ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Vår 2019 - løsningsforslag

Fullstendig bokmålsversjon med transkriberte oppgaver, trinnvise løsninger, vanlige feil, tolkning, GeoGebra CAS og Python-kontroll. Python-koden er skrevet som realistiske, kjørbare kontrollscript med tydelig utskrift.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=5x^4-10+e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver ledd for ledd

\dfrac{d}{dx}\left(5x^4\right)=20x^3

Konstantfaktoren beholdes, og vi bruker potensregelen.

Steg 2 - Deriver konstantleddet

\dfrac{d}{dx}(-10)=0

Et konstantledd har ingen vekst og får derfor derivert lik null.

Steg 3 - Deriver eksponentialleddet

\dfrac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x

Funksjonen \(e^x\) er sin egen deriverte.

Steg 4 - Sett sammen

\[f'(x)=20x^3+0+e^x\]

Steg 5 - Forenkle

\[f'(x)=20x^3+e^x\]

Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen for hvert punkt \(x\).

Vanlig feil: Å derivere \(e^x\) som om det var et polynom.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(5*x^4 - 10 + exp(x))

-> \(20x^3+e^x\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
f = 5*x**4 - 10 + exp(x)
f_derivert = diff(f, x)
print("Funksjon f(x):", f)
print("Derivert f'(x):", f_derivert)
print("Forenklet:", simplify(f_derivert))

Fasit: \(f'(x)=20x^3+e^x\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 1bDerivasjon - produktregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=2x\cdot \ln x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se produktet

g(x)=2\cdot x\cdot \ln x

Konstanten 2 kan stå utenfor derivasjonen.

Steg 2 - Bruk produktregelen

(x\ln x)'=1\cdot \ln x+x\cdot \dfrac{1}{x}

Steg 3 - Forenkle leddet

1\cdot \ln x+x\cdot \dfrac{1}{x}=\ln x+1

Steg 4 - Multipliser med 2

g'(x)=2\left(\ln x+1\right)

Steg 5 - Skriv eventuelt ut parentesen

g'(x)=2\ln x+2

Tolkning

Siden \(\ln x\) bare er definert for \(x>0\), gjelder den deriverte i samme definisjonsmengde.

Vanlig feil: Å derivere \(x\ln x\) som \(1\cdot \dfrac{1}{x}\) uten produktregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(2*x*ln(x))

-> \(2\ln x+2\)

Python

from sympy import symbols, log, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
g = 2*x*log(x)
g_derivert = diff(g, x)
print("Funksjon g(x):", g)
print("Derivert g'(x):", g_derivert)
print("Forenklet:", simplify(g_derivert))

Fasit: \(g'(x)=2\ln x+2\) for \(x>0\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 1cDerivasjon - kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{8}{1+e^{-2x}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv som potens

h(x)=8\left(1+e^{-2x}\right)^{-1}

Steg 2 - Bruk kjerneregel

h'(x)=8\cdot (-1)\left(1+e^{-2x}\right)^{-2}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)'

Steg 3 - Deriver kjernen

\left(1+e^{-2x}\right)'=-2e^{-2x}

Steg 4 - Sett inn

h'(x)=8\cdot (-1)\left(1+e^{-2x}\right)^{-2}\cdot (-2e^{-2x})

Steg 5 - Forenkle

h'(x)=\dfrac{16e^{-2x}}{\left(1+e^{-2x}\right)^2}

Tolkning

Den deriverte er positiv for alle \(x\), så funksjonen er voksende.

Vanlig feil: Å miste minusfortegnet fra den indre derivasjonen av \(e^{-2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(8/(1+exp(-2*x)))

-> \(\dfrac{16e^{-2x}}{\left(1+e^{-2x}\right)^2}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
h = 8/(1 + exp(-2*x))
h_derivert = diff(h, x)
print("Funksjon h(x):", h)
print("Derivert h'(x):", h_derivert)
print("Forenklet:", simplify(h_derivert))

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{16e^{-2x}}{\left(1+e^{-2x}\right)^2}\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 2aPolynom og faktor

Oppgave 2a

Oppgave:

Et polynom \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-6x^2+9x-4\). Begrunn at \(P(x)\) er delelig med \((x-1)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Et polynom er delelig med \((x-a)\) hvis og bare hvis \(P(a)=0\).

Steg 2 - Sett inn roten

P(1)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1-4

Steg 3 - Regn ut

\[P(1)=1-6+9-4=0\]

Steg 4 - Konkluder

Siden resten er 0 ved divisjon med \((x-1)\), er \((x-1)\) en faktor.

Tolkning

Grafen til \(P\) har et nullpunkt ved \(x=1\).

Vanlig feil: Å påstå delelighet uten å vise at funksjonsverdien blir 0.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

P(x):=x^3-6*x^2+9*x-4

P(1)

-> \(0\)

Python

from sympy import symbols
x = symbols('x')
P = x**3 - 6*x**2 + 9*x - 4
verdi = P.subs(x, 1)
print("P(x) =", P)
print("P(1) =", verdi)
print("Delelig med (x - 1):", verdi == 0)

Fasit: \(P(1)=0\), altså er \((x-1)\) en faktor.

Del 1 - Oppgave 2bFaktorisering

Oppgave 2b

Oppgave:

Faktoriser \(P(x)=x^3-6x^2+9x-4\) i førstegradsfaktorer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk kjent faktor

Fra del a vet vi at \((x-1)\) er en faktor.

Steg 2 - Del polynomet

\[x^3-6x^2+9x-4=(x-1)(x^2-5x+4)\]

Steg 3 - Faktoriser andregradsfaktoren

\[x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\]

Steg 4 - Sett sammen

\[P(x)=(x-1)^2(x-4)\]

Steg 5 - Kontroll ved utvidelse

\[(x-1)^2(x-4)=x^3-6x^2+9x-4\]

Tolkning

Nullpunktene er \(x=1\) med dobbeltrot og \(x=4\).

Vanlig feil: Å glemme at \(x=1\) forekommer to ganger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Faktoriser(x^3-6*x^2+9*x-4)

-> \((x-1)^2(x-4)\)

Python

from sympy import symbols, factor, expand
x = symbols('x')
P = x**3 - 6*x**2 + 9*x - 4
faktorisert = factor(P)
kontroll = expand(faktorisert)
print("P(x) =", P)
print("Faktorisert form:", faktorisert)
print("Utvidet kontroll:", kontroll)
print("Kontrollen stemmer:", kontroll == P)

Fasit: \(P(x)=(x-1)^2(x-4)\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 3aPolynom og likningssystem

Oppgave 3a

Oppgave:

Et polynom \(Q\) er gitt ved \(Q(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx-12\). Du får oppgitt at \((x+1)\), \((x-1)\) og \((x-2)\) er faktorer i \(Q(x)\). Vis at dette gir likningssystemet \(a-b+c=-11\), \(a+b+c=11\) og \(8a+4b+2c=-4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Faktorene betyr at \(Q(-1)=0\), \(Q(1)=0\) og \(Q(2)=0\).

Steg 2 - Sett inn x=-1

\[Q(-1)=1-a+b-c-12=0\]

\[a-b+c=-11\]

Steg 3 - Sett inn x=1

\[Q(1)=1+a+b+c-12=0\]

\[a+b+c=11\]

Steg 4 - Sett inn x=2

\[Q(2)=16+8a+4b+2c-12=0\]

\[8a+4b+2c=-4\]

Tolkning

Hver oppgitt faktor gir en rot, og hver rot gir en lineær likning i \(a\), \(b\) og \(c\).

Vanlig feil: Å sette inn \(x=1\) for faktoren \((x+1)\); riktig rot er \(x=-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Q(-1)=0

-> \(a-b+c=-11\)

Q(1)=0

-> \(a+b+c=11\)

Q(2)=0

-> \(8a+4b+2c=-4\)

Python

from sympy import symbols, expand
x, a, b, c = symbols('x a b c')
Q = x**4 + a*x**3 + b*x**2 + c*x - 12
for verdi in [-1, 1, 2]:
    uttrykk = expand(Q.subs(x, verdi))
    print(f"Q({verdi}) =", uttrykk)
    print(f"Likningen Q({verdi}) = 0 gir:", uttrykk, "= 0")

Fasit: Likningssystemet er vist.

Del 1 - Oppgave 3bLineære likningssystemer

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) i likningssystemet fra oppgave 3a.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv systemet

\begin{aligned}a-b+c&=-11\\a+b+c&=11\\8a+4b+2c&=-4\end{aligned}

Steg 2 - Trekk første likning fra andre

\[(a+b+c)-(a-b+c)=11-(-11)\]

2b=22\Rightarrow b=11

Steg 3 - Bruk b=11

a+11+c=11\Rightarrow a+c=0

Steg 4 - Sett b=11 inn i tredje

8a+44+2c=-4\Rightarrow 8a+2c=-48

Steg 5 - Bruk c=-a

8a+2(-a)=-48\Rightarrow 6a=-48\Rightarrow a=-8

Steg 6 - Finn c

\[c=8\]

Tolkning

Polynomet får dermed de tre oppgitte førstegradsfaktorene.

Vanlig feil: Å løse systemet numerisk uten å kontrollere alle tre likningene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs({a-b+c=-11, a+b+c=11, 8a+4b+2c=-4},{a,b,c})

-> \(a=-8,\ b=11,\ c=8\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve

a, b, c = symbols('a b c')
likninger = [
    Eq(a - b + c, -11),
    Eq(a + b + c, 11),
    Eq(8*a + 4*b + 2*c, -4),
]
losning = solve(likninger, (a, b, c), dict=True)[0]
print("Likningssystem:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning)
print("Løsning:", losning)
print("Kontroll:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning.subs(losning), "->", bool(likning.subs(losning)))

Fasit: \(a=-8\), \(b=11\) og \(c=8\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 4aAritmetisk rekke

Oppgave 4a

Oppgave:

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme \(1+7+13+19+\cdots+295\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn første ledd og differanse

a_1=1,\qquad d=6

Steg 2 - Finn antall ledd

\[295=1+(n-1)6\]

294=6(n-1)\Rightarrow n=50

Steg 3 - Bruk sumformelen

S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}

Steg 4 - Sett inn

S_{50}=\dfrac{50(1+295)}{2}

Steg 5 - Regn ut

S_{50}=7400

Tolkning

Det er 50 ledd i rekken, og summen av alle leddene er 7400.

Vanlig feil: Å bruke 295 som antall ledd i stedet for å finne \(n\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

n=(295-1)/6+1

-> \(50\)

50*(1+295)/2

-> \(7400\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, summation
n, i = symbols('n i', integer=True, positive=True)
a1 = 1
d = 6
siste = 295
antall = solve(Eq(a1 + (n - 1)*d, siste), n)[0]
sum_rekke = summation(a1 + (i - 1)*d, (i, 1, antall))
print("Første ledd:", a1)
print("Differanse:", d)
print("Antall ledd:", antall)
print("Summen av rekken:", sum_rekke)

Fasit: \(7400\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 4bAritmetiske følger

Oppgave 4b

Oppgave:

For en annen aritmetisk rekke gjelder \(a_5-a_2=12\) og \(a_1+a_2+a_3=18\). Bestem en formel for \(a_n\) uttrykt ved \(n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv leddene

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

Steg 2 - Bruk første opplysning

\[a_5-a_2=(a_1+4d)-(a_1+d)=3d=12\]

\[d=4\]

Steg 3 - Bruk andre opplysning

\[a_1+a_2+a_3=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=18\]

Steg 4 - Sett inn d=4

3a_1+3\cdot 4=18\Rightarrow 3a_1=6\Rightarrow a_1=2

Steg 5 - Lag formelen

\[a_n=2+(n-1)4=4n-2\]

Tolkning

Følgen starter på 2 og øker med 4 for hvert nytt ledd.

Vanlig feil: Å tolke \(a_5-a_2\) som \(5d-2d\) uten å vise leddformelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs({3*d=12, 3*a1+3*d=18},{a1,d})

-> \(a_1=2,\ d=4\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify

a1, d, n = symbols('a1 d n')
likninger = [Eq(3*d, 12), Eq(3*a1 + 3*d, 18)]
losning = solve(likninger, (a1, d), dict=True)[0]
an = simplify(losning[a1] + (n - 1)*losning[d])
print("Løsning for a1 og d:", losning)
print("Formel for a_n:", an)
print("Kontroll a5-a2:", an.subs(n, 5) - an.subs(n, 2))
print("Kontroll a1+a2+a3:", an.subs(n, 1) + an.subs(n, 2) + an.subs(n, 3))

Fasit: \(a_n=4n-2\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 5Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 5

Oppgave:

En ball slippes fra en høyde på 10,0 m. Første gang ballen treffer bakken, spretter den 6,0 m loddrett opp. Hver gang den så treffer bakken igjen, spretter den loddrett opp til en høyde som er 60 % av høyden den fikk ved forrige sprett. Bestem den totale distansen ballen har tilbakelagt fra den slippes, til den faller til ro.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skill første fall fra sprettene

Første del av distansen er \(10,0\) m ned.

Steg 2 - Skriv sprettrekken

6+6\cdot 0,60+6\cdot 0,60^2+\cdots

Steg 3 - Husk opp og ned

Hver sprett etter første bakkekontakt gir både en tur opp og en tur ned.

Steg 4 - Summer høydene

S=\dfrac{6}{1-0,60}=15

Steg 5 - Total distanse

D=10+2S=10+2\cdot 15=40

Tolkning

Ballen går først 10 m ned, og deretter samlet 30 m i sprettbevegelsene.

Vanlig feil: Å bare summere sprettene én gang og glemme at ballen både går opp og ned.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

10 + 2*Sum(6*0.6^n,n,0,Infinity)

-> \(40\)

Python

from sympy import Rational, summation, symbols
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
forste_fall = Rational(10, 1)
forste_sprett = Rational(6, 1)
kvotient = Rational(60, 100)
sum_spretthoyder = summation(forste_sprett*kvotient**n, (n, 0, 100))
grenseverdi = forste_sprett/(1 - kvotient)
total_distanse = forste_fall + 2*grenseverdi
print("Første fall:", forste_fall, "m")
print("Sum av sprett-høydene:", grenseverdi, "m")
print("Total distanse:", total_distanse, "m")

Fasit: \(40,0\text{ m}\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 6aDerivasjon og ekstremalpunkter

Oppgave 6a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=(x-1)^2\cdot (x-4)\). Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Utvid funksjonen

\[f(x)=(x-1)^2(x-4)=x^3-6x^2+9x-4\]

Steg 2 - Deriver

\[f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\]

Steg 3 - Finn kritiske punkter

f'(x)=0\Rightarrow x=1\ \text{eller}\ x=3

Steg 4 - Bruk fortegn

Fortegnet til \(f'(x)\) går fra pluss til minus ved \(x=1\) og fra minus til pluss ved \(x=3\).

Steg 5 - Finn funksjonsverdier

f(1)=0,\qquad f(3)=-4

Tolkning

Grafen har toppunkt i \((1,0)\) og bunnpunkt i \((3,-4)\).

Vanlig feil: Å finne stasjonære punkter, men ikke klassifisere dem.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

f(x):=(x-1)^2*(x-4)

Faktoriser(Derivert(f))

-> \(3(x-1)(x-3)\)

f(1), f(3)

-> \(0, -4\)

Python

from sympy import symbols, diff, factor, expand
x = symbols('x')
f = (x - 1)**2*(x - 4)
f_utvidet = expand(f)
f_derivert = factor(diff(f, x))
kritiske_x = [1, 3]
print("f(x) utvidet:", f_utvidet)
print("f'(x) faktorisert:", f_derivert)
for xverdi in kritiske_x:
    print(f"f({xverdi}) =", f.subs(x, xverdi))
print("Konklusjon: toppunkt (1, 0), bunnpunkt (3, -4)")

Fasit: \((1,0)\) er toppunkt og \((3,-4)\) er bunnpunkt.

Del 1 - Oppgave 6bVendepunkt

Oppgave 6b

Oppgave:

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til \(f(x)=(x-1)^2\cdot (x-4)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk den utvidede formen

\[f(x)=x^3-6x^2+9x-4\]

Steg 2 - Deriver to ganger

\[f'(x)=3x^2-12x+9\]

\[f''(x)=6x-12\]

Steg 3 - Sett andrederivert lik null

6x-12=0\Rightarrow x=2

Steg 4 - Finn y-verdi

\[f(2)=(2-1)^2(2-4)=-2\]

Steg 5 - Kontroller krumningsskifte

Når \(x\) går gjennom 2, skifter \(f''(x)\) fra negativ til positiv.

Tolkning

Grafen endrer krumning i punktet \((2,-2)\).

Vanlig feil: Å stoppe ved \(f''(x)=0\) uten å kontrollere krumningsskifte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs(Derivert(f,2)=0)

-> \(x=2\)

f(2)

-> \(-2\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = (x - 1)**2*(x - 4)
f_andre = diff(f, x, 2)
x_vendepunkt = solve(f_andre, x)[0]
y_vendepunkt = f.subs(x, x_vendepunkt)
print("f''(x) =", f_andre)
print("x-verdi for vendepunkt:", x_vendepunkt)
print("y-verdi:", y_vendepunkt)
print("Vendepunkt:", (x_vendepunkt, y_vendepunkt))

Fasit: Vendepunktet er \((2,-2)\).

Del 1 - Oppgave 6cGrafskisse

Oppgave 6c

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f(x)=(x-1)^2\cdot (x-4)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk nullpunkter

\[f(x)=(x-1)^2(x-4)\]

Nullpunktene er \(x=1\) og \(x=4\). Ved \(x=1\) er det dobbeltrot.

Steg 2 - Bruk ekstremalpunkter

Fra del a: toppunkt \((1,0)\) og bunnpunkt \((3,-4)\).

Steg 3 - Bruk vendepunkt

Fra del b: vendepunkt \((2,-2)\).

Steg 4 - Bruk endeadferd

Siden tredjegradsleddet har positiv koeffisient, går grafen ned til venstre og opp til høyre.

Steg 5 - Skisser

Tegn grafen slik at den tangerer x-aksen ved \(x=1\), går gjennom \((4,0)\) og har bunnpunkt i \((3,-4)\).

Tolkning

Skissen skal vise struktur, ikke bare tilfeldige punkter.

Vanlig feil: Å tegne grafen gjennom \((1,0)\) som et vanlig kryssingspunkt; det er en dobbeltrot.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Nullpunkt(f)

-> \(x=1,\ x=4\)

Ekstremalpunkt(f)

-> \((1,0),\ (3,-4)\)

Python

from sympy import symbols, lambdify
x = symbols('x')
f = (x - 1)**2*(x - 4)
verdier = [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]
print("Punkter som kan brukes i skissen:")
for verdi in verdier:
    print(f"x = {verdi:>2}, f(x) = {f.subs(x, verdi)}")
print("Viktige punkter: topp (1,0), vendepunkt (2,-2), bunn (3,-4), nullpunkt (4,0)")

Fasit: Skissen skal ha toppunkt \((1,0)\), bunnpunkt \((3,-4)\), vendepunkt \((2,-2)\) og nullpunkter \(x=1\) og \(x=4\).

Del 1 - Oppgave 6dTransformasjoner og ekstremalpunkter

Oppgave 6d

Oppgave:

Funksjonen \(g\) er gitt ved \(g(x)=-2\cdot f(x)+3\). Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk sammenhengen

\[g(x)=-2f(x)+3\]

Steg 2 - Kritiske x-verdier beholdes

Multiplikasjon med en konstant og vertikal forskyvning endrer ikke hvilke \(x\)-verdier som gir ekstremalpunkter.

Steg 3 - Bruk verdiene fra f

f(1)=0,\qquad f(3)=-4

Steg 4 - Finn g-verdiene

g(1)=-2\cdot 0+3=3

g(3)=-2\cdot (-4)+3=11

Steg 5 - Klassifiser

Fordi faktoren \(-2\) speiler grafen vertikalt, blir toppunktet til \(f\) et bunnpunkt for \(g\), og bunnpunktet til \(f\) blir et toppunkt for \(g\).

Tolkning

Grafen til \(g\) er grafen til \(f\) strukket og speilet, deretter flyttet 3 opp.

Vanlig feil: Å beholde topp/bunn-typen etter speiling med negativ faktor.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

g(x):=-2*f(x)+3

g(1), g(3)

-> \(3, 11\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = (x - 1)**2*(x - 4)
g = -2*f + 3
kritiske = solve(diff(g, x), x)
print("g(x) =", g.expand())
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    print(f"g({verdi}) =", g.subs(x, verdi))
print("Konklusjon: bunnpunkt (1, 3), toppunkt (3, 11)")

Fasit: \((1,3)\) er bunnpunkt og \((3,11)\) er toppunkt.

Del 1 - Oppgave 7aSannsynlighetsfordeling

Oppgave 7a

Oppgave:

Vi har to terninger. Den ene er vanlig, den andre har fire sider med ett øye, én side med to øyne og én side med tre øyne. Vi lar \(X\) være summen av antall øyne. Skriv av tabellen og fyll ut sannsynlighetsfordelingen for \(k=2,3,4,5,6,7,8,9\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Tell utfall

Det er \(6\cdot 6=36\) like sannsynlige sidekombinasjoner.

Steg 2 - Bruk den spesielle terningen

Den spesielle terningen gir 1 med sannsynlighet \(4/6\), 2 med sannsynlighet \(1/6\) og 3 med sannsynlighet \(1/6\).

Steg 3 - Tell summer

\begin{array}{c|cccccccc} k&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline P(X=k)&\frac{4}{36}&\frac{5}{36}&\frac{6}{36}&\frac{6}{36}&\frac{6}{36}&\frac{6}{36}&\frac{2}{36}&\frac{1}{36}\end{array}

Steg 4 - Kontroller summen

\dfrac{4+5+6+6+6+6+2+1}{36}=1

Tolkning

Fordelingen er skjev fordi den spesielle terningen oftest gir 1.

Vanlig feil: Å behandle den spesielle terningen som en vanlig terning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Telling av summer

-> \(4,5,6,6,6,6,2,1\)

Python

from collections import Counter
vanlig_terning = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
spesiell_terning = [1, 1, 1, 1, 2, 3]
fordeling = Counter(a + b for a in vanlig_terning for b in spesiell_terning)
print("Antall utfall totalt:", 36)
print("Sannsynlighetsfordeling:")
for k in range(2, 10):
    print(f"P(X = {k}) = {fordeling[k]}/36")
print("Kontrollsum:", sum(fordeling.values()), "/ 36")

Fasit: \(P(X=k)=\dfrac{4,5,6,6,6,6,2,1}{36}\) for \(k=2,3,4,5,6,7,8,9\).

Del 1 - Oppgave 7bForventningsverdi

Oppgave 7b

Oppgave:

Vis at \(E(X)=5\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk definisjonen

E(X)=\sum k\cdot P(X=k)

Steg 2 - Sett inn fordelingen

E(X)=\dfrac{2\cdot4+3\cdot5+4\cdot6+5\cdot6+6\cdot6+7\cdot6+8\cdot2+9\cdot1}{36}

Steg 3 - Regn telleren

\[8+15+24+30+36+42+16+9=180\]

Steg 4 - Del på 36

E(X)=\dfrac{180}{36}=5

Tolkning

På lang sikt blir gjennomsnittlig sum 5 øyne per kast.

Vanlig feil: Å tolke forventningsverdi som den mest sannsynlige summen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Sum(k*P(X=k))

-> \(5\)

Python

from fractions import Fraction
fordeling = {2:4, 3:5, 4:6, 5:6, 6:6, 7:6, 8:2, 9:1}
forventning = sum(Fraction(k*antall, 36) for k, antall in fordeling.items())
print("Beregning av forventningsverdi:")
for k, antall in fordeling.items():
    print(f"  {k} * {antall}/36")
print("E(X) =", forventning)
print("E(X) som desimaltall =", float(forventning))

Fasit: \(E(X)=5\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 7cForventet gevinst

Oppgave 7c

Oppgave:

Pengespillet gir 0 kroner ved sum 5 eller mindre, 72 kroner ved sum 6, 7 eller 8 og 360 kroner ved sum 9. La \(Y\) være gevinsten. Anslå om du kan forvente å gå i overskudd i det lange løp dersom det koster 40 kroner per kast.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn sannsynlighetene for gevinstnivåene

P(6\le X\le 8)=\dfrac{6+6+2}{36}=\dfrac{14}{36}

P(X=9)=\dfrac{1}{36}

Steg 2 - Regn forventet gevinst

E(Y)=72\cdot \dfrac{14}{36}+360\cdot \dfrac{1}{36}

Steg 3 - Forenkle

\[E(Y)=28+10=38\]

Steg 4 - Sammenlign med pris

\[38-40=-2\]

Tolkning

Du kan forvente å tape 2 kroner per kast i det lange løp.

Vanlig feil: Å sammenligne premien 72 med innsatsen uten å bruke sannsynlighetene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

72*(14/36)+360*(1/36)

-> \(38\)

38-40

-> \(-2\)

Python

from fractions import Fraction
p_middels = Fraction(14, 36)
p_hoy = Fraction(1, 36)
forventet_brutto = 72*p_middels + 360*p_hoy
innsats = 40
forventet_netto = forventet_brutto - innsats
print("P(6 <= X <= 8) =", p_middels)
print("P(X = 9) =", p_hoy)
print("Forventet brutto gevinst =", forventet_brutto, "kr")
print("Innsats =", innsats, "kr")
print("Forventet netto =", forventet_netto, "kr per kast")

Fasit: Forventet netto er \(-2\) kroner per kast, altså forventes ikke overskudd.

Del 1 - Oppgave 8aNormalfordeling

Oppgave 8a

Oppgave:

La \(X\) være normalfordelt med forventningsverdi \(m=1\) og varians \(\sigma^2=4\). Bestem \(P(2

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn standardavvik

\sigma=\sqrt{4}=2

Steg 2 - Standardiser grensene

z_1=\dfrac{2-1}{2}=0,5

z_2=\dfrac{3-1}{2}=1

Steg 3 - Bruk standard normalfordeling

\[P(2Steg 4 - Les av tabellverdier\[\Phi(1)-\Phi(0,5)\approx 0,8413-0,6915\]Steg 5 - Regn ut\[P(2TolkningSannsynligheten er omtrent 15 %.Vanlig feil: Å bruke variansen 4 som standardavvik; standardavviket er 2. Kontroll (GeoGebra CAS / Python) GeoGebra - CAS1Normal(1,2)-> 2NIntegral(Normalfordeling(1,2,x),2,3)-> \(0,1499\) Pythonfrom sympy import erf, sqrt, N mu = 1 sigma = 2 z1 = (2 - mu)/sigma z2 = (3 - mu)/sigma Phi = lambda z: (1 + erf(z/sqrt(2)))/2 sannsynlighet = Phi(z2) - Phi(z1) print("mu =", mu) print("sigma =", sigma) print("z1 =", z1) print("z2 =", z2) print("P(2 < X < 3) =", N(sannsynlighet, 6)) Fasit: \(P(2

Del 1 - Oppgave 8bNormalfordeling - parameterbestemmelse

Oppgave 8b

Oppgave:

Om en annen normalfordelt stokastisk variabel \(Y\) får du vite at \(P(Y\le 0,92)=0,0228\) og \(P(Y\ge 1,41)=0,0668\). Bestem \(m\) og \(\sigma\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn z-verdier fra tabellen

\(0,0228\) tilsvarer omtrent \(z=-2,00\). Siden \(P(Y\ge 1,41)=0,0668\), får vi \(P(Y\le 1,41)=0,9332\), som tilsvarer \(z=1,50\).

Steg 2 - Sett opp likninger

\dfrac{0,92-m}{\sigma}=-2

\dfrac{1,41-m}{\sigma}=1,5

Steg 3 - Skriv om

m=0,92+2\sigma

m=1,41-1,5\sigma

Steg 4 - Sett lik hverandre

0,92+2\sigma=1,41-1,5\sigma

Steg 5 - Løs

3,5\sigma=0,49\Rightarrow \sigma=0,14

m=0,92+2\cdot 0,14=1,20

Tolkning

Normalfordelingen har forventningsverdi 1,20 og standardavvik 0,14.

Vanlig feil: Å bruke \(0,0668\) direkte som venstresannsynlighet; her er det en høyresannsynlighet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs({(0.92-m)/s=-2,(1.41-m)/s=1.5},{m,s})

-> \(m=1,20,\ \sigma=0,14\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
m, sigma = symbols('m sigma')
likninger = [
    Eq((Rational(92, 100) - m)/sigma, -2),
    Eq((Rational(141, 100) - m)/sigma, Rational(3, 2)),
]
losning = solve(likninger, (m, sigma), dict=True)[0]
print("Likninger:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning)
print("Løsning:", losning)
print("m som desimaltall:", float(losning[m]))
print("sigma som desimaltall:", float(losning[sigma]))

Fasit: \(m=1,20\) og \(\sigma=0,14\) (bekreftet digitalt).

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1aLikningssystem

Oppgave 1a

Oppgave:

En sjørøverskatt har mynter med verdiene 1, 5 og 10 skilling. Myntene veier henholdsvis 5 g, 8 g og 12 g. Skatten inneholder 85 mynter, samlet verdi er 356 skilling og samlet vekt er 633 g. Bruk opplysningene til å sette opp tre likninger med tre ukjente.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Definer ukjente

La \(x\) være antall 1-skilling, \(y\) antall 5-skilling og \(z\) antall 10-skilling.

Steg 2 - Antall mynter

\[x+y+z=85\]

Steg 3 - Verdi

\[x+5y+10z=356\]

Steg 4 - Vekt

\[5x+8y+12z=633\]

Tolkning

Likningene beskriver samme skatt målt på tre måter: antall, verdi og vekt.

Vanlig feil: Å bruke vektene som verdier eller omvendt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

x+y+z=85

x+5y+10z=356

5x+8y+12z=633

Python

from sympy import symbols, Eq
x, y, z = symbols('x y z')
likninger = [
    Eq(x + y + z, 85),
    Eq(x + 5*y + 10*z, 356),
    Eq(5*x + 8*y + 12*z, 633),
]
print("Ukjente:")
print("x = antall 1-skilling")
print("y = antall 5-skilling")
print("z = antall 10-skilling")
print("Likninger:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning)

Fasit: \(x+y+z=85,\ x+5y+10z=356,\ 5x+8y+12z=633\).

Del 2 - Oppgave 1bCAS - likningssystem

Oppgave 1b

Oppgave:

Bruk CAS til å løse likningssystemet du satte opp i oppgave 1a.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk systemet

\begin{aligned}x+y+z&=85\\x+5y+10z&=356\\5x+8y+12z&=633\end{aligned}

Steg 2 - Løs i CAS

Vi løser for \(x\), \(y\) og \(z\).

Steg 3 - CAS-resultat

x=41,\qquad y=25,\qquad z=19

Steg 4 - Kontroller antall

\[41+25+19=85\]

Steg 5 - Kontroller verdi og vekt

41+5\cdot25+10\cdot19=356

5\cdot41+8\cdot25+12\cdot19=633

Tolkning

Skatten består av 41 mynter med 1 skilling, 25 mynter med 5 skilling og 19 mynter med 10 skilling.

Vanlig feil: Å ikke kontrollere at løsningen gir heltall, siden antall mynter må være hele tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs({x+y+z=85,x+5y+10z=356,5x+8y+12z=633},{x,y,z})

-> \(x=41,\ y=25,\ z=19\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, z = symbols('x y z')
likninger = [
    Eq(x + y + z, 85),
    Eq(x + 5*y + 10*z, 356),
    Eq(5*x + 8*y + 12*z, 633),
]
losning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0]
print("Løsning:", losning)
print("Kontroll:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning.subs(losning), "->", bool(likning.subs(losning)))

Fasit: \(41\) 1-skilling, \(25\) 5-skilling og \(19\) 10-skilling.

Del 2 - Oppgave 2aRegresjon - logistisk modell

Oppgave 2a

Oppgave:

På en øy ble det satt ut 50 harer. Tabellen viser \((t,g(t))=(0,50),(10,104),(20,156),(30,184)\). Antall harer modelleres ved \(g(t)=\dfrac{N}{1+a\cdot e^{-kt}}\). Bruk regresjon til å bestemme \(N\), \(a\) og \(k\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Velg modell

g(t)=\dfrac{N}{1+a e^{-kt}}

Steg 2 - Legg inn data

Vi bruker punktene \((0,50)\), \((10,104)\), \((20,156)\) og \((30,184)\).

Steg 3 - Kjør logistisk regresjon

Med ikke-lineær regresjon får vi omtrent verdiene nedenfor.

Steg 4 - Resultat

N\approx 200,0,\qquad a\approx 3,00,\qquad k\approx 0,118

Steg 5 - Modell

g(t)\approx \dfrac{200}{1+3,00e^{-0,118t}}

Tolkning

Modellen passer en bestand som først vokser raskt og deretter nærmer seg en øvre grense.

Vanlig feil: Å bruke eksponentiell regresjon selv om modellen i oppgaven er logistisk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

RegLogistisk({(0,50),(10,104),(20,156),(30,184)})

-> \(N\approx200,0,\ a\approx3,00,\ k\approx0,118\)

Python

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

t = np.array([0, 10, 20, 30], dtype=float)
y = np.array([50, 104, 156, 184], dtype=float)

def modell(t, N, a, k):
    return N/(1 + a*np.exp(-k*t))

parametre, kovarians = curve_fit(modell, t, y, p0=[200, 3, 0.12], maxfev=10000)
N, a, k = parametre
print("Regresjonsparametre:")
print(f"N = {N:.6f}")
print(f"a = {a:.6f}")
print(f"k = {k:.6f}")
print("Modellverdier:")
for tv, yv in zip(t, y):
    print(f"t = {tv:>4.0f}, observert = {yv:>6.1f}, modell = {modell(tv, N, a, k):>9.3f}")

Fasit: \(g(t)\approx \dfrac{200}{1+3,00e^{-0,118t}}\).

Del 2 - Oppgave 2bModelltolkning

Oppgave 2b

Oppgave:

Hvilken informasjon gir tallet \(N\) i modellen \(g(t)=\dfrac{N}{1+a\cdot e^{-kt}}\) i denne situasjonen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se på modellen

g(t)=\dfrac{N}{1+a e^{-kt}}

Steg 2 - La tiden gå mot uendelig

\lim_{t\to\infty}e^{-kt}=0

Steg 3 - Finn grenseverdien

\lim_{t\to\infty}g(t)=\dfrac{N}{1+a\cdot0}=N

Steg 4 - Tolk i kontekst

Tallet \(N\) er den øvre grensen modellen antar at harebestanden nærmer seg.

Tolkning

Her betyr \(N\approx 200\) at øya på lang sikt modelleres til å ha omtrent 200 harer.

Vanlig feil: Å tolke \(N\) som startverdien; startverdien er \(g(0)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Limit(N/(1+a*exp(-k*t)),t,Infinity)

-> \(N\)

Python

from sympy import symbols, exp, limit, oo
N, a, k, t = symbols('N a k t', positive=True)
g = N/(1 + a*exp(-k*t))
grense = limit(g, t, oo)
print("Modell:", g)
print("Grenseverdi når t går mot uendelig:", grense)
print("Tolkning: N er øvre langsiktig bestandsstørrelse i modellen.")

Fasit: \(N\) er bæreevnen/øvre grense, omtrent \(200\) harer.

Del 2 - Oppgave 3aGraftegning

Oppgave 3a

Oppgave:

En ny vare blir lansert. Vi antar at \(q(t)=230\cdot e^{0,015t}\), \(t\in[0,52]\), er en god modell for etterspørselen per uke. Bruk graftegner til å tegne grafen til \(q\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Angi funksjon og intervall

q(t)=230e^{0,015t},\qquad 0\le t\le 52

Steg 2 - Finn startverdi

\[q(0)=230\]

Steg 3 - Finn sluttverdi

q(52)=230e^{0,78}\approx 501,6

Steg 4 - Tegn grafen

Grafen er stigende og krummer oppover, fordi veksten er eksponentiell.

Tolkning

Etterspørselen øker fra 230 enheter per uke til litt over 500 enheter per uke gjennom året.

Vanlig feil: Å tegne grafen uten å avgrense til intervallet \([0,52]\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

q(t):=230*exp(0.015*t)

Funksjon(q,0,52)

-> stigende graf

Python

from sympy import symbols, exp, N

t = symbols('t')
q = 230*exp(0.015*t)
print("Funksjon:", q)
print("Verdier til grafskissen:")
for uke in [0, 10, 20, 30, 40, 52]:
    print(f"q({uke}) = {N(q.subs(t, uke), 8)}")
print("Grafen skal tegnes for 0 <= t <= 52.")

Fasit: Grafen er stigende på \([0,52]\), fra \(230\) til omtrent \(502\).

Del 2 - Oppgave 3bInntekt

Oppgave 3b

Oppgave:

Enhetsprisen er 50 kroner det første året. Bestem inntekten i uke 40 etter lanseringen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn etterspørselen i uke 40

q(40)=230e^{0,015\cdot 40}=230e^{0,6}

Steg 2 - Regn numerisk

q(40)\approx 419,09

Steg 3 - Inntekt er pris ganger antall

I(40)=50\cdot q(40)

Steg 4 - Regn ut

I(40)\approx 50\cdot 419,09\approx 20\,954

Tolkning

Inntekten i uke 40 er omtrent 21 000 kroner.

Vanlig feil: Å bruke \(t=40\) som antall solgte enheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

50*q(40)

-> \(20954,37\)

Python

from sympy import exp, N
q40 = 230*exp(0.015*40)
pris = 50
inntekt = pris*q40
print("Etterspørsel i uke 40:", N(q40, 10))
print("Pris per enhet:", pris, "kr")
print("Inntekt i uke 40:", N(inntekt, 10), "kr")

Fasit: Inntekten er omtrent \(20\,954\) kroner.

Del 2 - Oppgave 3cBestemt integral

Oppgave 3c

Oppgave:

Bestem den samlede inntekten de første 52 ukene etter lanseringen når enhetsprisen er 50 kroner.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett opp total inntekt

I=\int_0^{52}50\cdot q(t)\,dt

Steg 2 - Sett inn modellen

I=\int_0^{52}50\cdot 230e^{0,015t}\,dt

Steg 3 - Integrer

I=11500\left[\dfrac{1}{0,015}e^{0,015t}\right]_0^{52}

Steg 4 - Regn ut

I=\dfrac{11500}{0,015}\left(e^{0,78}-1\right)\approx 905\,795

Tolkning

Den samlede inntekten det første året er omtrent 906 000 kroner.

Vanlig feil: Å multiplisere uke 52-verdien med 52 i stedet for å integrere den varierende etterspørselen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Integral(50*230*exp(0.015*t),0,52)

-> \(905795,4\)

Python

from sympy import symbols, exp, integrate, N

t = symbols('t')
q = 230*exp(0.015*t)
pris = 50
integral = integrate(pris*q, (t, 0, 52))
print("Integral for samlet inntekt:")
print("I = integral_0^52 50*q(t) dt")
print("Eksakt uttrykk:", integral)
print("Numerisk verdi:", N(integral, 12), "kr")

Fasit: Samlet inntekt er omtrent \(905\,795\) kroner.

Del 2 - Oppgave 3dOptimering - grensekostnad

Oppgave 3d

Oppgave:

Etter ett år er enhetsprisen \(p(x)=-0,01x+60\), \(x\in[500,2000]\). Grensekostnaden er \(K'(x)=0,02x+25\). Hva må enhetsprisen være for at overskuddet skal bli størst mulig?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv inntektsfunksjonen

R(x)=x\cdot p(x)=x(-0,01x+60)=-0,01x^2+60x

Steg 2 - Finn grenseinntekt

\[R'(x)=-0,02x+60\]

Steg 3 - Maksimum for overskudd

Overskuddet er størst når grenseinntekt er lik grensekostnad, så lenge punktet ligger i intervallet.

Steg 4 - Sett lik

\[-0,02x+60=0,02x+25\]

Steg 5 - Løs

35=0,04x\Rightarrow x=875

Steg 6 - Finn prisen

p(875)=-0,01\cdot875+60=51,25

Tolkning

Enhetsprisen bør være 51,25 kroner for å maksimere overskuddet i modellen.

Vanlig feil: Å maksimere inntekt i stedet for overskudd; kostnaden må tas med via grensekostnaden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs(Derivert(x*(-0.01*x+60))=0.02*x+25)

-> \(x=875\)

p(875)

-> \(51,25\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, N
x = symbols('x')
p = -0.01*x + 60
R = x*p
R_derivert = diff(R, x)
K_derivert = 0.02*x + 25
x_opt = solve(Eq(R_derivert, K_derivert), x)[0]
pris_opt = p.subs(x, x_opt)
print("Prisfunksjon p(x):", p)
print("Inntektsfunksjon R(x):", R)
print("Grenseinntekt R'(x):", R_derivert)
print("Grensekostnad K'(x):", K_derivert)
print("Optimal etterspørsel x:", x_opt)
print("Optimal pris:", N(pris_opt, 8), "kr")

Fasit: Enhetsprisen må være \(51,25\) kroner.

Del 2 - Oppgave 4aAnnuitetslån og geometrisk rekke

Oppgave 4a

Oppgave:

Pia vurderer å låne 800 000 kroner. Banken tilbyr annuitetslån med nedbetalingstid 20 år, én termin per år og fast rente 3,0 % per år. Første innbetaling er om ett år. Sett opp en geometrisk rekke som kan brukes til å bestemme terminbeløpet. Bruk CAS til å bestemme terminbeløpet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Definer terminbeløpet

La \(A\) være årlig terminbeløp.

Steg 2 - Nåverdi av betalingene

800000=\dfrac{A}{1,03}+\dfrac{A}{1,03^2}+\cdots+\dfrac{A}{1,03^{20}}

Steg 3 - Se geometrisk rekke

Første ledd er \(\dfrac{A}{1,03}\) og kvotienten er \(\dfrac{1}{1,03}\).

Steg 4 - Løs i CAS

800000=A\sum_{k=1}^{20}1,03^{-k}

Steg 5 - Resultat

A\approx 53\,772,57

Tolkning

Terminbeløpet er omtrent 53 773 kroner per år.

Vanlig feil: Å sette første betaling ved tidspunkt 0; oppgaven sier at første innbetaling er om ett år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs(800000=A*Sum(1.03^(-k),k,1,20),A)

-> \(53772,57\)

Python

from sympy import symbols, summation, Eq, solve, N
A, k = symbols('A k')
laan = 800000
rente_faktor = 1.03
naverdi_faktor = summation(rente_faktor**(-k), (k, 1, 20))
likning = Eq(laan, A*naverdi_faktor)
terminbelop = solve(likning, A)[0]
print("Nåverdilikning:")
print(likning)
print("Nåverdifaktor:", N(naverdi_faktor, 10))
print("Terminbeløp:", N(terminbelop, 10), "kr")

Fasit: Terminbeløpet er omtrent \(53\,773\) kroner.

Del 2 - Oppgave 4bSerielån og aritmetisk følge

Oppgave 4b

Oppgave:

For serielånet er de tre første terminbeløpene 64 000, 62 800 og 61 600 kroner. Forklar at terminbeløpene danner en aritmetisk følge. Bestem summen av de 20 terminbeløpene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Fast avdrag

\dfrac{800000}{20}=40000

Steg 2 - Rentene synker like mye

Restlånet synker med 40 000 hvert år. Renten er 3,0 %, derfor synker rentebeløpet med \(0,03\cdot 40000=1200\) kroner per år.

Steg 3 - Terminbeløpene

64000,\ 62800,\ 61600,\ldots

Steg 4 - Aritmetisk følge

\[d=-1200\]

Steg 5 - Finn siste terminbeløp

a_{20}=64000+19(-1200)=41200

Steg 6 - Summer

S_{20}=\dfrac{20(64000+41200)}{2}=1\,052\,000

Tolkning

Samlet betaler Pia 1 052 000 kroner på serielånet.

Vanlig feil: Å summere bare renter eller bare avdrag, ikke hele terminbeløpene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

20*(64000+41200)/2

-> \(1052000\)

Python

from sympy import symbols, summation
k = symbols('k', integer=True, positive=True)
forste = 64000
differanse = -1200
termin_k = forste + (k - 1)*differanse
siste = termin_k.subs(k, 20)
sum_terminer = summation(termin_k, (k, 1, 20))
print("Terminbeløp nr. k:", termin_k)
print("Første terminbeløp:", forste)
print("Differanse:", differanse)
print("Siste terminbeløp:", siste)
print("Sum av 20 terminbeløp:", sum_terminer)

Fasit: Summen er \(1\,052\,000\) kroner.

Del 2 - Oppgave 4cFinansmatematikk - serielån

Oppgave 4c

Oppgave:

Et annet serielån på 800 000 kroner har nedbetalingstid 20 år, én termin per år og fast rentesats per år. Summen av alle terminbeløpene blir 1 000 000 kroner. Bestem den faste rentesatsen per år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Avdragene

\text{Avdrag per år}=\dfrac{800000}{20}=40000

Steg 2 - Samlet avdrag

20\cdot 40000=800000

Steg 3 - Samlet rente

\[1000000-800000=200000\]

Steg 4 - Summer restlån før betaling

800000+760000+\cdots+40000=40000(20+19+\cdots+1)

=40000\cdot \dfrac{20\cdot21}{2}=8\,400\,000

Steg 5 - Sett opp rentelikning

r\cdot 8\,400\,000=200\,000

Steg 6 - Løs

r=\dfrac{200000}{8400000}\approx 0,02381=2,38\%

Tolkning

Den faste renten må være omtrent 2,38 % per år.

Vanlig feil: Å regne rente av 800 000 i alle 20 år; restlånet synker for hvert avdrag.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

200000/8400000

-> \(0,02381\)

Python

from sympy import symbols, summation, Eq, solve, N
k, r = symbols('k r')
restlaan_for_betaling = 800000 - 40000*(k - 1)
sum_restlaan = summation(restlaan_for_betaling, (k, 1, 20))
samlet_rente = 1000000 - 800000
rente = solve(Eq(r*sum_restlaan, samlet_rente), r)[0]
print("Sum restlån før betaling:", sum_restlaan)
print("Samlet rente:", samlet_rente)
print("Rente som desimaltall:", N(rente, 10))
print("Rente i prosent:", N(100*rente, 6), "%")

Fasit: Rentesatsen er omtrent \(2,38\%\) per år.

Del 2 - Oppgave 5aBinomisk sannsynlighet

Oppgave 5a

Oppgave:

Tidligere statistikk viser at 32 % av elevene hadde fravær. Vi trekker tilfeldig ut 27 elever. Anta \(p=0,32\) for fravær. Bestem sannsynligheten for at minst 20 av disse elevene ikke har fravær i russetiden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Definer variabel

La \(Z\) være antall elever uten fravær blant 27 elever.

Steg 2 - Sannsynlighet for ikke fravær

P(\text{ikke fravær})=1-0,32=0,68

Steg 3 - Modell

Z\sim \operatorname{Bin}(27,0,68)

Steg 4 - Sett opp sannsynligheten

P(Z\ge 20)=\sum_{k=20}^{27}\binom{27}{k}0,68^k0,32^{27-k}

Steg 5 - Regn digitalt

P(Z\ge 20)\approx 0,3267

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 32,7 %.

Vanlig feil: Å bruke \(0,32\) som sannsynlighet for ikke fravær.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

1-BinomialCDF(27,0.68,19)

-> \(0,3267\)

Python

from math import comb
n = 27
p_uten_fravar = 0.68
sannsynlighet = sum(
    comb(n, k)*p_uten_fravar**k*(1 - p_uten_fravar)**(n - k)
    for k in range(20, n + 1)
)
print("Z ~ Bin(27, 0.68)")
print("Vi beregner P(Z >= 20)")
print("Sannsynlighet:", sannsynlighet)
print("Sannsynlighet i prosent:", 100*sannsynlighet)

Fasit: \(P(Z\ge 20)\approx 0,327\).

Del 2 - Oppgave 5bHypotesetest - binomisk test

Oppgave 5b

Oppgave:

Ledelsen tester \(H_0:p=0,32\) mot \(H_1:p<0,32\) på signifikansnivå 5 %. Det var 120 elever. Hva er det høyeste antall elever som kan ha fravær i russetiden, for at \(H_0\) skal forkastes?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Definer testvariabel

La \(X\) være antall elever med fravær blant 120 elever.

Steg 2 - Fordeling under nullhypotesen

X\sim \operatorname{Bin}(120,0,32)

Steg 3 - Venstresidig test

Vi forkaster \(H_0\) for små verdier av \(X\), fordi alternativet er \(p<0,32\).

Steg 4 - Finn største kritiske verdi

P(X\le c)\le 0,05

Steg 5 - Digital beregning

P(X\le 29)\approx 0,0384

P(X\le 30)\approx 0,0588

Steg 6 - Konkluder

Den største verdien som fortsatt gir sannsynlighet høyst 5 %, er \(c=29\).

Tolkning

Hvis 29 eller færre av de 120 elevene har fravær, forkastes nullhypotesen på 5 % nivå.

Vanlig feil: Å bruke høyresidig test; mistanken er mindre fravær, altså venstresidig test.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

BinomialCDF(120,0.32,29)

-> \(0,0384\)

BinomialCDF(120,0.32,30)

-> \(0,0588\)

Python

from math import comb
n = 120
p = 0.32

def binom_cdf(c):
    return sum(comb(n, k)*p**k*(1 - p)**(n - k) for k in range(c + 1))

print("X ~ Bin(120, 0.32)")
print("Vi søker største c med P(X <= c) <= 0.05")
for c in range(25, 32):
    print(f"c = {c:>2}, P(X <= c) = {binom_cdf(c):.6f}")
print("Kritisk grense:", 29)
print("Forkast H0 dersom X <= 29")

Fasit: Høyeste antall er \(29\) elever.

Matematikk S2 eksamen – vår 2019

Matematikk S2 eksamen Vår 2019 - løsningsforslag

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 - Deriver ledd for ledd

Steg 2 - Deriver konstantleddet

Steg 3 - Deriver eksponentialleddet

Steg 4 - Sett sammen

Steg 5 - Forenkle

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 1b

Steg 1 - Se produktet

Steg 2 - Bruk produktregelen

Steg 3 - Forenkle leddet

Steg 4 - Multipliser med 2

Steg 5 - Skriv eventuelt ut parentesen

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 1c

Steg 1 - Skriv som potens

Steg 2 - Bruk kjerneregel

Steg 3 - Deriver kjernen

Steg 4 - Sett inn

Steg 5 - Forenkle

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 2a

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Steg 2 - Sett inn roten

Steg 3 - Regn ut

Steg 4 - Konkluder

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 2b

Steg 1 - Bruk kjent faktor

Steg 2 - Del polynomet

Steg 3 - Faktoriser andregradsfaktoren

Steg 4 - Sett sammen

Steg 5 - Kontroll ved utvidelse

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 3a

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Steg 2 - Sett inn x=-1

Steg 3 - Sett inn x=1

Steg 4 - Sett inn x=2

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 3b

Steg 1 - Skriv systemet

Steg 2 - Trekk første likning fra andre

Steg 3 - Bruk b=11

Steg 4 - Sett b=11 inn i tredje

Steg 5 - Bruk c=-a

Steg 6 - Finn c

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 4a

Steg 1 - Finn første ledd og differanse

Steg 2 - Finn antall ledd

Steg 3 - Bruk sumformelen

Steg 4 - Sett inn

Steg 5 - Regn ut

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 4b

Steg 1 - Skriv leddene

Steg 2 - Bruk første opplysning

Steg 3 - Bruk andre opplysning

Steg 4 - Sett inn d=4

Steg 5 - Lag formelen