S2 eksamenVår 2020

Matematikk S2 eksamen – vår 2020

ifingo
Norsk (Bokmål)

Matematikk S2 - Vår 2020

Matematikk S2 eksamen V20 - fullstendig løsningsforslag

Originalt ifingo-løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt tydelig, og hver deloppgave har trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og realistisk Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^3+3e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Deriver potensleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2\]

Vi bruker potensregelen.

Steg 2 - Deriver eksponentialleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(3e^x\right)=3e^x\]

Konstantfaktoren 3 beholdes.

Steg 3 - Sett sammen leddene

\[f'(x)=3x^2+3e^x\]

Den deriverte av en sum er summen av de deriverte.

Steg 4 - Kontroller uttrykket

\[f'(0)=3\]

Et raskt innsettingspunkt gir en enkel kontroll.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Derivert[x^3 + 3 exp(x)]
→ \(3x^2+3e^x\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
f = x**3 + 3*exp(x)
f_derivert = simplify(diff(f, x))
print("Oppgave 1a")
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Kontroll f'(0) =", f_derivert.subs(x, 0))
Fasit: \(f'(x)=3x^2+3e^x\)
Del 1 - Oppgave 1bLogaritme og kvotient

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{\ln\left(2x\right)}{x^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Skriv om funksjonen

\[g(x)=\ln\left(2x\right)x^{-2}\]

Produktform gjør derivasjonen ryddig.

Steg 2 - Deriver faktorene

\[\dfrac{d}{dx}\ln\left(2x\right)=\dfrac{1}{x},\qquad \dfrac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}\]

Logaritmeleddet krever kjerneregel, men faktoren 2 forkortes bort.

Steg 3 - Bruk produktregelen

\[g'(x)=\dfrac{1}{x}x^{-2}+\ln\left(2x\right)\left(-2x^{-3}\right)\]
\[g'(x)=\dfrac{1-2\ln\left(2x\right)}{x^3}\]

Vi samler leddene over felles nevner.

Steg 4 - Oppgi definisjonsmengde

\[x>0\]

Uttrykket \(\ln\left(2x\right)\) krever \(2x>0\).

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Derivert[ln(2x)/x^2]
→ \(\dfrac{1-2\ln\left(2x\right)}{x^3}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
g = log(2*x)/x**2
g_derivert = simplify(diff(g, x))
print("Oppgave 1b")
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("Definisjonsmengde: x > 0")
Fasit: \(g'(x)=\dfrac{1-2\ln\left(2x\right)}{x^3},\quad x>0\)
Del 1 - Oppgave 2Likningssystem

Oppgave 2

Oppgave:

Løs likningssystemet \(6x-y+3z=12\), \(5x+3y+z=11\) og \(3x+2y+z=10\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Eliminer z mellom de to siste likningene

\[\left(5x+3y+z\right)-\left(3x+2y+z\right)=11-10\]
\[2x+y=1\]

Dette gir en enkel likning i \(x\) og \(y\).

Steg 2 - Eliminer z med første og tredje likning

\[6x-y+3z=12,\qquad 3\left(3x+2y+z\right)=30\]
\[3x+7y=18\]

Vi trekker første likning fra tre ganger tredje.

Steg 3 - Løs de to nye likningene

\[y=1-2x\]
\[3x+7\left(1-2x\right)=18\quad \Rightarrow \quad x=-1\]

Da blir \(y=3\).

Steg 4 - Finn z

\[3\left(-1\right)+2\cdot 3+z=10\quad \Rightarrow \quad z=7\]

Vi setter inn i en av de opprinnelige likningene.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs[{6x - y + 3z = 12, 5x + 3y + z = 11, 3x + 2y + z = 10}, {x, y, z}]
→ \(x=-1,\ y=3,\ z=7\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, z = symbols('x y z')
likninger = [
    Eq(6*x - y + 3*z, 12),
    Eq(5*x + 3*y + z, 11),
    Eq(3*x + 2*y + z, 10),
]
losning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0]
print("Oppgave 2")
print("Løsning:", losning)
for nr, likning in enumerate(likninger, start=1):
    print(f"Kontroll likning {nr}:", likning.subs(losning))
Fasit: \(x=-1,\quad y=3,\quad z=7\)
Del 1 - Oppgave 3aAritmetisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

Bestem summen av den aritmetiske rekken \(-8-3+2+7+\cdots+987\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Finn første ledd og differanse

\[a_1=-8,\qquad d=5\]

Rekken øker med 5 hver gang.

Steg 2 - Finn antall ledd

\[-8+\left(n-1\right)5=987\]
\[5\left(n-1\right)=995\quad \Rightarrow \quad n=200\]

Vi trenger antall ledd før vi summerer.

Steg 3 - Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Dette er sumformelen for en endelig aritmetisk rekke.

Steg 4 - Regn ut summen

\[S_{200}=\dfrac{200\left(-8+987\right)}{2}=97900\]

Summen blir positiv fordi de positive leddene dominerer.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Sum[Følge[-8 + 5(n - 1), n, 1, 200]]
→ \(97900\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a_n = -8 + 5*(n - 1)
antall_ledd = 200
sum_rekke = summation(a_n, (n, 1, antall_ledd))
print("Oppgave 3a")
print("Leddformel:", a_n)
print("Antall ledd:", antall_ledd)
print("Sum:", sum_rekke)
Fasit: \(S_{200}=97900\)
Del 1 - Oppgave 3bUendelig geometrisk rekke

Oppgave 3b

Oppgave:

Begrunn at den uendelige geometriske rekken \(80-20+5-\dfrac{5}{4}+\cdots\) konvergerer, og bestem summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Finn kvotienten

\[k=\dfrac{-20}{80}=-\dfrac{1}{4}\]

Samme kvotient gir en geometrisk rekke.

Steg 2 - Sjekk konvergens

\[\left|k\right|=\dfrac{1}{4}<1\]

Da konvergerer den uendelige geometriske rekken.

Steg 3 - Bruk sumformelen

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Her er \(a_1=80\) og \(k=-\dfrac{1}{4}\).

Steg 4 - Regn ut

\[S=\dfrac{80}{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)}=\dfrac{80}{\dfrac{5}{4}}=64\]

Summen er mindre enn første ledd fordi annethvert ledd er negativt.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
80/(1 - (-1/4))
→ \(64\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import Rational, simplify
forste_ledd = Rational(80, 1)
kvotient = Rational(-1, 4)
konvergerer = abs(kvotient) < 1
sum_rekke = simplify(forste_ledd/(1 - kvotient))
print("Oppgave 3b")
print("a1 =", forste_ledd)
print("k =", kvotient)
print("|k| < 1:", konvergerer)
print("Sum =", sum_rekke)
Fasit: \(S=64\)
Del 1 - Oppgave 4aFaktorteoremet

Oppgave 4a

Oppgave:

Et polynom \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-9x^2+15x-7\). Begrunn at \(P(x)\) er delelig med \((x-1)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

\[P(a)=0\quad \Leftrightarrow \quad \left(x-a\right)\text{ er faktor}\]

For faktoren \((x-1)\) tester vi \(x=1\).

Steg 2 - Regn ut P(1)

\[P(1)=1^3-9\cdot 1^2+15\cdot 1-7=1-9+15-7=0\]

Resten ved divisjon med \((x-1)\) er null.

Steg 3 - Konkluder

\[P(1)=0\quad \Rightarrow \quad P(x)\text{ er delelig med }(x-1)\]

Dette er en direkte bruk av faktorteoremet.

Steg 4 - Kontroller faktorisering

\[P(x)=\left(x-7\right)\left(x-1\right)^2\]

Faktoriseringen bekrefter deleligheten.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
P(1)
→ \(0\)
2
Faktoriser[x^3 - 9x^2 + 15x - 7]
→ \(\left(x-7\right)\left(x-1\right)^2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
P = x**3 - 9*x**2 + 15*x - 7
print("Oppgave 4a")
print("P(1) =", P.subs(x, 1))
print("Faktorisert P(x) =", factor(P))
print("Konklusjon: (x - 1) er en faktor.")
Fasit: \(P(x)\text{ er delelig med }(x-1)\)
Del 1 - Oppgave 4bPolynomulikhet

Oppgave 4b

Oppgave:

Løs ulikheten \(P(x)\ge 0\) for \(P(x)=x^3-9x^2+15x-7\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Faktoriser polynomet

\[P(x)=\left(x-7\right)\left(x-1\right)^2\]

Faktoren \(\left(x-1\right)^2\) er aldri negativ.

Steg 2 - Analyser fortegn

\[\left(x-1\right)^2\ge 0\]

Fortegnet bestemmes derfor av \((x-7)\), bortsett fra nullpunktet \(x=1\).

Steg 3 - Finn hvor uttrykket er ikke-negativt

\[P(x)\ge 0\quad \Leftrightarrow \quad x=1\text{ eller }x\ge 7\]

Ved \(x=1\) er produktet null.

Steg 4 - Skriv løsningsmengden

\[x\in \left\{1\right\}\cup \left[7,\infty\right)\]

Begge nullpunkter skal tas med.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs[x^3 - 9x^2 + 15x - 7 >= 0]
→ \(x=1\ \vee\ x\ge 7\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
P = x**3 - 9*x**2 + 15*x - 7
ulikhet = solve_univariate_inequality(P >= 0, x)
print("Oppgave 4b")
print("P(x) faktorisert =", factor(P))
print("Løsningsmengde:", ulikhet)
Fasit: \(x\in \left\{1\right\}\cup \left[7,\infty\right)\)
Del 1 - Oppgave 4cForkorting

Oppgave 4c

Oppgave:

Forkort brøken \(\dfrac{x^2-2x+1}{x^3-9x^2+15x-7}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Faktoriser teller

\[x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\]

Dette er første kvadratsetning.

Steg 2 - Faktoriser nevner

\[x^3-9x^2+15x-7=\left(x-7\right)\left(x-1\right)^2\]

Dette fant vi i forrige del.

Steg 3 - Forkort felles faktor

\[\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\left(x-7\right)\left(x-1\right)^2}=\dfrac{1}{x-7}\]

Forkorting gjelder bare der opprinnelig nevner ikke er null.

Steg 4 - Oppgi begrensninger

\[x\ne 1,\qquad x\ne 7\]

Begge verdier gjør den opprinnelige nevneren lik null.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser[(x^2 - 2x + 1)/(x^3 - 9x^2 + 15x - 7)]
→ \(\dfrac{1}{x-7}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, cancel
x = symbols('x')
teller = x**2 - 2*x + 1
nevner = x**3 - 9*x**2 + 15*x - 7
print("Oppgave 4c")
print("Teller faktorisert:", factor(teller))
print("Nevner faktorisert:", factor(nevner))
print("Forkortet uttrykk:", cancel(teller/nevner))
print("Begrensninger: x != 1 og x != 7")
Fasit: \(\dfrac{1}{x-7},\quad x\ne 1,\ x\ne 7\)
Del 1 - Oppgave 5aEkstremalpunkter

Oppgave 5a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=\left(x-1\right)^2\left(x-7\right)\). Vis at grafen til \(f\) har et bunnpunkt i \(\left(5,-32\right)\). Bestem eventuelle andre toppunkter og bunnpunkter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Utvid og deriver

\[f(x)=x^3-9x^2+15x-7\]
\[f'(x)=3x^2-18x+15=3\left(x-1\right)\left(x-5\right)\]

Ekstremalpunkter kan ligge der \(f'(x)=0\).

Steg 2 - Finn kritiske x-verdier

\[f'(x)=0\quad \Rightarrow \quad x=1\text{ eller }x=5\]

Begge må undersøkes.

Steg 3 - Klassifiser med andrederivert

\[f''(x)=6x-18\]
\[f''(1)=-12<0,\qquad f''(5)=12>0\]

Derfor er \(x=1\) toppunkt og \(x=5\) bunnpunkt.

Steg 4 - Finn koordinater

\[f(1)=0,\qquad f(5)=-32\]

Dette viser spesielt bunnpunktet som oppgaven oppgir.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt[(x - 1)^2 (x - 7)]
→ \(\left(1,0\right),\ \left(5,-32\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, factor, solve
x = symbols('x')
f = (x - 1)**2*(x - 7)
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f1, x)
kritiske = solve(f1, x)
print("Oppgave 5a")
print("f(x) =", f.expand())
print("f'(x) =", factor(f1))
print("f''(x) =", f2)
for verdi in kritiske:
    print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi), "f''(x) =", f2.subs(x, verdi))
Fasit: \(\text{Toppunkt }\left(1,0\right),\quad \text{bunnpunkt }\left(5,-32\right)\)
Del 1 - Oppgave 5bGrafskisse

Oppgave 5b

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Bruk nullpunktene

\[f(x)=\left(x-1\right)^2\left(x-7\right)\]

Grafen tangerer x-aksen ved \(x=1\) og krysser x-aksen ved \(x=7\).

Steg 2 - Bruk ekstremalpunktene

\[\left(1,0\right)\text{ er toppunkt},\qquad \left(5,-32\right)\text{ er bunnpunkt}\]

Dette bestemmer hovedformen.

Steg 3 - Bruk endeadferd

\[f(x)\sim x^3\quad \text{når }\left|x\right|\text{ blir stor}\]

Grafen går ned til venstre og opp til høyre.

Steg 4 - Lag skissen

\[\text{Marker }x=1,\ x=5,\ x=7\text{ og trekk en glatt tredjegrads graf.}\]

Skissen skal vise fortegn og vendepunktområde riktig.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
f(x)=(x - 1)^2 (x - 7)
→ \(\text{Skisse med nullpunkter }1\text{ og }7\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, lambdify
x = symbols('x')
f = (x - 1)**2*(x - 7)
print("Oppgave 5b")
print("Nøkkelpunkter til skisse:")
for verdi in [-1, 1, 3, 5, 7, 9]:
    print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi))
print("Toppunkt: (1, 0)")
print("Bunnpunkt: (5, -32)")
Fasit: \(Skissen har toppunkt \(\left(1,0\right)\), bunnpunkt \(\left(5,-32\right)\) og nullpunkter \(1\) og \(7\).\)
Del 1 - Oppgave 5cModell og maksimum

Oppgave 5c

Oppgave:

En modell \(g\) for vannstanden er gitt ved \(g(x)=-0{,}10\cdot f(x)\), \(D_g=\left[2,6\right]\). Når var vannstanden på sitt høyeste, og hva var vannstanden da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Finn sammenhengen

\[g(x)=-0{,}10f(x)\]

Siden faktoren er negativ, blir maksimum for \(g\) knyttet til minimum for \(f\).

Steg 2 - Bruk bunnpunktet til f

\[f(5)=-32\]

Punktet \(x=5\) ligger i definisjonsmengden \(\left[2,6\right]\).

Steg 3 - Regn vannstanden

\[g(5)=-0{,}10\cdot \left(-32\right)=3{,}2\]

Vannstanden måles i meter.

Steg 4 - Kontroller endepunkter

\[g(2)=0{,}5,\qquad g(6)=2{,}5\]

Endepunktene gir lavere verdi enn \(g(5)\).

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Maksimum[-0.10 (x - 1)^2 (x - 7), 2, 6]
→ \(\left(5,3{,}2\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Rational
x = symbols('x')
f = (x - 1)**2*(x - 7)
g = -Rational(1, 10)*f
print("Oppgave 5c")
for verdi in [2, 5, 6]:
    print("x =", verdi, "g(x) =", g.subs(x, verdi))
print("Maksimum på [2, 6]: x = 5, g(5) =", g.subs(x, 5))
Fasit: \(\text{Etter }5\text{ dager var vannstanden }3{,}2\text{ m.}\)
Del 1 - Oppgave 5dStørst vekstfart

Oppgave 5d

Oppgave:

Når økte vannstanden mest, og hvor raskt økte den da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Deriver g

\[g'(x)=-0{,}10f'(x)=-0{,}10\cdot 3\left(x-1\right)\left(x-5\right)\]

Vekstfarten er den deriverte.

Steg 2 - Skriv vekstfarten som en andregradsfunksjon

\[g'(x)=-0{,}3x^2+1{,}8x-1{,}5\]

Vi skal finne maksimum av \(g'(x)\) på intervallet.

Steg 3 - Finn toppunktet til g prime

\[x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1{,}8}{2\left(-0{,}3\right)}=3\]

Dette er tidspunktet der vekstfarten er størst.

Steg 4 - Regn vekstfarten

\[g'(3)=-0{,}3\cdot 3^2+1{,}8\cdot 3-1{,}5=1{,}2\]

Enheten er meter per dag.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Maksimum[Derivert[-0.10 (x - 1)^2 (x - 7)], 2, 6]
→ \(\left(3,1{,}2\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Rational, diff, solve
x = symbols('x')
f = (x - 1)**2*(x - 7)
g = -Rational(1, 10)*f
g1 = diff(g, x)
g2 = diff(g1, x)
tid = solve(g2, x)[0]
print("Oppgave 5d")
print("g'(x) =", g1.expand())
print("g''(x) =", g2)
print("Maksimal vekstfart når x =", tid)
print("g'(3) =", g1.subs(x, tid), "meter per dag")
Fasit: \(\text{Vannstanden økte mest etter }3\text{ dager, med }1{,}2\text{ m per dag.}\)
Del 1 - Oppgave 6aEnhetskostnad

Oppgave 6a

Oppgave:

Bruk figuren til å bestemme \(K'(100)\) og \(E(100)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Les av punktet på grafen

\[K(100)=1200\]

Punktet \(\left(100,1200\right)\) er oppgitt i figuren.

Steg 2 - Les av stigningstallet til tangenten

\[K\text{ har tangent gjennom omtrent }\left(0,700\right)\text{ og }\left(100,1200\right)\]
\[K'(100)=\dfrac{1200-700}{100-0}=5\]

Stigningstallet til tangenten er den deriverte.

Steg 3 - Regn enhetskostnaden

\[E(100)=\dfrac{K(100)}{100}=\dfrac{1200}{100}=12\]

Enhetskostnaden er kroner per enhet.

Steg 4 - Tolk

\[K'(100)=5,\qquad E(100)=12\]

Marginalkostnaden er 5 kr per enhet, mens gjennomsnittskostnaden er 12 kr per enhet.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Stigning[Tangent]
→ \(5\)
2
1200/100
→ \(12\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 6a")
K_100 = 1200
x_100 = 100
# Tangenten leses omtrent gjennom punktene (0, 700) og (100, 1200)
tangent_slope = (1200 - 700)/(100 - 0)
E_100 = K_100/x_100
print("K(100) =", K_100)
print("K'(100) =", tangent_slope)
print("E(100) =", E_100)
print("Tolkning: marginalkostnad 5 kr/enhet og enhetskostnad 12 kr/enhet.")
Fasit: \(K'(100)=5\text{ og }E(100)=12\)
Del 1 - Oppgave 6bDerivasjon av kvotient

Oppgave 6b

Oppgave:

Vis at den deriverte av enhetskostnaden kan skrives som \(E'(x)=\dfrac{K'(x)-E(x)}{x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Start med definisjonen

\[E(x)=\dfrac{K(x)}{x}\]

Dette er en kvotient.

Steg 2 - Bruk kvotientregelen

\[E'(x)=\dfrac{xK'(x)-K(x)}{x^2}\]

Nevneren deriveres til 1.

Steg 3 - Del opp brøken

\[E'(x)=\dfrac{xK'(x)}{x^2}-\dfrac{K(x)}{x^2}=\dfrac{K'(x)}{x}-\dfrac{K(x)}{x^2}\]

Vi forenkler hvert ledd.

Steg 4 - Bruk at E(x)=K(x)/x

\[\dfrac{K(x)}{x^2}=\dfrac{E(x)}{x}\]
\[E'(x)=\dfrac{K'(x)-E(x)}{x}\]

Dermed er formelen vist.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Derivert[K(x)/x]
→ \(\dfrac{xK'(x)-K(x)}{x^2}=\dfrac{K'(x)-E(x)}{x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Function, diff, simplify
x = symbols('x')
K = Function('K')
E = K(x)/x
E_derivert = diff(E, x)
omordnet = (diff(K(x), x) - K(x)/x)/x
print("Oppgave 6b")
print("E'(x) fra kvotientregelen =", E_derivert)
print("Omordnet uttrykk =", omordnet)
print("Differanse etter forenkling =", simplify(E_derivert - omordnet))
Fasit: \(E'(x)=\dfrac{K'(x)-E(x)}{x}\)
Del 1 - Oppgave 6cTolkning av derivert

Oppgave 6c

Oppgave:

Bestem \(E'(100)\). Hva forteller dette tallet oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Bruk formelen fra b

\[E'(100)=\dfrac{K'(100)-E(100)}{100}\]

Vi setter inn verdiene fra del a.

Steg 2 - Sett inn tall

\[E'(100)=\dfrac{5-12}{100}=-0{,}07\]

Dette er endringen i enhetskostnad per ekstra enhet rundt \(x=100\).

Steg 3 - Tolk fortegnet

\[E'(100)<0\]

Enhetskostnaden synker når produksjonen økes litt fra 100 enheter.

Steg 4 - Tolk størrelsen

\[-0{,}07\text{ kr per enhet per ekstra produsert enhet}\]

Om produksjonen økes med omtrent 1 enhet, synker enhetskostnaden med omtrent 7 øre.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
(5 - 12)/100
→ \(-0{,}07\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Oppgave 6c")
K_derivert_100 = 5
E_100 = 12
x_verdi = 100
E_derivert_100 = (K_derivert_100 - E_100)/x_verdi
print("K'(100) =", K_derivert_100)
print("E(100) =", E_100)
print("E'(100) =", E_derivert_100)
print("Tolkning: enhetskostnaden avtar med omtrent 0,07 kr per ekstra enhet.")
Fasit: \(E'(100)=-0{,}07\)
Del 1 - Oppgave 7aBinomisk forventning og varians

Oppgave 7a

Oppgave:

En bedrift produserer drops. \(20\,\%\) er gule. Det er 100 drops i hver pose. La \(X\) være antall gule drops. Vis at \(E(X)=20\) og \(Var(X)=16\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Identifiser fordelingen

\[X\sim \mathrm{Bin}\left(100,0{,}20\right)\]

Hver drops kan ses som gul eller ikke gul.

Steg 2 - Bruk forventningsformelen

\[E(X)=np=100\cdot 0{,}20=20\]

Forventningsverdien er gjennomsnittlig antall gule drops.

Steg 3 - Bruk variansformelen

\[Var(X)=np\left(1-p\right)=100\cdot 0{,}20\cdot 0{,}80=16\]

Variansen måler spredningen.

Steg 4 - Finn standardavviket for senere bruk

\[\sigma=\sqrt{16}=4\]

Dette brukes i normaltilnærmingen.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Binomial[100, 0.20]
→ \(\mu=20,\ \sigma=4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import Rational, sqrt
n = 100
p = Rational(20, 100)
forventning = n*p
varians = n*p*(1 - p)
standardavvik = sqrt(varians)
print("Oppgave 7a")
print("n =", n)
print("p =", p)
print("E(X) =", forventning)
print("Var(X) =", varians)
print("Standardavvik =", standardavvik)
Fasit: \(E(X)=20,\quad Var(X)=16\)
Del 1 - Oppgave 7bNormaltilnærming

Oppgave 7b

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at det er 25 eller flere gule drops i en tilfeldig valgt pose. Bruk normaltilnærming.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Bruk normalmodell

\[X\approx N\left(20,4\right)\]

Her bruker vi standardavviket \(4\).

Steg 2 - Bruk kontinuitetskorreksjon

\[P(X\ge 25)\approx P(Y\ge 24{,}5)\]

Fordi den opprinnelige variabelen er diskret.

Steg 3 - Standardiser

\[z=\dfrac{24{,}5-20}{4}=1{,}125\]

Nå kan vi bruke standard normalfordeling.

Steg 4 - Regn sannsynligheten

\[P(Y\ge 24{,}5)=1-\Phi\left(1{,}125\right)\approx 0{,}130\]

Sannsynligheten er omtrent 13,0 %.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
1 - Normal(20, 4, 24.5)
→ \(0{,}130\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 20
sigma = 4
grense = 24.5
z = (grense - mu)/sigma
Phi = 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
sannsynlighet = 1 - Phi
print("Oppgave 7b")
print("mu =", mu)
print("sigma =", sigma)
print("Kontinuitetskorreksjon: X >= 25 blir Y >=", grense)
print("z =", z)
print("P(X >= 25) ≈", sannsynlighet)
Fasit: \(P(X\ge 25)\approx 0{,}130\)
Del 1 - Oppgave 7cSkisse av normalfordeling

Oppgave 7c

Oppgave:

Lag en skisse som viser sannsynlighetsfordelingen til \(X\). Skraver området som illustrerer svaret i oppgave b.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Tegn normalfordelingen

\[Y\sim N\left(20,4\right)\]

Kurven skal ha topp ved forventningsverdien \(20\).

Steg 2 - Marker grensen

\[x=24{,}5\]

Med kontinuitetskorreksjon starter området ved \(24{,}5\).

Steg 3 - Skraver høyre hale

\[P(Y\ge 24{,}5)\]

Det skraverte området er til høyre for grensen.

Steg 4 - Skriv på sannsynligheten

\[P(Y\ge 24{,}5)\approx 0{,}130\]

Dette knytter skissen til svaret i del b.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Normalfordeling[20, 4]
→ \(\text{Skraver }x\ge 24{,}5\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import exp, sqrt, pi
mu = 20
sigma = 4
print("Oppgave 7c")
print("Punkter som kan brukes til skisse av tetthetskurven:")
for verdi in [12, 16, 20, 24.5, 28]:
    tetthet = (1/(sigma*sqrt(2*pi))) * exp(-0.5*((verdi - mu)/sigma)**2)
    print("x =", verdi, "tetthet ≈", round(tetthet, 5))
print("Skraver området til høyre for x = 24.5")
Fasit: \(Skissen skal vise en normalfordeling med høyre hale fra \(24{,}5\) skravert.\)
Del 1 - Oppgave 7dNormalfordeling og sentralintervall

Oppgave 7d

Oppgave:

Bestem \(a\) slik at \(P\left(20-a\le X\le 20+a\right)=0{,}90\). Hva forteller intervallet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Tolk symmetrien

\[P\left(20-a\le X\le 20+a\right)=0{,}90\]

Det ligger 5 % sannsynlighet i hver hale.

Steg 2 - Finn z-verdi

\[\Phi(z)=0{,}95\quad \Rightarrow \quad z\approx 1{,}645\]

Dette er 95-persentilen i standard normalfordeling.

Steg 3 - Gjør om til antall drops

\[a=z\sigma\approx 1{,}645\cdot 4=6{,}58\]

Siden standardavviket er 4.

Steg 4 - Tolk intervallet

\[20-a\approx 13{,}4,\qquad 20+a\approx 26{,}6\]

Omtrent 90 % av posene har mellom ca. 13 og 27 gule drops i normalmodellen.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
InversNormal[0.95, 0, 1] * 4
→ \(6{,}58\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from statistics import NormalDist
mu = 20
sigma = 4
z = NormalDist().inv_cdf(0.95)
a = z*sigma
print("Oppgave 7d")
print("z slik at Phi(z)=0.95:", z)
print("a = z*sigma =", a)
print("Intervall:", (mu - a, mu + a))
print("Tolkning: omtrent 90 prosent av posene ligger i dette intervallet.")
Fasit: \(a\approx 6{,}58\)

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1aBinomisk sannsynlighet

Oppgave 1a

Oppgave:

Ved stortingsvalget i september 2017 fikk Fremskrittspartiet \(15{,}2\,\%\) av stemmene. La \(X\) være antall FrP-velgere blant 1500 tilfeldig valgte personer. Bestem \(P\left(X\ge 240\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Sett opp modellen

\[X\sim \mathrm{Bin}\left(1500,0{,}152\right)\]

Vi modellerer antall som binomisk fordelt.

Steg 2 - Skriv sannsynligheten digitalt

\[P\left(X\ge 240\right)=1-P\left(X\le 239\right)\]

Dette er praktisk i CAS eller Python.

Steg 3 - Regn med binomisk fordeling

\[P\left(X\ge 240\right)\approx 0{,}203\]

Resultatet er omtrent 20,3 %.

Steg 4 - Tolk svaret

\[0{,}203\approx 20{,}3\,\%\]

Det er ikke spesielt uvanlig med 240 eller flere i et utvalg på 1500 når sann andel er 15,2 %.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
1 - Binomial(1500, 0.152, 239)
→ \(0{,}203\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from scipy.stats import binom
n = 1500
p = 0.152
grense = 240
sannsynlighet = binom.sf(grense - 1, n, p)
print("Del 2 - Oppgave 1a")
print("X ~ Bin(n=1500, p=0.152)")
print("P(X >= 240) =", sannsynlighet)
print("Avrundet =", round(sannsynlighet, 3))
Fasit: \(P\left(X\ge 240\right)\approx 0{,}203\)
Del 2 - Oppgave 1bHypotesetest

Oppgave 1b

Oppgave:

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som kan brukes for å teste avisens mistanke om at oppslutningen har gått ned.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Definer parameteren

\[p=\text{andelen som ville stemt FrP i april 2020}\]

Parameteren er den sanne andelen i populasjonen.

Steg 2 - Sett opp nullhypotesen

\[H_0:p=0{,}152\]

Nullhypotesen sier at oppslutningen ikke har gått ned fra 2017-nivået.

Steg 3 - Sett opp alternativ hypotese

\[H_1:p<0{,}152\]

Mistanken er retningsbestemt: nedgang.

Steg 4 - Velg testtype

\[\text{Venstresidig binomisk test}\]

Vi ser etter uvanlig få FrP-svar.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
H0: p = 0.152
→ \(H_0\)
2
H1: p < 0.152
→ \(H_1\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

print("Del 2 - Oppgave 1b")
p0 = 0.152
print("Parameter p: sann andel som ville stemt FrP i april 2020")
print("H0: p =", p0)
print("H1: p <", p0)
print("Testtype: venstresidig binomisk test")
Fasit: \(H_0:p=0{,}152,\quad H_1:p<0{,}152\)
Del 2 - Oppgave 1cHypotesetest

Oppgave 1c

Oppgave:

Det viste seg at \(13{,}8\,\%\) av de spurte ville stemt FrP. Gjennomfør testen med signifikansnivå \(5\,\%\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Finn observert antall

\[0{,}138\cdot 1500=207\]

Vi observerer 207 personer.

Steg 2 - Regn p-verdien under H0

\[p\text{-verdi}=P\left(X\le 207\right),\quad X\sim \mathrm{Bin}\left(1500,0{,}152\right)\]

Venstresidig test gir sannsynlighet for like lavt eller lavere resultat.

Steg 3 - Beregn

\[P\left(X\le 207\right)\approx 0{,}0688\]

Dette er større enn 0,05.

Steg 4 - Konkluder

\[0{,}0688>0{,}05\]

Vi forkaster ikke nullhypotesen på 5 % nivå. Det er ikke tilstrekkelig grunnlag for å si at oppslutningen har gått ned.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Binomial(1500, 0.152, 207)
→ \(0{,}0688\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from scipy.stats import binom
n = 1500
p0 = 0.152
observert_andel = 0.138
observert_antall = int(round(n*observert_andel))
p_verdi = binom.cdf(observert_antall, n, p0)
alfa = 0.05
print("Del 2 - Oppgave 1c")
print("Observert antall =", observert_antall)
print("p-verdi = P(X <= 207) =", p_verdi)
print("Signifikansnivå =", alfa)
print("Forkast H0?", p_verdi < alfa)
print("Konklusjon: Ikke nok grunnlag for å si at oppslutningen har gått ned.")
Fasit: \(p\text{-verdi}\approx 0{,}0688,\quad \text{ikke forkast }H_0\)
Del 2 - Oppgave 2aLogistisk regresjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Tabellen viser antall rotter i en bypark. La \(t\) være antall dager etter 31. mai, og bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Velg logistisk modellform

\[g(t)=\dfrac{L}{1+A e^{-kt}}\]

En logistisk modell passer når bestanden flater ut.

Steg 2 - Legg inn data

\[\left(0,6\right),\left(10,15\right),\left(20,37\right),\left(30,72\right),\left(40,104\right),\left(50,126\right)\]

Dette er datagrunnlaget for regresjonen.

Steg 3 - Utfør regresjon

\[g(t)\approx \dfrac{140{,}3}{1+23{,}1e^{-0{,}1056t}}\]

Tallene kan variere litt med regresjonsverktøy og avrunding.

Steg 4 - Kontroller modellen

\[g(0)\approx 5{,}84,\qquad g(50)\approx 126{,}3\]

Modellen treffer dataene rimelig godt.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
LogistiskRegresjon[{(0,6),(10,15),(20,37),(30,72),(40,104),(50,126)}]
→ \(\dfrac{140{,}3}{1+23{,}1e^{-0{,}1056t}}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

def logistisk(t, L, A, k):
    return L/(1 + A*np.exp(-k*t))

t = np.array([0, 10, 20, 30, 40, 50], dtype=float)
y = np.array([6, 15, 37, 72, 104, 126], dtype=float)
parametre, kovarians = curve_fit(logistisk, t, y, p0=(140, 23, 0.10), bounds=(0, np.inf), maxfev=10000)
L, A, k = parametre
print("Del 2 - Oppgave 2a")
print("L =", L)
print("A =", A)
print("k =", k)
print(f"Modell: g(t) = {L:.3f}/(1 + {A:.3f}*exp(-{k:.5f}*t))")
for tv, yv in zip(t, y):
    print("t =", tv, "observert =", yv, "modell =", logistisk(tv, L, A, k))
Fasit: \(g(t)\approx \dfrac{140{,}3}{1+23{,}1e^{-0{,}1056t}}\)
Del 2 - Oppgave 2bLogistisk vekst

Oppgave 2b

Oppgave:

Modellen \(f(t)=\dfrac{120}{1+19e^{-0{,}12t}}\) viser antall rotter i 2018. Når økte antall rotter raskest, og hvor raskt økte bestanden da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Bruk logistisk teori

\[f(t)=\dfrac{L}{1+A e^{-kt}},\qquad L=120,\ A=19,\ k=0{,}12\]

Veksten er størst i vendepunktet.

Steg 2 - Finn vendepunktet

\[Ae^{-kt}=1\quad \Rightarrow \quad t=\dfrac{\ln A}{k}=\dfrac{\ln 19}{0{,}12}\approx 24{,}5\]

Dette er ca. 24,5 dager etter 31. mai.

Steg 3 - Finn maksimal vekstfart

\[f'_{\max}=\dfrac{Lk}{4}=\dfrac{120\cdot 0{,}12}{4}=3{,}6\]

Enheten er rotter per dag.

Steg 4 - Tolk tidspunktet

\[31.\text{ mai}+24{,}5\text{ dager}\approx 24.\text{ juni}\]

Bestanden økte raskest rundt 24. juni.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Vendepunkt[120/(1 + 19 exp(-0.12t))]
→ \(t\approx 24{,}5\)
2
Maksimum[Derivert[f], 0, 60]
→ \(3{,}6\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import log
L = 120
A = 19
k = 0.12
t_vendepunkt = log(A)/k
maks_vekstfart = L*k/4
print("Del 2 - Oppgave 2b")
print("t for størst vekst = ln(A)/k =", t_vendepunkt)
print("Maksimal vekstfart = L*k/4 =", maks_vekstfart)
print("Tolkning: omtrent 24,5 dager etter 31. mai, ca. 3,6 rotter per dag.")
Fasit: \(\text{Raskest etter ca. }24{,}5\text{ dager, med }3{,}6\text{ rotter per dag.}\)
Del 2 - Oppgave 2cLogistisk modellbygging

Oppgave 2c

Oppgave:

I en annen park var det 20 rotter den 31. mai. Bestanden følger en logistisk modell, veksten var størst 15. juli, og bestanden stabiliserte seg på 200. Hvor mange rotter var det 30. juli?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Sett opp modell

\[N(t)=\dfrac{200}{1+Ae^{-kt}}\]

Stabiliseringsnivået er 200.

Steg 2 - Bruk startverdien

\[N(0)=20\quad \Rightarrow \quad 20=\dfrac{200}{1+A}\quad \Rightarrow \quad A=9\]

31. mai svarer til \(t=0\).

Steg 3 - Bruk tidspunkt for størst vekst

\[15.\text{ juli}:\ t=45\]
\[\dfrac{\ln A}{k}=45\quad \Rightarrow \quad k=\dfrac{\ln 9}{45}\approx 0{,}0488\]

Vendepunktet er der veksten er størst.

Steg 4 - Regn for 30. juli

\[30.\text{ juli}:\ t=60\]
\[N(60)=\dfrac{200}{1+9e^{-0{,}0488\cdot 60}}\approx 135\]

Modellen gir omtrent 135 rotter.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
200/(1 + 9 exp(-(ln(9)/45) 60))
→ \(135\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import log, exp
L = 200
N0 = 20
A = L/N0 - 1
t_vendepunkt = 45
k = log(A)/t_vendepunkt
t_30_juli = 60
N_60 = L/(1 + A*exp(-k*t_30_juli))
print("Del 2 - Oppgave 2c")
print("L =", L)
print("A =", A)
print("k =", k)
print("N(60) =", N_60)
print("Avrundet antall rotter:", round(N_60))
Fasit: \(\text{Omtrent }135\text{ rotter.}\)
Del 2 - Oppgave 3aOverskuddsfunksjon

Oppgave 3a

Oppgave:

Kostnaden er \(K(x)=0{,}03x^2+20x+500\) og inntekten er \(I(x)=-0{,}14x^2+74x\). Tegn grafen til overskuddsfunksjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Definer overskudd

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Overskudd er inntekt minus kostnad.

Steg 2 - Regn ut funksjonen

\[O(x)=\left(-0{,}14x^2+74x\right)-\left(0{,}03x^2+20x+500\right)\]
\[O(x)=-0{,}17x^2+54x-500\]

Dette er en parabel som vender nedover.

Steg 3 - Oppgi definisjonsmengde

\[0\le x\le 250\]

Grafen skal tegnes bare på dette intervallet.

Steg 4 - Bruk graftegner

\[\text{Tegn }O(x)=-0{,}17x^2+54x-500\text{ for }0\le x\le 250\]

Grafen viser hvor overskuddet er positivt og hvor maksimum ligger.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Funksjon[-0.17x^2 + 54x - 500, 0, 250]
→ \(\text{Grafen til }O\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand
x = symbols('x')
K = 0.03*x**2 + 20*x + 500
I = -0.14*x**2 + 74*x
O = expand(I - K)
print("Del 2 - Oppgave 3a")
print("K(x) =", K)
print("I(x) =", I)
print("O(x) = I(x) - K(x) =", O)
print("Definisjonsmengde: 0 <= x <= 250")
Fasit: \(O(x)=-0{,}17x^2+54x-500,\quad 0\le x\le 250\)
Del 2 - Oppgave 3bMaksimalt overskudd

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem hvor mange enheter bedriften må produsere og selge per dag for å få størst overskudd. Hvor stort blir dette overskuddet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Bruk overskuddsfunksjonen

\[O(x)=-0{,}17x^2+54x-500\]

Parabelen vender nedover, så toppunktet gir maksimum.

Steg 2 - Finn toppunktets x-verdi

\[x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-54}{2\left(-0{,}17\right)}\approx 158{,}8\]

Produksjonen må være omtrent 159 enheter.

Steg 3 - Regn overskuddet

\[O(158{,}8)\approx 3788\]

Dette er høyeste overskudd i kroner.

Steg 4 - Vurder hele enheter

\[O(159)\approx 3788\]

Siden enheter er heltall, velger vi 159 enheter.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt[-0.17x^2 + 54x - 500]
→ \(\left(158{,}8,3788{,}2\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Rational, diff, solve, N
x = symbols('x')
O = -Rational(17, 100)*x**2 + 54*x - 500
x_maks = solve(diff(O, x), x)[0]
O_maks = O.subs(x, x_maks)
print("Del 2 - Oppgave 3b")
print("O(x) =", O)
print("x-verdi for toppunkt =", x_maks, "≈", N(x_maks))
print("Maksimalt overskudd =", O_maks, "≈", N(O_maks))
print("O(159) =", N(O.subs(x, 159)))
Fasit: \(\text{Ca. }159\text{ enheter og ca. }3788\text{ kr i overskudd.}\)
Del 2 - Oppgave 3cParameterbestemmelse

Oppgave 3c

Oppgave:

For en annen vare er salgsprisen \(p(x)=ax+b\). Kostnadsfunksjonen er \(K\) som før. Bestem \(a\) og \(b\) slik at overskuddet er størst ved 175 enheter og er 5625 kr ved 175 enheter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Skriv inntekten

\[I(x)=x\cdot p(x)=ax^2+bx\]

Pris per enhet multiplisert med antall enheter.

Steg 2 - Skriv overskuddet

\[O(x)=I(x)-K(x)=\left(a-0{,}03\right)x^2+\left(b-20\right)x-500\]

Vi bruker samme kostnadsfunksjon som før.

Steg 3 - Bruk at maksimum er ved x = 175

\[O'(x)=2\left(a-0{,}03\right)x+\left(b-20\right)\]
\[O'(175)=0\]

Toppunktbetingelsen gir en likning.

Steg 4 - Bruk overskuddsverdien

\[O(175)=5625\]

Dette gir den andre likningen.

Steg 5 - Løs systemet

\[a=-0{,}17,\qquad b=90\]

Da blir overskuddsfunksjonen riktig plassert og med riktig toppverdi.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs[{O'(175)=0, O(175)=5625}, {a,b}]
→ \(a=-0{,}17,\ b=90\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
x, a, b = symbols('x a b')
K = Rational(3, 100)*x**2 + 20*x + 500
I = x*(a*x + b)
O = I - K
likning_1 = Eq(O.diff(x).subs(x, 175), 0)
likning_2 = Eq(O.subs(x, 175), 5625)
losning = solve([likning_1, likning_2], (a, b), dict=True)[0]
print("Del 2 - Oppgave 3c")
print("Overskudd O(x) =", O)
print("Likning 1:", likning_1)
print("Likning 2:", likning_2)
print("Løsning:", losning)
Fasit: \(a=-0{,}17,\quad b=90\)
Del 2 - Oppgave 4aAnnuitetslån

Oppgave 4a

Oppgave:

Caroline har et annuitetslån på 2 500 000 kr, nedbetalingstid 30 år, én termin per år og rente \(2{,}7\,\%\). Hvor mye må hun totalt betale?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Bruk annuitetsformelen

\[T=K\cdot \dfrac{r}{1-\left(1+r\right)^{-n}}\]

Her er \(K=2500000\), \(r=0{,}027\) og \(n=30\).

Steg 2 - Regn terminbeløpet

\[T=2500000\cdot \dfrac{0{,}027}{1-1{,}027^{-30}}\approx 122652\]

Dette er årlig terminbeløp.

Steg 3 - Finn total betaling

\[30\cdot 122652\approx 3679560\]

Alle terminbeløpene er like i et annuitetslån.

Steg 4 - Tolk

\[\text{Total betaling}\approx 3{,}68\text{ millioner kr}\]

Dette inkluderer både avdrag og renter.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
2500000*0.027/(1 - 1.027^(-30))
→ \(122652\)
2
30*122652.0139
→ \(3679560\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

K = 2_500_000
r = 0.027
n = 30
terminbelop = K*r/(1 - (1 + r)**(-n))
total_betaling = n*terminbelop
print("Del 2 - Oppgave 4a")
print("Lånebeløp =", K)
print("Rente =", r)
print("Antall terminer =", n)
print("Terminbeløp =", terminbelop)
print("Total betaling =", total_betaling)
Fasit: \(\text{Totalt ca. }3\,679\,560\text{ kr.}\)
Del 2 - Oppgave 4bRestlån og serielån

Oppgave 4b

Oppgave:

Rett etter innbetaling av 10. terminbeløp gjøres lånet om til serielån med 20 terminer. Vis at årlige avdrag blir 93 820 kr.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Finn terminbeløpet fra annuitetslånet

\[T\approx 122652\]

Dette brukes for å finne restgjelden etter 10 terminer.

Steg 2 - Beregn restgjeld etter 10 terminer

\[R=K\left(1+r\right)^{10}-T\cdot \dfrac{\left(1+r\right)^{10}-1}{r}\]

Dette er fremtidig verdi av lån minus fremtidig verdi av innbetalinger.

Steg 3 - Sett inn tall

\[R\approx 1876410\]

Dette er restlånet idet serielånet starter.

Steg 4 - Finn fast avdrag

\[A=\dfrac{R}{20}\approx \dfrac{1876410}{20}\approx 93820\]

I et serielån er avdragene like store.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Restgjeld[2500000, 0.027, 30, 10]
→ \(1876410\)
2
1876410/20
→ \(93820\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

K = 2_500_000
r = 0.027
n = 30
betalte_terminer = 10
gjenstaende_terminer = 20
terminbelop = K*r/(1 - (1 + r)**(-n))
restgjeld = K*(1 + r)**betalte_terminer - terminbelop*((1 + r)**betalte_terminer - 1)/r
avdrag = restgjeld/gjenstaende_terminer
print("Del 2 - Oppgave 4b")
print("Terminbeløp annuitetslån =", terminbelop)
print("Restgjeld etter 10 terminer =", restgjeld)
print("Årlig avdrag i serielån =", avdrag)
print("Avrundet til nærmeste krone =", round(avdrag))
Fasit: \(\text{Årlig avdrag }\approx 93\,820\text{ kr.}\)
Del 2 - Oppgave 4cSum av serielån

Oppgave 4c

Oppgave:

Bestem summen av de 20 terminbeløpene for serielånet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene som matematikk, bruke riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 - Bruk restgjelden

\[R\approx 1876410\]

Samlet avdrag over 20 år blir hele restgjelden.

Steg 2 - Finn rentene i serielånet

\[\text{Rente hvert år}=0{,}027\cdot \text{restgjeld før betaling}\]

Restgjelden synker lineært i et serielån.

Steg 3 - Summer restgjeldene før betaling

\[R+\dfrac{19}{20}R+\cdots+\dfrac{1}{20}R=\dfrac{21}{2}R=10{,}5R\]

Dette er en aritmetisk rekke av restgjeld.

Steg 4 - Regn total sum

\[\text{Sum}=R+0{,}027\cdot 10{,}5R\approx 2408372\]

Dette inkluderer alle avdrag og renter i serielånsperioden.

Tolkning

Svaret er skrevet slik at både metode, fortegn, enheter og endelig konklusjon kan kontrolleres.

Vanlig feil: En vanlig feil er å bruke riktig metode, men glemme definisjonsmengde, fortegn, enhet eller kontroll av endelig svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
1876409.94 + 0.027*10.5*1876409.94
→ \(2408372\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

K = 2_500_000
r = 0.027
n = 30
betalte_terminer = 10
gjenstaende_terminer = 20
terminbelop = K*r/(1 - (1 + r)**(-n))
restgjeld = K*(1 + r)**betalte_terminer - terminbelop*((1 + r)**betalte_terminer - 1)/r
avdrag = restgjeld/gjenstaende_terminer
sum_rentegrunnlag = sum(restgjeld - i*avdrag for i in range(gjenstaende_terminer))
sum_renter = r*sum_rentegrunnlag
sum_terminbelop = restgjeld + sum_renter
print("Del 2 - Oppgave 4c")
print("Restgjeld ved start =", restgjeld)
print("Årlig avdrag =", avdrag)
print("Sum rentegrunnlag =", sum_rentegrunnlag)
print("Sum renter =", sum_renter)
print("Sum av 20 terminbeløp =", sum_terminbelop)
Fasit: \(\text{Summen blir ca. }2\,408\,372\text{ kr.}\)

Teknisk kontroll