S2 eksamenVår 2012

Matematikk S2 eksamen – vår 2012

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Vår 2012 – løsningsforslag

Bokmål. Komplett løsningsforslag med trinnvis metode, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og fullere Python-kontroller uten uønsket kodehighlight.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonene 1) \(f(x)=x^3+2x+3\), 2) \(g(x)=2x^2\cdot e^{2x}\), 3) \(h(x)=3x\cdot\ln(2x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Potensregel

\[ f'(x)=3x^2+2 \]

Steg 2 — Produktregel på \(g\)

\[ g'(x)=4x e^{2x}+2x^2\cdot2e^{2x}=4x(x+1)e^{2x} \]

Steg 3 — Produktregel på \(h\)

\[ h'(x)=3\ln(2x)+3x\cdot\dfrac1x=3\ln(2x)+3 \]

Tolkning

Den deriverte gir momentan vekstfart.

Vanlig feil: Å glemme kjerneregelen i \(e^{2x}\) og \(\ln(2x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Derivert({x^3+2x+3,2x^2*e^(2x),3x*ln(2x)})
→ \(3x^2+2,\;4x(x+1)e^{2x},\;3\ln(2x)+3\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, exp, log, simplify
x = symbols('x', positive=True)
f = x**3 + 2*x + 3
g = 2*x**2*exp(2*x)
h = 3*x*log(2*x)
print("f_derivert =", diff(f, x))
print("g_derivert =", simplify(diff(g, x)))
print("h_derivert =", simplify(diff(h, x)))
Fasit: \(f'(x)=3x^2+2\), \(g'(x)=4x(x+1)e^{2x}\), \(h'(x)=3\ln(2x)+3\).
Del 1 · Oppgave 1bRekker

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem summer for rekkene \(2+4+6+\cdots\), \(2+5+8+\cdots+89\), \(1+2+4+\cdots\) og \(1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Aritmetisk sum

\[ S_{10}=\dfrac{10(2+20)}2=110 \]

Steg 2 — Antall ledd

\[ 89=2+(n-1)3\Rightarrow n=30 \]

Steg 3 — Summer de andre rekkene

\[ S=\dfrac{30(2+89)}2=1365,\quad S_8=\dfrac{2^8-1}{2-1}=255,\quad S_\infty=\dfrac1{1-1/2}=2 \]

Tolkning

Vi skiller mellom aritmetisk, endelig geometrisk og uendelig geometrisk rekke.

Vanlig feil: Å bruke feil sumformel.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Sum({2n,n=1..10}), Sum(2+3(k-1),k=1..30)
→ \(110,1365\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, Eq, solve
n, k = symbols('n k', integer=True, positive=True)
S10 = summation(2*n, (n, 1, 10))
antall = solve(Eq(89, 2 + (n - 1)*3), n)[0]
S_aritmetisk = antall*(2 + 89)/2
S8 = (2**8 - 1)/(2 - 1)
S_uendelig = 1/(1 - 1/2)
print("S10 =", S10)
print("antall ledd =", antall)
print("sum 2+5+...+89 =", S_aritmetisk)
print("S8 geometrisk =", S8)
print("uendelig sum =", S_uendelig)
Fasit: \(110\), \(1365\), \(255\), \(2\).
Del 1 · Oppgave 1cFunksjonsdrøfting

Oppgave 1c

Oppgave:

Gitt \(f(x)=4x^3-6x^2\), \(x\in\langle -1,2 angle\). Løs \(f(x)=0\), finn \(f'(x)\), bestem ekstremalpunkter og skisser grafen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Nullpunkter

\[ f(x)=2x^2(2x-3)\Rightarrow x=0\;\text{eller}\;x=\dfrac32 \]

Steg 2 — Derivert og fortegn

\[ f'(x)=12x^2-12x=12x(x-1) \]

Steg 3 — Ekstremalpunkter

\[ f(0)=0,\quad f(1)=-2 \]

Tolkning

Grafen stiger, synker og stiger igjen. Toppunkt \((0,0)\), bunnpunkt \((1,-2)\).

Vanlig feil: Å forveksle nullpunkter og ekstremalpunkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(4x^3-6x^2=0), Derivert(4x^3-6x^2)
→ \(x=0\lor x=\dfrac32,\;f'(x)=12x(x-1)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, factor
x = symbols('x')
f = 4*x**3 - 6*x**2
print("faktorform =", factor(f))
print("nullpunkter =", solve(Eq(f, 0), x))
print("derivert =", factor(diff(f, x)))
print("kritiske punkt =", [(a, f.subs(x, a)) for a in solve(Eq(diff(f, x), 0), x)])
Fasit: Nullpunkter \(0\) og \(\dfrac32\). Toppunkt \((0,0)\), bunnpunkt \((1,-2)\).
Del 1 · Oppgave 1dSannsynlighet

Oppgave 1d

Oppgave:

To tetraedre har sidene 1, 2, 3 og 4. La \(X\) være summen av sidene som vender ned. Fyll ut sannsynlighetstabellen for \(x=2,3,4,5,6,7,8\), og bestem \(E(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Tell utfall

Det finnes \(16\) like sannsynlige par.

\[ \begin{array}{c|ccccccc}x&2&3&4&5&6&7&8\\hline P(X=x)&\dfrac1{16}&\dfrac2{16}&\dfrac3{16}&\dfrac4{16}&\dfrac3{16}&\dfrac2{16}&\dfrac1{16}\end{array} \]

Steg 2 — Forventningsverdi

\[ E(X)=\dfrac{2+2\cdot3+3\cdot4+4\cdot5+3\cdot6+2\cdot7+8}{16}=5 \]
Vanlig feil: Summene er ikke like sannsynlige.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Fordeling(1..4 + 1..4)
→ \(E(X)=5\)

Python-kontroll

summer = {}
for a in range(1, 5):
    for b in range(1, 5):
        summer[a+b] = summer.get(a+b, 0) + 1
sannsynlighet = {x: antall/16 for x, antall in sorted(summer.items())}
E = sum(x*p for x, p in sannsynlighet.items())
print("antall per sum =", dict(sorted(summer.items())))
print("sannsynligheter =", sannsynlighet)
print("forventningsverdi =", E)
Fasit: Tabellen er \(1,2,3,4,3,2,1\) over \(16\). \(E(X)=5\).
Del 1 · Oppgave 1eLikningssystem

Oppgave 1e

Oppgave:

Sett opp og løs et likningssystem for billettprisene når tre holdeplasser gir totalsummene 225 kr, 170 kr og 215 kr.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Ukjente og system

\[ \begin{aligned}10b+4v+3p&=225\\8b+3v+2p&=170\\9b+4v+3p&=215\end{aligned} \]

Steg 2 — Løsning

\[ b=10,\quad v=20,\quad p=15 \]

Tolkning

Barn betaler 10 kr, voksne 20 kr og pensjonister 15 kr.

Vanlig feil: Å ikke definere variablene før systemet settes opp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs({10b+4v+3p=225,8b+3v+2p=170,9b+4v+3p=215})
→ \(b=10,v=20,p=15\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
b, v, p = symbols('b v p')
likninger = [Eq(10*b+4*v+3*p,225), Eq(8*b+3*v+2*p,170), Eq(9*b+4*v+3*p,215)]
losning = solve(likninger, (b, v, p), dict=True)[0]
print("løsning =", losning)
print("kontroll =", [lik.subs(losning) for lik in likninger])
Fasit: Barn 10 kr, voksen 20 kr, pensjonist 15 kr.

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 2Mønster og bevis

Oppgave 2

Oppgave:

Trekanttall er \(T_n=1+2+\cdots+n\). Finn de fem første, fyll tabellen for oddetallsmønsteret, finn formel for \(a_n\), og forklar \(1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Trekanttall

\[ T_1,T_2,T_3,T_4,T_5=1,3,6,10,15 \]

Steg 2 — Radmønster

\[ a_1=1,\;a_2=8,\;a_3=27,\;a_4=64,\;a_5=125 \]

Steg 3 — Formel og forklaring

\[ a_n=n^3,\qquad \sum_{k=1}^{n}k^3=T_n^2=\left(\dfrac{n(n+1)}2 ight)^2 \]
Vanlig feil: Å blande trekanttallet \(T_n\) med radsummen \(a_n\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Sum(k^3,k,1,n)
→ \(\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, simplify
n, k = symbols('n k', integer=True, positive=True)
trekanttall = [i*(i+1)//2 for i in range(1, 6)]
radsummer = [i**3 for i in range(1, 6)]
identitet = simplify(summation(k**3, (k, 1, n)) - (n*(n+1)/2)**2)
print("trekanttall =", trekanttall)
print("radsummer =", radsummer)
print("identitetskontroll =", identitet)
Fasit: \(1,3,6,10,15\), \(a_n=n^3\), og kubikksummen er \(T_n^2\).
Del 2 · Oppgave 3aFinansmatematikk

Oppgave 3a

Oppgave:

Line setter 100 000 kr på konto med 4,5 % årlig rente og setter inn 12 000 kr i begynnelsen av hvert av de neste årene. Hvor mye står på kontoen etter 3 år?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ K=100000\cdot1{,}045^3+12000(1{,}045^2+1{,}045+1)\approx151760{,}91 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(K=100000\cdot1{,}045^3+12000(1{,}045^2+1{,}04...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

q=1.045
K=100000*q**3+12000*(q**2+q+1)
print('vekstfaktor =', q)
print('konto etter 3 år =', round(K,2))
Fasit: \(151760{,}91\) kr.
Del 2 · Oppgave 3bFinansmatematikk

Oppgave 3b

Oppgave:

Hvor mange år må hun spare for at det skal stå 200 000 kr på kontoen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ K_n=100000\cdot1{,}045^n+12000\dfrac{1{,}045^n-1}{1{,}045-1},\quad K_5<200000

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(K_n=100000\cdot1{,}045^n+12000\dfrac{1{,}045^...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

q=1.045
for n in range(1,20):
    K=100000*q**n+12000*((q**n-1)/(q-1))
    print(n, round(K,2))
    if K>=200000:
        print('første mulige år =', n)
        break
Fasit: 6 år.
Del 2 · Oppgave 3cAnnuitetslån

Oppgave 3c

Oppgave:

Hun låner 150 000 kr til 6,0 % rente og skal betale ned på 5 år med første betaling etter ett år. Hvor mye må hun betale hvert år?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ A=150000\cdot\dfrac{0{,}06}{1-(1{,}06)^{-5}}\approx35609{,}46 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(A=150000\cdot\dfrac{0{,}06}{1-(1{,}06)^{-5}}\approx...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

L=150000
r=0.06
n=5
A=L*r/(1-(1+r)**(-n))
print('lånebeløp =', L)
print('årlig betaling =', round(A,2))
Fasit: \(35609{,}46\) kr per år.
Del 2 · Oppgave 3dAnnuitetslån

Oppgave 3d

Oppgave:

Hun vil betale halvparten så mye hvert år. Hvor lang tid tar det før lånet er nedbetalt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ n=\dfrac{-\ln\left(1-\dfrac{150000\cdot0{,}06}{17804{,}73} ight)}{\ln(1{,}06)}\approx12{,}08 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(n=\dfrac{-\ln\left(1-\dfrac{150000\cdot0{,}06...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import log
L=150000
r=0.06
A_old=L*r/(1-(1+r)**(-5))
A=A_old/2
n=-log(1-L*r/A)/log(1+r)
print('halv betaling =', round(A,2))
print('nedbetalingstid =', round(n,4), 'år')
Fasit: Omtrent \(12{,}08\) år.
Del 2 · Oppgave 4aEksponentialmodell

Oppgave 4a

Oppgave:

Vis at \(f(x)=\dfrac{1000}{10+e^{3{,}912-0{,}5x}}\) kan skrives \(f(x)=\dfrac{100}{1+5{,}0e^{-0{,}5x}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ f(x)=\dfrac{100}{1+\dfrac{e^{3{,}912}}{10}e^{-0{,}5x}},\quad \dfrac{e^{3{,}912}}{10}\approx5{,}0 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(f(x)=\dfrac{100}{1+\dfrac{e^{3{,}912}}{10}e^{...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import exp
print('e^3.912 / 10 =', exp(3.912)/10)
Fasit: Omskrivingen stemmer.
Del 2 · Oppgave 4bLogistisk modell

Oppgave 4b

Oppgave:

Bestem hvor mange som hadde sykdommen da den ble registrert første gang.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ f(0)=\dfrac{100}{1+5}=16{,}67 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(f(0)=\dfrac{100}{1+5}=16{,}67...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import exp
f=lambda x: 100/(1+5*exp(-0.5*x))
print('f(0) =', f(0))
print('avrundet =', round(f(0)))
Fasit: Omtrent 17 individer.
Del 2 · Oppgave 4cGraf og grenseverdi

Oppgave 4c

Oppgave:

Tegn grafen til \(f\). Hvor mange individer vil få sykdommen i det lange løp?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ \lim_{x\to\infty}\dfrac{100}{1+5e^{-0{,}5x}}=100 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(\lim_{x\to\infty}\dfrac{100}{1+5e^{-0{,}5x}}=1...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import exp
f=lambda x: 100/(1+5*exp(-0.5*x))
for x in [0,2,5,10,20]:
    print(x, round(f(x),2))
print('grenseverdi = 100')
Fasit: 100 individer.
Del 2 · Oppgave 4dModelltolkning

Oppgave 4d

Oppgave:

Bestem hvor mange som fikk sykdommen den sjette dagen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ f(6)-f(5)\approx80{,}07-70{,}90=9{,}17 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(f(6)-f(5)\approx80{,}07-70{,}90=9{,}17...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import exp
f=lambda x: 100/(1+5*exp(-0.5*x))
print('f(5) =', round(f(5),4))
print('f(6) =', round(f(6),4))
print('økning =', round(f(6)-f(5),4))
Fasit: Omtrent 9 individer.
Del 2 · Oppgave 5aNormalfordeling

Oppgave 5a

Oppgave:

For \(X\sim N(500,90)\), bestem sannsynligheten for minst 650 poeng.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ z=\dfrac{650-500}{90}\approx1{,}667,\quad P(X\ge650)\approx0{,}0478 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(z=\dfrac{650-500}{90}\approx1{,}667,\quad P(X\...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
Phi=lambda z: 0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
z=(650-500)/90
p=1-Phi(z)
print('z =', round(z,6))
print('P(X >= 650) =', round(p,6))
Fasit: Omtrent 0,0478.
Del 2 · Oppgave 5bNormalfordeling

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for mellom 475 og 535 poeng.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ P(475\le X\le535)=\Phi(0{,}389)-\Phi(-0{,}278)\approx0{,}2607 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(P(475\le X\le535)=\Phi(0{,}389)-\Phi(-0{,}278...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
Phi=lambda z: 0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
z1=(475-500)/90
z2=(535-500)/90
p=Phi(z2)-Phi(z1)
print('z1 =', round(z1,6))
print('z2 =', round(z2,6))
print('sannsynlighet =', round(p,6))
Fasit: Omtrent 0,2607.
Del 2 · Oppgave 5cHypotesetest

Oppgave 5c

Oppgave:

Er det grunnlag for å si at norske elever var bedre enn elever fra land som scoret 495 poeng? Velg selv signifikansnivå.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ z=\dfrac{500-495}{90/\sqrt{4700}}\approx3{,}81,\quad p\approx0{,}00007<0{,}05 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(z=\dfrac{500-495}{90/\sqrt{4700}}\approx3{,}81...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
Phi=lambda z: 0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
z=(500-495)/(90/sqrt(4700))
p=1-Phi(z)
print('z =', round(z,6))
print('p-verdi =', p)
print('forkast ved 5 prosent =', p < 0.05)
Fasit: Ja, ved 5 % signifikansnivå.
Del 2 · Oppgave 6aModell

Oppgave 6a

Oppgave:

Bilen kjører \(x(t)=80t+30e^{-0{,}4t}-30\). Hvor langt kjører den første halvtimen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ x(0{,}5)=80\cdot0{,}5+30e^{-0{,}2}-30\approx34{,}56 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(x(0{,}5)=80\cdot0{,}5+30e^{-0{,}2}-30\approx34...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import exp
x=lambda t: 80*t+30*exp(-0.4*t)-30
print('x(0.5) =', round(x(0.5),6))
Fasit: Omtrent 34,56 km.
Del 2 · Oppgave 6bDigital løsning

Oppgave 6b

Oppgave:

Bestem hvor lang tid bilen bruker på de første 500 km.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ 80t+30e^{-0{,}4t}-30=500\Rightarrow t\approx6{,}598 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(80t+30e^{-0{,}4t}-30=500\Rightarrow t\approx6{...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, exp, nsolve
t=symbols('t')
sol=nsolve(Eq(80*t+30*exp(-0.4*t)-30,500),6.5)
print('tid i timer =', float(sol))
print('avrundet =', round(float(sol),2))
Fasit: Omtrent 6,60 timer.
Del 2 · Oppgave 6cDerivasjon

Oppgave 6c

Oppgave:

For \(b(x)=0{,}07x(1+e^{-0{,}5x})\), bestem \(b'(x)\) og tolk \(b'(10)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ b'(x)=0{,}07\left(1+e^{-0{,}5x}-0{,}5xe^{-0{,}5x} ight),\quad b'(10)\approx0{,}0681 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(b'(x)=0{,}07\left(1+e^{-0{,}5x}-0{,}5xe^{-0{,...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify, N
x=symbols('x')
b=0.07*x*(1+exp(-0.5*x))
bp=simplify(diff(b,x))
print('b_derivert =', bp)
print('b_derivert(10) =', N(bp.subs(x,10),8))
Fasit: \(b'(10)\approx0{,}0681\) liter per km.
Del 2 · Oppgave 6dKjerneregel

Oppgave 6d

Oppgave:

Bruk \(f(t)=b'(x)\cdot x'(t)\). Bestem bensinforbruket per minutt etter en halv time.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere digitalt.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[ \dfrac{b'(x(0{,}5))x'(0{,}5)}{60}\approx0{,}0819 \]

Steg 2 — Regn ut og tolk

Uttrykket beregnes med korrekt S2-metode og tolkes i konteksten til oppgaven.

Steg 3 — Kontroll

Digital kontroll brukes for å bekrefte tallverdien.

Vanlig feil: Å bruke feil enhet, feil avrunding eller feil formeltype.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
CAS(\dfrac{b'(x(0{,}5))x'(0{,}5)}{60}\approx0{,}08...)
→ \(\text{se fasit}\)

Python-kontroll

from math import exp
def xpos(t): return 80*t+30*exp(-0.4*t)-30
def xder(t): return 80-12*exp(-0.4*t)
def bder(x): return 0.07*(1+exp(-0.5*x)-0.5*x*exp(-0.5*x))
t=0.5
liter_per_time=bder(xpos(t))*xder(t)
print('x(0.5) =', round(xpos(t),6))
print('liter per time =', round(liter_per_time,6))
print('liter per minutt =', round(liter_per_time/60,6))
Fasit: Omtrent 0,0819 liter per minutt.