Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et bestemt integral. Planen er å lage en antiderivert til \(f\), sette inn øvre og nedre grense og tolke fortegnet.

Steg 1 - Skriv integralet med funksjonsuttrykket

\[\int_{-1}^{0} f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\left(-x^3+3x\right)\,dx\]

Dette viser tydelig hva som skal integreres.

Steg 2 - Finn en antiderivert

\[F(x)=-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^2}{2}\]

Vi bruker at \(\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}\) og \(\int x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\).

Steg 3 - Bruk grensene

\[\int_{-1}^{0} f(x)\,dx=F(0)-F(-1)\]

Et bestemt integral er differansen mellom antiderivert i øvre og nedre grense.

Steg 4 - Regn ut verdiene

\[F(0)=0\]

\[F(-1)=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{4}\]

Steg 5 - Trekk fra

\[F(0)-F(-1)=0-\dfrac{5}{4}=-\dfrac{5}{4}\]

Integralverdien blir negativ fordi grafen ligger under \(x\)-aksen på intervallet \([-1,0]\).

Tolkning

Integralverdien er et orientert areal. Den negative verdien betyr at området ligger under \(x\)-aksen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, integrate
x = symbols("x")
f = -x**3 + 3*x
print(integrate(f, (x, -1, 0)))

Hva spør oppgaven om? Nå skal vi finne geometrisk areal. Da må vi ta hensyn til om grafen ligger over eller under \(x\)-aksen.

Steg 1 - Finn nullpunkt i intervallet

\[f(x)=-x^3+3x=x\left(3-x^2\right)\]

I intervallet \([-1,1]\) er eneste nullpunkt \(x=0\).

Steg 2 - Bestem fortegn

For \(-10\), derfor er \(f(x)<0\). For \(00\).

Steg 3 - Skriv arealet som absoluttverdi

\[A=-\int_{-1}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{1} f(x)\,dx\]

Første integral må få motsatt fortegn fordi grafen ligger under aksen.

Steg 4 - Bruk symmetri

Funksjonen er oddetallsfunksjon fordi \(f(-x)=-f(x)\). Arealet på venstre og høyre side er derfor like stort.

Steg 5 - Regn ett av arealene

\[\int_{0}^{1}\left(-x^3+3x\right)\,dx=\left[-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^2}{2}\right]_{0}^{1}=\dfrac{5}{4}\]

Steg 6 - Finn totalarealet

\[A=2\cdot \dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{2}\]

Tolkning

Arealet er positivt selv om integralet fra \(-1\) til \(0\) er negativt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, integrate, Abs
x = symbols("x", real=True)
f = -x**3 + 3*x
A = -integrate(f, (x, -1, 0)) + integrate(f, (x, 0, 1))
print(A)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et ubestemt integral. Strukturen \(\left(x^2+1\right)^3\cdot 2x\) tyder på substitusjon.

Steg 1 - Velg substitusjon

\[u=x^2+1\]

Dette er den indre funksjonen i parentesen.

Steg 2 - Deriver substitusjonen

\[\dfrac{du}{dx}=2x\]

Dermed er \(du=2x\,dx\), som finnes i integralet.

Steg 3 - Skriv integralet med \(u\)

\[\int \left(x^2+1\right)^3\cdot 2x\,dx=\int u^3\,du\]

Steg 4 - Integrer potensfunksjonen

\[\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C\]

Steg 5 - Sett tilbake \(u=x^2+1\)

\[\dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}{4}+C\]

Steg 6 - Kontroller ved derivasjon

\[\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\left(x^2+1\right)^4}{4}\right)=\left(x^2+1\right)^3\cdot 2x\]

Vi får tilbake integranden.

Tolkning

Substitusjonen fungerer fordi den deriverte av parentesen allerede står som faktor.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, integrate
x = symbols("x")
expr = (x**2 + 1)**3 * 2*x
print(integrate(expr, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke programmet matematisk, ikke bare kjøre det.

Steg 1 - Les startverdiene

Programmet starter med \(n=0\) og \(S=0\).

Det betyr at ingen ledd er lagt til ennå.

Steg 2 - Les løkken

Løkken kjører så lenge \(S\le 200\).

Hver gang øker \(n\) med \(1\).

Steg 3 - Finn leddet som legges til

I runde nummer \(n\) legges \(4n-2\) til summen.

Dette gir leddene \(2,6,10,14,\ldots\).

Steg 4 - Kjenn igjen rekken

Dette er en aritmetisk rekke med første ledd \(2\) og differanse \(4\).

Steg 5 - Beskriv målet

Programmet finner det minste antallet ledd som må summeres før summen blir større enn \(200\).

Steg 6 - Formuler matematisk

Eleven undersøker minste \(n\) slik at

\[\sum_{i=1}^{n}\left(4i-2\right)>200.\]

Tolkning

Programmet er en algoritmisk måte å løse en ulikhet for en aritmetisk rekke.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, summation
i, n = symbols("i n", integer=True, positive=True)
print(summation(4*i - 2, (i, 1, n)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tallet som blir skrevet ut. Det kan gjøres ved å bruke sumformelen for rekken programmet lager.

Steg 1 - Bruk uttrykket fra del a

\[S_n=\sum_{i=1}^{n}\left(4i-2\right)\]

Steg 2 - Regn summen eksplisitt

\[S_n=4\sum_{i=1}^{n} i-2n\]

\[S_n=4\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}-2n\]

Steg 3 - Forenkle

\[S_n=2n(n+1)-2n=2n^2\]

Steg 4 - Løs ulikheten

Programmet stopper når \(S_n>200\). Dermed må

\[2n^2>200\]

\[n^2>100\]

\[n>10\]

Steg 5 - Velg minste heltall

Det minste heltallet større enn \(10\) er \(11\).

Steg 6 - Kontroller grensetilfellene

\[S_{10}=2\cdot 10^2=200\]

Løkken kjører videre fordi betingelsen er \(S\le 200\).

\[S_{11}=2\cdot 11^2=242\]

Da stopper løkken, og programmet skriver ut \(11\).

Tolkning

Verdien som skrives ut, er ikke summen, men antall ledd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

n = 0
S = 0
while S <= 200:
    n = n + 1
    S = S + 4*n - 2
print(n, S)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke en oppgitt haleprosent i en normalfordeling til å finne standardavviket.

Steg 1 - Definer variabelen

La \(X\) være slaktevekten til en tilfeldig laks. Da er

\[X\sim N\left(4700,\sigma\right).\]

Steg 2 - Oversett opplysningen

\[P(X>5300)=0{,}115\]

Dermed er

\[P(X\le 5300)=1-0{,}115=0{,}885.\]

Steg 3 - Standardiser

\[Z=\dfrac{X-4700}{\sigma}\]

For \(X=5300\) får vi

\[z=\dfrac{5300-4700}{\sigma}=\dfrac{600}{\sigma}.\]

Steg 4 - Bruk normalfordelingstabellen

Fra tabellen er \(P(Z\le 1{,}20)\approx 0{,}885\).

Derfor må

\[\dfrac{600}{\sigma}\approx 1{,}20.\]

Steg 5 - Løs for \(\sigma\)

\[\sigma\approx \dfrac{600}{1{,}20}=500\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Hvis \(\sigma\approx 500\), ligger \(5300\) gram omtrent \(1{,}2\) standardavvik over forventningsverdien. Høyrehale på omtrent \(11{,}5\,\%\) er da rimelig.

Tolkning

Vekten til laksen varierer typisk med omtrent \(500\) gram rundt middelverdien \(4700\) gram.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import NormalDist
N = NormalDist()
z = N.inv_cdf(0.885)
sigma = 600/z
print(z, sigma)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(P(X<4500)\) når \(X\) er normalfordelt med \(\mu=4700\) og \(\sigma\approx 500\).

Steg 1 - Skriv sannsynligheten

\[P(X<4500)\]

Steg 2 - Standardiser verdien

\[z=\dfrac{4500-4700}{500}=\dfrac{-200}{500}=-0{,}40\]

Steg 3 - Bruk standardnormalfordelingen

\[P(X<4500)=P(Z<-0{,}40)\]

Steg 4 - Les av i tabellen

Fra tabellen får vi

\[P(Z\le -0{,}40)\approx 0{,}3446.\]

Steg 5 - Skriv som prosent

\[0{,}3446\approx 34{,}5\,\%\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

\(4500\) gram ligger bare \(0{,}4\) standardavvik under middelverdien, så sannsynligheten bør være litt mindre enn \(50\,\%\). Det stemmer.

Tolkning

Omtrent en tredel av laksen veier mindre enn \(4500\) gram.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import NormalDist
N = NormalDist(mu=4700, sigma=500)
print(N.cdf(4500))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bevise en generell sammenheng. Nøkkelen er at enhetskostnad er kostnad per enhet, og minimum finnes ved å sette den deriverte lik null.

Steg 1 - Skriv enhetskostnaden

\[E(x)=\dfrac{K(x)}{x}\]

Dette gjelder for \(x>0\).

Steg 2 - Deriver med kvotientregelen

\[E'(x)=\dfrac{xK'(x)-K(x)}{x^2}\]

Her er \(K'(x)\) grensekostnaden.

Steg 3 - Bruk at \(x_0\) gir lavest enhetskostnad

Når \(E\) har et lokalt minimum for \(x=x_0\), er

\[E'(x_0)=0.\]

Steg 4 - Sett inn i den deriverte

\[\dfrac{x_0K'(x_0)-K(x_0)}{x_0^2}=0\]

Steg 5 - Løs likningen

Siden \(x_0^2>0\), må telleren være null:

\[x_0K'(x_0)-K(x_0)=0\]

\[x_0K'(x_0)=K(x_0)\]

Steg 6 - Del på \(x_0\)

\[K'(x_0)=\dfrac{K(x_0)}{x_0}=E(x_0)\]

Tolkning

Ved lavest enhetskostnad er kostnaden ved å produsere en ekstra enhet lik gjennomsnittskostnaden per enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Function, diff, solve
x = symbols("x", positive=True)
K = Function("K")
E = K(x)/x
print(diff(E, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittsverdien i det lange løp for en rettferdig sekssidet terning.

Steg 1 - List mulige verdier

\[X\in \{1,2,3,4,5,6\}\]

Steg 2 - Skriv sannsynlighetene

For en rettferdig terning er

\[P(X=k)=\dfrac{1}{6}\]

for \(k=1,2,3,4,5,6\).

Steg 3 - Bruk formelen for forventningsverdi

\[E(X)=\sum x\cdot P(X=x)\]

Steg 4 - Sett inn verdiene

\[E(X)=1\cdot \dfrac{1}{6}+2\cdot \dfrac{1}{6}+3\cdot \dfrac{1}{6}+4\cdot \dfrac{1}{6}+5\cdot \dfrac{1}{6}+6\cdot \dfrac{1}{6}\]

Steg 5 - Regn ut

\[E(X)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=3{,}5\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Forventningsverdien ligger midt mellom \(1\) og \(6\), og det er rimelig for en symmetrisk terning.

Tolkning

Over mange kast blir gjennomsnittet av antall øyne omtrent \(3{,}5\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

values = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
print(sum(values)/len(values))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall kast \(n\) slik at summen normalt avviker mer enn \(17\) fra forventet sum med sannsynlighet omtrent \(32\,\%\).

Steg 1 - Definer summen

La \(S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n\).

Da er

\[E(S_n)=n\cdot 3{,}5=3{,}5n.\]

Steg 2 - Finn standardavviket til summen

Uavhengige kast gir

\[SD(S_n)=\sqrt{n}\cdot SD(X)=1{,}7\sqrt{n}.\]

Steg 3 - Oversett sannsynligheten

Vi ønsker omtrent

\[P\left(\left|S_n-E(S_n)\right|>17\right)\approx 0{,}32.\]

Steg 4 - Bruk normalregelen

I en normalfordeling ligger omtrent \(68\,\%\) innenfor ett standardavvik, og omtrent \(32\,\%\) utenfor.

Derfor bør \(17\) være omtrent ett standardavvik for summen:

\[1{,}7\sqrt{n}\approx 17.\]

Steg 5 - Løs for \(n\)

\[\sqrt{n}\approx \dfrac{17}{1{,}7}=10\]

\[n\approx 100\]

Steg 6 - Kontroller med standardnormalfordeling

For \(n=100\) får vi \(SD(S_n)=17\). Da er

\[P\left(\left|Z\right|>1\right)\approx 0{,}317\approx 32\,\%.\]

Tolkning

Etter omtrent \(100\) kast er et avvik på \(17\) øyne omtrent ett standardavvik fra forventet sum.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import NormalDist
N = NormalDist()
n = 100
z = 17/(1.7*n**0.5)
prob = 2*(1 - N.cdf(z))
print(z, prob)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når ukesalget \(f(t)\) øker raskest. Det betyr at vi skal finne størst verdi av \(f'(t)\).

Steg 1 - Kjenn igjen modellen

\[f(t)=\dfrac{700}{1+20e^{-0{,}12t}}\]

Dette er en logistisk modell med øvre grense \(L=700\), faktor \(a=20\) og vekstparameter \(k=0{,}12\).

Steg 2 - Bruk egenskapen til logistisk vekst

En logistisk funksjon øker raskest i vendepunktet, der funksjonsverdien er halvparten av øvre grense:

\[f(t)=\dfrac{700}{2}=350.\]

Steg 3 - Finn tidspunktet

\[\dfrac{700}{1+20e^{-0{,}12t}}=350\]

\[1+20e^{-0{,}12t}=2\]

\[20e^{-0{,}12t}=1\]

\[e^{-0{,}12t}=\dfrac{1}{20}\]

Steg 4 - Løs med logaritme

\[-0{,}12t=\ln\left(\dfrac{1}{20}\right)=-\ln(20)\]

\[t=\dfrac{\ln(20)}{0{,}12}\approx 24{,}96\]

Steg 5 - Finn maksimal økning

For en logistisk modell er maksimal derivert

\[f'_{\max}=\dfrac{kL}{4}=\dfrac{0{,}12\cdot 700}{4}=21.\]

Steg 6 - Tolk enheten

Siden \(f(t)\) er enheter per uke, er \(f'(t)\) økning i ukesalget per uke. Maksimal økning er omtrent \(21\) flere solgte enheter per uke for hver uke.

Tolkning

Salget økte raskest etter omtrent \(25\) uker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, log
t = symbols("t")
print(log(20)/0.12)
print(0.12*700/4)

Hva spør oppgaven om? Funksjonen \(f(t)\) gir salg per uke. Samlet salg fra uke \(0\) til uke \(T\) finner vi derfor med et integral.

Steg 1 - Skriv samlet salg

\[S(T)=\int_{0}^{T} f(t)\,dt\]

Steg 2 - Sett inn modellen

\[S(T)=\int_{0}^{T}\dfrac{700}{1+20e^{-0{,}12t}}\,dt\]

Steg 3 - Sett opp likningen

Vi skal finne når samlet salg passerer \(2000\), altså løse

\[\int_{0}^{T}\dfrac{700}{1+20e^{-0{,}12t}}\,dt=2000.\]

Steg 4 - Bruk digital løsning

Med CAS kan vi løse likningen numerisk. Det gir

\[T\approx 18{,}84.\]

Steg 5 - Kontroller ved innsetting

\[\int_{0}^{18{,}84}\dfrac{700}{1+20e^{-0{,}12t}}\,dt\approx 2000.\]

Steg 6 - Vurder avrunding

Modellen er gitt i uker. Det er naturlig å si at samlet salg passerte \(2000\) enheter etter omtrent \(19\) uker.

Tolkning

Butikken nådde totalt \(2000\) solgte enheter før tidspunktet der ukesalget økte raskest.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import mpmath as mp
f = lambda t: 700/(1+20*mp.e**(-0.12*t))
F = lambda T: mp.quad(f, [0, T])
root = mp.findroot(lambda T: F(T) - 2000, 19)
print(root, F(root))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne pris per enhet. Da trenger vi samlet antall solgte enheter det første året, altså over \(52\) uker.

Steg 1 - Finn samlet salg det første året

\[S(52)=\int_{0}^{52}\dfrac{700}{1+20e^{-0{,}12t}}\,dt\]

Steg 2 - Regn integralet digitalt

\[S(52)\approx 18863{,}45\]

Butikken har ifølge modellen solgt omtrent \(18863\) enheter det første året.

Steg 3 - Bruk sammenhengen mellom inntekt og pris

\[\text{inntekt}=\text{pris}\cdot \text{antall}\]

Steg 4 - Løs for pris

\[\text{pris}=\dfrac{1\,000\,000}{18863{,}45}\]

Steg 5 - Regn ut

\[\text{pris}\approx 53{,}01\]

Steg 6 - Vurder avrunding

En pris oppgis normalt i kroner, så vi kan runde til omtrent \(53\) kroner per enhet.

Tolkning

Modellen tilsier at produktet er solgt for omtrent \(53\) kroner per enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import mpmath as mp
f = lambda t: 700/(1+20*mp.e**(-0.12*t))
S52 = mp.quad(f, [0, 52])
price = 1000000/S52
print(S52, price)

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere fordelingen og regne en punktsannsynlighet.

Steg 1 - Sjekk kriteriene

Hver pasient gir to mulige utfall: legemiddelet virker eller virker ikke.

Steg 2 - Skriv sannsynligheten for suksess

\[p=0{,}75\]

Steg 3 - Angi fordelingen

Hvis pasientene kan regnes som uavhengige, har vi

\[X\sim \operatorname{Bin}\left(n,0{,}75\right).\]

Steg 4 - Sett inn \(n=12\)

\[X\sim \operatorname{Bin}\left(12,0{,}75\right)\]

Steg 5 - Bruk binomisk formel

\[P(X=9)=\binom{12}{9}\left(0{,}75\right)^9\left(0{,}25\right)^3\]

Steg 6 - Regn ut

\[P(X=9)\approx 0{,}2581\]

Tolkning

Det er omtrent \(25{,}8\,\%\) sannsynlighet for at legemiddelet virker på akkurat \(9\) av \(12\) pasienter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
p = comb(12, 9)*(0.75**9)*(0.25**3)
print(p)

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste om sannsynligheten for B er høyere enn \(0{,}75\).

Steg 1 - Sett opp hypoteser

\[H_0:p=0{,}75\]

\[H_1:p>0{,}75\]

Dette er en ensidig test.

Steg 2 - Angi testobservator

Under nullhypotesen er

\[Y\sim \operatorname{Bin}\left(10,0{,}75\right).\]

Steg 3 - Bruk observert resultat

Vi observerer \(Y=9\).

Steg 4 - Regn p-verdien

Siden alternativet er \(p>0{,}75\), er p-verdien

\[P(Y\ge 9)=P(Y=9)+P(Y=10).\]

Steg 5 - Regn ut

\[P(Y\ge 9)=\binom{10}{9}0{,}75^9 0{,}25+0{,}75^{10}\approx 0{,}244.\]

Steg 6 - Sammenlign med signifikansnivå

\[0{,}244>0{,}05\]

Vi forkaster derfor ikke \(H_0\).

Tolkning

Resultatet \(9\) av \(10\) er høyt, men ikke uvanlig nok til å konkludere på \(5\,\%\)-nivå at B virker med høyere sannsynlighet enn A.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
pvalue = sum(comb(10,k)*0.75**k*0.25**(10-k) for k in range(9,11))
print(pvalue)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den minste kritiske verdien \(k\) slik at \(P(X\ge k)\le 0{,}05\) når \(X\sim \operatorname{Bin}\left(200,0{,}75\right)\).

Steg 1 - Sett opp hypotesene

\[H_0:p=0{,}75\]

\[H_1:p>0{,}75\]

Steg 2 - Angi fordelingen under \(H_0\)

\[X\sim \operatorname{Bin}\left(200,0{,}75\right).\]

Steg 3 - Definer kritisk krav

Vi skal finne minste heltall \(k\) slik at

\[P(X\ge k)\le 0{,}05.\]

Steg 4 - Test grensen rundt halen

Digitalt får vi

\[P(X\ge 160)\approx 0{,}0578\]

Dette er for stort.

Steg 5 - Test neste heltall

\[P(X\ge 161)\approx 0{,}0405\]

Dette er mindre enn \(0{,}05\).

Steg 6 - Konkluder kritisk verdi

Minste antall pasienter er derfor \(161\).

Tolkning

Hvis B virker på minst \(161\) av \(200\) pasienter, er resultatet så høyt at vi kan forkaste \(H_0\) på \(5\,\%\)-nivå.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
for k in range(0, 201):
    tail = sum(comb(200,j)*0.75**j*0.25**(200-j) for j in range(k,201))
    if tail <= 0.05:
        print(k, tail)
        break

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne årlig terminbeløp for et annuitetslån.

Steg 1 - Skriv størrelsene

\[L=2\,500\,000,\quad r=0{,}055,\quad n=25\]

Steg 2 - Bruk annuitetsformelen

\[T=L\cdot \dfrac{r}{1-\left(1+r\right)^{-n}}\]

Steg 3 - Sett inn tall

\[T=2\,500\,000\cdot \dfrac{0{,}055}{1-\left(1{,}055\right)^{-25}}\]

Steg 4 - Regn ut nevneren

\[1-\left(1{,}055\right)^{-25}\approx 0{,}738\]

Steg 5 - Finn terminbeløpet

\[T\approx 186\,373{,}38\]

Steg 6 - Rund av

De årlige terminbeløpene blir omtrent \(186\,373\) kroner.

Tolkning

Terminbeløpet er det samme hvert år så lenge renten og nedbetalingstiden er uendret.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

L = 2500000
r = 0.055
n = 25
T = L*r/(1-(1+r)**(-n))
print(T)

Hva spør oppgaven om? Først må vi finne restgjelden etter \(5\) år. Deretter legger vi til \(500\,000\) kroner og beregner nytt annuitetsbeløp for de \(20\) årene som gjenstår.

Steg 1 - Bruk terminbeløpet fra del a

\[T\approx 186\,373{,}38\]

Steg 2 - Finn restgjelden etter \(5\) terminer

\[R_5=L(1+r)^5-T\cdot \dfrac{(1+r)^5-1}{r}\]

Steg 3 - Sett inn tall

\[R_5=2\,500\,000(1{,}055)^5-186\,373{,}38\cdot \dfrac{(1{,}055)^5-1}{0{,}055}\]

Steg 4 - Regn restgjelden

\[R_5\approx 2\,227\,233{,}20\]

Steg 5 - Legg til nytt lån

\[L_{ny}=2\,227\,233{,}20+500\,000=2\,727\,233{,}20\]

Steg 6 - Finn nytt terminbeløp for \(20\) år

\[T_{ny}=2\,727\,233{,}20\cdot \dfrac{0{,}055}{1-\left(1{,}055\right)^{-20}}\approx 228\,213{,}05\]

Tolkning

Siden lånet øker og nedbetalingstiden ikke forlenges, øker terminbeløpet tydelig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

L = 2500000
r = 0.055
T = L*r/(1-(1+r)**(-25))
R5 = L*(1+r)**5 - T*((1+r)**5 - 1)/r
newL = R5 + 500000
Tnew = newL*r/(1-(1+r)**(-20))
print(R5, Tnew)

Hva spør oppgaven om? Etter utvidelsen er lånet omtrent \(2\,727\,233\) kroner. Vi skal finne hvor mange årlige terminer som trengs når terminbeløpet er \(200\,000\) kroner.

Steg 1 - Bruk nåverdiformelen for annuitet

\[L_{ny}=T\cdot \dfrac{1-\left(1+r\right)^{-n}}{r}\]

Steg 2 - Sett inn kjente størrelser

\[2\,727\,233{,}20=200\,000\cdot \dfrac{1-\left(1{,}055\right)^{-n}}{0{,}055}\]

Steg 3 - Isoler parentesen

\[1-\left(1{,}055\right)^{-n}=\dfrac{2\,727\,233{,}20\cdot 0{,}055}{200\,000}\]

Steg 4 - Løs med logaritmer

\[\left(1{,}055\right)^{-n}=1-\dfrac{2\,727\,233{,}20\cdot 0{,}055}{200\,000}\]

\[n=\dfrac{-\ln\left(1-\dfrac{2\,727\,233{,}20\cdot 0{,}055}{200\,000}\right)}{\ln(1{,}055)}\]

Steg 5 - Regn ut

\[n\approx 25{,}89\]

Steg 6 - Rund til hele terminer

Hun trenger \(26\) årlige terminer etter utvidelsen.

Tolkning

Nedbetalingstiden etter utvidelsen blir omtrent \(26\) år. Det betyr omtrent \(31\) år totalt fra lånet opprinnelig ble tatt opp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
Lnew = 2727233.204284641
r = 0.055
T = 200000
n = -math.log(1 - Lnew*r/T)/math.log(1+r)
print(n, math.ceil(n))

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive summen rekursivt og finne en lukket formel for summen av kubikktall.

Steg 1 - Skriv definisjonen

\[S_n=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3\]

Steg 2 - Finn neste sum

\[S_{n+1}=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3+(n+1)^3\]

Steg 3 - Skriv rekursjonen

\[S_{n+1}=S_n+(n+1)^3\]

Med startverdi kan vi bruke \(S_1=1\), eller \(S_0=0\).

Steg 4 - Se mønsteret

Summen av de \(n\) første kubikktallene er kvadratet av summen av de \(n\) første naturlige tallene.

Steg 5 - Bruk formelen for trekanttall

\[1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\]

Steg 6 - Skriv eksplisitt formel

\[S_n=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\]

Tolkning

Summen av kubikktallene danner alltid et kvadrattall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, summation, simplify
k, n = symbols("k n", integer=True, positive=True)
S = summation(k**3, (k, 1, n))
print(simplify(S))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et program som bygger summen ledd for ledd med rekursjonen \(S_{n+1}=S_n+(n+1)^3\).

Steg 1 - Velg startverdi

Vi kan starte med \(S=0\), som tilsvarer \(S_0=0\).

Steg 2 - Legg til kubikktallene

For hvert \(k\) fra \(1\) til \(50\) legger vi til \(k^3\).

Steg 3 - Program

S = 0
for k in range(1, 51):
    S = S + k**3
print(S)

Steg 4 - Bruk formelen til kontroll

\[S_{50}=\left(\dfrac{50\cdot 51}{2}\right)^2\]

Steg 5 - Regn ut trekanttallet

\[\dfrac{50\cdot 51}{2}=1275\]

Steg 6 - Kvadrer

\[S_{50}=1275^2=1\,625\,625\]

Tolkning

Programmet bruker den rekursive oppbyggingen direkte og får samme svar som den eksplisitte formelen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Vi trekker uten tilbakelegging. Når det er \(30\) baller og like mange av hver farge, er det \(15\) røde og \(15\) blå.

Steg 1 - Angi antall baller

\[15\text{ røde},\quad 15\text{ blå},\quad 30\text{ totalt}\]

Steg 2 - Finn totalt antall måter å trekke \(15\) baller

\[\binom{30}{15}\]

Steg 3 - Finn gunstige trekk

Vi skal velge \(9\) av \(15\) røde og \(6\) av \(15\) blå:

\[\binom{15}{9}\binom{15}{6}\]

Steg 4 - Skriv sannsynligheten

\[P=\dfrac{\binom{15}{9}\binom{15}{6}}{\binom{30}{15}}\]

Steg 5 - Regn ut

\[P\approx 0{,}16149\]

Steg 6 - Skriv som prosent

\[0{,}16149\approx 16{,}1\,\%\]

Tolkning

Det er omtrent \(16\,\%\) sannsynlighet for å få akkurat \(9\) røde og \(6\) blå når kurven har \(15\) av hver farge.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
P = comb(15,9)*comb(15,6)/comb(30,15)
print(P)

Hva spør oppgaven om? Vi skal variere totalt antall baller i kurven, men antallet røde og blå skal være likt. Derfor må totalantallet være partall.

Steg 1 - Sett opp variabel

La det være \(2m\) baller i kurven, med \(m\) røde og \(m\) blå.

Siden Svein trakk \(9\) røde, må \(m\ge 9\).

Steg 2 - Skriv sannsynligheten som funksjon av \(m\)

\[P(m)=\dfrac{\binom{m}{9}\binom{m}{6}}{\binom{2m}{15}}\]

Steg 3 - Undersøk heltallige verdier

Vi tester \(m=9,10,11,\ldots\) digitalt og finner hvor \(P(m)\) er størst.

Steg 4 - Sammenlign de største verdiene

Digital kontroll gir

\[P(17)=\dfrac{20111}{124062}\approx 0{,}16210\]

og

\[P(18)=\dfrac{20111}{124062}\approx 0{,}16210.\]

Steg 5 - Oversett tilbake til totalantall

Hvis \(m=17\), er totalantallet \(2m=34\). Hvis \(m=18\), er totalantallet \(2m=36\).

Steg 6 - Kontroller naboverdier

For \(2m=32\), \(38\) og \(40\) blir sannsynligheten litt lavere. Dermed er det en delt topp.

Tolkning

De mest sannsynlige kurvstørrelsene er \(34\) og \(36\) baller. Begge passer like godt til observasjonen \(9\) røde og \(6\) blå.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
best = []
max_p = -1
for m in range(9, 200):
    p = comb(m,9)*comb(m,6)/comb(2*m,15)
    if p > max_p + 1e-15:
        max_p = p
        best = [2*m]
    elif abs(p - max_p) < 1e-15:
        best.append(2*m)
print(best, max_p)