Matematikk S2 · Udir

Matematikk S2 eksamen H22 (K06) – løsningsforslag

Komplett ifingo-løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra bokmålsdelen av eksamenssettet og løst med trinnvis forklaring, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 løses med algebra, derivasjon, rekker, optimering og sannsynlighetsregning for hånd.

Del 1 · Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \( f(x)=e^{2x}+x^3 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk kjerneregelen på eksponentialleddet

\dfrac{d}{dx}\left(e^{2x}\right)=2e^{2x}

Eksponenten har indre funksjon \(2x\), og den deriverte av \(2x\) er \(2\).

Steg 2 — Deriver potensleddet

\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2

Potensregelen gir at eksponenten flyttes ned og reduseres med \(1\).

Steg 3 — Legg sammen bidragene

f'(x)=2e^{2x}+3x^2

Summeregelen sier at vi kan derivere ledd for ledd.

Steg 4 — Tolkning

Den deriverte beskriver stigningstallet til grafen til \(f\).

Steg 5 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2\) fra kjerneregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Derivert(exp(2x)+x^3)

→ \(2e^{2x}+3x^2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff
x = symbols("x")
f = exp(2*x) + x**3
print(diff(f, x))

Fasit: \( f'(x)=2e^{2x}+3x^2 \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 1bDerivasjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \( g(x)=\ln\left(x^2+4\right) \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser ytre og indre funksjon

Ytre funksjon er \(\ln(u)\), og indre funksjon er \(u=x^2+4\).

Steg 2 — Deriver logaritmen med kjerneregelen

\dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}

Steg 3 — Finn den indre deriverte

\[ u'=2x \]

Steg 4 — Sett sammen uttrykket

g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+4}

Steg 5 — Tolkning

Stigningstallet er negativt når \(x<0\), null når \(x=0\), og positivt når \(x>0\).

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å skrive \(\dfrac{1}{x^2+4}\) og glemme \(2x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Derivert(ln(x^2+4))

→ \(\dfrac{2x}{x^2+4}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff
x = symbols("x")
g = log(x**2 + 4)
print(diff(g, x))

Fasit: \( g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+4} \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 2Uendelig geometrisk rekke

Oppgave 2

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved \(36-24+16-\dfrac{32}{3}+\cdots\). Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn første ledd

\[ a_1=36 \]

Steg 2 — Finn kvotienten

k=\dfrac{-24}{36}=-\dfrac{2}{3}

Steg 3 — Kontroller konvergenskravet

|k|=\left|-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}<1

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(|k|<1\).

Steg 4 — Bruk sumformelen

S=\dfrac{a_1}{1-k}

Steg 5 — Sett inn verdiene

S=\dfrac{36}{1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)}=\dfrac{36}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{108}{5}=21{,}6

Steg 6 — Tolkning

Summen er grenseverdien rekken nærmer seg når vi tar med uendelig mange ledd.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(1+k\) mekanisk uten å ta hensyn til at \(k\) allerede er negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

36/(1-(-2/3))

→ \(\dfrac{108}{5}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import Rational
a1 = 36
k = Rational(-2, 3)
S = a1/(1-k)
print(S)

Fasit: Rekken konvergerer, og \( S=\dfrac{108}{5}=21{,}6 \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 3aPolynomdivisjon og faktorisering

Oppgave 3a

Oppgave:

Funksjonen \( f \) er gitt ved \( f(x)=-2x^3+6x^2-8 \). Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at \( f(x)=-2(x+1)(x-2)^2 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Trekk ut felles faktor

f(x)=-2\left(x^3-3x^2+4\right)

Steg 2 — Test roten \(x=2\)

2^3-3\cdot2^2+4=8-12+4=0

Dermed er \(x-2\) en faktor.

Steg 3 — Del polynomet på \(x-2\)

\[ x^3-3x^2+0x+4=(x-2)(x^2-x-2) \]

Steg 4 — Faktoriser andregradspolynomet

\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]

Steg 5 — Sett alt sammen

\[ f(x)=-2(x-2)(x-2)(x+1)=-2(x+1)(x-2)^2 \]

Steg 6 — Tolkning

Faktoriseringen viser at \(x=-1\) er enkel nullrot og \(x=2\) er dobbel nullrot.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å miste faktoren \(-2\) etter polynomdivisjonen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Faktoriser(-2x^3+6x^2-8)

→ \(-2(x+1)(x-2)^2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols("x")
f = -2*x**3 + 6*x**2 - 8
print(factor(f))

Fasit: \( f(x)=-2(x+1)(x-2)^2 \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 3bUlikhet

Oppgave 3b

Oppgave:

Løs ulikheten \( f(x)\le 0 \) når \( f(x)=-2(x+1)(x-2)^2 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk faktoriseringen

\[ f(x)=-2(x+1)(x-2)^2 \]

Steg 2 — Vurder kvadratfaktoren

Faktoren \((x-2)^2\) er alltid større enn eller lik \(0\).

Steg 3 — Finn fortegnet

For \(x e2\) bestemmes fortegnet av \(-2(x+1)\).

Steg 4 — Løs fortegnskravet

-2(x+1)\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+1\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -1

Steg 5 — Ta med nullpunktene

Ved \(x=-1\) og \(x=2\) er funksjonsverdien \(0\), og begge skal med.

Steg 6 — Tolkning

Grafen ligger på eller under \(x\)-aksen fra og med \(-1\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å la den doble roten \(x=2\) skifte fortegn. En dobbel rot skifter ikke fortegn.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(-2(x+1)(x-2)^2 <= 0)

→ \(x\ge -1\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols("x", real=True)
print(solve_univariate_inequality(-2*(x+1)*(x-2)**2 <= 0, x))

Fasit: \( x\ge -1 \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 3cEksponentiallikning

Oppgave 3c

Oppgave:

Løs likningen \( e^{3x}-3e^{2x}+4=0 \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Innfør en ny variabel

u=e^x,\qquad u>0

Steg 2 — Skriv likningen som polynom

\[ u^3-3u^2+4=0 \]

Steg 3 — Faktoriser polynomet

\[ u^3-3u^2+4=(u-2)^2(u+1) \]

Steg 4 — Bruk kravet \(u>0\)

Løsningen \(u=-1\) forkastes fordi \(e^x\) alltid er positiv.

Steg 5 — Løs for \(x\)

e^x=2\quad\Longrightarrow\quad x=\ln 2

Steg 6 — Tolkning

Likningen har én reell løsning, selv om \(u=2\) er en dobbel rot.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å beholde \(u=-1\) som løsning. Det finnes ingen reell \(x\) med \(e^x=-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(exp(3x)-3exp(2x)+4=0)

→ \(x=\ln(2)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, solve
x = symbols("x")
print(solve(exp(3*x) - 3*exp(2*x) + 4, x))

Fasit: \( x=\ln 2 \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 4Lineært likningssystem

Oppgave 4

Oppgave:

Tre kunder kjøper epler, poteter og moreller. Første kunde betaler 155 kroner for 1 kg epler, 2 kg poteter og 500 g moreller. Andre kunde betaler 330 kroner for 2 kg epler, 5 kg poteter og 1 kg moreller. Tredje kunde betaler 195 kroner for 1,5 kg epler, 3 kg poteter og 500 g moreller. Bestem prisen per kilogram for epler, poteter og moreller.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer variabler

La \(e\), \(p\) og \(m\) være kilogramprisene for epler, poteter og moreller.

Steg 2 — Sett opp likningene

\begin{aligned} e+2p+0{,}5m&=155\\ 2e+5p+m&=330\\ 1{,}5e+3p+0{,}5m&=195 \end{aligned}

Steg 3 — Fjern desimaler i tredje likning

\[ 3e+6p+m=390 \]

Steg 4 — Eliminer med første og tredje likning

(3e+6p+m)-2(e+2p+0{,}5m)=390-310 \Rightarrow e+2p=80

Steg 5 — Bruk systemet videre

Løser vi systemet, får vi \(e=40\), \(p=20\) og \(m=150\).

Steg 6 — Kontroller i første likning

40+2\cdot20+0{,}5\cdot150=155

Steg 7 — Tolkning

Moreller er dyrest per kilogram, mens poteter er billigst.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke 500 g som \(500\) kg i stedet for \(0{,}5\) kg.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs({e+2p+0.5m=155,2e+5p+m=330,1.5e+3p+0.5m=195},{e,p,m})

→ \(e=40,\ p=20,\ m=150\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
e, p, m = symbols("e p m")
sol = solve([Eq(e+2*p+Rational(1,2)*m,155), Eq(2*e+5*p+m,330), Eq(Rational(3,2)*e+3*p+Rational(1,2)*m,195)], [e,p,m])
print(sol)

Fasit: Epler: \(40\) kr/kg, poteter: \(20\) kr/kg, moreller: \(150\) kr/kg (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 5Aritmetisk rekke

Oppgave 5

Oppgave:

Ida sparer til en jakke som koster 1900 kroner. Hun sparer 100 kroner den første uken. Hun vil øke sparebeløpet med et fast beløp hver uke slik at hun får råd til jakken etter 10 sparebeløp. Hvor mye må Ida minst øke sparebeløpet med hver uke?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Kjenn igjen rekken

Sparebeløpene danner en aritmetisk rekke med \(a_1=100\) og differanse \(d\).

Steg 2 — Skriv summen etter 10 innskudd

S_{10}=\dfrac{10}{2}\left(2\cdot100+9d\right)

Steg 3 — Still krav til summen

\dfrac{10}{2}\left(200+9d\right)\ge1900

Steg 4 — Løs ulikheten

5(200+9d)\ge1900 \Rightarrow 1000+45d\ge1900

Steg 5 — Finn differansen

45d\ge900 \Rightarrow d\ge20

Steg 6 — Tolkning

Hun må øke sparebeløpet med minst 20 kroner per uke.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(10d\) i siste ledd. Etter første uke finnes det bare \(9\) økninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(10/2*(2*100+9d)>=1900,d)

→ \(d\ge20\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
d = symbols("d", real=True)
print(solve_univariate_inequality(10*(2*100+9*d)/2 >= 1900, d))

Fasit: Minst \(20\) kroner per uke (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 6aOptimering

Oppgave 6a

Oppgave:

Kostnadene er gitt ved \( K(x)=0{,}2x^2+600x+8000 \), \(0

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv kostnad per enhet

E(x)=\dfrac{K(x)}{x}=0{,}2x+600+\dfrac{8000}{x}

Steg 2 — Deriver enhetskostnaden

E'(x)=0{,}2-\dfrac{8000}{x^2}

Steg 3 — Sett den deriverte lik null

0{,}2-\dfrac{8000}{x^2}=0

Steg 4 — Løs for \(x\)

0{,}2x^2=8000 \Rightarrow x^2=40000 \Rightarrow x=200

Steg 5 — Kontroller minimum

For små \(x\) er \(8000/x\) stor, og for store \(x\) øker leddet \(0{,}2x\). Punktet er derfor et minimum.

Steg 6 — Tolkning

Bedriften bør produsere 200 enheter per dag for lavest kostnad per enhet.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å minimere \(K(x)\) i stedet for \(K(x)/x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Minimer((0.2x^2+600x+8000)/x,0

→ \(x=200\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols("x", positive=True)
E = 0.2*x + 600 + 8000/x
print(solve(diff(E, x), x))

Fasit: \(200\) enheter per dag (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 6bOptimering og økonomi

Oppgave 6b

Oppgave:

Etterspørselen er gitt ved \( e(p)=12000-10p \). Bestem prisen som vil gi størst daglig overskudd.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett produksjonsmengde lik etterspørsel

\[ x=12000-10p \]

Steg 2 — Skriv inntekten

\[ I(p)=p(12000-10p) \]

Steg 3 — Skriv kostnaden som funksjon av \(p\)

K(p)=0{,}2(12000-10p)^2+600(12000-10p)+8000

Steg 4 — Lag overskuddsfunksjonen

\[ O(p)=I(p)-K(p)=-30p^2+66000p-36008000 \]

Steg 5 — Deriver og sett lik null

\[ O'(p)=-60p+66000=0 \]

Steg 6 — Finn prisen

\[ p=1100 \]

Steg 7 — Kontroller maksimum

Siden koeffisienten foran \(p^2\) er negativ, er grafen en parabel med toppunkt.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å maksimere inntekten alene. Oppgaven spør om overskudd, altså inntekt minus kostnad.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Ekstremalpunkt(-30p^2+66000p-36008000)

→ \(p=1100\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, expand, diff, solve
p = symbols("p")
x = 12000 - 10*p
O = expand(p*x - (0.2*x**2 + 600*x + 8000))
print(O)
print(solve(diff(O, p), p))

Fasit: Prisen bør være \(1100\) kroner (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 7aNullpunkter

Oppgave 7a

Oppgave:

Funksjonen er \( f(x)=4\left(x^2-5x+4\right)e^{-\frac{1}{2}x} \). Bestem nullpunktene til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk at eksponentialfaktoren aldri er null

e^{-\frac{1}{2}x}>0

Steg 2 — Sett polynomfaktoren lik null

\[ x^2-5x+4=0 \]

Steg 3 — Faktoriser

\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \]

Steg 4 — Finn nullpunktene

x=1 \quad\text{eller}\quad x=4

Steg 5 — Tolkning

Grafen skjærer \(x\)-aksen i \(x=1\) og \(x=4\).

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å prøve å sette eksponentialfaktoren lik null. Det kan ikke gi løsninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Nullpunkt(4(x^2-5x+4)exp(-x/2))

→ \(x=1\lor x=4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, solve
x = symbols("x")
f = 4*(x**2 - 5*x + 4)*exp(-x/2)
print(solve(f, x))

Fasit: Nullpunktene er \(x=1\) og \(x=4\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 7bProduktregel

Oppgave 7b

Oppgave:

Vis at \( f'(x)=-2\left(x^2-9x+14\right)e^{-\frac{1}{2}x} \) når \( f(x)=4\left(x^2-5x+4\right)e^{-\frac{1}{2}x} \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett opp produktet

La \(u=4(x^2-5x+4)\) og \(v=e^{-\frac{1}{2}x}\).

Steg 2 — Deriver faktorene

u'=8x-20,\qquad v'=-\dfrac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[ f'=u'v+uv' \]

Steg 4 — Sett inn

f'(x)=(8x-20)e^{-\frac{1}{2}x}-2(x^2-5x+4)e^{-\frac{1}{2}x}

Steg 5 — Faktoriser felles faktor

f'(x)=\left(8x-20-2x^2+10x-8\right)e^{-\frac{1}{2}x}

Steg 6 — Forenkle

f'(x)=(-2x^2+18x-28)e^{-\frac{1}{2}x}=-2(x^2-9x+14)e^{-\frac{1}{2}x}

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å glemme å derivere eksponentialfaktoren med kjerneregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Derivert(4(x^2-5x+4)exp(-x/2))

→ \(-2(x^2-9x+14)e^{-x/2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, factor
x = symbols("x")
f = 4*(x**2 - 5*x + 4)*exp(-x/2)
print(factor(diff(f, x)))

Fasit: \( f'(x)=-2\left(x^2-9x+14\right)e^{-\frac{1}{2}x} \) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 7cGrafanalyse

Oppgave 7c

Oppgave:

Nedenfor ser du fire grafer. En av dem er grafen til \(f\). Avgjør hvilken av grafene som er grafen til \(f\), og begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk nullpunktene

Grafen må skjære \(x\)-aksen ved \(x=1\) og \(x=4\).

Steg 2 — Bruk fortegnet

Siden eksponentialleddet er positivt, er fortegnet bestemt av \((x-1)(x-4)\). Grafen er positiv før \(1\), negativ mellom \(1\) og \(4\), og positiv etter \(4\).

Steg 3 — Bruk den deriverte

f'(x)=-2(x-2)(x-7)e^{-\frac{1}{2}x}

Steg 4 — Finn ekstremalpunkter

Grafen har ekstremalpunkter ved \(x=2\) og \(x=7\).

Steg 5 — Sammenlign med figurene

Figur 2 har nullpunkter nær \(1\) og \(4\), et bunnpunkt rundt \(x=2\) og et toppunkt rundt \(x=7\).

Steg 6 — Tolkning

Derfor passer figur 2 med både nullpunkter, fortegn og ekstremalpunkter.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å velge graf bare ut fra ett nullpunkt. Her må både fortegn og ekstremalpunkter kontrolleres.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Ekstremalpunkt(4(x^2-5x+4)exp(-x/2))

→ \(x=2\lor x=7\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, solve, factor
x = symbols("x")
f = 4*(x**2 - 5*x + 4)*exp(-x/2)
print(solve(diff(f, x), x))

Fasit: Figur 2 (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 8aBinomisk fordeling

Oppgave 8a

Oppgave:

Et lykkehjul har fem felter. Ett felt er grønt. Du snurrer 100 ganger, og \(X\) er antall ganger hjulet stopper på grønt. Forklar at \(X\) er binomisk fordelt med \(\mu_X=20\) og \(\sigma_X=4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser forsøket

Hvert spinn har to relevante utfall: grønt eller ikke grønt.

Steg 2 — Finn sannsynligheten for grønt

\[ p=0{,}2 \]

Steg 3 — Finn antall forsøk

\[ n=100 \]

Steg 4 — Skriv fordelingen

X\sim\operatorname{Bin}(100,0{,}2)

Steg 5 — Finn forventningsverdien

\mu_X=np=100\cdot0{,}2=20

Steg 6 — Finn standardavviket

\sigma_X=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{100\cdot0{,}2\cdot0{,}8}=4

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}8\) som sannsynlighet for grønt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

n*p

→ \(20\)

sqrt(n*p*(1-p))

→ \(4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import sqrt
n = 100
p = 0.2
print(n*p, sqrt(n*p*(1-p)))

Fasit: \( X\sim\operatorname{Bin}(100,0{,}2)\), \(\mu_X=20\), \(\sigma_X=4\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 8bNormaltilnærming

Oppgave 8b

Oppgave:

Forklar at \(X\) er tilnærmet normalfordelt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk tommelfingerregelen

Normaltilnærming er rimelig når både \(np\) og \(n(1-p)\) er store nok.

Steg 2 — Regn \(np\)

np=100\cdot0{,}2=20

Steg 3 — Regn \(n(1-p)\)

n(1-p)=100\cdot0{,}8=80

Steg 4 — Vurder kravene

Begge tallene er større enn \(5\). Derfor kan binomisk fordeling tilnærmes med normalfordeling.

Steg 5 — Skriv tilnærmingen

X\approx N(20,4)

Steg 6 — Tolkning

Normalmodellen bruker samme forventning og standardavvik som binomialmodellen.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å skrive variansen \(16\) som standardavvik. Standardavviket er \(4\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Normal(20,4)

→ \(\mu=20,\ \sigma=4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

n = 100
p = 0.2
print(n*p, n*(1-p))

Fasit: \(X\) kan tilnærmes med \(N(20,4)\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 8cNormalfordeling

Oppgave 8c

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på det grønne feltet mer enn 25 ganger.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Oversett hendelsen

P(X>25)=P(X\ge26)

Steg 2 — Bruk kontinuitetskorreksjon

P(X\ge26)\approx P(Y\ge25{,}5)

Steg 3 — Standardiser

z=\dfrac{25{,}5-20}{4}=1{,}375

Steg 4 — Finn halen

P(Y\ge25{,}5)=1-\Phi(1{,}375)

Steg 5 — Regn sannsynligheten

1-\Phi(1{,}375)\approx0{,}0846

Steg 6 — Tolkning

Det er omtrent \(8{,}5\,\%\) sannsynlighet for mer enn 25 grønne stopp.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å regne \(P(X\ge25)\) i stedet for \(P(X>25)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

1 - Normal(20,4,25.5)

→ \(0{,}0846\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
Phi = lambda z: 0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
z = (25.5-20)/4
print(1-Phi(z))

Fasit: \(P(X>25)\approx0{,}085\) (kontrollert digitalt).

Del 1 · Oppgave 8dNormalfordeling

Oppgave 8d

Oppgave:

Bestem den minste verdien \(k\) kan ha dersom \(P(X\ge k)\le0{,}01\). Hva forteller dette svaret deg?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk normaltilnærmingen

Vi bruker \(Y\sim N(20,4)\).

Steg 2 — Finn 1 prosent øvre hale

Vi trenger omtrent \(z=2{,}33\), fordi \(P(Z\ge2{,}33)\approx0{,}01\).

Steg 3 — Bruk kontinuitetskorreksjon

P(X\ge k)\approx P(Y\ge k-0{,}5)

Steg 4 — Sett opp kravet

\dfrac{k-0{,}5-20}{4}\ge2{,}33

Steg 5 — Løs ulikheten

k-0{,}5\ge29{,}32 \Rightarrow k\ge29{,}82

Steg 6 — Velg minste heltall

\[ k=30 \]

Steg 7 — Tolkning

Om hjulet stopper på grønt minst 30 ganger, er dette uvanlig høyt etter normaltilnærmingen, med sannsynlighet omtrent \(1\,\%\) eller lavere.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å svare med \(29{,}82\). Antall stopp må være et heltall.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

InverseNormal(0.99,20,4)

→ \(29{,}31\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
# z = 2.33 from standard normal table
k_limit = 20 + 2.33*4 + 0.5
print(k_limit)

Fasit: \(k=30\) etter normaltilnærming med kontinuitetskorreksjon (kontrollert digitalt).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 dokumenterer digitale kontroller med CAS, numerikk og Python der det er relevant.

Del 2 · Oppgave 1aEksponentialmodell

Oppgave 1a

Oppgave:

Ved naturlig vekst er antall bakterier \(N\), i millioner, gitt ved \(N(t)=0{,}8e^{0{,}35t}\). Hvor lang tid tar det før avfallet blir helsefarlig dersom grensen er 15 millioner?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett modellen lik grensen

0{,}8e^{0{,}35t}=15

Steg 2 — Isoler eksponentialleddet

e^{0{,}35t}=\dfrac{15}{0{,}8}=18{,}75

Steg 3 — Ta naturlig logaritme

0{,}35t=\ln(18{,}75)

Steg 4 — Løs for tiden

t=\dfrac{\ln(18{,}75)}{0{,}35}\approx8{,}37

Steg 5 — Tolkning

Avfallet blir helsefarlig etter litt mer enn åtte døgn.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å ta \(\ln(15)\) før man deler på \(0{,}8\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(0.8 exp(0.35 t)=15)

→ \(t\approx8{,}37\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, exp, solve, log, N
t = symbols("t")
sol = log(15/0.8)/0.35
print(N(sol))

Fasit: Etter omtrent \(8{,}4\) dager (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 1bModell og toppunkt

Oppgave 1b

Oppgave:

Etter tilsetting av stoff følger antall bakterier modellen \(B(t)=0{,}8e^{0{,}35t-0{,}01t^2}\). Avgjør om avfallet noen gang vil bli helsefarlig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn når eksponenten er størst

Siden \(0{,}8e^u\) øker når \(u\) øker, maksimerer vi \(u(t)=0{,}35t-0{,}01t^2\).

Steg 2 — Finn toppunktet

u'(t)=0{,}35-0{,}02t=0 \Rightarrow t=17{,}5

Steg 3 — Regn maksimal bakteriemengde

B(17{,}5)=0{,}8e^{0{,}35\cdot17{,}5-0{,}01\cdot17{,}5^2}

Steg 4 — Sammenlign med grensen

B(17{,}5)\approx17{,}10>15

Steg 5 — Konkluder

Modellen sier at antallet bakterier på et tidspunkt overstiger 15 millioner.

Steg 6 — Tolkning

Den gitte stoffmengden er ikke nok til å hindre at avfallet blir helsefarlig.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å sette \(B(t)=15\) og stoppe etter én løsning. Spørsmålet handler om modellen noen gang overstiger grensen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Maks(0.8 exp(0.35t-0.01t^2))

→ \(17{,}10\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import exp
t = 17.5
B = 0.8*exp(0.35*t - 0.01*t*t)
print(B)

Fasit: Ja, maksimum er omtrent \(17{,}1\) millioner, som er over \(15\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 1cVekstfart

Oppgave 1c

Oppgave:

Når øker antall bakterier raskest ifølge modellen \(B(t)=0{,}8e^{0{,}35t-0{,}01t^2}\)? Hvor stor er bakterieveksten per dag da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv vekstfarten

\[ B'(t)=B(t)(0{,}35-0{,}02t) \]

Steg 2 — Maksimer vekstfarten

Raskest økning betyr at \(B'(t)\) skal være størst.

Steg 3 — Deriver vekstfarten

B''(t)=B(t)\left((0{,}35-0{,}02t)^2-0{,}02\right)

Steg 4 — Sett \(B''(t)=0\)

(0{,}35-0{,}02t)^2=0{,}02

Steg 5 — Velg tidspunktet i vekstfasen

0{,}35-0{,}02t=\sqrt{0{,}02}\Rightarrow t\approx10{,}43

Steg 6 — Regn vekstfarten

B'(10{,}43)\approx1{,}47

Steg 7 — Tolkning

Antall bakterier øker raskest etter omtrent 10,4 dager, med omtrent 1,47 millioner bakterier per dag.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å finne når \(B(t)\) er størst. Oppgaven spør når veksten \(B'(t)\) er størst.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Maks(Derivert(0.8 exp(0.35t-0.01t^2)))

→ \(t\approx10{,}43,\ B'(t)\approx1{,}47\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import exp, sqrt
t = (0.35 - sqrt(0.02))/0.02
B = 0.8*exp(0.35*t - 0.01*t*t)
Bp = B*(0.35 - 0.02*t)
print(t, Bp)

Fasit: Raskest etter \(10{,}4\) dager; vekstfarten er omtrent \(1{,}47\) millioner per dag (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 1dParameterbestemmelse

Oppgave 1d

Oppgave:

En generell modell er \(S(t)=0{,}8e^{0{,}35t-kt^2}\). Hva er den laveste verdien \(k\) kan ha dersom avfallet ikke skal bli helsefarlig?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Maksimer eksponenten

For \(k>0\) har eksponenten \(u(t)=0{,}35t-kt^2\) toppunkt.

Steg 2 — Finn toppunktstidspunktet

u'(t)=0{,}35-2kt=0 \Rightarrow t=\dfrac{0{,}35}{2k}

Steg 3 — Finn maksimal eksponent

u_{\max}=\dfrac{0{,}35^2}{4k}

Steg 4 — Sett krav til maksimal bakteriemengde

0{,}8e^{\frac{0{,}35^2}{4k}}\le15

Steg 5 — Ta logaritme

\dfrac{0{,}35^2}{4k}\le\ln(18{,}75)

Steg 6 — Løs for \(k\)

k\ge\dfrac{0{,}35^2}{4\ln(18{,}75)}\approx0{,}01045

Steg 7 — Tolkning

Den laveste verdien er omtrent \(0{,}01045\). Mindre \(k\) gir for svak demping.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(t=17{,}5\) fra forrige modell selv om \(k\) nå er ukjent.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

0.35^2/(4 ln(18.75))

→ \(0{,}01045\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import log
k = 0.35**2/(4*log(15/0.8))
print(k)

Fasit: \(k_{\min}\approx0{,}01045\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 2aFinansmatematikk

Oppgave 2a

Oppgave:

Da Anniken fylte 15 år, satte hun 30 000 kroner inn på en konto med fast månedlig rentesats \(0{,}1\,\%\). Hver måned etter dette satte hun inn 500 kroner. Det siste innskuddet gjorde hun den dagen hun fylte 20 år. Hvor mye hadde hun på kontoen etter innskuddet på 20-årsdagen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn antall måneder

5\text{ år}=60\text{ måneder}

Steg 2 — Skriv månedlig vekstfaktor

\[ v=1+0{,}001=1{,}001 \]

Steg 3 — Framskriv startbeløpet

30000\cdot1{,}001^{60}

Steg 4 — Framskriv de månedlige innskuddene

500\cdot\dfrac{1{,}001^{60}-1}{0{,}001}

Steg 5 — Legg sammen

A=30000\cdot1{,}001^{60}+500\cdot\dfrac{1{,}001^{60}-1}{0{,}001}

Steg 6 — Regn ut

A\approx62756{,}50

Steg 7 — Tolkning

Etter siste innskudd har hun omtrent 62 756 kroner på kontoen.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke årlig rente eller bare 59 månedlige innskudd.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

30000*1.001^60 + 500*(1.001^60-1)/0.001

→ \(62756{,}50\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

i = 0.001
A = 30000*(1+i)**60 + 500*((1+i)**60 - 1)/i
print(A)

Fasit: Omtrent \(62\,756\) kroner (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 2bAnnuitetslån

Oppgave 2b

Oppgave:

Anniken tar opp et annuitetslån på 2 millioner kroner. Nedbetalingstid er 30 år, én termin per år og fast årlig rentesats \(2{,}4\,\%\). Vis at det årlige terminbeløpet er 94 286 kroner.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk annuitetsformelen

T=L\cdot\dfrac{r}{1-(1+r)^{-n}}

Steg 2 — Sett inn lånebeløp, rente og antall terminer

L=2000000,\quad r=0{,}024,\quad n=30

Steg 3 — Regn terminbeløpet

T=2000000\cdot\dfrac{0{,}024}{1-(1{,}024)^{-30}}

Steg 4 — Beregn

T\approx94285{,}76

Steg 5 — Rund av til nærmeste krone

T\approx94286

Steg 6 — Tolkning

Hun må betale omtrent 94 286 kroner hvert år.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \((1+r)^n\) i nevneren uten negativ eksponent og dermed få feil terminbeløp.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

2000000*0.024/(1-(1.024)^(-30))

→ \(94285{,}76\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

L = 2_000_000
r = 0.024
n = 30
T = L*r/(1-(1+r)**(-n))
print(T)

Fasit: Det årlige terminbeløpet er omtrent \(94\,286\) kroner (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 2cRente og annuitet

Oppgave 2c

Oppgave:

Anniken kan maksimalt betale et terminbeløp på 110 000 kroner. Bestem den høyeste rentesatsen hun har råd til å betale.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett opp likningen

110000=2000000\cdot\dfrac{r}{1-(1+r)^{-30}}

Steg 2 — Forstå ukjent størrelse

Her er \(r\) den årlige rentesatsen som desimaltall.

Steg 3 — Løs numerisk

Likningen kan løses med CAS, graf eller numerisk metode.

Steg 4 — CAS-resultat

r\approx0{,}03592

Steg 5 — Gjør om til prosent

0{,}03592\approx3{,}59\,\%

Steg 6 — Tolkning

Hun tåler omtrent 3,6 prosent årlig rente før terminbeløpet overstiger 110 000 kroner.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke prosenttallet \(3{,}59\) direkte i formelen i stedet for \(0{,}0359\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Løs(110000=2000000*r/(1-(1+r)^(-30)))

→ \(r\approx0{,}03592\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

import mpmath as mp
L = 2_000_000
n = 30
f = lambda r: L*r/(1-(1+r)**(-n)) - 110000
r = mp.findroot(f, 0.036)
print(r, 100*r)

Fasit: Høyeste årlige rente er omtrent \(3{,}59\,\%\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 3aNormalfordeling

Oppgave 3a

Oppgave:

En sjokoladeplate har vekt \(X\sim N(200,4)\), der vekten måles i gram. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt sjokoladeplate veier mindre enn 195 gram.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Standardiser grensen

z=\dfrac{195-200}{4}=-1{,}25

Steg 2 — Skriv sannsynligheten

\[ P(X<195)=P(Z<-1{,}25) \]

Steg 3 — Les eller beregn normalfordeling

P(Z<-1{,}25)\approx0{,}1056

Steg 4 — Tolkning

Omtrent 10,6 prosent av platene veier mindre enn 195 gram.

Steg 5 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(\sigma=16\) i stedet for \(\sigma=4\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Normal(200,4,195)

→ \(0{,}1056\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
Phi = lambda z: 0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
print(Phi((195-200)/4))

Fasit: \(P(X<195)\approx0{,}1056\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 3bUavhengige hendelser

Oppgave 3b

Oppgave:

Sjokoladeplatene pakkes i esker på 10 plater. Bestem sannsynligheten for at alle platene i en eske veier mer enn 195 gram.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn sannsynligheten for én plate

\[ P(X>195)=1-0{,}1056=0{,}8944 \]

Steg 2 — Anta uavhengige plater

Vektene til platene behandles som uavhengige i modellen.

Steg 3 — Bruk produktregelen

P(\text{alle 10}>195)=0{,}8944^{10}

Steg 4 — Regn ut

0{,}8944^{10}\approx0{,}327

Steg 5 — Tolkning

Det er omtrent 32,7 prosent sannsynlighet for at alle de ti platene er over 195 gram.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å multiplisere med \(10\) i stedet for å opphøye i \(10\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

(1-Normal(200,4,195))^10

→ \(0{,}3274\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
Phi = lambda z: 0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
p = 1 - Phi((195-200)/4)
print(p**10)

Fasit: Omtrent \(0{,}327\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 3cSum av normalfordelte variabler

Oppgave 3c

Oppgave:

En kartong inneholder 100 sjokoladeplater. Ledelsen krever at en kartong skal veie mellom 19 900 gram og 20 100 gram. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong er innenfor kravet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Definer totalvekten

La \(S\) være totalvekten av 100 plater.

Steg 2 — Finn forventningsverdi

\mu_S=100\cdot200=20000

Steg 3 — Finn standardavvik

\sigma_S=\sqrt{100}\cdot4=40

Steg 4 — Standardiser grensene

z_1=\dfrac{19900-20000}{40}=-2{,}5,\qquad z_2=\dfrac{20100-20000}{40}=2{,}5

Steg 5 — Finn sannsynligheten

\[ P(19900Steg 6 — Regn ut\[ \Phi(2{,}5)-\Phi(-2{,}5)\approx0{,}9876 \]Steg 7 — TolkningOmtrent 98,8 prosent av kartongene er innenfor kravet ifølge modellen.Steg 8 — Vanlig feilVanlig feil: Å bruke standardavviket \(4\) for en kartong. For en sum av 100 uavhengige plater blir standardavviket \(40\). Kontroll (GeoGebra CAS) GeoGebra · CAS1Normal(20000,40,20100)-Normal(20000,40,19900)→ \(0{,}9876\) Kontroll (Python) Python-kontrollfrom math import erf, sqrt Phi = lambda z: 0.5*(1+erf(z/sqrt(2))) print(Phi(2.5)-Phi(-2.5))

Fasit: Omtrent \(0{,}9876\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 3dHypotesetest

Oppgave 3d

Oppgave:

Ledelsen har mistanke om at maskinen er stilt inn slik at sjokoladeplatene veier for lite. De vil plukke ut 100 tilfeldige sjokoladeplater. Sett opp en hypotesetest som kan brukes for å avgjøre om det er hold i mistanken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg parameter

La \(\mu\) være den sanne forventede vekten til sjokoladeplatene.

Steg 2 — Nullhypotese

H_0:\mu=200

Steg 3 — Alternativ hypotese

H_1:\mu<200

Steg 4 — Velg testobservator

Z=\dfrac{\overline{X}-200}{4/\sqrt{100}}

Steg 5 — Begrunn testtype

Dette er en venstresidig test fordi mistanken er at platene veier for lite.

Steg 6 — Beslutningsregel ved 5 prosent

\text{Forkast }H_0\text{ dersom }Z<-1{,}645

Steg 7 — Tolkning

Testen undersøker om utvalgsgjennomsnittet er uvanlig lavt dersom \(\mu=200\).

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke tosidig test selv om mistanken bare går i én retning.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

InverseNormal(0.05,0,1)

→ \(-1{,}645\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from statistics import NormalDist
print(NormalDist().inv_cdf(0.05))

Fasit: Venstresidig z-test med \(H_0:\mu=200\) og \(H_1:\mu<200\) (kontrollert digitalt).

Del 2 · Oppgave 3eHypotesetest

Oppgave 3e

Oppgave:

Ledelsen velger 100 sjokoladeplater. Gjennomsnittsvekten er 199,1 gram. Standardavviket antas fremdeles å være 4 gram. Utfør hypotesetesten med signifikansnivå 5 prosent.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjonen presist, sette opp en ryddig modell, regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv testobservatoren

Z=\dfrac{\overline{X}-200}{4/\sqrt{100}}

Steg 2 — Sett inn utvalgsgjennomsnittet

Z=\dfrac{199{,}1-200}{4/10}

Steg 3 — Regn ut z-verdien

Z=\dfrac{-0{,}9}{0{,}4}=-2{,}25

Steg 4 — Sammenlign med kritisk verdi

\[ -2{,}25<-1{,}645 \]

Steg 5 — Finn p-verdi

P(Z<-2{,}25)\approx0{,}0122

Steg 6 — Konkluder

Siden \(0{,}0122<0{,}05\), forkaster vi \(H_0\).

Steg 7 — Tolkning

På 5 prosent signifikansnivå er det hold i mistanken om at platene veier for lite.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å konkludere med at gjennomsnittet sikkert er under 200. Testen gir statistisk støtte, ikke absolutt bevis.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra · CAS

Normal(0,1,-2.25)

→ \(0{,}0122\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
Phi = lambda z: 0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
z = (199.1-200)/(4/sqrt(100))
print(z, Phi(z))

Fasit: Forkast \(H_0\). Det er statistisk støtte for mistanken (kontrollert digitalt).

Matematikk S2 eksamen – høst 2022

Matematikk S2 eksamen H22 (K06) – løsningsforslag

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 — Bruk kjerneregelen på eksponentialleddet

Steg 2 — Deriver potensleddet

Steg 3 — Legg sammen bidragene

Steg 4 — Tolkning

Steg 5 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 1b

Steg 1 — Identifiser ytre og indre funksjon

Steg 2 — Deriver logaritmen med kjerneregelen

Steg 3 — Finn den indre deriverte

Steg 4 — Sett sammen uttrykket

Steg 5 — Tolkning

Steg 6 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2

Steg 1 — Finn første ledd

Steg 2 — Finn kvotienten

Steg 3 — Kontroller konvergenskravet

Steg 4 — Bruk sumformelen

Steg 5 — Sett inn verdiene

Steg 6 — Tolkning

Steg 7 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 3a

Steg 1 — Trekk ut felles faktor

Steg 2 — Test roten \(x=2\)

Steg 3 — Del polynomet på \(x-2\)

Steg 4 — Faktoriser andregradspolynomet

Steg 5 — Sett alt sammen

Steg 6 — Tolkning

Steg 7 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 3b

Steg 1 — Bruk faktoriseringen

Steg 2 — Vurder kvadratfaktoren

Steg 3 — Finn fortegnet

Steg 4 — Løs fortegnskravet

Steg 5 — Ta med nullpunktene

Steg 6 — Tolkning

Steg 7 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 3c

Steg 1 — Innfør en ny variabel

Steg 2 — Skriv likningen som polynom

Steg 3 — Faktoriser polynomet

Steg 4 — Bruk kravet \(u>0\)

Steg 5 — Løs for \(x\)

Steg 6 — Tolkning

Steg 7 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 4

Steg 1 — Definer variabler

Steg 2 — Sett opp likningene

Steg 3 — Fjern desimaler i tredje likning

Steg 4 — Eliminer med første og tredje likning

Steg 5 — Bruk systemet videre

Steg 6 — Kontroller i første likning

Steg 7 — Tolkning

Steg 8 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 5

Steg 1 — Kjenn igjen rekken