S2 eksamenHøst 2024

Matematikk S2 eksamen – høst 2024

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen høst 2024 - løsningsforslag

Bokmål. Alle deloppgaver fra Udir-settet er transkribert og løst med full utledning, tolkning, vanlig feil og digital kontroll der det er relevant.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aintegrasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Regn ut integralet \(\int x^2\cdot \ln x\,dx\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Velg metode

Integralet \(\int x^2\ln x\,dx\) er et produkt. Vi bruker delvis integrasjon med \(u=\ln x\) og \(v\'=x^2\).

Steg 2 - Deriver og integrer delene

Vi får \(u\'=\dfrac{1}{x}\) og \(v=\dfrac{x^3}{3}\).

Steg 3 - Bruk formelen for delvis integrasjon

\[\int u\,v\'\,dx=uv-\int u\'v\,dx.\]

Steg 4 - Sett inn

\[\int x^2\ln x\,dx=\dfrac{x^3}{3}\ln x-\int \dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{x^3}{3}\,dx.\]

Steg 5 - Forenkle resten av integralet

\[\int \dfrac{x^2}{3}\,dx=\dfrac{x^3}{9}.\]

Steg 6 - Skriv svaret med konstant

\[\int x^2\ln x\,dx=\dfrac{x^3}{3}\ln x-\dfrac{x^3}{9}+C.\]

Tolkning

Antiderivert betyr en funksjon som har \(x^2\ln x\) som derivert.

Vanlig feil: Å glemme konstanten \(C\), eller å integrere \(\ln x\) direkte uten produktregelen baklengs.
GeoGebra · CAS
1
Integral(x^2 ln(x), x)
→ \(\dfrac{x^3\ln x}{3}-\dfrac{x^3}{9}\)
2
Derivert(x^3 ln(x)/3 - x^3/9)
→ \(x^2\ln x\)

💻 Python

from sympy import symbols, integrate, log, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
F = integrate(x**2*log(x), x)
print(F)
print(simplify(diff(F, x) - x**2*log(x)))
Fasit: \(\dfrac{x^3}{3}\ln x-\dfrac{x^3}{9}+C\).
Del 1 · Oppgave 1bbestemt integral

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem \(x\) når \(\int_{-1}^{x}\left(3t^2-1\right)dt=0,\quad x>-1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Regn ut integralet som funksjon av x

\[\int_{-1}^{x}\left(3t^2-1\right)dt=\left[t^3-t\right]_{-1}^{x}.\]

Steg 2 - Sett inn øvre og nedre grense

\[\left(x^3-x\right)-\left((-1)^3-(-1)\right)=x^3-x.\]

Steg 3 - Bruk likningen fra oppgaven

Oppgaven sier at integralet er lik null, altså \(x^3-x=0\).

Steg 4 - Faktoriser

\[x^3-x=x\left(x^2-1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right).\]

Steg 5 - Finn kandidatene

\[x=-1,\quad x=0,\quad x=1.\]

Steg 6 - Bruk vilkåret i oppgaven

Siden \(x>-1\), er \(x=-1\) ikke tillatt. Da står vi igjen med \(x=0\) og \(x=1\).

Tolkning

De to tillatte verdiene gir null netto fortegnsareal fra \(-1\) til \(x\).

Vanlig feil: Å ta med \(x=-1\) selv om oppgaven krever \(x>-1\).
GeoGebra · CAS
1
Løs(x^3 - x = 0)
→ \(x=-1\lor x=0\lor x=1\)
2
Løs({x^3 - x = 0, x > -1})
→ \(x=0\lor x=1\)

💻 Python

from sympy import symbols, integrate, solve
t, x = symbols('t x')
expr = integrate(3*t**2 - 1, (t, -1, x))
print(expr)
print([r for r in solve(expr, x) if r > -1])
Fasit: \(x=0\) eller \(x=1\).
Del 1 · Oppgave 1ctolkning av integral

Oppgave 1c

Oppgave:

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Se på integralet som nettoareal

Et bestemt integral kan tolkes som nettoareal mellom grafen og \(t\)-aksen.

Steg 2 - Bruk resultatet fra b)

For \(x=0\) og \(x=1\) er integralet fra \(-1\) til \(x\) lik null.

Steg 3 - Forklar praktisk betydning

Det betyr at positivt og negativt bidrag har utlignet hverandre i intervallet.

Steg 4 - Knytt til endring

Hvis \(3t^2-1\) er en endringsfart, betyr svaret at total endring fra \(-1\) til \(x\) er null.

Steg 5 - Skill mellom areal og nettoareal

Nettoareal kan være null selv om grafen ikke ligger på aksen hele tiden.

Steg 6 - Kontroller mot likningen

Siden \(x^3-x=0\) for \(x=0\) og \(x=1\), passer tolkningen med regningen.

Tolkning

Praktisk kan dette beskrive at en størrelse ender på samme nivå som den startet, selv om den har variert underveis.

Vanlig feil: Å si at arealet er null. Det er nettoarealet, altså areal med fortegn, som er null.
Fasit: Nettoendringen fra \(-1\) til \(0\) eller fra \(-1\) til \(1\) er \(0\).
Del 1 · Oppgave 2aaritmetisk rekke

Oppgave 2a

Oppgave:

Finn summen av den aritmetiske rekken \(3+7+11+15+\ldots+399\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Identifiser rekken

Rekken \(3+7+11+15+\ldots+399\) er aritmetisk med \(a_1=3\), differanse \(d=4\) og siste ledd \(399\).

Steg 2 - Finn antall ledd

\[399=3+(n-1)\cdot4.\]

Steg 3 - Løs for n

\[396=4(n-1)\Rightarrow n-1=99\Rightarrow n=100.\]

Steg 4 - Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}.\]

Steg 5 - Sett inn tall

\[S_{100}=\dfrac{100(3+399)}{2}.\]

Steg 6 - Regn ut

\[S_{100}=50\cdot402=20100.\]

Tolkning

Summen av de 100 leddene i rekken er \(20100\).

Vanlig feil: Å bruke \(99\) ledd fordi \(399-3=396\) gir \(99\) differanser. Antall ledd er én mer enn antall differanser.
GeoGebra · CAS
1
n := Løs(399 = 3 + (n - 1) 4)
→ \(n=100\)
2
100 (3 + 399) / 2
→ \(20100\)

💻 Python

from sympy import summation, symbols
i = symbols('i', integer=True, positive=True)
print(summation(3 + (i-1)*4, (i, 1, 100)))
Fasit: \(20100\).
Del 1 · Oppgave 2buendelig geometrisk rekke

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem kvotienten \(k\) for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har \(a_1=12\) og sum \(18\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Bruk formelen for uendelig geometrisk rekke

Når \(|k|<1\), er \(S=\dfrac{a_1}{1-k}\).

Steg 2 - Sett inn opplysningene

\[18=\dfrac{12}{1-k}.\]

Steg 3 - Løs likningen

\[18(1-k)=12.\]

Steg 4 - Del på 18

\[1-k=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}.\]

Steg 5 - Finn kvotienten

\[k=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}.\]

Steg 6 - Kontroller konvergens

\[\left|\dfrac{1}{3}\right|<1,\] så rekken konvergerer.

Tolkning

Hvert ledd er en tredel av leddet foran.

Vanlig feil: Å skrive \(S=\dfrac{a_1}{k-1}\). Nevneren skal være \(1-k\).
GeoGebra · CAS
1
Løs(18 = 12/(1-k), k)
→ \(k=\dfrac{1}{3}\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve
k = symbols('k')
print(solve(18 - 12/(1-k), k))
Fasit: \(k=\dfrac{1}{3}\).
Del 1 · Oppgave 2cperiodisk desimaltall

Oppgave 2c

Oppgave:

Vis at tallet \(0{,}75757575\ldots\) kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at \(1{,}75757575\ldots=\dfrac{58}{33}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Skriv desimaltallet som sum

\[0{,}757575\ldots=0{,}75+0{,}0075+0{,}000075+\ldots\]

Steg 2 - Identifiser første ledd og kvotient

Første ledd er \(a_1=0{,}75=\dfrac{75}{100}\), og hvert nytt ledd er \(\dfrac{1}{100}\) av det forrige.

Steg 3 - Bruk uendelig geometrisk sum

\[0{,}757575\ldots=\dfrac{\frac{75}{100}}{1-\frac{1}{100}}.\]

Steg 4 - Forenkle brøken

\[\dfrac{\frac{75}{100}}{\frac{99}{100}}=\dfrac{75}{99}=\dfrac{25}{33}.\]

Steg 5 - Legg til heltallsdelen

\[1{,}757575\ldots=1+\dfrac{25}{33}.\]

Steg 6 - Skriv med felles nevner

\[1+\dfrac{25}{33}=\dfrac{33}{33}+\dfrac{25}{33}=\dfrac{58}{33}.\]

Tolkning

Periodiske desimaltall kan ofte skrives som uendelige geometriske rekker.

Vanlig feil: Å bruke kvotienten \(\dfrac{1}{10}\) i stedet for \(\dfrac{1}{100}\). Perioden har to siffer.
GeoGebra · CAS
1
75/100/(1 - 1/100)
→ \(\dfrac{25}{33}\)
2
1 + 25/33
→ \(\dfrac{58}{33}\)

💻 Python

from fractions import Fraction
rep = Fraction(75,100) / (1 - Fraction(1,100))
print(rep, 1 + rep)
Fasit: \(0{,}757575\ldots=\dfrac{25}{33}\), og derfor \(1{,}757575\ldots=\dfrac{58}{33}\).
Del 1 · Oppgave 3sannsynlighetsfordeling

Oppgave 3

Oppgave:

Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel \(X\).

\(x\)\(0\)\(1\)\(4\)\(b\)
\(P(X=x)\)\(0{,}30\)\(0{,}40\)\(0{,}10\)\(0{,}20\)
\(E(X)=2\). Vis at \(b=6\), og bestem \(\operatorname{Var}(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Bruk forventningsverdien

\[E(X)=0\cdot0{,}30+1\cdot0{,}40+4\cdot0{,}10+b\cdot0{,}20.\]

Steg 2 - Sett lik 2

\[0+0{,}40+0{,}40+0{,}20b=2.\]

Steg 3 - Løs for b

\[0{,}80+0{,}20b=2\Rightarrow0{,}20b=1{,}20\Rightarrow b=6.\]

Steg 4 - Regn ut \(E(X^2)\)

\[E(X^2)=0^2\cdot0{,}30+1^2\cdot0{,}40+4^2\cdot0{,}10+6^2\cdot0{,}20.\]

Steg 5 - Summer

\[E(X^2)=0+0{,}40+1{,}60+7{,}20=9{,}20.\]

Steg 6 - Bruk variansformelen

\[\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2=9{,}20-2^2=5{,}20.\]

Tolkning

Variansen \(5{,}20\) beskriver spredningen rundt forventningsverdien \(2\).

Vanlig feil: Å regne varians som \(E(X^2)\) uten å trekke fra \(E(X)^2\).
GeoGebra · CAS
1
Løs(0.3*0 + 0.4*1 + 0.1*4 + 0.2*b = 2, b)
→ \(b=6\)
2
0^2*0.30 + 1^2*0.40 + 4^2*0.10 + 6^2*0.20 - 2^2
→ \(5{,}2\)

💻 Python

from fractions import Fraction
xs = [0,1,4,6]
ps = [Fraction(30,100), Fraction(40,100), Fraction(10,100), Fraction(20,100)]
EX = sum(x*p for x,p in zip(xs,ps))
EX2 = sum(x*x*p for x,p in zip(xs,ps))
print(EX, EX2, EX2-EX**2)
Fasit: \(b=6\) og \(\operatorname{Var}(X)=5{,}20=\dfrac{26}{5}\).
Del 1 · Oppgave 4abinomisk fordeling

Oppgave 4a

Oppgave:

En gartner sår \(1000\) frø. Frøene har en spireevne på \(70\) %. Hvilken av de to figurene nedenfor viser sannsynlighetstettheten for antall frø som spirer? Husk å begrunne svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Modell for antall frø som spirer

Antallet som spirer kan modelleres binomisk: \(X\sim \operatorname{Bin}(1000,0{,}70)\).

Steg 2 - Finn forventningsverdi

\[E(X)=np=1000\cdot0{,}70=700.\]

Steg 3 - Finn standardavvik

\[\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{1000\cdot0{,}70\cdot0{,}30}=\sqrt{210}\approx14{,}49.\]

Steg 4 - Sammenlign figurene

Riktig figur må være sentrert rundt \(700\) og ha hovedmassen omtrent fra \(660\) til \(740\).

Steg 5 - Velg figur

Figur 2 passer med sentrum \(700\) og realistisk spredning. Figur 1 har altfor stor spredning.

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Med standardavvik omtrent \(14{,}5\) er fire standardavvik omtrent \(58\), så en akse rundt \(640\) til \(760\) er rimelig.

Tolkning

Vi forventer at omtrent \(700\) av de \(1000\) frøene spirer, med relativt liten spredning.

Vanlig feil: Å velge figuren bare fordi den har topp ved \(700\). Spredningen må også stemme.
GeoGebra · CAS
1
1000 * 0.70
→ \(700\)
2
sqrt(1000 * 0.70 * 0.30)
→ \(14{,}49\)

💻 Python

from math import sqrt
n = 1000
p = 0.70
print(n*p, sqrt(n*p*(1-p)))
Fasit: Figur 2.
Del 1 · Oppgave 4bnormalfordeling

Oppgave 4b

Oppgave:

En stokastisk variabel er normalfordelt med \(E(X)=50\) og \(\sigma=10\). Hvilken av de to figurene nedenfor viser sannsynlighetstettheten til denne stokastiske variabelen? Husk å begrunne svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Les av parameterne

Den stokastiske variabelen er normalfordelt med \(E(X)=50\) og \(\sigma=10\).

Steg 2 - Toppunktet

Begge aktuelle figurer har topp rundt \(50\), så vi må bruke spredningen for å skille dem.

Steg 3 - Bruk standardavviket

For en normalfordeling ligger mye av massen omtrent i intervallet \(50\pm3\cdot10\), altså fra \(20\) til \(80\).

Steg 4 - Sammenlign med figur 3

Figur 3 viser en kurve med bredde som passer omtrent \(\sigma=10\).

Steg 5 - Sammenlign med figur 4

Figur 4 er for smal og passer bedre med et standardavvik rundt \(5\).

Steg 6 - Konkluder

Derfor er figur 3 sannsynlighetstettheten til variabelen.

Tolkning

Verdier rundt \(50\) er mest sannsynlige, men verdier rundt \(20\) og \(80\) er fortsatt innenfor omtrent tre standardavvik.

Vanlig feil: Å se bare på forventningsverdien og ikke på standardavviket.
GeoGebra · CAS
1
50 - 3*10
→ \(20\)
2
50 + 3*10
→ \(80\)
Fasit: Figur 3.
Del 1 · Oppgave 5agrensekostnad

Oppgave 5a

Oppgave:

En bedrift produserer og selger en vare der kostnaden \(K(x)\), oppgitt i kroner, er gitt ved \(K(x)=0{,}3x^2+10x+3000\). Her er \(x\) antall produserte og solgte enheter per uke. For hvilken \(x\)-verdi er grensekostnaden lik enhetskostnaden? Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Skriv kostnadsfunksjonen

\[K(x)=0{,}3x^2+10x+3000.\]

Steg 2 - Finn grensekostnaden

\[K\'(x)=0{,}6x+10.\]

Steg 3 - Finn enhetskostnaden

\[\dfrac{K(x)}{x}=0{,}3x+10+\dfrac{3000}{x},\quad x>0.\]

Steg 4 - Sett grensekostnad lik enhetskostnad

\[0{,}6x+10=0{,}3x+10+\dfrac{3000}{x}.\]

Steg 5 - Løs likningen

\[0{,}3x=\dfrac{3000}{x}\Rightarrow0{,}3x^2=3000\Rightarrow x^2=10000.\]

Steg 6 - Velg praktisk løsning

Siden \(x\) er antall enheter, får vi \(x=100\).

Tolkning

Når grensekostnaden er lik enhetskostnaden, er enhetskostnaden minimal. Ved \(100\) enheter er gjennomsnittskostnaden lavest.

Vanlig feil: Å bruke \(K(x)\) i stedet for \(\dfrac{K(x)}{x}\) som enhetskostnad.
GeoGebra · CAS
1
Løs(0.6x + 10 = (0.3x^2 + 10x + 3000)/x, x)
→ \(x=100\lor x=-100\)
2
x > 0
→ \(x=100\)

💻 Python

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
K = 0.3*x**2 + 10*x + 3000
print(solve(0.6*x + 10 - K/x, x))
Fasit: \(x=100\). Enhetskostnaden er da minst.
Del 1 · Oppgave 5boverskuddsmaksimering

Oppgave 5b

Oppgave:

Bedriften regner med å selge varen for \(400\) kroner per enhet. Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Skriv inntekten

Prisen er \(400\) kroner per enhet, så inntekten er \(I(x)=400x\).

Steg 2 - Skriv overskuddet

\[O(x)=I(x)-K(x)=400x-\left(0{,}3x^2+10x+3000\right).\]

Steg 3 - Forenkle

\[O(x)=-0{,}3x^2+390x-3000.\]

Steg 4 - Deriver overskuddet

\[O\'(x)=-0{,}6x+390.\]

Steg 5 - Finn toppunktet

\[-0{,}6x+390=0\Rightarrow x=650.\]

Steg 6 - Kontroller maksimum

Siden andrederivert \(O\'\'(x)=-0{,}6<0\), er dette et maksimum.

Tolkning

Bedriften bør produsere og selge \(650\) enheter per uke for å få størst mulig overskudd i denne modellen.

Vanlig feil: Å maksimere inntekten alene. Overskudd er inntekt minus kostnad.
GeoGebra · CAS
1
O(x) := 400x - (0.3x^2 + 10x + 3000)
→ \(O(x)=-0{,}3x^2+390x-3000\)
2
Løs(Derivert(O)(x)=0, x)
→ \(x=650\)

💻 Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
O = 400*x - (0.3*x**2 + 10*x + 3000)
print(solve(diff(O,x), x))
print(diff(O,x,2))
Fasit: \(650\) enheter.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 1alogistisk modell

Oppgave 1a

Oppgave:

Marco skal løpe maraton og starter løpetrening. Tabellen viser \(t=1,5,10,15,20\) og \(L=14,32,80,115,145\). Vis at funksjonen \(L(t)=\dfrac{156{,}31}{1+12{,}21e^{-0{,}24t}}\) er en god modell for sammenhengen mellom uker etter treningsstart og antall kilometer løpt per uke. Forklar hvorfor en modell av denne typen kan passe godt til situasjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Skriv modellen

\[L(t)=\dfrac{156{,}31}{1+12{,}21e^{-0{,}24t}}.\]

Steg 2 - Sammenlign modell og data

Vi beregner modellverdiene for \(t=1,5,10,15,20\).

Steg 3 - Modellverdier

\[L(1)\approx14{,}74,\quad L(5)\approx33{,}42,\quad L(10)\approx74{,}16,\quad L(15)\approx117{,}21,\quad L(20)\approx142{,}04.\]

Steg 4 - Vurder avvik

Disse verdiene ligger nær datapunktene \(14,32,80,115,145\), særlig med tanke på at treningsdata ofte varierer.

Steg 5 - Forklar modelltypen

Modellen er logistisk. Den starter med langsom vekst, får en periode med rask vekst og flater ut mot en øvre grense \(156{,}31\).

Steg 6 - Praktisk vurdering

En maratonløper kan ikke øke ukentlig treningsmengde ubegrenset, derfor passer en øvre metningsverdi godt.

Tolkning

Modellen beskriver en realistisk treningsutvikling: gradvis opptrapping og deretter utflating.

Vanlig feil: Å bare si at grafen ser riktig ut. I Del 2 må du dokumentere med modellverdier eller regresjon.
GeoGebra · CAS
1
L(t) := 156.31/(1 + 12.21 exp(-0.24t))
→ \(L(t)=\dfrac{156{,}31}{1+12{,}21e^{-0{,}24t}}\)
2
L(1), L(5), L(10), L(15), L(20)
→ \(14{,}74, 33{,}42, 74{,}16, 117{,}21, 142{,}04\)

💻 Python

import math
def L(t):
    return 156.31/(1 + 12.21*math.exp(-0.24*t))
for t in [1,5,10,15,20]:
    print(t, round(L(t), 2))
Fasit: Modellen gir omtrent \(14{,}74,33{,}42,74{,}16,117{,}21,142{,}04\), som passer godt med dataene.
Del 2 · Oppgave 1bderivasjon av logistisk modell

Oppgave 1b

Oppgave:

Når økte antallet løpte kilometer per uke raskest, ifølge modellen? Hvor stor var økningen da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Tolk spørsmålet

Antallet kilometer per uke øker raskest når \(L\'(t)\) er størst.

Steg 2 - Bruk logistisk modell

For \(L(t)=\dfrac{K}{1+Ae^{-bt}}\) er veksten størst i vendepunktet.

Steg 3 - Finn tidspunktet

Vendepunktet kommer når \(Ae^{-bt}=1\), altså \(t=\dfrac{\ln A}{b}\).

Steg 4 - Sett inn

\[t=\dfrac{\ln(12{,}21)}{0{,}24}\approx10{,}43.\]

Steg 5 - Finn maksimal økning

Maksimal derivert for logistisk modell er \(\dfrac{Kb}{4}\).

Steg 6 - Regn ut

\[L\'_{\max}=\dfrac{156{,}31\cdot0{,}24}{4}\approx9{,}38.\]

Tolkning

Marco økte treningsmengden raskest etter omtrent \(10{,}4\) uker. Da var økningen omtrent \(9{,}4\) km per uke per uke.

Vanlig feil: Å svare med \(L(t)\) i stedet for \(L'(t)\). Spørsmålet gjelder økningstakten.
GeoGebra · CAS
1
L(t) := 156.31/(1 + 12.21 exp(-0.24t))
→ \(L(t)\)
2
Ekstremalpunkt(Derivert(L))
→ \(t\approx10{,}43\)
3
L'(10.426)
→ \(9{,}38\)

💻 Python

import sympy as sp
t = sp.symbols('t')
L = 156.31/(1 + 12.21*sp.exp(-0.24*t))
dL = sp.diff(L, t)
tstar = sp.log(12.21)/0.24
print(float(tstar))
print(float(dL.subs(t, tstar)))
Fasit: Etter omtrent \(10{,}4\) uker, med økning omtrent \(9{,}38\) km per uke per uke.
Del 2 · Oppgave 1cintegral av modell

Oppgave 1c

Oppgave:

Marco bestemte seg for å kjøpe nye sko etter å ha løpt totalt \(500\) km. Hvor mange uker hadde Marco løpt da han kjøpte seg nye sko? Hvor mange kilometer hadde han løpt i gjennomsnitt per uke før dette?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Tolk total løpt distanse

Total distanse etter \(T\) uker er \(\int_0^T L(t)\,dt\).

Steg 2 - Sett opp likningen

\[\int_0^T \dfrac{156{,}31}{1+12{,}21e^{-0{,}24t}}\,dt=500.\]

Steg 3 - Løs digitalt

CAS gir \(T\approx11{,}62\).

Steg 4 - Kontroller integralet

\[\int_0^{11{,}62}L(t)\,dt\approx500.\]

Steg 5 - Finn gjennomsnitt per uke

Gjennomsnittlig kilometer per uke er total distanse delt på tid.

Steg 6 - Regn ut gjennomsnittet

\[\dfrac{500}{11{,}618}\approx43{,}0.\]

Tolkning

Marco kjøpte sko etter omtrent \(11{,}6\) uker. Fram til da hadde han løpt omtrent \(43\) km per uke i gjennomsnitt.

Vanlig feil: Å løse \(L(t)=500\). \(L(t)\) er kilometer per uke, ikke total distanse.
GeoGebra · CAS
1
Integral(156.31/(1 + 12.21 exp(-0.24t)), 0, T) = 500
→ \(T\approx11{,}62\)
2
500 / 11.618365
→ \(43{,}04\)

💻 Python

import mpmath as mp
def L(t):
    return 156.31/(1 + 12.21*mp.e**(-0.24*t))
T = mp.findroot(lambda T: mp.quad(L, [0,T]) - 500, 12)
print(T)
print(500/T)
Fasit: Omtrent \(11{,}6\) uker og omtrent \(43{,}0\) km per uke i gjennomsnitt.
Del 2 · Oppgave 2ahypotesetest

Oppgave 2a

Oppgave:

En bedrift skal ansette en ny person og har \(100\) godt kvalifiserte søkere. \(60\) er kvinner og \(40\) er menn. Ledelsen inviterer tilfeldig \(8\) kvinner og \(12\) menn til intervju. Fagforeningen lurer på om dette faktisk er tilfeldig, eller om ledelsen bevisst velger menn. Formuler \(H_0\) og \(H_1\) for en test med signifikansnivå \(5\) %. Forklar hvorfor hypergeometrisk fordeling er mest passende.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Definer variabel

La \(X\) være antall menn blant de \(20\) som inviteres til intervju.

Steg 2 - Nullhypotese

\(H_0\): Invitasjonene er tilfeldige fra de \(100\) kvalifiserte søkerne.

Steg 3 - Alternativ hypotese

\(H_1\): Ledelsen velger bevisst menn, altså at andelen menn blant de inviterte er høyere enn ved tilfeldig utvalg.

Steg 4 - Velg fordeling

Vi trekker uten tilbakelegging fra en endelig gruppe med \(40\) menn og \(60\) kvinner.

Steg 5 - Modell

Derfor er \(X\) hypergeometrisk fordelt: \(X\sim \operatorname{Hypergeom}(N=100,K=40,n=20)\).

Steg 6 - Retning på testen

Observerte data er \(12\) menn. Vi bruker høyresidig test: \(P(X\ge12)\).

Tolkning

Hypergeometrisk fordeling er riktig fordi samme søker ikke kan trekkes flere ganger.

Vanlig feil: Å bruke binomisk fordeling uten å kommentere at utvalget skjer uten tilbakelegging.
Fasit: \(H_0\): tilfeldig utvalg. \(H_1\): ledelsen favoriserer menn. \(X\sim\operatorname{Hypergeom}(100,40,20)\).
Del 2 · Oppgave 2bhypergeometrisk test

Oppgave 2b

Oppgave:

Gjennomfør hypotesetesten og vurder om det er grunnlag for å si at ledelsen bevisst velger menn.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Bruk observasjonen

Vi observerer \(X=12\) menn av \(20\) inviterte.

Steg 2 - Finn p-verdien

For høyresidig test er p-verdien \(P(X\ge12)\).

Steg 3 - Skriv summen

\[P(X\ge12)=\sum_{x=12}^{20}\dfrac{\binom{40}{x}\binom{60}{20-x}}{\binom{100}{20}}.\]

Steg 4 - Beregn digitalt

\[P(X\ge12)\approx0{,}0380.\]

Steg 5 - Sammenlign med signifikansnivå

\[0{,}0380<0{,}05.\]

Steg 6 - Konkluder

Vi forkaster \(H_0\) på \(5\) %-nivå.

Tolkning

Det er statistisk grunnlag for å si at resultatet er uvanlig hvis utvalget var tilfeldig, og dermed grunnlag for mistanken om at ledelsen bevisst velger menn.

Vanlig feil: Å bruke \(P(X=12)\) i stedet for halen \(P(X\ge12)\).
GeoGebra · CAS
1
1 - HyperGeometric(100, 40, 20, 11)
→ \(0{,}03798\)
2
Sum(Binomial(40,k)*Binomial(60,20-k)/Binomial(100,20), k, 12, 20)
→ \(0{,}03798\)

💻 Python

from math import comb
N, K, n = 100, 40, 20
p = sum(comb(K,x)*comb(N-K,n-x)/comb(N,n) for x in range(12,21))
print(p)
Fasit: \(p\approx0{,}038<0{,}05\). Forkast \(H_0\); det er grunnlag for påstanden på \(5\) %-nivå.
Del 2 · Oppgave 3ageometrisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

Avgjør om påstanden er sann eller usann: En uendelig geometrisk rekke er gitt ved \(1+(\ln x-1)+(\ln x-1)^2+\ldots\). Påstand: Dersom \(x=\dfrac{1}{e}\), vil summen av rekka være \(\dfrac{1}{3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Identifiser rekke

Rekken er geometrisk med første ledd \(1\) og kvotient \(k=\ln x-1\).

Steg 2 - Sett inn \(x=\dfrac{1}{e}\)

\[\ln\left(\dfrac{1}{e}\right)=-1.\]

Steg 3 - Finn kvotienten

\[k=\ln\left(\dfrac{1}{e}\right)-1=-1-1=-2.\]

Steg 4 - Sjekk konvergens

En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \(|k|<1\).

Steg 5 - Vurder

\[|-2|=2>1.\]

Steg 6 - Konkluder

Rekken konvergerer ikke, og summen kan derfor ikke være \(\dfrac{1}{3}\).

Tolkning

Påstanden er usann fordi rekken ikke har en endelig sum når kvotienten er \(-2\).

Vanlig feil: Å sette rett inn i sumformelen uten å sjekke \(|k|<1\).
GeoGebra · CAS
1
ln(1/e) - 1
→ \(-2\)
2
Abs(-2) < 1
→ \(false\)

💻 Python

import sympy as sp
k = sp.log(1/sp.E) - 1
print(k, abs(k) < 1)
Fasit: Påstanden er usann.
Del 2 · Oppgave 3bareal mellom grafer

Oppgave 3b

Oppgave:

Avgjør om påstanden er sann eller usann: To funksjoner er gitt ved \(f(x)=x^3-x^2-ax\), der \(a\in\mathbb{R}\), og \(g(x)=-x^2+x\). Påstand: Grafene til \(f\) og \(g\) avgrenser to områder som er like store når \(a>-1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Finn differansen mellom grafene

\[f(x)-g(x)=x^3-x^2-ax-\left(-x^2+x\right)=x^3-(a+1)x.\]

Steg 2 - Faktoriser

\[f(x)-g(x)=x\left(x^2-(a+1)\right).\]

Steg 3 - Bruk vilkåret \(a>-1\)

Da er \(a+1>0\), og grafene skjærer hverandre i \(x=-\sqrt{a+1}\), \(x=0\) og \(x=\sqrt{a+1}\).

Steg 4 - Se på symmetrien

Funksjonen \(h(x)=x^3-(a+1)x\) er odde, fordi \(h(-x)=-h(x)\).

Steg 5 - Sammenlign områdene

De to avgrensede områdene ligger symmetrisk på hver side av origo og får like store arealer.

Steg 6 - Konkluder

Påstanden er sann for \(a>-1\).

Tolkning

Grafene avgrenser to områder fordi de har tre skjæringspunkter. Odd symmetri gjør at arealene blir like.

Vanlig feil: Å sammenligne fortegnsintegraler direkte. Areal skal være positiv størrelse.
GeoGebra · CAS
1
h(x) := x^3 - (a + 1)x
→ \(h(-x)=-h(x)\)
2
Løs(h(x)=0, x)
→ \(x=0\lor x=\pm\sqrt{a+1}\)

💻 Python

import sympy as sp
x, a = sp.symbols('x a', positive=True)
# Let r = sqrt(a+1). The integrals on [-r,0] and [0,r] have equal absolute value by odd symmetry.
h = x**3 - (a+1)*x
print(sp.simplify(h.subs(x, -x) + h))
Fasit: Påstanden er sann.
Del 2 · Oppgave 4arekursiv formel

Oppgave 4a

Oppgave:

Bestem en rekursiv formel for tallfølgen \(1,2,6,15,31,56,\ldots\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Se på differansene

Tallfølgen er \(1,2,6,15,31,56,\ldots\). Differansene er \(1,4,9,16,25,\ldots\).

Steg 2 - Gjenkjenn kvadrattall

\[1=1^2,\quad4=2^2,\quad9=3^2,\quad16=4^2,\quad25=5^2.\]

Steg 3 - Skriv rekursjonen

Hvert nytt ledd fås ved å legge til neste kvadrattall.

Steg 4 - Formel med \(n\)

\[a_1=1,\qquad a_n=a_{n-1}+(n-1)^2\quad(n\ge2).\]

Steg 5 - Kontroller med ledd

\[a_4=a_3+3^2=6+9=15.\]

Steg 6 - Kontroller neste

\[a_6=a_5+5^2=31+25=56.\]

Tolkning

Følgen bygges ved å legge til kvadrattallene etter tur.

Vanlig feil: Å bruke \(n^2\) i stedet for \((n-1)^2\) i formelen for \(a_n\).
GeoGebra · CAS
1
a(1) := 1
→ \(1\)
2
a(n) := a(n-1) + (n-1)^2
→ \(1,2,6,15,31,56\)
Fasit: \(a_1=1\), \(a_n=a_{n-1}+(n-1)^2\) for \(n\ge2\).
Del 2 · Oppgave 4bprogrammering

Oppgave 4b

Oppgave:

Bruk den rekursive formelen du fant i oppgave a), og lag et program som regner ut summen av de \(30\) første leddene i tallfølgen. Husk å legge ved bilde av både koden og resultatet av kjøringen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Bruk rekursjonen

Vi starter med \(a=1\) og summerer dette leddet.

Steg 2 - Lag løkke

For \(n=2\) til \(30\) oppdaterer vi \(a\) med \((n-1)^2\).

Steg 3 - Legg til i summen

Etter hver oppdatering legger vi nytt ledd til totalsummen.

Steg 4 - Programkode

Koden under beregner de \(30\) første leddene og summen.

Steg 5 - Resultat

Kjøringen gir summen \(67455\).

Steg 6 - Kontroll

Siste ledd blir \(8556\), som er rimelig fordi leddene vokser med kvadrattall.

💻 Python

a = 1
sum_a = a
for n in range(2, 31):
    a = a + (n - 1)**2
    sum_a = sum_a + a
print(a)
print(sum_a)

Tolkning

Summen av de \(30\) første leddene i tallfølgen er \(67455\).

Vanlig feil: Å starte løkken på feil indeks og dermed legge til \(n^2\) ett steg for tidlig.
GeoGebra · CAS
1
Sum(1 + Sum(k^2, k, 1, n-1), n, 1, 30)
→ \(67455\)
Fasit: Summen av de \(30\) første leddene er \(67455\).
Del 2 · Oppgave 5aannuitetslån

Oppgave 5a

Oppgave:

Ole vil studere i Tyskland og skal fullføre en mastergrad i løpet av \(5\) år. Etter \(5\) år vil det samlede lånebeløpet være \(799273\) kr. Rentesatsen er \(5{,}242\) % per år. Rentene begynner først å løpe rett etter fullført studium. Første avdrag betales ett år etter fullført studium. Nedbetalingstid er maks \(30\) år med én termin per år. Vis at terminbeløpene blir \(53437\) kr dersom han velger maks nedbetalingstid.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Identifiser lånebeløp og rente

Lånebeløpet er \(L=799273\), rentesatsen er \(r=0{,}05242\), og antall terminer er \(n=30\).

Steg 2 - Bruk annuitetsformelen

For årlige terminer er terminbeløpet \[T=L\cdot\dfrac{r}{1-(1+r)^{-n}}.\]

Steg 3 - Sett inn tall

\[T=799273\cdot\dfrac{0{,}05242}{1-(1+0{,}05242)^{-30}}.\]

Steg 4 - Beregn

\[T\approx53436{,}90.\]

Steg 5 - Rund av til kroner

\[T\approx53437.\]

Steg 6 - Kontroller tolkning

Første betaling skjer ett år etter studiet, så dette er en vanlig annuitet med betaling ved slutten av hvert år.

Tolkning

Ole må betale omtrent \(53437\) kr hvert år i \(30\) år dersom renten er uendret.

Vanlig feil: Å bruke \(30\) som prosent eller å glemme at renten må skrives som desimaltall.
GeoGebra · CAS
1
799273 * 0.05242 / (1 - (1 + 0.05242)^(-30))
→ \(53436{,}90\)

💻 Python

L = 799273
r = 0.05242
n = 30
T = L*r/(1 - (1+r)**(-n))
print(T)
Fasit: \(T\approx53437\) kr per år.
Del 2 · Oppgave 5bannuitetslån

Oppgave 5b

Oppgave:

Ole tenker at med forventet lavere rentesats kan han betale ned lånet på \(25\) år, med samme terminbeløp som i oppgave a). Hva må rentesatsen være hvis han skal klare det?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Behold terminbeløpet

Vi bruker \(T=53437\), lånebeløp \(L=799273\) og \(n=25\).

Steg 2 - Sett opp likning for ukjent rente

\[53437=799273\cdot\dfrac{r}{1-(1+r)^{-25}}.\]

Steg 3 - Løs numerisk

Denne likningen kan ikke løses pent for hånd, så vi bruker CAS.

Steg 4 - CAS-resultat

\[r\approx0{,}0441598.\]

Steg 5 - Skriv som prosent

\[0{,}0441598\cdot100\%\approx4{,}416\%.\]

Steg 6 - Kontroller

Når \(r\approx0{,}04416\) og \(n=25\), gir annuitetsformelen omtrent \(53437\).

Tolkning

Rentesatsen må være omtrent \(4{,}42\) % per år for at samme terminbeløp skal betale ned lånet på \(25\) år.

Vanlig feil: Å redusere nedbetalingstiden uten å løse for ny rente. Terminbeløpet er holdt fast.
GeoGebra · CAS
1
NLøs(53437 = 799273*r/(1 - (1+r)^(-25)), r)
→ \(r\approx0{,}04416\)

💻 Python

import mpmath as mp
L = 799273
T = 53437
f = lambda r: L*r/(1 - (1+r)**(-25)) - T
r = mp.findroot(f, 0.04)
print(r, 100*r)
Fasit: Omtrent \(4{,}42\) % per år.
Del 2 · Oppgave 5clånemodell

Oppgave 5c

Oppgave:

Ole ser for seg at han betaler samme terminbeløp som i oppgave a) de \(12\) første årene. Deretter øker han terminbeløpet med \(5\) % per termin resten av nedbetalingstiden. Han antar rente \(5{,}242\) % per år hele perioden. Hvor mange år vil det ta før lånet er nedbetalt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Bruk restgjeldsmodell

Etter hvert år beregnes ny restgjeld som \(G_{n}=G_{n-1}(1+r)-T_n\).

Steg 2 - Første 12 år

For \(n\le12\) er \(T_n=53437\).

Steg 3 - Etter 12 år

Fra og med år \(13\) øker terminbeløpet med \(5\) % per termin: \(T_n=53437\cdot1{,}05^{n-12}\).

Steg 4 - Iterer digitalt

Vi starter med \(G_0=799273\) og \(r=0{,}05242\).

Steg 5 - Resultat rundt slutten

Etter \(23\) betalinger er restgjelden omtrent \(58328{,}51\) kr. Før betaling i år \(24\) er den med rente omtrent \(61386{,}09\) kr.

Steg 6 - Sammenlign med terminbeløp i år 24

Terminbeløpet i år \(24\) er omtrent \(95965{,}17\) kr, som er mer enn nok til å betale ned resten.

Tolkning

Lånet blir nedbetalt ved den \(24\). årlige betalingen.

Vanlig feil: Å øke terminbeløpet allerede i år \(12\). Oppgaven sier samme terminbeløp de \(12\) første årene, deretter økning.
GeoGebra · CAS
1
Iterer(G_n = G_(n-1)*(1+0.05242) - T_n)
→ \(G_{23}\approx58328{,}51\)
2
58328.51*(1+0.05242)
→ \(61386{,}09\)
3
53437*1.05^12
→ \(95965{,}17\)

💻 Python

L = 799273
r = 0.05242
T0 = 53437
bal = L
for year in range(1, 100):
    payment = T0 if year <= 12 else T0*1.05**(year-12)
    bal = bal*(1+r) - payment
    if bal <= 0:
        print(year)
        break
Fasit: \(24\) år.
Del 2 · Oppgave 6aetterspørsel

Oppgave 6a

Oppgave:

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden er \(K(x)=0{,}2x^2+50x+1500\), der \(x\) er antall enheter. Etterspørselen er gitt ved \(E(p)=300e^{-0{,}01p}\), der \(p\) er prisen per vare i kroner. Regn ut \(E(30)\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Les etterspørselsfunksjonen

\[E(p)=300e^{-0{,}01p}.\]

Steg 2 - Sett inn pris

\[E(30)=300e^{-0{,}01\cdot30}=300e^{-0{,}30}.\]

Steg 3 - Beregn

\[E(30)\approx222{,}25.\]

Steg 4 - Praktisk tolkning

Når prisen er \(30\) kr per vare, er etterspørselen omtrent \(222\) enheter.

Steg 5 - Vurder enhet

Fordi \(E(p)\) er etterspørsel, tolkes svaret som antall varer, ikke kroner.

Steg 6 - Kontroll

Siden \(e^{-0{,}30}<1\), er \(E(30)<300\), som er rimelig.

Tolkning

Ved pris \(30\) kr forventes omtrent \(222\) solgte enheter.

Vanlig feil: Å tolke \(E(30)\) som inntekt. Det er etterspørsel.
GeoGebra · CAS
1
300 exp(-0.01*30)
→ \(222{,}25\)

💻 Python

import math
print(300*math.exp(-0.01*30))
Fasit: \(E(30)\approx222\). Ved pris \(30\) kr er etterspørselen omtrent \(222\) enheter.
Del 2 · Oppgave 6binntektsfunksjon

Oppgave 6b

Oppgave:

Finn et uttrykk \(I(x)\) for inntekten som funksjon av antall solgte enheter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere riktig modell, vise regningen ryddig og avslutte med kontroll slik at svaret kan etterprøves.

Steg 1 - Sammenheng mellom pris og solgt antall

Når \(x\) enheter selges, setter vi \(x=E(p)\).

Steg 2 - Sett opp likning

\[x=300e^{-0{,}01p}.\]

Steg 3 - Isoler eksponentialuttrykket

\[\dfrac{x}{300}=e^{-0{,}01p}.\]

Steg 4 - Ta naturlig logaritme

\[\ln\left(\dfrac{x}{300}\right)=-0{,}01p.\]

Steg 5 - Løs for pris

\[p=-100\ln\left(\dfrac{x}{300}\right)=100\ln\left(\dfrac{300}{x}\right).\]

Steg 6 - Finn inntekten

Inntekt er pris ganger antall: \[I(x)=x\cdot p=100x\ln\left(\dfrac{300}{x}\right).\]

Tolkning

Inntektsfunksjonen gjelder for \(0

Vanlig feil: Å bruke \(I(x)=xE(x)\). Etterspørselsfunksjonen har pris som variabel, så den må inverteres først.
GeoGebra · CAS
1
Løs(x = 300 exp(-0.01p), p)
→ \(p=100\ln\left(\dfrac{300}{x}\right)\)
2
I(x) := x * 100 ln(300/x)
→ \(I(x)=100x\ln\left(\dfrac{300}{x}\right)\)

💻 Python

import sympy as sp
x, p = sp.symbols('x p', positive=True)
solution = sp.solve(sp.Eq(x, 300*sp.exp(-0.01*p)), p)[0]
print(solution)
print(sp.simplify(x*solution))
Fasit: \(I(x)=100x\ln\left(\dfrac{300}{x}\right)\), for \(0