Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et bestemt integral og tolke integralverdien geometrisk.

Steg 1 — Se på integranden

Integranden er \(f(x)=x^3+2x\).

Begge leddene har oddetallseksponent, og derfor er \(f\) en odde funksjon.

Steg 2 — Bruk symmetri som kontrollide

For en odde funksjon gjelder \(f(-x)=-f(x)\).

På et symmetrisk intervall \([-a,a]\) blir det bestemte integralet lik \(0\), dersom funksjonen er odde.

Steg 3 — Regn med antiderivert

\[\int \left(x^3+2x\right)\,dx=\dfrac{x^4}{4}+x^2+C.\]

Dette gir en direkte regnekontroll av symmetrien.

Steg 4 — Sett inn grensene

\[\int_{-1}^{1}\left(x^3+2x\right)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+x^2\right]_{-1}^{1}.\]

Steg 5 — Beregn verdiene

\[\left(\dfrac{1^4}{4}+1^2\right)-\left(\dfrac{\left(-1\right)^4}{4}+\left(-1\right)^2\right)=\left(\dfrac14+1\right)-\left(\dfrac14+1\right)=0.\]

Steg 6 — Tolk integralet

Integralverdien \(0\) betyr at det fortegnede arealet over \(x\)-aksen er like stort som det fortegnede arealet under \(x\)-aksen, med motsatt fortegn.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
print(integrate(x**3 + 2*x, (x, -1, 1)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke summen av den uendelige rekken til å finne kvotienten, og deretter summere de fire første leddene.

Steg 1 — Skriv formelen for uendelig geometrisk rekke

Når \(|k|<1\), er summen

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}.\]

Steg 2 — Sett inn kjent sum og første ledd

\[8=\dfrac{4}{1-k}.\]

Steg 3 — Løs for kvotienten

\[8\left(1-k\right)=4\]

\[1-k=\dfrac12\]

\[k=\dfrac12.\]

Steg 4 — Finn de fire første leddene

\[4,\quad 2,\quad 1,\quad \dfrac12.\]

Steg 5 — Summer direkte

\[S_4=4+2+1+\dfrac12=\dfrac{15}{2}.\]

Steg 6 — Alternativ kontroll med sumformel

\[S_4=a_1\dfrac{1-k^4}{1-k}=4\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac12\right)^4}{1-\dfrac12}=\dfrac{15}{2}.\]

Tolkning

De fire første leddene summerer til \(7{,}5\), mens hele den uendelige rekken nærmer seg \(8\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, summation, Rational
k, n = symbols('k n')
kvotient = solve(8 - 4/(1-k), k)[0]
S4 = summation(4*kvotient**(n-1), (n, 1, 4))
print(kvotient, S4)

Hva spør oppgaven om? Vi skal utnytte at leddene \(a_1\), \(a_4\) og \(a_7\) ligger symmetrisk rundt \(a_4\) i en aritmetisk rekke.

Steg 1 — Skriv leddene med differanse

La den faste differansen være \(d\).

Da er \(a_1=a_4-3d\) og \(a_7=a_4+3d\).

Steg 2 — Sett uttrykkene inn i summen

\[a_1+a_4+a_7=\left(a_4-3d\right)+a_4+\left(a_4+3d\right).\]

Steg 3 — Forenkle

\[\left(a_4-3d\right)+a_4+\left(a_4+3d\right)=3a_4.\]

Differanseleddene kansellerer hverandre.

Steg 4 — Bruk opplysningen

\[3a_4=114.\]

Steg 5 — Løs likningen

\[a_4=\dfrac{114}{3}=38.\]

Steg 6 — Kontroll med symmetri

I en aritmetisk rekke er midterste ledd gjennomsnittet av like langt plasserte ledd. Derfor må tre symmetriske ledd ha sum \(3a_4\).

Tolkning

Uansett hvilken differanse rekken har, må det midterste av disse tre leddene være \(38\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
a4 = symbols('a4')
print(solve(3*a4 - 114, a4))

Hva spør oppgaven om? Enhetskostnaden er kostnaden per produsert enhet, altså \(\dfrac{K(x)}{x}\).

Steg 1 — Les av punktet ved \(x=40\)

Av figuren ligger punktet \(A\) ved \(x=40\).

Linjen \(h(x)=81{,}75x\) går gjennom dette punktet.

Steg 2 — Finn kostnaden ved \(40\) enheter

\[K(40)=h(40)=81{,}75\cdot 40=3270.\]

Steg 3 — Skriv definisjonen av enhetskostnad

\[\text{Enhetskostnad}=\dfrac{K(40)}{40}.\]

Steg 4 — Sett inn kostnaden

\[\dfrac{3270}{40}=81{,}75.\]

Steg 5 — Husk benevning

Kostnaden er oppgitt i kroner, så enhetskostnaden er \(81{,}75\) kroner per enhet.

Steg 6 — Kontroll med linjen gjennom origo

Når en linje gjennom origo og punktet \((40,K(40))\) har stigningstall \(81{,}75\), er nettopp dette stigningstallet \(\dfrac{K(40)}{40}\).

Tolkning

Ved produksjon av \(40\) enheter er gjennomsnittlig kostnad per enhet \(81{,}75\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

K40 = 81.75*40
print(K40/40)

Hva spør oppgaven om? Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså stigningstallet til tangenten.

Steg 1 — Knytt grensekostnad til derivasjon

Grensekostnaden ved \(x=40\) er \(K'(40)\).

Steg 2 — Finn tangenten ved \(x=40\)

Av figuren ser vi at linjen \(f\) tangerer grafen til \(K\) i punktet \(A\).

Steg 3 — Bruk funksjonsuttrykket for tangenten

\[f(x)=31x+2030.\]

Stigningstallet til denne rette linjen er \(31\).

Steg 4 — Bruk tangenttolkningen

Siden \(f\) er tangent til \(K\) ved \(x=40\), har \(f\) og \(K\) samme stigningstall der.

Derfor er \(K'(40)=31\).

Steg 5 — Sett på benevning

\(K\) måles i kroner og \(x\) i enheter. Derfor måles \(K'(40)\) i kroner per enhet.

Steg 6 — Tolk praktisk

Når produksjonen er rundt \(40\) enheter, øker kostnaden med omtrent \(31\) kroner for én ekstra enhet.

Tolkning

Grensekostnaden beskriver endringen i totalkostnaden, ikke den gjennomsnittlige kostnaden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
print(diff(31*x + 2030, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne laveste verdi av \(\dfrac{K(x)}{x}\), altså laveste gjennomsnittskostnad per enhet.

Steg 1 — Bruk geometrisk tolkning

Enhetskostnaden ved \(x\) er stigningstallet til linjen fra origo til punktet \((x,K(x))\).

Steg 2 — Se etter tangent fra origo

Den minste enhetskostnaden oppstår der en linje fra origo tangerer kostnadsgrafen.

Steg 3 — Identifiser riktig linje

Linjen \(g(x)=60x\) går gjennom origo og tangerer grafen i punktet \(B\).

Steg 4 — Les stigningstallet

Stigningstallet til \(g\) er \(60\).

Steg 5 — Knytt stigningstall til enhetskostnad

Siden \(g\) er linjen fra origo til tangeringspunktet, er minste \(\dfrac{K(x)}{x}\) lik \(60\).

Steg 6 — Sammenlign med oppgave 3a

Ved \(40\) enheter var enhetskostnaden \(81{,}75\), som er større enn \(60\). Dette passer med at \(60\) er minimum.

Tolkning

Den mest kostnadseffektive produksjonsmengden i figuren har enhetskostnad \(60\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

stigningstall_g = 60
print(stigningstall_g)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke hva programmet beregner matematisk.

Steg 1 — Identifiser funksjonen

Koden definerer \(f(x)=x^2-1\).

Steg 2 — Identifiser intervallet

Variablene start = -2 og slutt = 2 viser at intervallet er \([-2,2]\).

Steg 3 — Identifiser oppdelingen

N = 1000 betyr at intervallet deles i \(1000\) små delintervaller.

Steg 4 — Tolke dx

\[dx=\dfrac{2-\left(-2\right)}{1000}=0{,}004.\]

Dette er bredden til hvert rektangel i en numerisk sum.

Steg 5 — Tolke uttrykket som summeres

Koden summerer abs(f(xi))*dx, altså \(|f(x_i)|\cdot dx\).

Steg 6 — Knytt til integral

Når \(N\) er stor, tilnærmer summen

\[\int_{-2}^{2}\left|x^2-1\right|\,dx.\]

Tolkning

Eleven ønsker å beregne det geometriske arealet mellom grafen til \(f(x)=x^2-1\) og \(x\)-aksen på intervallet \([-2,2]\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, integrate, Abs
x = symbols('x', real=True)
print(integrate(Abs(x**2 - 1), (x, -2, 2)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne eksakt verdi av \(\int_{-2}^{2}\left|x^2-1\right|\,dx\).

Steg 1 — Finn nullpunktene

\[x^2-1=0\]

\[x=-1\quad \text{eller}\quad x=1.\]

Steg 2 — Bestem fortegnet

For \(|x|>1\) er \(x^2-1\ge 0\). For \(|x|<1\) er \(x^2-1<0\).

Steg 3 — Del opp integralet

\[\int_{-2}^{2}\left|x^2-1\right|\,dx=\int_{-2}^{-1}\left(x^2-1\right)\,dx+\int_{-1}^{1}\left(1-x^2\right)\,dx+\int_{1}^{2}\left(x^2-1\right)\,dx.\]

Steg 4 — Bruk symmetri

Funksjonen \(x^2-1\) er jevn, så de to ytterintegralene er like.

\[\int_{-2}^{-1}\left(x^2-1\right)\,dx=\int_{1}^{2}\left(x^2-1\right)\,dx.\]

Steg 5 — Regn ytterintegralet

\[\int_{1}^{2}\left(x^2-1\right)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-x\right]_{1}^{2}=\left(\dfrac83-2\right)-\left(\dfrac13-1\right)=\dfrac43.\]

Steg 6 — Regn midtintegralet

\[\int_{-1}^{1}\left(1-x^2\right)\,dx=\left[x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\dfrac43.\]

Steg 7 — Summer arealene

\[2\cdot\dfrac43+\dfrac43=4.\]

Tolkning

Det geometriske arealet mellom grafen og \(x\)-aksen er \(4\) arealenheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, integrate
x = symbols('x')
verdi = integrate(x**2 - 1, (x, -2, -1)) + integrate(1 - x**2, (x, -1, 1)) + integrate(x**2 - 1, (x, 1, 2))
print(verdi)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp sannsynlighetsfordelingen til \(X\), regne forventning og varians.

Steg 1 — Finn siste sannsynlighet

\[P(X=10)=1-\dfrac14-\dfrac12=\dfrac14.\]

Steg 2 — Sett opp fordelingen

Steg 3 — Bruk formelen for forventning

\[E(X)=\sum x\cdot P(X=x).\]

Steg 4 — Regn forventningen

\[E(X)=4\cdot\dfrac14+5\cdot\dfrac12+10\cdot\dfrac14=1+\dfrac52+\dfrac{10}{4}=6.\]

Steg 5 — Regn \(E(X^2)\)

\[E(X^2)=4^2\cdot\dfrac14+5^2\cdot\dfrac12+10^2\cdot\dfrac14=4+\dfrac{25}{2}+25=\dfrac{83}{2}.\]

Steg 6 — Bruk variansformelen

\[\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2.\]

Steg 7 — Sett inn

\[\operatorname{Var}(X)=\dfrac{83}{2}-6^2=\dfrac{83}{2}-36=\dfrac{11}{2}.\]

Tolkning

Forventet vekt er \(6\) kg, og variansen \(\dfrac{11}{2}\) beskriver spredningen i vektene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
values = [4, 5, 10]
probs = [Fraction(1,4), Fraction(1,2), Fraction(1,4)]
EX = sum(x*p for x,p in zip(values, probs))
EX2 = sum(x*x*p for x,p in zip(values, probs))
print(EX, EX2 - EX**2)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle mulige summer av to uavhengige trekk med tilbakelegging.

Steg 1 — Bruk fordelingen til ett trekk

\[P(4)=\dfrac14,\quad P(5)=\dfrac12,\quad P(10)=\dfrac14.\]

Steg 2 — Merk at trekkene er uavhengige

Siden kulen legges tilbake, er \(X_1\) og \(X_2\) uavhengige.

Steg 3 — Finn mulige summer

Mulige verdier for \(Y\) er \(8,9,10,14,15,20\).

Steg 4 — Regn hver sannsynlighet

\[P(Y=8)=P(4,4)=\dfrac14\cdot\dfrac14=\dfrac{1}{16}.\]

\[P(Y=9)=P(4,5)+P(5,4)=2\cdot\dfrac14\cdot\dfrac12=\dfrac14.\]

\[P(Y=10)=P(5,5)=\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14.\]

\[P(Y=14)=P(4,10)+P(10,4)=2\cdot\dfrac14\cdot\dfrac14=\dfrac18.\]

\[P(Y=15)=P(5,10)+P(10,5)=2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac14=\dfrac14.\]

\[P(Y=20)=P(10,10)=\dfrac14\cdot\dfrac14=\dfrac{1}{16}.\]

Steg 5 — Sett opp tabellen

Steg 6 — Kontroller at summen er \(1\)

\[\dfrac{1}{16}+\dfrac14+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac14+\dfrac{1}{16}=1.\]

Tolkning

Fordelingen viser alle mulige totalvekter etter to trekk med tilbakelegging.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
p = {4: Fraction(1,4), 5: Fraction(1,2), 10: Fraction(1,4)}
dist = {}
for x1, p1 in p.items():
    for x2, p2 in p.items():
        dist[x1+x2] = dist.get(x1+x2, 0) + p1*p2
print(dist)

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere sannsynlighetene for alle totalvekter over \(10\) kg.

Steg 1 — Bruk fordelingen fra oppgave 5b

Verdiene over \(10\) er \(14\), \(15\) og \(20\).

Steg 2 — Skriv sannsynligheten som sum

\[P(Y>10)=P(Y=14)+P(Y=15)+P(Y=20).\]

Steg 3 — Sett inn tabellverdiene

\[P(Y>10)=\dfrac18+\dfrac14+\dfrac{1}{16}.\]

Steg 4 — Bruk fellesnevner

\[\dfrac18+\dfrac14+\dfrac{1}{16}=\dfrac{2}{16}+\dfrac{4}{16}+\dfrac{1}{16}.\]

Steg 5 — Regn ferdig

\[P(Y>10)=\dfrac{7}{16}.\]

Steg 6 — Kontroller med komplement

\[P(Y\le 10)=\dfrac{1}{16}+\dfrac14+\dfrac14=\dfrac{9}{16}.\]

\[1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}.\]

Tolkning

Sannsynligheten for at de to kulene til sammen veier mer enn \(10\) kg, er \(\dfrac{7}{16}\), altså \(43{,}75\ \%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction
dist = {8: Fraction(1,16), 9: Fraction(1,4), 10: Fraction(1,4), 14: Fraction(1,8), 15: Fraction(1,4), 20: Fraction(1,16)}
print(sum(prob for y, prob in dist.items() if y > 10))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en regresjonsmodell der etterspørselen avtar når prisen øker.

Steg 1 — Vurder formen på dataene

Etterspørselen faller raskt når prisen øker. Dette passer godt med en eksponentialmodell.

Steg 2 — Velg modelltype

Vi bruker modellen

\[q(p)=a\cdot e^{bp}.\]

Her må \(a>0\), og vi forventer \(b<0\).

Steg 3 — Gjennomfør regresjon

Eksponentialregresjon på punktene \((10,237),(20,111),(30,49),(40,22),(50,12)\) gir omtrent

\[a\approx 494{,}98,\qquad b\approx -0{,}07585.\]

Steg 4 — Skriv modellen

\[q(p)\approx 494{,}98e^{-0{,}07585p}.\]

Steg 5 — Kontroller modellen mot et punkt

For \(p=30\):

\[q(30)\approx 494{,}98e^{-0{,}07585\cdot 30}\approx 50{,}8.\]

Tabellen har \(49\), så modellen treffer rimelig godt.

Steg 6 — Vurder gyldighetsområde

Modellen er basert på priser fra \(10\) til \(50\) kroner. Derfor er det tryggest å bruke den for

\[10\le p\le 50.\]

Utenfor dette intervallet er modellen en ekstrapolasjon.

Tolkning

Modellen sier at etterspørselen synker prosentvis når prisen øker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
p = np.array([10,20,30,40,50], dtype=float)
q = np.array([237,111,49,22,12], dtype=float)
b, ln_a = np.polyfit(p, np.log(q), 1)
a = np.exp(ln_a)
print(a, b)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prisen \(p\) som gir \(q(p)=70\).

Steg 1 — Bruk modellen fra oppgave 1a

\[q(p)\approx 494{,}98e^{-0{,}07585p}.\]

Steg 2 — Sett etterspørselen lik \(70\)

\[494{,}98e^{-0{,}07585p}=70.\]

Steg 3 — Del på \(494{,}98\)

\[e^{-0{,}07585p}=\dfrac{70}{494{,}98}.\]

Steg 4 — Ta naturlig logaritme

\[-0{,}07585p=\ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right).\]

Steg 5 — Løs for \(p\)

\[p=\dfrac{\ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right)}{-0{,}07585}\approx 25{,}79.\]

Steg 6 — Rund av praktisk

Prisen bør derfor være omtrent \(26\) kroner.

Tolkning

Ifølge modellen gir en pris rundt \(25{,}8\) kroner en daglig etterspørsel på \(70\) enheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import log
p = log(70/494.9765402124432)/(-0.07584794730648282)
print(p)

Hva spør oppgaven om? Vi skal maksimere inntekten \(I(x)=x\cdot p(x)\).

Steg 1 — Skriv prisfunksjonen

\[p(x)=79-12{,}2\ln x.\]

Steg 2 — Skriv inntektsfunksjonen

\[I(x)=x\left(79-12{,}2\ln x\right).\]

Steg 3 — Deriver inntekten

\[I'(x)=79-12{,}2\left(\ln x+1\right).\]

Altså

\[I'(x)=66{,}8-12{,}2\ln x.\]

Steg 4 — Sett den deriverte lik null

\[66{,}8-12{,}2\ln x=0.\]

Steg 5 — Finn etterspørselen ved maksimal inntekt

\[\ln x=\dfrac{66{,}8}{12{,}2}\]

\[x=e^{66{,}8/12{,}2}\approx 238{,}75.\]

Steg 6 — Finn prisen

\[p=79-12{,}2\ln x=79-12{,}2\cdot\dfrac{66{,}8}{12{,}2}=12{,}2.\]

Steg 7 — Kontroller maksimum

\[I''(x)=-\dfrac{12{,}2}{x}<0\quad \text{for}\quad x>0.\]

Dermed har vi et maksimum.

Tolkning

For å gjøre inntekten størst mulig bør prisen settes til \(12{,}20\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, log, diff, solve, exp, N
x = symbols('x', positive=True)
p = 79 - 12.2*log(x)
I = x*p
x0 = solve(diff(I, x), x)[0]
print(N(x0), N(p.subs(x, x0)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse \(I'(x)=K'(x)\), der \(I(x)=x(79-12{,}2\ln x)\).

Steg 1 — Bruk grenseinntekten fra oppgave 1c

\[I'(x)=66{,}8-12{,}2\ln x.\]

Steg 2 — Deriver kostnadsfunksjonen

\[K'(x)=2\cdot 0{,}021x+10=0{,}042x+10.\]

Steg 3 — Sett grenseinntekt lik grensekostnad

\[66{,}8-12{,}2\ln x=0{,}042x+10.\]

Steg 4 — Løs digitalt

Likningen kan ikke løses pent for hånd, så vi bruker CAS eller numerisk løsning.

\[x\approx 79{,}8935.\]

Steg 5 — Rund av til hele enheter

Produksjonsmengden blir omtrent \(80\) enheter per dag.

Steg 6 — Kontroller verdiene

Ved \(x\approx79{,}8935\) er

\[I'(x)\approx 13{,}36\quad \text{og}\quad K'(x)\approx 13{,}36.\]

Steg 7 — Praktisk tolkning

Ved omtrent \(80\) enheter er inntekten fra én ekstra solgt enhet omtrent lik kostnaden ved å produsere én ekstra enhet.

Tolkning

Dette er punktet der overskuddet normalt er størst, fordi grenseinntekt og grensekostnad er like.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, log, nsolve
x = symbols('x')
root = nsolve(66.8 - 12.2*log(x) - (0.042*x + 10), 80)
print(root)

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere \(20\) årlige innskudd med renter, der siste innskudd nettopp er satt inn.

Steg 1 — Sett vekstfaktoren

Rentesatsen \(3{,}5\ \%\) gir vekstfaktor

\[1+0{,}035=1{,}035.\]

Steg 2 — Finn rentetiden for innskuddene

Like etter innskudd nummer \(20\) har første innskudd stått i \(19\) år, og siste innskudd i \(0\) år.

Steg 3 — Skriv summen

\[S=20000\left(1{,}035^{19}+1{,}035^{18}+\cdots+1{,}035+1\right).\]

Steg 4 — Bruk geometrisk sum

\[S=20000\cdot\dfrac{1{,}035^{20}-1}{1{,}035-1}.\]

Steg 5 — Regn ut

\[S=20000\cdot\dfrac{1{,}035^{20}-1}{0{,}035}\approx 565593{,}64.\]

Steg 6 — Rund av til hele kroner

\[S\approx 565\ 594.\]

Tolkning

Miriam har omtrent \(565\ 594\) kroner på kontoen rett etter det tjuende innskuddet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

r = 1.035
S = 20000*(r**20 - 1)/(r - 1)
print(S)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et fast årlig innskudd \(A\) som gir sluttbeløpet \(692\ 852\).

Steg 1 — Bruk samme rentefaktor

Vekstfaktoren er fortsatt \(1{,}035\).

Steg 2 — Skriv sparebeløpet som sum

\[692852=A\left(1{,}035^{19}+1{,}035^{18}+\cdots+1\right).\]

Steg 3 — Bruk geometrisk sum

\[692852=A\cdot\dfrac{1{,}035^{20}-1}{0{,}035}.\]

Steg 4 — Løs for \(A\)

\[A=\dfrac{692852}{\dfrac{1{,}035^{20}-1}{0{,}035}}.\]

Steg 5 — Regn ut

\[A\approx 24499{,}99.\]

Steg 6 — Rund av praktisk

Hermod må sette inn omtrent \(24\ 500\) kroner hvert år.

Tolkning

Et fast årlig innskudd på \(24\ 500\) kroner gir det oppgitte sluttbeløpet når renten er \(3{,}5\ \%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

r = 1.035
factor = (r**20 - 1)/(r - 1)
A = 692852/factor
print(A)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fast årlig økning \(d\) i innskuddene.

Steg 1 — Skriv innskuddene

Innskudd nummer \(j\) er

\[20000+\left(j-1\right)d.\]

Steg 2 — Skriv sluttverdien

Rett etter innskudd \(20\) blir sluttverdien

\[\sum_{j=1}^{20}\left(20000+\left(j-1\right)d\right)1{,}035^{20-j}=1000000.\]

Steg 3 — Del summen i to deler

\[20000\sum_{j=1}^{20}1{,}035^{20-j}+d\sum_{j=1}^{20}\left(j-1\right)1{,}035^{20-j}=1000000.\]

Steg 4 — Bruk kjent del fra oppgave 2a

Den faste \(20000\)-delen er

\[565593{,}64.\]

Steg 5 — Regn koeffisienten til \(d\)

\[\sum_{j=1}^{20}\left(j-1\right)1{,}035^{20-j}\approx 236{,}5623.\]

Steg 6 — Løs for \(d\)

\[565593{,}64+236{,}5623d=1000000.\]

\[d\approx \dfrac{1000000-565593{,}64}{236{,}5623}\approx 1836{,}33.\]

Steg 7 — Rund av praktisk

Hun må øke innskuddet med omtrent \(1836\) kroner hvert år.

Tolkning

Da blir innskuddene \(20000\), \(21836\), \(23672\), og så videre, omtrent, og sluttverdien blir \(1\ 000\ 000\) kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, summation, Eq, solve
j, d = symbols('j d')
r = 1.035
expr = summation((20000 + (j-1)*d)*r**(20-j), (j, 1, 20))
print(solve(Eq(expr, 1000000), d)[0])

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(P(X>87)\) for en normalfordelt variabel.

Steg 1 — Skriv fordelingen

\[X\sim N\left(83,3{,}0\right).\]

Steg 2 — Standardiser

\[Z=\dfrac{X-83}{3}.\]

Steg 3 — Standardiser grensen \(87\)

\[z=\dfrac{87-83}{3}=\dfrac43\approx 1{,}333.\]

Steg 4 — Skriv sannsynligheten

\[P(X>87)=P\left(Z>\dfrac43\right).\]

Steg 5 — Bruk normalfordelingstabell eller digitalt verktøy

\[P\left(Z>\dfrac43\right)=1-\Phi\left(\dfrac43\right)\approx 0{,}0912.\]

Steg 6 — Skriv som prosent

\[0{,}0912\approx 9{,}12\ \%.\]

Tolkning

Omtrent \(9\ \%\) av målingene forventes å gi bremselengde over \(87\) meter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import NormalDist
N = NormalDist(mu=83, sigma=3)
print(1 - N.cdf(87))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(90\)-percentilen i normalfordelingen.

Steg 1 — Skriv betingelsen

\[P(X

Steg 2 — Standardiser

\[P\left(Z<\dfrac{k-83}{3}\right)=0{,}9.\]

Steg 3 — Finn standardnormalverdien

Verdien som har \(90\ \%\) av arealet til venstre, er

\[z_{0{,}90}\approx 1{,}2816.\]

Steg 4 — Sett opp likningen

\[\dfrac{k-83}{3}=1{,}2816.\]

Steg 5 — Løs for \(k\)

\[k=83+3\cdot 1{,}2816\approx 86{,}8447.\]

Steg 6 — Rund av

\[k\approx 86{,}8\text{ m}.\]

Tolkning

Omtrent \(90\ \%\) av bremselengdene er kortere enn \(86{,}8\) meter, og omtrent \(10\ \%\) er lengre.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import NormalDist
N = NormalDist(mu=83, sigma=3)
print(N.inv_cdf(0.9))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke fordelingen til gjennomsnittet \(\overline X\).

Steg 1 — Skriv fordeling for gjennomsnittet

Når \(X\sim N(83,3)\), får vi

\[\overline X\sim N\left(83,\dfrac{3}{\sqrt{15}}\right).\]

Steg 2 — Skriv sannsynligheten

\[P(\overline X<84).\]

Steg 3 — Standardiser

\[z=\dfrac{84-83}{3/\sqrt{15}}.\]

Steg 4 — Regn z-verdien

\[z=\dfrac{1}{3/\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\approx 1{,}291.\]

Steg 5 — Finn sannsynligheten

\[P(\overline X<84)=\Phi(1{,}291)\approx 0{,}9016.\]

Steg 6 — Skriv som prosent

\[0{,}9016\approx 90{,}2\ \%.\]

Tolkning

Gjennomsnittet av \(15\) målinger varierer mindre enn én enkelt måling, fordi standardavviket blir \(\dfrac{3}{\sqrt{15}}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import NormalDist
from math import sqrt
N = NormalDist(mu=83, sigma=3/sqrt(15))
print(N.cdf(84))

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste om gjennomsnittlig bremselengde er større enn \(83\) meter.

Steg 1 — Formuler hypotesene

\[H_0:\mu=83\]

\[H_1:\mu>83\]

Dette er en ensidig test.

Steg 2 — Bruk kjent standardavvik fra modellen

Vi bruker \(\sigma=3{,}0\) og \(n=15\).

Steg 3 — Regn gjennomsnittet

Dataene gir

\[\overline x=84{,}18.\]

Steg 4 — Regn testobservatoren

\[z=\dfrac{\overline x-83}{3/\sqrt{15}}=\dfrac{84{,}18-83}{3/\sqrt{15}}\approx 1{,}523.\]

Steg 5 — Finn kritisk verdi

For en ensidig test med \(5\ \%\) signifikansnivå er kritisk verdi

\[z_{0{,}95}\approx 1{,}645.\]

Steg 6 — Sammenlign

\[1{,}523<1{,}645.\]

Testobservatoren ligger ikke i forkastningsområdet.

Steg 7 — P-verdi som kontroll

\[p=P(Z>1{,}523)\approx 0{,}064.\]

Siden \(0{,}064>0{,}05\), forkaster vi ikke \(H_0\).

Tolkning

På \(5\ \%\) signifikansnivå har vi ikke nok statistisk grunnlag til å si at bremselengden er lengre enn \(83\) meter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import mean, NormalDist
from math import sqrt
data = [86.4,85.5,82.9,81.9,84.0,86.4,82.3,85.9,77.7,83.0,86.9,88.3,86.2,80.5,84.8]
xbar = mean(data)
z = (xbar - 83)/(3/sqrt(15))
p_value = 1 - NormalDist().cdf(z)
print(xbar, z, p_value)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvordan hvert nytt figurtall bygges fra det forrige.

Steg 1 — Skriv de første tallene

\[P_1=1,\quad P_2=6,\quad P_3=16,\quad P_4=31,\quad P_5=51.\]

Steg 2 — Finn differansene

\[P_2-P_1=5,\quad P_3-P_2=10,\quad P_4-P_3=15,\quad P_5-P_4=20.\]

Steg 3 — Se mønsteret

Differansene er \(5\), \(10\), \(15\), \(20\). Dette er \(5\cdot1\), \(5\cdot2\), \(5\cdot3\), \(5\cdot4\).

Steg 4 — Knytt differansen til \(n\)

Når vi går fra figur \(n-1\) til figur \(n\), legger vi til

\[5\left(n-1\right).\]

Steg 5 — Skriv rekursjonen

\[P_n=P_{n-1}+5\left(n-1\right),\quad n\ge 2.\]

Steg 6 — Husk startverdien

\[P_1=1.\]

Steg 7 — Kontroller på \(P_5\)

\[P_5=P_4+5\left(5-1\right)=31+20=51.\]

Tolkning

Hver ny figur får et nytt lag med \(5(n-1)\) kuler.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

P = 1
for n in range(2, 6):
    P = P + 5*(n-1)
print(P)

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive et program som starter med \(P_1=1\) og bruker rekursjonen fram til \(P_{100}\).

Steg 1 — Start med første figurtall

\[P_1=1.\]

Steg 2 — Bruk rekursjonen

\[P_n=P_{n-1}+5\left(n-1\right).\]

Steg 3 — Lag løkke fra \(2\) til \(100\)

For hvert nytt \(n\) oppdaterer vi \(P\) med \(5(n-1)\).

Steg 4 — Program

P = 1
for n in range(2, 101):
    P = P + 5*(n - 1)
print(P)

Steg 5 — Programmet gir

\[P_{100}=24751.\]

Steg 6 — Matematisk kontroll

\[P_{100}=1+5\left(1+2+\cdots+99\right).\]

\[P_{100}=1+5\cdot\dfrac{99\cdot100}{2}=1+24750=24751.\]

Tolkning

Figur \(100\) består av \(24751\) kuler.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et program som anslår sannsynligheten for et tilfeldig barn. Siden det er like mange jenter som gutter, velges kjønn med sannsynlighet \(\dfrac12\) hver.

Steg 1 — Skriv modellene

\[X\sim N\left(87,3{,}3\right),\qquad Y\sim N\left(88,3{,}1\right).\]

Steg 2 — Bruk blandingsmodell

Et tilfeldig barn er jente med sannsynlighet \(\dfrac12\) og gutt med sannsynlighet \(\dfrac12\).

Steg 3 — Sannsynligheten vi vil anslå

\[P(H<84)=\dfrac12P(X<84)+\dfrac12P(Y<84).\]

Steg 4 — Program med simulering

import random

N = 200000
antall_under_84 = 0

for _ in range(N):
    if random.random() < 0.5:
        hoyde = random.gauss(87, 3.3)   # jente
    else:
        hoyde = random.gauss(88, 3.1)   # gutt

    if hoyde < 84:
        antall_under_84 += 1

sannsynlighet = antall_under_84 / N
print(sannsynlighet)

Steg 5 — Forventet programresultat

Programmet vil typisk gi et tall i nærheten av

\[0{,}14.\]

Steg 6 — Eksakt digital kontroll

\[\dfrac12\Phi\left(\dfrac{84-87}{3{,}3}\right)+\dfrac12\Phi\left(\dfrac{84-88}{3{,}1}\right)\approx 0{,}1401.\]

Steg 7 — Tolkning

Omtrent \(14\ \%\) av tilfeldige barn på \(24\) måneder er under \(84\) cm, ifølge modellene og antakelsen om like mange jenter og gutter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import NormalDist
jenter = NormalDist(mu=87, sigma=3.3)
gutter = NormalDist(mu=88, sigma=3.1)
p = 0.5*jenter.cdf(84) + 0.5*gutter.cdf(84)
print(p)