S2 eksamenVår 2013

Matematikk S2 eksamen – vår 2013

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen V13 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave er transkribert, løst trinnvis og kontrollert med GeoGebra CAS og Python. Python-blokkene er skrevet som realistiske kontrollprogrammer med mellomresultater og utskrift.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 3 poengDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x\cdot e^{2x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen produktet

Funksjonen er et produkt av \(x\) og \(e^{2x}\). Derfor bruker vi produktregelen.

Steg 2 — Sett opp produktregelen

\[f'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot \left(e^{2x}\right)'\]

Steg 3 — Deriver eksponentialdelen

Kjerneregelen gir \(\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}\).

Steg 4 — Sett inn og faktoriser

\[f'(x)=e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}\left(1+2x\right)\]

Steg 5 — Kontroller formen

Begge leddene inneholder \(e^{2x}\), så faktoriseringen er rimelig.

Tolkning

Den momentane vekstfarten er produktet av eksponentialfaktoren og den lineære faktoren \(1+2x\).

Vanlig feil: Å glemme kjerneregelen og skrive \(\left(e^{2x}\right)'=e^{2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(x*e^(2x),x)
→ \(e^{2x}\left(2x+1\right)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, factor, pprint

x = symbols('x')
f = x*exp(2*x)
f_derivert = diff(f, x)
f_faktorisert = factor(f_derivert)

print('Funksjon f(x):')
pprint(f)
print("\\nDerivert f'(x):")
pprint(f_derivert)
print('\\nFaktorisert form:')
pprint(f_faktorisert)
Fasit: \(f'(x)=e^{2x}\left(1+2x\right)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1b - 3 poengDerivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Kjenn igjen brøken

Her har vi en kvotient, så vi bruker kvotientregelen.

Steg 2 — Definer teller og nevner

La \(u=x-1\) og \(v=x^2-3\). Da er \(u'=1\) og \(v'=2x\).

Steg 3 — Bruk kvotientregelen

\[g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{1\cdot\left(x^2-3\right)-\left(x-1\right)\cdot 2x}{\left(x^2-3\right)^2}\]

Steg 4 — Forenkle telleren

\[x^2-3-2x\left(x-1\right)=x^2-3-2x^2+2x=-x^2+2x-3\]

Steg 5 — Skriv svaret samlet

\[g'(x)=\dfrac{-x^2+2x-3}{\left(x^2-3\right)^2}\]

Tolkning

Den deriverte er definert der den opprinnelige funksjonen er definert, altså når \(x^2-3\ne 0\).

Vanlig feil: Å derivere teller og nevner hver for seg og sette \(g'(x)=\dfrac{1}{2x}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert((x-1)/(x^2-3),x)
→ \(\dfrac{-x^2+2x-3}{\left(x^2-3\right)^2}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, factor, simplify, pprint

x = symbols('x')
g = (x - 1)/(x**2 - 3)
g_derivert = diff(g, x)
g_forenklet = simplify(g_derivert)

print('Funksjon g(x):')
pprint(g)
print("\\nDerivert g'(x):")
pprint(g_derivert)
print('\\nForenklet form:')
pprint(g_forenklet)
Fasit: \(g'(x)=\dfrac{-x^2+2x-3}{\left(x^2-3\right)^2}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2a - 4 poengPolynomdivisjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Forkort brøken ved å bruke polynomdivisjon: \(\dfrac{x^3-1}{x-1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Se etter kjent identitet

Telleren er en differanse av tredje potenser.

Steg 2 — Faktoriser telleren

\[x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\]

Steg 3 — Forkort felles faktor

\[\dfrac{x^3-1}{x-1}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x-1}=x^2+x+1\]

Steg 4 — Husk definisjonsvilkåret

Forkortingen gjelder for \(x\ne 1\), siden den opprinnelige nevneren ikke kan være null.

Steg 5 — Kontroller ved multiplikasjon

\[\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^3-1\]

Tolkning

Brøken kan erstattes av et andregradspolynom overalt der den opprinnelige brøken er definert.

Vanlig feil: Å skrive bare \(x^2+x+1\) uten å merke seg at \(x=1\) ikke er tillatt i originalbrøken.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
PolynomDivisjon(x^3-1,x-1)
→ \(x^2+x+1\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, div, factor, simplify, pprint

x = symbols('x')
teller = x**3 - 1
nevner = x - 1
kvotient, rest = div(teller, nevner)
forenklet = simplify(teller/nevner)

print('Polynomdivisjon av x**3 - 1 med x - 1')
print('Kvotient:', kvotient)
print('Rest:', rest)
print('\\nFaktorisering:')
pprint(factor(teller))
print('\\nForenklet uttrykk:')
pprint(forenklet)
Fasit: \(\dfrac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1\), for \(x\ne 1\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2b - 4 poengPolynomdivisjon

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem tallet \(a\) slik at divisjonen \(\left(x^2-2x+a\right):\left(x-3\right)\) går opp.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk restsetningen

Divisjonen går opp hvis \(x=3\) er nullpunkt for polynomet.

Steg 2 — Sett inn \(x=3\)

\[3^2-2\cdot 3+a=0\]

Steg 3 — Løs likningen

\[9-6+a=0\]

Steg 4 — Finn \(a\)

\[a=-3\]

Steg 5 — Kontroller faktorisering

Når \(a=-3\), får vi \(x^2-2x-3=\left(x-3\right)\left(x+1\right)\).

Tolkning

Tallet \(a\) må gjøre \(x-3\) til en faktor i polynomet.

Vanlig feil: Å dele langt uten å bruke den raske restsetningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(3^2-2*3+a=0,a)
→ \(a=-3\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, factor, pprint

x, a = symbols('x a')
polynom = x**2 - 2*x + a
likning = polynom.subs(x, 3)
losning = solve(likning, a)

print('Rest ved divisjon med x - 3:')
pprint(likning)
print('\\nLøsning for a:')
print(losning)
print('\\nKontroll med a = -3:')
pprint(factor(polynom.subs(a, -3)))
Fasit: \(a=-3\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2c - 4 poengPolynomdivisjon

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem tallet \(b\) slik at divisjonen \(\left(x^2-3x-4\right):\left(x-b\right)\) går opp.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk restsetningen

Divisjonen går opp når \(x=b\) er et nullpunkt i \(x^2-3x-4\).

Steg 2 — Faktoriser polynomet

\[x^2-3x-4=\left(x-4\right)\left(x+1\right)\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

\[x=4\quad \text{eller}\quad x=-1\]

Steg 4 — Knytt dette til \(x-b\)

Hvis \(x-b\) skal være faktor, må \(b\) være et nullpunkt.

Steg 5 — Skriv alle muligheter

\[b=4\quad \text{eller}\quad b=-1\]

Tolkning

Det finnes to mulige verdier fordi andregradspolynomet har to lineære faktorer.

Vanlig feil: Å gi bare én verdi for \(b\) når polynomet har to nullpunkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(x^2-3x-4)
→ \(\left(x-4\right)\left(x+1\right)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve, factor, pprint

x, b = symbols('x b')
polynom = x**2 - 3*x - 4
nullpunkter = solve(polynom, x)

print('Polynom:')
pprint(polynom)
print('\\nFaktorisert:')
pprint(factor(polynom))
print('\\nMulige verdier for b:')
print(nullpunkter)
Fasit: \(b=4\) eller \(b=-1\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3 - 2 poengGeometrisk rekke

Oppgave 3

Oppgave:

Det \(n\)-te leddet i en geometrisk rekke er gitt ved \(a_n=11\cdot\left(-0{,}1\right)^{n-1}\). Forklar at rekken er konvergent. Hva blir summen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Finn første ledd og kvotient

Her er \(a_1=11\) og kvotienten \(k=-0{,}1\).

Steg 2 — Sjekk konvergenskravet

\[\left|k\right|=\left|-0{,}1\right|=0{,}1<1\]

Steg 3 — Bruk formelen for uendelig geometrisk rekke

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Steg 4 — Sett inn tall

\[S=\dfrac{11}{1-\left(-0{,}1\right)}=\dfrac{11}{1{,}1}=10\]

Steg 5 — Kontroller rimelighet

Fordi kvotienten er negativ, vil leddene veksle fortegn og summen blir mindre enn første ledd.

Tolkning

Rekken konvergerer fordi leddene blir mindre i absoluttverdi, og summen er en grenseverdi.

Vanlig feil: Å bruke \(1+k\) i nevneren uten å ta hensyn til at formelen allerede har \(1-k\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
11/(1-(-0.1))
→ \(10\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction

første_ledd = Fraction(11, 1)
kvotient = Fraction(-1, 10)
absolutt_kvotient = abs(kvotient)
sum_rekke = første_ledd/(1 - kvotient)

print('Første ledd:', første_ledd)
print('Kvotient:', kvotient)
print('Absoluttverdi av kvotienten:', absolutt_kvotient)
print('Konvergerer:', absolutt_kvotient < 1)
print('Sum av uendelig rekke:', sum_rekke)
Fasit: Rekken er konvergent, og summen er \(10\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4 - 3 poengLikningssystem

Oppgave 4

Oppgave:

Løs likningssystemet \(\begin{cases}x+y-z=13\2x+y+z=27\x-3y-2z=-9\end{cases}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Skriv likningene

Vi løser tre lineære likninger med tre ukjente.

Steg 2 — Eliminer \(z\) med de to første likningene

\[\left(x+y-z\right)+\left(2x+y+z\right)=13+27\]

Steg 3 — Forenkle

\[3x+2y=40\]

Steg 4 — Bruk systematisk løsning

Løser vi hele systemet, får vi én entydig løsning.

Steg 5 — Kontroller i alle tre likninger

\[10+5-2=13,\quad 2\cdot10+5+2=27,\quad 10-3\cdot5-2\cdot2=-9\]

Tolkning

Løsningen er skjæringspunktet mellom tre plan i rommet.

Vanlig feil: Å kontrollere løsningen i bare én av de tre likningene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs({x+y-z=13,2x+y+z=27,x-3y-2z=-9},{x,y,z})
→ \(\left\{x=10,y=5,z=2\right\}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve

x, y, z = symbols('x y z')
likninger = [
    Eq(x + y - z, 13),
    Eq(2*x + y + z, 27),
    Eq(x - 3*y - 2*z, -9)
]

løsning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0]
print('Løsning:')
print(løsning)
print('\\nKontroll ved innsetting:')
for nr, likning in enumerate(likninger, start=1):
    venstre = likning.lhs.subs(løsning)
    høyre = likning.rhs
    print(f'Likning {nr}: {venstre} = {høyre}')
Fasit: \(x=10\), \(y=5\), \(z=2\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5a - 5 poengFunksjonsdrøfting

Oppgave 5a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\). Bruk \(f'(x)\) til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f'(x)=3x^2-12x+9\]

Steg 2 — Faktoriser den deriverte

\[f'(x)=3\left(x^2-4x+3\right)=3\left(x-1\right)\left(x-3\right)\]

Steg 3 — Finn kritiske punkter

\[f'(x)=0\quad \Rightarrow\quad x=1\ \text{eller}\ x=3\]

Steg 4 — Undersøk fortegn

For \(x<1\) er \(f'(x)>0\), for \(13\) er \(f'(x)>0\).

Steg 5 — Regn ut funksjonsverdier

\[f(1)=5,\quad f(3)=1\]

Tolkning

Grafen stiger, synker og stiger igjen. Derfor er \((1,5)\) et toppunkt og \((3,1)\) et bunnpunkt.

Vanlig feil: Å sette \(f'(x)=0\) og stoppe uten å avgjøre om punktene er topp- eller bunnpunkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt(x^3-6x^2+9x+1)
→ \(\left(1,5\right),\left(3,1\right)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, factor, solve

x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 1
fp = diff(f, x)
kritiske = solve(fp, x)

print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", factor(fp))
print('Kritiske x-verdier:', kritiske)
print('\\nPunkt og klassifisering:')
for verdi in kritiske:
    yverdi = f.subs(x, verdi)
    venstre = fp.subs(x, verdi - 0.5)
    høyre = fp.subs(x, verdi + 0.5)
    print(f'x = {verdi}, f(x) = {yverdi}, fortegn før/etter = {venstre}/{høyre}')
Fasit: Toppunkt \((1,5)\), bunnpunkt \((3,1)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5b - 5 poengFunksjonsdrøfting

Oppgave 5b

Oppgave:

Bruk \(f''(x)\) til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Finn andrederivert

\[f'(x)=3x^2-12x+9,\quad f''(x)=6x-12\]

Steg 2 — Sett andrederivert lik null

\[6x-12=0\]

Steg 3 — Løs likningen

\[x=2\]

Steg 4 — Regn ut y-verdien

\[f(2)=2^3-6\cdot2^2+9\cdot2+1=3\]

Steg 5 — Kontroller fortegnsskifte

\(f''(x)<0\) når \(x<2\), og \(f''(x)>0\) når \(x>2\).

Tolkning

Grafen skifter krumning i punktet \((2,3)\).

Vanlig feil: Å finne \(x=2\), men glemme y-koordinaten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Vendepunkt(x^3-6x^2+9x+1)
→ \(\left(2,3\right)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve

x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 1
fpp = diff(f, x, 2)
vende_x = solve(fpp, x)[0]
vende_y = f.subs(x, vende_x)

print('f''(x) =', fpp)
print('Vendepunktets x-verdi:', vende_x)
print('Vendepunktets y-verdi:', vende_y)
print('Fortegn før x=2:', fpp.subs(x, 1))
print('Fortegn etter x=2:', fpp.subs(x, 3))
Fasit: Vendepunkt \((2,3)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5c - 5 poengFunksjonsdrøfting

Oppgave 5c

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk punktene fra drøftingen

Vi har toppunkt \((1,5)\), bunnpunkt \((3,1)\) og vendepunkt \((2,3)\).

Steg 2 — Finn et enkelt skjæringspunkt

\[f(0)=1\]

Steg 3 — Bruk monotonien

Grafen stiger fram til \(x=1\), synker mellom \(x=1\) og \(x=3\), og stiger etter \(x=3\).

Steg 4 — Bruk krumning

Grafen er konkav ned før \(x=2\) og konkav opp etter \(x=2\).

Steg 5 — Tegn en sammenhengende tredjegradsform

Skissen skal vise både ekstremalpunktene og vendepunktet, ikke bare nullpunkter.

Tolkning

En god skisse viser form, monotoni og krumning, ikke nødvendigvis helt presis målestokk.

Vanlig feil: Å tegne en parabel; dette er en tredjegradsfunksjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
f(x):=x^3-6x^2+9x+1
→ \(\text{graf med topp }\left(1,5\right)\text{ og bunn }\left(3,1\right)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, lambdify

x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x + 1
verdier = [-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]

print('Punkter som kan brukes i skissen:')
for xverdi in verdier:
    print(f'x = {xverdi:>2}, f(x) = {f.subs(x, xverdi)}')
print('\\nViktige punkter:')
print('Toppunkt: (1, 5)')
print('Vendepunkt: (2, 3)')
print('Bunnpunkt: (3, 1)')
Fasit: Skissen skal ha toppunkt \((1,5)\), vendepunkt \((2,3)\) og bunnpunkt \((3,1)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6a - 3 poengSannsynlighet

Oppgave 6a

Oppgave:

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel \(X\) er gitt ved tabellen \(x=0,1,2,3,4\) og \(P(X=x)=2p,p,3p,0{,}3,p\). Forklar hvorfor \(p=0{,}1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk at sannsynligheter summerer til 1

Alle sannsynlighetene i en fullstendig fordeling må ha sum \(1\).

Steg 2 — Sett opp likningen

\[2p+p+3p+0{,}3+p=1\]

Steg 3 — Samle p-leddene

\[7p+0{,}3=1\]

Steg 4 — Løs for \(p\)

\[7p=0{,}7\quad \Rightarrow\quad p=0{,}1\]

Steg 5 — Kontroller

\[0{,}2+0{,}1+0{,}3+0{,}3+0{,}1=1\]

Tolkning

Verdien \(p=0{,}1\) gjør fordelingen komplett.

Vanlig feil: Å glemme at \(3p\) er ett av leddene i summen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(2p+p+3p+0.3+p=1,p)
→ \(p=0.1\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational

p = symbols('p')
likning = Eq(2*p + p + 3*p + Rational(3, 10) + p, 1)
løsning = solve(likning, p)[0]

print('Likning for total sannsynlighet:')
print(likning)
print('p =', løsning)
print('\\nKontroll av sannsynlighetene:')
sannsynligheter = [2*løsning, løsning, 3*løsning, Rational(3, 10), løsning]
print(sannsynligheter)
print('Sum =', sum(sannsynligheter))
Fasit: \(p=0{,}1\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6b - 3 poengForventning og varians

Oppgave 6b

Oppgave:

Bestem \(E(X)\) og \(\operatorname{Var}(X)\) for fordelingen i oppgave 6a.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Sett inn \(p=0{,}1\)

Da er sannsynlighetene \(0{,}2,0{,}1,0{,}3,0{,}3,0{,}1\).

Steg 2 — Regn forventningen

\[E(X)=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}1+2\cdot0{,}3+3\cdot0{,}3+4\cdot0{,}1=2\]

Steg 3 — Regn \(E(X^2)\)

\[E\left(X^2\right)=0^2\cdot0{,}2+1^2\cdot0{,}1+2^2\cdot0{,}3+3^2\cdot0{,}3+4^2\cdot0{,}1=5{,}6\]

Steg 4 — Bruk variansformelen

\[\operatorname{Var}(X)=E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2\]

Steg 5 — Sett inn

\[\operatorname{Var}(X)=5{,}6-2^2=1{,}6\]

Tolkning

Forventningen er gjennomsnittsverdien på lang sikt, og variansen måler spredningen rundt forventningen.

Vanlig feil: Å regne \(E(X^2)\) som \(E(X)^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum({0*0.2,1*0.1,2*0.3,3*0.3,4*0.1})
→ \(2\)
2
5.6-2^2
→ \(1.6\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction

verdier = [0, 1, 2, 3, 4]
sannsynligheter = [Fraction(2, 10), Fraction(1, 10), Fraction(3, 10), Fraction(3, 10), Fraction(1, 10)]

forventning = sum(x*p for x, p in zip(verdier, sannsynligheter))
forventning_kvadrat = sum(x**2*p for x, p in zip(verdier, sannsynligheter))
varians = forventning_kvadrat - forventning**2

print('Verdier:', verdier)
print('Sannsynligheter:', sannsynligheter)
print('E(X) =', forventning, '=', float(forventning))
print('E(X^2) =', forventning_kvadrat, '=', float(forventning_kvadrat))
print('Var(X) =', varians, '=', float(varians))
Fasit: \(E(X)=2\) og \(\operatorname{Var}(X)=1{,}6\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 7a - 4 poengNormalfordeling

Oppgave 7a

Oppgave:

Fire normalfordelte variabler har \(E(X_1)=5\), \(SD(X_1)=1\), \(E(X_2)=5\), \(SD(X_2)=3\), \(E(X_3)=10\), \(SD(X_3)=3\) og \(E(X_4)=10\), \(SD(X_4)=1\). Hvilke av de grafiske framstillingene illustrerer \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) og \(X_4\)? Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk forventningsverdien

Forventningen bestemmer hvor toppunktet til normalfordelingskurven ligger.

Steg 2 — Bruk standardavviket

Lite standardavvik gir en smal og høy kurve, mens stort standardavvik gir en bred og lav kurve.

Steg 3 — Les av kurvene

Kurvene med topp rundt \(5\) er graf (3) og (4). Kurvene med topp rundt \(10\) er graf (1) og (2).

Steg 4 — Skill mellom bred og smal

Graf (4) er smal ved \(5\), så den passer \(SD=1\). Graf (3) er bred ved \(5\), så den passer \(SD=3\).

Steg 5 — Gjør det samme ved \(10\)

Graf (1) er smal ved \(10\), og graf (2) er bred ved \(10\).

Tolkning

Plassering bestemmes av forventning, mens bredden bestemmes av standardavvik.

Vanlig feil: Å tro at høyest topp betyr størst forventning. Høyden påvirkes først og fremst av standardavviket.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Normal(5,1)
→ \(\text{graf }4\)
2
Normal(5,3)
→ \(\text{graf }3\)
3
Normal(10,3)
→ \(\text{graf }2\)
4
Normal(10,1)
→ \(\text{graf }1\)

Python-kontroll

from math import sqrt, pi

variabler = {
    'X1': {'mu': 5, 'sigma': 1},
    'X2': {'mu': 5, 'sigma': 3},
    'X3': {'mu': 10, 'sigma': 3},
    'X4': {'mu': 10, 'sigma': 1},
}

print('For normalfordeling er maksimal høyde 1/(sigma*sqrt(2*pi)).')
for navn, data in variabler.items():
    høyde = 1/(data['sigma']*sqrt(2*pi))
    print(f"{navn}: forventning = {data['mu']}, standardavvik = {data['sigma']}, topphøyde ca. {høyde:.3f}")

print('\\nKobling til grafene:')
print('X1 -> graf 4')
print('X2 -> graf 3')
print('X3 -> graf 2')
print('X4 -> graf 1')
Fasit: \(X_1\): graf (4), \(X_2\): graf (3), \(X_3\): graf (2), \(X_4\): graf (1) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 7b - 4 poengNormalfordeling

Oppgave 7b

Oppgave:

For den ene variabelen er \(P(7

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Test de aktuelle intervallene

Vi sammenlikner sannsynlighetene for de fire normalfordelingene.

Steg 2 — Standardiser for \(X_3\)

For \(X_3\) er \(\mu=10\) og \(\sigma=3\).

Steg 3 — Finn z-grensene

\[z_1=\dfrac{7-10}{3}=-1,\quad z_2=\dfrac{14-10}{3}=\dfrac{4}{3}\]

Steg 4 — Vurder sannsynligheten

Arealet fra \(-1\) til \(1{,}33\) under standardnormalfordelingen er omtrent \(0{,}75\).

Steg 5 — Avvis de andre

De andre gir enten for lite eller nesten hele arealet i intervallet.

Tolkning

Variabelen må ha sentrum rundt \(10\) og ganske stor spredning. Det passer \(X_3\).

Vanlig feil: Å bare se på at intervallet inneholder forventningen uten å ta hensyn til standardavviket.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Normal(10,3,7,14)
→ \(0.7501\)

Python-kontroll

from statistics import NormalDist

kandidater = {
    'X1': NormalDist(mu=5, sigma=1),
    'X2': NormalDist(mu=5, sigma=3),
    'X3': NormalDist(mu=10, sigma=3),
    'X4': NormalDist(mu=10, sigma=1),
}

print('Beregner P(7 < X < 14) for hver variabel:')
for navn, normal in kandidater.items():
    sannsynlighet = normal.cdf(14) - normal.cdf(7)
    print(f'{navn}: {sannsynlighet:.6f}')

print('\\nVariabelen som passer best med 0,75 er X3.')
Fasit: Variabelen er \(X_3\) (bekreftet digitalt).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1a - 6 poengØkonomi og derivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

En bedrift produserer og selger en vare. Etterspørselen er \(E(p)=6000-4p\), der \(p\) er prisen i kroner per enhet. Vis at grenseinntekten er \(I'(x)=1500-0{,}5x\), der \(x=E(p)\) er antall solgte enheter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Skriv sammenhengen mellom antall og pris

\[x=6000-4p\]

Steg 2 — Løs for prisen

\[4p=6000-x\quad \Rightarrow\quad p=1500-0{,}25x\]

Steg 3 — Skriv inntekten

Inntekt er pris ganger antall solgte enheter.

Steg 4 — Sett inn prisfunksjonen

\[I(x)=x\left(1500-0{,}25x\right)=1500x-0{,}25x^2\]

Steg 5 — Deriver inntekten

\[I'(x)=1500-0{,}5x\]

Tolkning

Grenseinntekten viser hvor mye inntekten endres når salget øker med omtrent én enhet.

Vanlig feil: Å derivere etter \(p\) i stedet for etter \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(x*(1500-0.25x),x)
→ \(1500-0.5x\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, expand, pprint

x = symbols('x')
pris = 1500 - 0.25*x
inntekt = expand(x*pris)
grenseinntekt = diff(inntekt, x)

print('Pris som funksjon av x:')
pprint(pris)
print('\\nInntekt I(x):')
pprint(inntekt)
print("\\nGrenseinntekt I'(x):")
pprint(grenseinntekt)
Fasit: \(I'(x)=1500-0{,}5x\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 1b - 6 poengØkonomi og optimering

Oppgave 1b

Oppgave:

Kostnadene er \(K(x)=0{,}02x^2+20x+550000\). Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hva er prisen per enhet da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk inntektsfunksjonen fra a

\[I(x)=1500x-0{,}25x^2\]

Steg 2 — Sett opp overskuddet

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 3 — Forenkle

\[O(x)=1500x-0{,}25x^2-\left(0{,}02x^2+20x+550000\right)=-0{,}27x^2+1480x-550000\]

Steg 4 — Deriver og sett lik null

\[O'(x)=-0{,}54x+1480=0\]

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[x=\dfrac{1480}{0{,}54}pprox2740{,}7\]

Steg 6 — Finn prisen

\[p=1500-0{,}25xpprox1500-0{,}25\cdot2740{,}7pprox814{,}8\]

Tolkning

Bedriften bør selge omtrent \(2741\) enheter, og prisen blir omtrent \(815\) kroner per enhet.

Vanlig feil: Å maksimere inntekt i stedet for overskudd. Kostnadene må trekkes fra.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Maks(-0.27x^2+1480x-550000)
→ \(x=2740.74\)
2
1500-0.25*2740.74
→ \(814.81\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, N

x = symbols('x')
inntekt = 1500*x - 0.25*x**2
kostnad = 0.02*x**2 + 20*x + 550000
overskudd = inntekt - kostnad
kritisk = solve(diff(overskudd, x), x)[0]
pris = 1500 - 0.25*kritisk

print('Overskuddsfunksjon:')
print(overskudd)
print("\\nO'(x) =", diff(overskudd, x))
print('Maksimum ved x =', N(kritisk, 8))
print('Pris ved maksimum =', N(pris, 8))
print('Overskudd ved maksimum =', N(overskudd.subs(x, kritisk), 8))
Fasit: Omtrent \(2741\) enheter og pris omtrent \(815\) kroner (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 1c - 6 poengØkonomi og nullpunkt

Oppgave 1c

Oppgave:

Bedriften vil sette ned prisen for å øke markedsandelen. Hva er den minste prisen bedriften kan sette for likevel å kunne gå i balanse?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Balanse betyr null overskudd

\[O(x)=0\]

Steg 2 — Bruk overskuddsfunksjonen

\[-0{,}27x^2+1480x-550000=0\]

Steg 3 — Løs andregradslikningen

\[xpprox400{,}95\quad \text{eller}\quad xpprox5080{,}53\]

Steg 4 — Velg riktig rot

Lavere pris gir høyere etterspørsel, altså den største \(x\)-verdien.

Steg 5 — Regn prisen

\[p=1500-0{,}25\cdot5080{,}53pprox229{,}87\]

Tolkning

Den laveste prisen som fortsatt gir balanse, er omtrent \(230\) kroner.

Vanlig feil: Å velge den lave \(x\)-verdien. Den gir høy pris, ikke økt markedsandel.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(-0.27x^2+1480x-550000=0)
→ \(xpprox400.95\lor xpprox5080.53\)
2
1500-0.25*5080.53
→ \(229.87\)

Python-kontroll

import numpy as np

# O(x) = -0.27x^2 + 1480x - 550000
koeffisienter = [-0.27, 1480, -550000]
røtter = np.roots(koeffisienter)

print('Løser balansepunkt O(x)=0')
for rot in røtter:
    pris = 1500 - 0.25*rot
    print(f'x = {rot:.4f}, pris = {pris:.4f}')

størst_x = max(røtter)
laveste_pris = 1500 - 0.25*størst_x
print('Laveste pris kommer fra den største x-verdien.')
print(f'Laveste pris = {laveste_pris:.2f}')
Fasit: Minste pris er omtrent \(230\) kroner (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2a - 7 poengLogistisk modell

Oppgave 2a

Oppgave:

Firma A har modellen \(f(x)=\dfrac{333}{1+1{,}45e^{-0{,}23x}}\), der \(x\) er antall år etter 2006. Hvor mange enheter solgte firma A i 2012 ifølge modellen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Finn riktig \(x\)-verdi

Året 2012 er \(2012-2006=6\) år etter 2006.

Steg 2 — Sett inn \(x=6\)

\[f(6)=\dfrac{333}{1+1{,}45e^{-0{,}23\cdot6}}\]

Steg 3 — Regn med kalkulator/CAS

\[f(6)pprox243{,}99\]

Steg 4 — Rund av praktisk

Antall solgte enheter må tolkes som omtrent \(244\).

Steg 5 — Kontroller størrelsen

Dette passer med at modellen nærmer seg øvre grense \(333\).

Tolkning

I 2012 gir modellen omtrent \(244\) solgte enheter.

Vanlig feil: Å bruke \(x=2012\) i modellen i stedet for år etter 2006.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
333/(1+1.45*e^(-0.23*6))
→ \(243.99\)

Python-kontroll

from math import exp

x = 6
f = 333/(1 + 1.45*exp(-0.23*x))
print('År 2012 gir x =', x)
print('f(6) =', f)
print('Avrundet til nærmeste hele enhet:', round(f))
Fasit: Omtrent \(244\) enheter (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2b - 7 poengRegresjon

Oppgave 2b

Oppgave:

For firma B er antall solgte enheter per år gitt ved tabellen: \(x=0,1,2,3,4,5,6\) og verdier \(135,154,176,192,211,228,243\). Bestem ut fra disse tallene en logistisk modell for firma B.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Velg logistisk modell

En logistisk modell kan skrives \(g(x)=\dfrac{L}{1+a e^{-bx}}\).

Steg 2 — Legg inn data i regresjonsverktøy

Vi bruker logistisk regresjon med punktene fra tabellen.

Steg 3 — Les av parameterne

Regresjon gir omtrent \(L=317{,}17\), \(a=1{,}3466\) og \(b=0{,}2470\).

Steg 4 — Skriv modellen

\[g(x)pprox\dfrac{317{,}17}{1+1{,}3466e^{-0{,}2470x}}\]

Steg 5 — Kontroller mot tabellen

For \(x=0\) gir modellen omtrent \(135\), og for \(x=6\) omtrent \(243\).

Tolkning

Modellen beskriver vekst som flater ut mot omtrent \(317\) enheter per år.

Vanlig feil: Å bruke lineær regresjon når oppgaven ber om en logistisk modell.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
RegLogistisk({(0,135),(1,154),(2,176),(3,192),(4,211),(5,228),(6,243)})
→ \(\dfrac{317.17}{1+1.3466e^{-0.2470x}}\)

Python-kontroll

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

xdata = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], dtype=float)
ydata = np.array([135, 154, 176, 192, 211, 228, 243], dtype=float)

def logistisk(x, L, a, b):
    return L/(1 + a*np.exp(-b*x))

parametre, kovarians = curve_fit(logistisk, xdata, ydata, p0=[320, 1.4, 0.25], maxfev=10000)
L, a, b = parametre

print('Logistisk regresjonsmodell for firma B:')
print(f'g(x) = {L:.4f} / (1 + {a:.4f}*exp(-{b:.4f}*x))')
print('\\nKontroll mot tabellverdiene:')
for x, y in zip(xdata, ydata):
    modellverdi = logistisk(x, L, a, b)
    print(f'x = {int(x)}, observert = {y:.0f}, modell = {modellverdi:.2f}')
Fasit: En mulig modell er \(g(x)pprox\dfrac{317{,}17}{1+1{,}3466e^{-0{,}2470x}}\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2c - 7 poengLogistisk modell

Oppgave 2c

Oppgave:

Hvilket firma vil i det lange løp selge flest enheter per år ifølge de to modellene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Finn øvre grense for firma A

I modellen \(f(x)=\dfrac{333}{1+1{,}45e^{-0{,}23x}}\) er øvre grense \(333\).

Steg 2 — Finn øvre grense for firma B

Fra regresjonsmodellen er øvre grense omtrent \(317{,}17\).

Steg 3 — Sammenlikn grensene

\[333>317{,}17\]

Steg 4 — Tolk langsiktig

Når \(x\) blir stor, nærmer de logistiske modellene seg disse øvre grensene.

Steg 5 — Konkluder

Firma A vil derfor selge flest enheter per år i det lange løp.

Tolkning

Langsiktig salg bestemmes av bærekapasiteten/øvre asymptote i den logistiske modellen.

Vanlig feil: Å sammenlikne bare verdiene i 2012 i stedet for de langsiktige grensene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Grense(333/(1+1.45e^(-0.23x)),x,uendelig)
→ \(333\)
2
Grense(317.17/(1+1.3466e^(-0.2470x)),x,uendelig)
→ \(317.17\)

Python-kontroll

from math import inf

øvre_grense_A = 333
øvre_grense_B = 317.17445

print('Øvre grense firma A:', øvre_grense_A)
print('Øvre grense firma B:', øvre_grense_B)
print('Firma med størst langsiktig salg:', 'A' if øvre_grense_A > øvre_grense_B else 'B')
Fasit: Firma A (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2d - 7 poengSummering av modellverdier

Oppgave 2d

Oppgave:

Hvor mange enheter forventes det at hvert av de to firmaene importerer og selger totalt i årene fra og med 2006 til og med 2015?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Finn x-verdiene

Årene 2006 til og med 2015 svarer til \(x=0,1,2,\ldots,9\).

Steg 2 — Summer modellverdier for firma A

\[\sum_{x=0}^{9} f(x)pprox2150{,}9\]

Steg 3 — Summer modellverdier for firma B

\[\sum_{x=0}^{9} g(x)pprox2139{,}1\]

Steg 4 — Rund av til hele enheter

Firma A: omtrent \(2151\). Firma B: omtrent \(2139\).

Steg 5 — Kontroller intervall

Det er viktig at både 2006 og 2015 er med, altså 10 år.

Tolkning

Firma A forventes å selge litt flere enheter totalt i perioden.

Vanlig feil: Å summere bare til \(x=6\), fordi tabellen stopper der.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum(333/(1+1.45e^(-0.23x)),x,0,9)
→ \(2150.9\)
2
Sum(317.17/(1+1.3466e^(-0.2470x)),x,0,9)
→ \(2139.1\)

Python-kontroll

import numpy as np
from math import exp

L = 317.17445
a = 1.34661286
b = 0.24695253

def f_A(x):
    return 333/(1 + 1.45*exp(-0.23*x))

def f_B(x):
    return L/(1 + a*exp(-b*x))

år = list(range(2006, 2016))
xverdier = list(range(0, 10))

sum_A = sum(f_A(x) for x in xverdier)
sum_B = sum(f_B(x) for x in xverdier)

print('År og modellverdier:')
for årstall, x in zip(år, xverdier):
    print(f'{årstall}: A = {f_A(x):.2f}, B = {f_B(x):.2f}')
print('\\nTotalsum 2006 til og med 2015:')
print(f'Firma A: {sum_A:.2f} ca. {round(sum_A)}')
print(f'Firma B: {sum_B:.2f} ca. {round(sum_B)}')
Fasit: Firma A: omtrent \(2151\) enheter. Firma B: omtrent \(2139\) enheter (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3a - 6 poengFinansmatematikk

Oppgave 3a

Oppgave:

Svanhild vurderer et annuitetslån på \(600000\) kroner med fast årlig rente \(3{,}5\,\%\), én termin per år og nedbetalingstid \(20\) år. Forklar hvorfor terminbeløpet kan bestemmes ved likningen \(\dfrac{x}{1{,}035}\left(1+\dfrac{1}{1{,}035}+\dfrac{1}{1{,}035^2}+\cdots+\dfrac{1}{1{,}035^{19}}\right)=600000\). Bestem terminbeløpet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Tolk likningen

Hvert terminbeløp \(x\) diskonteres tilbake til lånetidspunktet.

Steg 2 — Se at dette er en geometrisk rekke

Diskonteringsfaktoren er \(\dfrac{1}{1{,}035}\).

Steg 3 — Bruk annuitetsformelen

\[x=600000\cdot\dfrac{0{,}035}{1-1{,}035^{-20}}\]

Steg 4 — Regn ut

\[xpprox42216{,}65\]

Steg 5 — Rund av praktisk

Terminbeløpet er omtrent \(42217\) kroner per år.

Tolkning

Nåverdien av alle terminbeløpene må være lik lånebeløpet.

Vanlig feil: Å bruke 20 som rente eller å glemme at første betaling skjer om ett år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
600000*0.035/(1-1.035^(-20))
→ \(42216.65\)

Python-kontroll

from math import pow

lån = 600000
rente = 0.035
antall_terminer = 20
terminbeløp = lån*rente/(1 - (1 + rente)**(-antall_terminer))

print('Lånebeløp:', lån)
print('Årlig rente:', rente)
print('Antall terminer:', antall_terminer)
print('Terminbeløp:', terminbeløp)
print('Avrundet:', round(terminbeløp))

nåverdi = sum(terminbeløp/(1 + rente)**k for k in range(1, antall_terminer + 1))
print('Kontrollert nåverdi av betalingene:', nåverdi)
Fasit: Terminbeløpet er omtrent \(42217\) kroner (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3b - 6 poengFinansmatematikk

Oppgave 3b

Oppgave:

Hva er den høyeste renten Svanhild kan ha dersom hun maksimalt kan betale \(50000\) kroner i terminbeløp med \(20\) års nedbetalingstid?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Sett opp annuitetslikningen

\[50000=600000\cdot\dfrac{r}{1-\left(1+r\right)^{-20}}\]

Steg 2 — Løs numerisk

Likningen kan ikke løses pent for hånd, så vi bruker CAS.

Steg 3 — Finn renten

\[rpprox0{,}054501\]

Steg 4 — Gjør om til prosent

\[0{,}054501\cdot100\,\%pprox5{,}45\,\%\]

Steg 5 — Kontroller

Ved denne renten blir terminbeløpet omtrent \(50000\).

Tolkning

Den høyeste årlige renten er omtrent \(5{,}45\,\%\).

Vanlig feil: Å bruke \(50000/600000\) direkte som rente. Annuitet påvirkes også av antall terminer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
NLøs(50000=600000*r/(1-(1+r)^(-20)),r)
→ \(rpprox0.054501\)

Python-kontroll

from scipy.optimize import brentq

lån = 600000
maks_betaling = 50000
n = 20

def betaling(r):
    return lån*r/(1 - (1 + r)**(-n))

def likning(r):
    return betaling(r) - maks_betaling

rente = brentq(likning, 0.0001, 0.20)
print('Høyeste rente som gir terminbeløp 50000:')
print('r =', rente)
print('prosent =', rente*100)
print('kontrollert terminbeløp =', betaling(rente))
Fasit: Omtrent \(5{,}45\,\%\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3c - 6 poengFinansmatematikk

Oppgave 3c

Oppgave:

Bankens rådgiver mener at Svanhild må kunne betale en fast årlig rente på \(6{,}5\,\%\). Hvor mange terminer må hun betale dersom terminbeløpet skal være mindre enn \(50000\) kroner?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk annuitetsformelen med \(r=0{,}065\)

\[x(n)=600000\cdot\dfrac{0{,}065}{1-1{,}065^{-n}}\]

Steg 2 — Sett kravet

\[x(n)<50000\]

Steg 3 — Løs numerisk

CAS gir grensen \(n>24{,}04\).

Steg 4 — Velg helt antall terminer

Antall terminer må være et helt tall, derfor må hun velge minst \(25\) terminer.

Steg 5 — Kontroller betaling ved \(n=25\)

\[x(25)pprox49188{,}89<50000\]

Tolkning

Hun må betale i minst \(25\) terminer.

Vanlig feil: Å runde \(24{,}04\) ned til 24. Da blir terminbeløpet fortsatt for høyt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
600000*0.065/(1-1.065^(-25))
→ \(49188.89\)

Python-kontroll

from math import log

lån = 600000
rente = 0.065
maks_betaling = 50000

def terminbeløp(n):
    return lån*rente/(1 - (1 + rente)**(-n))

print('Tester antall terminer ved rente 6,5 prosent:')
for n in range(20, 31):
    beløp = terminbeløp(n)
    print(f'n = {n:2d}, terminbeløp = {beløp:.2f}')

minste = next(n for n in range(1, 100) if terminbeløp(n) < maks_betaling)
print('\\nMinste antall terminer med terminbeløp under 50000:', minste)
Fasit: Minst \(25\) terminer (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4a - 4 poengHypotesetest

Oppgave 4a

Oppgave:

Ifølge SSB røykte \(17\,\%\) av befolkningen i 2011. Etter en kampanje ble \(100\) personer spurt, og \(12\) svarte at de røykte. Sett opp en passende nullhypotese og alternativ hypotese.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Definer parameteren

La \(p\) være andelen personer over 16 år som røyker etter kampanjen.

Steg 2 — Nullhypotesen

Nullhypotesen er at kampanjen ikke har redusert andelen.

Steg 3 — Skriv \(H_0\)

\[H_0:p=0{,}17\]

Steg 4 — Alternativ hypotese

Siden vi undersøker om kampanjen har hatt effekt nedover, bruker vi venstresidig test.

Steg 5 — Skriv \(H_1\)

\[H_1:p<0{,}17\]

Tolkning

Dette er en ensidig test fordi myndighetene ønsker å se om andelen har gått ned.

Vanlig feil: Å bruke \(p\ne0{,}17\) når spørsmålet handler om en reduksjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
H_0
→ \(p=0.17\)
2
H_1
→ \(p<0.17\)

Python-kontroll

print('Parameter: p = andelen som røyker etter kampanjen')
print('Nullhypotese H0: p = 0.17')
print('Alternativ hypotese H1: p < 0.17')
print('Testtype: venstresidig binomisk test')
Fasit: \(H_0:p=0{,}17\), \(H_1:p<0{,}17\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4b - 4 poengBinomisk test

Oppgave 4b

Oppgave:

Avgjør om myndighetene har grunn til å tro at kampanjen hadde effekt. Bruk et signifikansnivå på \(5\,\%\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Modell under nullhypotesen

Under \(H_0\) er \(X\sim \operatorname{Binomisk}\left(100,0{,}17\right)\).

Steg 2 — Observasjonen

Vi observerer \(X=12\).

Steg 3 — Regn p-verdien

\[P(X\le 12)pprox0{,}1124\]

Steg 4 — Sammenlikn med signifikansnivå

\[0{,}1124>0{,}05\]

Steg 5 — Konkluder

Vi forkaster ikke \(H_0\).

Tolkning

Undersøkelsen gir ikke sterk nok statistisk evidens på \(5\,\%\)-nivå for at andelen røykere er redusert.

Vanlig feil: Å sammenlikne \(12\,\%\) direkte med \(17\,\%\) uten å ta hensyn til tilfeldig variasjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
BinomialFordeling(100,0.17,12,true)
→ \(0.1124\)

Python-kontroll

from math import comb

n = 100
p0 = 0.17
observasjon = 12
p_verdi = sum(comb(n, k)*(p0**k)*((1 - p0)**(n - k)) for k in range(observasjon + 1))

print('Binomisk test, venstresidig')
print('n =', n)
print('p0 =', p0)
print('observasjon =', observasjon)
print('p-verdi =', p_verdi)
print('signifikansnivå = 0.05')
print('Forkast H0:', p_verdi < 0.05)
Fasit: P-verdien er \(0{,}112\), så \(H_0\) forkastes ikke (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5a - 7 poengNormalfordeling

Oppgave 5a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}\). Tegn grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Gjenkjenn formen

Dette er en klokkeformet kurve med topp når eksponenten er størst.

Steg 2 — Finn toppunktet

Eksponenten er \(0\) når \(x=5\), og da er \(f(5)=1\).

Steg 3 — Finn symmetriaksen

\[\left(x-5\right)^2\ \text{viser at grafen er symmetrisk om}\ x=5\]

Steg 4 — Finn noen punkter

\[f(4)=f(6)=e^{-1/2}pprox0{,}607\]

Steg 5 — Skisser

Grafen er positiv overalt, har topp i \((5,1)\), og går mot \(0\) på begge sider.

Tolkning

Grafen er normalfordelingsformen uten konstanten foran.

Vanlig feil: Å plassere toppen i \(x=0\); uttrykket er forskjøvet til \(x=5\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Funksjon(e^(-((x-5)^2)/2))
→ \(\text{toppunkt }\left(5,1\right)\)

Python-kontroll

from math import exp

print('Punkter til grafskissen for f(x) = exp(-((x-5)**2)/2):')
for x in range(1, 10):
    y = exp(-((x - 5)**2)/2)
    print(f'x = {x}, f(x) = {y:.4f}')
print('\\nToppunkt: (5, 1)')
print('Symmetriakse: x = 5')
Fasit: Grafen har toppunkt \((5,1)\) og symmetriakse \(x=5\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5b - 7 poengDerivasjon og vendepunkt

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem \(f'(x)\). Bruk produktregelen og kjerneregelen for derivasjon, og vis at \(f''(x)=\left(x^2-10x+24\right)e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}\). Bruk dette til å bestemme koordinatene til vendepunktene på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Deriver med kjerneregelen

\[f'(x)=e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}\cdot\left(-\left(x-5\right)\right)\]

Steg 2 — Skriv penere

\[f'(x)=\left(5-x\right)e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}\]

Steg 3 — Deriver på nytt med produktregelen

\[f''(x)=-e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}+\left(5-x\right)^2e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}\]

Steg 4 — Faktoriser

\[f''(x)=\left(\left(x-5\right)^2-1\right)e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}=\left(x^2-10x+24\right)e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}\]

Steg 5 — Finn vendepunktene

Eksponentialfaktoren er alltid positiv, så \(f''(x)=0\) når \(x^2-10x+24=0\).

Steg 6 — Løs og finn y-verdier

\[x=4\ \text{eller}\ x=6,\quad f(4)=f(6)=e^{-1/2}pprox0{,}607\]

Tolkning

Vendepunktene ligger ett standardavvik på hver side av sentrum \(x=5\).

Vanlig feil: Å sette eksponentialfaktoren lik null. Den blir aldri null.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(e^(-((x-5)^2)/2),x)
→ \(\left(5-x\right)e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}\)
2
Løs(x^2-10x+24=0)
→ \(x=4\lor x=6\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, factor, solve, N, pprint

x = symbols('x')
f = exp(-((x - 5)**2)/2)
fp = diff(f, x)
fpp = diff(f, x, 2)
vende_x = solve(factor(fpp/exp(-((x - 5)**2)/2)), x)

print("f'(x):")
pprint(factor(fp))
print('\\nf''(x):')
pprint(factor(fpp))
print('\\nVendepunkter:')
for verdi in vende_x:
    yverdi = f.subs(x, verdi)
    print(f'x = {verdi}, y = {N(yverdi, 8)}')
Fasit: \(f'(x)=\left(5-x\right)e^{-\frac{\left(x-5\right)^2}{2}}\). Vendepunkter: \(\left(4,e^{-1/2}\right)\) og \(\left(6,e^{-1/2}\right)\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5c - 7 poengNormalfordeling og integral

Oppgave 5c

Oppgave:

For en normalfordelt variabel \(X\) med \(\mu=5\) og \(\sigma=1\) gjelder \(P(a

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk vendepunktene fra b

Vi fant \(a=4\) og \(b=6\).

Steg 2 — Sett opp integralet

\[P(4

Steg 3 — Bruk normalfordeling

Dette er sannsynligheten for å ligge innen ett standardavvik fra forventningen.

Steg 4 — Regn numerisk

\[P(4

Steg 5 — Tolk svaret

Omtrent \(68{,}3\,\%\) ligger mellom vendepunktene.

Tolkning

Resultatet er den kjente ett-standardavvik-sannsynligheten for normalfordelingen.

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\) foran integralet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
1/sqrt(2*pi)*Integral(e^(-((x-5)^2)/2),4,6)
→ \(0.6827\)

Python-kontroll

from math import exp, sqrt, pi
from scipy.integrate import quad
from statistics import NormalDist

mu = 5
sigma = 1
a = 4
b = 6

def tetthet(x):
    return (1/sqrt(2*pi))*exp(-((x - mu)**2)/2)

integralverdi, feilestimat = quad(tetthet, a, b)
normal_kontroll = NormalDist(mu=mu, sigma=sigma).cdf(b) - NormalDist(mu=mu, sigma=sigma).cdf(a)

print('Beregner P(4 < X < 6) med numerisk integral')
print('Integralverdi =', integralverdi)
print('Feilestimat fra quad =', feilestimat)
print('Kontroll med NormalDist =', normal_kontroll)
print('Prosent =', normal_kontroll*100)
Fasit: \(P(4
Del 2 - Oppgave 6a - 6 poengRekker og geometri

Oppgave 6a

Oppgave:

En likesidet \(\triangle ABC\) har areal \(T\). Midtpunktene på sidene danner nye likesidede trekanter med arealer \(T_1,T_2,T_3,\ldots\). Forklar at rekken av arealer \(T_1+T_2+T_3+\cdots\) kan skrives som \(\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{16}+\dfrac{T}{64}+\cdots\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk midtpunkter

Når sidene halveres, blir lengdeskalaen \(\dfrac{1}{2}\).

Steg 2 — Areal skaleres med kvadratet av lengdeskalaen

\[\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\]

Steg 3 — Første nye trekant

\[T_1=\dfrac{T}{4}\]

Steg 4 — Neste trekant

Samme prosess gjentas, så hvert nytt areal er \(\dfrac{1}{4}\) av det forrige.

Steg 5 — Skriv rekken

\[T_1+T_2+T_3+\cdots=\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{16}+\dfrac{T}{64}+\cdots\]

Tolkning

Arealene danner en geometrisk rekke med kvotient \(\dfrac{1}{4}\).

Vanlig feil: Å tro at arealet halveres når sidelengden halveres. Arealet blir firedelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sequence(T/4*(1/4)^(n-1),n,1,5)
→ \(\dfrac{T}{4},\dfrac{T}{16},\dfrac{T}{64},\ldots\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Rational

T = symbols('T')
kvotient = Rational(1, 4)
arealer = [T/4 * kvotient**(n - 1) for n in range(1, 6)]

print('Første fem arealer i rekken:')
for n, areal in enumerate(arealer, start=1):
    print(f'T_{n} = {areal}')
print('Kvotient mellom påfølgende arealer:', kvotient)
Fasit: \(T_1+T_2+T_3+\cdots=\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{16}+\dfrac{T}{64}+\cdots\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 6b - 6 poengUendelig geometrisk rekke

Oppgave 6b

Oppgave:

Vis ved regning eller ved å studere figuren at summen av rekken \(\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{16}+\dfrac{T}{64}+\cdots\) er lik \(\dfrac{T}{3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Identifiser første ledd

\[a_1=\dfrac{T}{4}\]

Steg 2 — Identifiser kvotienten

\[k=\dfrac{1}{4}\]

Steg 3 — Sjekk konvergens

\[\left|k\right|=\dfrac{1}{4}<1\]

Steg 4 — Bruk sumformelen

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Steg 5 — Sett inn og forenkle

\[S=\dfrac{\dfrac{T}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\dfrac{T}{4}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{T}{3}\]

Tolkning

De uendelig mange innskrevne trekantene dekker samlet en tredel av arealet \(T\).

Vanlig feil: Å bruke formelen for endelig geometrisk rekke i stedet for uendelig sum.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
(T/4)/(1-1/4)
→ \(T/3\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Rational, simplify

T = symbols('T')
a1 = T/4
k = Rational(1, 4)
sum_uendelig = simplify(a1/(1 - k))

print('Første ledd:', a1)
print('Kvotient:', k)
print('Sum av uendelig geometrisk rekke:', sum_uendelig)
Fasit: Summen er \(\dfrac{T}{3}\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 6c - 6 poengUendelig geometrisk rekke

Oppgave 6c

Oppgave:

Omkretsen av \(\triangle ABC\) er lik \(3\). Trekanten som har areal lik \(T_n\), har omkrets lik \(O_n\). Forklar at rekken av omkretser \(O_1+O_2+O_3+\cdots\) kan skrives som \(\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{8}+\cdots\). Bestem summen til rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese uttrykket nøyaktig, velge riktig metode, vise mellomregning og avslutte med en digital kontroll.

Steg 1 — Bruk lengdeskala

Hver ny trekant har sidelengder som er halvparten av den forrige trekanten.

Steg 2 — Første omkrets

\[O_1=3\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\]

Steg 3 — Neste omkretser

\[O_2=\dfrac{3}{4},\quad O_3=\dfrac{3}{8}\]

Steg 4 — Identifiser geometrisk rekke

Første ledd er \(\dfrac{3}{2}\), og kvotienten er \(\dfrac{1}{2}\).

Steg 5 — Finn summen

\[S=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=3\]

Tolkning

Selv om det er uendelig mange trekanter, blir samlet omkrets endelig.

Vanlig feil: Å bruke arealkvotienten \(\dfrac{1}{4}\) på omkretsene; omkrets følger lengdeskala, altså \(\dfrac{1}{2}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
(3/2)/(1-1/2)
→ \(3\)

Python-kontroll

from fractions import Fraction

første_omkrets = Fraction(3, 2)
kvotient = Fraction(1, 2)
sum_omkretser = første_omkrets/(1 - kvotient)

print('Rekke av omkretser:')
for n in range(1, 8):
    ledd = første_omkrets*kvotient**(n - 1)
    print(f'O_{n} = {ledd}')
print('Sum av uendelig rekke:', sum_omkretser)
Fasit: Rekken er \(\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{8}+\cdots\), og summen er \(3\) (bekreftet digitalt).
Teknisk kontroll: MathJax er satt i head, all kode ligger i <pre><code>, Python-boksene har nøytral kodevisning, og GeoGebra CAS-bokser er beholdt.