Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Trekk første likning fra andre
\[(2x+y-z)-(x+y-z)=2-0\Rightarrow x=2\]
Steg 2 - Sett \(x=2\) inn i første likning
\[2+y-z=0\Rightarrow y-z=-2\]
Steg 3 - Sett \(x=2\) inn i tredje likning
\[8+y-2z=1\Rightarrow y-2z=-7\]
Steg 4 - Trekk likningene fra hverandre
\[(y-z)-(y-2z)=-2-(-7)\Rightarrow z=5\]
Steg 5 - Finn \(y\)
\[y-5=-2\Rightarrow y=3\]
Steg 6 - Kontroller i alle tre likninger
Innsetting gir venstresidene \(0\), \(2\) og \(1\), som stemmer med høyresidene.
Tolkning
Løsningen er punktet der de tre planene skjærer hverandre.
Vanlig feil: Å kontrollere bare én av likningene.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Løs({x+y-z=0,2x+y-z=2,4x+y-2z=1},{x,y,z})
-> \(x=2,\ y=3,\ z=5\)
Python
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, z = symbols('x y z')
likninger = [
Eq(x + y - z, 0),
Eq(2*x + y - z, 2),
Eq(4*x + y - 2*z, 1),
]
losning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0]
print("Løsning:", losning)
print("Kontroll av hver likning:")
for nr, likning in enumerate(likninger, start=1):
print(f"Likning {nr}:", likning.subs(losning), "->", bool(likning.subs(losning)))
Fasit: \(x=2\), \(y=3\) og \(z=5\).
Del 1 - Oppgave 3a - 6 poeng samletAritmetisk rekke
Oppgave 3a
Oppgave:
I en aritmetisk rekke \(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\) er \(a_1=3\) og \(a_6=18\). Bestem differansen \(d\), og bestem en formel for \(a_n\) uttrykt ved \(n\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk leddformelen
\[a_n=a_1+(n-1)d\]
Steg 2 - Sett inn opplysningen \(a_6=18\)
\[18=3+(6-1)d\]
Steg 3 - Løs for differansen
\[15=5d\Rightarrow d=3\]
Steg 4 - Finn generell formel
\[a_n=3+(n-1)3\]
Steg 5 - Forenkle
\[a_n=3n\]
Tolkning
Hvert ledd er tre ganger leddnummeret.
Vanlig feil: Å bruke \(6d\) i stedet for \(5d\) fra første til sjette ledd.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Løs(18=3+(6-1)*d,d)
-> \(d=3\)
2
a(n):=3+(n-1)*3
-> \(a_n=3n\)
Python
from sympy import symbols, Eq, solve, expand
n, d = symbols('n d')
a1 = 3
likning = Eq(18, a1 + (6 - 1)*d)
d_verdi = solve(likning, d)[0]
an = expand(a1 + (n - 1)*d_verdi)
print("Likning for differansen:", likning)
print("Differanse d =", d_verdi)
print("Formel for a_n =", an)
Fasit: \(d=3\) og \(a_n=3n\).
Del 1 - Oppgave 3b - 6 poeng samletSum av aritmetisk rekke
Oppgave 3b
Oppgave:
Vis at summen av de \(n\) første leddene kan skrives som \(S_n=\dfrac{3}{2}n(n+1)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk resultatet fra del a
\[a_1=3,\qquad a_n=3n\]
Steg 2 - Bruk sumformelen
\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]
Steg 3 - Sett inn
\[S_n=\dfrac{n\left(3+3n\right)}{2}\]
Steg 4 - Faktoriser parentesen
\[3+3n=3(n+1)\]
Steg 5 - Skriv på ønsket form
\[S_n=\dfrac{3}{2}n(n+1)\]
Tolkning
Summen vokser kvadratisk med antall ledd.
Vanlig feil: Å bruke siste ledd som \(n\) i stedet for \(3n\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Sum(3*k,k,1,n)
-> \(\dfrac{3}{2}n(n+1)\)
Python
from sympy import symbols, summation, factor
k, n = symbols('k n', integer=True, positive=True)
an = 3*k
Sn = summation(an, (k, 1, n))
print("Leddformel:", an)
print("Sumformel før faktorisering:", Sn)
print("Sumformel faktorisert:", factor(Sn))
Fasit: \(S_n=\dfrac{3}{2}n(n+1)\).
Del 1 - Oppgave 3c - 6 poeng samletLikning med sumformel
Oppgave 3c
Oppgave:
Hvor mange ledd må vi ha med for at summen skal bli \(84\)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Sett sumformelen lik 84
\[\dfrac{3}{2}n(n+1)=84\]
Steg 2 - Multipliser med \(\dfrac{2}{3}\)
\[n(n+1)=56\]
Steg 3 - Skriv som andregradslikning
\[n^2+n-56=0\]
Steg 4 - Faktoriser
\[(n-7)(n+8)=0\]
Steg 5 - Velg positiv løsning
\[n=7\]
Tolkning
Antall ledd må være et positivt heltall, derfor forkaster vi \(n=-8\).
Vanlig feil: Å beholde den negative løsningen som antall ledd.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Løs((3/2)*n*(n+1)=84,n)
-> \(n=7\)
Python
from sympy import symbols, Eq, solve
n = symbols('n')
likning = Eq((3/2)*n*(n + 1), 84)
losninger = solve(likning, n)
gyldige = [verdi for verdi in losninger if verdi > 0]
print("Likning:", likning)
print("Alle løsninger:", losninger)
print("Gyldig antall ledd:", gyldige[0])
Fasit: \(7\) ledd.
Del 1 - Oppgave 4a - 7 poeng samletPolynomdivisjon og faktorisering
Oppgave 4a
Oppgave:
Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3+4x^2+x-6\). Vi ser at \(f(1)=0\). Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at \(f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk nullpunktet
Siden \(f(1)=0\), er \(x-1\) en faktor i polynomet.
Steg 2 - Del polynomet på \(x-1\)
\[\dfrac{x^3+4x^2+x-6}{x-1}=x^2+5x+6\]
Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket
\[x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\]
Steg 4 - Sett sammen faktorene
\[f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)\]
Steg 5 - Kontroller ved utvidelse
\[(x-1)(x+2)(x+3)=x^3+4x^2+x-6\]
Tolkning
Faktoriseringen viser alle nullpunktene til funksjonen.
Vanlig feil: Å stoppe etter polynomdivisjon uten å faktorisere andregradsuttrykket.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(x^3+4*x^2+x-6)
-> \((x-1)(x+2)(x+3)\)
Python
from sympy import symbols, factor, expand, div
x = symbols('x')
f = x**3 + 4*x**2 + x - 6
kvotient, rest = div(f, x - 1)
print("f(x) =", f)
print("Kvotient ved divisjon med x - 1 =", kvotient)
print("Rest =", rest)
print("Faktorisert f(x) =", factor(f))
print("Kontroll ved utvidelse =", expand((x - 1)*(x + 2)*(x + 3)))
Fasit: \(f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)\).
Del 1 - Oppgave 4b - 7 poeng samletUlikhet med fortegnslinje
Oppgave 4b
Oppgave:
Løs ulikheten \(f(x)\le 0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk faktorformen
\[f(x)=(x-1)(x+2)(x+3)\]
Steg 2 - Finn nullpunktene
\[x=-3,\qquad x=-2,\qquad x=1\]
Steg 3 - Lag fortegnsintervaller
Nullpunktene deler tallinjen i \((-\infty,-3)\), \((-3,-2)\), \((-2,1)\) og \((1,\infty)\).
Del 1 - Oppgave 6a - 10 poeng samletDiskret sannsynlighet
Oppgave 6a
Oppgave:
La \(X\) være antall unger som overlever i en tilfeldig valgt fuglekasse. Fordelingen er gitt ved \(P(X=0)=0{,}2\), \(P(X=1)=0{,}1\), \(P(X=2)=0{,}3\), \(P(X=3)=0{,}3\) og \(P(X=4)=0{,}1\). Bestem \(P(X\ge 2)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Finn hvilke verdier som teller
Hendelsen \(X\ge 2\) består av \(X=2\), \(X=3\) og \(X=4\).
Steg 2 - Legg sammen sannsynlighetene
\[P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\]
Steg 3 - Sett inn fra tabellen
\[P(X\ge 2)=0{,}3+0{,}3+0{,}1\]
Steg 4 - Regn ut
\[P(X\ge 2)=0{,}7\]
Tolkning
Det er 70 prosent sannsynlighet for at minst to unger overlever i en tilfeldig valgt kasse.
Vanlig feil: Å ta med \(X=1\) når det står minst 2.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
0.3+0.3+0.1
-> \(0{,}7\)
Python
verdier = [0, 1, 2, 3, 4]
sannsynligheter = [0.2, 0.1, 0.3, 0.3, 0.1]
P_minst_to = sum(p for k, p in zip(verdier, sannsynligheter) if k >= 2)
print("Verdier:", verdier)
print("Sannsynligheter:", sannsynligheter)
print("P(X >= 2) =", P_minst_to)
Fasit: \(P(X\ge 2)=0{,}7\).
Del 1 - Oppgave 6b - 10 poeng samletForventning og varians
Oppgave 6b
Oppgave:
Bestem forventningsverdien \(E(X)\), og vis at variansen er \(Var(X)=1{,}6\). Hva forteller \(E(X)\) oss?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
På lang sikt forventer vi omtrent 2 overlevende unger per fuglekasse.
Vanlig feil: Å blande varians og standardavvik. Variansen er \(1{,}6\), mens standardavviket er omtrent \(1{,}26\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Sum(k*P(k),k,0,4)
-> \(2\)
2
Sum(k^2*P(k),k,0,4)-2^2
-> \(1{,}6\)
Python
from math import sqrt
verdier = [0, 1, 2, 3, 4]
sannsynligheter = [0.2, 0.1, 0.3, 0.3, 0.1]
forventning = sum(k*p for k, p in zip(verdier, sannsynligheter))
E2 = sum(k**2*p for k, p in zip(verdier, sannsynligheter))
varians = E2 - forventning**2
standardavvik = sqrt(varians)
print("E(X) =", forventning)
print("E(X^2) =", E2)
print("Var(X) =", varians)
print("SD(X) =", standardavvik)
Fasit: \(E(X)=2{,}0\), \(Var(X)=1{,}6\) og \(SD(X)pprox1{,}26\).
Del 1 - Oppgave 6c - 10 poeng samletSentralgrenseteoremet
Oppgave 6c
Oppgave:
Det totale antallet overlevende kjøttmeisunger i 100 kasser er \(S=X_1+X_2+\cdots+X_{100}\). Begrunn at \(S\) er tilnærmet normalfordelt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Identifiser summen
\(S\) er en sum av 100 stokastiske variabler.
Steg 2 - Bruk uavhengighet
Oppgaven sier at \(X_i\)-ene er uavhengige.
Steg 3 - Bruk samme fordeling
Hver \(X_i\) beskriver samme type fuglekasse og har samme fordeling som \(X\).
Steg 4 - Antall ledd er stort
Når vi summerer mange uavhengige variabler, blir summen ofte tilnærmet normalfordelt.
Steg 5 - Navngi teoremet
Dette følger av sentralgrenseteoremet.
Tolkning
Selv om hver enkelt fuglekasse har en diskret fordeling, blir totalen over 100 kasser godt modellert med normalfordeling.
Vanlig feil: Å si at \(X\) selv er normalfordelt. Det er summen \(S\) som er tilnærmet normalfordelt.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Normaltilnærming(Sum(X_i,i,1,100))
-> \(S\ \text{er tilnærmet normalfordelt}\)
Python
antall_kasser = 100
uavhengige = True
samme_fordeling = True
print("Antall ledd i summen:", antall_kasser)
print("Uavhengige variabler:", uavhengige)
print("Samme type fordeling:", samme_fordeling)
print("Konklusjon: Sentralgrenseteoremet gir tilnærmet normalfordeling for summen S.")
Fasit: \(S\) er tilnærmet normalfordelt etter sentralgrenseteoremet.
Del 1 - Oppgave 6d - 10 poeng samletForventning og varians for sum
Oppgave 6d
Oppgave:
Bestem \(E(S)\) og \(Var(S)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk linearitet for forventning
\[E(S)=E(X_1+X_2+\cdots+X_{100})\]
Steg 2 - Sett inn samme forventning for alle
\[E(S)=100\cdot E(X)=100\cdot2=200\]
Steg 3 - Bruk varians for uavhengige variabler
\[Var(S)=Var(X_1)+Var(X_2)+\cdots+Var(X_{100})\]
Steg 4 - Sett inn variansen fra del b
\[Var(S)=100\cdot1{,}6=160\]
Steg 5 - Standardavvik for kontroll
\[SD(S)=\sqrt{160}\approx12{,}65\]
Tolkning
Forventet total er 200 overlevende unger i 100 kasser.
Vanlig feil: Å multiplisere standardavviket med 100. Det er variansen som summeres for uavhengige variabler.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
100*2
-> \(200\)
2
100*1.6
-> \(160\)
Python
from math import sqrt
antall = 100
E_X = 2.0
Var_X = 1.6
E_S = antall * E_X
Var_S = antall * Var_X
SD_S = sqrt(Var_S)
print("E(X) =", E_X)
print("Var(X) =", Var_X)
print("E(S) = 100 * E(X) =", E_S)
print("Var(S) = 100 * Var(X) =", Var_S)
print("SD(S) =", SD_S)
Fasit: \(E(S)=200\) og \(Var(S)=160\).
Del 1 - Oppgave 6e - 10 poeng samletNormalfordeling
Oppgave 6e
Oppgave:
I resten av oppgaven går vi ut fra at \(E(S)=200\) og \(SD(S)=13\). Bestem sannsynligheten for at 226 eller flere kjøttmeisunger overlever i kassene til Peder dette året.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk normaltilnærmingen
\[S\sim N(200,13)\]
Steg 2 - Bruk kontinuitetskorreksjon
Siden \(S\) er et heltallig antall, bruker vi \(S\ge226\) som \(S\ge225{,}5\).
Steg 3 - Standardiser
\[z=\dfrac{225{,}5-200}{13}\approx1{,}96\]
Steg 4 - Bruk tabellen
\[P(Z\le1{,}96)\approx0{,}9750\]
Steg 5 - Finn høyre hale
\[P(S\ge226)\approx1-0{,}9750=0{,}0250\]
Tolkning
Sannsynligheten er omtrent 2,5 prosent.
Vanlig feil: Å bruke venstre hale direkte og svare \(0{,}975\) i stedet for høyre hale.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
1-Normal(200,13,225.5)
-> \(0{,}025\)
Python
from statistics import NormalDist
mu = 200
sigma = 13
grense = 225.5
fordeling = NormalDist(mu, sigma)
sannsynlighet = 1 - fordeling.cdf(grense)
z = (grense - mu)/sigma
print("Normalmodell: S ~ N(200, 13)")
print("Kontinuitetskorreksjon for S >= 226: grense =", grense)
print("z-verdi =", z)
print("P(S >= 226) =", sannsynlighet)
Fasit: \(P(S\ge226)\approx0{,}025\).
Del 1 - Oppgave 6f - 10 poeng samletNormalfordeling intervall
Oppgave 6f
Oppgave:
Bestem \(P(187\le S\le213)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Fasit: \(P(187\le S\le213)\approx0{,}70\) med kontinuitetskorreksjon.
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1a - 6 poeng samletØkonomisk modell og likningssystem
Oppgave 1a
Oppgave:
Overskuddet ved salg av \(x\) enheter per uke er \(O(x)=ax^2+bx+c\). Når bedriften produserer 200 enheter per uke, er overskuddet 0. Overskuddet er størst ved 475 enheter. Når bedriften selger 600 enheter per uke, er grensekostnaden 5 kroner større enn grenseinntekten. Vis at opplysningene gir likningssystemet
Ingrid sparer 20 000 kroner i året. Første innbetaling er 1. januar 2018, og siste innbetaling er 1. januar 2052. Renten er 3,00 prosent per år. Bruk CAS til å vise at hun har 1 209 242 kroner rett etter siste innbetaling.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Tell antall innbetalinger
Fra og med 2018 til og med 2052 er det \(35\) innbetalinger.
Beløpet er verdien rett etter at siste innbetaling 1. januar 2052 er gjort.
Tolkning
De tidligste innbetalingene har fått rente i flest år.
Vanlig feil: Å bruke 34 innbetalinger i stedet for 35.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
20000*Sum(1.03^k,k,0,34)
-> \(1\,209\,242\)
Python
from math import pow
innbetaling = 20000
rente = 0.03
antall = 35
faktorer = [(1 + rente)**k for k in range(antall)]
framtidsverdi = innbetaling * sum(faktorer)
print("Årlig innbetaling:", innbetaling)
print("Rente:", rente)
print("Antall innbetalinger:", antall)
print("Sum av rentefaktorer:", sum(faktorer))
print("Verdi rett etter siste innbetaling:", framtidsverdi)
print("Avrundet til nærmeste krone:", round(framtidsverdi))
Ingrid skal ta ut et fast beløp hvert år. Første uttak er 1. januar 2053 og siste uttak er 1. januar 2067. Kontoen skal da være tom. Renten er 3,00 prosent per år. Hvor mye kan hun ta ut per år?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Tell uttak
Fra og med 2053 til og med 2067 er det \(15\) uttak.
CAS gir omtrent \(n\approx20{,}44\) hvis vi regner med brøkdel av år.
Steg 3 - Tolk heltallige uttak
Etter 20 hele uttak er det fortsatt penger igjen. I det 21. uttaksåret tømmes kontoen.
Steg 4 - Tell år fra 2053
Uttak nummer 1 skjer i 2053. Uttak nummer 21 skjer i 2073.
Steg 5 - Simuler saldo for kontroll
Etter uttaket i 2072 er saldoen fortsatt positiv. Etter rente og neste uttak i 2073 blir saldoen negativ, altså tømmes kontoen da.
Tolkning
Kontoen varer til 2073 dersom hun tar ut 80 000 kroner per år.
Vanlig feil: Å runde \(20{,}44\) ned og si 20 år. Kontoen er ikke tom før neste uttak.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Løs(1209242=80000*Sum(1.03^(-k),k,1,n),n)
-> \(n\approx20{,}44\)
2
2053+21-1
-> \(2073\)
Python
from math import log
saldo = 1209241.6362476845
rente = 0.03
uttak = 80000
v = 1/(1 + rente)
kontinuerlig_n = log(1 - rente*(saldo/uttak)) / log(v)
print("Kontinuerlig løsning for antall uttak:", kontinuerlig_n)
print("Vi simulerer hele årsuttak:")
for aar in range(2053, 2074):
saldo = saldo*(1 + rente) - uttak
print(aar, "saldo etter uttak =", round(saldo, 2))
if saldo <= 0:
print("Kontoen tømmes i", aar)
break
Fasit: Kontoen blir tom i \(2073\).
Del 2 - Oppgave 3a - 4 poeng samletNormalfordeling
Oppgave 3a
Oppgave:
Levetiden for batteriene er normalfordelt med \(\mu=30\) timer og \(\sigma=3\) timer. Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri har levetid mindre enn 27 timer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Sett opp modellen
\[X\sim N(30,3)\]
Steg 2 - Standardiser 27 timer
\[z=\dfrac{27-30}{3}=-1\]
Steg 3 - Bruk normalfordelingstabell
\[P(Z<-1)\approx0{,}1587\]
Steg 4 - Tolk
Omtrent 15,9 prosent av batteriene varer kortere enn 27 timer.
Kontroll
Sannsynligheten ligger under 0,5 fordi 27 er under forventningsverdien 30.
Vanlig feil: Å bruke \(P(Z<1)\) i stedet for \(P(Z<-1)\).
Del 2 - Oppgave 3b - 4 poeng samletHypotesetest for forventning
Oppgave 3b
Oppgave:
Forbrukerrådet tester ni batterier med levetider \(29,31,32,27,29,25,23,30,26\). Anta fortsatt normalfordeling med \(\sigma=3\). Sett opp en hypotesetest på 5 prosent nivå for å avgjøre om forventet levetid er mindre enn 30 timer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Fasit: Forkast \(H_0\). Det er grunnlag for å hevde at forventet levetid er mindre enn 30 timer.
Del 2 - Oppgave 4a - 8 poeng samletLogistisk regresjon
Oppgave 4a
Oppgave:
Antall personer som blir smittet per uke kan modelleres med \(g(t)=\dfrac{N}{1+ae^{-kt}}\). Tabellen gir \(g(0)=200\), \(g(5)=2000\) og \(g(12)=9000\). Bruk regresjon til å bestemme \(N\), \(a\) og \(k\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Velg logistisk regresjon
Vi bruker modellen \(g(t)=\dfrac{N}{1+ae^{-kt}}\) fordi veksten flater ut mot en øvre grense \(N\).
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
def logistisk(t, N, a, k):
return N/(1 + a*np.exp(-k*t))
t = np.array([0, 5, 12], dtype=float)
y = np.array([200, 2000, 9000], dtype=float)
parametre, kovarians = curve_fit(logistisk, t, y, p0=[10000, 50, 0.5], maxfev=10000)
N, a, k = parametre
print("t-verdier:", t)
print("g(t)-verdier:", y)
print("N =", N)
print("a =", a)
print("k =", k)
print("Modell: g(t) = N/(1 + a*exp(-k*t))")
Fasit: \(N\approx10094{,}8\), \(a\approx49{,}47\) og \(k\approx0{,}501\).
Del 2 - Oppgave 4b - 8 poeng samletGrafisk løsning
Oppgave 4b
Oppgave:
Nærmere undersøkelser viser at \(f(t)=\dfrac{10000}{1+50e^{-0{,}5t}}\) er en god modell. Bruk graftegner til å tegne grafen til \(f\). Bruk grafen til å bestemme når antall smittede personer per uke er 7000.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Etter omtrent 9,5 uker er modellen oppe i 7000 smittede per uke.
Vanlig feil: Å lese av for grovt på grafen uten å kontrollere med likning eller CAS.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Skjæring(10000/(1+50*e^(-0.5t)),7000)
-> \(t\approx9{,}52\)
Python
from sympy import symbols, Eq, exp, solve, N
t = symbols('t')
f = 10000/(1 + 50*exp(-0.5*t))
losning = solve(Eq(f, 7000), t)[0]
print("f(t) =", f)
print("Likning: f(t) = 7000")
print("Eksakt løsning:", losning)
print("Numerisk løsning:", N(losning))
print("Kontroll f(t) =", N(f.subs(t, losning)))
Fasit: \(t\approx9{,}52\) uker.
Del 2 - Oppgave 4c - 8 poeng samletBestemt integral og tolkning
Oppgave 4c
Oppgave:
Bruk CAS til å bestemme \(\int_0^{12} f(t)\,dt\). Hva forteller dette svaret oss?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Sett inn modellen
\[\int_0^{12}\dfrac{10000}{1+50e^{-0{,}5t}}\,dt\]
Steg 2 - Bruk CAS
\[\int_0^{12}f(t)\,dt\approx43700\]
Steg 3 - Tolk integralet
Siden \(f(t)\) måler smittede per uke, gir integralet totalt antall smittede i perioden.
Steg 4 - Oppgi enhet
Enheten blir personer, fordi personer per uke multipliseres med uker.
Steg 5 - Avrund rimelig
\[43700\ \text{personer}\]
Tolkning
Modellen anslår at omtrent 43 700 personer blir smittet de første 12 ukene.
Vanlig feil: Å tolke integralet som antall smittede per uke. Det er totalt antall i tidsintervallet.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Integral(10000/(1+50*e^(-0.5t)),0,12)
-> \(43700\)
Python
from sympy import symbols, exp, integrate, N
t = symbols('t')
f = 10000/(1 + 50*exp(-0.5*t))
integral = integrate(f, (t, 0, 12))
print("f(t) =", f)
print("Integral fra 0 til 12:", integral)
print("Numerisk verdi:", N(integral))
print("Tolkning: totalt antall smittede i løpet av de første 12 ukene.")
Fasit: \(\int_0^{12}f(t)\,dt\approx43\,700\), altså omtrent 43 700 personer.
Del 2 - Oppgave 4d - 8 poeng samletAkkumulert integral
Oppgave 4d
Oppgave:
Hvor mange uker vil det gå før det totale antallet personer som er smittet, overstiger 15 000?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
