ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen V21 – løsningsforslag

Komplett bokmålsfil basert på Udir-settet. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og realistisk Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^4-4\ln x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk potensregelen

\dfrac{d}{dx}x^4=4x^3

Potensregelen gir ett ledd i den deriverte.

Steg 2 — Deriver logaritmeleddet

\dfrac{d}{dx}\left(-4\ln x\right)=-4\cdot \dfrac{1}{x}

Her må vi huske at \(x>0\).

Steg 3 — Sett leddene sammen

f'(x)=4x^3-\dfrac{4}{x}

Den deriverte er summen av de deriverte leddene.

Steg 4 — Kontroller definisjonsmengden

D_f=\left(0,\infty\right)

Logaritmen gjør at funksjonen bare er definert for positive \(x\).

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Derivert[x^4 - 4 ln(x)]

→ \(4x^3-\dfrac{4}{x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
f = x**4 - 4*log(x)
f_derivert = simplify(diff(f, x))
print("Funksjon:", f)
print("Derivert:", f_derivert)
print("Kontroll: f'(x) = 4*x**3 - 4/x")

Fasit: \(f'(x)=4x^3-\dfrac{4}{x}\)

Del 1 - Oppgave 1bDerivasjon med kvotientregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{e^{2x}}{x+1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser teller og nevner

u=e^{2x},\quad v=x+1

Vi bruker kvotientregelen.

Steg 2 — Deriver teller og nevner

u'=2e^{2x},\quad v'=1

Kjerneregelen gir faktoren 2 i telleren.

Steg 3 — Bruk kvotientregelen

g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Dette er den sikre strukturen for brøkfunksjoner.

Steg 4 — Forenkle uttrykket

g'(x)=\dfrac{2e^{2x}\left(x+1\right)-e^{2x}}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{e^{2x}\left(2x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}

Vi faktoriserer \(e^{2x}\) i telleren.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Derivert[exp(2x)/(x+1)]

→ \(\dfrac{e^{2x}\left(2x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
g = exp(2*x)/(x + 1)
g_derivert = simplify(diff(g, x))
print("Funksjon:", g)
print("Derivert forenklet:", g_derivert)
print("Utskrift viser samme uttrykk som fasit.")

Fasit: \(g'(x)=\dfrac{e^{2x}\left(2x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}\)

Del 1 - Oppgave 2aAritmetisk rekke

Oppgave 2a

Oppgave:

Bestem summen av rekken \(-6-1+4+9+14+\cdots+189\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn første ledd og differanse

a_1=-6,\quad d=5

Hvert ledd øker med 5.

Steg 2 — Finn antall ledd

-6+\left(n-1\right)5=189

5\left(n-1\right)=195\quad \Rightarrow \quad n=40

Vi må vite hvor mange ledd som inngår i summen.

Steg 3 — Bruk sumformelen

S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}

Dette er formelen for endelig aritmetisk rekke.

Steg 4 — Regn ut summen

S_{40}=\dfrac{40\left(-6+189\right)}{2}=3660

Summen er positiv fordi de positive leddene dominerer.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Sum[Følge[-6 + (n - 1) 5, n, 1, 40]]

→ \(3660\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
ledd = -6 + (n - 1)*5
sum_rekke = summation(ledd, (n, 1, 40))
print("Leddformel:", ledd)
print("Antall ledd:", 40)
print("Sum:", sum_rekke)

Fasit: \(3660\)

Del 1 - Oppgave 2bUendelig geometrisk rekke

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem summen av rekken \(72-36+18-9+\cdots\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Kjenn igjen geometrisk rekke

a_1=72,\quad k=\dfrac{-36}{72}=-\dfrac{1}{2}

Hvert ledd ganges med samme kvotient.

Steg 2 — Sjekk konvergens

\left|k\right|=\dfrac{1}{2}<1

Dermed finnes summen av den uendelige rekken.

Steg 3 — Bruk sumformelen

S=\dfrac{a_1}{1-k}

Formelen gjelder bare når \(\left|k\right|<1\).

Steg 4 — Sett inn

S=\dfrac{72}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{72}{\dfrac{3}{2}}=48

Negative og positive ledd demper hverandre.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Sum[72*(-1/2)^(n-1), n, 1, infinity]

→ \(48\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, oo, Rational
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a1 = 72
k = Rational(-1, 2)
ledd = a1*k**(n - 1)
sum_uendelig = summation(ledd, (n, 1, oo))
print("Første ledd:", a1)
print("Kvotient:", k)
print("Uendelig sum:", sum_uendelig)

Fasit: \(48\)

Del 1 - Oppgave 3aPolynomdivisjon

Oppgave 3a

Oppgave:

Utfør polynomdivisjonen \(P(x):(x-2)\) når \(P(x)=x^3-19x+30\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv polynomet med manglende ledd

\[P(x)=x^3+0x^2-19x+30\]

Nullleddet for \(x^2\) må være med i divisjonen.

Steg 2 — Del første ledd

\dfrac{x^3}{x}=x^2

Dette gir første ledd i kvotienten.

Steg 3 — Fortsett divisjonen

P(x)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x-15\right)+0

Resten blir null.

Steg 4 — Konkluder

P(x):\left(x-2\right)=x^2+2x-15

Fordi resten er null, er \(x-2\) en faktor i \(P\).

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Divisjon[x^3 - 19x + 30, x - 2]

→ \(x^2+2x-15\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, div
x = symbols('x')
P = x**3 - 19*x + 30
kvotient, rest = div(P, x - 2)
print("P(x):", P)
print("Kvotient:", kvotient)
print("Rest:", rest)

Fasit: \(x^2+2x-15\)

Del 1 - Oppgave 3bPolynomulikhet

Oppgave 3b

Oppgave:

Løs ulikheten \(P(x)\ge 0\) for \(P(x)=x^3-19x+30\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Faktoriser polynomet

P(x)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x-15\right)

Vi bruker resultatet fra polynomdivisjonen.

Steg 2 — Faktoriser andregradsfaktoren

x^2+2x-15=\left(x+5\right)\left(x-3\right)

Nullpunktene er \(-5\), \(2\) og \(3\).

Steg 3 — Lag fortegnslinje

P(x)=\left(x+5\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)

Et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient skifter fortegn i hvert enkelt nullpunkt.

Steg 4 — Velg intervallene med ikke-negativ verdi

P(x)\ge 0\quad \Rightarrow \quad x\in \left[-5,2\right]\cup\left[3,\infty\right)

Nullpunktene tas med fordi ulikheten har \(\ge\).

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[x^3 - 19x + 30 >= 0]

→ \(-5\le x\le 2\ \lor\ x\ge 3\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
P = x**3 - 19*x + 30
print("Faktorisert P(x):", factor(P))
print("Løsning av ulikhet:")
print(solve_univariate_inequality(P >= 0, x))

Fasit: \(x\in\left[-5,2\right]\cup\left[3,\infty\right)\)

Del 1 - Oppgave 3cForkorting av rasjonalt uttrykk

Oppgave 3c

Oppgave:

Forkort brøken \(\dfrac{x^3-19x+30}{x^3-2x^2-9x+18}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Faktoriser telleren

x^3-19x+30=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x+5\right)

Dette følger fra forrige deloppgave.

Steg 2 — Faktoriser nevneren

x^3-2x^2-9x+18=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)

Vi ser de felles faktorene.

Steg 3 — Forkort felles faktorer

\dfrac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x+5\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{x+5}{x+3}

Forkorting er lov etter at vi har notert opprinnelige begrensninger.

Steg 4 — Oppgi begrensninger

x\ne -3,\quad x\ne 2,\quad x\ne 3

Disse verdiene gjorde nevneren null i den opprinnelige brøken.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Faktoriser[(x^3 - 19x + 30)/(x^3 - 2x^2 - 9x + 18)]

→ \(\dfrac{x+5}{x+3}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, cancel
x = symbols('x')
teller = x**3 - 19*x + 30
nevner = x**3 - 2*x**2 - 9*x + 18
print("Teller faktorisert:", factor(teller))
print("Nevner faktorisert:", factor(nevner))
print("Forkortet brøk:", cancel(teller/nevner))
print("Begrensninger: x != -3, 2, 3")

Fasit: \(\dfrac{x+5}{x+3},\quad x\ne -3,2,3\)

Del 1 - Oppgave 4aLogistisk funksjon

Oppgave 4a

Oppgave:

Bestem tallene \(A\) og \(B\) når \(f(x)=\dfrac{A}{1+B e^{-kx}}\), grafen går gjennom \((0,2)\) og har asymptote \(y=10\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk horisontal asymptote

\lim_{x\to\infty}\dfrac{A}{1+B e^{-kx}}=A

Siden \(k>0\), går eksponentialleddet mot 0.

Steg 2 — Les av asymptoten

\[A=10\]

Grafen nærmer seg linjen \(y=10\).

Steg 3 — Bruk punktet på grafen

f(0)=\dfrac{10}{1+B}=2

Vi setter inn \(x=0\) og bruker \(e^0=1\).

Steg 4 — Løs for B

10=2\left(1+B\right)\quad \Rightarrow \quad B=4

Begge parameterne er dermed bestemt.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[{A=10, A/(1+B)=2}, {A,B}]

→ \(A=10,\ B=4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
A, B = symbols('A B')
likninger = [A - 10, A/(1 + B) - 2]
losning = solve(likninger, [A, B], dict=True)
print("Likninger:", likninger)
print("Løsning:", losning)

Fasit: \(A=10,\ B=4\)

Del 1 - Oppgave 4bDerivasjon av logistisk funksjon

Oppgave 4b

Oppgave:

Gjør nødvendige beregninger og vis at \(k=0{,}5\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk den bestemte funksjonen

f(x)=\dfrac{10}{1+4e^{-kx}}

Fra del a vet vi at \(A=10\) og \(B=4\).

Steg 2 — Deriver funksjonen

f'(x)=\dfrac{40k e^{-kx}}{\left(1+4e^{-kx}\right)^2}

Kjerneregelen gir faktoren \(k\).

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

f'(0)=\dfrac{40k}{\left(1+4\right)^2}=\dfrac{40k}{25}=1{,}6k

Dette er stigningstallet til tangenten i \((0,2)\).

Steg 4 — Les av tangentens stigningstall

m=\dfrac{10-2}{10-0}=0{,}8

Fra figuren kan tangenten leses som en linje gjennom \((0,2)\) og omtrent \((10,10)\).

Steg 5 — Løs likningen

1{,}6k=0{,}8\quad \Rightarrow \quad k=0{,}5

Dette viser det oppgaven ber om.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[1.6 k = 0.8, k]

→ \(k=0{,}5\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, solve, simplify
x, k = symbols('x k', positive=True)
f = 10/(1 + 4*exp(-k*x))
f_derivert = simplify(diff(f, x))
stigning_i_null = simplify(f_derivert.subs(x, 0))
losning = solve(stigning_i_null - 0.8, k)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("f'(0) =", stigning_i_null)
print("Løst fra f'(0)=0.8:", losning)

Fasit: \(k=0{,}5\)

Del 1 - Oppgave 5aLikningssystem fra funksjonsopplysninger

Oppgave 5a

Oppgave:

Sett opp et likningssystem for \(f(x)=ax^3+bx^2+cx\) når grafen går gjennom \((1,6)\) og \((-1,2)\), og har toppunkt med \(x=3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk punktet (1,6)

\[a+b+c=6\]

Dette kommer fra \(f(1)=6\).

Steg 2 — Bruk punktet (-1,2)

\[-a+b-c=2\]

Dette kommer fra \(f(-1)=2\).

Steg 3 — Deriver funksjonen

\[f'(x)=3ax^2+2bx+c\]

I et toppunkt må den deriverte være null.

Steg 4 — Bruk x-koordinaten til toppunktet

\[f'(3)=27a+6b+c=0\]

Dette gir tredje likning.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

f(1)=6, f(-1)=2, f'(3)=0

→ \(\begin{cases}a+b+c=6\\-a+b-c=2\\27a+6b+c=0\end{cases}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff
x, a, b, c = symbols('x a b c')
f = a*x**3 + b*x**2 + c*x
likning_1 = f.subs(x, 1) - 6
likning_2 = f.subs(x, -1) - 2
likning_3 = diff(f, x).subs(x, 3)
print("Likning 1:", likning_1, "= 0")
print("Likning 2:", likning_2, "= 0")
print("Likning 3:", likning_3, "= 0")

Fasit: \(\begin{cases}a+b+c=6\\-a+b-c=2\\27a+6b+c=0\end{cases}\)

Del 1 - Oppgave 5bLøs likningssystem

Oppgave 5b

Oppgave:

Løs likningssystemet fra oppgave 5a.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv systemet

\begin{cases}a+b+c=6\\-a+b-c=2\\27a+6b+c=0\end{cases}

Vi løser for de tre ukjente koeffisientene.

Steg 2 — Eliminer og løs

a=-1,\quad b=4,\quad c=3

Dette kan finnes ved lineær eliminasjon.

Steg 3 — Sett inn i funksjonen

\[f(x)=-x^3+4x^2+3x\]

Dette er funksjonen som passer opplysningene.

Steg 4 — Kontroller toppunktbetingelsen

f'(x)=-3x^2+8x+3,\quad f'(3)=-27+24+3=0

Dermed stemmer toppunktets x-koordinat.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[{a+b+c=6,-a+b-c=2,27a+6b+c=0},{a,b,c}]

→ \(a=-1,\ b=4,\ c=3\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, diff
x, a, b, c = symbols('x a b c')
losning = solve([a + b + c - 6, -a + b - c - 2, 27*a + 6*b + c], [a, b, c])
f = (a*x**3 + b*x**2 + c*x).subs(losning)
print("Løsning:", losning)
print("Funksjon:", f)
print("Kontroll f(1), f(-1), f'(3):", f.subs(x,1), f.subs(x,-1), diff(f,x).subs(x,3))

Fasit: \(a=-1,\ b=4,\ c=3\)

Del 1 - Oppgave 6aLogaritmefunksjon og nullpunkt

Oppgave 6a

Oppgave:

Bestem nullpunktene til \(f(x)=\left(\ln x\right)^2-2\ln x-3\), \(D_f=\left(0,\infty\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett funksjonen lik null

\left(\ln x\right)^2-2\ln x-3=0

Nullpunkt betyr \(f(x)=0\).

Steg 2 — Bruk substitusjon

u=\ln x\quad \Rightarrow \quad u^2-2u-3=0

Dette gjør likningen til en andregradslikning.

Steg 3 — Faktoriser

u^2-2u-3=\left(u-3\right)\left(u+1\right)=0

Da får vi to verdier for \(u\).

Steg 4 — Gå tilbake til x

\ln x=3\Rightarrow x=e^3,\qquad \ln x=-1\Rightarrow x=e^{-1}

Begge verdiene er positive og ligger i definisjonsmengden.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[(ln(x))^2 - 2 ln(x) - 3 = 0]

→ \(x=e^{-1}\ \lor\ x=e^3\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, solve, exp
x = symbols('x', positive=True)
f = log(x)**2 - 2*log(x) - 3
nullpunkter = solve(f, x)
print("Funksjon:", f)
print("Nullpunkter:", nullpunkter)
print("Desimaltall:", [punkt.evalf(4) for punkt in nullpunkter])

Fasit: \(x=e^{-1}\ \text{og}\ x=e^3\)

Del 1 - Oppgave 6bDerivasjon og ekstremalpunkt

Oppgave 6b

Oppgave:

Vis at \(f'(x)=\dfrac{2\ln x-2}{x}\) og bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Deriver første ledd

\dfrac{d}{dx}\left(\ln x\right)^2=2\ln x\cdot \dfrac{1}{x}

Vi bruker kjerneregelen.

Steg 2 — Deriver resten

\dfrac{d}{dx}\left(-2\ln x-3\right)=-\dfrac{2}{x}

Konstantleddet forsvinner.

Steg 3 — Sett sammen

f'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac{2}{x}=\dfrac{2\ln x-2}{x}

Dermed er uttrykket vist.

Steg 4 — Finn kritisk punkt

f'(x)=0\quad \Rightarrow \quad 2\ln x-2=0\quad \Rightarrow \quad x=e

Nevneren er positiv for \(x>0\).

Steg 5 — Bestem type punkt

\[f(e)=1-2-3=-4\]

Den deriverte skifter fra negativ til positiv, derfor er dette et bunnpunkt.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Ekstremalpunkt[(ln(x))^2 - 2 ln(x) - 3]

→ \(\left(e,-4\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, solve, simplify, exp
x = symbols('x', positive=True)
f = log(x)**2 - 2*log(x) - 3
fp = simplify(diff(f, x))
kritiske = solve(fp, x)
print("f'(x):", fp)
for punkt in kritiske:
    print("Kritisk x:", punkt, "f(x):", simplify(f.subs(x, punkt)))
print("Fortegnsskifte: negativ til positiv, altså bunnpunkt.")

Fasit: \(\text{Bunnpunkt }\left(e,-4\right)\text{. Ingen toppunkt.}\)

Del 1 - Oppgave 6cVendepunkt

Oppgave 6c

Oppgave:

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til \(f(x)=\left(\ln x\right)^2-2\ln x-3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Start med første deriverte

f'(x)=\dfrac{2\ln x-2}{x}

Vi deriverer denne en gang til.

Steg 2 — Finn andrederiverte

f''(x)=\dfrac{2\left(2-\ln x\right)}{x^2}

Dette kan vises med produkt- eller kvotientregel.

Steg 3 — Sett andrederiverte lik null

2-\ln x=0\quad \Rightarrow \quad x=e^2

Nevneren kan ikke bli null i definisjonsmengden.

Steg 4 — Finn y-verdien

f\left(e^2\right)=2^2-2\cdot 2-3=-3

Andrederiverte skifter fortegn, så punktet er et vendepunkt.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Vendepunkt[(ln(x))^2 - 2 ln(x) - 3]

→ \(\left(e^2,-3\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, solve, simplify, exp
x = symbols('x', positive=True)
f = log(x)**2 - 2*log(x) - 3
fpp = simplify(diff(f, x, 2))
vendex = solve(fpp, x)
print("f''(x):", fpp)
for punkt in vendex:
    print("Vendepunkt x:", punkt)
    print("y-verdi:", simplify(f.subs(x, punkt)))

Fasit: \(\text{Vendepunkt }\left(e^2,-3\right)\)

Del 1 - Oppgave 6dSkisse av graf

Oppgave 6d

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f(x)=\left(\ln x\right)^2-2\ln x-3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Samle nøkkelpunkter

x=e^{-1},\ e,\ e^2,\ e^3

Disse punktene kommer fra nullpunkter, ekstremalpunkt og vendepunkt.

Steg 2 — Bruk omtrentlige verdier

e^{-1}\approx 0{,}4,\quad e\approx 2{,}7,\quad e^2\approx 7{,}4,\quad e^3\approx 20{,}1

Disse tallene gjør skissen mulig uten digitale hjelpemidler.

Steg 3 — Plasser punktene

\left(e^{-1},0\right),\quad \left(e,-4\right),\quad \left(e^2,-3\right),\quad \left(e^3,0\right)

Grafen har bunnpunkt ved \(x=e\) og vendepunkt ved \(x=e^2\).

Steg 4 — Tegn form

f(x)\to \infty\ \text{når}\ x\to 0^+,\qquad f(x)\to\infty\ \text{når}\ x\to\infty

Grafen faller først, når bunnpunktet og stiger deretter.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Funksjon[(ln(x))^2 - 2 ln(x) - 3, 0.1, 25]

→ \(\text{graf med punktene markert}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import E
punkter = [
    (E**-1, 0),
    (E, -4),
    (E**2, -3),
    (E**3, 0),
]
print("Punkter til skisse:")
for xverdi, yverdi in punkter:
    print("x =", xverdi.evalf(4), " y =", yverdi)
print("Grafen går mot uendelig nær x=0 og for store x.")

Fasit: \(\text{Skisse med nullpunkter }e^{-1},e^3\text{, bunnpunkt }\left(e,-4\right)\text{ og vendepunkt }\left(e^2,-3\right)\)

Del 1 - Oppgave 7aNormalfordeling

Oppgave 7a

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt sau veier mellom 57 kg og 63 kg når \(X\sim N\left(60,6\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Standardiser nedre grense

z_1=\dfrac{57-60}{6}=-0{,}5

Vi gjør om til standard normalfordeling.

Steg 2 — Standardiser øvre grense

z_2=\dfrac{63-60}{6}=0{,}5

Intervallet ligger symmetrisk rundt forventningsverdien.

Steg 3 — Bruk standardnormalfordelingen

P\left(57\le X\le 63\right)=P\left(-0{,}5\le Z\le 0{,}5\right)

Dette er arealet mellom z-verdiene.

Steg 4 — Regn sannsynligheten

P=\Phi\left(0{,}5\right)-\Phi\left(-0{,}5\right)\approx 0{,}3829

Altså omtrent 38,3 prosent.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normal[60, 6, 57, 63]

→ \(0{,}3829\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 60
sigma = 6
def Phi(z):
    return 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
z1 = (57 - mu)/sigma
z2 = (63 - mu)/sigma
sannsynlighet = Phi(z2) - Phi(z1)
print("z1 =", z1)
print("z2 =", z2)
print("P(57 <= X <= 63) =", round(sannsynlighet, 4))

Fasit: \(P\approx 0{,}383\)

Del 1 - Oppgave 7bNormalfordeling som integral

Oppgave 7b

Oppgave:

Bestem verdien av \(\int_{69}^{\infty} f(x)\,dx\) der \(f\) er normalfordelingstettheten for \(N\left(60,6\right)\). Hva forteller verdien oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tolk integralet

\int_{69}^{\infty}f(x)\,dx=P\left(X\ge 69\right)

Arealet under tetthetskurven fra 69 og oppover er en sannsynlighet.

Steg 2 — Standardiser grensen

z=\dfrac{69-60}{6}=1{,}5

Vi bruker standard normalfordeling.

Steg 3 — Finn halearealet

P\left(X\ge 69\right)=P\left(Z\ge 1{,}5\right)=1-\Phi\left(1{,}5\right)

Dette er høyre hale.

Steg 4 — Regn ut

P\approx 1-0{,}9332=0{,}0668

Omtrent 6,7 prosent av sauene veier minst 69 kg.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Integral[f, 69, infinity]

→ \(0{,}0668\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 60
sigma = 6
def Phi(z):
    return 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
z = (69 - mu)/sigma
hale = 1 - Phi(z)
print("z-verdi:", z)
print("Integral fra 69 til uendelig:", round(hale, 4))
print("Tolkning: sannsynlighet for minst 69 kg.")

Fasit: \(\int_{69}^{\infty} f(x)\,dx\approx 0{,}0668\)

Del 1 - Oppgave 7cSkisse av normalfordelingskurve

Oppgave 7c

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\). Synliggjør resultatene fra oppgave a og b på skissen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tegn klokkeformen

\mu=60,\quad \sigma=6

Toppunktet ligger ved forventningsverdien 60.

Steg 2 — Marker intervallet fra a

57\le X\le 63

Dette er området en halv standardavvik til hver side for 60.

Steg 3 — Marker høyre hale fra b

X\ge 69

Dette er området fra 1,5 standardavvik over gjennomsnittet og til høyre.

Steg 4 — Sett på sannsynligheter

P\left(57\le X\le 63\right)\approx 0{,}383,\quad P\left(X\ge 69\right)\approx 0{,}0668

Skissen skal vise både arealene og grensene.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normalfordeling[60, 6]

→ \(\text{kurve med markerte arealer}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

mu = 60
sigma = 6
markeringer = {
    "midtpunkt": mu,
    "intervall_a": (57, 63),
    "hale_b": (69, "uendelig"),
    "P_a": 0.3829,
    "P_b": 0.0668,
}
print("Data til skisse:")
for navn, verdi in markeringer.items():
    print(navn, "=", verdi)

Fasit: \(\text{Skisse med areal }[57,63]\text{ og høyre hale fra }69\)

Del 1 - Oppgave 7dNormalfordeling for sum

Oppgave 7d

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at slaktebilen kan ta med alle 25 sauene når lastekapasiteten er 1550 kg.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer totalsummen

S=X_1+X_2+\cdots+X_{25}

Vi antar uavhengige vekter med samme fordeling.

Steg 2 — Finn forventning og standardavvik

\mu_S=25\cdot 60=1500,\quad \sigma_S=\sqrt{25}\cdot 6=30

Standardavvik for sum skaleres med kvadratroten av antallet.

Steg 3 — Oversett kapasiteten

P\left(S\le 1550\right)

Bilen kan ta med sauene når totalvekten ikke overstiger kapasiteten.

Steg 4 — Standardiser

z=\dfrac{1550-1500}{30}=1{,}666\ldots

Vi bruker normalfordeling for summen.

Steg 5 — Regn ut sannsynligheten

P\left(S\le 1550\right)=\Phi\left(1{,}666\ldots\right)\approx 0{,}952

Sannsynligheten er omtrent 95,2 prosent.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normal[1500, 30, -infinity, 1550]

→ \(0{,}9522\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu_sum = 25*60
sigma_sum = sqrt(25)*6
def Phi(z):
    return 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
z = (1550 - mu_sum)/sigma_sum
p = Phi(z)
print("Forventet totalvekt:", mu_sum)
print("Standardavvik for totalvekt:", sigma_sum)
print("z-verdi:", z)
print("P(S <= 1550) =", round(p, 4))

Fasit: \(P\approx 0{,}952\)

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1aKostnadsfunksjon og graf

Oppgave 1a

Oppgave:

Tegn grafen til \(E(x)=\dfrac{9000}{x}+0{,}02x+160\) for \(x\in\left[100,3000\right]\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Registrer funksjonen

E(x)=\dfrac{9000}{x}+0{,}02x+160

Funksjonen gir enhetskostnad i kroner.

Steg 2 — Bruk definisjonsintervallet

100\le x\le 3000

Grafen skal bare tegnes i dette intervallet.

Steg 3 — Lag graf i GeoGebra

\text{Funksjon}\left(9000/x+0{,}02x+160,100,3000\right)

Dette dokumenterer digital graftegning.

Steg 4 — Les form fra grafen

E(100)=252,\quad E(3000)=223

Grafen faller først og stiger senere svakt etter minimum.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Funksjon[9000/x + 0.02x + 160, 100, 3000]

→ \(\text{graf}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x', positive=True)
def E(verdi):
    return 9000/verdi + 0.02*verdi + 160
print("Punkter til grafen:")
for verdi in [100, 300, 671, 1500, 3000]:
    print("x =", verdi, "E(x) =", round(E(verdi), 2))
print("Grafen tegnes for 100 <= x <= 3000.")

Fasit: \(\text{Graf av }E\text{ på }\left[100,3000\right]\)

Del 2 - Oppgave 1bMinimering med derivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at enhetskostnaden skal bli minst mulig?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Deriver enhetskostnaden

E'(x)=-\dfrac{9000}{x^2}+0{,}02

Minimum finnes der den deriverte er null.

Steg 2 — Sett den deriverte lik null

-\dfrac{9000}{x^2}+0{,}02=0

Dette balanserer de to kostnadsleddene.

Steg 3 — Løs likningen

x^2=\dfrac{9000}{0{,}02}=450000

x=\sqrt{450000}=300\sqrt{5}\approx 671

Vi velger positiv løsning siden produksjonsmengde er positiv.

Steg 4 — Kontroller minimum

E''(x)=\dfrac{18000}{x^3}>0

Dermed er punktet et minimum.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Ekstremalpunkt[9000/x + 0.02x + 160, 100, 3000]

→ \(\left(670{,}82,186{,}83\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, N
x = symbols('x', positive=True)
E = 9000/x + 0.02*x + 160
kritiske = solve(diff(E, x), x)
for punkt in kritiske:
    print("Kritisk produksjonsmengde:", N(punkt, 8))
    print("Enhetskostnad:", N(E.subs(x, punkt), 8))
print("Siden E''(x) er positiv, er dette et minimum.")

Fasit: \(x\approx 671\text{ enheter}\)

Del 2 - Oppgave 1cOverskuddsmaksimering

Oppgave 1c

Oppgave:

Varen selges for 270 kroner per enhet. Bestem produksjonsmengden som gir størst overskudd, og finn overskuddet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv total kostnad

K(x)=x\cdot E(x)=9000+0{,}02x^2+160x

Enhetskostnad ganger antall gir totalkostnad.

Steg 2 — Skriv inntekt

\[I(x)=270x\]

Prisen per enhet er 270 kroner.

Steg 3 — Lag overskuddsfunksjon

O(x)=I(x)-K(x)=-0{,}02x^2+110x-9000

Vi maksimerer denne på intervallet.

Steg 4 — Finn toppunkt

O'(x)=-0{,}04x+110=0\quad \Rightarrow \quad x=2750

Andrederiverte er negativ, så dette er maksimum.

Steg 5 — Regn overskuddet

\[O(2750)=142250\]

Størst overskudd er 142 250 kroner.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Ekstremalpunkt[270x - x(9000/x + 0.02x + 160), 100, 3000]

→ \(\left(2750,142250\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, N
x = symbols('x', real=True)
E = 9000/x + 0.02*x + 160
overskudd = 270*x - x*E
kritisk = solve(diff(overskudd, x), x)[0]
print("Overskuddsfunksjon:", overskudd.expand())
print("Maksimerende x:", kritisk)
print("Maksimalt overskudd:", N(overskudd.subs(x, kritisk), 10))

Fasit: \(2750\text{ enheter og }142250\text{ kroner}\)

Del 2 - Oppgave 1dPris ved krav til overskudd

Oppgave 1d

Oppgave:

Hvilken pris per enhet gjør at det største overskuddet kan bli 100 000 kroner? Hvor mange enheter må de selge da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — La prisen være p

O_p(x)=px-\left(9000+0{,}02x^2+160x\right)

Prisen er ukjent, men kostnadene er de samme.

Steg 2 — Finn maksimumspunktet

O_p'(x)=p-160-0{,}04x=0\quad \Rightarrow \quad x=25\left(p-160\right)

Dette gir produksjonsmengden som maksimerer overskuddet for gitt pris.

Steg 3 — Sett maksimaloverskudd lik kravet

O_p\left(25\left(p-160\right)\right)=100000

Vi velger prisen som akkurat gjør maksimalt overskudd lik 100 000.

Steg 4 — Løs for pris

p\approx 253{,}38

Den andre matematiske løsningen gir negativ produksjonsmengde og forkastes.

Steg 5 — Finn mengden

x=25\left(253{,}38-160\right)\approx 2335

Bedriften må selge omtrent 2335 enheter.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[Maks[px - (9000 + 0.02x^2 + 160x)] = 100000]

→ \(p\approx 253{,}38,\ x\approx 2334{,}52\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, N
p = symbols('p', real=True)
x = symbols('x', real=True)
K = 9000 + 0.02*x**2 + 160*x
O = p*x - K
x_star = 25*(p - 160)
max_overskudd = O.subs(x, x_star)
pris_losninger = solve(max_overskudd - 100000, p)
print("Maksimerende x som funksjon av p:", x_star)
print("Prisløsninger:", [N(verdi, 10) for verdi in pris_losninger])
for pris in pris_losninger:
    mengde = x_star.subs(p, pris)
    if mengde > 0:
        print("Gyldig pris:", N(pris, 8))
        print("Mengde:", N(mengde, 8))

Fasit: \(p\approx 253{,}38\text{ kr per enhet, }x\approx 2335\text{ enheter}\)

Del 2 - Oppgave 2aFinansmatematikk

Oppgave 2a

Oppgave:

Hvor mye penger var det på kontoen like etter at innskudd nummer 40 ble satt inn når månedlig innskudd er 1000 kroner og månedlig rentefot er 0,25 prosent?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett opp vekstfaktor

\[v=1+0{,}0025=1{,}0025\]

Rentefoten per måned er 0,25 prosent.

Steg 2 — Skriv summen

S_{40}=1000\left(1+v+v^2+\cdots+v^{39}\right)

Rett etter innskudd nummer 40 har siste innskudd ikke rukket å få rente.

Steg 3 — Bruk geometrisk sum

S_{40}=1000\cdot \dfrac{v^{40}-1}{v-1}

Dette er en endelig geometrisk rekke.

Steg 4 — Regn ut

S_{40}=1000\cdot \dfrac{1{,}0025^{40}-1}{0{,}0025}\approx 42013{,}20

Beløpet er omtrent 42 013 kroner.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

1000*(1.0025^40 - 1)/0.0025

→ \(42013{,}20\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec = 28
innskudd = Decimal('1000')
r = Decimal('0.0025')
v = Decimal('1') + r
belop = innskudd*((v**40 - 1)/r)
print("Månedlig vekstfaktor:", v)
print("Beløp etter innskudd 40:", round(belop, 2))

Fasit: \(42013{,}20\text{ kroner}\)

Del 2 - Oppgave 2bFinansmatematikk og ulikhet

Oppgave 2b

Oppgave:

Hvor lang tid gikk det fra første innskudd til det var mer enn 50 000 kroner på kontoen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

1000\cdot \dfrac{1{,}0025^n-1}{0{,}0025}>50000

Vi leter etter minste heltallige antall innskudd.

Steg 2 — Isoler potensen

1{,}0025^n>1+\dfrac{50000\cdot 0{,}0025}{1000}=1{,}125

Dette gjør logaritmer mulig.

Steg 3 — Bruk logaritmer

n>\dfrac{\ln\left(1{,}125\right)}{\ln\left(1{,}0025\right)}\approx 47{,}2

Antall innskudd må være et heltall.

Steg 4 — Velg minste heltall

\[n=48\]

Etter 47 innskudd er beløpet fortsatt under 50 000 kroner, etter 48 er det over.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[1000*(1.0025^n - 1)/0.0025 > 50000]

→ \(n\ge 48\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import log
r = 0.0025
v = 1 + r
grense = log(1 + 50000*r/1000)/log(v)
print("Kontinuerlig grense for n:", grense)
for n in [47, 48]:
    belop = 1000*((v**n - 1)/r)
    print("n =", n, "beløp =", round(belop, 2))
print("Minste heltall som gir mer enn 50000 kroner er 48.")

Fasit: \(48\text{ måneder}\)

Del 2 - Oppgave 2cFinansmatematikk med ukjent rente

Oppgave 2c

Oppgave:

Hva måtte den månedlige rentefoten ha vært dersom Ivar skulle fått 47 900 kroner på en sparekonto med fast rente etter innskudd nummer 40?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — La rentefoten være r

\[v=1+r\]

Vi bruker samme innskuddsstruktur som i del a.

Steg 2 — Sett opp likningen

1000\cdot \dfrac{\left(1+r\right)^{40}-1}{r}=47900

Likningen kan ikke løses enkelt for hånd, så digitalt verktøy passer.

Steg 3 — Løs numerisk

r\approx 0{,}0090087

Dette er rentefot per måned som desimaltall.

Steg 4 — Gjør om til prosent

0{,}0090087\cdot 100\%\approx 0{,}901\%

Den månedlige rentefoten måtte vært omtrent 0,90 prosent.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

NLøs[1000*((1+r)^40 - 1)/r = 47900, r]

→ \(r\approx 0{,}0090087\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, nsolve
r = symbols('r')
likning = 1000*((1 + r)**40 - 1)/r - 47900
losning = nsolve(likning, 0.009)
print("Månedlig rentefot som desimaltall:", losning)
print("Månedlig rentefot i prosent:", losning*100)
kontroll = 1000*((1 + losning)**40 - 1)/losning
print("Kontrollbeløp:", kontroll)

Fasit: \(r\approx 0{,}901\%\text{ per måned}\)

Del 2 - Oppgave 3aNormalfordeling

Oppgave 3a

Oppgave:

Hva er sannsynligheten for at senen i en tilfeldig valgt spole tåler minst 53 kg når \(X\sim N\left(56,2{,}3\right)\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Standardiser grensen

z=\dfrac{53-56}{2{,}3}\approx -1{,}304

Vi sammenlikner 53 kg med forventningen 56 kg.

Steg 2 — Skriv sannsynligheten

P\left(X\ge 53\right)=P\left(Z\ge -1{,}304\right)

Dette er et stort areal fordi 53 ligger under gjennomsnittet.

Steg 3 — Bruk symmetri eller digitalt verktøy

P\left(Z\ge -1{,}304\right)=1-\Phi\left(-1{,}304\right)

Dette tilsvarer omtrent \(\Phi\left(1{,}304\right)\).

Steg 4 — Regn ut

P\left(X\ge 53\right)\approx 0{,}904

Sannsynligheten er omtrent 90,4 prosent.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normal[56, 2.3, 53, infinity]

→ \(0{,}9039\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 56
sigma = 2.3
def Phi(z):
    return 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
z = (53 - mu)/sigma
p = 1 - Phi(z)
print("z-verdi:", z)
print("P(X >= 53) =", round(p, 4))

Fasit: \(P\approx 0{,}904\)

Del 2 - Oppgave 3bUavhengige normalfordelte målinger

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at senen i alle de 25 spolene tåler mer enn 50 kg.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn sannsynligheten for én spole

p=P\left(X>50\right)

Først beregner vi enkeltforsøket.

Steg 2 — Standardiser 50 kg

z=\dfrac{50-56}{2{,}3}\approx -2{,}609

50 kg ligger langt under forventningen.

Steg 3 — Regn p

p=P\left(Z>-2{,}609\right)\approx 0{,}99546

Én spole tåler mer enn 50 kg med høy sannsynlighet.

Steg 4 — Bruk uavhengighet

P\left(\text{alle 25}\right)=p^{25}\approx 0{,}99546^{25}\approx 0{,}892

Alle må oppfylle kravet samtidig.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normal[56, 2.3, 50, infinity]^25

→ \(0{,}8924\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 56
sigma = 2.3
def Phi(z):
    return 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
z = (50 - mu)/sigma
p_en = 1 - Phi(z)
p_alle = p_en**25
print("z-verdi for 50 kg:", z)
print("P(en spole > 50 kg) =", round(p_en, 6))
print("P(25 av 25 > 50 kg) =", round(p_alle, 4))

Fasit: \(P\approx 0{,}892\)

Del 2 - Oppgave 3cFordeling for gjennomsnitt

Oppgave 3c

Oppgave:

La \(\overline{X}\) være gjennomsnittet til målingene. Bestem \(P\left(\overline{X}\le 55\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn fordelingen til gjennomsnittet

\overline{X}\sim N\left(56,\dfrac{2{,}3}{\sqrt{25}}\right)

Standardavviket til gjennomsnittet blir mindre enn for enkeltmålinger.

Steg 2 — Regn standardfeilen

\sigma_{\overline{X}}=\dfrac{2{,}3}{5}=0{,}46

Vi har 25 målinger.

Steg 3 — Standardiser 55

z=\dfrac{55-56}{0{,}46}\approx -2{,}174

Dette er over to standardfeil under forventningen.

Steg 4 — Finn sannsynligheten

P\left(\overline{X}\le 55\right)=\Phi\left(-2{,}174\right)\approx 0{,}0149

Det er en liten sannsynlighet.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normal[56, 2.3/sqrt(25), -infinity, 55]

→ \(0{,}0149\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 56
sigma = 2.3
n = 25
standardfeil = sigma/sqrt(n)
def Phi(z):
    return 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
z = (55 - mu)/standardfeil
p = Phi(z)
print("Standardfeil:", standardfeil)
print("z-verdi:", z)
print("P(gjennomsnitt <= 55) =", round(p, 4))

Fasit: \(P\approx 0{,}0149\)

Del 2 - Oppgave 3dHypotesetest

Oppgave 3d

Oppgave:

Sett opp en hypotesetest som kan brukes for å avgjøre om det er grunnlag for leverandørens mistanke om at bruddstyrken er lavere enn 56 kg.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Formuler nullhypotese

H_0:\ \mu=56

Nullhypotesen sier at oppgitt forventningsverdi fortsatt gjelder.

Steg 2 — Formuler alternativ hypotese

H_1:\ \mu<56

Mistanken er at bruddstyrken er lavere, derfor bruker vi venstresidig test.

Steg 3 — Velg testobservator

Z=\dfrac{\overline{X}-56}{2{,}3/\sqrt{25}}

Standardavviket antas kjent, derfor brukes normalfordeling.

Steg 4 — Beslutningsregel

\[\text{Forkast }H_0\text{ dersom }ZFor signifikansnivå 5 prosent er kritisk z-verdi omtrent \(-1{,}645\). TolkningSvaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves. Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse. Kontroll (GeoGebra CAS) GeoGebra - CAS1InverseNormal[0.05, 0, 1]→ \(-1{,}645\) Kontroll (Python)Python-kontrollfrom statistics import NormalDist alfa = 0.05 z_kritisk = NormalDist().inv_cdf(alfa) print("Nullhypotese: mu = 56") print("Alternativ hypotese: mu < 56") print("Signifikansnivå:", alfa) print("Kritisk z-verdi:", z_kritisk)

Fasit: \(H_0:\mu=56,\ H_1:\mu<56,\ Z=\dfrac{\overline{X}-56}{2{,}3/5}\)

Del 2 - Oppgave 3eKritisk verdi for gjennomsnitt

Oppgave 3e

Oppgave:

Finn den høyeste gjennomsnittlige verdien for bruddstyrken til senene i 25 tilfeldig valgte spoler som gjør at vi kan konkludere med at det er grunnlag for mistanken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette opplysningene til matematikk, deretter regne trinnvis og til slutt kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk kritisk z-verdi

z_{0{,}05}\approx -1{,}645

Dette er venstre 5-prosentgrense i standard normalfordeling.

Steg 2 — Sett opp kritisk gjennomsnitt

\dfrac{\overline{x}_{\text{kritisk}}-56}{2{,}3/5}=-1{,}645

Vi løser for gjennomsnittet.

Steg 3 — Løs likningen

\overline{x}_{\text{kritisk}}=56-1{,}645\cdot 0{,}46

Standardfeilen er \(0{,}46\).

Steg 4 — Regn ut

\overline{x}_{\text{kritisk}}\approx 55{,}24

Gjennomsnitt på 55,24 kg eller lavere gir forkasting på 5 prosent nivå.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både framgangsmåte, kontroll og endelig resultat kan etterprøves.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, avrunding eller kontroll når oppgaven egentlig krever presis begrunnelse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

56 + InverseNormal[0.05,0,1]*(2.3/sqrt(25))

→ \(55{,}24\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from statistics import NormalDist
mu0 = 56
sigma = 2.3
n = 25
alfa = 0.05
z_kritisk = NormalDist().inv_cdf(alfa)
standardfeil = sigma/(n**0.5)
kritisk_gjennomsnitt = mu0 + z_kritisk*standardfeil
print("z-kritisk:", z_kritisk)
print("Standardfeil:", standardfeil)
print("Kritisk gjennomsnitt:", kritisk_gjennomsnitt)
print("Forkast H0 når gjennomsnittet er <=", round(kritisk_gjennomsnitt, 2), "kg")

Fasit: \(\overline{x}\le 55{,}24\text{ kg}\)

Teknisk kontroll før levering

Ingen dollartegn som matematikkdelimitere.
MathJax bruker bare \( ... \) og \[ ... \].
Python ligger i nøytrale mørke kodebokser.
GeoGebra CAS-bokser er med i alle oppgaver.
Fargepaletten er lilla/lavendel uten gull, oransje eller gul.

Matematikk S2 eksamen – vår 2021

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 — Bruk potensregelen

Steg 2 — Deriver logaritmeleddet

Steg 3 — Sett leddene sammen

Steg 4 — Kontroller definisjonsmengden

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 1b

Steg 1 — Identifiser teller og nevner

Steg 2 — Deriver teller og nevner

Steg 3 — Bruk kvotientregelen

Steg 4 — Forenkle uttrykket

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2a

Steg 1 — Finn første ledd og differanse

Steg 2 — Finn antall ledd

Steg 3 — Bruk sumformelen

Steg 4 — Regn ut summen

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2b

Steg 1 — Kjenn igjen geometrisk rekke

Steg 2 — Sjekk konvergens

Steg 3 — Bruk sumformelen

Steg 4 — Sett inn

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 3a

Steg 1 — Skriv polynomet med manglende ledd

Steg 2 — Del første ledd

Steg 3 — Fortsett divisjonen

Steg 4 — Konkluder

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 3b

Steg 1 — Faktoriser polynomet

Steg 2 — Faktoriser andregradsfaktoren

Steg 3 — Lag fortegnslinje

Steg 4 — Velg intervallene med ikke-negativ verdi

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 3c

Steg 1 — Faktoriser telleren

Steg 2 — Faktoriser nevneren

Steg 3 — Forkort felles faktorer

Steg 4 — Oppgi begrensninger

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 4a

Steg 1 — Bruk horisontal asymptote

Steg 2 — Les av asymptoten

Steg 3 — Bruk punktet på grafen

Steg 4 — Løs for B

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 4b

Steg 1 — Bruk den bestemte funksjonen

Steg 2 — Deriver funksjonen

Steg 3 — Finn stigningstallet i punktet

Steg 4 — Les av tangentens stigningstall

Steg 5 — Løs likningen