Komplett løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert og løst trinnvis, med GeoGebra CAS/Python-kontroll der det passer. Designet bruker bare lilla og lavendel.
Del 1 — uten hjelpemidler
Håndregning: integrasjon, sannsynlighet, følger, økonomisk tolkning og hypotesetest.
Del 1 | Oppgave 1aIntegrasjon
Oppgave 1a
Oppgave:
Regn ut integralet \[\int_{0}^{1}(2e^x+2x^2)\,dx.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Integranden er positiv på intervallet, derfor skal integralet være positivt.
Tolkning
Integralverdien er arealet under grafen fra \(0\) til \(1\).
Vanlig feil: Å glemme å trekke fra \(F(0)=2\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra CAS
1
Integral(2*exp(x)+2*x^2,0,1)
→ \(2e-\dfrac{4}{3}\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, integrate, exp
x=symbols("x")
print(integrate(2*exp(x)+2*x**2,(x,0,1)))
Fasit: \(2e-\dfrac{4}{3}\).
Del 1 | Oppgave 1bIntegrasjon
Oppgave 1b
Oppgave:
Regn ut integralet \[\int \dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Steg 1 - Se på nevneren
La \(g(x)=x^2-x-6\).
Steg 2 - Deriver nevneren
\[g\prime(x)=2x-1\] Dette er telleren.
Steg 3 - Bruk logaritmeregelen
\[\int \dfrac{g\prime(x)}{g(x)}\,dx=\ln|g(x)|+C\]
Steg 4 - Sett inn
\[\int \dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\,dx=\ln|x^2-x-6|+C\]
Steg 5 - Kontroller
Derivasjon av svaret gir \(\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}\).
Steg 6 - Domene
Nevneren er null ved \(x=-2\) og \(x=3\), så svaret gjelder på intervaller uten disse punktene.
Tolkning
Absoluttverdien gjør logaritmeuttrykket gyldig både når nevneren er positiv og negativ.
Vanlig feil: Å droppe absoluttverdi i logaritmen.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra CAS
1
Integral((2*x-1)/(x^2-x-6),x)
→ \(\ln|x^2-x-6|\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, integrate
x=symbols("x")
print(integrate((2*x-1)/(x**2-x-6),x))
Fasit: \(\ln|x^2-x-6|+C\).
Del 1 | Oppgave 2Integrasjon og funksjon
Oppgave 2
Oppgave:
Bestem et uttrykk for \(f\) når \[f\prime(x)=-\dfrac{2}{x^3}\] og arealet av området avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x=1\) og \(x=2\), er \(\dfrac{11}{14}\). Arealet ligger over \(x\)-aksen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Da blir arealet \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{11}{14}\).
Tolkning
Konstantleddet bestemmes av arealbetingelsen.
Vanlig feil: Å glemme integrasjonskonstanten.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra CAS
1
Løs(Integral(1/x^2+C,1,2)=11/14,C)
→ \(C=\dfrac{2}{7}\)
Python-kontroll
from sympy import symbols, integrate, solve, Rational
x,C=symbols("x C")
print(solve(integrate(1/x**2+C,(x,1,2))-Rational(11,14),C))
Fasit: \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{7}\).
Del 1 | Oppgave 3aSannsynlighet
Oppgave 3a
Oppgave:
Til et brettspill hører det med en spesiell terning med 6 sider. Det er en side med en ener, en side med en toer, en side med en treer og tre sider med seksere. La \(X\) være antall øyne. Skriv av og fyll ut tabellen. Vis at \(E(X)=4\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Steg 1 - Tell sider
Verdiene er \(1,2,3,6\), med henholdsvis \(1,1,1,3\) sider.
Variansen beskriver spredningen rundt forventningsverdien \(4\).
Vanlig feil: Å sette \(E(X^2)=(E(X))^2\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra CAS
1
1^2/6+2^2/6+3^2/6+6^2*3/6-4^2
→ \(\dfrac{13}{3}\)
Python-kontroll
from fractions import Fraction
vals=[1,2,3,6]
ps=[Fraction(1,6),Fraction(1,6),Fraction(1,6),Fraction(3,6)]
EX=sum(v*p for v,p in zip(vals,ps))
EX2=sum(v*v*p for v,p in zip(vals,ps))
print(EX2-EX**2)
Fasit: \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac{13}{3}\).
Del 1 | Oppgave 4aFølger og programmering
Oppgave 4a
Oppgave:
En elev har skrevet koden:
a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
print(a)
a = a + (i + 2)
Beskriv mønsteret i tallfølgen. Hva blir resultatet når koden kjøres?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Steg 1 - Start
Første verdi er \(a=2\), så første utskrift er \(2\).
Steg 2 - Løkke
\(i\) går gjennom \(1,2,3,4,5\).
Steg 3 - Oppdatering
Etter utskrift legges \(i+2\) til \(a\).
Steg 4 - Differanser
Differansene blir \(3,4,5,6,7\).
Steg 5 - Utskrifter
Koden skriver ut \[2,\ 5,\ 9,\ 14,\ 20\]
Steg 6 - Mønster
Følgen har differanser som øker med \(1\) hver gang.
Tolkning
Dette er en følge med økende differanse, ikke en aritmetisk følge.
Vanlig feil: Å ta med \(27\), som beregnes etter siste utskrift men ikke skrives ut.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
Python-kontroll
a=2
n=5
for i in range(1,n+1):
print(a)
a=a+(i+2)
Fasit: Utskriften er \(2,5,9,14,20\).
Del 1 | Oppgave 4bFølger og sum
Oppgave 4b
Oppgave:
Eleven har også skrevet koden:
a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
S = S + a
a = a + (i + 2)
print(S)
Hva ønsker eleven å finne ut? Hva blir resultatet?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Steg 1 - Startsum
\(S=0\) betyr at summen starter tom.
Steg 2 - Summeringslinje
Linjen \(S=S+a\) legger gjeldende ledd til summen.
Steg 3 - Ledd
Fra del a er leddene \(2,5,9,14,20\).
Steg 4 - Sum
\[S=2+5+9+14+20\]
Steg 5 - Resultat
\[S=50\]
Steg 6 - Hva koden finner
Koden finner summen av de fem første leddene i følgen.
Tolkning
Programmet skriver bare ut sluttverdien, ikke alle mellomverdiene.
Vanlig feil: Å tro at \(print(S)\) står inne i løkken.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
Python-kontroll
a=2
n=5
S=0
for i in range(1,n+1):
S=S+a
a=a+(i+2)
print(S)
Fasit: Eleven finner summen, og resultatet er \(50\).
Del 1 | Oppgave 5aØkonomi og derivasjon
Oppgave 5a
Oppgave:
Figuren viser grafen til en kostnadsfunksjon \(K\). Linjen \(y=138x-9920\) tangerer grafen i \((180,14920)\). Bruk figuren til å finne enhetskostnaden og grensekostnaden når det produseres 180 enheter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Steg 1 - Enhetskostnad
\[\dfrac{K(180)}{180}=\dfrac{14920}{180}\]
Steg 2 - Regn ut
\[\dfrac{14920}{180}\approx 82{,}89\]
Steg 3 - Figurbegrunnelse
Dette samsvarer med linjen \(y=82{,}89x\), som går gjennom origo og punktet.
Steg 4 - Grensekostnad
Grensekostnaden er stigningstallet til tangenten, altså \(K\prime(180)\).
Steg 5 - Les tangent
Tangenten er \(y=138x-9920\), så stigningstallet er \(138\).
Steg 6 - Enheter
Begge svar oppgis i kroner per enhet.
Tolkning
Gjennomsnittskostnaden er lavere enn kostnaden ved å produsere én ekstra enhet.
Vanlig feil: Å blande enhetskostnad og grensekostnad.
Gitt Marens hopp er sannsynligheten ca. \(58{,}5\,\%\).
Vanlig feil: Å inkludere Marens sannsynlighet selv om hoppet er gitt.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra CAS
1
Normal(70,20,83)*Normal(75,10,83)
→ \(0{,}5849\)
Python-kontroll
from statistics import NormalDist
print(NormalDist(70,20).cdf(83)*NormalDist(75,10).cdf(83))
Fasit: \(P\approx0{,}5849\).
Del 2 | Oppgave 2cSimulering
Oppgave 2c
Oppgave:
I andre omgang gjør alle et nytt hopp. Bruk simulering og bestem sannsynligheten for at Maren hopper lengst.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Steg 1 - Simuler Birger
\(B\sim N(70,20)\).
Steg 2 - Simuler Maren
\(M\sim N(80,5)\).
Steg 3 - Simuler Espen
\(E\sim N(75,10)\).
Steg 4 - Tell
Tell hver gang \(M>B\) og \(M>E\).
Steg 5 - Andel
Med mange forsøk får vi ca. \(0{,}475\).
Steg 6 - Variasjon
Simulering vil variere litt fra kjøring til kjøring.
Tolkning
Maren vinner omtrent \(47{,}5\,\%\) av nye omganger.
Vanlig feil: Å bruke \(83\) meter fra del b i en ny omgang.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
Python-kontroll
import random
random.seed(3062)
N=200000; wins=0
for _ in range(N):
B=random.gauss(70,20); M=random.gauss(80,5); E=random.gauss(75,10)
wins += M>B and M>E
print(wins/N)
Fasit: Omtrent \(0{,}475\).
Del 2 | Oppgave 3aLogistisk modell
Oppgave 3a
Oppgave:
\[B(t)=\dfrac{1\,700\,000}{1+500e^{-0{,}07t}}\] Hvor lang tid før halvparten av byens \(2\) millioner husstander har systemet?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Nora sparer et fast beløp 1. januar hvert år fra 2026 til og med 2055. Målet er \(3\,750\,000\) kr etter rentene for 2055. Rente \(2{,}5\,\%\). Finn årlig innskudd.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Med denne renten blir nåverdien ca. \(3\,000\,000\).
Tolkning
Nora har regnet med ca. \(3{,}53\,\%\) årlig rente.
Vanlig feil: Å telle feil antall terminer.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra CAS
1
NLøs(...)
→ \(r\approx0{,}0353\)
Python-kontroll
import sympy as sp
r=sp.symbols("r")
eq=sp.Eq(3000000,150000*(1+r)*(1-(1+r)**(-33))/r)
print(sp.nsolve(eq,0.035))
Fasit: \(3{,}53\,\%\).
Del 2 | Oppgave 4cFinansmatematikk
Oppgave 4c
Oppgave:
Ekstra sparekonto: 10 årlige innskudd. Første innskudd \(10\,000\), deretter øker innskudd med \(6\,\%\) per år. Rente \(2{,}5\,\%\). Målet er \(150\,000\) ett år etter siste innskudd. Vil hun nå målet?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Steg 1 - Innskudd
Innskudd nummer \(i\) er \(10000\cdot1{,}06^i\), \(i=0,\ldots,9\).
Steg 2 - Rentetid
Første innskudd vokser i \(10\) år, siste i \(1\) år.
FV=sum(10000*(1.06)**i*(1.025)**(10-i) for i in range(10))
print(FV,150000-FV)
Fasit: Nei, hun mangler omtrent \(419\) kr.
Del 2 | Oppgave 5Uendelig rekke
Oppgave 5
Oppgave:
Bruk \(1+x+x^2+x^3+\cdots\) og sammenhengen med \(\int\dfrac{1}{1-x}\,dx\) til å vise at \[\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2^4}+\cdots=\ln2.\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, vise metode, kontrollere svaret og tolke resultatet.
Steg 1 - Geometrisk rekke
For \(|x|<1\): \[1+x+x^2+x^3+\cdots=\dfrac{1}{1-x}\]
Da får vi \[\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2^3}+\cdots\]
Steg 5 - Høyreside
\[-\ln(1-\dfrac{1}{2})=-\ln(\dfrac{1}{2})=\ln2\]
Steg 6 - Konklusjon
Rekken er derfor lik \(\ln2\).
Tolkning
Likheten kommer fra en leddvis integrert geometrisk rekke.
Vanlig feil: Å glemme minustegnet i \(\int \dfrac{1}{1-x}\,dx\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra CAS
1
Sum((1/2)^n/n,n,1,Infinity)
→ \(\ln2\)
Python-kontroll
import sympy as sp
n=sp.symbols("n", positive=True, integer=True)
print(sp.summation((sp.Rational(1,2))**n/n,(n,1,sp.oo)))
Fasit: \(\ln2\).
Teknisk kontroll: MathJax bruker \( ... \) og \[ ... \]. Python ligger i kodeblokker. GeoGebra er egne CAS-bokser. Ingen ikke-gylne designfarger er brukt.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
