Matematikk S2 · Udir

Matematikk S2 eksamen V22 (K06) – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra bokmålsdelen av eksamenssettet og løst med trinnvis forklaring, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og realistiske Python-kontroller med tydelig utskrift.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med derivasjon, polynomregning, rekker, optimering og sannsynlighet uten hjelpemidler.

Del 1 · Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \( f(x)=3x^3+\ln x \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk summeregelen

Funksjonen er en sum av et potensledd og et logaritmeledd. Vi deriverer derfor ledd for ledd.

Steg 2 — Deriver potensleddet

\dfrac{d}{dx}\left(3x^3\right)=9x^2

Potensregelen gir at eksponenten flyttes ned og reduseres med \(1\).

Steg 3 — Deriver logaritmeleddet

\dfrac{d}{dx}\left(\ln x\right)=\dfrac{1}{x}

Dette gjelder for \(x>0\), siden \(\ln x\) bare er definert for positive \(x\).

Steg 4 — Sett sammen den deriverte

f'(x)=9x^2+\dfrac{1}{x}

Steg 5 — Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen til \(f\) i hvert punkt der \(x>0\).

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å skrive \(\ln x\) derivert som \(x\). Riktig derivert er \(\dfrac{1}{x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Derivert(3x^3 + ln(x))

→ \(9x^2+\dfrac{1}{x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 1a: derivasjon")
print("-"*60)
from sympy import symbols, log, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
f = 3*x**3 + log(x)
f_derivert = simplify(diff(f, x))
print('f(x) =', f)
print('f_derivert =', f_derivert)

Fasit: \( f'(x)=9x^2+\dfrac{1}{x} \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 1bDerivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \( g(x)=x\cdot e^{-2x} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Identifiser produktet

Her er \(g(x)\) et produkt av \(x\) og \(e^{-2x}\). Vi bruker produktregelen.

Steg 2 — Sett opp produktregelen

\[ (uv)'=u'v+uv' \]

Steg 3 — Deriver faktorene

u=x \Rightarrow u'=1,\qquad v=e^{-2x}\Rightarrow v'=-2e^{-2x}

Steg 4 — Sett inn i produktregelen

g'(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot\left(-2e^{-2x}\right)

Steg 5 — Faktoriser

g'(x)=e^{-2x}\left(1-2x\right)

Steg 6 — Tolkning

Faktoren \(1-2x\) bestemmer hvor den deriverte skifter fortegn.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å glemme den indre deriverte \(-2\) i \(e^{-2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Derivert(x exp(-2x))

→ \(e^{-2x}(1-2x)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 1b: produktregel")
print("-"*60)
from sympy import symbols, exp, diff, factor
x = symbols('x')
g = x*exp(-2*x)
g_derivert = factor(diff(g, x))
print('g(x) =', g)
print('g_derivert =', g_derivert)

Fasit: \( g'(x)=e^{-2x}(1-2x) \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 1cDerivasjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \( h(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Identifiser brøkfunksjonen

Funksjonen er en kvotient. Vi bruker kvotientregelen.

Steg 2 — Sett opp kvotientregelen

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Steg 3 — Deriver teller og nevner

u=2x\Rightarrow u'=2,\qquad v=x^2+1\Rightarrow v'=2x

Steg 4 — Sett inn

h'(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x\cdot2x}{(x^2+1)^2}

Steg 5 — Forenkle telleren

\[ 2x^2+2-4x^2=2-2x^2 \]

Steg 6 — Skriv svaret ryddig

h'(x)=\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}

Steg 7 — Tolkning

Den deriverte er null når \(x=\pm1\), som er kandidater til ekstremalpunkter.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke produktregelen uten å skrive \((x^2+1)^{-1}\), eller å glemme å kvadrere nevneren.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Derivert(2x/(x^2+1))

→ \(\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 1c: kvotientregel")
print("-"*60)
from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x')
h = 2*x/(x**2 + 1)
h_derivert = simplify(diff(h, x))
print('h(x) =', h)
print('h_derivert =', h_derivert)

Fasit: \( h'(x)=\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2} \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 2aNullpunkter og faktorisering

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \( f \) er gitt ved \( f(x)=x^3+6x^2+3x-10 \). Vis at \(x=1\) er et nullpunkt til \(f\). Bestem de andre nullpunktene til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Kontroller nullpunktet

f(1)=1^3+6\cdot1^2+3\cdot1-10=0

Siden \(f(1)=0\), er \(x=1\) et nullpunkt.

Steg 2 — Bruk faktorregelen

Når \(x=1\) er nullpunkt, er \(x-1\) en faktor i polynomet.

Steg 3 — Utfør polynomdivisjon

\[ x^3+6x^2+3x-10=(x-1)(x^2+7x+10) \]

Steg 4 — Faktoriser andregradspolynomet

\[ x^2+7x+10=(x+5)(x+2) \]

Steg 5 — Finn alle nullpunktene

\[ (x-1)(x+5)(x+2)=0 \]

Steg 6 — Skriv løsningene

x=1,\qquad x=-5,\qquad x=-2

Steg 7 — Tolkning

Grafen skjærer \(x\)-aksen i tre punkter.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å finne faktoriseringen, men glemme nullpunktet \(x=1\) som allerede var gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Faktoriser(x^3+6x^2+3x-10)

→ \((x-1)(x+2)(x+5)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 2a: faktorisering og nullpunkter")
print("-"*60)
from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**3 + 6*x**2 + 3*x - 10
print('f(1) =', f.subs(x, 1))
print('Faktorisert:', factor(f))
print('Nullpunkter:', solve(f, x))

Fasit: Nullpunktene er \(x=-5\), \(x=-2\) og \(x=1\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 2bEkstremalpunkter

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem eksakte verdier for \(x\)-koordinatene til eventuelle toppunkter og eventuelle bunnpunkter på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[ f'(x)=3x^2+12x+3 \]

Steg 2 — Sett den deriverte lik null

\[ 3x^2+12x+3=0 \]

Steg 3 — Del på 3

\[ x^2+4x+1=0 \]

Steg 4 — Bruk abc-formelen

x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot1}}{2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2}

Steg 5 — Forenkle

x=-2\pm\sqrt{3}

Steg 6 — Klassifiser med andrederivert

\[ f''(x)=6x+12 \]

Steg 7 — Avgjør topp og bunn

Ved \(x=-2-\sqrt{3}\) er \(f^{\prime\prime}(x)<0\), altså toppunkt. Ved \(x=-2+\sqrt{3}\) er \(f^{\prime\prime}(x)>0\), altså bunnpunkt.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å gi desimaltall når oppgaven ber om eksakte verdier.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(3x^2+12x+3=0)

→ \(x=-2-\sqrt{3}\lor x=-2+\sqrt{3}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 2b: eksakte ekstremalpunkter")
print("-"*60)
from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, simplify
x = symbols('x')
f = x**3 + 6*x**2 + 3*x - 10
fp = diff(f, x)
fpp = diff(fp, x)
kritiske = solve(fp, x)
print('f_derivert =', fp)
print('f_andrederivert =', fpp)
for verdi in kritiske:
    print('x =', verdi, 'andrederivert =', simplify(fpp.subs(x, verdi)))

Fasit: Toppunkt ved \(x=-2-\sqrt{3}\), bunnpunkt ved \(x=-2+\sqrt{3}\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 2cVendetangent

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem likningen til vendetangenten til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn andrederivert

\[ f''(x)=6x+12 \]

Steg 2 — Finn vendepunktets x-verdi

6x+12=0\Rightarrow x=-2

Steg 3 — Finn y-verdien

\[ f(-2)=(-2)^3+6(-2)^2+3(-2)-10=0 \]

Steg 4 — Finn stigningstallet

\[ f'(-2)=3(-2)^2+12(-2)+3=-9 \]

Steg 5 — Bruk ettpunktsformelen

\[ y-y_1=a(x-x_1) \]

Steg 6 — Sett inn punkt og stigningstall

\[ y-0=-9(x-(-2)) \]

Steg 7 — Forenkle

\[ y=-9x-18 \]

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(f^{\prime\prime}(-2)\) som stigningstall. Tangentens stigningstall er \(f^{\prime}(-2)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Tangent(x^3+6x^2+3x-10,-2)

→ \(y=-9x-18\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 2c: vendetangent")
print("-"*60)
from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**3 + 6*x**2 + 3*x - 10
x0 = -2
y0 = f.subs(x, x0)
stigning = diff(f, x).subs(x, x0)
tangent = expand(y0 + stigning*(x-x0))
print('Vendepunkt:', (x0, y0))
print('Stigningstall:', stigning)
print('Tangent:', tangent)

Fasit: Vendetangenten er \(y=-9x-18\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 2dGrafskisse

Oppgave 2d

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk nullpunktene

x=-5,\quad x=-2,\quad x=1

Steg 2 — Bruk ekstremalpunktene

x=-2-\sqrt{3}\quad\text{og}\quad x=-2+\sqrt{3}

Steg 3 — Bruk vendepunktet

\[ (-2,0) \]

Steg 4 — Bruk fortegnet til tredjegradsleddet

Siden koeffisienten foran \(x^3\) er positiv, går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Steg 5 — Plasser punktene i riktig rekkefølge

På tallinjen kommer \(-5\), \(-2-\sqrt{3}\), \(-2\), \(-2+\sqrt{3}\) og \(1\).

Steg 6 — Tegn formen

Skissen skal vise tre nullpunkter, toppunkt til venstre for \(-2\), bunnpunkt til høyre for \(-2\), og vendetangent gjennom \((-2,0)\).

Steg 7 — Tolkning

En god skisse viser de kvalitative egenskapene, ikke nødvendigvis alle koordinater perfekt i målestokk.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tegne toppunkt og bunnpunkt på feil side av vendepunktet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Nullpunkt(f)

→ \(-5,-2,1\)

Ekstremalpunkt(f)

→ \(x=-2\pm\sqrt{3}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 2d: punkter til grafskisse")
print("-"*60)
from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, N
x = symbols('x')
f = x**3 + 6*x**2 + 3*x - 10
nullpunkter = solve(f, x)
ekstremal_x = solve(diff(f, x), x)
print('Nullpunkter:', nullpunkter)
for xverdi in ekstremal_x:
    print('Ekstremalpunkt:', N(xverdi), N(f.subs(x, xverdi)))
print('Vendepunkt:', (-2, f.subs(x, -2)))

Fasit: Skissen skal ha nullpunktene \(-5\), \(-2\), \(1\), topp ved \(x=-2-\sqrt{3}\), bunn ved \(x=-2+\sqrt{3}\) og vendepunkt \((-2,0)\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 3aAritmetisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

I en rekke \(a_1+a_2+\cdots+a_n\) er \(a_2=8\) og \(a_4=2\). Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk at differansen er fast

I en aritmetisk rekke er det like stor differanse mellom to påfølgende ledd.

Steg 2 — Finn differansen

a_4=a_2+2d\Rightarrow 2=8+2d

Steg 3 — Løs for \(d\)

2d=-6\Rightarrow d=-3

Steg 4 — Finn første ledd

a_2=a_1+d\Rightarrow 8=a_1-3\Rightarrow a_1=11

Steg 5 — Finn sjette ledd

a_6=a_1+5d=11+5\cdot(-3)=-4

Steg 6 — Bruk sumformelen

S_6=\dfrac{6(a_1+a_6)}{2}=\dfrac{6(11-4)}{2}=21

Steg 7 — Tolkning

De seks første leddene summerer til 21 selv om de siste leddene blir mindre.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tro at differansen er \(2-8=-6\). Det er to steg fra \(a_2\) til \(a_4\), så differansen er \(-3\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Sequence(11-3(n-1),n,1,6)

→ \(11+8+5+2-1-4=21\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 3a: aritmetisk rekke")
print("-"*60)
from sympy import symbols, summation
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a_n = 11 + (n-1)*(-3)
S6 = summation(a_n, (n, 1, 6))
print('a_n =', a_n)
print('S_6 =', S6)

Fasit: \(S_6=21\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 3bGeometriske rekker

Oppgave 3b

Oppgave:

Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor. Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk forholdet mellom leddene

\[ a_4=a_2k^2 \]

Steg 2 — Sett inn opplysningene

2=8k^2\Rightarrow k^2=\dfrac{1}{4}

Steg 3 — Finn de to kvotientene

k=\dfrac{1}{2}\quad\text{eller}\quad k=-\dfrac{1}{2}

Steg 4 — Finn første ledd når \(k=\dfrac{1}{2}\)

a_1=\dfrac{a_2}{k}=\dfrac{8}{1/2}=16

Steg 5 — Finn summen for positiv kvotient

S_6=16\cdot\dfrac{1-(1/2)^6}{1-1/2}=\dfrac{63}{2}

Steg 6 — Finn første ledd når \(k=-\dfrac{1}{2}\)

a_1=\dfrac{8}{-1/2}=-16

Steg 7 — Finn summen for negativ kvotient

S_6=-16\cdot\dfrac{1-(-1/2)^6}{1-(-1/2)}=-\dfrac{21}{2}

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bare ta den positive kvotienten. Likningen \(k^2=\dfrac{1}{4}\) har to løsninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Sum(16*(1/2)^(n-1),n,1,6)

→ \(\dfrac{63}{2}\)

Sum(-16*(-1/2)^(n-1),n,1,6)

→ \(-\dfrac{21}{2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 3b: to geometriske rekker")
print("-"*60)
from sympy import Rational, summation, symbols
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
for k in [Rational(1, 2), Rational(-1, 2)]:
    a1 = Rational(8, 1)/k
    a_n = a1*k**(n-1)
    S6 = summation(a_n, (n, 1, 6))
    print('k =', k, 'a1 =', a1, 'S6 =', S6)

Fasit: Summene er \(\dfrac{63}{2}\) og \(-\dfrac{21}{2}\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 4aGeometrisk modell

Oppgave 4a

Oppgave:

En tablett inneholder 125 mg av et virkestoff. Elise tar én tablett hver dag. Kroppen bryter ned 20 prosent av virkestoffet hvert døgn. Hvor mye virkestoff har Elise i kroppen like etter at hun har tatt den fjerde tabletten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn restfaktoren per døgn

\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]

Steg 2 — Etter første tablett

\[ 125 \]

Steg 3 — Like etter andre tablett

125\cdot0{,}8+125=225

Steg 4 — Like etter tredje tablett

225\cdot0{,}8+125=305

Steg 5 — Like etter fjerde tablett

305\cdot0{,}8+125=369

Steg 6 — Alternativ som rekke

125\left(1+0{,}8+0{,}8^2+0{,}8^3\right)=369

Steg 7 — Tolkning

Rett etter fjerde tablett har hun 369 mg virkestoff i kroppen.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å trekke fra 20 prosent etter at den nye tabletten er tatt. Nedbrytningen skjer mellom tablettene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

125*(1+0.8+0.8^2+0.8^3)

→ \(369\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 4a: tablettmodell")
print("-"*60)
dose = 125
restfaktor = 0.80
mengde = 0
for dag in range(1, 5):
    mengde = mengde*restfaktor + dose
    print(f'Like etter tablett {dag}: {mengde:.3f} mg')
print('Svar:', mengde, 'mg')

Fasit: \(369\) mg (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 4bUendelig geometrisk rekke

Oppgave 4b

Oppgave:

Hvor mye virkestoff vil det være i kroppen til Elise dersom hun fortsetter å ta én tablett hver dag over en lang tidsperiode?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Tolk lang tidsperiode som grenseverdi

Etter mange dager nærmer mengden seg summen av en uendelig geometrisk rekke.

Steg 2 — Skriv rekken

125+125\cdot0{,}8+125\cdot0{,}8^2+\cdots

Steg 3 — Kontroller konvergens

\[ |0{,}8|<1 \]

Steg 4 — Bruk sumformelen

S=\dfrac{a_1}{1-k}

Steg 5 — Sett inn

S=\dfrac{125}{1-0{,}8}=\dfrac{125}{0{,}2}=625

Steg 6 — Kontroll med likevekt

Hvis mengden er \(M\), må \(M=0{,}8M+125\), som gir \(M=625\).

Steg 7 — Tolkning

På lang sikt stabiliserer mengden seg rundt 625 mg rett etter en tablett.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å svare 125 mg fordi hver tablett inneholder 125 mg. Tidligere tabletter er ikke fullstendig borte.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

125/(1-0.8)

→ \(625\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 4b: langtidsmengde")
print("-"*60)
dose = 125
restfaktor = 0.80
langtidsmengde = dose/(1-restfaktor)
print('Langtidsmengde rett etter tablett:', langtidsmengde, 'mg')
# Numerisk kontroll etter mange dager
mengde = 0
for dag in range(1, 101):
    mengde = mengde*restfaktor + dose
print('Etter 100 dager:', mengde, 'mg')

Fasit: \(625\) mg (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 5aMarginalkostnad

Oppgave 5a

Oppgave:

Kostnadene er \(K(x)=0{,}2x^2+80x+720\), \(0

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Tolk marginalkostnaden

Kostnaden ved å øke produksjonen med én enhet tolkes som marginalkostnaden \(K^{\prime}(x)\).

Steg 2 — Deriver kostnadsfunksjonen

\[ K'(x)=0{,}4x+80 \]

Steg 3 — Sett marginalkostnaden lik 160

\[ 0{,}4x+80=160 \]

Steg 4 — Løs likningen

0{,}4x=80\Rightarrow x=200

Steg 5 — Kontroller definisjonsområdet

Verdien \(200\) ligger i intervallet \(0

Steg 6 — Tolkning

Bedriften produserer 200 enheter daglig.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å sette \(K(x)=160\). Oppgaven handler om ekstra kostnad, altså den deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(0.4x+80=160)

→ \(x=200\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 5a: marginalkostnad")
print("-"*60)
from sympy import symbols, diff, Eq, solve
x = symbols('x')
K = 0.2*x**2 + 80*x + 720
K_derivert = diff(K, x)
løsning = solve(Eq(K_derivert, 160), x)
print('K(x) =', K)
print('K_derivert =', K_derivert)
print('Produksjonsmengde:', løsning)

Fasit: \(200\) enheter (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 5bOverskudd

Oppgave 5b

Oppgave:

Bedriften får solgt varen for 180 kroner per enhet. Vil det lønne seg å øke produksjonen til mer enn 300 enheter per dag?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv inntekten

\[ I(x)=180x \]

Steg 2 — Skriv overskuddet

O(x)=I(x)-K(x)=180x-(0{,}2x^2+80x+720)

Steg 3 — Forenkle

O(x)=-0{,}2x^2+100x-720

Steg 4 — Deriver overskuddet

\[ O'(x)=-0{,}4x+100 \]

Steg 5 — Finn toppunktet

-0{,}4x+100=0\Rightarrow x=250

Steg 6 — Vurder produksjon over 300

For \(x>250\) er \(O^{\prime}(x)<0\), så overskuddet synker. Derfor vil mer enn 300 enheter ikke lønne seg.

Steg 7 — Tolkning

Den mest lønnsomme produksjonsmengden er lavere enn 300 enheter.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å sammenligne salgspris med gjennomsnittskostnad uten å undersøke overskuddsfunksjonen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Ekstremalpunkt(-0.2x^2+100x-720)

→ \(x=250\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 5b: overskudd")
print("-"*60)
from sympy import symbols, diff, solve, expand
x = symbols('x')
K = 0.2*x**2 + 80*x + 720
I = 180*x
O = expand(I - K)
print('Overskudd O(x) =', O)
print('O_derivert =', diff(O, x))
print('Maksimum ved x =', solve(diff(O, x), x))
print('O(300) =', O.subs(x, 300), 'O(320) =', O.subs(x, 320))

Fasit: Nei. Overskuddet er størst ved \(250\) enheter og synker for produksjon over dette (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 5cEnhetskostnad

Oppgave 5c

Oppgave:

Bestem den daglige produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv enhetskostnaden

E(x)=\dfrac{K(x)}{x}=0{,}2x+80+\dfrac{720}{x}

Steg 2 — Deriver enhetskostnaden

E'(x)=0{,}2-\dfrac{720}{x^2}

Steg 3 — Sett den deriverte lik null

0{,}2-\dfrac{720}{x^2}=0

Steg 4 — Løs for \(x\)

0{,}2x^2=720\Rightarrow x^2=3600\Rightarrow x=60

Steg 5 — Kontroller at punktet er et minimum

For lave \(x\) er \(720/x\) stort, og for høye \(x\) øker leddet \(0{,}2x\). Derfor er punktet et minimum.

Steg 6 — Tolkning

Lavest kostnad per enhet oppnås ved 60 enheter daglig.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å minimere \(K(x)\) i stedet for \(K(x)/x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Minimer((0.2x^2+80x+720)/x)

→ \(x=60\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 5c: lavest kostnad per enhet")
print("-"*60)
from sympy import symbols, diff, solve, simplify
x = symbols('x', positive=True)
K = 0.2*x**2 + 80*x + 720
E = simplify(K/x)
print('E(x) =', E)
print('E_derivert =', diff(E, x))
print('Kritisk punkt:', solve(diff(E, x), x))

Fasit: \(60\) enheter (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 6Inntektsoptimering

Oppgave 6

Oppgave:

Dersom en bedrift selger en vare for \(p\) kroner per enhet, vil den daglige etterspørselen være \( q(p)=\dfrac{10000}{\ln p} \), \(p\in[2,10]\). Bestem den laveste daglige inntekten bedriften kan få ved salg av denne varen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv inntekten

I(p)=p\cdot q(p)=\dfrac{10000p}{\ln p}

Steg 2 — Deriver inntekten

I'(p)=10000\cdot\dfrac{\ln p-1}{(\ln p)^2}

Steg 3 — Finn kritisk punkt

\ln p-1=0\Rightarrow p=e

Steg 4 — Kontroller at \(e\) ligger i intervallet

\[ 2Steg 5 — Regn inntekten i kritisk punkt\[ I(e)=\dfrac{10000e}{\ln e}=10000e \]Steg 6 — Sammenlign med endepunkteneFunksjonen avtar fram til \(e\) og øker etter \(e\). Derfor er \(p=e\) minimumspunktet.Steg 7 — Beregn tilnærmet verdi\[ 10000e\approx27183 \]Steg 8 — Vanlig feilVanlig feil: Å bare sjekke endepunktene. Her har funksjonen et indre minimum. Kontroll (GeoGebra CAS) GeoGebra · CAS1Minimer(10000p/ln(p),2≤p≤10)→ \(10000e\approx27183\) Kontroll (Python) Python-kontrollprint("Oppgave 6: laveste inntekt") print("-"*60) from sympy import symbols, log, diff, solve, E, N p = symbols('p', positive=True) I = 10000*p/log(p) print('I(p) =', I) print('I_derivert =', diff(I, p)) print('Kritisk punkt:', solve(diff(I, p), p)) print('Laveste inntekt:', N(I.subs(p, E)))

Fasit: Laveste daglige inntekt er \(10000e\approx27183\) kroner (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 7aForventningsverdi

Oppgave 7a

Oppgave:

La \(X\) være antall torskefileter i en tilfeldig valgt pose. Fordelingen er \(P(X=5)=0{,}1\), \(P(X=6)=0{,}2\), \(P(X=7)=0{,}4\), \(P(X=8)=0{,}2\), \(P(X=9)=0{,}1\). Regn ut forventningsverdien til \(X\). Hva forteller svaret?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk formelen for forventningsverdi

E(X)=\sum k\cdot P(X=k)

Steg 2 — Sett inn verdiene

E(X)=5\cdot0{,}1+6\cdot0{,}2+7\cdot0{,}4+8\cdot0{,}2+9\cdot0{,}1

Steg 3 — Regn bidragene

\[ 0{,}5+1{,}2+2{,}8+1{,}6+0{,}9=7 \]

Steg 4 — Skriv forventningen

\[ E(X)=7 \]

Steg 5 — Tolkning

I gjennomsnitt er det 7 torskefileter per pose over lang tid.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å ta vanlig gjennomsnitt av tallene 5, 6, 7, 8 og 9 uten å bruke sannsynlighetene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

5*0.1+6*0.2+7*0.4+8*0.2+9*0.1

→ \(7\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 7a: forventningsverdi")
print("-"*60)
verdier = [5, 6, 7, 8, 9]
sannsynligheter = [0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1]
for k, p in zip(verdier, sannsynligheter):
    print(f'Bidrag: {k} * {p} = {k*p}')
E = sum(k*p for k, p in zip(verdier, sannsynligheter))
print('E(X) =', E)

Fasit: \(E(X)=7\). Det betyr omtrent 7 fileter per pose i gjennomsnitt (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 7bVarians

Oppgave 7b

Oppgave:

Vis at variansen til \(X\) er \(1{,}2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk variansformelen

\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2

Steg 2 — Regn \(E(X^2)\)

E(X^2)=5^2\cdot0{,}1+6^2\cdot0{,}2+7^2\cdot0{,}4+8^2\cdot0{,}2+9^2\cdot0{,}1

Steg 3 — Beregn summen

E(X^2)=2{,}5+7{,}2+19{,}6+12{,}8+8{,}1=50{,}2

Steg 4 — Bruk \(E(X)=7\)

\operatorname{Var}(X)=50{,}2-7^2

Steg 5 — Regn ferdig

\operatorname{Var}(X)=50{,}2-49=1{,}2

Steg 6 — Tolkning

Variansen beskriver spredningen i antall fileter per pose.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å regne \(E(X^2)\) som \((E(X))^2\). Dette er ikke det samme.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Sum(k^2*P(X=k))-7^2

→ \(1{,}2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 7b: varians")
print("-"*60)
verdier = [5, 6, 7, 8, 9]
sannsynligheter = [0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1]
E = sum(k*p for k, p in zip(verdier, sannsynligheter))
E2 = sum(k**2*p for k, p in zip(verdier, sannsynligheter))
varians = E2 - E**2
print('E(X) =', E)
print('E(X^2) =', E2)
print('Var(X) =', varians)

Fasit: \(\operatorname{Var}(X)=1{,}2\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 7cSum av uavhengige variabler

Oppgave 7c

Oppgave:

La \(S\) være det totale antallet torskefileter i 120 tilfeldig valgte poser. Begrunn at \(E(S)=840\), og at \(\operatorname{Var}(S)=144\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv summen

S=X_1+X_2+\cdots+X_{120}

Steg 2 — Bruk linearitet for forventning

E(S)=E(X_1)+\cdots+E(X_{120})

Steg 3 — Sett inn \(E(X)=7\)

E(S)=120\cdot7=840

Steg 4 — Bruk uavhengighet for varians

Siden posene er uavhengige, kan variansene summeres.

Steg 5 — Sett inn \(\operatorname{Var}(X)=1{,}2\)

\operatorname{Var}(S)=120\cdot1{,}2=144

Steg 6 — Tolkning

Forventet totalantall er 840 fileter, og standardavviket er \(\sqrt{144}=12\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å multiplisere standardavviket med 120. Det er variansen som summeres.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

120*7

→ \(840\)

120*1.2

→ \(144\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 7c: sum av 120 poser")
print("-"*60)
n = 120
E_X = 7
Var_X = 1.2
E_S = n*E_X
Var_S = n*Var_X
print('E(S) =', E_S)
print('Var(S) =', Var_S)
print('Standardavvik(S) =', Var_S**0.5)

Fasit: \(E(S)=840\), \(\operatorname{Var}(S)=144\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 7dNormaltilnærming

Oppgave 7d

Oppgave:

Caroline trenger 822 torskefileter og bestiller 120 poser. Begrunn at \(S\) er tilnærmet normalfordelt, og bruk dette til å bestemme sannsynligheten for at Caroline får nok torskefileter denne uken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Begrunn normaltilnærming

Summen \(S\) består av 120 uavhengige, identisk fordelte variabler. Siden antallet er stort, gir sentralgrenseteoremet en normaltilnærming.

Steg 2 — Skriv normalmodellen

S\approx N(840,12)

Steg 3 — Oversett hendelsen

P(S\ge822)

Steg 4 — Bruk kontinuitetskorreksjon

P(S\ge822)\approx P(Y\ge821{,}5)

Steg 5 — Standardiser

z=\dfrac{821{,}5-840}{12}\approx-1{,}542

Steg 6 — Finn sannsynligheten

P(Y\ge821{,}5)=P(Z\ge-1{,}542)\approx0{,}938

Steg 7 — Tolkning

Det er omtrent 94 prosent sannsynlighet for at hun får nok fileter.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(S>822\) uten å tenke på at \(S\) er et helt antall. Kontinuitetskorreksjonen gir mer presis normaltilnærming.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

1-Normal(840,12,821.5)

→ \(0{,}938\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 7d: normaltilnærming")
print("-"*60)
from statistics import NormalDist
mu = 840
sigma = 12
grense = 821.5
normal = NormalDist(mu, sigma)
sannsynlighet = 1 - normal.cdf(grense)
print('Normalmodell: N(840, 12)')
print('Kontinuitetsgrense:', grense)
print('P(S >= 822) ≈', sannsynlighet)

Fasit: \(P(S\ge822)\approx0{,}938\) (kontrollert digitalt).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 dokumenterer regresjon, normalfordeling, hypotesetest og finansmatematikk med digitale kontroller.

Del 2 · Oppgave 1aLogistisk regresjon

Oppgave 1a

Oppgave:

I en by i Norge ble det i 2021 kartlagt hvor stor prosentandel av befolkningen som var immune ved slutten av noen utvalgte måneder. Tabellen er \((2,6)\), \((4,21)\), \((6,41)\), \((8,68)\), \((10,81)\). Her er \(t=1\) slutten av januar 2021. Bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell \(g\) for situasjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Velg logistisk modelltype

g(t)=\dfrac{L}{1+A e^{-kt}}

Steg 2 — Legg inn datapunktene

Vi legger inn punktene \((2,6)\), \((4,21)\), \((6,41)\), \((8,68)\), \((10,81)\) i regresjonsverktøy.

Steg 3 — Kjør logistisk regresjon

GeoGebra eller Python gir en modell med øvre asymptote, vekstparameter og forskyvning.

Steg 4 — Et mulig regresjonsresultat

g(t)\approx\dfrac{89{,}975}{1+38{,}607e^{-0{,}590t}}

Steg 5 — Kontroller mot data

Modellen gir omtrent \(7{,}0\), \(19{,}4\), \(42{,}5\), \(67{,}0\) og \(81{,}4\) prosent for de fem tidspunktene.

Steg 6 — Tolkning

Modellen beskriver en S-formet utvikling der prosentandelen nærmer seg en øvre grense.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke lineær regresjon selv om utviklingen tydelig flater ut mot slutten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

FitLogistic({(2,6),(4,21),(6,41),(8,68),(10,81)})

→ \(g(t)\approx\dfrac{89{,}975}{1+38{,}607e^{-0{,}590t}}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 1a: logistisk regresjon")
print("-"*60)
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

def logistisk(t, L, A, k):
    return L/(1 + A*np.exp(-k*t))

t = np.array([2, 4, 6, 8, 10], dtype=float)
y = np.array([6, 21, 41, 68, 81], dtype=float)
parametre, kovarians = curve_fit(logistisk, t, y, p0=[100, 40, 0.5], maxfev=10000)
L, A, k = parametre
print('L =', L)
print('A =', A)
print('k =', k)
print('Modell: g(t) = L/(1 + A*exp(-k*t))')
for ti, yi in zip(t, y):
    print(ti, yi, logistisk(ti, L, A, k))

Fasit: En passende modell er \(g(t)\approx\dfrac{89{,}975}{1+38{,}607e^{-0{,}590t}}\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 1bLogistisk modell

Oppgave 1b

Oppgave:

Ved hvilket tidspunkt vil andelen immune passere 85 prosent ifølge modellen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk modellen

g(t)=\dfrac{89{,}975}{1+38{,}607e^{-0{,}590t}}

Steg 2 — Sett modellen lik 85

\dfrac{89{,}975}{1+38{,}607e^{-0{,}590t}}=85

Steg 3 — Løs likningen digitalt

Dette gjøres effektivt med CAS eller numerisk løser.

Steg 4 — CAS-resultat

t\approx10{,}999

Steg 5 — Tolk tidspunktet

Siden \(t=1\) er slutten av januar, er \(tpprox11\) omtrent slutten av november 2021.

Steg 6 — Svar i kontekst

Modellen sier at andelen passerer 85 prosent rundt slutten av november 2021.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tolke \(t=11\) som januar året etter. Her er \(t=1\) slutten av januar, så \(t=11\) er slutten av november.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(g(t)=85)

→ \(t\approx10{,}999\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 1b: passering av 85 prosent")
print("-"*60)
from scipy.optimize import brentq
import numpy as np
L = 89.97499996
A = 38.60686271
k = 0.59020988
def g(t):
    return L/(1 + A*np.exp(-k*t))
rot = brentq(lambda t: g(t) - 85, 1, 30)
print('Tidspunkt t der g(t)=85:', rot)
print('g(t) =', g(rot))

Fasit: Andelen passerer 85 prosent ved \(t\approx11{,}0\), omtrent slutten av november 2021 (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 1cAsymptote

Oppgave 1c

Oppgave:

Vil hele befolkningen noen gang bli immune ifølge modellen? Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Se på modellens øvre grense

g(t)=\dfrac{89{,}975}{1+38{,}607e^{-0{,}590t}}

Steg 2 — Undersøk hva som skjer når \(t\) blir stor

e^{-0{,}590t}\to0\quad\text{når}\quad t\to\infty

Steg 3 — Finn grenseverdien

\lim_{t\to\infty}g(t)=\dfrac{89{,}975}{1+0}=89{,}975

Steg 4 — Sammenlign med 100 prosent

Øvre grense er under 100 prosent.

Steg 5 — Konkluder

Hele befolkningen blir derfor ikke immune ifølge denne modellen.

Steg 6 — Tolkning

Modellen flater ut rundt 90 prosent, ikke 100 prosent.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tro at en stigende modell alltid ender på 100 prosent. En logistisk modell har en egen øvre asymptote.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Grenseverdi(g(t),t,∞)

→ \(89{,}975\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 1c: øvre asymptote")
print("-"*60)
import sympy as sp
t = sp.symbols('t', positive=True)
L = sp.Float(89.97499996)
A = sp.Float(38.60686271)
k = sp.Float(0.59020988)
g = L/(1 + A*sp.exp(-k*t))
print('Grenseverdi når t går mot uendelig:')
print(sp.limit(g, t, sp.oo))

Fasit: Nei. Modellen nærmer seg omtrent \(89{,}975\,\%\), ikke \(100\,\%\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 1dGraftegner

Oppgave 1d

Oppgave:

I en annen by er \(N(t)=\dfrac{2300e^{-0{,}61t}}{(1+40e^{-0{,}61t})^2}\) en god modell for hvor mye prosentandelen som er immune, økte med per måned. Bruk graftegner til å tegne grafen til \(N\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Legg inn funksjonen i graftegner

N(t)=\dfrac{2300e^{-0{,}61t}}{(1+40e^{-0{,}61t})^2}

Steg 2 — Velg relevant intervall

Siden modellen gjelder måneder etter 1. januar 2021, er et naturlig vindu for eksempel \(0\le t\le13\).

Steg 3 — Beskriv grafens form

Grafen starter lavt, øker til en topp og avtar deretter.

Steg 4 — Finn toppunkt digitalt

t\approx6{,}05

Steg 5 — Finn maksimal økning per måned

N(6{,}05)\approx14{,}38

Steg 6 — Tolkning

Den månedlige økningen var størst rundt starten av juli 2021, med omtrent 14,4 prosentpoeng per måned.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tolke \(N(t)\) som total prosentandel immune. \(N(t)\) er økningen per måned.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

N(t)=2300 exp(-0.61t)/(1+40 exp(-0.61t))^2

→ Graf med topp ved \(t\approx6{,}05\)

Ekstremalpunkt(N,0,13)

→ \((6{,}05,14{,}38)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 1d: graf og toppunkt for N")
print("-"*60)
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar

def N(t):
    return 2300*np.exp(-0.61*t)/(1 + 40*np.exp(-0.61*t))**2

resultat = minimize_scalar(lambda x: -N(x), bounds=(0, 13), method='bounded')
print('Toppunkt t ≈', resultat.x)
print('N(t) ≈', N(resultat.x))
print('Eksempelverdier:')
for ti in [0.5, 3, 6, 9, 12.5]:
    print(ti, N(ti))

Fasit: Grafen har topp rundt \(t\approx6{,}05\), med \(N(t)\approx14{,}38\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 1eBestemt integral

Oppgave 1e

Oppgave:

Bestem \(\int_{0{,}5}^{12{,}5}N(t)\,dt\). Hva forteller svaret i denne situasjonen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Tolk integralet

Integralet av økning per måned gir total økning i prosentandelen i perioden.

Steg 2 — Skriv integralet

\int_{0{,}5}^{12{,}5}\dfrac{2300e^{-0{,}61t}}{(1+40e^{-0{,}61t})^2}\,dt

Steg 3 — Beregn med CAS

\int_{0{,}5}^{12{,}5}N(t)\,dt\approx89{,}37

Steg 4 — Sjekk enhet

Fordi \(N(t)\) er prosentpoeng per måned og \(dt\) er måneder, får integralet enhet prosentpoeng.

Steg 5 — Tolkning

Prosentandelen immune økte med omtrent 89,4 prosentpoeng fra midten av januar til midten av desember 2021.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tolke svaret som 89,4 personer. Modellen bruker prosentandel, ikke antall personer.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Integral(N(t),0.5,12.5)

→ \(89{,}37\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 1e: bestemt integral")
print("-"*60)
from scipy.integrate import quad
from math import exp

def N(t):
    return 2300*exp(-0.61*t)/(1 + 40*exp(-0.61*t))**2

verdi, feil = quad(N, 0.5, 12.5)
print('Integral fra 0.5 til 12.5:', verdi)
print('Estimert numerisk feil:', feil)

Fasit: \(\int_{0{,}5}^{12{,}5}N(t)\,dt\approx89{,}37\). Det betyr omtrent \(89{,}4\) prosentpoeng økning (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 2aNormalfordeling

Oppgave 2a

Oppgave:

Kaffefabrikken har en maskin som fyller kaffe i poser. La \(X\) være mengden kaffe i en tilfeldig pose. \(X\) er normalfordelt med forventningsverdi \(250\) gram og standardavvik \(5\) gram. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mellom 245 gram og 255 gram kaffe.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv fordelingen

X\sim N(250,5)

Steg 2 — Standardiser nedre grense

z_1=\dfrac{245-250}{5}=-1

Steg 3 — Standardiser øvre grense

z_2=\dfrac{255-250}{5}=1

Steg 4 — Skriv sannsynligheten

\[ P(245Steg 5 — Beregn\[ P(-1Steg 6 — TolkningOmtrent 68,3 prosent av posene ligger mellom 245 g og 255 g.Steg 7 — Vanlig feilVanlig feil: Å bruke variansen \(25\) som standardavvik. Standardavviket er \(5\). Kontroll (GeoGebra CAS) GeoGebra · CAS1Normal(250,5,255)-Normal(250,5,245)→ \(0{,}6827\) Kontroll (Python) Python-kontrollprint("Del 2 Oppgave 2a: normalfordeling") print("-"*60) from statistics import NormalDist X = NormalDist(mu=250, sigma=5) p = X.cdf(255) - X.cdf(245) print('P(245 < X < 255) =', p) Fasit: \(P(245

Del 2 · Oppgave 2bNormalfordeling og kvantil

Oppgave 2b

Oppgave:

Forventningsverdien blir større, men standardavviket er fortsatt 5 gram. Hva må forventningsverdien minst være dersom høyst 5 prosent av posene skal veie mindre enn 250 gram?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp kravet

P(X<250)\le0{,}05

Steg 2 — La ny forventning være \(\mu\)

X\sim N(\mu,5)

Steg 3 — Bruk 5-prosentkvantilen

\dfrac{250-\mu}{5}=-1{,}645

Steg 4 — Løs for \(\mu\)

250-\mu=-8{,}224

Steg 5 — Regn ut

\mu=258{,}224

Steg 6 — Rund praktisk

Forventningsverdien må minst være omtrent 258,3 gram, eventuelt 259 gram hvis vi runder opp til hele gram.

Steg 7 — Tolkning

Maskinen må stilles inn høyere enn 250 g for at få poser skal havne under 250 g.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(+1{,}645\) på feil side og få en forventning under 250 gram.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

InverseNormal(0.05,mu,5)=250

→ \(\mu\approx258{,}22\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 2b: finne ny forventning")
print("-"*60)
from statistics import NormalDist
standardnormal = NormalDist()
z_005 = standardnormal.inv_cdf(0.05)
mu = 250 - 5*z_005
print('z_0.05 =', z_005)
print('Minste forventningsverdi mu =', mu, 'gram')

Fasit: Minst \(\mu\approx258{,}22\) gram (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 2cUavhengige normalfordelte variabler

Oppgave 2c

Oppgave:

Maskinen justeres slik at den i gjennomsnitt fyller 260 gram i hver pose. Posene selges i esker med 10 poser. Hva er sannsynligheten for at ingen av posene i en tilfeldig valgt eske inneholder mindre enn 250 gram kaffe?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn sannsynlighet for én pose under 250 g

P(X<250)=P\left(Z<\dfrac{250-260}{5}\right)=P(Z<-2)

Steg 2 — Beregn sannsynligheten

P(X<250)\approx0{,}02275

Steg 3 — Finn sannsynlighet for én pose minst 250 g

\[ 1-0{,}02275=0{,}97725 \]

Steg 4 — Bruk uavhengighet for 10 poser

P(\text{ingen under }250)=0{,}97725^{10}

Steg 5 — Regn ut

0{,}97725^{10}\approx0{,}794

Steg 6 — Tolkning

Det er omtrent 79,4 prosent sannsynlighet for at alle ti poser veier minst 250 g.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å regne \(1-10p\). For uavhengige poser skal vi bruke potens.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

(1-Normal(260,5,250))^10

→ \(0{,}794\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 2c: 10 poser i eske")
print("-"*60)
from statistics import NormalDist
X = NormalDist(mu=260, sigma=5)
p_under = X.cdf(250)
p_ingen_under = (1 - p_under)**10
print('P(en pose under 250 g) =', p_under)
print('P(ingen av 10 under 250 g) =', p_ingen_under)

Fasit: \(0{,}794\), altså omtrent \(79{,}4\,\%\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 2dHypotesetest

Oppgave 2d

Oppgave:

Ledelsen tror at forventningsverdien er mindre enn 260 gram. Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som kan brukes for å teste mistanken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Definer parameteren

La \(\mu\) være den sanne forventede fyllmengden per pose.

Steg 2 — Nullhypotese

H_0:\mu=260

Steg 3 — Alternativ hypotese

H_1:\mu<260

Steg 4 — Begrunn retningen

Alternativet er venstresidig fordi mistanken er at maskinen fyller mindre enn 260 g.

Steg 5 — Velg testtype

Standardavviket antas kjent som \(5\) g, så en z-test er passende.

Steg 6 — Tolkning

Vi undersøker om et lavt utvalgsgjennomsnitt er så lavt at det ikke passer med \(H_0\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å sette \(H_1:\mu e260\). Mistanken har én bestemt retning.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Hypotesetest

→ \(H_0:\mu=260\quad H_1:\mu<260\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 2d: hypoteser")
print("-"*60)
print('Parameter: mu = sann forventet fyllmengde')
print('H0: mu = 260')
print('H1: mu < 260')
print('Dette er en venstresidig test.')

Fasit: \(H_0:\mu=260\), \(H_1:\mu<260\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 2eHypotesetest

Oppgave 2e

Oppgave:

I en stikkprøve viste gjennomsnittsvekten til 50 tilfeldige poser seg å være 258,4 gram. Gjennomfør hypotesetesten med signifikansnivå 5 prosent.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv testobservatoren

Z=\dfrac{\overline X-260}{5/\sqrt{50}}

Steg 2 — Sett inn \(\overline X=258{,}4\)

Z=\dfrac{258{,}4-260}{5/\sqrt{50}}

Steg 3 — Regn ut

Z\approx-2{,}263

Steg 4 — Finn kritisk verdi

z_{0{,}05}\approx-1{,}645

Steg 5 — Sammenlign

\[ -2{,}263<-1{,}645 \]

Steg 6 — Finn p-verdi

P(Z<-2{,}263)\approx0{,}0118

Steg 7 — Konkluder

Siden \(0{,}0118<0{,}05\), forkaster vi \(H_0\). Det er grunnlag for mistanken.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(5\) som standardfeil. Standardfeilen for gjennomsnittet er \(5/\sqrt{50}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Z=(258.4-260)/(5/sqrt(50))

→ \(-2{,}263\)

Normal(0,1,-2.263)

→ \(0{,}0118\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 2e: gjennomføre z-test")
print("-"*60)
from statistics import NormalDist
from math import sqrt
mu0 = 260
sigma = 5
n = 50
xbar = 258.4
standardfeil = sigma/sqrt(n)
z = (xbar - mu0)/standardfeil
p_verdi = NormalDist().cdf(z)
kritisk = NormalDist().inv_cdf(0.05)
print('Standardfeil =', standardfeil)
print('z =', z)
print('p-verdi =', p_verdi)
print('Kritisk verdi =', kritisk)
print('Forkast H0?', p_verdi < 0.05)

Fasit: Forkast \(H_0\). Det er grunnlag for mistanken på \(5\,\%\) signifikansnivå (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 3aSparing og geometrisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

Camilla har spart 5000 kroner i måneden i 2 år på en fastrentekonto. Den månedlige rentefoten er \(0{,}2\,\%\). Hvor mye hadde Camilla på kontoen like etter at hun satte inn det 24. beløpet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn månedlig rente som desimaltall

\[ r=0{,}002 \]

Steg 2 — Finn antall innskudd

\[ n=24 \]

Steg 3 — Bruk framtidsverdi for etterskuddsannuitet

A=5000\cdot\dfrac{(1+r)^{24}-1}{r}

Steg 4 — Sett inn rente

A=5000\cdot\dfrac{1{,}002^{24}-1}{0{,}002}

Steg 5 — Regn ut

A\approx122800{,}91

Steg 6 — Tolkning

Like etter det 24. innskuddet hadde hun omtrent 122 801 kroner på kontoen.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke 2,4 prosent som månedlig rente. Renten \(0{,}2\,\%\) gjelder per måned.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

5000*(1.002^24-1)/0.002

→ \(122800{,}91\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 3a: månedlig sparing")
print("-"*60)
innskudd = 5000
r = 0.002
n = 24
framtidsverdi = innskudd*((1+r)**n - 1)/r
print('Innskudd per måned:', innskudd)
print('Månedlig rente:', r)
print('Antall innskudd:', n)
print('Framtidsverdi etter 24. innskudd:', framtidsverdi)

Fasit: Omtrent \(122801\) kroner (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 3bAnnuitetslån

Oppgave 3b

Oppgave:

Camilla vurderer et forbrukslån på 100 000 kroner med månedlig rentefot \(1{,}5\,\%\). Lånet nedbetales som annuitetslån med 36 månedlige terminer. Hvor stort terminbeløp må Camilla betale?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv lånebeløp, rente og terminer

L=100000,\\ r=0{,}015,\\ n=36

Steg 2 — Bruk annuitetsformelen

T=L\cdot\dfrac{r}{1-(1+r)^{-n}}

Steg 3 — Sett inn verdiene

T=100000\cdot\dfrac{0{,}015}{1-(1{,}015)^{-36}}

Steg 4 — Regn ut

T\approx3615{,}24

Steg 5 — Rund av til kroner

Terminbeløpet blir omtrent 3615 kroner per måned.

Steg 6 — Tolkning

Dette er fast månedsbetaling som dekker både renter og avdrag.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å dele lånet på 36 og legge til én måneds rente. Annuitetslån må beregnes med nåverdi av alle terminbeløpene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

100000*0.015/(1-(1.015)^(-36))

→ \(3615{,}24\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 3b: annuitetslån")
print("-"*60)
L = 100_000
r = 0.015
n = 36
terminbeløp = L*r/(1 - (1+r)**(-n))
print('Lånebeløp:', L)
print('Månedlig rente:', r)
print('Antall terminer:', n)
print('Terminbeløp:', terminbeløp)

Fasit: Terminbeløpet er omtrent \(3615\) kroner (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 3cAnnuitetslån og rente

Oppgave 3c

Oppgave:

Dersom moren til Camilla stiller sikkerhet, blir terminbeløpet 2926 kroner. Lånet er fortsatt 100 000 kroner og nedbetales over 36 månedlige terminer. Hva er den månedlige rentefoten til dette lånet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal transkribere informasjonen presist, velge riktig matematisk metode, regne trinnvis og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp annuitetslikningen

2926=100000\cdot\dfrac{r}{1-(1+r)^{-36}}

Steg 2 — Forklar hvorfor vi løser numerisk

Renten står både utenfor og inne i en potens. Derfor er CAS eller numerisk løser naturlig.

Steg 3 — Løs med CAS

r\approx0{,}002837

Steg 4 — Gjør om til prosent

0{,}002837\cdot100\approx0{,}284\,\%

Steg 5 — Kontroller ved innsetting

Setter vi \(rpprox0{,}002837\) inn i annuitetsformelen, får vi terminbeløp omtrent 2926 kroner.

Steg 6 — Tolkning

Den månedlige rentefoten er omtrent 0,284 prosent.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tolke \(0{,}002837\) som \(2{,}837\,\%\). Desimaltallet tilsvarer \(0{,}284\,\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(2926=100000*r/(1-(1+r)^(-36)))

→ \(r\approx0{,}002837\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 Oppgave 3c: finne månedlig rente")
print("-"*60)
from scipy.optimize import brentq
L = 100_000
T = 2926
n = 36
def annuitet(r):
    return L*r/(1 - (1+r)**(-n))
def likning(r):
    return annuitet(r) - T
r = brentq(likning, 0.000001, 0.02)
print('Månedlig rente som desimaltall:', r)
print('Månedlig rente i prosent:', 100*r)
print('Kontroll, terminbeløp:', annuitet(r))

Fasit: Månedlig rentefot er omtrent \(0{,}284\,\%\) (kontrollert digitalt).

Matematikk S2 eksamen – vår 2022

Matematikk S2 eksamen V22 (K06) – løsningsforslag

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 — Bruk summeregelen

Steg 2 — Deriver potensleddet

Steg 3 — Deriver logaritmeleddet

Steg 4 — Sett sammen den deriverte

Steg 5 — Tolkning

Steg 6 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 1b

Steg 1 — Identifiser produktet

Steg 2 — Sett opp produktregelen

Steg 3 — Deriver faktorene

Steg 4 — Sett inn i produktregelen

Steg 5 — Faktoriser

Steg 6 — Tolkning

Steg 7 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 1c

Steg 1 — Identifiser brøkfunksjonen

Steg 2 — Sett opp kvotientregelen

Steg 3 — Deriver teller og nevner

Steg 4 — Sett inn

Steg 5 — Forenkle telleren

Steg 6 — Skriv svaret ryddig

Steg 7 — Tolkning

Steg 8 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2a

Steg 1 — Kontroller nullpunktet

Steg 2 — Bruk faktorregelen

Steg 3 — Utfør polynomdivisjon

Steg 4 — Faktoriser andregradspolynomet

Steg 5 — Finn alle nullpunktene

Steg 6 — Skriv løsningene

Steg 7 — Tolkning

Steg 8 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2b

Steg 1 — Deriver funksjonen

Steg 2 — Sett den deriverte lik null

Steg 3 — Del på 3

Steg 4 — Bruk abc-formelen

Steg 5 — Forenkle

Steg 6 — Klassifiser med andrederivert

Steg 7 — Avgjør topp og bunn

Steg 8 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2c

Steg 1 — Finn andrederivert

Steg 2 — Finn vendepunktets x-verdi

Steg 3 — Finn y-verdien

Steg 4 — Finn stigningstallet

Steg 5 — Bruk ettpunktsformelen

Steg 6 — Sett inn punkt og stigningstall

Steg 7 — Forenkle

Steg 8 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2d

Steg 1 — Bruk nullpunktene

Steg 2 — Bruk ekstremalpunktene

Steg 3 — Bruk vendepunktet

Steg 4 — Bruk fortegnet til tredjegradsleddet

Steg 5 — Plasser punktene i riktig rekkefølge

Steg 6 — Tegn formen

Steg 7 — Tolkning