Hva spør oppgaven om? Vi skal regne et bestemt integral. Integranden er en sum, så vi kan integrere ledd for ledd.

Steg 1 — Del opp integralet

\[\int_0^1 (e^x+3x^2 ight)\,dx=\int_0^1 e^x\,dx+\int_0^1 3x^2\,dx\]

Steg 2 — Finn antiderivert til første ledd

\[\int e^x\,dx=e^x\]

Steg 3 — Finn antiderivert til andre ledd

\[\int 3x^2\,dx=x^3\]

Steg 4 — Samle antiderivert

\[F(x)=e^x+x^3\]

Steg 5 — Bruk grensene

\[F(1)-F(0)=(e^1+1^3 ight)-(e^0+0^3 ight)\]

Steg 6 — Regn ferdig

\[e+1-1=e\]

Tolkning

Arealet under grafen til funksjonen fra 0 til 1 er nøyaktig \(e\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, exp, integrate
x = symbols('x')
print(integrate(exp(x) + 3*x**2, (x, 0, 1)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare grafisk hvordan vi finner grensekostnaden ved \(40\) produserte enheter.

Steg 1 — Bruk definisjonen

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen:

\[K'(40 ight)\]

Steg 2 — Tolk den deriverte grafisk

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten i punktet.

Steg 3 — Finn punktet på kostnadsgrafen

Vi markerer omtrent \(x=40\) på den røde kostnadsgrafen.

Steg 4 — Tegn tangent

En tangent i dette punktet ser ut til å øke med omtrent \(700\) til \(800\) kroner når \(x\) øker med \(10\) enheter.

Steg 5 — Regn stigningstall

Da blir grensekostnaden omtrent

\[\dfrac{750}{10}=75\]

Steg 6 — Sett på enhet

Grensekostnaden er omtrent \(75\) kroner per ekstra enhet.

Tolkning

Når produksjonen er rundt 40 enheter, koster det omtrent 75 kroner å produsere én ekstra enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# Grafisk avlesning: eksempel på tangentbrøk
delta_y = 750
delta_x = 10
print(delta_y/delta_x)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke stigningstallene til inntekts- og kostnadsgrafene for å bestemme størst mulig overskudd.

Steg 1 — Definer overskudd

Overskuddet er

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 2 — Deriver overskuddet

\[O'(x)=I'(x)-K'(x)\]

Steg 3 — Bruk maksimalpunkt

Overskuddet er størst når \(O'(x)=0\), altså når

\[I'(x)=K'(x)\]

Steg 4 — Tolk grafisk

Vi må finne punktet der grafene har samme stigningstall. Inntektsgrafen er en rett linje, så \(I'(x)\) er konstant.

Steg 5 — Les av kostnadsgrafen

På figuren ser kostnadsgrafen ut til å ha samme stigningstall som inntektsgrafen rundt \(55\) til \(60\) enheter.

Steg 6 — Velg maksimum, ikke skjæringspunkt

Før dette punktet øker overskuddet, etter dette punktet minker overskuddet. Derfor er størst overskudd omtrent ved \(60\) enheter.

Tolkning

Produksjonen bør ligge omtrent der marginalinntekt og grensekostnad er like store.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# Prinsippkontroll: maks O når I'(x) - K'(x) = 0
print('Maksimum når marginalinntekt = grensekostnad')

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne \(k\) ved at sannsynlighetene må summere til \(1\), og deretter regne \(P(X>1 ight)\).

Steg 1 — Bruk totalsannsynlighet

Alle sannsynlighetene i tabellen må summere til \(1\):

\[k+0{,}3+(k-0{,}2 ight)+0{,}1=1\]

Steg 2 — Forenkle venstresiden

\[2k+0{,}2=1\]

Steg 3 — Finn \(k\)

\[2k=0{,}8\Rightarrow k=0{,}4\]

Steg 4 — Finn sannsynligheten for \(X=2\)

\[P(X=2 ight)=k-0{,}2=0{,}4-0{,}2=0{,}2\]

Steg 5 — Bruk hendelsen \(X>1\)

\[P(X>1 ight)=P(X=2 ight)+P(X=3 ight)\]

Steg 6 — Regn ut

\[P(X>1 ight)=0{,}2+0{,}1=0{,}3\]

Tolkning

Sannsynligheten for at \(X\) blir større enn 1 er 30 prosent.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
k = symbols('k')
sol = solve(k + 0.3 + (k - 0.2) + 0.1 - 1, k)[0]
print(sol, (sol - 0.2) + 0.1)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sannsynlighetsfordelingen fra forrige deloppgave til å finne forventning og varians.

Steg 1 — Skriv ferdig fordelingen

Når \(k=0{,}4\), får vi

\[P(X=0 ight)=0{,}4,\quad P(X=1 ight)=0{,}3,\quad P(X=2 ight)=0{,}2,\quad P(X=3 ight)=0{,}1\]

Steg 2 — Bruk formelen for forventningsverdi

\[E(X ight)=\sum x\cdot P(X=x ight)\]

Steg 3 — Regn \(E(X ight)\)

\[E(X ight)=0\cdot0{,}4+1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}2+3\cdot0{,}1=1\]

Steg 4 — Regn \(E(X^2 ight)\)

\[E(X^2 ight)=0^2\cdot0{,}4+1^2\cdot0{,}3+2^2\cdot0{,}2+3^2\cdot0{,}1=2\]

Steg 5 — Bruk variansformelen

\[\operatorname{Var}(X ight)=E(X^2 ight)-(E(X ight) ight)^2\]

Steg 6 — Regn ferdig

\[\operatorname{Var}(X ight)=2-1^2=1\]

Tolkning

Gjennomsnittsverdien er 1, og variansen viser spredningen rundt denne verdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

xs = [0, 1, 2, 3]
ps = [0.4, 0.3, 0.2, 0.1]
E = sum(x*p for x,p in zip(xs, ps))
EX2 = sum(x*x*p for x,p in zip(xs, ps))
print(E, EX2 - E**2)

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare matematisk hva programmet gjør.

Steg 1 — Les startverdiene

Koden starter med \(a=3\), \(d=4\), \(N=10\) og \(S=0\).

Steg 2 — Tolk \(a\)

Variabelen \(a\) er leddet som legges til summen.

Steg 3 — Tolk \(d\)

Etter hvert ledd økes \(a\) med \(4\). Det betyr at leddene danner en aritmetisk følge.

Steg 4 — Tolk løkken

Løkken kjøres \(N\) ganger. Når \(N=10\), summeres de 10 første leddene.

Steg 5 — Skriv rekken

Programmet summerer

\[3+7+11+15+\ldots\]

Steg 6 — Presiser formålet

Eleven ønsker å regne summen av de \(N\) første leddene i en aritmetisk rekke med første ledd \(3\) og differanse \(4\).

Tolkning

Koden er en algoritmisk versjon av sumformelen for aritmetiske rekker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

a = 3
d = 4
N = 10
S = 0
for i in range(N):
    S = S + a
    a = a + d
print(S)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne summen av de 100 første leddene i den aritmetiske rekken.

Steg 1 — Identifiser første ledd og differanse

\[a_1=3,\qquad d=4\]

Steg 2 — Finn ledd nummer 100

\[a_{100}=a_1+(100-1 ight)d\]

Steg 3 — Regn siste ledd

\[a_{100}=3+99\cdot4=399\]

Steg 4 — Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n ight)}{2}\]

Steg 5 — Sett inn \(n=100\)

\[S_{100}=\dfrac{100(3+399 ight)}{2}\]

Steg 6 — Regn ferdig

\[S_{100}=50\cdot402=20100\]

Tolkning

Programmet vil skrive ut tallet 20100.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

a = 3
d = 4
N = 100
S = 0
for i in range(N):
    S = S + a
    a = a + d
print(S)

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke om mengden virkestoff kan komme over \(100\) mg når Knut tar \(7\) mg hver dag og \(90\) prosent blir igjen etter ett døgn.

Steg 1 — Modellér restmengden

Når 10 prosent brytes ned, er \(90\) prosent igjen. Faktoren er derfor \(0{,}90\).

Steg 2 — Skriv mengden etter flere tabletter

Rett etter mange doser kan mengden beskrives som

\[7+7\cdot0{,}9+7\cdot0{,}9^2+7\cdot0{,}9^3+\ldots\]

Steg 3 — Se at dette er en geometrisk rekke

Første ledd er \(7\), og kvotienten er \(0{,}9\).

Steg 4 — Sjekk konvergens

Siden \(|0{,}9|<1\), har rekken en endelig sum.

Steg 5 — Finn maksimal langtidsmengde

\[S=\dfrac{7}{1-0{,}9}=\dfrac{7}{0{,}1}=70\]

Steg 6 — Sammenlign med skadegrensen

\[70<100\]

Tolkning

Mengden nærmer seg 70 mg rett etter tablettinntak, men kommer ikke over 100 mg.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

amount = 0
for day in range(200):
    amount = 0.9*amount + 7
print(amount)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(P(X>600 ight)\) når \(X\sim N(500,50 ight)\).

Steg 1 — Skriv fordelingen

\[X\sim N(500,50 ight)\]

Steg 2 — Standardiser

\[Z=\dfrac{X-500}{50}\]

Steg 3 — Finn z-verdien for 600

\[z=\dfrac{600-500}{50}=2\]

Steg 4 — Skriv sannsynligheten med \(Z\)

\[P(X>600 ight)=P(Z>2 ight)\]

Steg 5 — Bruk tabell

\[P(Z\le2 ight)pprox0{,}9772\]

Steg 6 — Finn høyre hale

\[P(Z>2 ight)=1-0{,}9772=0{,}0228\]

Tolkning

Det er omtrent \(2{,}28\) prosent sannsynlighet for levetid over 600 timer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import NormalDist
print(1 - NormalDist(500, 50).cdf(600))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne grensen \(t\) slik at \(P(X>t ight)=0{,}758\).

Steg 1 — Skriv opplysningen

\[P(X>t ight)=0{,}758\]

Steg 2 — Gjør om til venstresannsynlighet

\[P(X\le t ight)=1-0{,}758=0{,}242\]

Steg 3 — Finn z-verdi

Fra standardnormalfordelingen er

\[P(Z\le -0{,}70 ight)pprox0{,}2420\]

Steg 4 — Bruk standardisering baklengs

\[\dfrac{t-500}{50}pprox -0{,}70\]

Steg 5 — Løs for \(t\)

\[tpprox500+50\cdot(-0{,}70 ight)\]

Steg 6 — Regn ut

\[tpprox465\]

Tolkning

Omtrent 75,8 prosent av batteriene varer mer enn 465 timer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import NormalDist
print(NormalDist(500, 50).inv_cdf(0.242))

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge grafen som passer til \(X\sim N(500,50 ight)\).

Steg 1 — Finn sentrum

Forventningsverdien er \(500\), så grafen må ha topp og symmetriakse ved \(x=500\).

Steg 2 — Bruk standardavviket

Standardavviket er \(50\), så fordelingen er relativt smal.

Steg 3 — Bruk tre standardavvik

De fleste verdier ligger omtrent mellom

\[500-3\cdot50=350\quad ext{og}\quad500+3\cdot50=650\]

Steg 4 — Utelukk feil sentrum

Figur B og C har tydelig feil sentrum.

Steg 5 — Sammenlign A og D

Begge ligger rundt 500, men D er for bred. A passer bedre med standardavvik 50.

Steg 6 — Konkluder

Figur A illustrerer \(X\).

Tolkning

Grafen skal være symmetrisk rundt 500 og ha mesteparten av arealet mellom omtrent 350 og 650 timer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

mu = 500
sigma = 50
print(mu - 3*sigma, mu + 3*sigma)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fast terminbeløp for et annuitetslån.

Steg 1 — Skriv kjente størrelser

\[L=150000,\quad r=0{,}0049,\quad n=36\]

Steg 2 — Bruk annuitetsformelen

\[T=L\cdot\dfrac{r}{1-(1+r ight)^{-n}}\]

Steg 3 — Sett inn tall

\[T=150000\cdot\dfrac{0{,}0049}{1-(1+0{,}0049 ight)^{-36}}\]

Steg 4 — Regn med CAS

\[Tpprox4555{,}139\]

Steg 5 — Rund av til kroner

Terminbeløpet blir omtrent \(4555\) kroner.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

Uten renter ville \(150000/36pprox4167\) kroner. Med renter skal terminbeløpet være høyere, og \(4555\) kroner er rimelig.

Tolkning

Anders må betale omtrent 4555 kroner hver måned i 36 måneder.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

L = 150000
r = 0.0049
n = 36
T = L*r/(1-(1+r)**(-n))
print(T)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne restlånet etter 24 betalinger og sammenligne med \(55000\) kroner.

Steg 1 — Bruk terminbeløpet

Fra forrige deloppgave er \(Tpprox4555{,}139\).

Steg 2 — Finn antall terminer igjen

Etter 24 betalinger gjenstår

\[36-24=12\]

Steg 3 — Bruk nåverdi av resterende annuitet

\[R=T\cdot\dfrac{1-(1+r ight)^{-12}}{r}\]

Steg 4 — Sett inn tall

\[Rpprox4555{,}139\cdot\dfrac{1-(1{,}0049 ight)^{-12}}{0{,}0049}\]

Steg 5 — Regn ut

\[Rpprox52959{,}79\]

Steg 6 — Sammenlign med utbetaling

\[55000-52959{,}79pprox2040{,}21\]

Tolkning

Forsikringsutbetalingen var nok til å betale ned restlånet, med omtrent \(2040\) kroner til overs.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

L = 150000
r = 0.0049
n = 36
T = L*r/(1-(1+r)**(-n))
R = T*(1-(1+r)**(-12))/r
print(T, R, 55000-R)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en modell med \(x=0\) i 2008 og begrunne modellvalget.

Steg 1 — Velg tidsvariabel

La \(x\) være antall år etter 2008. Da får vi punktene \((0,2),(2,70),(4,246),(6,456),(8,582),(10,655)\).

Steg 2 — Vurder utviklingen

Utviklingen stiger raskt først og flater deretter ut. Det passer bedre med en logistisk modell enn en lineær modell.

Steg 3 — Velg modelltype

Vi bruker

\[F(x)=\dfrac{B}{1+a\cdot e^{-kx}}\]

Steg 4 — Gjør logistisk regresjon

Regresjon gir omtrent

\[Bpprox660{,}36,\quad approx30{,}72,\quad kpprox0{,}7066\]

Steg 5 — Skriv modellen

\[F(x)=\dfrac{660{,}36}{1+30{,}72\cdot e^{-0{,}7066x}}\]

Steg 6 — Vurder bruksområde

Modellen er godt begrunnet i perioden \(0\le x\le10\). Den kan brukes forsiktig noen år etter 2018, men ikke ukritisk langt fram i tid.

Tolkning

Parameteren \(B\) tolkes som et mulig metningsnivå på rundt \(660\) millioner kroner per år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
x = np.array([0,2,4,6,8,10], dtype=float)
y = np.array([2,70,246,456,582,655], dtype=float)
def F(x,B,a,k):
    return B/(1+a*np.exp(-k*x))
print(curve_fit(F, x, y, p0=[660,30,0.7], maxfev=10000)[0])

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen fra forrige deloppgave til å beregne to integraler, en sum og en differansekvotient.

Steg 1 — Bruk modellen

\[F(x)=\dfrac{660{,}36}{1+30{,}72e^{-0{,}7066x}}\]

Steg 2 — Beregn \(I\)

Med digitalt verktøy:

\[I=\int_{-0{,}5}^{10{,}5}F(x)\,dxpprox3728{,}74\]

Steg 3 — Beregn \(G\)

\[G=\dfrac{1}{5}\int_{2{,}5}^{7{,}5}F(x)\,dxpprox344{,}45\]

Steg 4 — Beregn summen \(S\)

\[S=\sum_{i=0}^{10}F(i)pprox3728{,}82\]

Steg 5 — Beregn differansekvotienten \(D\)

\[D=\dfrac{F(5{,}001)-F(5)}{0{,}001}pprox116{,}31\]

Steg 6 — Kontroller avrunding

Alle tall er i millioner kroner, bortsett fra \(D\), som er millioner kroner per år.

Tolkning

Verdiene henger sammen med akkumulert forbruk, gjennomsnittlig forbruk, årsverdier og momentan vekst.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
B, a, k = 660.3636273, 30.72070597, 0.70655742
def F(x):
    return B/(1+a*np.exp(-k*x))
I = quad(F, -0.5, 10.5)[0]
G = quad(F, 2.5, 7.5)[0]/5
S = sum(F(i) for i in range(11))
D = (F(5.001)-F(5))/0.001
print(I, G, S, D)

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva de fire beregnede størrelsene betyr i konteksten strømming av musikk.

Steg 1 — Tolk \(F(x)\)

\(F(x)\) er modellen for millioner kroner brukt på strømming per år, \(x\) år etter 2008.

Steg 2 — Tolk \(I\)

\[I=\int_{-0{,}5}^{10{,}5}F(x)\,dx\]

Dette er en modellbasert beregning av samlet forbruk fra omtrent midten av 2007 til midten av 2018, altså omtrent årene 2008 til 2018.

Steg 3 — Tolk \(G\)

\[G=\dfrac{1}{5}\int_{2{,}5}^{7{,}5}F(x)\,dx\]

Dette er gjennomsnittlig årlig strømming i femårsperioden fra omtrent midten av 2010 til midten av 2015.

Steg 4 — Tolk \(S\)

\[S=\sum_{i=0}^{10}F(i)\]

Dette summerer modellverdiene for hvert helt år fra 2008 til 2018.

Steg 5 — Tolk \(D\)

\[D=\dfrac{F(5{,}001)-F(5)}{0{,}001}\]

Dette er en tilnærming til \(F'(5 ight)\), altså vekstfarten rundt 2013.

Steg 6 — Enheter

\(I\), \(G\) og \(S\) er i millioner kroner eller millioner kroner per år etter kontekst, mens \(D\) er millioner kroner per år.

Tolkning

Formlene viser tre ulike måter å oppsummere utviklingen på: areal, gjennomsnitt, diskret sum og momentan vekst.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print('I: samlet modellert beløp')
print('G: gjennomsnitt per år')
print('S: sum av årsverdier')
print('D: vekstfart ved x = 5')

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne sannsynligheten for nøyaktig 6 riktige hvis Marte bare gjetter.

Steg 1 — Velg modell

Hvis hun gjetter tilfeldig mellom to colatyper, er sannsynligheten for riktig svar \(p=0{,}5\).

Steg 2 — Skriv fordelingen

\[X\sim \operatorname{Bin}(10,0{,}5 ight)\]

Steg 3 — Bruk binomisk formel

\[P(X=6 ight)=inom{10}{6}(0{,}5 ight)^6(0{,}5 ight)^4\]

Steg 4 — Forenkle

\[P(X=6 ight)=inom{10}{6}(0{,}5 ight)^{10}\]

Steg 5 — Regn ut

\[P(X=6 ight)=\dfrac{210}{1024}pprox0{,}205\]

Steg 6 — Presiser antagelser

Vi antar uavhengige glass, nøyaktig to mulige svar per glass og sannsynlighet \(0{,}5\) for riktig svar ved gjetting.

Tolkning

Det er omtrent 20,5 prosent sannsynlighet for 6 riktige av 10 ved ren gjetting.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
print(comb(10,6)*0.5**10)

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste om 8 riktige av 10 er uvanlig høyt dersom Marte bare gjetter.

Steg 1 — Nullhypotese

\[H_0:p=0{,}5\]

Marte gjetter bare.

Steg 2 — Alternativ hypotese

\[H_1:p>0{,}5\]

Marte kjenner igjen colatypene bedre enn gjetting.

Steg 3 — Testobservator

Under \(H_0\) er

\[X\sim \operatorname{Bin}(10,0{,}5 ight)\]

Steg 4 — Regn p-verdi

\[P(X\ge8 ight)=P(X=8 ight)+P(X=9 ight)+P(X=10 ight)\]

Steg 5 — Beregn

\[P(X\ge8 ight)=\dfrac{45+10+1}{1024}=\dfrac{56}{1024}pprox0{,}0547\]

Steg 6 — Sammenlign med \(5\) prosent

\[0{,}0547>0{,}05\]

Vi forkaster ikke \(H_0\).

Tolkning

8 riktige er imponerende, men ikke helt nok til å konkludere på 5 prosent signifikansnivå.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
p = sum(comb(10,k)*0.5**10 for k in range(8,11))
print(p)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne minste antall riktige som gir p-verdi høyst \(0{,}05\) i en ensidig binomisk test med \(n=30\).

Steg 1 — Nullhypotese

\[H_0:p=0{,}5\]

Steg 2 — Alternativ hypotese

\[H_1:p>0{,}5\]

Steg 3 — Fordeling under nullhypotesen

\[X\sim \operatorname{Bin}(30,0{,}5 ight)\]

Steg 4 — Finn kritisk grense

Vi leter etter minste heltall \(c\) slik at

\[P(X\ge c ight)\le0{,}05\]

Steg 5 — Test nærliggende verdier

Digitalt verktøy gir

\[P(X\ge19 ight)pprox0{,}1002>0{,}05\]

og

\[P(X\ge20 ight)pprox0{,}0494\le0{,}05\]

Steg 6 — Konkluder

Minste antall riktige er derfor \(20\).

Tolkning

Med 20 eller flere riktige av 30 er resultatet så uvanlig ved ren gjetting at Birger kan forkaste gjettemodellen på 5 prosent nivå.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import comb
for c in range(31):
    p = sum(comb(30,k)*0.5**30 for k in range(c,31))
    if p <= 0.05:
        print(c, p)
        break

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive de fire første leddene i to følger.

Steg 1 — Tilbud 1 starter på 100

\[a_1=100\]

Steg 2 — Tilbud 1 øker med 10 kroner

\[a_2=110,\quad a_3=120,\quad a_4=130\]

Steg 3 — Tilbud 2 starter på 100

\[b_1=100\]

Steg 4 — Tilbud 2 øker med 5 prosent

\[b_2=100\cdot1{,}05=105\]

Steg 5 — Fortsett geometrisk

\[b_3=105\cdot1{,}05=110{,}25\]

\[b_4=110{,}25\cdot1{,}05=115{,}7625\]

Steg 6 — Sett i tabell

Tolkning

Tilbud 1 er best de første fire ukene, men tilbud 2 vokser prosentvis.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

for n in range(1,5):
    a = 100 + 10*(n-1)
    b = 100*1.05**(n-1)
    print(n, a, b)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne første uke der \(b_n>a_n\).

Steg 1 — Skriv eksplisitt formel for tilbud 1

\[a_n=100+10(n-1 ight)\]

Steg 2 — Skriv eksplisitt formel for tilbud 2

\[b_n=100\cdot1{,}05^{n-1}\]

Steg 3 — Sett opp ulikheten

\[100\cdot1{,}05^{n-1}>100+10(n-1 ight)\]

Steg 4 — Bruk digitalt verktøy eller tabell

Vi undersøker heltallige uker.

Steg 5 — Sjekk uke 27 og 28

\[a_{27}=360,\quad b_{27}pprox355{,}58\]

\[a_{28}=370,\quad b_{28}pprox373{,}35\]

Steg 6 — Konkluder

Første uke der tilbud 2 gir mer ukelønn, er uke 28.

Tolkning

Det tar 28 uker før den prosentvise veksten i tilbud 2 passerer den lineære veksten i tilbud 1.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

for n in range(1,100):
    a = 100 + 10*(n-1)
    b = 100*1.05**(n-1)
    if b > a:
        print(n, a, b)
        break

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne de akkumulerte summene av ukepengene.

Steg 1 — Sum for tilbud 1

Tilbud 1 er aritmetisk:

\[A_n=\dfrac{n(100+(100+10(n-1 ight) ight) ight)}{2}\]

Steg 2 — Sum for tilbud 2

Tilbud 2 er geometrisk:

\[B_n=100\cdot\dfrac{1{,}05^n-1}{1{,}05-1}\]

Steg 3 — Sett opp ulikheten

Vi skal finne første heltallige \(n\) slik at

\[B_n>A_n\]

Steg 4 — Bruk digitalt verktøy

Vi kontrollerer de heltallige verdiene av \(n\).

Steg 5 — Sjekk grensen

Ved \(n=38\) er tilbud 2 fortsatt lavere totalt, mens ved \(n=39\) får vi

\[A_{39}=11310\]

\[B_{39}pprox11409{,}50\]

Steg 6 — Konkluder

Tilbud 2 gir mer samlet lønn fra og med uke 39.

Tolkning

Selv om ukelønnen i tilbud 2 passerer i uke 28, tar det lenger tid før den samlede summen også passerer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

for n in range(1,100):
    A = n/2*(100 + (100 + 10*(n-1)))
    B = 100*((1.05**n - 1)/(1.05 - 1))
    if B > A:
        print(n, A, B)
        break

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en simulering av ett utvalg med 20 elever der skolen velges tilfeldig for hver elev.

Steg 1 — Lag lister for skolene

Vi trenger forventningsverdier \(3{,}8\), \(3{,}4\), \(4{,}1\) og standardavvik \(1{,}2\), \(1{,}4\), \(1{,}1\).

Steg 2 — Trekk skole

For hver elev trekkes en av skolene \(A\), \(B\) eller \(C\) med lik sannsynlighet.

Steg 3 — Trekk karakter

Når skolen er valgt, trekkes karakteren fra normalfordelingen til den skolen.

Steg 4 — Gjenta 20 ganger

Dette gir 20 simulerte karakterer.

Steg 5 — Finn gjennomsnitt

Gjennomsnittet av de 20 karakterene er én simulert verdi for karaktersnittet.

Steg 6 — Program

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2023)
mu = np.array([3.8, 3.4, 4.1])
sigma = np.array([1.2, 1.4, 1.1])

karakterer = []
for elev in range(20):
    skole = rng.integers(0, 3)
    karakter = rng.normal(mu[skole], sigma[skole])
    karakterer.append(karakter)

snitt = np.mean(karakterer)
print(snitt)

Tolkning

Programmet returnerer ett mulig gjennomsnitt for 20 tilfeldig utvalgte elever etter regelen i oppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjenta simuleringen mange ganger og finne andelen der snittet er større enn \(4\).

Steg 1 — Definer én simulering

Én simulering består av 20 elever trukket etter regelen i oppgaven.

Steg 2 — Gjenta mange ganger

For å estimere sannsynligheten gjentar vi for eksempel \(100000\) eller flere simuleringer.

Steg 3 — Tell treff

Vi teller hvor mange simuleringer som gir gjennomsnitt over \(4\).

Steg 4 — Del på antall simuleringer

Estimert sannsynlighet er

\[\dfrac{ ext{antall simuleringer med snitt over }4}{ ext{antall simuleringer totalt}}\]

Steg 5 — Kjør simulering

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2023)
mu = np.array([3.8, 3.4, 4.1])
sigma = np.array([1.2, 1.4, 1.1])

antall = 200000
n = 20
skoler = rng.integers(0, 3, size=(antall, n))
karakterer = rng.normal(mu[skoler], sigma[skoler])
snitt = karakterer.mean(axis=1)

print((snitt > 4).mean())

Steg 6 — Resultat

Med en slik simulering får vi typisk et estimat rundt

\[0{,}21\]

Tolkning

Det er omtrent \(21\) prosent sannsynlighet for at snittet til de 20 elevene blir høyere enn 4, basert på denne simuleringsmodellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)