(1.054^i,i,1,5)
→ \(161445{,}17\)

Kontroll (Python)

Python

r=1.054
amount=27500*sum(r**i for i in range(1,6))
print(round(amount,2))
Fasit: Omtrent \(161\,445\) kr (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2bFinansmatematikk

Annuitetslån

Oppgave:

Kasper låner \(2\,600\,000\) kr som huslån over 30 år med \(5\,\%\) rente, og \(150\,000\) kr som forbrukslån over 10 år. Begge er annuitetslån med årlige betalinger. Samlet terminbeløp er \(200\,000\) kr. Hvor høy er rentesatsen på forbrukslånet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Annuitetsformel

For et annuitetslån er terminbeløpet

\[ T=K\cdot \dfrac{r}{1-\left(1+r\right)^{-n}}. \]

Steg 2 — Finn terminbeløpet for huslånet

For huslånet er \(K=2\,600\,000\), \(r=0{,}05\), \(n=30\). Da får vi

\[ T_h\approx 169133{,}73. \]

Steg 3 — Finn terminbeløpet for forbrukslånet

Samlet terminbeløp er \(200\,000\), så

\[ T_f=200000-169133{,}73\approx 30866{,}27. \]

Steg 4 — Sett opp likning for forbrukslånet

Vi løser

\[ 150000\cdot \dfrac{r}{1-\left(1+r\right)^{-10}}=30866{,}27. \]

Steg 5 — Løs digitalt

CAS gir

\[ r\approx 0{,}15854. \]

Steg 6 — Skriv som prosent

Rentesatsen er omtrent \(15{,}9\,\%\).

Tolkning

Forbrukslånet har betydelig høyere rente enn huslånet.

Vanlig feil: Å bruke månedlige terminer når oppgaven sier at terminbeløpene betales årlig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
2600000*0.05/(1-(1.05)^(-30))
→ \(169133{,}73\)
2
Løs(150000*r/(1-(1+r)^(-10))=30866.27,r)
→ \(r\approx 0{,}1585\)

Kontroll (Python)

Python

import mpmath as mp
T_house=2600000*0.05/(1-1.05**(-30))
T_consumer=200000-T_house
f=lambda r:150000*r/(1-(1+r)**(-10))-T_consumer
print(T_house, T_consumer, mp.findroot(f, 0.16))
Fasit: Omtrent \(15{,}9\,\%\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3aDerivasjon og økonomi

Maksimal inntekt

Oppgave:

Etterspørselen per uke er \(E(p)=2700-p^2\), der \(p\in[10,45]\) er prisen i kroner per enhet. Bestem et uttrykk for inntekten \(I(p)\), og finn prisen som gir høyest inntekt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Inntekt er pris ganger antall

Inntekten er

\[ I(p)=p\cdot E(p). \]

Steg 2 — Sett inn etterspørselen

Dermed får vi

\[ I(p)=p\left(2700-p^2\right). \]

Steg 3 — Utvid uttrykket

Dette gir

\[ I(p)=2700p-p^3. \]

Steg 4 — Deriver

Vi finner

\[ I^{\prime}(p)=2700-3p^2. \]

Steg 5 — Finn kritisk punkt

Likningen \(I^{\prime}(p)=0\) gir

\[ 2700-3p^2=0 \quad\Rightarrow\quad p^2=900 \quad\Rightarrow\quad p=30. \]

Steg 6 — Kontroller intervallet

Prisen \(30\) ligger i intervallet \([10,45]\), og \(I^{\prime}\) skifter fra positiv til negativ.

Tolkning

Høyest inntekt oppnås når prisen er \(30\) kr per enhet.

Vanlig feil: Å maksimere etterspørselen \(E(p)\) i stedet for inntekten \(p\cdot E(p)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
I(p):=p*(2700-p^2)
→ \(2700p-p^3\)
2
Ekstremalpunkt(I,10,45)
→ \(p=30\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
p=symbols("p")
I=2700*p-p**3
print(solve(diff(I,p),p))
Fasit: \(I(p)=2700p-p^3\), høyest inntekt ved \(p=30\) kr (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3bØkonomi og modellering

Maksimalt overskudd

Oppgave:

Tabellen viser ukentlige kostnader \(K\) ved å produsere \(x\) enheter. Bruk tabellen til å vise at bedriften må produsere og selge \(875\) enheter per uke for at overskuddet skal bli størst mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Finn kostnadsmodellen

Punktene i tabellen passer med andregradsmodellen

\[ K(x)=0{,}01x^2+15x+5000. \]

Steg 2 — Koble pris og antall

Fra \(x=E(p)=2700-p^2\) får vi

\[ p=\sqrt{2700-x}. \]

Steg 3 — Skriv inntekt som funksjon av \(x\)

Da er

\[ I(x)=x\sqrt{2700-x}. \]

Steg 4 — Skriv overskuddet

Overskuddet er

\[ O(x)=x\sqrt{2700-x}-\left(0{,}01x^2+15x+5000\right). \]

Steg 5 — Maksimer digitalt

CAS-løsning av \(O^{\prime}(x)=0\) i det aktuelle intervallet gir

\[ x\approx 874{,}54. \]

Steg 6 — Rund til hele enheter

Det betyr at bedriften må produsere og selge omtrent \(875\) enheter per uke.

Tolkning

Modellen viser at maksimal fortjeneste ligger ved omtrent samme antall som oppgaven ber oss vise.

Vanlig feil: Å bruke prisen \(p\) og antallet \(x\) som uavhengige variabler uten sammenhengen \(x=2700-p^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
RegPoly({(50,5775),(100,6600),(300,10400),(600,17600),(1000,30000)},2)
→ \(0{,}01x^2+15x+5000\)
2
Ekstremalpunkt(x*sqrt(2700-x)-(0.01x^2+15x+5000))
→ \(x\approx 874{,}54\)

Kontroll (Python)

Python

import sympy as sp
x=sp.symbols("x")
O=x*sp.sqrt(2700-x)-(sp.Rational(1,100)*x**2+15*x+5000)
print(sp.nsolve(sp.diff(O,x), 875))
Fasit: \(x\approx 875\) enheter per uke (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3cModellering

Trend og totalmål

Oppgave:

Bedriften registrerer salget de 8 første ukene: \(680,750,790,820,840,855,860,865\). Målet er \(45\,000\) enheter det første året. De antar at salget fortsetter å følge samme trend. Vil bedriften nå målet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Observer trenden

Salget øker, men økningen blir mindre. En avtakende vekstmodell er derfor mer rimelig enn en ren lineær modell.

Steg 2 — Velg regresjonsmodell

En modell som passer utviklingen, er

\[ S(u)=L-A\cdot r^{u-1}, \]

der \(u\) er ukenummer.

Steg 3 — Tilpass modellen digitalt

Regresjon på de 8 første ukene gir omtrent

\[ S(u)=876{,}08-195{,}54\cdot 0{,}6558^{u-1}. \]

Steg 4 — Summer 52 uker

For første år beregner vi

\[ \sum_{u=1}^{52}S(u)\approx 44988. \]

Steg 5 — Sammenlign med målet

Målet er \(45000\). Modellen gir omtrent \(44988\), altså litt under målet.

Steg 6 — Vurder usikkerhet

Forskjellen er liten, og konklusjonen er modellavhengig. Med denne avtakende trendmodellen når de ikke helt målet.

Tolkning

Bedriften ligger svært nær målet, men bør øke salget noe for å være trygg.

Vanlig feil: Å bruke lineær regresjon ukritisk, selv om økningen tydelig flater ut.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Fit({(1,680),...,(8,865)}, L-A*r^(x-1))
→ \(S(u)\approx 876{,}08-195{,}54\cdot 0{,}6558^{u-1}\)
2
Sum(S(u),u,1,52)
→ \(\approx 44988\)

Kontroll (Python)

Python

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
weeks=np.arange(1,9)
sales=np.array([680,750,790,820,840,855,860,865], dtype=float)
def model(u,L,A,r):
    return L-A*(r**(u-1))
par,_=curve_fit(model,weeks,sales,p0=[875,200,0.65],bounds=([865,0,0],[2000,1000,1]))
total=sum(model(np.arange(1,53),*par))
print(par, total)
Fasit: Med en avtakende trendmodell blir totalen omtrent \(44\,988\), altså litt under \(45\,000\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4aFølger og programmering

Rekursiv rekke og program

Oppgave:

En uendelig rekke er gitt ved den rekursive sammenhengen \(a_n=\left(a_{n-1}-1\right)^2\). Lag et program som skriver ut de 6 første leddene dersom \(a_1=5\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Startverdi

Vi starter med

\[ a_1=5. \]

Steg 2 — Rekursjonsregel

Hvert nytt ledd finnes med

\[ a_n=\left(a_{n-1}-1\right)^2. \]

Steg 3 — Regn første nye ledd

Vi får

\[ a_2=\left(5-1\right)^2=16. \]

Steg 4 — Fortsett rekursivt

Neste ledd blir

\[ a_3=\left(16-1\right)^2=225. \]

Steg 5 — La programmet gjøre resten

Verdiene vokser raskt, derfor er programmet best egnet til å skrive ut de seks første leddene.

Steg 6 — Programidé

Lagre nåværende ledd i en variabel, skriv det ut, og oppdater variabelen med rekursjonsformelen.

Tolkning

Rekken vokser svært raskt når startverdien er \(5\).

Vanlig feil: Å oppdatere \(a\) før første utskrift, slik at \(a_1\) ikke blir skrevet ut.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Sequence((a(n-1)-1)^2,a,1,6)
→ \(5,16,225,50176,2517530625,6337963728664780440576\)

Kontroll (Python)

Python

a = 5
for n in range(1, 7):
    print(n, a)
    a = (a - 1)**2
Fasit: De seks første leddene er \(5,16,225,50176,2517530625,6337963728664780440576\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4bFølger og rekker

Konvergens i rekursiv rekke

Oppgave:

Avgjør om det finnes et heltall \(a_1\) som gjør at rekken \(a_n=\left(a_{n-1}-1\right)^2\) blir konvergent.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer modellen, setter opp riktig formel, regner kontrollert og tolker svaret i konteksten.

Steg 1 — Tenk på grenseverdi

Hvis rekken konvergerer mot en grense \(L\), må grensen oppfylle

\[ L=\left(L-1\right)^2. \]

Steg 2 — Løs fikspunktlikningen

Vi får

\[ L^2-3L+1=0. \]

Steg 3 — Finn mulige grenser

Løsningene er

\[ L=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\quad \text{eller}\quad L=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}. \]

Steg 4 — Sjekk heltallsstartverdier nær små verdier

For \(a_1=0\) får vi \(0,1,0,1,\ldots\), og for \(a_1=1\) får vi \(1,0,1,0,\ldots\). Dette er ikke konvergent.

Steg 5 — Sjekk større heltall

For \(a_1=2\) får vi \(2,1,0,1,\ldots\). For \(a_1\ge 3\) vokser leddene raskt og går mot uendelig.

Steg 6 — Sjekk negative heltall

Hvis \(a_1<0\), blir \(a_2=\left(a_1-1\right)^2\ge 4\), og derfra vokser rekken mot uendelig.

Tolkning

Ingen heltallig startverdi treffer et konvergent forløp. Små heltall gir periodisk følge, og resten divergerer.

Vanlig feil: Å tro at fikspunktene gir heltallige startverdier. Fikspunktene er ikke heltall.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs(L=(L-1)^2,L)
→ \(L=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\lor L=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, solve
L=symbols("L")
print(solve(L-(L-1)**2,L))
for start in range(-3,6):
    a=start
    seq=[]
    for _ in range(6):
        seq.append(a)
        a=(a-1)**2
    print(start, seq)
Fasit: Det finnes ikke et heltall \(a_1\) som gjør rekken konvergent. (bekreftet digitalt).