Matematikk S2 eksamen Våren 2014 - løsningsforslag

Originalt ifingo-løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med nøytral kodevisning.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 3 poeng samletDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=\dfrac{3}{x^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Skriv som potens

f(x)=3x^{-2}

Steg 2 - Bruk potensregelen

\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Steg 3 - Deriver leddet

f\prime(x)=3\cdot(-2)x^{-3}

Steg 4 - Forenkle koeffisienten

f\prime(x)=-6x^{-3}

Steg 5 - Skriv som brøk

f\prime(x)=-\dfrac{6}{x^3}

Steg 6 - Kontroller definisjonsmengden

Både funksjonen og den deriverte gjelder for \(x\ne 0\).

Tolkning

Den deriverte er negativ når \(x\) er positiv, og positiv når \(x\) er negativ.

Vanlig feil: Å derivere nevneren direkte og få feil fortegn eller feil potens.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(3/x^2)

-> \(-\dfrac{6}{x^3}\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x')
f = 3/x**2
f_derivert = diff(f, x)
forventet = -6/x**3
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Kontroll f'(x) - forventet =", simplify(f_derivert - forventet))

Fasit: \(f\prime(x)=-\dfrac{6}{x^3}\), \(x\ne 0\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 1b - 3 poeng samletProduktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=x\cdot e^{-4x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Identifiser produktet

Vi har produktet av \(x\) og \(e^{-4x}\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

(uv)\prime=u\prime v+uv\prime

Steg 3 - Deriver faktorene

u=x,\ u\prime=1,\qquad v=e^{-4x},\ v\prime=-4e^{-4x}

Steg 4 - Sett inn

g\prime(x)=1\cdot e^{-4x}+x\cdot(-4e^{-4x})

Steg 5 - Faktoriser

g\prime(x)=(1-4x)e^{-4x}

Steg 6 - Kontroller fortegnet

Minusfortegnet kommer fra kjernen \(-4x\).

Tolkning

Den deriverte skifter fortegn ved \(x=\dfrac{1}{4}\).

Vanlig feil: Å glemme produktregelen og bare derivere eksponentialdelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(x*exp(-4*x))

-> \((1-4x)e^{-4x}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify
x = symbols('x')
g = x*exp(-4*x)
g_derivert = diff(g, x)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) utvidet =", g_derivert)
print("g'(x) faktorisert =", factor(g_derivert))
print("Kontroll =", simplify(g_derivert - (1 - 4*x)*exp(-4*x)))

Fasit: \(g\prime(x)=(1-4x)e^{-4x}\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 2a - 3 poeng samletPolynom

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-3x^2+4\), \(D_P=\mathbb{R}\). Bestem \(P(2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sett inn verdien

P(2)=2^3-3\cdot 2^2+4

Steg 2 - Regn potensene

P(2)=8-3\cdot4+4

Steg 3 - Multipliser

\[P(2)=8-12+4\]

Steg 4 - Summer

\[P(2)=0\]

Steg 5 - Tolk nullverdien

Når \(P(2)=0\), er \(x=2\) et nullpunkt.

Steg 6 - Bruk i neste del

Dette betyr at \((x-2)\) er en faktor i polynomet.

Tolkning

Verdien null gjør at vi kan bruke polynomdivisjon med \(x-2\).

Vanlig feil: Å sette inn \(2\) bare i første ledd og glemme resten av polynomet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

P(2), P(x):=x^3-3x^2+4

-> \(0\)

Python

from sympy import symbols
x = symbols('x')
P = x**3 - 3*x**2 + 4
verdi = P.subs(x, 2)
print("P(x) =", P)
print("P(2) =", verdi)

Fasit: \(P(2)=0\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 2b - 3 poeng samletPolynomdivisjon

Oppgave 2b

Oppgave:

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere \(P(x)\) i lineære faktorer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk nullpunktet

Siden \(P(2)=0\), er \((x-2)\) en faktor.

Steg 2 - Del polynomet

\dfrac{x^3-3x^2+4}{x-2}=x^2-x-2

Steg 3 - Faktoriser andregradsleddet

\[x^2-x-2=(x-2)(x+1)\]

Steg 4 - Sett sammen faktorene

\[P(x)=(x-2)(x-2)(x+1)\]

Steg 5 - Skriv med potens

\[P(x)=(x-2)^2(x+1)\]

Steg 6 - Kontroller ved utvidelse

\[(x-2)^2(x+1)=x^3-3x^2+4\]

Tolkning

Polynomet har dobbelt nullpunkt i \(x=2\) og ett nullpunkt i \(x=-1\).

Vanlig feil: Å stoppe etter én polynomdivisjon uten å faktorisere andregradsuttrykket.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Faktoriser(x^3-3*x^2+4)

-> \((x-2)^2(x+1)\)

Python

from sympy import symbols, factor, expand
x = symbols('x')
P = x**3 - 3*x**2 + 4
faktorisert = factor(P)
utvidet = expand((x - 2)**2*(x + 1))
print("P(x) =", P)
print("Faktorisert P(x) =", faktorisert)
print("Utvidet kontroll =", utvidet)

Fasit: \(P(x)=(x-2)^2(x+1)\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 3a - 4 poeng samletAritmetisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

Bestem summen av den aritmetiske rekken \(3+6+\cdots+300\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Finn første ledd og differanse

a_1=3,\qquad d=3

Steg 2 - Finn antall ledd

a_n=3n,\qquad 3n=300

Steg 3 - Løs for antall ledd

\[n=100\]

Steg 4 - Bruk sumformelen

S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}

Steg 5 - Sett inn

S_{100}=\dfrac{100(3+300)}{2}

Steg 6 - Regn ut

S_{100}=15150

Tolkning

Summen av de 100 første positive multipla av 3 til og med 300 er 15150.

Vanlig feil: Å tro at antall ledd er 300 i stedet for 100.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Sum(3*n, n, 1, 100)

-> \(15150\)

Python

from sympy import symbols, summation
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
ledd = 3*n
sum_rekke = summation(ledd, (n, 1, 100))
print("Generelt ledd:", ledd)
print("Antall ledd:", 100)
print("Sum:", sum_rekke)

Fasit: \(S=15150\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 3b - 4 poeng samletAritmetisk følge

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem \(a_2\) slik at rekken \(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\) blir aritmetisk når \(a_1=4\) og \(a_n=a_{n-2}+8,\ n\ge 3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk rekursjonen på tredje ledd

\[a_3=a_1+8=4+8=12\]

Steg 2 - Krav for aritmetisk følge

I en aritmetisk følge er \(a_1,a_2,a_3\) like langt fra hverandre.

Steg 3 - Skriv differansen

\[a_2-a_1=a_3-a_2\]

Steg 4 - Sett inn tall

\[a_2-4=12-a_2\]

Steg 5 - Løs likningen

2a_2=16\qquad\Rightarrow\qquad a_2=8

Steg 6 - Kontroller

Da blir følgen \(4,8,12,16,\ldots\), med fast differanse \(4\).

Tolkning

Verdien \(a_2=8\) gjør at alle leddene ligger i samme aritmetiske mønster.

Vanlig feil: Å sette \(a_2=a_1+8\) selv om rekursjonen hopper to plasser fram.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs(a2-4=12-a2, a2)

-> \(a_2=8\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
A2 = symbols('A2')
a1 = 4
a3 = a1 + 8
likning = Eq(A2 - a1, a3 - A2)
losning = solve(likning, A2)
print("a1 =", a1)
print("a3 =", a3)
print("Likning:", likning)
print("a2 =", losning[0])

Fasit: \(a_2=8\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 4 - 3 poengLikningssystem

Oppgave 4

Oppgave:

Ved en konsert var billettprisen 100 kroner for voksne, 50 kroner for barn og 60 kroner for pensjonister. Det ble solgt 80 billetter. Billettinntektene var 5000 kroner. Det ble solgt like mange billetter til barn som til voksne og pensjonister til sammen. Sett opp et likningssystem og bestem antall voksne, barn og pensjonister.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Definer variabler

La \(v\) være voksne, \(b\) barn og \(p\) pensjonister.

Steg 2 - Sett opp antallslikningen

\[v+b+p=80\]

Steg 3 - Sett opp inntektslikningen

\[100v+50b+60p=5000\]

Steg 4 - Bruk opplysningen om barn

\[b=v+p\]

Steg 5 - Sett inn i antallslikningen

v+(v+p)+p=80\quad\Rightarrow\quad v+p=40

Steg 6 - Løs sammen med inntekten

100v+50\cdot40+60p=5000\quad\Rightarrow\quad v=15,\ p=25,\ b=40

Tolkning

Det ble solgt flest barnebilletter, og antall barn er summen av voksne og pensjonister.

Vanlig feil: Å tolke setningen som at barn er like mange som voksne alene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs({v+b+p=80, 100v+50b+60p=5000, b=v+p})

-> \(v=15,\ b=40,\ p=25\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
v, b, p = symbols('v b p')
likninger = [
    Eq(v + b + p, 80),
    Eq(100*v + 50*b + 60*p, 5000),
    Eq(b, v + p)
]
losning = solve(likninger, (v, b, p), dict=True)[0]
print("Likninger:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning)
print("Losning:", losning)

Fasit: \(15\) voksne, \(40\) barn og \(25\) pensjonister (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 5a - 7 poeng samletDerivertgraf og monotoni

Oppgave 5a

Oppgave:

Nedenfor ser du grafen til den deriverte av en funksjon \(f\). Bruk grafen til å bestemme \(x\)-koordinaten til eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til \(f\). Avgjør hvor grafen til \(f\) vokser, og hvor den minker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Les nullpunktene til den deriverte

Grafen til \(f\prime\) skjærer \(x\)-aksen ved omtrent \(x=-2\) og \(x=6\).

Steg 2 - Bestem fortegn

Grafen til \(f\prime\) ligger over aksen for \(x<-2\) og \(x>6\), og under aksen for \(-2

Steg 3 - Knytt fortegn til vekst

Når \(f\prime(x)>0\), vokser \(f\). Når \(f\prime(x)<0\), minker \(f\).

Steg 4 - Klassifiser punktet ved \(-2\)

Ved \(x=-2\) går \(f\prime\) fra positiv til negativ. Da har \(f\) toppunkt.

Steg 5 - Klassifiser punktet ved \(6\)

Ved \(x=6\) går \(f\prime\) fra negativ til positiv. Da har \(f\) bunnpunkt.

Steg 6 - Skriv intervallene

f\text{ vokser på }(-\infty,-2)\text{ og }(6,\infty),\quad f\text{ minker på }(-2,6)

Tolkning

Derivertgrafen forteller hvordan selve funksjonen beveger seg, ikke hva funksjonsverdiene er.

Vanlig feil: Å lese topp- og bunnpunkt direkte fra grafen til \(f\prime\) i stedet for å bruke nullpunktene til \(f\prime\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Nullpunkt(f\prime)

-> \(x=-2\ \lor\ x=6\)

Python

from sympy import symbols, solve, sign
x = symbols('x')
f_derivert_modell = (x + 2)*(x - 6)/4
nullpunkter = solve(f_derivert_modell, x)
print("Modell for f'(x):", f_derivert_modell)
print("Nullpunkter til f'(x):", nullpunkter)
print("Fortegn ved x=-3:", sign(f_derivert_modell.subs(x, -3)))
print("Fortegn ved x=0:", sign(f_derivert_modell.subs(x, 0)))
print("Fortegn ved x=7:", sign(f_derivert_modell.subs(x, 7)))

Fasit: Toppunkt ved \(x=-2\), bunnpunkt ved \(x=6\). \(f\) vokser på \((-\infty,-2)\) og \((6,\infty)\), og minker på \((-2,6)\).

Del 1 - Oppgave 5b - 7 poeng samletTangent

Oppgave 5b

Oppgave:

Punktet \((4,3)\) ligger på grafen til \(f\). Bestem likningen til tangenten i dette punktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Finn stigningstallet fra derivertgrafen

Ved \(x=4\) leser vi av \(f\prime(4)=-3\).

Steg 2 - Bruk punktet på grafen

\[(x_0,y_0)=(4,3)\]

Steg 3 - Bruk tangentformelen

\[y-y_0=a(x-x_0)\]

Steg 4 - Sett inn stigningstall og punkt

\[y-3=-3(x-4)\]

Steg 5 - Løs ut \(y\)

\[y=-3x+15\]

Steg 6 - Kontroller at punktet ligger på linjen

-3\cdot4+15=3

Tolkning

Tangenten faller fordi stigningstallet er negativt.

Vanlig feil: Å bruke \(f(4)=3\) som stigningstall i stedet for \(f\prime(4)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Tangent((4,3), -3)

-> \(y=-3x+15\)

Python

from sympy import symbols, expand
x = symbols('x')
x0 = 4
y0 = 3
stigningstall = -3
tangent = expand(y0 + stigningstall*(x - x0))
print("Punkt:", (x0, y0))
print("Stigningstall:", stigningstall)
print("Tangent:", tangent)
print("Kontroll i punktet:", tangent.subs(x, x0))

Fasit: \(y=-3x+15\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 5c - 7 poeng samletAndrederivert

Oppgave 5c

Oppgave:

Tegn fortegnslinjen til \(f\prime\prime(x)\). Bruk denne til å bestemme \(x\)-koordinaten til vendepunktet på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk formen på grafen til \(f\prime\)

Grafen til \(f\prime\) synker fram til omtrent \(x=2\) og stiger etterpå.

Steg 2 - Oversett til andrederivert

Når \(f\prime\) synker, er \(f\prime\prime<0\). Når \(f\prime\) stiger, er \(f\prime\prime>0\).

Steg 3 - Lag fortegnslinje

f\prime\prime(x)<0\text{ for }x<2,\qquad f\prime\prime(x)>0\text{ for }x>2

Steg 4 - Finn skiftepunktet

Fortegnet skifter ved \(x=2\).

Steg 5 - Konkluder vendepunkt

\[x=2\]

Steg 6 - Kontroller grafisk

Dette er \(x\)-verdien til bunnpunktet på grafen til \(f\prime\).

Tolkning

Vendepunktet til \(f\) oppstår der \(f\prime\) har ekstremalpunkt.

Vanlig feil: Å svare med \(-2\) eller \(6\), som gjelder ekstremalpunkter for \(f\), ikke vendepunkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Ekstremalpunkt(f\prime)

-> \(x=2\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f_derivert_modell = (x + 2)*(x - 6)/4
f_andrederivert = diff(f_derivert_modell, x)
skifte = solve(f_andrederivert, x)
print("f'(x)-modell:", f_derivert_modell)
print("f''(x)-modell:", f_andrederivert)
print("Nullpunkt for f''(x):", skifte)
print("Fortegn ved x=0:", f_andrederivert.subs(x, 0))
print("Fortegn ved x=3:", f_andrederivert.subs(x, 3))

Fasit: Vendepunktet har \(x=2\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 5d - 7 poeng samletSkisse

Oppgave 5d

Oppgave:

Lag en mulig skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Start med vekstintervallene

Grafen skal vokse før \(-2\), minke mellom \(-2\) og \(6\), og vokse etter \(6\).

Steg 2 - Plasser topp- og bunnpunkt

Legg et toppunkt ved \(x=-2\) og et bunnpunkt ved \(x=6\).

Steg 3 - Legg inn vendepunktet

Grafen skifter krumming ved \(x=2\).

Steg 4 - Bruk punktet i oppgaven

Grafen må gå gjennom punktet \((4,3)\).

Steg 5 - Bruk tangenten som lokal kontroll

Ved \(x=4\) skal grafen ha stigningstall \(-3\).

Steg 6 - Beskriv skissen

En mulig skisse er en kubisk-liknende graf som først stiger, så faller, og til slutt stiger igjen.

Tolkning

Skissen er ikke entydig, men må stemme med fortegnene til \(f\prime\) og \(f\prime\prime\).

Vanlig feil: Å tegne grafen til \(f\prime\) på nytt i stedet for en mulig graf til \(f\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Integral((x+2)(x-6)/4)

-> \(\dfrac{x^3}{12}-x^2-3x+C\)

Python

from sympy import symbols, integrate, solve, expand
x, C = symbols('x C')
f_derivert = (x + 2)*(x - 6)/4
f_generell = integrate(f_derivert, x) + C
C_verdi = solve(f_generell.subs(x, 4) - 3, C)[0]
f_mulig = expand(f_generell.subs(C, C_verdi))
print("Mulig f'(x):", f_derivert)
print("Mulig f(x) med f(4)=3:", f_mulig)
print("Kontroll f(4):", f_mulig.subs(x, 4))

Fasit: En mulig skisse har toppunkt ved \(x=-2\), bunnpunkt ved \(x=6\), vendepunkt ved \(x=2\) og går gjennom \((4,3)\).

Del 1 - Oppgave 6a - 4 poeng samletBinomisk fordeling

Oppgave 6a

Oppgave:

Figurene viser fordelingene til de fire binomiske variablene \(X_1,X_2,X_3\) og \(X_4\). \(X_1\sim B(10,0{,}6)\), \(X_2\sim B(100,0{,}06)\), \(X_3\sim B(10,0{,}4)\) og \(X_4\sim B(50,0{,}1)\). Hvilken graf illustrerer hver variabel?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Regn forventningsverdiene

\[E(X)=np\]

Steg 2 - Finn sentrum

E(X_1)=6,\ E(X_2)=6,\ E(X_3)=4,\ E(X_4)=5

Steg 3 - Bruk spredning

SD(X)=\sqrt{np(1-p)}

Steg 4 - Sammenlikn formene

\(X_1\) har sentrum 6 og liten spredning, altså graf (2). \(X_3\) har sentrum 4 og liten spredning, altså graf (4).

Steg 5 - Skille de brede grafene

\(X_2\) har sentrum 6 og størst spredning, altså graf (3). \(X_4\) har sentrum 5 og litt mindre spredning, altså graf (1).

Steg 6 - Skriv koblingen

X_1\to(2),\quad X_2\to(3),\quad X_3\to(4),\quad X_4\to(1)

Tolkning

Forventningsverdi gir sentrum, mens standardavvik gir bredden på stolpediagrammet.

Vanlig feil: Å bare se på høyeste stolpe og ikke ta hensyn til spredningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

n*p og sqrt(n*p*(1-p))

-> \(\mu_1=6,\ \mu_2=6,\ \mu_3=4,\ \mu_4=5\)

Python

from math import sqrt
variabler = {
    "X1": (10, 0.60),
    "X2": (100, 0.06),
    "X3": (10, 0.40),
    "X4": (50, 0.10),
}
for navn, (n, p) in variabler.items():
    forventning = n*p
    standardavvik = sqrt(n*p*(1-p))
    print(navn, "E(X)=", forventning, "SD(X)=", standardavvik)

Fasit: \(X_1\): (2), \(X_2\): (3), \(X_3\): (4), \(X_4\): (1).

Del 1 - Oppgave 6b - 4 poeng samletBinomisk hale

Oppgave 6b

Oppgave:

For den ene variabelen er \(P(X\ge 10)=0{,}0775\). Hvilken variabel er dette?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sammenlikn aktuelle haler

Vi må finne hvilken av de fire variablene som har sannsynlighet omtrent \(0{,}0775\) for minst 10 suksesser.

Steg 2 - Bruk binomisk hale

P(X\ge10)=\sum_{k=10}^{n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Steg 3 - Test \(X_2\)

X_2\sim B(100,0{,}06)

Steg 4 - Regn halen

P(X_2\ge10)\approx0{,}0775

Steg 5 - Sammenlikn med opplysningen

Dette samsvarer med verdien i oppgaven.

Steg 6 - Konkluder

\[X=X_2\]

Tolkning

Det er den binomiske variabelen med mange forsøk og lav suksessannsynlighet.

Vanlig feil: Å bruke \(P(X>10)\) når oppgaven skriver \(P(X\ge 10)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

1-BinomialFordeling(100,0.06,9,true)

-> \(0{,}0775\)

Python

from math import comb
n = 100
p = 0.06
hale = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(10, n + 1))
print("X2 ~ B(100, 0.06)")
print("P(X >= 10) =", hale)
print("Avrundet til fire desimaler:", round(hale, 4))

Fasit: \(X_2\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 6c - 4 poeng samletStandardavvik

Oppgave 6c

Oppgave:

Hvilken av de fire binomiske variablene har størst standardavvik?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk formelen

SD(X)=\sqrt{np(1-p)}

Steg 2 - Regn for \(X_1\)

SD(X_1)=\sqrt{10\cdot0{,}6\cdot0{,}4}=\sqrt{2{,}4}

Steg 3 - Regn for \(X_2\)

SD(X_2)=\sqrt{100\cdot0{,}06\cdot0{,}94}=\sqrt{5{,}64}

Steg 4 - Regn for \(X_3\)

SD(X_3)=\sqrt{10\cdot0{,}4\cdot0{,}6}=\sqrt{2{,}4}

Steg 5 - Regn for \(X_4\)

SD(X_4)=\sqrt{50\cdot0{,}1\cdot0{,}9}=\sqrt{4{,}5}

Steg 6 - Sammenlikn

\sqrt{5{,}64}>\sqrt{4{,}5}>\sqrt{2{,}4}

Tolkning

Størst standardavvik betyr bredest fordeling.

Vanlig feil: Å tro at størst forventningsverdi automatisk gir størst standardavvik.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

sqrt(n*p*(1-p))

-> \(SD(X_2)\approx2{,}37\)

Python

from math import sqrt
verdier = [("X1", 10, 0.60), ("X2", 100, 0.06), ("X3", 10, 0.40), ("X4", 50, 0.10)]
for navn, n, p in verdier:
    sd = sqrt(n*p*(1-p))
    print(navn, "standardavvik =", sd)
print("Storste standardavvik:", max(verdier, key=lambda t: sqrt(t[1]*t[2]*(1-t[2])))[0])

Fasit: \(X_2\) har størst standardavvik (bekreftet digitalt).

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1a - 3 poeng samletUendelig geometrisk rekke

Oppgave 1a

Oppgave:

Langs en linje er det konstruert halvsirkler. Diameteren til den første er \(2r\), og hver neste diameter er halvparten av den foregående. La \(O_n\) være lengden av halvsirkelbue nummer \(n\). Forklar at \(O_1+O_2+O_3+\cdots\) blir en uendelig geometrisk rekke.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Finn første bue

Første halvsirkel har radius \(r\), og halvsirkelbuen blir \(O_1=\pi r\).

Steg 2 - Finn neste bue

O_2=\dfrac{\pi r}{2}

Steg 3 - Finn tredje bue

O_3=\dfrac{\pi r}{4}

Steg 4 - Se fast kvotient

\dfrac{O_{n+1}}{O_n}=\dfrac{1}{2}

Steg 5 - Skriv rekken

O_1+O_2+O_3+\cdots=\pi r+\dfrac{\pi r}{2}+\dfrac{\pi r}{4}+\cdots

Steg 6 - Konkluder

Fordi hvert ledd er halvparten av det forrige, er rekken geometrisk.

Tolkning

Rekken er uendelig fordi konstruksjonen kan fortsette med stadig mindre halvsirkler.

Vanlig feil: Å bruke arealet av halvsirklene i stedet for buelengden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

O(n):=pi*r*(1/2)^(n-1)

-> \(O_n=\pi r\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Python

from sympy import symbols, pi, Rational, simplify
n, r = symbols('n r', positive=True)
O_n = pi*r*Rational(1, 2)**(n - 1)
for i in range(1, 5):
    print(f"O_{i} =", simplify(O_n.subs(n, i)))
print("Kvotient O_(n+1)/O_n =", simplify(O_n.subs(n, n + 1)/O_n))

Fasit: Rekken er geometrisk med første ledd \(\pi r\) og kvotient \(\dfrac{1}{2}\).

Del 2 - Oppgave 1b - 3 poeng samletUendelig sum

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem summen av rekken i oppgave a). Kommenter svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bruk første ledd og kvotient

a_1=\pi r,\qquad k=\dfrac{1}{2}

Steg 2 - Sjekk konvergens

|k|=\dfrac{1}{2}<1

Steg 3 - Bruk sumformelen

S=\dfrac{a_1}{1-k}

Steg 4 - Sett inn

S=\dfrac{\pi r}{1-\frac{1}{2}}

Steg 5 - Forenkle

S=2\pi r

Steg 6 - Kommenter

Dette er samme lengde som omkretsen til en hel sirkel med radius \(r\).

Tolkning

Uendelig mange stadig mindre halvsirkler får en endelig samlet buelengde.

Vanlig feil: Å tro at uendelig mange buer alltid gir uendelig lang total lengde.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Sum(pi*r*(1/2)^(n-1), n, 1, infinity)

-> \(2\pi r\)

Python

from sympy import symbols, pi, Rational, summation, oo, simplify
n, r = symbols('n r', positive=True)
ledd = pi*r*Rational(1, 2)**(n - 1)
sum_rekke = summation(ledd, (n, 1, oo))
print("Generelt ledd:", ledd)
print("Uendelig sum:", sum_rekke)
print("Kontroll mot 2*pi*r:", simplify(sum_rekke - 2*pi*r))

Fasit: \(S=2\pi r\) (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 2a - 5 poeng samletRegresjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Tabellen viser antall jerv registrert døde i utvalgte år: 1990, 1995, 2000, 2005 og 2010 med verdiene 2, 16, 41, 63 og 105. Bruk opplysningene til å lage en modell for antall døde jerv \(x\) år etter 1990. Gi en begrunnelse.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Definer variabel

La \(x\) være antall år etter 1990. Da blir \(x=0,5,10,15,20\).

Steg 2 - Velg modelltype

Verdiene øker raskere enn lineært, så en andregradsmodell er rimelig.

Steg 3 - Utfør regresjon

f(x)\approx0{,}1514x^2+2{,}0314x+2{,}3714

Steg 4 - Tolk koeffisienten

Positiv andregradskoeffisient beskriver økende vekst.

Steg 5 - Kontroller mot datapunktene

Modellen ligger nær tabellverdiene, men er en tilpasning, ikke en eksakt lov.

Steg 6 - Skriv modell

f(x)=0{,}1514x^2+2{,}0314x+2{,}3714

Tolkning

Modellen kan brukes til anslag, men bør ikke tolkes som en sikker biologisk lov.

Vanlig feil: Å bruke årstallet direkte som \(x\) uten å flytte origo til 1990.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

RegPoly({(0,2),(5,16),(10,41),(15,63),(20,105)},2)

-> \(0{,}1514x^2+2{,}0314x+2{,}3714\)

Python

import numpy as np
x = np.array([0, 5, 10, 15, 20], dtype=float)
y = np.array([2, 16, 41, 63, 105], dtype=float)
koeff = np.polyfit(x, y, 2)
modell = np.poly1d(koeff)
print("Koeffisienter [a, b, c]:", koeff)
print("Modell: f(x) = a*x**2 + b*x + c")
for xi, yi in zip(x, y):
    print("x =", xi, "observert =", yi, "modell =", modell(xi))

Fasit: \(f(x)\approx0{,}1514x^2+2{,}0314x+2{,}3714\) (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 2b - 5 poeng samletModellverdi

Oppgave 2b

Oppgave:

Hvor mange jerv kan vi forvente blir registrert døde i 2014 ifølge modellen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Finn \(x\)-verdien

\[x=2014-1990=24\]

Steg 2 - Bruk modellen

f(x)=0{,}1514x^2+2{,}0314x+2{,}3714

Steg 3 - Sett inn

f(24)=0{,}1514\cdot24^2+2{,}0314\cdot24+2{,}3714

Steg 4 - Regn ut

f(24)\approx138{,}35

Steg 5 - Rund av praktisk

Antall dyr må oppgis som et helt tall.

Steg 6 - Konkluder

f(24)\approx138

Tolkning

Modellen anslår omtrent 138 registrerte døde jerv i 2014.

Vanlig feil: Å bruke \(x=2014\) i modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

f(24)

-> \(138{,}35\)

Python

import numpy as np
x_data = np.array([0, 5, 10, 15, 20], dtype=float)
y_data = np.array([2, 16, 41, 63, 105], dtype=float)
modell = np.poly1d(np.polyfit(x_data, y_data, 2))
x_2014 = 2014 - 1990
verdi = modell(x_2014)
print("x for 2014:", x_2014)
print("Modellverdi:", verdi)
print("Avrundet antall jerv:", round(verdi))

Fasit: Omtrent \(138\) jerv (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 2c - 5 poeng samletSummering av modell

Oppgave 2c

Oppgave:

Hvor mange jerv forventes registrert døde til sammen i årene 1990-2014?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Bestem årsområdet

Årene 1990-2014 svarer til \(x=0,1,2,\ldots,24\).

Steg 2 - Bruk modellen for hvert år

f(x)=0{,}1514x^2+2{,}0314x+2{,}3714

Steg 3 - Sett opp summen

\sum_{x=0}^{24}f(x)

Steg 4 - Regn digitalt

\sum_{x=0}^{24}f(x)\approx1410{,}7

Steg 5 - Rund av

Siden vi teller dyr, avrunder vi til nærmeste hele tall.

Steg 6 - Konkluder

\text{totalt}\approx1411

Tolkning

Summen er et modellbasert anslag for 25 kalenderår.

Vanlig feil: Å bruke integral i stedet for å summere år for år når spørsmålet gjelder hele år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Sum(f(n), n, 0, 24)

-> \(1410{,}7\)

Python

import numpy as np
x_data = np.array([0, 5, 10, 15, 20], dtype=float)
y_data = np.array([2, 16, 41, 63, 105], dtype=float)
modell = np.poly1d(np.polyfit(x_data, y_data, 2))
verdier = [modell(x) for x in range(0, 25)]
total = sum(verdier)
print("Antall aar:", len(verdier))
print("Forste modellverdi:", verdier[0])
print("Siste modellverdi:", verdier[-1])
print("Sum 1990-2014:", total)
print("Avrundet sum:", round(total))

Fasit: Omtrent \(1411\) jerv (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 3a - 8 poeng samletLineær regresjon og inntekt

Oppgave 3a

Oppgave:

En bedrift selger \(x\) enheter til pris \(p\). Tabellen viser \((x,p)=(98,2200),(510,2100),(751,2050),(990,2000)\). Bruk lineær regresjon til å bestemme \(p(x)\) og deretter inntektsfunksjonen \(I(x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Velg lineær modell

\[p(x)=ax+b\]

Steg 2 - Bruk regresjon på punktene

a\approx-0{,}2242,\qquad b\approx2219{,}17

Steg 3 - Skriv prisfunksjonen

p(x)\approx-0{,}2242x+2219{,}17

Steg 4 - Bruk inntekt lik pris ganger antall

I(x)=x\cdot p(x)

Steg 5 - Sett inn modellen

I(x)\approx x(-0{,}2242x+2219{,}17)

Steg 6 - Forenkle

I(x)\approx-0{,}2242x^2+2219{,}17x

Tolkning

Prisfunksjonen faller med økende antall solgte enheter, og inntekten blir en andregradsfunksjon.

Vanlig feil: Å bruke prisfunksjonen som inntekt uten å multiplisere med \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

RegLin({(98,2200),(510,2100),(751,2050),(990,2000)})

-> \(p(x)=-0{,}2242x+2219{,}17\)

Python

import numpy as np
x = np.array([98, 510, 751, 990], dtype=float)
p = np.array([2200, 2100, 2050, 2000], dtype=float)
a, b = np.polyfit(x, p, 1)
print("a =", a)
print("b =", b)
print("Prisfunksjon: p(x) = a*x + b")
print("Inntektsfunksjon: I(x) = a*x**2 + b*x")

Fasit: \(p(x)\approx-0{,}2242x+2219{,}17\), \(I(x)\approx-0{,}2242x^2+2219{,}17x\).

Del 2 - Oppgave 3b - 8 poeng samletGrenseinntekt og grensekostnad

Oppgave 3b

Oppgave:

Kostnadene er gitt ved \(K(x)=0{,}03x^2+15x+605000\). Bestem grenseinntektene og grensekostnadene ved produksjon og salg av 3000 enheter. Forklar om bedriften bør øke eller redusere produksjonsmengden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Deriver inntektsfunksjonen

I\prime(x)\approx-0{,}4484x+2219{,}17

Steg 2 - Deriver kostnadsfunksjonen

K\prime(x)=0{,}06x+15

Steg 3 - Regn grenseinntekt

I\prime(3000)\approx873{,}90

Steg 4 - Regn grensekostnad

K\prime(3000)=0{,}06\cdot3000+15=195

Steg 5 - Sammenlikn

I\prime(3000)>K\prime(3000)

Steg 6 - Tolk

En ekstra enhet gir større ekstra inntekt enn ekstra kostnad, så produksjonen bør økes.

Tolkning

Ved 3000 enheter er det lønnsomt å øke produksjonen.

Vanlig feil: Å sammenlikne totalinntekt og totalkostnad i stedet for grenseinntekt og grensekostnad.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

I\prime(3000), K\prime(3000)

-> \(873{,}90\text{ og }195\)

Python

import numpy as np
from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
a, b = np.polyfit([98, 510, 751, 990], [2200, 2100, 2050, 2000], 1)
I = a*x**2 + b*x
K = 0.03*x**2 + 15*x + 605000
I_derivert = diff(I, x)
K_derivert = diff(K, x)
print("I'(x) =", I_derivert)
print("K'(x) =", K_derivert)
print("I'(3000) =", float(I_derivert.subs(x, 3000)))
print("K'(3000) =", float(K_derivert.subs(x, 3000)))

Fasit: \(I\prime(3000)\approx873{,}90\), \(K\prime(3000)=195\). Bedriften bør øke produksjonen.

Del 2 - Oppgave 3c - 8 poeng samletUlikhet med deriverte

Oppgave 3c

Oppgave:

Løs ulikheten \(I\prime(x)>K\prime(x)\). Hva forteller svaret oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sett inn uttrykkene

\[-0{,}4484x+2219{,}17>0{,}06x+15\]

Steg 2 - Samle ledd

\[2204{,}17>0{,}5084x\]

Steg 3 - Løs for \(x\)

\[x<4335{,}3\]

Steg 4 - Tolk ulikheten

For produksjonsmengder under omtrent 4335 enheter er grenseinntekten større enn grensekostnaden.

Steg 5 - Knytt til overskudd

Da øker overskuddet når produksjonen øker.

Steg 6 - Knytt til motsatt område

Over omtrent 4335 enheter er grensekostnaden større enn grenseinntekten.

Tolkning

Ulikheten viser hvor overskuddsfunksjonen er voksende.

Vanlig feil: Å snu ulikhetstegnet uten grunn når man deler på et positivt tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs(I\prime(x)>K\prime(x), x)

-> \(x<4335{,}3\)

Python

import numpy as np
from sympy import symbols, diff, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
a, b = np.polyfit([98, 510, 751, 990], [2200, 2100, 2050, 2000], 1)
I = a*x**2 + b*x
K = 0.03*x**2 + 15*x + 605000
ulikhet = diff(I, x) > diff(K, x)
losning = solve_univariate_inequality(ulikhet, x)
grense = (15 - b)/(2*a - 0.06)
print("Ulikhet:", ulikhet)
print("Losning:", losning)
print("Grenseverdi:", grense)

Fasit: \(x<4335{,}3\). Overskuddet øker fram til dette nivået.

Del 2 - Oppgave 3d - 8 poeng samletMaksimalt overskudd

Oppgave 3d

Oppgave:

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Definer overskudd

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 2 - Maksimum når marginalene er like

O\prime(x)=I\prime(x)-K\prime(x)=0

Steg 3 - Bruk grenseverdien fra ulikheten

x\approx4335{,}3

Steg 4 - Kontroller fortegn

Overskuddet øker før denne verdien og minker etter denne verdien.

Steg 5 - Rund til hele enheter

Produksjonsmengden må være et helt antall enheter.

Steg 6 - Konkluder

x\approx4335

Tolkning

Bedriften bør produsere omtrent 4335 enheter for størst overskudd.

Vanlig feil: Å maksimere inntekten alene og glemme kostnadene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Nullpunkt(I\prime-K\prime)

-> \(x=4335{,}3\)

Python

import numpy as np
from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
a, b = np.polyfit([98, 510, 751, 990], [2200, 2100, 2050, 2000], 1)
I = a*x**2 + b*x
K = 0.03*x**2 + 15*x + 605000
O = I - K
kritiske = solve(diff(O, x), x)
print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", diff(O, x))
print("Kritisk punkt:", kritiske)
print("Avrundet produksjonsmengde:", round(float(kritiske[0])))

Fasit: Omtrent \(4335\) enheter (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 4a - 6 poeng samletVolum og geometri

Oppgave 4a

Oppgave:

En container har form som et rett prisme uten lokk. Volumet er \(10\text{ m}^3\). Lengden er \(2x\), bredden er \(x\) og høyden er \(h\). Vis at høyden er \(h=\dfrac{5}{x^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Skriv volumet

V=\text{lengde}\cdot\text{bredde}\cdot\text{høyde}

Steg 2 - Sett inn mål

V=2x\cdot x\cdot h=2x^2h

Steg 3 - Bruk volumkravet

\[2x^2h=10\]

Steg 4 - Løs for \(h\)

h=\dfrac{10}{2x^2}

Steg 5 - Forenkle

h=\dfrac{5}{x^2}

Steg 6 - Kontroller enhet

Når \(x\) måles i meter, blir \(h\) også målt i meter.

Tolkning

Høyden bestemmes av bredden fordi volumet er fast.

Vanlig feil: Å bruke lengden som \(x\) i stedet for \(2x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs(2*x^2*h=10,h)

-> \(h=\dfrac{5}{x^2}\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x, h = symbols('x h', positive=True)
volum = Eq(2*x**2*h, 10)
h_losning = solve(volum, h)[0]
print("Volumlikning:", volum)
print("h =", h_losning)

Fasit: \(h=\dfrac{5}{x^2}\) (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 4b - 6 poeng samletKostnadsfunksjon

Oppgave 4b

Oppgave:

Materialet til bunnen koster 100 kroner per kvadratmeter, og materialet til sidene koster 60 kroner per kvadratmeter. Vis at kostnadene kan skrives som \(K(x)=200x^2+\dfrac{1800}{x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Finn bunnarealet

A_{\text{bunn}}=2x\cdot x=2x^2

Steg 2 - Finn bunnkostnaden

100\cdot2x^2=200x^2

Steg 3 - Finn sidearealet

To lange sider gir \(2\cdot(2xh)=4xh\), og to korte sider gir \(2\cdot(xh)=2xh\).

Steg 4 - Summer sidearealet

A_{\text{sider}}=6xh

Steg 5 - Bruk \(h=\dfrac{5}{x^2}\)

60\cdot6x\cdot\dfrac{5}{x^2}=\dfrac{1800}{x}

Steg 6 - Sett sammen kostnaden

K(x)=200x^2+\dfrac{1800}{x}

Tolkning

Kostnaden består av én bunnkostnad og fire sidekostnader.

Vanlig feil: Å ta med lokk selv om containeren er uten lokk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

200*x^2+60*6*x*(5/x^2)

-> \(200x^2+\dfrac{1800}{x}\)

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x', positive=True)
h = 5/x**2
bunnkostnad = 100*(2*x**2)
sidekostnad = 60*(6*x*h)
K = simplify(bunnkostnad + sidekostnad)
print("h =", h)
print("Bunnkostnad =", bunnkostnad)
print("Sidekostnad =", simplify(sidekostnad))
print("K(x) =", K)

Fasit: \(K(x)=200x^2+\dfrac{1800}{x}\) (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 4c - 6 poeng samletOptimalisering

Oppgave 4c

Oppgave:

Bestem lengde, bredde og høyde slik at kostnadene blir minst mulig. Bestem den minste kostnaden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Deriver kostnadsfunksjonen

K\prime(x)=400x-\dfrac{1800}{x^2}

Steg 2 - Sett den deriverte lik null

400x-\dfrac{1800}{x^2}=0

Steg 3 - Løs likningen

400x^3=1800\qquad\Rightarrow\qquad x^3=4{,}5

Steg 4 - Finn bredden

x=\sqrt[3]{4{,}5}\approx1{,}651

Steg 5 - Finn lengde og høyde

2x\approx3{,}302,\qquad h=\dfrac{5}{x^2}\approx1{,}834

Steg 6 - Finn kostnaden

K_{\min}\approx1635{,}41

Tolkning

Den billigste containeren har bredde omtrent 1,65 m, lengde omtrent 3,30 m og høyde omtrent 1,83 m.

Vanlig feil: Å bruke positivt og negativt \(x\); her må \(x>0\) fordi det er en lengde.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Ekstremalpunkt(200*x^2+1800/x)

-> \(x\approx1{,}651\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, N
x = symbols('x', positive=True)
K = 200*x**2 + 1800/x
kritisk = solve(diff(K, x), x)[0]
lengde = 2*kritisk
hoyde = 5/kritisk**2
kostnad = K.subs(x, kritisk)
print("K'(x) =", diff(K, x))
print("Bredde x =", N(kritisk))
print("Lengde 2x =", N(lengde))
print("Hoyde h =", N(hoyde))
print("Minste kostnad =", N(kostnad))

Fasit: Bredde \(1{,}65\text{ m}\), lengde \(3{,}30\text{ m}\), høyde \(1{,}83\text{ m}\), minste kostnad ca. \(1635\) kroner.

Del 2 - Oppgave 5a - 5 poeng samletBinomisk sannsynlighet

Oppgave 5a

Oppgave:

I sikkerhetskontrollen blir i gjennomsnitt hver tiende passasjer trukket ut. Om én passasjer blir trukket ut, kan vi se på som et binomisk forsøk med \(p=0{,}10\). Bestem sannsynligheten for at tre gitte personer som går etter hverandre, blir trukket ut.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Se på uavhengige forsøk

Hver person har sannsynlighet \(0{,}10\) for å bli trukket ut.

Steg 2 - Multipliser sannsynlighetene

P=0{,}10\cdot0{,}10\cdot0{,}10

Steg 3 - Skriv som potens

P=0{,}10^3

Steg 4 - Regn ut

\[P=0{,}001\]

Steg 5 - Skriv i prosent

0{,}001=0{,}1\ \%

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Tre på rad er sjeldent når hver enkelt bare har 10 prosent sannsynlighet.

Tolkning

Sannsynligheten er 0,001, altså 0,1 prosent.

Vanlig feil: Å bruke binomisk koeffisient her; personene er gitte og rekkefølgen er bestemt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

0.10^3

-> \(0{,}001\)

Python

p = 0.10
sannsynlighet = p**3
print("p for en person:", p)
print("P(tre gitte personer trekkes ut) =", sannsynlighet)
print("I prosent =", sannsynlighet*100)

Fasit: \(0{,}001\), altså \(0{,}1\ \%\) (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 5b - 5 poeng samletForventning og standardavvik

Oppgave 5b

Oppgave:

La \(X\) være antallet som blir trukket ut av 1000 passasjerer. Bestem \(E(X)\) og \(SD(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Identifiser fordelingen

X\sim B(1000,0{,}10)

Steg 2 - Forventningsverdi

E(X)=np=1000\cdot0{,}10=100

Steg 3 - Standardavvik

SD(X)=\sqrt{np(1-p)}

Steg 4 - Sett inn

SD(X)=\sqrt{1000\cdot0{,}10\cdot0{,}90}

Steg 5 - Regn ut

SD(X)=\sqrt{90}\approx9{,}49

Steg 6 - Tolk

Vanlig variasjon rundt 100 er omtrent 9,5 personer.

Tolkning

Vi forventer omtrent 100 uttrukne av 1000.

Vanlig feil: Å bruke \(p=10\) i stedet for \(p=0{,}10\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

1000*0.10, sqrt(1000*0.10*0.90)

-> \(100\text{ og }9{,}49\)

Python

from math import sqrt
n = 1000
p = 0.10
forventning = n*p
standardavvik = sqrt(n*p*(1-p))
print("X ~ B(1000, 0.10)")
print("E(X) =", forventning)
print("SD(X) =", standardavvik)

Fasit: \(E(X)=100\) og \(SD(X)\approx9{,}49\) (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 5c - 5 poeng samletHypotesetest

Oppgave 5c

Oppgave:

Flyplasspersonalet mistenker at for mange personer blir trukket ut. Av 1000 passasjerer ble 110 trukket ut. Sett opp en hypotesetest med signifikansnivå 5 prosent og avgjør om de har grunn til mistanke.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sett opp hypotesene

H_0:p=0{,}10,\qquad H_1:p>0{,}10

Steg 2 - Bruk testobservatoren

Under nullhypotesen er \(X\sim B(1000,0{,}10)\). Vi observerer \(X=110\).

Steg 3 - Regn p-verdien

P(X\ge110)\approx0{,}158

Steg 4 - Sammenlikn med signifikansnivå

\[0{,}158>0{,}05\]

Steg 5 - Konkluder statistisk

Resultatet er ikke ekstremt nok til å forkaste nullhypotesen.

Steg 6 - Svar på mistanken

Personalet har ikke statistisk grunnlag på 5 prosent nivå for å si at for mange trekkes ut.

Tolkning

110 er over forventningen 100, men ikke langt nok over til å være signifikant på 5 prosent nivå.

Vanlig feil: Å konkludere bare fordi 110 er større enn 100, uten å beregne hale-sannsynligheten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

1-BinomialFordeling(1000,0.10,109,true)

-> \(0{,}158\)

Python

from math import comb
n = 1000
p = 0.10
observasjon = 110
p_verdi = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(observasjon, n + 1))
print("H0: p = 0.10")
print("H1: p > 0.10")
print("Observasjon:", observasjon)
print("p-verdi =", p_verdi)
print("Forkast H0 ved 5 prosent?", p_verdi < 0.05)

Fasit: Ikke forkast \(H_0\). Ikke grunnlag for mistanken på 5 prosent nivå.

Del 2 - Oppgave 6a - 6 poeng samletAnnuitet

Oppgave 6a

Oppgave:

Frida vil kjøpe en PC til 7995 kroner på avbetaling. Hun betaler 36 like månedlige beløp, første om én måned. Månedlig rente er 1,6 prosent, og hun betaler et engangsgebyr på 30 kroner. Forklar annuitetslikningen og løs den.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Finn nåverdien som skal dekkes

\[7995+30=8025\]

Steg 2 - Skriv nåverdien av terminbeløpene

\dfrac{x}{1{,}016}+\dfrac{x}{1{,}016^2}+\cdots+\dfrac{x}{1{,}016^{36}}=8025

Steg 3 - Se geometrisk rekke

Nåverdifaktorene danner en geometrisk rekke med kvotient \(\dfrac{1}{1{,}016}\).

Steg 4 - Beregn nåverdifaktor

\sum_{k=1}^{36}\dfrac{1}{1{,}016^k}\approx27{,}2055

Steg 5 - Løs for terminbeløpet

x=\dfrac{8025}{27{,}2055}\approx294{,}98

Steg 6 - Rund av

Hun må betale omtrent 295 kroner per måned.

Tolkning

Terminbeløpet er høyere enn 7995 delt på 36 fordi renter og gebyr inngår.

Vanlig feil: Å glemme at første betaling skjer om én måned og derfor skal diskonteres én måned.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs(Sum(x/1.016^k,k,1,36)=8025,x)

-> \(x\approx294{,}98\)

Python

from sympy import symbols, summation, Eq, solve
k, x = symbols('k x')
r = 0.016
naverdifaktor = summation(1/(1 + r)**k, (k, 1, 36))
terminbelop = solve(Eq(x*naverdifaktor, 8025), x)[0]
print("Nåverdifaktor =", float(naverdifaktor))
print("Terminbeløp x =", float(terminbelop))
print("Avrundet til kroner =", round(float(terminbelop)))

Fasit: \(x\approx294{,}98\) kroner per måned (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 6b - 6 poeng samletLånerente

Oppgave 6b

Oppgave:

Frida vurderer å låne pengene i banken. Der må hun betale 289 kroner hver måned i 36 måneder, første beløp om én måned. Hvilken månedlig rente får hun i banken?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sett opp nåverdilikning

7995=\sum_{k=1}^{36}\dfrac{289}{(1+r)^k}

Steg 2 - Tolk ukjent

Her er \(r\) den månedlige renten som desimaltall.

Steg 3 - Løs numerisk

\sum_{k=1}^{36}\dfrac{289}{(1+r)^k}=7995

Steg 4 - Finn rente

r\approx0{,}01499

Steg 5 - Skriv i prosent

0{,}01499\approx1{,}50\ \%

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Renten er litt lavere enn butikkens månedlige rente 1,6 prosent.

Tolkning

Banklånet har månedlig rente omtrent 1,50 prosent.

Vanlig feil: Å sammenlikne totalbeløp uten å ta hensyn til når betalingene skjer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

NLøs(Sum(289/(1+r)^k,k,1,36)=7995)

-> \(r\approx0{,}01499\)

Python

import mpmath as mp
belop = 289
naverdi = 7995
antall = 36

def f(r):
    return sum(belop/(1 + r)**k for k in range(1, antall + 1)) - naverdi
rente = mp.findroot(f, 0.015)
print("Månedlig rente som desimaltall:", rente)
print("Månedlig rente i prosent:", rente*100)
print("Kontrollert nåverdi:", sum(belop/(1 + rente)**k for k in range(1, antall + 1)))

Fasit: Omtrent \(1{,}50\ \%\) per måned (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 6c - 6 poeng samletSparing og rente

Oppgave 6c

Oppgave:

Elise har spart 650 kroner hver måned til en PC. Sparekontoen har fast månedlig rente. I dag, like etter den 12. innbetalingen, har hun 8107 kroner på kontoen. Bestem den månedlige renten.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Sett opp sluttverdi

Like etter den 12. innbetalingen har første innbetaling stått i 11 måneder, og siste innbetaling i 0 måneder.

Steg 2 - Skriv likningen

650(1+r)^{11}+650(1+r)^{10}+\cdots+650=8107

Steg 3 - Bruk geometrisk sum

650\sum_{k=0}^{11}(1+r)^k=8107

Steg 4 - Løs numerisk

r\approx0{,}00699

Steg 5 - Skriv i prosent

0{,}00699\approx0{,}699\ \%

Steg 6 - Rund av

Månedlig rente er omtrent 0,70 prosent.

Tolkning

Sparebeløpet har vokst fra 7800 kroner innbetalt til 8107 kroner på grunn av rente.

Vanlig feil: Å la siste innbetaling få rente selv om beløpet måles like etter innbetalingen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

NLøs(650*Sum((1+r)^k,k,0,11)=8107)

-> \(r\approx0{,}00699\)

Python

import mpmath as mp
innbetaling = 650
antall = 12
sluttverdi = 8107

def f(r):
    return sum(innbetaling*(1 + r)**k for k in range(0, antall)) - sluttverdi
rente = mp.findroot(f, 0.007)
print("Månedlig rente som desimaltall:", rente)
print("Månedlig rente i prosent:", rente*100)
print("Kontrollert sluttverdi:", sum(innbetaling*(1 + rente)**k for k in range(0, antall)))

Fasit: Omtrent \(0{,}70\ \%\) per måned (bekreftet digitalt).

Del 2 - Oppgave 7 - 3 poengGeometrisk rekke i medisin

Oppgave 7

Oppgave:

En type tablett inneholder 60 mg av et bestemt stoff. Stoffmengden i kroppen blir halvert i løpet av seks timer. En pasient får én tablett hver tolvte time. Hvor mange milligram av stoffet vil maksimalt samles i kroppen etter lang tids bruk?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse oppgaven presist, vise regningen trinn for trinn, tolke svaret og kontrollere med CAS/Python.

Steg 1 - Finn reduksjonsfaktor per 12 timer

På 12 timer går det to halveringstider.

Steg 2 - Regn faktoren

\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}

Steg 3 - Sett opp maksimal mengde rett etter tablett

60+60\cdot\dfrac{1}{4}+60\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\cdots

Steg 4 - Bruk uendelig geometrisk sum

S=\dfrac{60}{1-\frac{1}{4}}

Steg 5 - Regn ut

\[S=80\]

Steg 6 - Tolk maksimum

Maksimum nås rett etter en ny tablett etter lang tids bruk. Like før neste tablett er mengden lavere.

Tolkning

Etter lang tids bruk nærmer maksimal stoffmengde seg 80 mg.

Vanlig feil: Å bruke halveringsfaktoren \(\dfrac{1}{2}\) per doseintervall, selv om intervallet er tolv timer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

60/(1-1/4)

-> \(80\)

Python

from fractions import Fraction
startdose = Fraction(60, 1)
faktor_12_timer = Fraction(1, 4)
maks_mengde = startdose/(1 - faktor_12_timer)
print("Dose:", startdose, "mg")
print("Faktor etter 12 timer:", faktor_12_timer)
print("Maksimal mengde etter lang tids bruk:", maks_mengde, "mg")
print("Som desimaltall:", float(maks_mengde))

Fasit: \(80\) mg (bekreftet digitalt).

Matematikk S2 eksamen – vår 2014

Matematikk S2 eksamen Våren 2014 - løsningsforslag

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 - Skriv som potens

Steg 2 - Bruk potensregelen

Steg 3 - Deriver leddet

Steg 4 - Forenkle koeffisienten

Steg 5 - Skriv som brøk

Steg 6 - Kontroller definisjonsmengden

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 1b

Steg 1 - Identifiser produktet

Steg 2 - Bruk produktregelen

Steg 3 - Deriver faktorene

Steg 4 - Sett inn

Steg 5 - Faktoriser

Steg 6 - Kontroller fortegnet

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 2a

Steg 1 - Sett inn verdien

Steg 2 - Regn potensene

Steg 3 - Multipliser

Steg 4 - Summer

Steg 5 - Tolk nullverdien

Steg 6 - Bruk i neste del

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 2b

Steg 1 - Bruk nullpunktet

Steg 2 - Del polynomet

Steg 3 - Faktoriser andregradsleddet

Steg 4 - Sett sammen faktorene

Steg 5 - Skriv med potens

Steg 6 - Kontroller ved utvidelse

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 3a

Steg 1 - Finn første ledd og differanse

Steg 2 - Finn antall ledd

Steg 3 - Løs for antall ledd

Steg 4 - Bruk sumformelen

Steg 5 - Sett inn

Steg 6 - Regn ut

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 3b

Steg 1 - Bruk rekursjonen på tredje ledd

Steg 2 - Krav for aritmetisk følge

Steg 3 - Skriv differansen

Steg 4 - Sett inn tall

Steg 5 - Løs likningen

Steg 6 - Kontroller

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 4

Steg 1 - Definer variabler

Steg 2 - Sett opp antallslikningen

Steg 3 - Sett opp inntektslikningen

Steg 4 - Bruk opplysningen om barn

Steg 5 - Sett inn i antallslikningen

Steg 6 - Løs sammen med inntekten

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 5a

Steg 1 - Les nullpunktene til den deriverte

Steg 2 - Bestem fortegn

Steg 3 - Knytt fortegn til vekst

Steg 4 - Klassifiser punktet ved \(-2\)

Steg 5 - Klassifiser punktet ved \(6\)

Steg 6 - Skriv intervallene