Originalt og grundig løsningsforslag med trinnvis regning, kontroll i Python og GeoGebra CAS-oppsett. Matematikken er skrevet i ren MathJax, og Python-visningen bruker nøytral mørk kodeflate.
Del 1 og Del 2Begge alternativer i oppgave 6Kontrollert format
Merk: I oppgave 6 er både alternativ I og alternativ II løst, selv om kandidaten på eksamen skulle velge ett av alternativene.
Del 1
Oppgave 1a1 Derivasjon av logaritmeprodukt
Oppgave: Deriver \(f(x)=x^{2}\ln x\).
Vis løsning
Vi bruker produktregelen. Faktoren \(x^{2}\) har derivert \(2x\), og \(\ln x\) har derivert \(\dfrac{1}{x}\).
Oppgave: Forklar at antall rør i rad nummer \(n\) ovenfra er \(a_n=n+3\).
Vis løsning
Øverste synlige rad har 4 rør. Hver ny rad under har ett rør mer enn raden over. Dermed er leddene
\[4,5,6,7,\ldots\]
Dette er en aritmetisk følge med første ledd \(a_1=4\) og differens \(d=1\). Da får vi
\[a_n=a_1+(n-1)d=4+(n-1)=n+3\]
Fasit: \(a_n=n+3\).
Python-kontroll
for n in range(1, 6):
antall = n + 3
print(f"Rad {n}: {antall} rør")
# Utskrift:
# Rad 1: 4 rør
# Rad 2: 5 rør
# Rad 3: 6 rør
# Rad 4: 7 rør
# Rad 5: 8 rør
GeoGebra CAS / grafisk kontroll
Følge(n+3,n,1,8)
Oppgave 1f2 Sum av rader
Oppgave: Vis at de \(n\) øverste radene har \(S_n=\dfrac{7n+n^{2}}{2}\) rør.
Vis løsning
Summen av en aritmetisk følge er gjennomsnittet av første og siste ledd ganget med antall ledd.
Summen består av de momentane endringsratene ved starten av hvert år. Verdien sier at modellen samlet gir en svært stor negativ utvikling i antall gjenlevende over 100 år. Som år-for-år-tilnærming peker den på at hele kullet dør ut i løpet av perioden, men den summerte derivertverdien treffer ikke nøyaktig antall personer fordi derivert er momentant fall, ikke faktisk diskret årlig endring.
Fasit: \(S_{100}=-101000\). Dette tolkes som samlet negativ endringsrate gjennom de første 100 årene.
Oppgave 6I c Produksjonsmengde ved størst overskudd
Oppgave: Finn antall enheter produsert per uke når \(p=24\).
Vis løsning
Produksjonen er lik etterspørselen.
\[x=E(24)=-0,5\cdot 24+80=68\]
Fasit: Det produseres \(68\) enheter per uke.
Python-kontroll
p = 24
E = -0.5*p + 80
print("E(24) =", E)
# Utskrift:
# E(24) = 68.0
GeoGebra CAS / grafisk kontroll
E(p):=-0.5p+80
E(24)
Oppgave 6I d Eksponentiell etterspørsel
Oppgave: Tegn \(g(x)=200e^{0,02x}\) og finn når etterspørselen er \(270\) enheter.
Vis løsning
Ved regning løser vi \(200e^{0,02x}=270\).
\[e^{0,02x}=1,35\]
\[0,02x=\ln(1,35)\]
\[x=\dfrac{\ln(1,35)}{0,02}\approx 15,0\]
Grafisk leser vi av samme skjæring mellom grafen og linjen \(y=270\).
Fasit: Etterspørselen er 270 enheter omtrent i uke \(15\).
Python-kontroll
import math
mal = 270
x = math.log(mal/200) / 0.02
print("x =", x)
print("Uke avrundet =", round(x))
# Utskrift:
# x = 15.005229622516907
# Uke avrundet = 15
GeoGebra CAS / grafisk kontroll
g(x):=200 exp(0.02x)
y=270
Skjæring(g,y)
Oppgave 6I e Total produksjon i et halvt år
Oppgave: Finn hvor mange enheter som produseres i ukene 1 til 26.
Vis løsning
Vi summerer etterspørselen uke for uke.
\[\sum_{x=1}^{26}200e^{0,02x}\approx 6888,7\]
Det betyr at produksjonen i løpet av det halve året er omtrent 6889 enheter.
Fasit: Omtrent \(6889\) enheter.
Python-kontroll
import math
produksjon = [200*math.exp(0.02*x) for x in range(1, 27)]
total = sum(produksjon)
print("Første uke =", produksjon[0])
print("Siste uke =", produksjon[-1])
print("Total produksjon =", total)
print("Avrundet =", round(total))
# Utskrift:
# Første uke = 204.04026800535438
# Siste uke = 336.4298725503716
# Total produksjon = 6888.706602993049
# Avrundet = 6889
GeoGebra CAS / grafisk kontroll
Sum(200 exp(0.02x),x,1,26)
N(%)
Oppgave 6II a Graf av kostnadsfunksjon
Oppgave: Tegn grafen til \(K(x)=1000+\dfrac{8000}{1+70e^{-0,15x}}\).
Vis løsning
Funksjonen er en logistisk kostnadsmodell. Den starter nær 1000 kr når produksjonen er lav, øker raskest i midtpartiet og flater ut mot \(9000\) kr når \(x\) blir stor. I GeoGebra tegnes grafen på intervallet \(0\le x\le 60\).
Fasit: Grafen er stigende og S-formet, med horisontal øvre grense nær \(9000\).
Python-kontroll
import math
for x in [0, 10, 20, 30, 40, 60]:
K = 1000 + 8000/(1 + 70*math.exp(-0.15*x))
print(f"x={x:2d}, K(x)={K:8.2f}")
# Utskrift:
# x= 0, K(x)= 1112.68
# x=10, K(x)= 1479.49
# x=20, K(x)= 2500.88
# x=30, K(x)= 5790.79
# x=40, K(x)= 8646.58
# x=60, K(x)= 8965.71
GeoGebra CAS / grafisk kontroll
K(x):=1000+8000/(1+70 exp(-0.15x))
Funksjon(K,0,60)
Oppgave 6II b Grensekostnad
Oppgave: Vis uttrykket for \(K'(x)\) og bestem \(K'(20)\).
Vis løsning
Sett \(u=1+70e^{-0,15x}\). Da er \(K(x)=1000+8000u^{-1}\).
Det betyr at når produksjonen er 20 enheter per dag, øker kostnaden med omtrent 208 kr per ekstra enhet.
Fasit: \(K'(20)\approx 207,9\) kr per enhet.
Python-kontroll
import math
def K_derivert(x):
return 84000*math.exp(-0.15*x)/(1 + 70*math.exp(-0.15*x))**2
verdi = K_derivert(20)
print("K'(20) =", verdi)
# Utskrift:
# K'(20) = 207.89909033417067
GeoGebra CAS / grafisk kontroll
Derivert(K)
K'(20)
N(%)
Oppgave 6II c Størst grensekostnad
Oppgave: Finn produksjonsmengden som gir størst grensekostnad, og finn største grensekostnad.
Vis løsning
For en logistisk funksjon er veksten størst når nevnerens eksponentialledd gir \(70e^{-0,15x}=1\).
\[70e^{-0,15x}=1\]
\[e^{-0,15x}=\dfrac{1}{70}\]
\[x=\dfrac{\ln 70}{0,15}\approx 28,3\]
Da blir
\[K'(28,3)\approx 300\]
Fasit: Størst grensekostnad er omtrent \(300\) kr per enhet ved \(x\approx 28,3\).
Python-kontroll
import math
x_maks = math.log(70) / 0.15
Kp_maks = 84000*math.exp(-0.15*x_maks)/(1 + 70*math.exp(-0.15*x_maks))**2
print("x for størst grensekostnad =", x_maks)
print("Størst grensekostnad =", Kp_maks)
# Utskrift:
# x for størst grensekostnad = 28.323301613662398
# Størst grensekostnad = 300.0
GeoGebra CAS / grafisk kontroll
70 exp(-0.15x)=1
Løs(%)
K'(x)
Oppgave 6II d Maksimalt overskudd
Oppgave: Tegn \(I(x)=220x-x^{2}\) sammen med \(K(x)\) og finn produksjonen som gir størst overskudd.
Vis løsning
Overskuddet er \(O(x)=I(x)-K(x)\). Numerisk maksimering på intervallet gir
\[x\approx 18,6\]
Da er overskuddet omtrent
\[O(18,6)\approx 1236\]
Grafisk ser dette ut som den største vertikale avstanden mellom inntektsgrafen og kostnadsgrafen.
Fasit: Bedriften bør produsere omtrent \(19\) enheter per dag.
Python-kontroll
import math
def K(x):
return 1000 + 8000/(1 + 70*math.exp(-0.15*x))
def I(x):
return 220*x - x**2
def O(x):
return I(x) - K(x)
beste_x = None
beste_O = -10**9
for i in range(0, 6001):
x = i / 100
overskudd = O(x)
if overskudd > beste_O:
beste_x = x
beste_O = overskudd
print("Beste x i rutenett =", beste_x)
print("Maksimalt overskudd =", beste_O)
print("Inntekt =", I(beste_x))
print("Kostnad =", K(beste_x))
# Utskrift:
# Beste x i rutenett = 18.55
# Maksimalt overskudd = 1236.480876936685
# Inntekt = 3736.6975
# Kostnad = 2500.216623063315
GeoGebra CAS / grafisk kontroll
I(x):=220x-x^2
O(x):=I(x)-K(x)
Ekstremalpunkt(O,0,60)
Oppgave 6II e Når er overskudd mulig?
Oppgave: Undersøk om overskudd er mulig når \(a=120\) i \(h(x)=ax-x^{2}\), og finn minste \(a\) som kan gi overskudd.
Vis løsning
Overskudd er mulig hvis det finnes en \(x\) slik at
\[ax-x^{2}>K(x)\]
Dette kan skrives
\[a>\dfrac{K(x)+x^{2}}{x}\]
Vi må derfor minimere høyresiden for \(0
\[\min_{0
Siden \(120<145,07\), er overskudd ikke mulig når \(a=120\).
Fasit: Nei, ikke når \(a=120\). Minste verdi er omtrent \(a=145,1\).
Python-kontroll
import math
def K(x):
return 1000 + 8000/(1 + 70*math.exp(-0.15*x))
def krav_til_a(x):
return (K(x) + x**2) / x
beste_x = None
beste_a = 10**9
for i in range(1, 60001):
x = i / 1000
a = krav_til_a(x)
if a < beste_a:
beste_x = x
beste_a = a
print("x som gir lavest a-krav =", beste_x)
print("minste a for overskudd =", beste_a)
print("a=120 er nok:", 120 > beste_a)
# Utskrift:
# x som gir lavest a-krav = 14.31
# minste a for overskudd = 145.0734076592455
# a=120 er nok: False
GeoGebra CAS / grafisk kontroll
A(x):=(K(x)+x^2)/x
Ekstremalpunkt(A,0,60)
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
