Komplett løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra Udir-settet og løst med stegvis matematikk, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS-kontroll og fullere Python-kontroll uten rosa highlight.
Del 1 - uten hjelpemidler
Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samletDerivasjon av eksponentialfunksjon
Oppgave 1a
Oppgave:
Deriver funksjonen \(f(x)=e^{-2x}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Se kjernen
Funksjonen er en eksponentialfunksjon der eksponenten er \(-2x\).
Steg 2 - Bruk regelen
\[\dfrac{d}{dx}e^{u}=u' e^{u}\]
Steg 3 - Deriver kjernen
\[u=-2x,\qquad u'=-2\]
Steg 4 - Sett inn
\[f'(x)=-2e^{-2x}\]
Steg 5 - Kontroller fortegn
Fordi eksponenten avtar med \(x\), skal den deriverte være negativ.
Steg 6 - Skriv svaret tydelig
\[f'(x)=-2e^{-2x}\]
Tolkning
Den deriverte er negativ for alle \(x\), så funksjonen synker overalt.
Vanlig feil: Å glemme kjerneregelen og svare \(e^{-2x}\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Derivert(exp(-2*x))
-> \(-2e^{-2x}\)
Python
from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
f = exp(-2*x)
f_derivert = diff(f, x)
kontroll = simplify(f_derivert - (-2*exp(-2*x)))
print("Funksjonen f(x) =", f)
print("Derivert f'(x) =", f_derivert)
print("Kontroll, differanse mot forventet svar =", kontroll)
Fasit: \(f'(x)=-2e^{-2x}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samletBrøkregel
Oppgave 1b
Oppgave:
Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{x-3}{x-4}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Grafen har toppunkt \((0,32)\) og bunnpunkt \((4,0)\).
Vanlig feil: Å finne bare \(x\)-verdiene og ikke beregne tilhørende \(y\)-verdier.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt(x^3 - 6*x^2 + 32)
-> \((0,32),\ (4,0)\)
Python
from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
P = x**3 - 6*x**2 + 32
P1 = diff(P, x)
P2 = diff(P1, x)
print("P'(x) =", P1)
print("P''(x) =", P2)
for verdi in solve(P1, x):
print("x =", verdi, "P(x) =", P.subs(x, verdi), "P''(x) =", P2.subs(x, verdi))
Fasit: \((0,32)\) er toppunkt, og \((4,0)\) er bunnpunkt.
Del 1 - Oppgave 2c - 8 poeng samletVendepunkt
Oppgave 2c
Oppgave:
Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til \(P\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk andrederivert
\[P''(x)=6x-12\]
Steg 2 - Sett andrederivert lik null
\[6x-12=0\]
Steg 3 - Finn \(x\)-verdien
\[x=2\]
Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte
Andrederiverte går fra negativ til positiv når \(x\) passerer \(2\).
Steg 5 - Finn \(y\)-verdien
\[P(2)=2^3-6\cdot 2^2+32=16\]
Steg 6 - Skriv punktet
\[(2,16)\]
Tolkning
Vendepunktet ligger midt mellom de to stasjonære punktene i \(x\)-retning.
Vanlig feil: Å stoppe ved \(x=2\) og ikke skrive vendepunktet som koordinat.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Vendepunkt(x^3 - 6*x^2 + 32)
-> \((2,16)\)
Python
from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
P = x**3 - 6*x**2 + 32
P2 = diff(P, x, 2)
kandidater = solve(P2, x)
print("P''(x) =", P2)
print("Kandidater for vendepunkt:", kandidater)
for verdi in kandidater:
print("Vendepunkt: x =", verdi, "y =", P.subs(x, verdi))
Fasit: \((2,16)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2d - 8 poeng samletGrafskisse
Oppgave 2d
Oppgave:
Lag en skisse av grafen til \(P\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Del 1 - Oppgave 4a - 4 poeng samletAritmetisk rekke
Oppgave 4a
Oppgave:
Noen tømmerstokker er stablet slik figuren viser. Det er 16 stokker i øverste rad og 30 i nederste. Bruk teorien for rekker til å bestemme hvor mange stokker det er i haugen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Se radene som aritmetisk følge
Antall stokker øker med 1 fra rad til rad.
Steg 2 - Finn antall rader
\[n=30-16+1=15\]
Steg 3 - Bruk sumformelen
\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\]
Steg 4 - Sett inn
\[S_{15}=\dfrac{15(16+30)}{2}\]
Steg 5 - Regn ut
\[S_{15}=15\cdot 23=345\]
Steg 6 - Kontroller rimelighet
Gjennomsnittlig rad har \(23\) stokker, og det er \(15\) rader.
Tolkning
Haugen består av 345 stokker.
Vanlig feil: Å bruke \(30-16=14\) som antall rader og glemme at begge enderadene teller med.
Del 1 - Oppgave 8c - 4 poeng samletStandardavvik i normalfordeling
Oppgave 8c
Oppgave:
Bestem standardavviket til \(X\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Knytt haleareal til z-verdi
Tabellen gir \(P(Z<-1{,}25)\approx0{,}106\).
Steg 2 - Bruk standardisering
\[z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\]
Steg 3 - Sett inn venstre grense
\[-1{,}25=\dfrac{22-32}{\sigma}\]
Steg 4 - Løs for \(\sigma\)
\[\sigma=\dfrac{10}{1{,}25}=8\]
Steg 5 - Kontroller høyre grense
\[\dfrac{42-32}{8}=1{,}25\]
Steg 6 - Skriv svaret
Standardavviket er \(8\).
Tolkning
Grensene 22 og 42 ligger omtrent \(1{,}25\) standardavvik fra gjennomsnittet.
Vanlig feil: Å bruke arealet \(0{,}106\) direkte som standardavvik.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
InverseNormal(0.106,0,1)
-> \(-1{,}25\)
2
(32-22)/1.25
-> \(8\)
Python
from math import erf, sqrt
mu = 32
sigma = 8
z_venstre = (22 - mu)/sigma
z_hoyre = (42 - mu)/sigma
Phi = lambda z: 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
print("z for x = 22:", z_venstre)
print("z for x = 42:", z_hoyre)
print("P(Z < -1.25) =", Phi(z_venstre))
print("P(Z > 1.25) =", 1 - Phi(z_hoyre))
Fasit: \(\sigma=8\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1a - 6 poeng samletModellering
Oppgave 1a
Oppgave:
Tabellen viser antall artikler på Wikipedia i utvalgte år. En journalist påstår at antallet i 2020 blir rundt 7 millioner, mens en annen påstår at antallet vil stabilisere seg rundt 4 millioner. Vurder hvilke matematiske modeller journalistene kan ha brukt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Gjør om til millioner
Tallene i 2012 er omtrent \(3{,}835\) millioner artikler.
Steg 2 - Forklar 7-millionerspåstanden
En lineær framskriving kan gi omtrent 7 millioner dersom man viderefører veksten fra de siste årene.
Steg 3 - Sett opp lineær tanke
\[N(t)=at+b\]
Steg 4 - Forklar stabilisering
Påstanden om stabilisering rundt 4 millioner passer med en logistisk modell eller annen modell med horisontal asymptote.
Steg 5 - Sett opp logistisk tanke
\[N(t)=\dfrac{L}{1+Ce^{-kt}}\]
Steg 6 - Vurder modellene
Lineær modell passer dårlig langt fram når veksten avtar, mens logistisk modell kan beskrive metning.
Tolkning
Journalistene kan ha brukt lineær modell og logistisk/metningsmodell.
Vanlig feil: Å tro at begge påstander må komme fra samme type modell.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
FitPoly(liste,1)
-> \(\text{lineær modell}\)
2
FitLogistic(liste)
-> \(\text{modell med asymptote}\)
Python
import numpy as np
ar = np.array([2002, 2004, 2006, 2008, 2010, 2012], dtype=float)
artikler_mill = np.array([0.0197, 0.1888, 0.895, 2.153, 3.144, 3.835])
koeff = np.polyfit(ar, artikler_mill, 1)
prognose_2020 = np.polyval(koeff, 2020)
print("Lineær modell koeffisienter:", koeff)
print("Lineær prognose for 2020, millioner:", prognose_2020)
print("En logistisk modell kan i stedet ha øvre grense nær 4 millioner.")
Fasit: Ca. 7 millioner: lineær framskriving. Stabilisering rundt 4 millioner: logistisk/metningsmodell.
Del 2 - Oppgave 1b - 6 poeng samletDerivert og vekstfart
Oppgave 1b
Oppgave:
En modell for økningen i antall artikler per år er
from sympy import symbols, exp, integrate, N
x = symbols('x')
g_derivert = 576*exp(-0.68*x)/(1 + 211*exp(-0.68*x))**2
integral = integrate(g_derivert, (x, 0, 15))
print("Integralverdi =", N(integral, 10))
print("Tolkning: økning i millioner artikler fra 2000 til 2015.")
Fasit: \(\int_0^{15}g'(x)\,dx\approx 3{,}964\), altså ca. 3,96 millioner artikler.
Del 2 - Oppgave 2a - 6 poeng samletKostnadsfunksjon og CAS
Oppgave 2a
Oppgave:
Inntekten er \(I(x)=3200\ln(2{,}5x+1)\). Kostnaden er \(K(x)=ax^2+bx+c\). Erfaringer viser \(K(50)=3225\), \(K(100)=4900\) og \(K'(100)=41\). Bruk CAS til å bestemme \(a,b,c\). Vis at \(K'(x)=0{,}3x+11\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Deriver kostnaden generelt
\[K'(x)=2ax+b\]
Steg 2 - Sett opp første betingelse
\[2500a+50b+c=3225\]
Steg 3 - Sett opp andre betingelse
\[10000a+100b+c=4900\]
Steg 4 - Sett opp grensekostnad
\[200a+b=41\]
Steg 5 - Løs systemet
\[a=0{,}15,\qquad b=11,\qquad c=2300\]
Steg 6 - Deriver ferdig
\[K'(x)=2\cdot0{,}15x+11=0{,}3x+11\]
Tolkning
Kostnadsfunksjonen er \(K(x)=0{,}15x^2+11x+2300\).
Vanlig feil: Å bruke \(K(100)=41\) i stedet for \(K'(100)=41\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Løs({K(50)=3225,K(100)=4900,K'(100)=41})
-> \(a=0{,}15,\ b=11,\ c=2300\)
Python
from sympy import symbols, Eq, solve, diff
x, a, b, c = symbols('x a b c')
K = a*x**2 + b*x + c
likninger = [Eq(K.subs(x, 50), 3225), Eq(K.subs(x, 100), 4900), Eq(diff(K, x).subs(x, 100), 41)]
losning = solve(likninger, (a, b, c), dict=True)[0]
K_lost = K.subs(losning)
print("Løsning for a, b, c =", losning)
print("K(x) =", K_lost)
print("K'(x) =", diff(K_lost, x))
Fasit: \(a=0{,}15,\ b=11,\ c=2300\) og \(K'(x)=0{,}3x+11\).
Del 2 - Oppgave 2b - 6 poeng samletGrenseinntekt og grensekostnad
Oppgave 2b
Oppgave:
Bestem \(I'(100)\) og \(K'(100)\). Hva forteller svarene oss? Avgjør om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Fasit: \(I'(100)\approx31{,}87\), \(K'(100)=41\). Bedriften bør produsere færre enn 100 enheter.
Del 2 - Oppgave 2c - 6 poeng samletMaksimalt overskudd
Oppgave 2c
Oppgave:
Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Sett opp overskudd
\[O(x)=I(x)-K(x)\]
Steg 2 - Maksimum når marginalene er like
\[O'(x)=0\Rightarrow I'(x)=K'(x)\]
Steg 3 - Sett opp likning
\[\dfrac{8000}{2{,}5x+1}=0{,}3x+11\]
Steg 4 - Løs med CAS
\[x\approx86{,}33\]
Steg 5 - Vurder praktisk heltall
Produksjon må vanligvis være et helt antall enheter.
Steg 6 - Konkluder
Bedriften bør produsere omtrent \(86\) enheter per dag.
Tolkning
Maksimalt overskudd fås ved omtrent 86 enheter per dag.
Vanlig feil: Å bruke den negative løsningen fra CAS som praktisk løsning.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Løs(8000/(2.5*x+1)=0.3*x+11)
-> \(x\approx86{,}33\)
Python
from sympy import symbols, log, diff, solve, N
x = symbols('x')
I = 3200*log(2.5*x + 1)
K = 0.15*x**2 + 11*x + 2300
O = I - K
kritiske = solve(diff(O, x), x)
print("O'(x) =", diff(O, x))
print("Kritiske løsninger:", kritiske)
for verdi in kritiske:
print("x =", N(verdi, 8), "er praktisk mulig:", verdi > 0)
print("Praktisk produksjonsnivå: omtrent 86 enheter per dag")
Fasit: \(xpprox86{,}33\), altså omtrent 86 enheter per dag.
Del 2 - Oppgave 3a - 6 poeng samletBinomisk tilnærming
Oppgave 3a
Oppgave:
Ved valget i 2015 fikk et bestemt parti oppslutning \(30{,}8\%\). 1000 personer velges tilfeldig. La \(X\) være antallet som ville stemt på partiet. Forklar hvorfor vi kan anta at \(X\) er normalfordelt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Se forsøksmodellen
Hver person kan enten svare partiet eller ikke partiet.
Steg 2 - Bruk binomisk modell
\[X\sim \operatorname{Bin}(n=1000,p=0{,}308)\]
Steg 3 - Sjekk forventet antall suksesser
\[np=1000\cdot0{,}308=308\]
Steg 4 - Sjekk forventet antall ikke-suksesser
\[n(1-p)=1000\cdot0{,}692=692\]
Steg 5 - Bruk normaltilnærming
Begge tallene er klart større enn 5, så binomisk fordeling kan tilnærmes med normalfordeling.
Steg 6 - Konkluder
Derfor kan vi anta at \(X\) er tilnærmet normalfordelt.
Tolkning
Normalfordelingen brukes som tilnærming til en binomisk fordeling med stort utvalg.
Vanlig feil: Å si at dataene er normalfordelte uten å nevne binomisk modell og vilkårene.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
n*p
-> \(308\)
2
n*(1-p)
-> \(692\)
Python
n = 1000
p = 0.308
forventet_suksess = n*p
forventet_ikke = n*(1 - p)
print("n*p =", forventet_suksess)
print("n*(1-p) =", forventet_ikke)
print("Begge er større enn 5, så normaltilnærming er rimelig.")
Fasit: \(X\approx N(308,\sigma)\) fordi \(np\) og \(n(1-p)\) er store.
Del 2 - Oppgave 3b - 6 poeng samletForventning og standardavvik for binomisk
Oppgave 3b
Oppgave:
Bestem forventningsverdien og standardavviket til \(X\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk binomisk forventning
\[\mu=np\]
Steg 2 - Sett inn
\[\mu=1000\cdot0{,}308=308\]
Steg 3 - Bruk binomisk standardavvik
\[\sigma=\sqrt{np(1-p)}\]
Steg 4 - Sett inn
\[\sigma=\sqrt{1000\cdot0{,}308\cdot0{,}692}\]
Steg 5 - Regn ut
\[\sigma\approx14{,}60\]
Steg 6 - Kontroller enhet
Både \(\mu\) og \(\sigma\) måles i antall personer.
Tolkning
Vi forventer omtrent 308 personer, med standardavvik omtrent 14,6 personer.
Vanlig feil: Å bruke \(p(1-p)\) uten faktoren \(n\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
1000*0.308
-> \(308\)
2
sqrt(1000*0.308*0.692)
-> \(14{,}60\)
Python
from math import sqrt
n = 1000
p = 0.308
mu = n*p
sigma = sqrt(n*p*(1 - p))
print("Forventningsverdi mu =", mu)
print("Standardavvik sigma =", sigma)
Fasit: \(\mu=308\) og \(\sigma\approx14{,}60\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3c - 6 poeng samletHypotesetest med normaltilnærming
Oppgave 3c
Oppgave:
I mai 2016 svarte 334 av 1000 at de ville stemt på partiet. Vurder om dette gir grunnlag for å si at oppslutningen har økt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Formuler nullhypotese
Vi tester mot nivået \(p=0{,}308\) fra valget.
Steg 2 - Bruk normaltilnærming
\[\mu=308,\qquad \sigma\approx14{,}60\]
Steg 3 - Bruk kontinuitetskorreksjon
\[P(X\ge 334)\approx P(Y\ge333{,}5)\]
Steg 4 - Standardiser
\[z=\dfrac{333{,}5-308}{14{,}60}\approx1{,}75\]
Steg 5 - Finn haleareal
\[P(Z\ge1{,}75)\approx0{,}04\]
Steg 6 - Konkluder
Sannsynligheten er rundt 4 prosent dersom oppslutningen ikke har økt. Det gir grunnlag for å si at oppslutningen har økt på 5 prosent nivå.
Tolkning
Dataene gir statistisk grunnlag for å si at oppslutningen har økt, med vanlig 5 prosent signifikansnivå.
Vanlig feil: Å sammenligne 334 bare med 308 uten å ta hensyn til standardavviket.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Normal(308,14.60).P(X>=333.5)
-> \(0{,}04\)
Python
from math import sqrt, erf
n = 1000
p = 0.308
mu = n*p
sigma = sqrt(n*p*(1 - p))
observasjon = 334
z = (observasjon - 0.5 - mu)/sigma
Phi = lambda t: 0.5*(1 + erf(t/sqrt(2)))
p_verdi = 1 - Phi(z)
print("mu =", mu)
print("sigma =", sigma)
print("z med kontinuitetskorreksjon =", z)
print("P(X >= 334) tilnærmet =", p_verdi)
print("Konklusjon ved 5 prosent nivå:", p_verdi < 0.05)
Fasit: Ja, ved 5 prosent nivå: \(P(X\ge334)\approx0{,}04\).
Del 2 - Oppgave 4a - 6 poeng samletFinansmatematikk
Oppgave 4a
Oppgave:
Foreldrene vil ha 100 000 kroner på kontoen når Ole Magnus fyller 18 år. Renten er 2,5 prosent per år. Hvor stort engangsbeløp må settes inn ved fødselen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk nåverdi
Beløpet skal vokse i \(18\) år med vekstfaktor \(1{,}025\).
Steg 2 - Sett opp likning
\[K\cdot1{,}025^{18}=100000\]
Steg 3 - Løs for \(K\)
\[K=\dfrac{100000}{1{,}025^{18}}\]
Steg 4 - Regn ut
\[K\approx64116{,}59\]
Steg 5 - Rund av
Beløpet må være omtrent 64 117 kroner.
Steg 6 - Kontroller
Når dette beløpet forrentes 18 år, blir sluttverdien 100 000 kroner.
Tolkning
Engangsbeløpet er nåverdien av 100 000 kroner om 18 år.
Vanlig feil: Å multiplisere med \(1{,}025^{18}\) i stedet for å dividere.
