ifingo · Matematikk S2
Matematikk S2 eksamen Vår 2011 – løsningsforslag Komplett bokmålsfil med trinnvise løsninger, GeoGebra CAS-kontroll og fullere Python-kontroller i nøytral/original mørk kodevisning uten rosa highlight.
Del 1 — uten hjelpemidler Del 1 · Oppgave 1a Derivasjon
Oppgave 1a Oppgave: Deriver funksjonene 1) \(f(x)=2x^3-5x+3\), 2) \(g(x)=\dfrac{3}{x^3}\), 3) \(h(x)=x^2\ln x\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ f'(x)=6x^2-5 \]
Steg 2
\[ g(x)=3x^{-3}\Rightarrow g'(x)=-\dfrac{9}{x^4} \]
Steg 3
\[ h'(x)=2x\ln x+x=x\left(2\ln x+1\right) \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(f'(x)=6x^2-5\), \(g'(x)=-\dfrac{9}{x^4}\), \(h'(x)=x(2\ln x+1)\).
Python-kontroll from sympy import symbols, diff, log, simplify
x=symbols('x', positive=True)
print("f'(x) =", diff(2*x**3-5*x+3,x))
print("g'(x) =", simplify(diff(3/x**3,x)))
print("h'(x) =", simplify(diff(x**2*log(x),x)))
Fasit: \(f'(x)=6x^2-5\), \(g'(x)=-\dfrac{9}{x^4}\), \(h'(x)=x(2\ln x+1)\).
Del 1 · Oppgave 1b Aritmetisk følge
Oppgave 1b Oppgave: I en aritmetisk tallfølge er \(a_4=9\) og \(a_{10}=21\). Bestem \(a_{15}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ a_{10}-a_4=(10-4)d \]
Steg 2
\[ 21-9=6d\Rightarrow d=2 \]
Steg 3
\[ a_{15}=a_4+(15-4)d=9+11\cdot2=31 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
Python-kontroll from sympy import symbols, Eq, solve
d=symbols('d')
d=solve(Eq(21-9,6*d),d)[0]
print("d =",d)
print("a_15 =",9+11*d)
Fasit: \(a_{15}=31\).
Del 1 · Oppgave 1c Algebra
Oppgave 1c Oppgave: Forkort brøken \(\dfrac{x^3-3x^2-13x+15}{x+3}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ x^3-3x^2-13x+15=(x+3)(x-1)(x-5) \]
Steg 2
\[ \dfrac{(x+3)(x-1)(x-5)}{x+3}=(x-1)(x-5) \]
Steg 3
\[ x\ne -3 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \((x-1)(x-5)\), der \(x\ne -3\).
Python-kontroll from sympy import symbols, factor, simplify
x=symbols('x')
print(factor(x**3-3*x**2-13*x+15))
print(simplify((x**3-3*x**2-13*x+15)/(x+3)))
Fasit: \((x-1)(x-5)\), der \(x\ne -3\).
Del 1 · Oppgave 1d Uendelig rekke
Oppgave 1d Oppgave: Forklar at \(7+\dfrac{14}{9}+\dfrac{28}{81}+\dfrac{56}{729}+\cdots\) konvergerer. Bestem summen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
k=\dfrac{14/9}{7}=\dfrac{2}{9}
Steg 2
\[ \left|k\right|<1 \]
Steg 3
\[ S=\dfrac{7}{1-\dfrac{2}{9}}=9 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Rekken konvergerer, og summen er \(9\).
Python-kontroll from fractions import Fraction
k=Fraction(2,9)
S=Fraction(7,1)/(1-k)
print("k =", k)
print("sum =", S)
Fasit: Rekken konvergerer, og summen er \(9\).
Del 1 · Oppgave 1e Eksponentiallikning
Oppgave 1e Oppgave: Løs likningen \(2^{x^2-2x}=8\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
8=2^3
Steg 2
\[ x^2-2x=3 \]
Steg 3
\[ x^2-2x-3=0 \]
Steg 4
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(x=-1\) eller \(x=3\).
Python-kontroll from sympy import symbols, Eq, solve
x=symbols('x')
print(solve(Eq(x**2-2*x,3),x))
Fasit: \(x=-1\) eller \(x=3\).
Del 1 · Oppgave 1f1 Sannsynlighet
Oppgave 1f1 Oppgave: Finn forventningsverdien når \(P(X=0)=\dfrac18\), \(P(X=1)=\dfrac38\), \(P(X=2)=\dfrac38\), \(P(X=3)=\dfrac18\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ E(X)=0\cdot\dfrac18+1\cdot\dfrac38+2\cdot\dfrac38+3\cdot\dfrac18 \]
Steg 2
\[ E(X)=\dfrac{12}{8}=\dfrac32 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(E(X)=\dfrac32=1{,}5\).
Python-kontroll from fractions import Fraction
p={0:Fraction(1,8),1:Fraction(3,8),2:Fraction(3,8),3:Fraction(1,8)}
print(sum(x*px for x,px in p.items()))
Fasit: \(E(X)=\dfrac32=1{,}5\).
Del 1 · Oppgave 1f2 Varians
Oppgave 1f2 Oppgave: Vis at \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac34\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ E(X^2)=0^2\cdot\dfrac18+1^2\cdot\dfrac38+2^2\cdot\dfrac38+3^2\cdot\dfrac18=3 \]
Steg 2
\[ \operatorname{Var}(X)=3-\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac34 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac34\).
Python-kontroll from fractions import Fraction
p={0:Fraction(1,8),1:Fraction(3,8),2:Fraction(3,8),3:Fraction(1,8)}
E=sum(x*px for x,px in p.items())
EX2=sum(x*x*px for x,px in p.items())
print("E =",E)
print("Var =",EX2-E**2)
Fasit: \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac34\).
Del 1 · Oppgave 1g Likningssystem
Oppgave 1g Oppgave: Bestem verdien til tre mynttyper når Ola, Per og Inge har summer som gir likningssystemet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ 3x+2y+4z=120 \]
Steg 2
\[ 2x+3y+2z=75 \]
Steg 3
\[ 2x+5y+3z=105 \]
Steg 4
\[ x=10,\quad y=5,\quad z=20 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Type 1: \(10\) kr, type 2: \(5\) kr, type 3: \(20\) kr.
Python-kontroll from sympy import symbols, Eq, solve
x,y,z=symbols('x y z')
sol=solve([Eq(3*x+2*y+4*z,120),Eq(2*x+3*y+2*z,75),Eq(2*x+5*y+3*z,105)],[x,y,z])
print(sol)
Fasit: Type 1: \(10\) kr, type 2: \(5\) kr, type 3: \(20\) kr.
Del 1 · Oppgave 2a Trekanttall
Oppgave 2a Oppgave: Trekanttallene er gitt ved \(a_n=\dfrac{n(n+1)}2\). Skriv opp de ti første trekanttallene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ a_n=\dfrac{n(n+1)}2 \]
Steg 2
\[ 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(1,3,6,10,15,21,28,36,45,55\).
Python-kontroll print([n*(n+1)//2 for n in range(1,11)])
Fasit: \(1,3,6,10,15,21,28,36,45,55\).
Del 1 · Oppgave 2b Trekanttall
Oppgave 2b Oppgave: Undersøk \(a_{14}+a_{15}\) og \(a_{20}+a_{21}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ a_{14}+a_{15}=105+120=225=15^2 \]
Steg 2
\[ a_{20}+a_{21}=210+231=441=21^2 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Begge er kvadrattall: \(225\) og \(441\).
Python-kontroll for n in [14,20]:
print(n, n*(n+1)//2 + (n+1)*(n+2)//2)
Fasit: Begge er kvadrattall: \(225\) og \(441\).
Del 1 · Oppgave 2c Bevis
Oppgave 2c Oppgave: Finn ut om \(a_n+a_{n+1}\) alltid er et kvadrattall.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ a_n+a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}2+\dfrac{(n+1)(n+2)}2 \]
Steg 2
\[ a_n+a_{n+1}=\dfrac{(n+1)(2n+2)}2=(n+1)^2 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Ja, \(a_n+a_{n+1}=(n+1)^2\).
Python-kontroll from sympy import symbols, simplify
n=symbols('n')
print(simplify(n*(n+1)/2+(n+1)*(n+2)/2))
Fasit: Ja, \(a_n+a_{n+1}=(n+1)^2\).
Del 2 — med hjelpemidler Del 2 · Oppgave 3a Økonomi
Oppgave 3a Oppgave: Forklar at overskuddet er størst når grensekostnaden er lik grenseinntekten.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ O(x)=I(x)-K(x) \]
Steg 2
\[ O'(x)=I'(x)-K'(x) \]
Steg 3
\[ O'(x)=0\Rightarrow I'(x)=K'(x) \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Størst overskudd krever \(I'(x)=K'(x)\).
Python-kontroll print("O = I-K")
print("O' = I' - K'")
print("Ved maksimum: I' = K'")
Fasit: Størst overskudd krever \(I'(x)=K'(x)\).
Del 2 · Oppgave 3b Økonomi
Oppgave 3b Oppgave: Finn \(K\) og \(I\) når \(E(x)=0{,}15x+7+\dfrac{2000}{x}\) og prisen er 55 kr.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ K(x)=xE(x)=0{,}15x^2+7x+2000 \]
Steg 2
\[ I(x)=55x \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(K(x)=0{,}15x^2+7x+2000\), \(I(x)=55x\).
Python-kontroll from sympy import symbols, simplify
x=symbols('x')
print(simplify(x*(0.15*x+7+2000/x)))
print(55*x)
Fasit: \(K(x)=0{,}15x^2+7x+2000\), \(I(x)=55x\).
Del 2 · Oppgave 3c Graf
Oppgave 3c Oppgave: Tegn grafene til \(K\) og \(I\) i samme koordinatsystem.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ K(x)=0{,}15x^2+7x+2000 \]
Steg 2
\[ I(x)=55x \]
Steg 3
\[ 10\le x\le300 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Grafene tegnes i samme koordinatsystem for \(10\le x\le300\).
Python-kontroll import numpy as np
xs=np.linspace(10,300,5)
print(xs)
print(0.15*xs**2+7*xs+2000)
print(55*xs)
Fasit: Grafene tegnes i samme koordinatsystem for \(10\le x\le300\).
Del 2 · Oppgave 3d Overskudd
Oppgave 3d Oppgave: Bestem grafisk hvilke produksjonsmengder som gir overskudd og størst overskudd.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ O(x)=-0{,}15x^2+48x-2000 \]
Steg 2
\[ O(x)>0\Rightarrow 49{,}25
Steg 3
\[ \text{toppunkt ved }x=160 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Overskudd for ca. \(49
Python-kontroll from sympy import symbols, solve, Eq
x=symbols('x')
O=-0.15*x**2+48*x-2000
print(solve(Eq(O,0),x))
print(O.subs(x,160))
Fasit: Overskudd for ca. \(49
Del 2 · Oppgave 3e Derivasjon
Oppgave 3e Oppgave: Bestem ved regning hvor mange enheter som gir størst overskudd.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ O'(x)=-0{,}30x+48 \]
Steg 2
\[ -0{,}30x+48=0 \]
Steg 3
\[ x=160 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(160\) enheter.
Python-kontroll from sympy import symbols, diff, solve, Eq
x=symbols('x')
O=-0.15*x**2+48*x-2000
print(diff(O,x))
print(solve(Eq(diff(O,x),0),x))
Fasit: \(160\) enheter.
Del 2 · Oppgave 4a Kvadrattall
Oppgave 4a Oppgave: Summen av tre påfølgende kvadrattall er 365.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=365 \]
Steg 2
\[ 3n^2+6n+5=365 \]
Steg 3
\[ n=10 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(n=10\), kvadrattallene er \(100,121,144\).
Python-kontroll from sympy import symbols, solve, Eq
n=symbols('n')
print(solve(Eq(n**2+(n+1)**2+(n+2)**2,365),n))
Fasit: \(n=10\), kvadrattallene er \(100,121,144\).
Del 2 · Oppgave 4b Kvadrattall
Oppgave 4b Oppgave: Summen av to påfølgende kvadrattall er 365.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ n^2+(n+1)^2=365 \]
Steg 2
\[ n^2+n-182=0 \]
Steg 3
\[ n=13 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(n=13\), kvadrattallene er \(169\) og \(196\).
Python-kontroll from sympy import symbols, solve, Eq
n=symbols('n')
print(solve(Eq(n**2+(n+1)**2,365),n))
Fasit: \(n=13\), kvadrattallene er \(169\) og \(196\).
Del 2 · Oppgave 5a1 Geometrisk rekke
Oppgave 5a1 Oppgave: Bestem \(S_{10}\) for \(1+\dfrac32+\dfrac94+\cdots\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ a_1=1,\quad k=\dfrac32 \]
Steg 2
\[ S_{10}=\dfrac{(3/2)^{10}-1}{3/2-1}\approx113{,}33 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(S_{10}\approx113{,}33\).
Python-kontroll S10=2*((3/2)**10-1)
print(S10)
Fasit: \(S_{10}\approx113{,}33\).
Del 2 · Oppgave 5a2 Geometrisk rekke
Oppgave 5a2 Oppgave: Finn uttrykk for \(S_n\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ S_n=\dfrac{(3/2)^n-1}{1/2} \]
Steg 2
\[ S_n=2\left(\left(\dfrac32\right)^n-1\right) \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(S_n=2((3/2)^n-1)\).
Python-kontroll from sympy import symbols, Rational, summation, simplify
i,n=symbols('i n', integer=True, positive=True)
print(simplify(summation(Rational(3,2)**(i-1),(i,1,n))))
Fasit: \(S_n=2((3/2)^n-1)\).
Del 2 · Oppgave 5b Geometrisk rekke
Oppgave 5b Oppgave: Hvor mange ledd må vi minst ta med for at \(S_n>1000000\)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ 2\left(\left(\dfrac32\right)^n-1\right)>1000000 \]
Steg 2
\[ n>\dfrac{\ln(500001)}{\ln(1{,}5)}\approx32{,}36 \]
Steg 3
\[ n=33 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Minst \(33\) ledd.
Python-kontroll n=1
while 2*((1.5)**n-1)<=1000000:
n+=1
print(n)
print(2*((1.5)**n-1))
Fasit: Minst \(33\) ledd.
Del 2 · Oppgave 6a Funksjonsanalyse
Oppgave 6a Oppgave: For \(f(x)=3^{\frac13(x^3-3x)}-1\), bestem nullpunktene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ 3^{\frac13(x^3-3x)}=1 \]
Steg 2
\[ x^3-3x=0 \]
Steg 3
\[ x=0,\quad x=\pm\sqrt3 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(x=-\sqrt3\), \(x=0\), \(x=\sqrt3\).
Python-kontroll from sympy import symbols, solve, Eq
x=symbols('x')
print(solve(Eq(x**3-3*x,0),x))
Fasit: \(x=-\sqrt3\), \(x=0\), \(x=\sqrt3\).
Del 2 · Oppgave 6b Graf
Oppgave 6b Oppgave: Tegn grafen og forklar hvorfor grafen ligger over \(y=-1\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ 3^u>0\text{ for alle reelle }u \]
Steg 2
\[ f(x)=3^u-1>-1 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Grafen ligger alltid over \(y=-1\).
Python-kontroll import numpy as np
xs=np.array([-2,-1,0,1,2],float)
ys=3**((xs**3-3*xs)/3)-1
print(ys)
print(np.all(ys>-1))
Fasit: Grafen ligger alltid over \(y=-1\).
Del 2 · Oppgave 6c Derivasjon
Oppgave 6c Oppgave: Vis ved kjerneregelen at \(f'(x)=(x^2-1)\ln3\cdot3^{\frac13(x^3-3x)}\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ u(x)=\dfrac13(x^3-3x) \]
Steg 2
\[ u'(x)=x^2-1 \]
Steg 3
\[ f'(x)=(x^2-1)\ln3\cdot3^{\frac13(x^3-3x)} \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(f'(x)=(x^2-1)\ln3\cdot3^{\frac13(x^3-3x)}\).
Python-kontroll from sympy import symbols, diff, simplify
x=symbols('x')
f=3**((x**3-3*x)/3)-1
print(simplify(diff(f,x)))
Fasit: \(f'(x)=(x^2-1)\ln3\cdot3^{\frac13(x^3-3x)}\).
Del 2 · Oppgave 6d Drøfting
Oppgave 6d Oppgave: Bestem hvor grafen vokser og avtar, og finn topp- og bunnpunkt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ f'(x)=(x^2-1)\ln3\cdot3^{\frac13(x^3-3x)} \]
Steg 2
\[ f'(x)>0\text{ for }x<-1\text{ og }x>1 \]
Steg 3
\[ f'(x)<0\text{ for }-1
Steg 4
\[ \text{toppunkt: }(-1,3^{2/3}-1) \]
Steg 5
\[ \text{bunnpunkt: }(1,3^{-2/3}-1) \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Vokser for \(x<-1\) og \(x>1\), avtar for \(-1
Python-kontroll from sympy import symbols, diff, solve, Eq, N
x=symbols('x')
f=3**((x**3-3*x)/3)-1
print(solve(Eq(diff(f,x),0),x))
print(N(f.subs(x,-1)), N(f.subs(x,1)))
Fasit: Vokser for \(x<-1\) og \(x>1\), avtar for \(-1
Del 2 · Oppgave 6e Integral
Oppgave 6e Oppgave: Finn positiv \(a\) slik at \(\int_0^a f(x)\,dx=0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ \int_0^a \left(3^{\frac13(x^3-3x)}-1\right)dx=0 \]
Steg 2
\[ a\approx2{,}227 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(a\approx2{,}227\).
Python-kontroll import mpmath as mp
f=lambda x: 3**((x**3-3*x)/3)-1
F=lambda a: mp.quad(f,[0,a])
a=mp.findroot(F,2.2)
print(a)
print(F(a))
Fasit: \(a\approx2{,}227\).
Del 2 · Oppgave 7a1 Normalfordeling
Oppgave 7a1 Oppgave: Finn andelen som veide mellom \(75{,}0\) kg og \(85{,}0\) kg når \(X\sim N(79{,}2,6{,}4)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ P(75
Steg 2
\[ P\approx0{,}562 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Omtrent \(56{,}2\%\).
Python-kontroll from math import erf, sqrt
Phi=lambda z:0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
print(Phi((85-79.2)/6.4)-Phi((75-79.2)/6.4))
Fasit: Omtrent \(56{,}2\%\).
Del 2 · Oppgave 7a2 Normalfordeling
Oppgave 7a2 Oppgave: Finn andelen som veide over \(100{,}0\) kg.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
z=\dfrac{100-79{,}2}{6{,}4}=3{,}25
Steg 2
\[ P(X>100)=1-\Phi(3{,}25)\approx0{,}000577 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Omtrent \(0{,}058\%\).
Python-kontroll from math import erf, sqrt
Phi=lambda z:0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
print(1-Phi((100-79.2)/6.4))
Fasit: Omtrent \(0{,}058\%\).
Del 2 · Oppgave 7b Hypotesetest
Oppgave 7b Oppgave: Sett opp nullhypotese og alternativ hypotese for om gjennomsnittsvekten har gått ned.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ H_0:\mu=79{,}2 \]
Steg 2
\[ H_1:\mu<79{,}2 \]
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ \(H_0:\mu=79{,}2\), \(H_1:\mu<79{,}2\).
Python-kontroll print("H0: mu = 79.2")
print("H1: mu < 79.2")
Fasit: \(H_0:\mu=79{,}2\), \(H_1:\mu<79{,}2\).
Del 2 · Oppgave 7c Hypotesetest
Oppgave 7c Oppgave: Undersøk testen når \(\bar x=76{,}0\), \(n=30\), \(\sigma=6{,}4\) og signifikansnivået er \(5\%\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi velger metode, setter opp regningen, kontrollerer digitalt og tolker svaret.
Steg 1
\[ Z=\dfrac{76{,}0-79{,}2}{6{,}4/\sqrt{30}}\approx-2{,}739 \]
Steg 2
p\approx0{,}0031<0{,}05
Tolkning Svaret er kontrollert mot oppgavens modell og avrundet der det er naturlig.
Vanlig feil: Å hoppe over modellvalget eller blande sammen formel og digital kontroll.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
1
Kontroll
→ Ja, forkast \(H_0\). Det er grunnlag for å hevde at gjennomsnittsvekten har gått ned.
Python-kontroll from math import erf, sqrt
z=(76.0-79.2)/(6.4/sqrt(30))
Phi=lambda t:0.5*(1+erf(t/sqrt(2)))
print(z)
print(Phi(z))
Fasit: Ja, forkast \(H_0\). Det er grunnlag for å hevde at gjennomsnittsvekten har gått ned.
Teknisk kontroll: MathJax, Python, GeoGebra-bokser og fargebruk er kontrollert før levering.
ifingo-læreren Hjelper deg å forstå
×
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
