S2 eksamenVår 2015

Matematikk S2 eksamen – vår 2015

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo - løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Vår 2015

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS og Python.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samletDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=e^{-2x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Identifiser kjernen

Eksponentialfunksjonen har kjerne \(u=-2x\).

Steg 2 - Bruk kjerneregelen

\[\dfrac{d}{dx}e^{u}=u\prime e^{u}\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u=-2x,\qquad u\prime=-2\]

Steg 4 - Sett inn

\[f\prime(x)=-2e^{-2x}\]

Steg 5 - Kontroller fortegn

Negativ kjernekoeffisient gir negativ faktor foran eksponentialuttrykket.

Steg 6 - Skriv svaret

\[f\prime(x)=-2e^{-2x}\]

Tolkning

Funksjonen er avtakende fordi den deriverte er negativ for alle \(x\).

Vanlig feil: Å skrive \(e^{-2x}\) uten faktoren \(-2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(exp(-2*x))
-> \(-2e^{-2x}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
f = exp(-2*x)
f_derivert = diff(f, x)
forventet = -2*exp(-2*x)
print("Funksjon f(x):", f)
print("Derivert f'(x):", f_derivert)
print("Kontroll f'(x) - forventet:", simplify(f_derivert - forventet))
Fasit: \(f\prime(x)=-2e^{-2x}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samletDerivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{x^2-1}{x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Skriv om uttrykket

\[g(x)=\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=x-x^{-1}\]

Steg 2 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x=1,\qquad \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}\]

Steg 3 - Deriver leddvis

\[g\prime(x)=1-(-x^{-2})\]

Steg 4 - Forenkle

\[g\prime(x)=1+x^{-2}\]

Steg 5 - Skriv som brøk

\[g\prime(x)=1+\dfrac{1}{x^2}\]

Steg 6 - Husk definisjonsmengden

Uttrykket gjelder for \(x\ne 0\) fordi den opprinnelige funksjonen har nevner \(x\).

Tolkning

Den deriverte er positiv for alle lovlige \(x\).

Vanlig feil: Å bruke kvotientregelen feil og miste minusfortegnet i \(-x^{-1}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert((x^2-1)/x)
-> \(1+\dfrac{1}{x^2}\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x')
g = (x**2 - 1)/x
g_skrevet_om = simplify(g)
g_derivert = simplify(diff(g, x))
print("g(x) opprinnelig:", g)
print("g(x) forenklet:", g_skrevet_om)
print("g'(x):", g_derivert)
print("Kontroll mot 1 + 1/x**2:", simplify(g_derivert - (1 + 1/x**2)))
Fasit: \(g\prime(x)=1+\dfrac{1}{x^2}\), \(x\ne 0\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1c - 5 poeng samletProduktregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=(3x+1)e^x+2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Gjenkjenn produktet

Første del er produktet \((3x+1)e^x\). Konstanten \(2\) får derivert \(0\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 3 - Deriver faktorene

\[u=3x+1,\ u\prime=3,\qquad v=e^x,\ v\prime=e^x\]

Steg 4 - Sett inn

\[h\prime(x)=3e^x+(3x+1)e^x\]

Steg 5 - Faktoriser

\[h\prime(x)=(3x+4)e^x\]

Steg 6 - Kontroller konstantleddet

Leddene \(3\) og \(1\) summeres til \(4\) inne i parentesen.

Tolkning

Den deriverte består av samme eksponentialfaktor og en lineær faktor.

Vanlig feil: Å glemme at både parentesen og \(e^x\) skal deriveres i produktet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert((3*x+1)*exp(x)+2)
-> \((3x+4)e^x\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify
x = symbols('x')
h = (3*x + 1)*exp(x) + 2
h_derivert = diff(h, x)
print("h(x):", h)
print("h'(x) utvidet:", h_derivert)
print("h'(x) faktorisert:", factor(h_derivert))
print("Kontroll:", simplify(h_derivert - (3*x + 4)*exp(x)))
Fasit: \(h\prime(x)=(3x+4)e^x\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2a - 3 poeng samletPolynom og faktorisering

Oppgave 2a

Oppgave:

På figuren er grafen til \(f(x)=x^3+x^2+kx+k\), \(D_f=\mathbb{R}\). Faktoriser \(f(x)\) med lineære faktorer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Les nullpunktene av grafen

Grafen skjærer x-aksen ved \(x=-3\), \(x=-1\) og \(x=3\).

Steg 2 - Bruk nullpunkt-faktor-form

\[f(x)=a(x+3)(x+1)(x-3)\]

Steg 3 - Finn ledende koeffisient

I uttrykket er koeffisienten foran \(x^3\) lik \(1\), derfor er \(a=1\).

Steg 4 - Skriv faktoriseringen

\[f(x)=(x+3)(x+1)(x-3)\]

Steg 5 - Kontroller utvidelse

\[(x+3)(x+1)(x-3)=x^3+x^2-9x-9\]

Steg 6 - Sammenlikn med formen i oppgaven

Dette kan brukes i neste del til å finne \(k\).

Tolkning

Lineær faktorisering viser alle skjæringspunktene med x-aksen.

Vanlig feil: Å lese av topp- og bunnpunkt i stedet for nullpunktene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(x^3+x^2-9x-9)
-> \((x+3)(x+1)(x-3)\)

Python

from sympy import symbols, expand, factor
x = symbols('x')
f_faktorisert = (x + 3)*(x + 1)*(x - 3)
f_utvidet = expand(f_faktorisert)
print("Faktorisert form:", f_faktorisert)
print("Utvidet form:", f_utvidet)
print("Kontroll ved faktorisering:", factor(f_utvidet))
Fasit: \(f(x)=(x+3)(x+1)(x-3)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2b - 3 poeng samletParameterbestemmelse

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem verdien for \(k\) ved regning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk resultatet fra faktoriseringen

\[(x+3)(x+1)(x-3)=x^3+x^2-9x-9\]

Steg 2 - Sammenlikn x-leddet

\[kx=-9x\]

Steg 3 - Sammenlikn konstantleddet

\[k=-9\]

Steg 4 - Kontroller at begge steder stemmer

Både koeffisienten foran \(x\) og konstantleddet gir samme verdi.

Steg 5 - Sett inn k

\[f(x)=x^3+x^2-9x-9\]

Steg 6 - Kontroller nullpunktene

Med \(k=-9\) får vi nullpunktene \(-3\), \(-1\) og \(3\), som passer med grafen.

Tolkning

Parameteren bestemmes ved koeffisientsammenlikning.

Vanlig feil: Å bruke bare ett punkt fra grafen uten å kontrollere mot formen \(x^3+x^2+kx+k\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Utvid((x+3)(x+1)(x-3))
-> \(x^3+x^2-9x-9\)

Python

from sympy import symbols, Eq, expand, solve
x, k = symbols('x k')
venstre = expand((x + 3)*(x + 1)*(x - 3))
hoyre = x**3 + x**2 + k*x + k
likning = Eq(venstre, hoyre)
losning = solve(likning, k)
print("Venstre side:", venstre)
print("Hoyre side:", hoyre)
print("k-verdier som passer:", losning)
Fasit: \(k=-9\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3a - 3 poeng samletAritmetiske rekker

Oppgave 3a

Oppgave:

Forklar hva det vil si at en rekke \(a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n\) er aritmetisk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Definer fast differanse

\[a_{i+1}-a_i=d\]

Steg 2 - Forklar med ord

Forskjellen mellom to ledd som følger etter hverandre, er den samme hele tiden.

Steg 3 - Skriv leddformelen

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

Steg 4 - Skriv sumformelen

\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\]

Steg 5 - Knytt til rekke

En aritmetisk rekke er summen av leddene i en aritmetisk følge.

Steg 6 - Kontroller definisjonen

Dersom differansen ikke er fast, er rekken ikke aritmetisk.

Tolkning

I aritmetiske rekker vokser eller minker leddene med samme tillegg hver gang.

Vanlig feil: Å blande fast differanse med fast kvotient.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
a(n):=a1+(n-1)d
-> \(a_n=a_1+(n-1)d\)

Python

from sympy import symbols
n, a1, d = symbols('n a1 d')
an = a1 + (n - 1)*d
an_next = a1 + n*d
print("a_n =", an)
print("a_(n+1) =", an_next)
print("Differanse a_(n+1)-a_n =", an_next - an)
Fasit: En aritmetisk rekke har fast differanse mellom leddene.
Del 1 - Oppgave 3b - 3 poeng samletAritmetisk sum

Oppgave 3b

Oppgave:

En murer skal lage en vegg slik figuren viser. Bruk teori om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Les mønsteret

Øverste rad har \(1\) stein, og hver ny rad har \(2\) flere steiner.

Steg 2 - Sett opp første og siste ledd

\[a_1=1,\qquad d=2,\qquad n=20\]

Steg 3 - Finn siste rad

\[a_{20}=1+(20-1)\cdot 2=39\]

Steg 4 - Bruk sumformelen

\[S_{20}=\dfrac{20(1+39)}{2}\]

Steg 5 - Regn summen

\[S_{20}=400\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Gjennomsnittlig radlengde er \(20\) steiner, og \(20\) rader gir \(400\) steiner.

Tolkning

Mureren trenger totalt 400 murstein.

Vanlig feil: Å bruke 20 som siste radlengde i stedet for å regne ut \(a_{20}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum(1+2*(i-1), i, 1, 20)
-> \(400\)

Python

from sympy import symbols, summation

i = symbols('i', integer=True, positive=True)
antall_i_rad = 1 + 2*(i - 1)
total = summation(antall_i_rad, (i, 1, 20))
print("Antall i rad i:", antall_i_rad)
print("Siste rad:", antall_i_rad.subs(i, 20))
print("Totalt antall murstein:", total)
Fasit: \(400\) murstein (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4a - 4 poeng samletUendelig geometrisk rekke

Oppgave 4a

Oppgave:

Tallet \(x=0{,}555\ldots\) består av uendelig mange 5-tall etter komma. Forklar at tallet kan skrives som \(\dfrac{5}{10}+\dfrac{5}{10^2}+\dfrac{5}{10^3}+\cdots\), og skriv \(x\) som en brøk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Skriv desimaltallet som rekke

\[x=\dfrac{5}{10}+\dfrac{5}{10^2}+\dfrac{5}{10^3}+\cdots\]

Steg 2 - Finn første ledd

\[a_1=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\]

Steg 3 - Finn kvotienten

\[k=\dfrac{1}{10}\]

Steg 4 - Bruk uendelig sum

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Steg 5 - Sett inn

\[x=\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{10}}\]

Steg 6 - Forenkle

\[x=\dfrac{5}{9}\]

Tolkning

Perioden med bare 5-tall gir brøken \(\dfrac{5}{9}\).

Vanlig feil: Å bruke endelig sumformel på en uendelig periodisk desimal.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum((5/10)*(1/10)^(n-1), n, 1, infinity)
-> \(\dfrac{5}{9}\)

Python

from sympy import symbols, Rational, summation, oo
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
ledd = Rational(5, 10)*Rational(1, 10)**(n - 1)
sum_uendelig = summation(ledd, (n, 1, oo))
print("Generelt ledd:", ledd)
print("Uendelig sum:", sum_uendelig)
print("Desimalverdi:", sum_uendelig.evalf())
Fasit: \(x=\dfrac{5}{9}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4b - 4 poeng samletUendelig geometrisk rekke

Oppgave 4b

Oppgave:

Tallet \(y=0{,}232323\ldots\) kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å skrive \(y\) som en brøk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Del inn i perioder

\[y=\dfrac{23}{100}+\dfrac{23}{100^2}+\dfrac{23}{100^3}+\cdots\]

Steg 2 - Finn første ledd

\[a_1=\dfrac{23}{100}\]

Steg 3 - Finn kvotienten

\[k=\dfrac{1}{100}\]

Steg 4 - Bruk formelen

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Steg 5 - Sett inn

\[y=\dfrac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}}\]

Steg 6 - Forenkle

\[y=\dfrac{23}{99}\]

Tolkning

To-sifret periode 23 gir nevner 99.

Vanlig feil: Å skrive \(\dfrac{23}{100}\) som endelig svar og glemme gjentakelsen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum((23/100)*(1/100)^(n-1), n, 1, infinity)
-> \(\dfrac{23}{99}\)

Python

from sympy import symbols, Rational, summation, oo
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
ledd = Rational(23, 100)*Rational(1, 100)**(n - 1)
sum_uendelig = summation(ledd, (n, 1, oo))
print("Generelt ledd:", ledd)
print("Uendelig sum:", sum_uendelig)
print("Desimalverdi:", sum_uendelig.evalf(20))
Fasit: \(y=\dfrac{23}{99}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5a - 8 poeng samletNullpunkt

Oppgave 5a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3+6x^2+9x+4\), \(D_f=\mathbb{R}\). Vis at \(x=-1\) er et nullpunkt til \(f\). Bestem eventuelt andre nullpunkter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sett inn x=-1

\[f(-1)=(-1)^3+6(-1)^2+9(-1)+4=0\]

Steg 2 - Bruk faktorteoremet

Siden \(f(-1)=0\), er \(x+1\) en faktor.

Steg 3 - Faktoriser polynomet

\[x^3+6x^2+9x+4=(x+1)^2(x+4)\]

Steg 4 - Finn nullpunktene

\[(x+1)^2(x+4)=0\]

Steg 5 - Løs faktorene

\[x=-1\quad \text{eller}\quad x=-4\]

Steg 6 - Legg merke til dobbeltrot

Nullpunktet \(-1\) er en dobbeltrot.

Tolkning

Grafen berører x-aksen ved \(-1\) og skjærer den ved \(-4\).

Vanlig feil: Å føre opp \(-1\) to ganger som to ulike nullpunkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(x^3+6x^2+9x+4)
-> \((x+1)^2(x+4)\)

Python

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**3 + 6*x**2 + 9*x + 4
print("f(x) =", f)
print("f(-1) =", f.subs(x, -1))
print("Faktorisert form:", factor(f))
print("Nullpunkter:", solve(f, x))
Fasit: Nullpunktene er \(x=-1\) og \(x=-4\).
Del 1 - Oppgave 5b - 8 poeng samletTopp- og bunnpunkt

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=3x^2+12x+9\]

Steg 2 - Faktoriser den deriverte

\[f\prime(x)=3(x+1)(x+3)\]

Steg 3 - Finn kritiske x-verdier

\[x=-3\quad \text{eller}\quad x=-1\]

Steg 4 - Bruk andrederivert

\[f\prime\prime(x)=6x+12\]

Steg 5 - Klassifiser

\[f\prime\prime(-3)=-6<0,\qquad f\prime\prime(-1)=6>0\]

Steg 6 - Finn y-verdiene

\[f(-3)=4,\qquad f(-1)=0\]

Tolkning

Toppunktet er \((-3,4)\), og bunnpunktet er \((-1,0)\).

Vanlig feil: Å stoppe etter x-verdiene uten å regne y-verdiene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt(x^3+6x^2+9x+4)
-> \((-3,4),\ (-1,0)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 + 6*x**2 + 9*x + 4
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f, x, 2)
print("f'(x) =", f1)
print("f''(x) =", f2)
for verdi in solve(f1, x):
    print("Kritisk x:", verdi, "f(x):", f.subs(x, verdi), "f''(x):", f2.subs(x, verdi))
Fasit: Toppunkt \((-3,4)\), bunnpunkt \((-1,0)\).
Del 1 - Oppgave 5c - 8 poeng samletVendepunkt

Oppgave 5c

Oppgave:

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk andrederivert

\[f\prime\prime(x)=6x+12\]

Steg 2 - Sett lik null

\[6x+12=0\]

Steg 3 - Løs likningen

\[x=-2\]

Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte

Andrederiverte går fra negativ til positiv når \(x\) passerer \(-2\).

Steg 5 - Finn y-verdien

\[f(-2)=2\]

Steg 6 - Skriv koordinat

\[(-2,2)\]

Tolkning

Grafen skifter krumning i \((-2,2)\).

Vanlig feil: Å bruke første derivert i stedet for andre derivert for vendepunkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Vendepunkt(x^3+6x^2+9x+4)
-> \((-2,2)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 + 6*x**2 + 9*x + 4
f2 = diff(f, x, 2)
print("f''(x) =", f2)
for verdi in solve(f2, x):
    print("Vendepunkt x:", verdi)
    print("Vendepunkt y:", f.subs(x, verdi))
Fasit: Vendepunktet er \((-2,2)\).
Del 1 - Oppgave 5d - 8 poeng samletGrafskisse

Oppgave 5d

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Ta med nullpunktene

\[x=-4,\qquad x=-1\]

Steg 2 - Ta med ekstremalpunktene

\[\text{toppunkt }(-3,4),\qquad \text{bunnpunkt }(-1,0)\]

Steg 3 - Ta med vendepunktet

\[(-2,2)\]

Steg 4 - Vurder endeadferd

Ledende ledd er \(x^3\), derfor går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Steg 5 - Bruk dobbeltroten

Ved \(x=-1\) berører grafen x-aksen fordi roten er dobbelt.

Steg 6 - Tegn helheten

Skissen skal gå gjennom alle punktene og skifte krumning ved vendepunktet.

Tolkning

Grafen skjærer x-aksen ved \(-4\) og tangerer x-aksen ved \(-1\).

Vanlig feil: Å tegne grafen slik at den krysser x-aksen ved dobbeltroten \(-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(f)
-> \((x+1)^2(x+4)\)
2
Ekstremalpunkt(f)
-> \((-3,4),\ (-1,0)\)

Python

from sympy import symbols, factor, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 + 6*x**2 + 9*x + 4
print("Faktorisert f:", factor(f))
print("Nullpunkter:", solve(f, x))
print("Ekstremalpunkter:")
for verdi in solve(diff(f, x), x):
    print(verdi, f.subs(x, verdi))
print("Vendepunkt:", solve(diff(f, x, 2), x)[0], f.subs(x, -2))
Fasit: Grafskisse med nullpunkter \(-4\) og \(-1\), toppunkt \((-3,4)\), bunnpunkt \((-1,0)\) og vendepunkt \((-2,2)\).
Del 1 - Oppgave 6a - 5 poeng samletSannsynlighetsfordeling

Oppgave 6a

Oppgave:

En stokastisk variabel \(X\) har verdiene \(0\), \(1\) og \(2\) med sannsynlighetene \(a\), \(b\) og \(c\). Vi får oppgitt \(E(X)=\dfrac12\) og \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac12\). Vis at opplysningene gir likningssystemet

\[a+b+c=1,\qquad b+2c=\dfrac12,\qquad a+b+9c=2\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk total sannsynlighet

\[a+b+c=1\]

Steg 2 - Bruk forventningsverdi

\[E(X)=0a+1b+2c=b+2c=\dfrac12\]

Steg 3 - Bruk variansdefinisjonen

\[\operatorname{Var}(X)=E\left((X-E(X))^2\right)\]

Steg 4 - Sett inn forventningen

\[a\left(0-\dfrac12\right)^2+b\left(1-\dfrac12\right)^2+c\left(2-\dfrac12\right)^2=\dfrac12\]

Steg 5 - Multipliser med 4

\[a+b+9c=2\]

Steg 6 - Samle systemet

De tre likningene gir akkurat likningssystemet i oppgaven.

Tolkning

Likningssystemet uttrykker sum av sannsynligheter, forventning og varians.

Vanlig feil: Å bruke \(E(X^2)\) direkte uten å ta hensyn til at variansen er rundt forventningsverdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs({a+b+c=1, b+2c=1/2, a+b+9c=2})
-> \(a=\dfrac58,\ b=\dfrac14,\ c=\dfrac18\)

Python

from sympy import symbols, Eq, Rational, expand

a, b, c = symbols('a b c')
E = Rational(1, 2)
variansuttrykk = a*(0 - E)**2 + b*(1 - E)**2 + c*(2 - E)**2
print("Sum av sannsynligheter: a + b + c = 1")
print("Forventning: b + 2*c = 1/2")
print("Variansuttrykk:", expand(variansuttrykk))
print("Ganger vi varianslikningen med 4, får vi: a + b + 9*c = 2")
Fasit: Likningssystemet er vist.
Del 1 - Oppgave 6b - 5 poeng samletLikningssystem

Oppgave 6b

Oppgave:

Bestem ved regning verdien av \(a\), \(b\) og \(c\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Start med systemet

\[a+b+c=1,\quad b+2c=\dfrac12,\quad a+b+9c=2\]

Steg 2 - Trekk første likning fra tredje

\[8c=1\]

Steg 3 - Finn c

\[c=\dfrac18\]

Steg 4 - Bruk forventningslikningen

\[b+2\cdot\dfrac18=\dfrac12\]

Steg 5 - Finn b

\[b=\dfrac14\]

Steg 6 - Finn a

\[a=1-\dfrac14-\dfrac18=\dfrac58\]

Tolkning

Alle sannsynlighetene er positive og summerer til 1.

Vanlig feil: Å glemme at varianslikningen ble multiplisert med 4.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs({a+b+c=1, b+2c=1/2, a+b+9c=2})
-> \(a=\dfrac58,\ b=\dfrac14,\ c=\dfrac18\)

Python

from sympy import symbols, Eq, Rational, solve

a, b, c = symbols('a b c')
likninger = [
    Eq(a + b + c, 1),
    Eq(b + 2*c, Rational(1, 2)),
    Eq(a + b + 9*c, 2)
]
losning = solve(likninger, (a, b, c), dict=True)[0]
print("Likninger:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning)
print("Losning:", losning)
print("Kontroll sum:", losning[a] + losning[b] + losning[c])
Fasit: \(a=\dfrac58\), \(b=\dfrac14\), \(c=\dfrac18\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 7a - 4 poeng samletNormalfordeling

Oppgave 7a

Oppgave:

Vekten \(X\) av voksne hjortebukker er normalfordelt med \(\mu=100\) kg og \(\sigma=20\) kg. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mindre enn 90 kg.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Standardiser

\[Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\]

Steg 2 - Sett inn 90 kg

\[z=\dfrac{90-100}{20}=-0{,}5\]

Steg 3 - Bruk normalfordelingstabellen

\[P(X<90)=P(Z<-0{,}5)\]

Steg 4 - Les av tabellen

\[P(Z<-0{,}5)\approx 0{,}3085\]

Steg 5 - Skriv prosent

\[0{,}3085\approx 30{,}85\%\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

90 kg ligger en halv standardavvik under forventningen, så sannsynligheten skal være mindre enn 0,5.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 31 prosent.

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}5\) i stedet for \(-0{,}5\) i tabellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Normalfordeling(100, 20, 90)
-> \(0{,}3085\)

Python

from statistics import NormalDist

mu = 100
sigma = 20
grense = 90
normal = NormalDist(mu=mu, sigma=sigma)
z = (grense - mu)/sigma
sannsynlighet = normal.cdf(grense)
print("mu =", mu)
print("sigma =", sigma)
print("z-verdi =", z)
print("P(X < 90) =", round(sannsynlighet, 4))
Fasit: \(P(X<90)\approx 0{,}3085\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 7b - 4 poeng samletNormalfordeling

Oppgave 7b

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mellom 90 kg og 110 kg.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Standardiser nedre grense

\[z_1=\dfrac{90-100}{20}=-0{,}5\]

Steg 2 - Standardiser øvre grense

\[z_2=\dfrac{110-100}{20}=0{,}5\]

Steg 3 - Skriv sannsynligheten

\[P(90

Steg 4 - Bruk tabellen

\[P(Z<0{,}5)-P(Z<-0{,}5)\]

Steg 5 - Sett inn tabellverdier

\[0{,}6915-0{,}3085=0{,}3830\]

Steg 6 - Skriv prosent

\[0{,}3830\approx 38{,}30\%\]

Tolkning

Intervallet er symmetrisk rundt forventningen, og sannsynligheten er omtrent 38 prosent.

Vanlig feil: Å legge de to tabellverdiene sammen i stedet for å trekke dem fra.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Normalfordeling(100,20,110)-Normalfordeling(100,20,90)
-> \(0{,}3830\)

Python

from statistics import NormalDist

mu = 100
sigma = 20
nedre = 90
ovre = 110
normal = NormalDist(mu=mu, sigma=sigma)
sannsynlighet = normal.cdf(ovre) - normal.cdf(nedre)
print("Nedre z-verdi =", (nedre - mu)/sigma)
print("Ovre z-verdi =", (ovre - mu)/sigma)
print("P(90 < X < 110) =", round(sannsynlighet, 4))
Fasit: \(P(90
Del 1 - Oppgave 8 - 4 poengLogistiske funksjoner

Oppgave 8

Oppgave:

Avgjør hvilken graf som hører til funksjonen \(f(x)=\dfrac{100}{1+e^{-x}}-25\) og hvilken graf som hører til funksjonen \(g(x)=\dfrac{100}{1+e^{-(x-5)}}\). Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Finn grenseverdier for f

\[\lim_{x\to -\infty} f(x)=-25,\qquad \lim_{x\to \infty} f(x)=75\]

Steg 2 - Finn midtpunkt for f

\[f(0)=\dfrac{100}{2}-25=25\]

Steg 3 - Sammenlikn med grafene

Grafen med nedre asymptote omtrent \(-25\) og øvre asymptote \(75\) er graf 4.

Steg 4 - Finn grenseverdier for g

\[\lim_{x\to -\infty} g(x)=0,\qquad \lim_{x\to \infty} g(x)=100\]

Steg 5 - Finn forskyvningen

\[g(5)=\dfrac{100}{2}=50\]

Steg 6 - Sammenlikn med grafene

Grafen med vendepunkt rundt \(x=5\) og øvre asymptote \(100\) er graf 1.

Tolkning

Funksjonen \(f\) hører til graf 4, og \(g\) hører til graf 1.

Vanlig feil: Å bare se på øvre asymptote og glemme den horisontale forskyvningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
f(x):=100/(1+exp(-x))-25
-> \(\text{graf }4\)
2
g(x):=100/(1+exp(-(x-5)))
-> \(\text{graf }1\)

Python

from sympy import symbols, exp, limit, oo
x = symbols('x')
f = 100/(1 + exp(-x)) - 25
g = 100/(1 + exp(-(x - 5)))
print("f(-uendelig) =", limit(f, x, -oo))
print("f(uendelig) =", limit(f, x, oo))
print("f(0) =", f.subs(x, 0))
print("g(-uendelig) =", limit(g, x, -oo))
print("g(uendelig) =", limit(g, x, oo))
print("g(5) =", g.subs(x, 5))
Fasit: \(f\) er graf 4, og \(g\) er graf 1.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1a - 6 poeng samletRegresjon

Oppgave 1a

Oppgave:

De daglige kostnadene i kroner ved produksjon av \(x\) enheter er gitt i en tabell. Bruk regresjon til å bestemme et andregradsuttrykk for \(K(x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Velg modelltype

\[K(x)=ax^2+bx+c\]

Steg 2 - Legg inn tabellverdiene

Bruk punktene \((40,1200),(50,2200),\ldots,(100,13700)\) i regresjonsverktøy.

Steg 3 - Kjør andregradsregresjon

\[K(x)\approx 2{,}1786x^2-96{,}7857x+1585{,}7143\]

Steg 4 - Rund av for bruk

\[K(x)\approx 2{,}18x^2-96{,}79x+1585{,}71\]

Steg 5 - Kontroller modellform

Kostnaden øker raskere etter hvert, så positiv andregradskoeffisient er rimelig.

Steg 6 - Bruk modellen videre

Dette uttrykket brukes i overskuddsoppgavene.

Tolkning

Andregradsmodellen beskriver en økende marginalkostnad.

Vanlig feil: Å bruke lineær regresjon når oppgaven ber om andregradsuttrykk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
RegPoly({(40,1200),...,(100,13700)}, 2)
-> \(2{,}1786x^2-96{,}7857x+1585{,}7143\)

Python

import numpy as np

xverdier = np.array([40, 50, 60, 70, 80, 90, 100], dtype=float)
kostnader = np.array([1200, 2200, 3600, 5500, 7800, 10500, 13700], dtype=float)
koeffisienter = np.polyfit(xverdier, kostnader, 2)
a, b, c = koeffisienter
print("Andregradsregresjon K(x) = a*x**2 + b*x + c")
print("a =", round(a, 6))
print("b =", round(b, 6))
print("c =", round(c, 6))
print(f"K(x) = {a:.4f}*x**2 + ({b:.4f})*x + {c:.4f}")
Fasit: \(K(x)\approx 2{,}1786x^2-96{,}7857x+1585{,}7143\).
Del 2 - Oppgave 1b - 6 poeng samletØkonomisk optimering

Oppgave 1b

Oppgave:

Inntektene er gitt ved \(I(x)=p\cdot x\), der \(p\) er prisen. Hva må \(p\) være dersom overskuddet skal bli størst når det produseres og selges 75 enheter per dag? Hvor stort blir overskuddet da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Skriv overskuddet

\[O(x)=px-K(x)\]

Steg 2 - Deriver overskuddet

\[O\prime(x)=p-K\prime(x)\]

Steg 3 - Krav for maksimum ved 75

\[O\prime(75)=0\]

Steg 4 - Finn prisen

\[p=K\prime(75)\approx 230\]

Steg 5 - Regn overskuddet

\[O(75)=230\cdot 75-K(75)\approx 10668{,}75\]

Steg 6 - Kontroller andrederivert

Siden \(O\prime\prime(x)=-K\prime\prime(x)<0\), er punktet et maksimum.

Tolkning

Prisen må være omtrent 230 kroner, og overskuddet blir omtrent 10 669 kroner.

Vanlig feil: Å sette \(p=75\) fordi produksjonsmengden er 75.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(p*x-K(x))=0 ved x=75
-> \(p\approx 230\)
2
p*75-K(75)
-> \(10668{,}75\)

Python

import sympy as sp

x, p = sp.symbols('x p')
K = 2.17857142857143*x**2 - 96.7857142857143*x + 1585.71428571429
O = p*x - K
betingelse = sp.Eq(sp.diff(O, x).subs(x, 75), 0)
pris = sp.solve(betingelse, p)[0]
overskudd = O.subs({x: 75, p: pris})
print("K(x) =", K)
print("O(x) =", O)
print("Likning for maksimum ved x = 75:", betingelse)
print("Pris p =", round(float(pris), 2))
print("Overskudd ved x = 75:", round(float(overskudd), 2))
Fasit: \(p\approx 230\) kroner og \(O_{\max}\approx 10668{,}75\) kroner.
Del 2 - Oppgave 1c - 6 poeng samletMarkedsanalyse og optimering

Oppgave 1c

Oppgave:

Markedsanalysen viser sammenhengen \(x=200-1{,}2p\). Bestem hvilken pris som vil gi størst overskudd per dag.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Løs sammenhengen for p

\[p=\dfrac{200-x}{1{,}2}\]

Steg 2 - Skriv inntekten som funksjon av x

\[I(x)=px=x\cdot \dfrac{200-x}{1{,}2}\]

Steg 3 - Skriv overskuddet

\[O(x)=\dfrac{x(200-x)}{1{,}2}-K(x)\]

Steg 4 - Deriver og sett lik null

\[O\prime(x)=0\]

Steg 5 - Finn optimal mengde

\[x\approx 43{,}74\]

Steg 6 - Finn prisen

\[p=\dfrac{200-43{,}74}{1{,}2}\approx 130{,}22\]

Tolkning

Størst overskudd fås ved pris omtrent 130 kroner.

Vanlig feil: Å maksimere inntekten alene og glemme kostnadsfunksjonen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Maksimer(x*(200-x)/1.2-K(x))
-> \(x\approx 43{,}74,\ p\approx 130{,}22\)

Python

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
K = 2.17857142857143*x**2 - 96.7857142857143*x + 1585.71428571429
p = (200 - x)/1.2
I = p*x
O = I - K
kritiske = sp.solve(sp.Eq(sp.diff(O, x), 0), x)
for xverdi in kritiske:
    pris = p.subs(x, xverdi)
    overskudd = O.subs(x, xverdi)
    print("Optimal mengde x =", round(float(xverdi), 4))
    print("Optimal pris p =", round(float(pris), 4))
    print("Maksimalt overskudd =", round(float(overskudd), 4))
Fasit: \(p\approx 130{,}22\) kroner.
Del 2 - Oppgave 2a - 6 poeng samletFunksjonsmodell

Oppgave 2a

Oppgave:

Metningsgraden er gitt ved \(g(x)=\dfrac{x^3}{x^3+25000}\), \(x\ge 0\). Bruk graftegner til å tegne grafen til \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Skriv funksjonen

\[g(x)=\dfrac{x^3}{x^3+25000}\]

Steg 2 - Sett definisjonsområde

\[x\ge 0\]

Steg 3 - Finn startverdi

\[g(0)=0\]

Steg 4 - Finn horisontal grense

\[\lim_{x\to \infty}g(x)=1\]

Steg 5 - Tegn i grafverktøy

Grafen starter i \((0,0)\) og nærmer seg \(y=1\).

Steg 6 - Kontroller form

Metningsgrad skal ligge mellom \(0\) og \(1\).

Tolkning

Grafen er voksende og nærmer seg metningsgrad 1.

Vanlig feil: Å tegne med negativt x-område som om det hadde fysisk mening.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
g(x):=x^3/(x^3+25000)
-> \(\text{voksende mot }1\)

Python

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', nonnegative=True)
g = x**3/(x**3 + 25000)
print("g(x) =", g)
print("g(0) =", g.subs(x, 0))
print("g(50) =", round(float(g.subs(x, 50)), 4))
print("Grenseverdi når x går mot uendelig:", sp.limit(g, x, sp.oo))
Fasit: Grafen starter i \((0,0)\) og nærmer seg \(y=1\).
Del 2 - Oppgave 2b - 6 poeng samletGrafisk ulikhet

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem grafisk hva deltrykket \(x\) må være for at \(g(x)>0{,}8\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sett opp ulikheten

\[\dfrac{x^3}{x^3+25000}>0{,}8\]

Steg 2 - Finn skjæringen med y=0,8

\[\dfrac{x^3}{x^3+25000}=0{,}8\]

Steg 3 - Løs likningen

\[x^3=100000\]

Steg 4 - Ta tredjerot

\[x=\sqrt[3]{100000}\approx 46{,}4\]

Steg 5 - Bruk voksende graf

Siden grafen er voksende, er metningsgraden større enn 0,8 for større x-verdier.

Steg 6 - Skriv intervallet

\[x>46{,}4\]

Tolkning

Deltrykket må være større enn omtrent 46,4 mmHg.

Vanlig feil: Å svare \(x=46{,}4\) i stedet for ulikheten \(x>46{,}4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(x^3/(x^3+25000)=0.8)
-> \(x\approx 46{,}4\)

Python

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', positive=True)
g = x**3/(x**3 + 25000)
losning = sp.solve(sp.Eq(g, sp.Rational(8, 10)), x)[0]
print("Likning: g(x) = 0.8")
print("Eksakt x-verdi:", losning)
print("Numerisk x-verdi:", round(float(losning), 4))
print("Fordi g er voksende, er svaret x >", round(float(losning), 4))
Fasit: \(x>46{,}4\) mmHg.
Del 2 - Oppgave 2c - 6 poeng samletDerivasjon og monotoni

Oppgave 2c

Oppgave:

Bruk derivasjon til å vise at metningsgraden øker dersom deltrykket øker. Forklar.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Deriver funksjonen

\[g\prime(x)=\dfrac{75000x^2}{(x^3+25000)^2}\]

Steg 2 - Vurder nevneren

Nevneren er et kvadrat og er positiv for \(x\ge 0\).

Steg 3 - Vurder telleren

Telleren \(75000x^2\) er ikke-negativ for \(x\ge 0\).

Steg 4 - Konkluder monotoni

\[g\prime(x)\ge 0\quad \text{for}\quad x\ge 0\]

Steg 5 - Streng vekst

For \(x>0\) er den deriverte positiv.

Steg 6 - Forklar praktisk

Når deltrykket øker, bindes mer oksygen til hemoglobin.

Tolkning

Metningsgraden øker med deltrykket i modellen.

Vanlig feil: Å si at grafen øker bare fordi den ser slik ut, uten å bruke den deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(x^3/(x^3+25000))
-> \(\dfrac{75000x^2}{(x^3+25000)^2}\)

Python

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', nonnegative=True)
g = x**3/(x**3 + 25000)
g_derivert = sp.simplify(sp.diff(g, x))
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("g'(10) =", float(g_derivert.subs(x, 10)))
print("g'(50) =", float(g_derivert.subs(x, 50)))
print("Den deriverte er positiv for x > 0")
Fasit: \(g\prime(x)=\dfrac{75000x^2}{(x^3+25000)^2}\ge 0\).
Del 2 - Oppgave 3 - 3 poengHypotesetesting

Oppgave 3

Oppgave:

Fettinnholdet i 10 hamburgere var \(11,10,11,12,9,10,11,12,10,11\). Anta normalfordeling med kjent standardavvik \(\sigma=3\). Test påstanden om at fettinnholdet er for stort når bedriften oppgir \(\mu=10\). Bruk signifikansnivå 5 prosent.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sett hypotesene

\[H_0:\mu=10,\qquad H_1:\mu>10\]

Steg 2 - Finn gjennomsnittet

\[\bar{x}=10{,}7\]

Steg 3 - Bruk testobservator

\[z=\dfrac{\bar{x}-10}{3/\sqrt{10}}\]

Steg 4 - Regn z-verdi

\[z\approx 0{,}738\]

Steg 5 - Finn p-verdi

\[p=P(Z>0{,}738)\approx 0{,}230\]

Steg 6 - Sammenlikn med 0,05

Siden \(0{,}230>0{,}05\), forkaster vi ikke nullhypotesen.

Tolkning

Dataene gir ikke sterk nok evidens på 5 prosent nivå for at gjennomsnittet er over 10 g.

Vanlig feil: Å forkaste nullhypotesen bare fordi utvalgsgjennomsnittet er større enn 10.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
ZTest({11,10,11,12,9,10,11,12,10,11}, 10, 3, >)
-> \(p\approx 0{,}230\)

Python

from statistics import NormalDist
from math import sqrt

observasjoner = [11, 10, 11, 12, 9, 10, 11, 12, 10, 11]
mu0 = 10
sigma = 3
n = len(observasjoner)
gjennomsnitt = sum(observasjoner)/n
z = (gjennomsnitt - mu0)/(sigma/sqrt(n))
p_verdi = 1 - NormalDist().cdf(z)
print("n =", n)
print("Gjennomsnitt =", gjennomsnitt)
print("z =", round(z, 4))
print("p-verdi =", round(p_verdi, 4))
print("Forkast H0 ved 5 prosent?", p_verdi < 0.05)
Fasit: Vi forkaster ikke \(H_0\). Påstanden er ikke godt nok dokumentert på 5 prosent nivå.
Del 2 - Oppgave 4a - 4 poeng samletFinansmatematikk

Oppgave 4a

Oppgave:

Kristin vil ha 2 millioner kroner på konto når hun fyller 60 år. Hun setter inn et fast årlig beløp første gang når hun fyller 25 år og siste gang når hun fyller 59 år. Årlig rente er 5 prosent. Vis at hun må sette inn omtrent 21 000 kroner hvert år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Tell innbetalingene

Fra 25 til 59 år er det \(35\) innbetalinger.

Steg 2 - Bruk sluttverdi av etterskudds/årsinnbetalinger med første innbetaling som vokser til 60

\[2\,000\,000=A\cdot 1{,}05\cdot \dfrac{1{,}05^{35}-1}{0{,}05}\]

Steg 3 - Løs for A

\[A=\dfrac{2\,000\,000}{1{,}05\cdot \frac{1{,}05^{35}-1}{0{,}05}}\]

Steg 4 - Regn ut

\[A\approx 21089\]

Steg 5 - Rund til nærmeste tusen

\[A\approx 21\,000\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Lang spareperiode og rente gjør at årlig beløp er langt mindre enn \(2\,000\,000/35\).

Tolkning

Årlig innbetaling blir omtrent 21 000 kroner.

Vanlig feil: Å glemme at første innbetaling rekker å forrente seg fram til 60-årsdagen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(A*1.05*(1.05^35-1)/0.05=2000000)
-> \(A\approx 21089\)

Python

from math import pow

sluttverdi = 2_000_000
rente = 0.05
vekstfaktor = 1 + rente
antall_innbetalinger = 35
sparefaktor = vekstfaktor*(vekstfaktor**antall_innbetalinger - 1)/rente
arlig_belop = sluttverdi/sparefaktor
print("Sluttverdi:", sluttverdi)
print("Antall innbetalinger:", antall_innbetalinger)
print("Sparefaktor:", round(sparefaktor, 4))
print("Arlig belop:", round(arlig_belop, 2))
print("Rundet belop:", round(arlig_belop, -3))
Fasit: \(A\approx 21\,000\) kroner per år.
Del 2 - Oppgave 4b - 4 poeng samletFinansmatematikk

Oppgave 4b

Oppgave:

Den dagen Kristin fyller 60 år, vil hun ta ut 200 000 kroner. Det samme vil hun gjøre på hver av de fire neste fødselsdagene. Hvor stort beløp har Kristin på kontoen den dagen hun fyller 65 år?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Start med saldo

\[B_{60}=2\,000\,000\]

Steg 2 - Trekk første uttak

\[B=2\,000\,000-200\,000=1\,800\,000\]

Steg 3 - Forrent mellom fødselsdagene

Etter hvert uttak vokser restbeløpet med faktor \(1{,}05\) til neste fødselsdag.

Steg 4 - Gjenta for fem uttak

\[B_{65}=\left(\left(\left(\left(\left(2\,000\,000-200\,000\right)1{,}05-200\,000\right)1{,}05-200\,000\right)1{,}05-200\,000\right)1{,}05-200\,000\right)1{,}05\]

Steg 5 - Regn ut

\[B_{65}\approx 1\,392\,181\]

Steg 6 - Tolk

Beløpet er fortsatt over 1,3 millioner kroner fordi restsaldoen forrentes.

Tolkning

På 65-årsdagen har hun omtrent 1,39 millioner kroner igjen.

Vanlig feil: Å ta fem uttak uten å legge til rente mellom uttakene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Iterer saldo med rente 5% og uttak 200000
-> \(1\,392\,181\)

Python

saldo = 2_000_000
uttak = 200_000
vekstfaktor = 1.05

print("Startsaldo ved 60 ar:", saldo)
for alder in [60, 61, 62, 63, 64]:
    saldo -= uttak
    print(f"Etter uttak ved {alder} ar: {saldo:.2f}")
    saldo *= vekstfaktor
    print(f"Etter rente fram til {alder + 1} ar: {saldo:.2f}")
print("Saldo ved 65 ar:", round(saldo, 2))
Fasit: \(B_{65}\approx 1\,392\,181\) kroner.
Del 2 - Oppgave 5a - 5 poeng samletLogistisk funksjon

Oppgave 5a

Oppgave:

Grafen til en logistisk funksjon \(f(x)=\dfrac{a}{1+b\cdot e^{-kx}}\) er skissert. Grafen skjærer y-aksen i punktet \(P\). Bestem y-koordinaten til \(P\) uttrykt ved \(a\) og \(b\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Y-aksen betyr x=0

\[x=0\]

Steg 2 - Sett inn i funksjonen

\[f(0)=\dfrac{a}{1+b\cdot e^{-k\cdot 0}}\]

Steg 3 - Bruk e^0=1

\[f(0)=\dfrac{a}{1+b}\]

Steg 4 - Tolk punktet P

Punktet \(P\) har koordinat \((0,f(0))\).

Steg 5 - Skriv y-koordinaten

\[y_P=\dfrac{a}{1+b}\]

Steg 6 - Kontroller parameteravhengighet

Verdien avhenger ikke direkte av \(k\) fordi \(e^0=1\).

Tolkning

Y-koordinaten til skjæringen med y-aksen er \(\dfrac{a}{1+b}\).

Vanlig feil: Å sette \(e^{-k\cdot 0}=0\) i stedet for \(1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
f(0)
-> \(\dfrac{a}{1+b}\)

Python

import sympy as sp

x, a, b, k = sp.symbols('x a b k', positive=True)
f = a/(1 + b*sp.exp(-k*x))
y_P = sp.simplify(f.subs(x, 0))
print("f(x) =", f)
print("f(0) =", y_P)
Fasit: \(y_P=\dfrac{a}{1+b}\).
Del 2 - Oppgave 5b - 5 poeng samletCAS og vendepunkt

Oppgave 5b

Oppgave:

Bruk CAS og derivasjon til å vise at vendepunktet \(V\) har y-koordinat lik \(\dfrac{a}{2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Deriver to ganger

I CAS finner vi \(f\prime(x)\) og \(f\prime\prime(x)\).

Steg 2 - Sett andrederivert lik null

\[f\prime\prime(x)=0\]

Steg 3 - CAS gir x-verdi

\[x=\dfrac{\ln(b)}{k}\]

Steg 4 - Sett x-verdien inn i f

\[f\left(\dfrac{\ln(b)}{k}\right)=\dfrac{a}{2}\]

Steg 5 - Tolk vendepunktet

Dette er midt på spranget fra nedre nivå \(0\) til øvre nivå \(a\).

Steg 6 - Konkluder

\[y_V=\dfrac{a}{2}\]

Tolkning

Vendepunktet ligger på halvparten av bærekapasiteten \(a\).

Vanlig feil: Å anta at vendepunktet alltid har \(x=0\); det gjelder bare når \(b=1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(f(x)=0)
-> \(x=\dfrac{\ln(b)}{k}\)
2
f(ln(b)/k)
-> \(\dfrac{a}{2}\)

Python

import sympy as sp

x, a, b, k = sp.symbols('x a b k', positive=True)
f = a/(1 + b*sp.exp(-k*x))
f1 = sp.diff(f, x)
f2 = sp.simplify(sp.diff(f, x, 2))
x_v = sp.log(b)/k
y_v = sp.simplify(f.subs(x, x_v))
print("f'(x) =", sp.factor(f1))
print("f''(x) =", sp.factor(f2))
print("x-verdi for vendepunkt:", x_v)
print("y-verdi i vendepunkt:", y_v)
Fasit: \(y_V=\dfrac{a}{2}\).
Del 2 - Oppgave 5c - 5 poeng samletCAS og tangentstigning

Oppgave 5c

Oppgave:

Bruk CAS til å vise at tangenten i \(V\) har stigningstall lik \(\dfrac{a\cdot k}{4}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk den deriverte

Stigningstallet i et punkt er verdien av \(f\prime(x)\) i punktets x-verdi.

Steg 2 - Bruk x-verdien fra vendepunktet

\[x_V=\dfrac{\ln(b)}{k}\]

Steg 3 - Sett inn i f prime

\[f\prime\left(\dfrac{\ln(b)}{k}\right)\]

Steg 4 - CAS forenkler uttrykket

\[f\prime\left(\dfrac{\ln(b)}{k}\right)=\dfrac{ak}{4}\]

Steg 5 - Tolk stigningstallet

Det er størst vekst i vendepunktet for en logistisk funksjon.

Steg 6 - Konkluder

\[m_V=\dfrac{ak}{4}\]

Tolkning

Tangenten i vendepunktet har stigningstall \(\dfrac{ak}{4}\).

Vanlig feil: Å sette inn y-verdien \(a/2\) i den deriverte i stedet for x-verdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
f'(ln(b)/k)
-> \(\dfrac{ak}{4}\)

Python

import sympy as sp

x, a, b, k = sp.symbols('x a b k', positive=True)
f = a/(1 + b*sp.exp(-k*x))
f1 = sp.diff(f, x)
x_v = sp.log(b)/k
stigning = sp.simplify(f1.subs(x, x_v))
print("f'(x) =", sp.factor(f1))
print("x_V =", x_v)
print("Stigningstall i V =", stigning)
print("Kontroll mot a*k/4:", sp.simplify(stigning - a*k/4))
Fasit: \(m_V=\dfrac{ak}{4}\).