Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et ubestemt integral. Produktet \(x\cdot e^x\) gjør at delvis integrasjon er naturlig.

Steg 1 — Velg metode

Vi bruker delvis integrasjon:

\[\int u\,v'\,dx=u\cdot v-\int u'\cdot v\,dx\]

Steg 2 — Velg \(u\) og \(v'\)

La \(u=x\) og \(v'=e^x\). Da er \(u'=1\) og \(v=e^x\).

Steg 3 — Sett inn i formelen

\[\int x e^x\,dx=x e^x-\int 1\cdot e^x\,dx\]

Steg 4 — Integrer resten

\[x e^x-\int e^x\,dx=x e^x-e^x+C\]

Steg 5 — Faktoriser

\[x e^x-e^x+C=e^x\left(x-1\right)+C\]

Steg 6 — Kontroll ved derivasjon

\[\dfrac{d}{dx}\left(e^x\left(x-1\right)\right)=e^x\left(x-1\right)+e^x=x e^x\]

Tolkning

Den deriverte av svaret gir integranden, derfor er antideriverten riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, exp, integrate, diff
x = symbols('x')
F = integrate(x*exp(x), x)
print(F)
print(diff(F, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne summen av en endelig aritmetisk rekke.

Steg 1 — Identifiser første ledd og differanse

\[a_1=-3,\qquad d=3\]

Steg 2 — Finn antall ledd

Bruk \(a_n=a_1+\left(n-1\right)d\):

\[-3+3\left(n-1\right)=69\]

Steg 3 — Løs likningen

\[3\left(n-1\right)=72\Rightarrow n-1=24\Rightarrow n=25\]

Steg 4 — Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Steg 5 — Sett inn verdiene

\[S_{25}=\dfrac{25\left(-3+69\right)}{2}\]

Steg 6 — Regn ut

\[S_{25}=\dfrac{25\cdot66}{2}=825\]

Tolkning

Rekken har 25 ledd, og summen av alle leddene er 825.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, summation
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
print(summation(-3 + 3*(n-1), (n, 1, 25)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne for hvilke \(x\)-verdier en uendelig geometrisk rekke konvergerer.

Steg 1 — Finn første ledd

Første ledd er \(a_1=5\).

Steg 2 — Finn kvotienten

Hvert ledd blir multiplisert med

\[k=\dfrac{1}{2}-x\]

Steg 3 — Bruk konvergenskravet

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når

\[|k|<1\]

Steg 4 — Sett inn kvotienten

\[\left|\dfrac{1}{2}-x\right|<1\]

Steg 5 — Skriv som dobbeltulikhet

\[-1<\dfrac{1}{2}-x<1\]

Steg 6 — Løs ulikheten

Venstre del gir \(x<\dfrac{3}{2}\), og høyre del gir \(x>-\dfrac{1}{2}\). Dermed

\[-\dfrac{1}{2}

Tolkning

Innenfor dette intervallet blir leddene mindre i absoluttverdi, slik at rekken får en endelig sum.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality, Abs
x = symbols('x', real=True)
print(solve_univariate_inequality(Abs(1/2 - x) < 1, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere hele bevegelsen: første fall, deretter både opp og ned for hvert sprett.

Steg 1 — Første bevegelse

Ballen faller først \(2\) meter.

Steg 2 — Første sprett

Første høyde opp blir

\[2\cdot0{,}75=1{,}5\]

Steg 3 — Gjenkjenn geometrisk rekke

Spretthøydene er

\[1{,}5+1{,}5\cdot0{,}75+1{,}5\cdot0{,}75^2+\ldots\]

Steg 4 — Finn summen av alle oppoverstrekningene

\[S=\dfrac{1{,}5}{1-0{,}75}=6\]

Steg 5 — Ta med både opp og ned etter første fall

Etter første fall går ballen like langt opp som ned i hvert sprett. Derfor er totalen

\[2+2\cdot6\]

Steg 6 — Regn ut total lengde

\[2+12=14\]

Tolkning

Ballen beveger seg totalt 14 meter når vi regner med uendelig mange stadig mindre sprett.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational
total = 2 + 2*(Rational(3,2)/(1 - Rational(3,4)))
print(total)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge uttrykket som gir geometrisk areal, ikke bare fortegnet integral.

Steg 1 — Finn nullpunktene i området

\[f(x)=x^3+x^2-2x=x\left(x+2\right)\left(x-1\right)\]

Steg 2 — Bruk figuren

Grafen ligger over \(x\)-aksen fra \(-2\) til \(0\), og under \(x\)-aksen fra \(0\) til \(1\).

Steg 3 — Areal over aksen

Arealet fra \(-2\) til \(0\) er

\[\int_{-2}^{0} f(x)\,dx\]

Steg 4 — Areal under aksen

Integralverdien fra \(0\) til \(1\) er negativ, så arealet der er

\[-\int_0^1 f(x)\,dx\]

Steg 5 — Sett sammen uttrykket

\[A=\int_{-2}^{0} f(x)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx\]

Steg 6 — Velg riktig alternativ

Dette svarer til alternativ 4 i oppgaveteksten.

Tolkning

Vi trekker fra det negative integralet for å få positivt areal.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
f = x**3 + x**2 - 2*x
print(factor(f))

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne geometrisk areal fra uttrykket i forrige deloppgave.

Steg 1 — Skriv arealet

\[A=\int_{-2}^{0} f(x)\,dx-\int_0^1 f(x)\,dx\]

Steg 2 — Finn en antiderivert

\[F(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-x^2\]

Steg 3 — Regn første integral

\[\int_{-2}^{0} f(x)\,dx=F(0)-F(-2)=\dfrac{8}{3}\]

Steg 4 — Regn andre integral

\[\int_0^1 f(x)\,dx=F(1)-F(0)=-\dfrac{5}{12}\]

Steg 5 — Gjør negativt integral om til positivt areal

\[A=\dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{5}{12}\right)\]

Steg 6 — Forenkle

\[A=\dfrac{32}{12}+\dfrac{5}{12}=\dfrac{37}{12}\]

Tolkning

Arealet er \(\dfrac{37}{12}\), omtrent \(3{,}08\) arealenheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
f = x**3 + x**2 - 2*x
A = integrate(f, (x, -2, 0)) - integrate(f, (x, 0, 1))
print(A)

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare arealkansellering og finne at det finnes to negative startverdier.

Steg 1 — Tolke integralet

Likningen

\[\int_a^1 f(x)\,dx=0\]

betyr at positivt og negativt fortegnsareal fra \(a\) til \(1\) summerer til null.

Steg 2 — Bruk fortegnene på grafen

Fra \(0\) til \(1\) er integralet negativt. Fra \(-2\) til \(0\) er integralet positivt.

Steg 3 — Forklar den første løsningen

Når \(a\approx-0{,}6\), tar vi med akkurat nok positivt areal til å oppheve det negative arealet fra \(0\) til \(1\).

Steg 4 — Forklar hvorfor det kan finnes en løsning til

Hvis \(a\) flyttes til venstre for \(-2\), kommer det også med negativt areal før \(-2\). Da kan integralet igjen bli null.

Steg 5 — Løs kontrollmessig

En antiderivert gir

\[\int_a^1 f(x)\,dx=-\dfrac{\left(a-1\right)^2\left(3a^2+10a+5\right)}{12}\]

Steg 6 — Finn de negative løsningene

\[3a^2+10a+5=0\]

\[a=\dfrac{-5\pm\sqrt{10}}{3}\]

Dette gir \(a\approx-0{,}61\) og \(a\approx-2{,}72\).

Tolkning

Den andre løsningen ligger omtrent ved \(a=-2{,}7\), noe som stemmer med figuren: området til venstre for \(-2\) er negativt og kan balansere overskuddet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, integrate, solve, sqrt, N
x, a = symbols('x a')
f = x**3 + x**2 - 2*x
expr = integrate(f, (x, a, 1))
print(expr.factor())
print([N(s) for s in solve(expr, a)])

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage sannsynlighetsfordelingen til poengendringen \(X\).

Steg 1 — Finn endringen for gul

Gul gir \(0\) poeng, men kastet koster \(2\), så \(X=0-2=-2\).

Steg 2 — Finn endringen for grønn

Grønn gir \(1\) poeng, så \(X=1-2=-1\).

Steg 3 — Finn endringen for blå

Blå gir \(2\) poeng, så \(X=2-2=0\).

Steg 4 — Finn endringen for rød

Rød gir \(3\) poeng, så \(X=3-2=1\).

Steg 5 — Bruk like sannsynlige sider

Alle fire sider er like sannsynlige, derfor har hver verdi sannsynlighet \(\dfrac{1}{4}\).

Steg 6 — Fullfør tabellen

Tolkning

Tabellen viser hele fordelingen til poengendringen i ett kast.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

xs = [-2, -1, 0, 1]
ps = [1/4]*4
print(list(zip(xs, ps)), sum(ps))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig poengendring per kast på lang sikt.

Steg 1 — Skriv formelen

\[E(X)=\sum x\cdot P(X=x)\]

Steg 2 — Sett inn verdiene

\[E(X)=(-2)\cdot\dfrac14+(-1)\cdot\dfrac14+0\cdot\dfrac14+1\cdot\dfrac14\]

Steg 3 — Samle tellerne

\[E(X)=\dfrac{-2-1+0+1}{4}\]

Steg 4 — Regn ut

\[E(X)=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac12\]

Steg 5 — Sett på enhet

Forventet endring er \(-0{,}5\) poeng per kast.

Steg 6 — Praktisk tolkning

På lang sikt taper spilleren i gjennomsnitt et halvt poeng per kast.

Tolkning

Startpoengene på 10 påvirker ikke forventet endring i ett kast.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

xs = [-2, -1, 0, 1]
E = sum(x/4 for x in xs)
print(E)

Hva spør oppgaven om? Vi skal måle spredningen i poengendringen.

Steg 1 — Bruk variansformelen

\[\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2\]

Steg 2 — Bruk forventningsverdien

Fra forrige deloppgave har vi \(E(X)=-\dfrac12\).

Steg 3 — Regn \(E(X^2)\)

\[E(X^2)=(-2)^2\cdot\dfrac14+(-1)^2\cdot\dfrac14+0^2\cdot\dfrac14+1^2\cdot\dfrac14\]

Steg 4 — Forenkle \(E(X^2)\)

\[E(X^2)=\dfrac{4+1+0+1}{4}=\dfrac64=\dfrac32\]

Steg 5 — Trekk fra kvadratet av forventningen

\[\operatorname{Var}(X)=\dfrac32-\left(-\dfrac12\right)^2\]

Steg 6 — Regn ferdig

\[\operatorname{Var}(X)=\dfrac32-\dfrac14=\dfrac54\]

Tolkning

Variansen er \(1{,}25\), som beskriver spredningen rundt forventet tap på \(0{,}5\) poeng.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
xs = [-2, -1, 0, 1]
E = sum(Fraction(x,4) for x in xs)
EX2 = sum(Fraction(x*x,4) for x in xs)
print(EX2 - E**2)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge figuren som passer for én enkelt elevs høyde.

Steg 1 — Definer variabelen

La \(X\) være høyden til én tilfeldig valgt elev.

Steg 2 — Skriv fordelingen

\[X\sim N\left(170,5\right)\]

Her er \(170\) forventningsverdien og \(5\) standardavviket.

Steg 3 — Tolk standardavviket

De fleste høyder ligger omtrent mellom \(170-3\cdot5=155\) og \(170+3\cdot5=185\).

Steg 4 — Sammenlign med figurene

Figur C har sentrum ved 170 og en skala som går omtrent fra 155 til 185.

Steg 5 — Utelukk smalere figurer

Figur A og B er for smale for standardavvik 5.

Steg 6 — Konkluder

Fordelingen til én elevs høyde vises av figur C.

Tolkning

Én enkelt elev varierer med standardavvik 5 cm rundt 170 cm.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

mu = 170
sigma = 5
print(mu - 3*sigma, mu + 3*sigma)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fordelingen til gjennomsnittet av 25 høyder.

Steg 1 — Definer gjennomsnittet

La \(\overline{X}\) være gjennomsnittshøyden til 25 elever.

Steg 2 — Forventningsverdien er uendret

\[E\left(\overline{X}\right)=170\]

Steg 3 — Standardavviket blir mindre

\[\sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{5}{\sqrt{25}}=1\]

Steg 4 — Skriv fordelingen

\[\overline{X}\sim N\left(170,1\right)\]

Steg 5 — Sammenlign med figurene

Figur B har sentrum 170 og typisk spenn omtrent fra 167 til 173, som passer \(3\) standardavvik hver vei.

Steg 6 — Konkluder

Fordelingen til gjennomsnittshøyden vises av figur B.

Tolkning

Gjennomsnitt av 25 elever varierer mindre enn høyden til én elev.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import sqrt
print(5/sqrt(25))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tilpasse en logistisk modell til datamaterialet og vurdere når modellen er rimelig å bruke.

Steg 1 — Definer tidsvariabelen

Uke 17 får \(t=0\), uke 18 får \(t=1\), og så videre til uke 24 med \(t=7\).

Steg 2 — Legg inn data

Datapunktene er \((0,2900),(1,4400),\ldots,(7,40800)\).

Steg 3 — Velg regresjonsmodell

Vi bruker modellen

\[I(t)=\dfrac{B}{1+a\cdot e^{-kt}}\]

Steg 4 — Gjør logistisk regresjon

En regresjon gir omtrent

\[B\approx41999,\qquad a\approx14{,}763,\qquad k\approx0{,}9035\]

Steg 5 — Skriv modellen

\[I(t)=\dfrac{41999}{1+14{,}763\cdot e^{-0{,}9035t}}\]

Steg 6 — Vurder gyldighetsområdet

Modellen er best dokumentert for \(0\le t\le7\), altså uke 17 til uke 24. Den kan brukes forsiktig litt videre, men ikke gjennom hele året fordi plantesalg er sesongavhengig.

Tolkning

Parameteren \(B\) tolkes som et metningsnivå på omtrent 42 000 kr per uke i denne salgsperioden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
t = np.arange(8)
y = np.array([2900,4400,12200,23400,28800,34600,41000,40800], dtype=float)
def I(t,B,a,k):
    return B/(1+a*np.exp(-k*t))
print(curve_fit(I, t, y, p0=[42000,15,0.9], maxfev=10000)[0])

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tidspunktet der den logistiske modellen har størst vekstfart.

Steg 1 — Bruk egenskapen til logistiske modeller

For \(I(t)=\dfrac{B}{1+a e^{-kt}}\) er veksten størst i vendepunktet.

Steg 2 — Finn vendepunktet

Vendepunktet ligger ved

\[t=\dfrac{\ln a}{k}\]

Steg 3 — Sett inn regresjonsverdiene

\[t=\dfrac{\ln(14{,}763)}{0{,}9035}\approx2{,}98\]

Steg 4 — Tolk tidspunktet

Dette er omtrent \(2{,}98\) uker etter uke 17, altså rundt uke 20.

Steg 5 — Finn maksimal vekstfart

For en logistisk modell er maksimal derivert

\[I'(t)=\dfrac{Bk}{4}\]

i vendepunktet.

Steg 6 — Regn ut vekstfarten

\[\dfrac{41999\cdot0{,}9035}{4}\approx9486\]

Tolkning

Inntekten økte mest rundt uke 20, med omtrent 9500 kroner per uke for hver uke på dette tidspunktet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
B, a, k = 41999, 14.763, 0.9035
print(math.log(a)/k)
print(B*k/4)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når samlet inntekt fra uke 17 blir 65 000 kroner.

Steg 1 — Bruk modellen

\[I(t)=\dfrac{41999}{1+14{,}763e^{-0{,}9035t}}\]

Steg 2 — Tolk integralet

Integral av kroner per uke over tid i uker gir kroner.

Steg 3 — Sett opp likningen

\[\int_0^x \dfrac{41999}{1+14{,}763e^{-0{,}9035t}}\,dt=65000\]

Steg 4 — Løs digitalt

Numerisk løsning gir

\[x\approx4{,}31\]

Steg 5 — Gjør om til kalenderuke

\[17+4{,}31=21{,}31\]

Steg 6 — Kontroller størrelsesorden

Etter omtrent fire uker ligger ukeinntekten rundt 30 000 kroner, så en samlet inntekt på 65 000 kroner er rimelig.

Tolkning

Den samlede inntekten fra salgsstart passerer 65 000 kroner litt ut i uke 21.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import scipy.integrate as si
import scipy.optimize as so
import math
def I(t):
    return 41999/(1+14.763*math.exp(-0.9035*t))
f = lambda x: si.quad(I, 0, x)[0] - 65000
print(so.brentq(f, 0, 10))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne marginalkostnaden ved produksjon på 150 enheter per dag.

Steg 1 — Skriv funksjonen

\[K(x)=700e^{x/200}\]

Steg 2 — Deriver eksponentialfunksjonen

\[\dfrac{d}{dx}e^{x/200}=\dfrac{1}{200}e^{x/200}\]

Steg 3 — Finn \(K\prime(x)\)

\[K\prime(x)=700\cdot\dfrac{1}{200}e^{x/200}=3{,}5e^{x/200}\]

Steg 4 — Sett inn \(x=150\)

\[K\prime(150)=3{,}5e^{150/200}\]

Steg 5 — Regn ut

\[K\prime(150)\approx7{,}41\]

Steg 6 — Praktisk tolkning

Når bedriften produserer 150 enheter per dag, øker kostnaden med omtrent 7,41 kroner for én ekstra enhet.

Tolkning

Dette er en momentan marginalkostnad, ikke gjennomsnittskostnaden per enhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, exp, diff, N
x = symbols('x')
K = 700*exp(x/200)
print(N(diff(K,x).subs(x,150)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal minimere kostnad per produsert enhet.

Steg 1 — Definer enhetskostnaden

\[E(x)=\dfrac{K(x)}{x}=\dfrac{700e^{x/200}}{x}\]

Steg 2 — Deriver \(E(x)\)

\[E\prime(x)=700\cdot\dfrac{e^{x/200}\left(\dfrac{x}{200}-1\right)}{x^2}\]

Steg 3 — Sett den deriverte lik null

Siden \(700e^{x/200}\) og \(x^2\) er positive, må

\[\dfrac{x}{200}-1=0\]

Steg 4 — Løs for \(x\)

\[x=200\]

Steg 5 — Finn laveste enhetskostnad

\[E(200)=\dfrac{700e}{200}\approx9{,}51\]

Steg 6 — Kontroller minimum

For \(x<200\) er \(E\prime(x)<0\), og for \(x>200\) er \(E\prime(x)>0\). Derfor er dette et minimum.

Tolkning

Bedriften får lavest kostnad per enhet ved å produsere 200 enheter per dag.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, exp, diff, solve, N
x = symbols('x', positive=True)
E = 700*exp(x/200)/x
print(solve(diff(E,x), x))
print(N(E.subs(x,200)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når inntekt er større enn kostnad.

Steg 1 — Skriv overskuddsfunksjonen

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 2 — Sett inn funksjonene

\[O(x)=80x-0{,}10x^2-700e^{x/200}\]

Steg 3 — Finn nullpunktene digitalt

\[80x-0{,}10x^2-700e^{x/200}=0\]

Steg 4 — Løs på produksjonsintervallet

Nullpunktene er omtrent \(x=9{,}27\) og \(x=580{,}38\), men det siste ligger utenfor \([0,500]\).

Steg 5 — Bestem fortegn

På intervallet \(9{,}270\).

Steg 6 — Bruk hele enheter

Bedriften må produsere minst \(10\) enheter for å få overskudd.

Tolkning

Fra og med 10 enheter per dag er inntekten større enn kostnaden i det oppgitte produksjonsintervallet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, exp, nsolve
x = symbols('x')
O = 80*x - 0.10*x**2 - 700*exp(x/200)
print(nsolve(O, 10))
print(nsolve(O, 500))

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere om ett funn av feil blant 20 er nok evidens for at feilandelen er større enn 1 %.

Steg 1 — Sett opp hypoteser

\[H_0:p=0{,}01,\qquad H_1:p>0{,}01\]

Steg 2 — Velg testvariabel

La \(X\) være antall feilproduserte komponenter blant 20. Under \(H_0\) er

\[X\sim \operatorname{Binomisk}(20,0{,}01)\]

Steg 3 — Observert verdi

Bedriften observerer \(X=1\).

Steg 4 — Finn p-verdien

For en høyresidig test blir

\[P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}99^{20}\]

Steg 5 — Regn ut

\[1-0{,}99^{20}\approx0{,}182\]

Steg 6 — Sammenlign med 5 %

Siden \(0{,}182>0{,}05\), er resultatet ikke statistisk signifikant på 5 %-nivå.

Tolkning

Klagen er ikke velbegrunnet ut fra denne testen. Ett feilprodukt blant 20 kan godt skje selv om feilandelen er 1 %.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

p_value = 1 - 0.99**20
print(p_value)

Hva spør oppgaven om? Vi bruker en ensidig 5 %-vurdering: Når er én eller færre feil så lavt at det støtter at feilandelen ikke er over 1 %?

Steg 1 — Bruk randtilfellet

Randverdien er \(p=0{,}01\). Hvis \(p\) var større, ville sannsynligheten for bare én feil bli enda mindre.

Steg 2 — Definer testvariabelen

La \(X\) være antall feil blant \(n\) testede komponenter:

\[X\sim \operatorname{Binomisk}(n,0{,}01)\]

Steg 3 — Bruk observasjonen

Kontrolløren fant én feil, altså \(X=1\). Vi undersøker

\[P(X\le1)\]

Steg 4 — Sett opp kravet

For å ha mer enn 95 % støtte mot at feilandelen er over 1 %, trenger vi

\[P(X\le1)<0{,}05\]

når \(p=0{,}01\).

Steg 5 — Skriv sannsynligheten

\[P(X\le1)=0{,}99^n+n\cdot0{,}01\cdot0{,}99^{n-1}\]

Steg 6 — Løs digitalt

Den minste heltallsverdien som gir \(P(X\le1)<0{,}05\), er

\[n=473\]

Tolkning

Hvis han har testet minst 473 komponenter og bare funnet én feil, er resultatet svært lavt dersom feilandelen skulle være over 1 %.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

for n in range(1, 2000):
    p = 0.99**n + n*0.01*0.99**(n-1)
    if p < 0.05:
        print(n, p)
        break

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fast årlig terminbeløp ved et annuitetslån.

Steg 1 — Definer terminbeløpet

La \(T\) være beløpet Mathias betaler hvert år.

Steg 2 — Diskonter betalingene

Nåverdien av betalingene er

\[\dfrac{T}{1{,}04}+\dfrac{T}{1{,}04^2}+\ldots+\dfrac{T}{1{,}04^8}\]

Steg 3 — Sett lik bilprisen

\[\dfrac{T}{1{,}04}+\dfrac{T}{1{,}04^2}+\ldots+\dfrac{T}{1{,}04^8}=357000\]

Steg 4 — Bruk annuitetsformelen

\[357000=T\cdot\dfrac{1-1{,}04^{-8}}{0{,}04}\]

Steg 5 — Løs for \(T\)

\[T=357000\cdot\dfrac{0{,}04}{1-1{,}04^{-8}}\]

Steg 6 — Regn ut

\[T\approx53024{,}44\]

Tolkning

Mathias må betale omtrent 53 024 kroner hvert år i 8 år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

PV = 357000
r = 0.04
n = 8
T = PV*r/(1-(1+r)**(-n))
print(T)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne renten som gjør nåverdien av ti betalinger på 52 000 kroner lik 450 000 kroner.

Steg 1 — Definer renten

La \(r\) være årlig rente som desimaltall.

Steg 2 — Sett opp nåverdirekken

\[\dfrac{52000}{1+r}+\dfrac{52000}{\left(1+r\right)^2}+\ldots+\dfrac{52000}{\left(1+r\right)^{10}}=450000\]

Steg 3 — Bruk annuitetsuttrykket

\[52000\cdot\dfrac{1-\left(1+r\right)^{-10}}{r}=450000\]

Steg 4 — Løs numerisk

Denne likningen kan ikke løses enkelt for hånd, så vi bruker CAS.

Steg 5 — Finn \(r\)

\[r\approx0{,}02719\]

Steg 6 — Gjør om til prosent

\[0{,}02719\cdot100\%\approx2{,}72\%\]

Tolkning

Den effektive årlige rentesatsen i tilbudet er omtrent 2,72 %.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, nsolve
r = symbols('r')
sol = nsolve(52000*(1-(1+r)**(-10))/r - 450000, 0.03)
print(sol)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne total betaling minus lånebeløp i de to tilbudene.

Steg 1 — Dieselbilens terminbeløp

Fra del a er \(T\approx53024{,}44\).

Steg 2 — Total betaling for dieselbilen

\[8\cdot53024{,}44\approx424195{,}49\]

Steg 3 — Renter for dieselbilen

\[424195{,}49-357000\approx67195{,}49\]

Steg 4 — Total betaling for elbilen

\[10\cdot52000=520000\]

Steg 5 — Renter for elbilen

\[520000-450000=70000\]

Steg 6 — Sammenlign

\[70000>67195{,}49\]

Tolkning

Elbiltilbudet har lavere årlig rente, men høyere lånebeløp og lengre nedbetalingstid. Derfor blir totale renter størst for elbilen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

diesel_interest = 8*53024.43604067648 - 357000
el_interest = 10*52000 - 450000
print(diesel_interest, el_interest)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne mønsteret i daglige sparebeløp og bruke det i et program.

Steg 1 — Se på differansene

\[5-1=4,\quad 10-5=5,\quad 16-10=6,\quad 23-16=7\]

Steg 2 — Beskriv mønsteret

Differansen øker med 1 hver dag.

Steg 3 — Definer sparebeløpet

La \(b_n\) være beløpet Wiggo sparer på dag \(n\).

Steg 4 — Skriv rekursjonen

\[b_1=1,\qquad b_n=b_{n-1}+n+2\quad\text{for }n\ge2\]

Steg 5 — Bruk løpende sum

Programmet må oppdatere både dagens sparebeløp og totalsummen.

Steg 6 — Resultat fra program

Programmet gir at Wiggo må spare i \(82\) dager. Da har han \(101\,926\) kroner.

Tolkning

Dag 82 er første dag totalsummen passerer 100 000 kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

dag = 1
belop = 1
sum_spart = 1
while sum_spart < 100000:
    dag += 1
    belop = belop + dag + 2
    sum_spart += belop
print(dag, sum_spart)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke hale-sum-formelen for forventet ventetid.

Steg 1 — Første kast er alltid nødvendig

Derfor er første ledd i summen \(1\).

Steg 2 — Andre kast er alltid nødvendig

Man kan først få to like på rad når kast 2 er gjort, derfor kommer enda et \(1\).

Steg 3 — Tredje kast er nødvendig hvis kast 2 var ulikt kast 1

Sannsynligheten for dette er \(\dfrac56\).

Steg 4 — Fjerde kast er nødvendig hvis de to første overgangene ikke ga likt

Det har sannsynlighet \(\left(\dfrac56\right)^2\).

Steg 5 — Skriv forventningen som en rekke

\[E(N)=1+1+\dfrac56+\left(\dfrac56\right)^2+\left(\dfrac56\right)^3+\ldots\]

Steg 6 — Summer den geometriske rekken

\[E(N)=2+\dfrac{\dfrac{5}{6}}{1-\dfrac{5}{6}}=2+5=7\]

Tolkning

Ane må i gjennomsnitt kaste terningen 7 ganger før hun får samme antall øyne i to kast på rad.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
E = 2 + Fraction(5,6)/(1-Fraction(5,6))
print(E)

Hva spør oppgaven om? Vi skal simulere mange spill og finne gjennomsnittlig sum av øyne fram til første gang to kast på rad er like.

Steg 1 — Lag én simulering

Start med ett kast, legg øynene til summen, og husk forrige kast.

Steg 2 — Kast videre

For hvert nytt kast legger vi øynene til summen.

Steg 3 — Stoppregel

Hvis nytt kast er likt forrige kast, stopper forsøket.

Steg 4 — Gjenta mange ganger

Forventningsverdien estimeres ved gjennomsnittet av mange slike summer.

Steg 5 — Simuleringsresultat

Med mange repetisjoner får vi typisk en verdi nær

\[24{,}5\]

Steg 6 — Rimelighetskontroll

Forventet antall kast er \(7\), og gjennomsnittlig øyetall på en terning er \(3{,}5\). Produktet \(7\cdot3{,}5=24{,}5\), som stemmer med simuleringen.

Tolkning

Summen av øyne fram til første gjentakelse er i gjennomsnitt omtrent 24,5.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import random
N = 200000
total = 0
for _ in range(N):
    prev = random.randint(1, 6)
    s = prev
    while True:
        kast = random.randint(1, 6)
        s += kast
        if kast == prev:
            break
        prev = kast
    total += s
print(total/N)