Ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 V09 - komplett løsningsforslag

Fullstendig, kontrollert løsningsforslag til S2 Vår 2009. Filen bruker MathJax for matematikk, tydelige løsningssteg, realistiske Python-kontroller og GeoGebra CAS-bokser for digital etterprøving.

Del 1 og Del 228 oppgavekortPython + GeoGebraBokmål

Løsningsforslag

Oppgave 1a 1

Deriver funksjonen $f(x)=(x^2-1)(x^2+1)$.

Vis løsning

Vi kan enten bruke produktregelen direkte eller først multiplisere ut parentesene.
$\[(x^2-1)(x^2+1)=x^4-1\]$
Deriver ledd for ledd:
$f^\prime(x)=4x^3$

Svar: $f^\prime(x)=4x^3$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 1)*(x**2 + 1)
forenklet = sp.expand(f)
derivert = sp.diff(f, x)
print('f(x) =', f)
print('utvidet f(x) =', forenklet)
print("f'(x) =", derivert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

UtvidExpand[(x^2-1)(x^2+1)]

DeriverDerivative[x^4-1]

Oppgave 1a 2

Deriver funksjonen $g(x)=x^2e^{2x}$.

Vis løsning

Dette er et produkt av $x^2$ og $e^{2x}$. Vi bruker produktregelen.
$g^\prime(x)=2x e^{2x}+x^2\cdot 2e^{2x}$
Faktoriser felles faktor $2xe^{2x}$:
$g^\prime(x)=2xe^{2x}(1+x)$

Svar: $g^\prime(x)=2xe^{2x}(x+1)$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
g = x**2 * sp.exp(2*x)
derivert = sp.diff(g, x)
faktorisert = sp.factor(derivert)
print('g(x) =', g)
print("g'(x) =", derivert)
print('faktorisert =', faktorisert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

DeriverDerivative[x^2 exp(2x)]

FaktoriserFactor[%]

Oppgave 1b 1

Rekka er $2+4+6+8+\cdots$. Finn ledd nummer 20 og summen av de 20 første leddene.

Vis løsning

Dette er en aritmetisk rekke med $a_1=2$ og differanse $d=2$.
$a_{20}=a_1+19d=2+19\cdot 2=40$
Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er $S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$.
$S_{20}=\dfrac{20}{2}(2+40)=420$

Svar: $a_{20}=40,\ S_{20}=420$

Python-kontroll

a1 = 2
d = 2
n = 20
a20 = a1 + (n - 1)*d
S20 = n*(a1 + a20)/2
print('a1 =', a1)
print('d =', d)
print('a20 =', a20)
print('S20 =', S20)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

FølgeSequence[2n,n,1,20]

SumSum[2n,n,1,20]

Oppgave 1b 2

Den uendelige rekka er $2+1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots$. Avgjør om den konvergerer og finn summen.

Vis løsning

Rekka er geometrisk med første ledd $a_1=2$ og kvotient $k=\dfrac12$.
En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k|<1$. Her er $|k|=\dfrac12<1$.
$S=\dfrac{a_1}{1-k}=\dfrac{2}{1-\frac12}=4$

Svar: $Rekka konvergerer, og summen er 4.$

Python-kontroll

from fractions import Fraction
første_ledd = Fraction(2, 1)
kvotient = Fraction(1, 2)
sum_uendelig = første_ledd / (1 - kvotient)
print('første ledd =', første_ledd)
print('kvotient =', kvotient)
print('absoluttverdi av kvotient < 1:', abs(kvotient) < 1)
print('sum =', sum_uendelig)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Kontroller kvotient1/2

Sum2/(1-1/2)

Oppgave 1c 1

Sett opp sannsynlighetsfordelingen for terningen med verdiene $-1$, $5$ og $7$.

Vis løsning

Terningen har seks sider. Tallet $7$ står på tre sider, tallet $5$ på to sider og tallet $-1$ på en side.
$P(X=-1)=\dfrac16,\quad P(X=5)=\dfrac26=\dfrac13,\quad P(X=7)=\dfrac36=\dfrac12$
$x$ $P(X=x)$
$-1$ $\dfrac16$
$5$ $\dfrac13$
$7$ $\dfrac12$

\(x\)	\(P(X=x)\)
\(-1\)	\(\dfrac16\)
\(5\)	\(\dfrac13\)
\(7\)	\(\dfrac12\)

Svar: $P(X=-1)=\dfrac16,\ P(X=5)=\dfrac13,\ P(X=7)=\dfrac12$

Python-kontroll

from fractions import Fraction
fordeling = {-1: Fraction(1, 6), 5: Fraction(2, 6), 7: Fraction(3, 6)}
print('sannsynlighetsfordeling:')
for verdi, sannsynlighet in fordeling.items():
    print(verdi, sannsynlighet)
print('sum av sannsynligheter =', sum(fordeling.values()))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Fordeling{(-1,1/6),(5,1/3),(7,1/2)}

KontrollSum probabilities = 1

Oppgave 1c 2

Bestem forventningsverdi og varians for $X$.

Vis løsning

Forventningsverdien er summen av verdi ganger sannsynlighet:
$E(X)=(-1)\cdot\dfrac16+5\cdot\dfrac13+7\cdot\dfrac12=5$
Vi finner først $E(X^2)$:
$E(X^2)=(-1)^2\cdot\dfrac16+5^2\cdot\dfrac13+7^2\cdot\dfrac12=33$
Variansen er $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$.
$\[V(X)=33-5^2=8\]$

Svar: $E(X)=5,\ V(X)=8$

Python-kontroll

from fractions import Fraction
fordeling = {-1: Fraction(1, 6), 5: Fraction(1, 3), 7: Fraction(1, 2)}
forventning = sum(verdi*sannsynlighet for verdi, sannsynlighet in fordeling.items())
andre_moment = sum(verdi**2*sannsynlighet for verdi, sannsynlighet in fordeling.items())
varians = andre_moment - forventning**2
print('E(X) =', forventning)
print('E(X^2) =', andre_moment)
print('V(X) =', varians)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

ForventningMean[{-1,5,7},{1/6,1/3,1/2}]

VariansVariance[...]

Oppgave 1d

Sett opp likningssett og finn kilopris for epler, pærer og appelsiner.

Vis løsning

La $e$ være kilopris for epler, $p$ for pærer og $a$ for appelsiner.
$\[2e+3p+a=81\]$
$\[e+2p+3a=71\]$
$\[e+p+a=37\]$
Løsning av systemet gir $e=12$, $p=16$ og $a=9$.
Kontroll: $2\cdot12+3\cdot16+9=81$, $12+2\cdot16+3\cdot9=71$ og $12+16+9=37$.

Svar: $Epler: 12 kr/kg, pærer: 16 kr/kg, appelsiner: 9 kr/kg.$

Python-kontroll

import sympy as sp
e, p, a = sp.symbols('e p a')
likninger = [
    sp.Eq(2*e + 3*p + a, 81),
    sp.Eq(e + 2*p + 3*a, 71),
    sp.Eq(e + p + a, 37),
]
losning = sp.solve(likninger, [e, p, a], dict=True)[0]
print('løsning =', losning)
print('Kari betaler =', 2*losning[e] + 3*losning[p] + losning[a])
print('Per betaler =', losning[e] + 2*losning[p] + 3*losning[a])
print('Lise betaler =', losning[e] + losning[p] + losning[a])

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

LøsSolve[{2e+3p+a=81,e+2p+3a=71,e+p+a=37}]

KontrollSubstitute solution

Oppgave 1e

En tredjegradsfunksjon har nullpunktene $-1$, $1$ og $3$, og skjærer $y$-aksen i $6$. Bestem $f(x)$.

Vis løsning

Når nullpunktene er kjent, må funksjonen ha formen
$\[f(x)=k(x+1)(x-1)(x-3)\]$
Skjæring med $y$-aksen betyr $f(0)=6$.
$\[6=k(1)(-1)(-3)=3k\]$
Dermed er $k=2$.
$\[f(x)=2(x+1)(x-1)(x-3)\]$

Svar: $f(x)=2(x+1)(x-1)(x-3)$

Python-kontroll

import sympy as sp
x, k = sp.symbols('x k')
f = k*(x + 1)*(x - 1)*(x - 3)
k_verdi = sp.solve(sp.Eq(f.subs(x, 0), 6), k)[0]
f_ferdig = sp.expand(f.subs(k, k_verdi))
print('k =', k_verdi)
print('faktorisert f(x) =', sp.factor(f_ferdig))
print('utvidet f(x) =', f_ferdig)
print('f(0) =', f_ferdig.subs(x, 0))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Nullpunktsformk(x+1)(x-1)(x-3)

Finn kSolve[f(0)=6]

Oppgave 2a

Gitt $f(x)=x^3-x^2-4x+4$. Vis at $f(x)$ er delelig med $(x-2)$.

Vis løsning

Restsetningen sier at $(x-2)$ er en faktor dersom $f(2)=0$.
$f(2)=2^3-2^2-4\cdot2+4=8-4-8+4=0$
Dermed er $f(x)$ delelig med $(x-2)$.

Svar: $Ja, fordi f(2)=0.$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - x**2 - 4*x + 4
print('f(2) =', f.subs(x, 2))
print('faktorisert =', sp.factor(f))
print('kvotient ved divisjon på x-2 =', sp.div(f, x - 2)[0])

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Restsetningf(2)

DividerPolynomialDivision[f(x),x-2]

Oppgave 2b

Løs likningen $f(x)=0$ for $f(x)=x^3-x^2-4x+4$.

Vis løsning

Faktoriser polynomet:
$\[x^3-x^2-4x+4=(x-2)(x^2+x-2)\]$
Andregradsfaktoren faktoriseres videre:
$\[x^2+x-2=(x+2)(x-1)\]$
Dermed er
$\[f(x)=(x-2)(x+2)(x-1)\]$
Nullpunktene leses av fra faktorene.

Svar: $x=-2,\ x=1,\ x=2$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - x**2 - 4*x + 4
faktorer = sp.factor(f)
losninger = sp.solve(sp.Eq(f, 0), x)
print('faktorisert =', faktorer)
print('løsninger =', losninger)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

FaktoriserFactor[x^3-x^2-4x+4]

LøsSolve[f(x)=0]

Oppgave 2c

Løs likningen $f^\prime(x)=1$ og gi en grafisk tolkning.

Vis løsning

Først deriverer vi:
$f^\prime(x)=3x^2-2x-4$
Sett den deriverte lik $1$:
$\[3x^2-2x-4=1\]$
$\[3x^2-2x-5=0\]$
Andregradslikningen gir
$x=\dfrac{2\pm\sqrt{64}}{6}=\dfrac{2\pm8}{6}$
Altså $x=-1$ eller $x=\dfrac53$. Grafisk betyr dette at grafen har tangent med stigningstall $1$ i disse punktene.

Svar: $x=-1\text{ og }x=\dfrac53$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - x**2 - 4*x + 4
fp = sp.diff(f, x)
losninger = sp.solve(sp.Eq(fp, 1), x)
print("f'(x) =", fp)
print("løsninger av f'(x)=1:", losninger)
for verdi in losninger:
    print('punkt:', (verdi, sp.simplify(f.subs(x, verdi))))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

DeriverDerivative[f]

LøsSolve[f'(x)=1]

Oppgave 2d

Bestem $x$-koordinaten til vendepunktet på grafen til $f$.

Vis løsning

Vendepunktet finnes ved $f^{\prime\prime}(x)=0$ når andrederivert skifter fortegn.
$f^\prime(x)=3x^2-2x-4$
$f^{\prime\prime}(x)=6x-2$
$6x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac13$
Siden $6x-2$ er en rett linje med positiv stigning, skifter den fortegn ved $x=\dfrac13$.

Svar: $x=\dfrac13$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - x**2 - 4*x + 4
fpp = sp.diff(f, x, 2)
vende_x = sp.solve(sp.Eq(fpp, 0), x)[0]
print("f''(x) =", fpp)
print('x-koordinat til vendepunkt =', vende_x)
print('y-verdi =', sp.simplify(f.subs(x, vende_x)))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

AndrederivertDerivative[f,x,2]

LøsSolve[f''(x)=0]

Oppgave 3a

Anne setter inn 20 000 kr i begynnelsen av hvert år. Renten er 6 prosent. Finn beløpet rett etter fjerde innskudd og lag uttrykk for n-te innskudd.

Vis løsning

Rett etter fjerde innskudd har første innskudd stått i tre år, andre i to år, tredje i ett år og fjerde i null år.
$\[K_4=20000(1.06^3+1.06^2+1.06+1)=87492.32\]$
Rett etter det $n$-te innskuddet blir dette en geometrisk sum:
$K_n=20000\sum_{i=0}^{n-1}1.06^i=20000\cdot\dfrac{1.06^n-1}{0.06}$

Svar: $K_4=87492.32\text{ kr},\ K_n=20000\dfrac{1.06^n-1}{0.06}$

Python-kontroll

rente = 1.06
innskudd = 20000
K4 = innskudd * sum(rente**i for i in range(4))
print('ledd i K4:', [innskudd*rente**i for i in range(3, -1, -1)])
print('K4 =', round(K4, 2))
print('generell formel: K_n = 20000*((1.06**n - 1)/0.06)')

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Sum20000 Sum[1.06^i,i,0,n-1]

Forenkle20000(1.06^n-1)/0.06

Oppgave 3b

Bilen koster 330 000 kr. Hvor lenge må Anne spare?

Vis løsning

Vi bruker uttrykket fra forrige del og krever at beløpet minst er $330000$.
$20000\cdot\dfrac{1.06^n-1}{0.06}\ge 330000$
$1.06^n\ge 1.99$
$n\ge\dfrac{\ln(1.99)}{\ln(1.06)}\approx 11.81$
Hun må derfor sette inn penger $12$ ganger.

Svar: $Hun må spare til og med det 12. innskuddet.$

Python-kontroll

import math
mål = 330000
innskudd = 20000
rente = 1.06
n_min = math.log(1 + mål*0.06/innskudd) / math.log(rente)
print('n_min =', n_min)
print('avrundet opp =', math.ceil(n_min))
for n in [11, 12]:
    kapital = innskudd*((rente**n - 1)/0.06)
    print('n =', n, 'kapital =', round(kapital, 2))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Løs ulikhetSolve[20000(1.06^n-1)/0.06 >= 330000]

Kontrolln=11 and n=12

Oppgave 3c

Anne vil kjøpe bilen rett etter 10. innskudd. Hvor stort årlig innskudd må hun sette inn?

Vis løsning

La det faste innskuddet være $B$. Da er saldo rett etter ti innskudd
$B\sum_{i=0}^{9}1.06^i=B\cdot\dfrac{1.06^{10}-1}{0.06}$
Dette skal være $330000$:
$B=\dfrac{330000}{\frac{1.06^{10}-1}{0.06}}\approx 25036.43$
Hun må altså spare omtrent $25037$ kr per år dersom beløpet avrundes opp til hele kroner.

Svar: $Omtrent 25 037 kr per år.$

Python-kontroll

rente = 1.06
mål = 330000
sumfaktor = sum(rente**i for i in range(10))
innskudd = mål / sumfaktor
print('sumfaktor for 10 innskudd =', sumfaktor)
print('nødvendig innskudd =', innskudd)
print('avrundet opp til hele kroner =', int(innskudd) + 1)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

SumfaktorSum[1.06^i,i,0,9]

Innskudd330000/sumfaktor

Oppgave 4 alternativ I a

Tegn grafen til $f(x)=x^5e^{-2x}$ for \(0

Vis løsning

Grafen starter nær $0$ når $x$ er nær $0$, stiger til et toppunkt og avtar deretter mot $0$ fordi eksponentialfaktoren $e^{-2x}$ dominerer for store $x$.
Digitale punkter kan brukes til å tegne grafen nøyaktig. De viktigste verdiene er rundt toppunktet $x=2.5$.

Svar: $Grafen stiger fram til x=2.5 og avtar deretter.$

Python-kontroll

import math

def f(x):
    return x**5 * math.exp(-2*x)
print('x     f(x)')
for x in [0.5, 1, 2, 2.5, 3, 5, 10]:
    print(f'{x:4.1f}  {f(x):.6f}')
print('toppunktets x-verdi fra f\' = 0 er x = 2.5')

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Definerf(x)=x^5 exp(-2x)

TegnGraph[f,0<x<10]

Oppgave 4 alternativ I b

Bestem $f^\prime(x)$ og bruk denne til å finne topp- og bunnpunkter.

Vis løsning

Bruk produktregelen på $x^5e^{-2x}$:
$f^\prime(x)=5x^4e^{-2x}+x^5(-2)e^{-2x}$
$f^\prime(x)=x^4e^{-2x}(5-2x)$
På intervallet \(0
$5-2x=0\quad\Rightarrow\quad x=2.5$
Funksjonen øker før $2.5$ og avtar etter $2.5$, så dette er toppunkt.

Svar: $Toppunkt ved x=2.5. Ingen indre bunnpunkt.$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
f = x**5 * sp.exp(-2*x)
fp = sp.factor(sp.diff(f, x))
kritiske = sp.solve(sp.Eq(fp, 0), x)
print("f'(x) =", fp)
print('kritiske x-verdier =', kritiske)
for verdi in kritiske:
    print('f(', verdi, ') =', sp.N(f.subs(x, verdi), 8))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

DeriverDerivative[x^5 exp(-2x)]

LøsSolve[f'(x)=0]

Oppgave 4 alternativ I c

Finn ved regning punktet på grafen der $f^\prime(x)$ er minst.

Vis løsning

For å finne hvor $f^\prime(x)$ er minst, undersøker vi den deriverte av $f^\prime$, altså $f^{\prime\prime}(x)$.
$f^\prime(x)=x^4e^{-2x}(5-2x)$
$f^{\prime\prime}(x)=4x^3e^{-2x}(x^2-5x+5)$
Løs $x^2-5x+5=0$:
$x=\dfrac{5\pm\sqrt5}{2}$
Den minste verdien av $f^\prime(x)$ fås ved $x=\dfrac{5+\sqrt5}{2}\approx3.618$. Punktet på grafen er $(x,f(x))$.

Svar: $Punktet er ved x=\dfrac{5+\sqrt5}{2}, med y=x^5e^{-2x}.$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
f = x**5 * sp.exp(-2*x)
fp = sp.diff(f, x)
fpp = sp.factor(sp.diff(fp, x))
kandidater = sp.solve(sp.Eq(fpp, 0), x)
print("f''(x) =", fpp)
for verdi in kandidater:
    if 0 < float(verdi) < 10:
        print('kandidat x =', sp.N(verdi, 8), 'f\'(x) =', sp.N(fp.subs(x, verdi), 8), 'f(x) =', sp.N(f.subs(x, verdi), 8))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

AndrederivertDerivative[f,x,2]

LøsSolve[f''(x)=0]

Oppgave 4 alternativ I d

For $g(x)=50f(x)$: hvilken dag er salget størst, og hvilken dag øker salget mest?

Vis løsning

Siden $g(x)=50f(x)$, får $g$ størst verdi når $f$ har størst verdi. Fra del b skjer det ved $x=2.5$.
Det betyr at salget er størst omtrent i den tredje dagen etter at varen er lagt ut.
Salget øker mest når $g^\prime(x)=50f^\prime(x)$ er størst. Fra del c ser vi at $f^\prime$ har lokal maksimum ved $x=\dfrac{5-\sqrt5}{2}\approx1.382$.
Det tilsvarer omtrent den andre dagen.

Svar: $Størst salg: omtrent dag 3. Størst økning: omtrent dag 2.$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
f = x**5 * sp.exp(-2*x)
g = 50*f
gp = sp.diff(g, x)
gpp = sp.factor(sp.diff(gp, x))
max_salg_x = sp.Rational(5, 2)
max_økning_x = (5 - sp.sqrt(5))/2
print('x for størst salg =', sp.N(max_salg_x, 6))
print('g(x) da =', sp.N(g.subs(x, max_salg_x), 8))
print('x for størst økning =', sp.N(max_økning_x, 8))
print("g'(x) da =", sp.N(gp.subs(x, max_økning_x), 8))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Maks salgsnivåMaximize[50x^5 exp(-2x),0<x<10]

Maks vekstMaximize[Derivative[g],0<x<10]

Oppgave 4 alternativ II a

For rektangelet med $f(x)=\dfrac8x$, bestem $AB$ og $AD$ uttrykt ved $x$.

Vis løsning

Punktet $A$ har koordinater $(x,\frac8x)$, mens $B$ har første koordinat $6$ og samme høyde som $A$.
$\[AB=6-x\]$
Toppen av rektangelet ligger på linjen $y=12$, derfor er den vertikale lengden
$AD=12-\dfrac8x$

Svar: $AB=6-x,\ AD=12-\dfrac8x$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
AB = 6 - x
AD = 12 - 8/x
print('AB =', AB)
print('AD =', AD)
print('eksempel x=2: AB =', AB.subs(x, 2), 'AD =', AD.subs(x, 2))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

LengderAB=6-x, AD=12-8/x

Kontrollx in (2/3,6)

Oppgave 4 alternativ II b

Vis at arealet kan skrives som $F(x)=80-12x-\dfrac{48}{x}$ og finn definisjonsmengden.

Vis løsning

Arealet er bredde ganger høyde:
$F(x)=(6-x)\left(12-\dfrac8x\right)$
Multipliser ut:
$F(x)=72-\dfrac{48}{x}-12x+8=80-12x-\dfrac{48}{x}$
For at rektangelet skal ha positiv bredde må $x<6$. For at høyden skal være positiv må $12-\dfrac8x>0$, altså $x>\dfrac23$.
$D_F=\left(\dfrac23,6\right)$

Svar: $F(x)=80-12x-\dfrac{48}{x},\ D_F=\left(\dfrac23,6\right)$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
F = (6 - x)*(12 - 8/x)
print('utvidet F(x) =', sp.expand(F))
print('betingelser: x < 6 og 12 - 8/x > 0')
print('definisjonsmengde: (2/3, 6)')

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

ArealExpand[(6-x)(12-8/x)]

Domene2/3 < x < 6

Oppgave 4 alternativ II c

Bestem det største arealet rektangelet kan få.

Vis løsning

Deriver arealfunksjonen:
$F^\prime(x)=-12+\dfrac{48}{x^2}$
Sett den deriverte lik null:
$-12+\dfrac{48}{x^2}=0$
$x^2=4\quad\Rightarrow\quad x=2$
Dette ligger i definisjonsmengden. Arealet blir
$F(2)=80-12\cdot2-\dfrac{48}{2}=32$

Svar: $Største areal er 32.$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
F = 80 - 12*x - 48/x
Fp = sp.diff(F, x)
kritisk = sp.solve(sp.Eq(Fp, 0), x)
print("F'(x) =", Fp)
print('kritiske x-verdier =', kritisk)
for verdi in kritisk:
    if sp.Rational(2, 3) < verdi < 6:
        print('x =', verdi, 'F(x) =', F.subs(x, verdi))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

DeriverDerivative[80-12x-48/x]

MaksimerMaximize[F,2/3<x<6]

Oppgave 4 alternativ II d

Undersøk om rektangelet med størst areal også har størst omkrets.

Vis løsning

Omkretsen er
$P(x)=2(AB+AD)=2\left(6-x+12-\dfrac8x\right)=36-2x-\dfrac{16}{x}$
Deriver:
$P^\prime(x)=-2+\dfrac{16}{x^2}$
Sett lik null:
$-2+\dfrac{16}{x^2}=0\quad\Rightarrow\quad x^2=8\quad\Rightarrow\quad x=2\sqrt2$
Størst areal fikk vi ved $x=2$, mens størst omkrets fås ved $x=2\sqrt2$. Det er ikke samme rektangel.

Svar: $Nei. Størst areal ved x=2, størst omkrets ved x=2\sqrt2.$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
P = 36 - 2*x - 16/x
Pp = sp.diff(P, x)
kritisk = sp.solve(sp.Eq(Pp, 0), x)
print("P'(x) =", Pp)
print('kritiske x-verdier =', kritisk)
for verdi in kritisk:
    if sp.Rational(2, 3) < verdi < 6:
        print('x =', sp.N(verdi, 8), 'P(x) =', sp.N(P.subs(x, verdi), 8))
print('P ved areal-maks x=2:', P.subs(x, 2))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

OmkretsP=2((6-x)+(12-8/x))

MaksimerMaximize[P,2/3<x<6]

Oppgave 5a

Skriv de seks første trekanttallene og de fem første summene. Marker mønsteret i Pascals trekant.

Vis løsning

Trekanttallene er summen av de første naturlige tallene:
$a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=6,\ a_4=10,\ a_5=15,\ a_6=21$
Summene blir
$S_1=1,\ S_2=4,\ S_3=10,\ S_4=20,\ S_5=35$
I Pascals trekant ligger trekanttallene i tredje diagonal, mens summene ligger i fjerde diagonal.

Svar: $Trekanttall: 1,3,6,10,15,21. Summer: 1,4,10,20,35.$

Python-kontroll

from math import comb
trekanttall = [n*(n + 1)//2 for n in range(1, 7)]
summer = [sum(trekanttall[:n]) for n in range(1, 6)]
print('trekanttall =', trekanttall)
print('summer =', summer)
print('Pascals tredje diagonal:', [comb(n + 1, 2) for n in range(1, 7)])
print('Pascals fjerde diagonal:', [comb(n + 2, 3) for n in range(1, 6)])

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

TrekanttallSequence[n(n+1)/2,n,1,6]

SummerCumulativeSum[...]

Oppgave 5b

Forklar at $a_n=1+2+3+\cdots+n$ og vis at $a_n=\dfrac{n(n+1)}2$.

Vis løsning

Det $n$-te trekanttallet består av rader med $1,2,3,\ldots,n$ kuler.
Derfor er
$a_n=1+2+3+\cdots+n$
Skriv summen forlengs og baklengs:
$a_n=1+2+\cdots+(n-1)+n$
$a_n=n+(n-1)+\cdots+2+1$
Legger vi sammen linjene, får vi $n$ par som hver er $n+1$:
$\[2a_n=n(n+1)\]$
$a_n=\dfrac{n(n+1)}2$

Svar: $a_n=\dfrac{n(n+1)}2$

Python-kontroll

for n in [1, 2, 3, 10, 50]:
    direkte = sum(range(1, n + 1))
    formel = n*(n + 1)//2
    print('n =', n, 'sum =', direkte, 'formel =', formel, 'lik:', direkte == formel)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

SumSum[k,k,1,n]

Forenklen(n+1)/2

Oppgave 5c

Bruk digitale hjelpemidler og finn summen av de 50 første trekanttallene.

Vis løsning

Vi kan summere trekanttallene direkte:
$S_{50}=\sum_{n=1}^{50}\dfrac{n(n+1)}2$
Med digitalt verktøy får vi
$S_{50}=22100$
Dette stemmer også med Pascals trekant-formelen $S_n=\binom{n+2}{3}$, siden $S_{50}=\binom{52}{3}=22100$.

Svar: $S_{50}=22100$

Python-kontroll

from math import comb
trekanttall = [n*(n + 1)//2 for n in range(1, 51)]
S50 = sum(trekanttall)
print('første fem trekanttall =', trekanttall[:5])
print('siste trekanttall a50 =', trekanttall[-1])
print('S50 =', S50)
print('kontroll med binom(52,3) =', comb(52, 3))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

SumSum[n(n+1)/2,n,1,50]

BinomialBinomial[52,3]

Oppgave 5d

Bruk Pascals trekant til å forklare $a_n=\binom{n+1}{2}$ og $S_n=\binom{n+2}{3}$.

Vis løsning

I Pascals trekant er trekanttallene tallene i diagonalen med binomialkoeffisienter $\binom{r}{2}$. For det $n$-te trekanttallet blir raden $r=n+1$.
$a_n=\binom{n+1}{2}=\dfrac{(n+1)n}{2}$
Summene av trekanttallene ligger en diagonal lenger inn, fordi summering langs en diagonal gir neste diagonal i Pascals trekant.
$S_n=\binom{n+2}{3}$
Eksempel: $S_5=35=\binom{7}{3}$.

Svar: $a_n=\binom{n+1}{2},\ S_n=\binom{n+2}{3}$

Python-kontroll

from math import comb
for n in range(1, 8):
    a_n = n*(n + 1)//2
    S_n = sum(k*(k + 1)//2 for k in range(1, n + 1))
    print('n =', n, 'a_n =', a_n, 'C(n+1,2) =', comb(n+1, 2), 'S_n =', S_n, 'C(n+2,3) =', comb(n+2, 3))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

TrekanttallBinomial[n+1,2]

SumBinomial[n+2,3]

Oppgave 6

Undersøk om 29 seksere av 500 eksamensresultater tyder på at andelen seksere har økt fra tidligere $4.3$ prosent.

Vis løsning

Vi kan modellere antall seksere i utvalget som en binomisk variabel når hvert eksamensresultat regnes som uavhengig med samme sannsynlighet for sekser.
$X\sim\operatorname{Bin}(n=500,p=0.043)$
Hypotesene kan settes opp som
$H_0:p=0.043,\qquad H_1:p>0.043$
Vi observerer $29$ seksere. Forventet antall under nullhypotesen er
$E(X)=500\cdot0.043=21.5$
Den relevante p-verdien er
$P(X\ge 29)\approx0.0662$
Ved et vanlig signifikansnivå på $5$ prosent er $0.0662>0.05$. Da forkaster vi ikke $H_0$. Resultatet gir en indikasjon på økning, men ikke sterk nok dokumentasjon på femprosentnivå. Ved ti prosent signifikansnivå ville resultatet vært signifikant.

Svar: $Ikke signifikant på 5 prosent nivå, men signifikant på 10 prosent nivå.$

Python-kontroll

from math import comb, sqrt
n = 500
p0 = 0.043
observert = 29
p_verdi = sum(comb(n, k) * p0**k * (1 - p0)**(n - k) for k in range(observert, n + 1))
forventning = n*p0
standardavvik = sqrt(n*p0*(1 - p0))
utvalgsandel = observert/n
print('H0: p =', p0)
print('observasjon =', observert, 'av', n)
print('utvalgsandel =', utvalgsandel)
print('forventet antall under H0 =', forventning)
print('standardavvik under H0 =', standardavvik)
print('p-verdi P(X >= 29) =', p_verdi)
print('forkast på 5 prosent nivå:', p_verdi < 0.05)
print('forkast på 10 prosent nivå:', p_verdi < 0.10)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

BinomialmodellX~Binomial[500,0.043]

P-verdi1-BinomialCDF[500,0.043,28]

Matematikk S2 eksamen – vår 2009

Matematikk S2 V09 - komplett løsningsforslag

Løsningsforslag

Oppgave 1a 1

Oppgave 1a 2

Oppgave 1b 1

Oppgave 1b 2

Oppgave 1c 1

Oppgave 1c 2

Oppgave 1d

Oppgave 1e

Oppgave 2a

Oppgave 2b

Oppgave 2c

Oppgave 2d

Oppgave 3a

Oppgave 3b

Oppgave 3c

Oppgave 4 alternativ I a

Oppgave 4 alternativ I b

Oppgave 4 alternativ I c

Oppgave 4 alternativ I d

Oppgave 4 alternativ II a

Oppgave 4 alternativ II b

Oppgave 4 alternativ II c

Oppgave 4 alternativ II d

Oppgave 5a

Oppgave 5b

Oppgave 5c

Oppgave 5d

Oppgave 6