Del 1 - Oppgave 5b - 4 poeng samletPeriodisk desimaltall som rekke
Oppgave 5b
Oppgave:
Forklar at desimaltallet \(0{,}242424\ldots\) kan skrives som den uendelige geometriske rekken \(\dfrac{24}{100}+\dfrac{24}{100^2}+\dfrac{24}{100^3}+\cdots\). Bruk dette til å skrive tallet som en brøk.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Se perioden
Perioden er 24, og den første perioden står på hundredelsplassen.
Når den deriverte er positiv overalt, er grafen alltid stigende.
Vanlig feil: Å tro at \(e^{-x}\) kan bli negativt.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Derivert(6/(1+exp(-x)))
-> \(\dfrac{6e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2}\)
Python
from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 6/(1 + exp(-x))
f1 = simplify(diff(f, x))
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f1)
print("Telleren er positiv fordi exp(-x) > 0")
print("Nevneren er et kvadrat og er positiv")
Fasit: \(f'(x)>0\) for alle \(x\), altså er grafen stigende.
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk at eksponentialfunksjonen er positiv
\[e^{-x}>0\]
Steg 2 - Vurder nevneren
\[1+e^{-x}>1\]
Steg 3 - Positivitet
\[\dfrac{6}{1+e^{-x}}>0\]
Steg 4 - Øvre grense
\[1+e^{-x}>1\Rightarrow \dfrac{6}{1+e^{-x}}<6\]
Steg 5 - Sett sammen
\[0
Tolkning
Grafen ligger alltid mellom de horisontale nivåene \(y=0\) og \(y=6\).
Vanlig feil: Å sette \(e^{-x}=0\) for en endelig \(x\). Det skjer bare som grenseverdi.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
0 < 6/(1+exp(-x)) < 6
-> sant for alle reelle x
Python
from sympy import symbols, exp, limit, oo
x = symbols('x', real=True)
f = 6/(1 + exp(-x))
venstre_grense = limit(f, x, -oo)
hoyre_grense = limit(f, x, oo)
print("f(x) =", f)
print("Grense når x går mot minus uendelig:", venstre_grense)
print("Grense når x går mot pluss uendelig:", hoyre_grense)
print("For endelige x ligger f(x) mellom disse nivåene")
Fasit: \(0
Del 1 - Oppgave 6c - 7 poeng samletVendepunkt
Oppgave 6c
Oppgave:
Vis ved regning at grafen til \(f\) har vendepunkt i \((0,3)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Skissen skal være en S-formet kurve som nærmer seg \(y=0\) til venstre og \(y=6\) til høyre.
Steg 5 - Kontrollpunkt
\[f(0)=3\]
Tolkning
Dette er en logistisk kurve med nedre asymptote \(y=0\) og øvre asymptote \(y=6\).
Vanlig feil: Å tegne grafen slik at den krysser de horisontale asymptotene.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Funksjon(6/(1+exp(-x)), -8, 8)
-> stigende S-kurve
2
Punkt((0,3))
-> \((0,3)\)
Python
from sympy import symbols, exp
x = symbols('x')
def f_num(verdi):
return 6/(1 + float(exp(-verdi)))
print("Kontrollpunkter for skisse:")
for verdi in [-4, -2, 0, 2, 4]:
print(f"x = {verdi:>2}, f(x) = {f_num(verdi):.4f}")
print("Asymptoter: y = 0 og y = 6")
Fasit: Skissen er en stigende S-kurve mellom \(y=0\) og \(y=6\), med vendepunkt \((0,3)\).
Del 1 - Oppgave 7a - 4 poeng samletBinomisk modell
Oppgave 7a
Oppgave:
I en eske er det fire blå og seks røde kuler. Du trekker tilfeldig én kule og legger den tilbake. Dette gjøres ti ganger. La \(X\) være antallet røde kuler. Forklar at \(X\) er binomisk fordelt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Fast antall forsøk
\[n=10\]
Steg 2 - To mulige utfall
I hvert trekk er utfallet enten rød kule eller ikke rød kule.
Steg 3 - Konstant sannsynlighet
\[p=P(\text{rød})=\dfrac{6}{10}=0{,}6\]
Steg 4 - Uavhengige forsøk
Kulen legges tilbake, derfor endres ikke sammensetningen i esken.
Steg 5 - Konklusjon
\[X\sim \operatorname{Bin}(10,0{,}6)\]
Tolkning
Variabelen teller hvor mange ganger suksessen rød oppstår i ti uavhengige forsøk.
Vanlig feil: Å bruke hypergeometrisk fordeling selv om kulen legges tilbake.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Binomial(10, 0.6)
-> \(X\sim \operatorname{Bin}(10,0{,}6)\)
Python
from sympy import Rational
n = 10
p = Rational(6, 10)
print("Antall forsøk n:", n)
print("Sannsynlighet for rød kule p:", p)
print("Tilbakelegging gjør forsøkene uavhengige")
print("Fordeling: X ~ Bin(10, 0.6)")
Fasit: \(X\sim \operatorname{Bin}(10,0{,}6)\).
Del 1 - Oppgave 7b - 4 poeng samletForventning og varians
Oppgave 7b
Oppgave:
Bestem \(E(X)\) og \(\operatorname{Var}(X)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Fasit: \(E(X)=6\) og \(\operatorname{Var}(X)=2{,}4\).
Del 1 - Oppgave 8a - 4 poeng samletNormalfordeling
Oppgave 8a
Oppgave:
Vekten av rugbrødene er normalfordelt med \(\mu=1{,}00\) kg og \(\sigma=0{,}05\) kg. Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt rugbrød veier mellom 0,90 kg og 1,10 kg.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Standardiser nedre grense
\[z_1=\dfrac{0{,}90-1{,}00}{0{,}05}=-2\]
Steg 2 - Standardiser øvre grense
\[z_2=\dfrac{1{,}10-1{,}00}{0{,}05}=2\]
Steg 3 - Bruk standard normalfordeling
\[P(0{,}90
Steg 4 - Regn sannsynligheten
\[P(-2
Steg 5 - Prosent
\[0{,}9545\approx 95{,}45\%\]
Tolkning
Omtrent 95 prosent av brødene ligger innenfor to standardavvik fra middelverdien.
Vanlig feil: Å bruke standardavviket \(0{,}05\) som om det var variansen.
Totalvekten har mindre relativ variasjon enn enkeltbrød, men standardavviket i kg blir \(0{,}5\).
Vanlig feil: Å multiplisere standardavviket med 100. Riktig er \(\sqrt{100}\cdot \sigma\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Normal(100, 0.5)
->
2
P(99.5 < S < 100.5)
-> \(0{,}6827\)
Python
from statistics import NormalDist
antall = 100
mu_en = 1.00
sigma_en = 0.05
mu_sum = antall*mu_en
sigma_sum = (antall**0.5)*sigma_en
fordeling = NormalDist(mu_sum, sigma_sum)
sannsynlighet = fordeling.cdf(100.5) - fordeling.cdf(99.5)
print("Middelverdi for totalvekt:", mu_sum)
print("Standardavvik for totalvekt:", sigma_sum)
print("P(99.5 < S < 100.5) =", round(sannsynlighet, 6))
Fasit: \(P\approx 0{,}6827\).
Del 1 - Oppgave 9 - 2 poengTransformasjon av funksjon
Oppgave 9
Oppgave:
Om en funksjon \(f\) vet vi at grafen har toppunkt i \((2,3)\) og bunnpunkt i \((3,-4)\). En annen funksjon \(g\) er gitt ved \(g(x)=-5\cdot f(x)+3\). Bestem topp- og bunnpunkter på grafen til \(g\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Forstå transformasjonen
Uttrykket \(-5f(x)\) speiler grafen om x-aksen og strekker den vertikalt med faktor 5. Deretter flyttes grafen 3 opp.
Steg 2 - Transformer toppunktet til f
\[f(2)=3\Rightarrow g(2)=-5\cdot 3+3=-12\]
Steg 3 - Vurder typen punkt
Fordi koeffisienten foran \(f\) er negativ, blir toppunktet til \(f\) et bunnpunkt på \(g\).
Steg 4 - Transformer bunnpunktet til f
\[f(3)=-4\Rightarrow g(3)=-5\cdot (-4)+3=23\]
Steg 5 - Vurder typen punkt
Bunnpunktet til \(f\) blir et toppunkt på \(g\).
Tolkning
Negativ vertikal skalering bytter topp og bunn.
Vanlig feil: Å beholde toppunkt som toppunkt etter multiplikasjon med et negativt tall.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
g(2):=-5*3+3
-> \(-12\)
2
g(3):=-5*(-4)+3
-> \(23\)
Python
punkter_f = {"toppunkt": (2, 3), "bunnpunkt": (3, -4)}
print("Transformasjon: g(x) = -5*f(x) + 3")
for navn, (xverdi, yverdi) in punkter_f.items():
gy = -5*yverdi + 3
ny_type = "bunnpunkt" if navn == "toppunkt" else "toppunkt"
print(f"{navn} på f: ({xverdi}, {yverdi})")
print(f"blir {ny_type} på g: ({xverdi}, {gy})")
Fasit: Toppunkt for \(g\) er \((3,23)\), og bunnpunkt er \((2,-12)\).
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1a - 8 poeng samletØkonomisk modellering
Oppgave 1a
Oppgave:
En bedrift produserer \(x\) enheter per dag. Kostnadstabellen er gitt for \(x=0,10,20,30,40,50\), og salgsprisen er 80 kroner per enhet. Vis at \(O(x)=-0{,}05x^3+2{,}0x^2+41x-501\) er en god modell for daglig overskudd.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Skriv inntekten
\[I(x)=80x\]
Steg 2 - Overskudd er inntekt minus kostnad
\[O(x)=I(x)-K(x)\]
Steg 3 - Finn kostnadsmodellen som tilsvarer O
\[K(x)=80x-O(x)=0{,}05x^3-2x^2+39x+501\]
Steg 4 - Sammenlikn med tabellen
Når vi setter inn tabellverdiene, får modellen kostnader som ligger nær de oppgitte verdiene.
Steg 5 - Konkluder
Små avvik skyldes modelltilpasning. Formen fanger både startkostnad og økende marginalkostnad.
Tolkning
Overskuddsmodellen kan brukes til å analysere lønnsom produksjon i området tabellen dekker.
Vanlig feil: Å modellere kostnad direkte som overskudd uten å trekke fra inntekten.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
K(x):=80*x-(-0.05*x^3+2*x^2+41*x-501)
-> \(0{,}05x^3-2x^2+39x+501\)
Python
from sympy import symbols, lambdify
x = symbols('x')
O = -0.05*x**3 + 2.0*x**2 + 41*x - 501
K = 80*x - O
Kfun = lambdify(x, K, 'math')
tabell = {0: 500, 10: 751, 20: 898, 30: 1249, 40: 2108, 50: 3752}
print("Overskuddsmodell O(x):", O)
print("Tilhørende kostnadsmodell K(x):", K)
print("Sammenlikning med tabell:")
for xv, kostnad in tabell.items():
modell = Kfun(xv)
print(f"x={xv:>2}: tabell={kostnad:>7.2f}, modell={modell:>7.2f}, avvik={modell-kostnad:>7.2f}")
Fasit: Modellen er rimelig fordi \(80x-O(x)\) gir kostnader som passer godt med tabellen.
Del 2 - Oppgave 1b - 8 poeng samletGraftegning
Oppgave 1b
Oppgave:
Bruk graftegner til å tegne grafen til overskuddsfunksjonen \(O\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Skriv funksjonen
\[O(x)=-0{,}05x^3+2x^2+41x-501\]
Steg 2 - Velg relevant vindu
Et naturlig vindu er for eksempel \(0\le x\le 60\), siden tabellen går fra 0 til 50 enheter.
Steg 3 - Tegn grafen
I GeoGebra kan funksjonen skrives direkte i inntastingsfeltet.
Steg 4 - Les nullpunkter og toppunkt
Grafen viser omtrent hvor bedriften går i overskudd, og hvor overskuddet er størst.
Steg 5 - Kontrollpunkter
\[O(0)=-501,\qquad O(50)=248\]
Tolkning
Grafen viser negativt overskudd ved lav produksjon, deretter positivt overskudd i et intervall.
Vanlig feil: Å tegne grafen for kostnaden i stedet for overskuddet.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
O(x):=-0.05*x^3+2*x^2+41*x-501
->
2
Funksjon(O,0,60)
-> graf i relevant vindu
Python
from sympy import symbols
x = symbols('x')
O = -0.05*x**3 + 2.0*x**2 + 41*x - 501
print("Funksjon som tegnes:", O)
print("Kontrollverdier til grafen:")
for xv in [0, 10, 20, 30, 40, 50, 60]:
print(f"O({xv}) = {float(O.subs(x, xv)):.2f}")
Fasit: Grafen tegnes for \(O(x)=-0{,}05x^3+2x^2+41x-501\), for eksempel på intervallet \(0\le x\le 60\).
Del 2 - Oppgave 1c - 8 poeng samletGrensekostnad og grenseinntekt
Oppgave 1c
Oppgave:
Hvilken daglig produksjonsmengde gir at grensekostnaden er lik grenseinntekten? Hva forteller dette oss?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk sammenhengen
Grensekostnad lik grenseinntekt betyr at den deriverte av overskuddet er null.
Steg 2 - Deriver overskuddet
\[O'(x)=-0{,}15x^2+4x+41\]
Steg 3 - Sett lik null
\[-0{,}15x^2+4x+41=0\]
Steg 4 - Løs likningen
\[x\approx 34{,}57\]
Steg 5 - Tolk produksjonsmengde
Bedriften bør produsere omtrent 35 enheter per dag for å oppnå maksimalt overskudd i modellen.
Tolkning
I dette punktet gir én ekstra enhet ikke lenger økt overskudd.
Vanlig feil: Å løse \(O(x)=0\) i stedet for \(O'(x)=0\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Derivert(-0.05*x^3+2*x^2+41*x-501)
-> \(-0{,}15x^2+4x+41\)
2
Løs(-0.15*x^2+4*x+41=0)
-> \(xpprox 34{,}57\)
Python
from sympy import symbols, diff, solve, N
x = symbols('x')
O = -0.05*x**3 + 2.0*x**2 + 41*x - 501
O_derivert = diff(O, x)
kandidater = solve(O_derivert, x)
positive = [N(k) for k in kandidater if N(k) > 0]
print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", O_derivert)
print("Løsninger av O'(x)=0:", kandidater)
print("Relevant produksjonsmengde:", positive[0])
print("Maksimalt overskudd:", N(O.subs(x, positive[0])))
Fasit: Grensekostnad er lik grenseinntekt ved omtrent \(x=34{,}57\), altså cirka 35 enheter.
Del 2 - Oppgave 1d - 8 poeng samletLaveste pris uten underskudd
Oppgave 1d
Oppgave:
Hva er den laveste prisen bedriften kan ta per enhet og likevel unngå å gå med underskudd? Hvor mange enheter må de i så fall produsere?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk kostnadsmodellen
\[K(x)=0{,}05x^3-2x^2+39x+501\]
Steg 2 - Pris uten underskudd
For pris \(p\) må det finnes en produksjon med \(px-K(x)\ge 0\). Laveste pris blir minste gjennomsnittskostnad.
Eirik sparer 40 000 kroner i året i 15 år. Første innskudd er 1. juli 2018. Årlig avkastning er 5 %. Sett opp en geometrisk rekke for beløpet ett år etter siste innbetaling, og vis med CAS at summen er 906 299,67 kroner.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Tolk tidspunktet
Første innskudd vokser i 15 år, og siste innskudd vokser i 1 år fram til 1. juli 2033.
Beløpet er saldoen rett før han begynner å ta ut penger 1. juli 2033.
Tolkning
Hvert innskudd får ulik rentetid, derfor blir dette en geometrisk sum.
Vanlig feil: Å la siste innskudd vokse i 0 år. Oppgaven spør ett år etter siste innbetaling.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
40000*Sum(1.05^k,k,1,15)
-> \(906299{,}67\)
Python
from sympy import symbols, summation, N
k = symbols('k', integer=True, positive=True)
innskudd = 40000
rente = 1.05
saldo = innskudd*summation(rente**k, (k, 1, 15))
print("Geometrisk sum: 40000*sum(1.05**k for k=1..15)")
print("Saldo ett år etter siste innbetaling:", N(saldo, 12))
print("Avrundet til kroner og øre:", round(float(saldo), 2))
Vi simulerer kontoen til saldoen blir negativ etter et uttak.
Steg 5 - Resultat
\[\text{Saldoen blir negativ ved uttaket i 2052}\]
Tolkning
Kontoen er tom i 2052, fordi uttaket dette året er større enn saldoen før uttaket.
Vanlig feil: Å la uttaket vokse med 5 % i stedet for 10 %.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Iterasjon saldo og uttak
-> tom i 2052
Python
saldo = 906299.6707055488
uttak = 30000.0
rente = 1.05
vekst_uttak = 1.10
år = 2033
print("År | saldo før uttak | uttak | saldo etter uttak")
while saldo > 0:
saldo_for = saldo
saldo = saldo - uttak
print(f"{år} | {saldo_for:12.2f} | {uttak:10.2f} | {saldo:12.2f}")
if saldo <= 0:
print("Kontoen er tom i", år)
break
saldo = saldo*rente
uttak = uttak*vekst_uttak
år += 1
Fasit: Kontoen blir tom i \(2052\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3a - 8 poeng samletNormalfordeling
Oppgave 3a
Oppgave:
Vekten \(X\) av flaskene er normalfordelt med forventningsverdi 250,0 g og standardavvik 3,0 g. En flaske veier for lite når den veier mindre enn 245,0 g. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske veier for lite.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Omtrent 4,8 % av flaskene veier for lite med dagens innstilling.
Tolkning
Grensen 245 g ligger 1,67 standardavvik under middelverdien.
Vanlig feil: Å bruke 3 som varians i stedet for standardavvik.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Normal(250,3)
->
2
P(X<245)
-> \(0{,}0478\)
Python
from statistics import NormalDist
mu = 250.0
sigma = 3.0
grense = 245.0
fordeling = NormalDist(mu, sigma)
p = fordeling.cdf(grense)
print("Middelverdi:", mu)
print("Standardavvik:", sigma)
print("Grense for for lite:", grense)
print("P(X < 245) =", round(p, 6))
print("I prosent:", round(100*p, 2))
Fasit: \(P(X<245)\approx 0{,}0478\).
Del 2 - Oppgave 3b - 8 poeng samletBinomisk sannsynlighet
Oppgave 3b
Oppgave:
Hver eske inneholder 15 flasker. La \(Y\) være antall flasker som veier for lite i en eske. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig eske inneholder én eller flere flasker som veier for lite.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk p fra del a
\[p\approx 0{,}04779\]
Steg 2 - Modell
\[Y\sim \operatorname{Bin}(15,p)\]
Steg 3 - Bruk komplement
\[P(Y\ge 1)=1-P(Y=0)\]
Steg 4 - Sett inn binomisk formel
\[P(Y\ge 1)=1-(1-p)^{15}\]
Steg 5 - Beregn
\[P(Y\ge 1)\approx 0{,}5203\]
Tolkning
Med dagens innstilling vil omtrent 52 % av eskene ha minst én flaske som veier for lite.
Vanlig feil: Å regne \(15p\) og tolke det som sannsynligheten for minst én feil flaske.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
1-(1-0.04779035)^15
-> \(0{,}5203\)
Python
from statistics import NormalDist
mu = 250.0
sigma = 3.0
p = NormalDist(mu, sigma).cdf(245.0)
n = 15
sannsynlighet = 1 - (1 - p)**n
print("p = P(en flaske veier for lite) =", round(p, 6))
print("Antall flasker i esken:", n)
print("P(Y >= 1) = 1 - (1-p)^15 =", round(sannsynlighet, 6))
Fasit: \(P(Y\ge 1)\approx 0{,}5203\).
Del 2 - Oppgave 3c - 8 poeng samletKrav til binomisk sannsynlighet
Oppgave 3c
Oppgave:
Bedriften vil at maksimalt 10 % av eskene skal ha flasker som veier for lite. Grunngi at sannsynligheten for at én flaske veier for lite, må være høyst 0,70 %.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - La p være flaskesannsynligheten
Vi krever at sannsynligheten for minst én for lett flaske i en eske er høyst 10 %.
Steg 2 - Skriv kravet
\[1-(1-p)^{15}\le 0{,}10\]
Steg 3 - Omform
\[(1-p)^{15}\ge 0{,}90\]
Steg 4 - Ta 15.-rot
\[1-p\ge 0{,}90^{1/15}\]
Steg 5 - Løs for p
\[p\le 1-0{,}90^{1/15}\approx 0{,}006999\]
Tolkning
Dette er omtrent \(0{,}70\%\), som viser påstanden i oppgaven.
Vanlig feil: Å sette \(p\le 0{,}10\). Det ville gjelde én flaske, ikke en eske med 15 flasker.
