ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen H21 – løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er ført med trinnvis metode, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og kjørbar Python-kontroll.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 er løst med håndførbare metoder: derivasjon, polynomregning, rekker, marginalanalyse og normalfordeling.

Del 1 - Oppgave 1a - 3 poengDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \( f(x)=x^3+e^x \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

Funksjonen er en sum. Summeregelen sier at vi kan derivere hvert ledd for seg.

Steg 2 — Deriver potensleddet

\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2

Steg 3 — Deriver eksponentialleddet

\dfrac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x

Steg 4 — Sett sammen uttrykket

\[ f'(x)=3x^2+e^x \]

Steg 5 — Tolkning

Den deriverte beskriver vekstfarten til grafen til \(f\). Her består vekstfarten av ett polynomledd og ett eksponentialledd.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å derivere \(e^x\) som om det var et potensledd. \(e^x\) er sin egen deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Derivert(x^3 + exp(x))

-> \(3x^2+e^x\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 1a: derivasjon")
print("-"*72)
x = symbols('x')
f = x**3 + exp(x)
f_derivert = diff(f, x)
print('f(x) =', f)
print('f_derivert =', f_derivert)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \( f'(x)=3x^2+e^x \).

Del 1 - Oppgave 1b - 3 poengKjerneregel og logaritme

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \( g(x)=\ln\left(x^3+1\right) \).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Kjenn igjen sammensatt funksjon

Ytre funksjon er \(\ln u\), og indre funksjon er \(u=x^3+1\).

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

\dfrac{d}{dx}\left(\ln u\right)=\dfrac{u'}{u}

Steg 3 — Deriver indre funksjon

u=x^3+1\quad\Rightarrow\quad u'=3x^2

Steg 4 — Sett inn i kjerneregelen

g'(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1}

Steg 5 — Kontroller definisjonsområdet

Logaritmen krever \(x^3+1>0\), altså \(x>-1\).

Steg 6 — Tolkning

Den deriverte er positiv for \(x e0\) i definisjonsområdet, siden telleren er ikke-negativ og nevneren positiv.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å skrive den deriverte som \(\dfrac{1}{x^3+1}\) og glemme den indre deriverte \(3x^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Derivert(ln(x^3+1))

-> \(\dfrac{3x^2}{x^3+1}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 1b: kjerneregel")
print("-"*72)
x = symbols('x')
g = log(x**3 + 1)
g_derivert = simplify(diff(g, x))
print('g(x) =', g)
print('g_derivert =', g_derivert)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \( g'(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1} \).

Del 1 - Oppgave 2a - 7 poengPolynom og faktorregel

Oppgave 2a

Oppgave:

Polynomet \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-2x^2-31x-28\). Vis, uten å utføre polynomdivisjon, at \(P(x)\) ikke er delelig med \(x-1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk faktorregelen

Et polynom \(P(x)\) er delelig med \(x-a\) hvis og bare hvis \(P(a)=0\).

Steg 2 — Finn hvilken verdi som skal testes

Faktoren \(x-1\) svarer til \(a=1\).

Steg 3 — Regn ut funksjonsverdien

P(1)=1^3-2\cdot1^2-31\cdot1-28

Steg 4 — Forenkle

\[ P(1)=1-2-31-28=-60 \]

Steg 5 — Trekk konklusjonen

Siden \(P(1) e0\), er \(x-1\) ikke en faktor i \(P(x)\).

Steg 6 — Tolkning

Grafen har ikke nullpunkt ved \(x=1\), og polynomet kan derfor ikke deles uten rest på \(x-1\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å utføre polynomdivisjon selv om oppgaven uttrykkelig ber om en løsning uten polynomdivisjon.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

P(1)

-> \(-60\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 2a: faktorregel")
print("-"*72)
x = symbols('x')
P = x**3 - 2*x**2 - 31*x - 28
verdi = P.subs(x, 1)
print('P(x) =', P)
print('P(1) =', verdi)
print('Delelig med x - 1?', verdi == 0)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(P(1)=-60\), derfor er \(P(x)\) ikke delelig med \(x-1\).

Del 1 - Oppgave 2b - 7 poengPolynomdivisjon

Oppgave 2b

Oppgave:

Utfør polynomdivisjonen \(P(x):(x+1)\), der \(P(x)=x^3-2x^2-31x-28\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv divisjonen

Vi skal dele et tredjegradspolynom på førstegradspolynomet \(x+1\).

Steg 2 — Test roten til divisoren

Divisoren \(x+1\) har rot \(x=-1\). Dette kan brukes som kontroll.

Steg 3 — Utfør divisjonen

\[ x^3-2x^2-31x-28=(x+1)(x^2-3x-28) \]

Steg 4 — Kontroller ved utvidelse

\[ (x+1)(x^2-3x-28)=x^3-2x^2-31x-28 \]

Steg 5 — Faktoriser kvotienten

\[ x^2-3x-28=(x-7)(x+4) \]

Steg 6 — Tolkning

Polynomdivisjonen viser at \(x+1\) er en faktor og at resten er \(0\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å få fortegnet feil i divisoren. Her er \(x+1\), ikke \(x-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Divisjon(x^3 - 2x^2 - 31x - 28, x + 1)

-> \(x^2-3x-28\), rest \(0\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 2b: polynomdivisjon")
print("-"*72)
x = symbols('x')
P = x**3 - 2*x**2 - 31*x - 28
kvotient, rest = div(P, x + 1)
print('Kvotient =', kvotient)
print('Rest =', rest)
print('Kontroll:', expand((x + 1)*kvotient + rest))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(P(x):(x+1)=x^2-3x-28\), med rest \(0\).

Del 1 - Oppgave 2c - 7 poengUlikhet med polynom

Oppgave 2c

Oppgave:

Løs ulikheten \(P(x)\ge0\), der \(P(x)=x^3-2x^2-31x-28\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Faktoriser polynomet

\[ P(x)=(x+1)(x^2-3x-28) \]

Steg 2 — Faktoriser andregradsfaktoren

\[ x^2-3x-28=(x-7)(x+4) \]

Steg 3 — Skriv full faktorisering

\[ P(x)=(x+4)(x+1)(x-7) \]

Steg 4 — Finn nullpunktene

x=-4,\quad x=-1,\quad x=7

Steg 5 — Lag fortegnslinje

Med positiv ledende koeffisient skifter fortegnet i hvert enkelt nullpunkt.

Steg 6 — Velg intervallene der produktet er positivt eller null

P(x)\ge0\quad\text{for}\quad x\in[-4,-1]\cup[7,\infty)

Steg 7 — Tolkning

Grafen ligger på eller over \(x\)-aksen i disse intervallene.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å ta med intervallet \((-\infty,-4]\). Et testpunkt, for eksempel \(x=-5\), gir negativt produkt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs(x^3 - 2x^2 - 31x - 28 >= 0)

-> \([-4,-1]\cup[7,\infty)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 2c: ulikhet")
print("-"*72)
x = symbols('x', real=True)
P = x**3 - 2*x**2 - 31*x - 28
print('Faktorisert:', factor(P))
print('Løsningsmengde:', solve_univariate_inequality(P >= 0, x))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(x\in[-4,-1]\cup[7,\infty)\).

Del 1 - Oppgave 2d - 7 poengEksponentiallikning

Oppgave 2d

Oppgave:

Løs likningen \(e^{3x}-2e^{2x}-31e^x-28=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Gjør substitusjon

Sett \(u=e^x\). Siden \(e^x>0\), må \(u>0\).

Steg 2 — Skriv likningen som polynom

\[ u^3-2u^2-31u-28=0 \]

Steg 3 — Faktoriser polynomet

\[ u^3-2u^2-31u-28=(u+1)(u+4)(u-7) \]

Steg 4 — Finn mulige u-verdier

u=-1,\quad u=-4,\quad u=7

Steg 5 — Bruk kravet \(u>0\)

De negative verdiene kan ikke være lik \(e^x\). Derfor står bare \(u=7\) igjen.

Steg 6 — Gå tilbake til \(x\)

e^x=7\quad\Rightarrow\quad x=\ln 7

Steg 7 — Tolkning

Likningen har én reell løsning fordi bare én av røttene i polynomet er positiv.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å ta med \(u=-1\) og \(u=-4\). Eksponentialuttrykket \(e^x\) er alltid positivt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs(exp(3x)-2exp(2x)-31exp(x)-28=0)

-> \(x=\ln 7\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 2d: eksponentiallikning")
print("-"*72)
x, u = symbols('x u', real=True)
poly = u**3 - 2*u**2 - 31*u - 28
print('Faktorisert polynom:', factor(poly))
print('Røtter for u:', solve(poly, u))
print('Gyldig positiv rot u = 7 gir x =', log(7))
print('Numerisk x =', N(log(7)))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(x=\ln 7\).

Del 1 - Oppgave 3a - 6 poengAritmetisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

En aritmetisk rekke \(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\) har sum \(S_n=2n^2+n\). Bestem \(a_1\) og \(a_{10}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk sammenhengen mellom sum og ledd

For en rekke er \(a_n=S_n-S_{n-1}\), og spesielt \(a_1=S_1\).

Steg 2 — Finn første ledd

a_1=S_1=2\cdot1^2+1=3

Steg 3 — Finn \(S_{10}\)

S_{10}=2\cdot10^2+10=210

Steg 4 — Finn \(S_9\)

S_9=2\cdot9^2+9=171

Steg 5 — Finn tiende ledd

a_{10}=S_{10}-S_9=210-171=39

Steg 6 — Tolkning

Summen øker med \(39\) når vi går fra 9 til 10 ledd.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tro at \(a_{10}=S_{10}\). \(S_{10}\) er summen av de ti første leddene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

S(1)

-> \(3\)

S(10)-S(9)

-> \(39\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 3a: ledd fra sumformel")
print("-"*72)
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
S = lambda m: 2*m**2 + m
a1 = S(1)
a10 = S(10) - S(9)
print('S_1 =', a1)
print('S_10 =', S(10))
print('S_9 =', S(9))
print('a_10 =', a10)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(a_1=3\) og \(a_{10}=39\).

Del 1 - Oppgave 3b - 6 poengAritmetisk rekke

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem en formel for \(a_n\) uttrykt ved \(n\), når \(S_n=2n^2+n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk differanse mellom to summer

a_n=S_n-S_{n-1}

Steg 2 — Skriv \(S_{n-1}\)

S_{n-1}=2(n-1)^2+(n-1)

Steg 3 — Sett inn

a_n=2n^2+n-\left(2(n-1)^2+(n-1)\right)

Steg 4 — Utvid parentesen

\[ 2(n-1)^2+(n-1)=2n^2-3n+1 \]

Steg 5 — Forenkle

\[ a_n=2n^2+n-(2n^2-3n+1)=4n-1 \]

Steg 6 — Tolkning

Leddformelen er lineær, slik den skal være for en aritmetisk rekke.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å glemme parentesen rundt \(S_{n-1}\) når uttrykket trekkes fra.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

S(n)-S(n-1)

-> \(4n-1\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 3b: generell leddformel")
print("-"*72)
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
S_n = 2*n**2 + n
S_forrige = 2*(n-1)**2 + (n-1)
a_n = expand(S_n - S_forrige)
print('S_n =', S_n)
print('S_(n-1) =', expand(S_forrige))
print('a_n =', a_n)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(a_n=4n-1\).

Del 1 - Oppgave 3c - 6 poengAritmetisk rekke

Oppgave 3c

Oppgave:

Bestem summen av rekken når \(a_n=399\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk formelen fra forrige del

\[ a_n=4n-1 \]

Steg 2 — Sett leddet lik 399

\[ 4n-1=399 \]

Steg 3 — Løs for \(n\)

4n=400\quad\Rightarrow\quad n=100

Steg 4 — Bruk sumformelen som er gitt

\[ S_n=2n^2+n \]

Steg 5 — Sett inn \(n=100\)

S_{100}=2\cdot100^2+100=20100

Steg 6 — Tolkning

Det er summen av de 100 første leddene som etterspørres.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å svare \(399\). Oppgaven spør om summen når siste ledd er \(399\), ikke om selve leddet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs(4n-1=399)

-> \(n=100\)

2*100^2+100

-> \(20100\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 3c: sum når siste ledd er kjent")
print("-"*72)
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
løsning = solve(Eq(4*n - 1, 399), n)[0]
S = 2*løsning**2 + løsning
print('n =', løsning)
print('S_n =', S)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(S_{100}=20100\).

Del 1 - Oppgave 4a - 6 poengMarginalanalyse

Oppgave 4a

Oppgave:

Når en bedrift produserer og selger \(x\) enheter per dag, er grensekostnaden \(K^{\prime}(x)=0{,}4x+500\) og grenseinntekten \(I^{\prime}(x)=-0{,}3x+850\). Bedriften produserer og selger 400 enheter per dag. Avgjør om en økning i den daglige produksjonsmengden vil kunne gi et større overskudd for bedriften.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv marginalt overskudd

Overskuddet øker når grenseinntekten er større enn grensekostnaden.

Steg 2 — Regn ut \(I^{\prime}(400)\)

I'(400)=-0{,}3\cdot400+850=730

Steg 3 — Regn ut \(K^{\prime}(400)\)

K'(400)=0{,}4\cdot400+500=660

Steg 4 — Sammenlign

\[ I'(400)-K'(400)=730-660=70 \]

Steg 5 — Trekk konklusjon

Siden marginalt overskudd er positivt ved 400 enheter, kan en økning gi større overskudd.

Steg 6 — Tolkning

Rundt 400 enheter tjener bedriften mer på den neste enheten enn den koster å produsere.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å sammenligne \(I\) og \(K\) direkte, selv om oppgaven bare gir \(I^{\prime}\) og \(K^{\prime}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

(-0.3*400+850)-(0.4*400+500)

-> \(70\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 4a: marginalt overskudd")
print("-"*72)
x = symbols('x')
Kp = 0.4*x + 500
Ip = -0.3*x + 850
margin = Ip - Kp
print('K_derivert(400) =', Kp.subs(x, 400))
print('I_derivert(400) =', Ip.subs(x, 400))
print('O_derivert(400) =', margin.subs(x, 400))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Ja, fordi \(I'(400)-K'(400)=70>0\).

Del 1 - Oppgave 4b - 6 poengMaksimering av overskudd

Oppgave 4b

Oppgave:

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk marginalt overskudd

\[ O'(x)=I'(x)-K'(x) \]

Steg 2 — Sett inn uttrykkene

\[ O'(x)=(-0{,}3x+850)-(0{,}4x+500) \]

Steg 3 — Forenkle

\[ O'(x)=350-0{,}7x \]

Steg 4 — Finn kritisk punkt

\[ 350-0{,}7x=0 \]

Steg 5 — Løs likningen

0{,}7x=350\quad\Rightarrow\quad x=500

Steg 6 — Kontroller maksimum

For mindre \(x\) er \(O^{\prime}(x)>0\), og for større \(x\) er \(O^{\prime}(x)<0\). Overskuddet er derfor størst ved \(x=500\).

Steg 7 — Tolkning

Optimal produksjon er 500 enheter per dag.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å sette \(K^{\prime}(x)=0\) i stedet for \(I^{\prime}(x)=K^{\prime}(x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs((-0.3x+850)-(0.4x+500)=0)

-> \(x=500\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 4b: optimal produksjon")
print("-"*72)
x = symbols('x')
O_derivert = (-0.3*x + 850) - (0.4*x + 500)
løsning = solve(Eq(O_derivert, 0), x)
print('O_derivert(x) =', expand(O_derivert))
print('Kritisk punkt:', løsning)
print('O_derivert(400) =', O_derivert.subs(x, 400))
print('O_derivert(600) =', O_derivert.subs(x, 600))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(500\) enheter per dag.

Del 1 - Oppgave 4c - 6 poengIntegrasjon av marginalkostnad

Oppgave 4c

Oppgave:

Bedriftens daglige kostnader \(K\) består av en fast del på 50 000 kroner og en variabel del som er avhengig av produksjonsmengden. Hva er de daglige kostnadene ved produksjon av 400 enheter?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Tolk fast kostnad

\[ K(0)=50000 \]

Steg 2 — Integrer grensekostnaden

\[ K'(x)=0{,}4x+500 \]

Steg 3 — Finn kostnadsfunksjonen

K(x)=0{,}2x^2+500x+C

Steg 4 — Bruk fast kostnad

\[ K(0)=C=50000 \]

Steg 5 — Sett inn \(x=400\)

K(400)=0{,}2\cdot400^2+500\cdot400+50000

Steg 6 — Regn ut

\[ K(400)=32000+200000+50000=282000 \]

Steg 7 — Tolkning

De daglige kostnadene ved 400 enheter er 282 000 kroner.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(K^{\prime}(400)\) som total kostnad. \(K^{\prime}\) er marginalkostnad.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Integral(0.4x+500,x)+50000

-> \(0{,}2x^2+500x+50000\)

K(400)

-> \(282000\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 4c: kostnadsfunksjon fra grensekostnad")
print("-"*72)
x = symbols('x')
K_derivert = 0.4*x + 500
K = integrate(K_derivert, x) + 50000
print('K(x) =', K)
print('K(400) =', K.subs(x, 400))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(282000\) kroner.

Del 1 - Oppgave 5a - 6 poengDerivasjon med kvotientregel

Oppgave 5a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\). Vis at \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv som kvotient

Sett \(u=\ln x\) og \(v=x\).

Steg 2 — Deriver teller og nevner

u'=\dfrac{1}{x},\qquad v'=1

Steg 3 — Bruk kvotientregelen

f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Steg 4 — Sett inn

f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}

Steg 5 — Forenkle

f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}

Steg 6 — Tolkning

Fortegnet til den deriverte bestemmes av telleren \(1-\ln x\), siden \(x^2>0\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å skrive nevneren som \(x\) i stedet for \(x^2\) etter kvotientregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Derivert(ln(x)/x)

-> \(\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 5a: derivert av ln(x)/x")
print("-"*72)
x = symbols('x', positive=True)
f = log(x)/x
f_derivert = simplify(diff(f, x))
print('f(x) =', f)
print('f_derivert =', f_derivert)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\).

Del 1 - Oppgave 5b - 6 poengToppunkt og bunnpunkt

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk den deriverte

f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}

Steg 2 — Sett teller lik null

1-\ln x=0

Steg 3 — Løs for \(x\)

\ln x=1\quad\Rightarrow\quad x=e

Steg 4 — Bestem funksjonsverdien

f(e)=\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac{1}{e}

Steg 5 — Vurder fortegn

For \(00\). For \(x>e\) er \(1-\ln x<0\). Grafen går derfor fra voksende til avtagende.

Steg 6 — Konkluder

Grafen har toppunkt ved \(x=e\). Den har ikke noe bunnpunkt, siden \(f(x) o-\infty\) når \(x o0^+\).

Steg 7 — Tolkning

Det høyeste punktet på grafen er \(\left(e,\dfrac{1}{e}\right)\).

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å anta at funksjonen har både topp og bunn fordi oppgaven spør etter begge.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Ekstremalpunkt(ln(x)/x)

-> \(\left(e,\dfrac{1}{e}\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 5b: ekstremalpunkt for f")
print("-"*72)
x = symbols('x', positive=True)
f = log(x)/x
fp = diff(f, x)
kritisk = solve(Eq(fp, 0), x)[0]
print('f_derivert =', simplify(fp))
print('Kritisk x =', kritisk)
print('f(e) =', simplify(f.subs(x, kritisk)))
print('f(1) =', f.subs(x, 1), 'og f(10) =', N(f.subs(x, 10)))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Toppunkt \(\left(e,\dfrac{1}{e}\right)\). Ingen bunnpunkt.

Del 1 - Oppgave 5c - 6 poengTransformasjon av ekstremalpunkt

Oppgave 5c

Oppgave:

Funksjonen \(g\) er gitt ved \(g(x)=3-6e\cdot f(x)\). Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til \(g\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv sammenhengen

Funksjonen \(g\) er en lineær transformasjon av \(f\): \(g(x)=3-6e f(x)\).

Steg 2 — Deriver \(g\)

g'(x)=-6e\cdot f'(x)

Steg 3 — Bruk kritisk punkt fra \(f\)

f'(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=e

Steg 4 — Finn funksjonsverdien

g(e)=3-6e\cdot\dfrac{1}{e}=3-6=-3

Steg 5 — Klassifiser punktet

Fordi \(-6e<0\), vendes toppunktet til \(f\) om til bunnpunkt for \(g\).

Steg 6 — Vurder toppunkt

Det finnes ikke toppunkt. Når \(x o0^+\), går \(f(x) o-\infty\), og dermed går \(g(x) o\infty\).

Steg 7 — Tolkning

Grafen til \(g\) har laveste punkt \((e,-3)\).

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å beholde toppunktet som toppunkt etter at funksjonen multipliseres med et negativt tall.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Ekstremalpunkt(3-6e*ln(x)/x)

-> \((e,-3)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 5c: ekstremalpunkt for g")
print("-"*72)
x = symbols('x', positive=True)
f = log(x)/x
g = 3 - 6*E*f
gp = simplify(diff(g, x))
kritisk = solve(Eq(gp, 0), x)[0]
print('g(x) =', g)
print('g_derivert =', gp)
print('Kritisk x =', kritisk)
print('g(e) =', simplify(g.subs(x, kritisk)))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Bunnpunkt \((e,-3)\). Ingen toppunkt.

Del 1 - Oppgave 6a - 8 poengNormalfordeling

Oppgave 6a

Oppgave:

La \(X\) være vekten til en tilfeldig potet. Vi antar at \(X\) er normalfordelt med forventningsverdi \(200\) gram og standardavvik \(40\) gram. Bestem sannsynligheten for at poteten veier mellom 180 gram og 220 gram.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Standardiser nedre grense

z_1=\dfrac{180-200}{40}=-0{,}5

Steg 2 — Standardiser øvre grense

z_2=\dfrac{220-200}{40}=0{,}5

Steg 3 — Skriv sannsynligheten

P(180\le X\le220)=P(-0{,}5\le Z\le0{,}5)

Steg 4 — Bruk normalfordelingstabell

P(Z\le0{,}5)-P(Z\le-0{,}5)

Steg 5 — Sett inn tabellverdier

\[ 0{,}6915-0{,}3085=0{,}3830 \]

Steg 6 — Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(38{,}3\,\%\).

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(40\) som varians. Standardavviket er \(40\), og variansen ville vært \(1600\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normal(200,40,180,220)

-> \(0{,}383\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 6a: normalfordeling")
print("-"*72)
mu = 200
sigma = 40
x = symbols('x', real=True)
F = lambda value: Rational(1, 2)*(1 + erf((value - mu)/(sigma*sqrt(2))))
sannsynlighet = N(F(220) - F(180))
print('P(180 <= X <= 220) =', sannsynlighet)
print('Prosent =', N(100*sannsynlighet))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(P(180\le X\le220)\approx0{,}383\).

Del 1 - Oppgave 6b - 8 poengNormalfordeling og integral

Oppgave 6b

Oppgave:

Normalfordelingskurven til \(X\) er grafen til \(f(x)=\dfrac{1}{40\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-200)^2}{3200}}\). Bestem \(\int_0^{150} f(x)\,dx\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Tolk integralet

Integral under tetthetskurven fra \(0\) til \(150\) er sannsynligheten for at poteten veier høyst \(150\) gram.

Steg 2 — Standardiser grensen

z=\dfrac{150-200}{40}=-1{,}25

Steg 3 — Skriv som normalfordelingssannsynlighet

\int_0^{150}f(x)\,dx\approx P(X\le150)=P(Z\le-1{,}25)

Steg 4 — Bruk tabellen

P(Z\le-1{,}25)\approx0{,}1056

Steg 5 — Tolkning

Omtrent \(10{,}6\,\%\) av potetene veier \(150\) gram eller mindre.

Steg 6 — Kontroll av nedre grense

Normalfordelingen har teoretisk støtte på hele tallinjen, men sannsynligheten under \(0\) gram er praktisk talt \(0\) her.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å regne \(P(X\le150)\) som \(P(Z\le1{,}25)\). Fortegnet skal være negativt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Integral(1/(40sqrt(2pi))*exp(-(x-200)^2/3200),0,150)

-> \(0{,}1056\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 6b: integral under normalfordelingskurve")
print("-"*72)
x = symbols('x', real=True)
mu = 200
sigma = 40
f = 1/(sigma*sqrt(2*pi))*exp(-((x-mu)**2)/(2*sigma**2))
verdi = N(integrate(f, (x, 0, 150)))
print('f(x) =', f)
print('Integral fra 0 til 150 =', verdi)
print('Prosent =', N(100*verdi))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(\int_0^{150}f(x)\,dx\approx0{,}1056\), altså ca. \(10{,}6\,\%\).

Del 1 - Oppgave 6c - 8 poengSkisse og arealtolkning

Oppgave 6c

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\). Bruk skissen til å visualisere resultatene fra oppgave a og oppgave b.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Plasser forventningsverdien

Normalfordelingskurven er symmetrisk om \(x=200\).

Steg 2 — Marker standardavvik

Standardavviket er \(40\), så punktene \(160\), \(200\) og \(240\) er nyttige merkepunkter.

Steg 3 — Vis området fra oppgave a

Skraver arealet mellom \(x=180\) og \(x=220\). Dette er et symmetrisk område rundt forventningsverdien.

Steg 4 — Vis området fra oppgave b

Skraver også venstre hale fra \(0\) til \(150\).

Steg 5 — Beskriv formen

Kurven er klokkeformet, høyest ved \(x=200\), og avtar mot begge sider.

Steg 6 — Tolkning

Skissen skal vise at sannsynligheter i normalfordeling er arealer under tetthetskurven.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tegne sannsynligheter som høyder på kurven. Sannsynlighetene er arealer.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normalfordeling(200,40)

-> Klokkeformet kurve med sentrum \(200\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 6c: lage skisse-data")
print("-"*72)
from sympy import lambdify
import math
mu = 200
sigma = 40
def tetthet(verdi):
    return 1/(sigma*math.sqrt(2*math.pi))*math.exp(-((verdi-mu)**2)/(2*sigma**2))
for verdi in [80, 120, 150, 180, 200, 220, 240, 280, 320]:
    print(f'x = {verdi:3d}, f(x) = {tetthet(verdi):.6f}')
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Skissen skal vise en normalfordelingskurve med arealet \([180,220]\) og venstre areal \([0,150]\) markert.

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 er løst med CAS/Python der det er naturlig: lineære systemer, finansmatematikk, binomiske sannsynligheter, hypotesetest og modeller.

Del 1 - Oppgave 6d - 8 poengForventet antall

Oppgave 6d

Oppgave:

Jostein tar opp 500 tilfeldige poteter. Hvor mange av disse potetene kan han regne med at veier minst 300 gram?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Standardiser 300 gram

z=\dfrac{300-200}{40}=2{,}5

Steg 2 — Finn sannsynligheten

P(X\ge300)=P(Z\ge2{,}5)

Steg 3 — Bruk tabellverdi

P(Z\ge2{,}5)=1-0{,}9938=0{,}0062

Steg 4 — Finn forventet antall

500\cdot0{,}0062=3{,}1

Steg 5 — Rund praktisk

Han kan regne med omtrent 3 slike poteter.

Steg 6 — Tolkning

Dette er et forventet antall, ikke en garanti for nøyaktig 3 poteter.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(P(Z\le2{,}5)\) direkte. Oppgaven spør om minst 300 gram, altså høyre hale.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

500*(1-NormalCDF(2.5))

-> \(3{,}1\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Oppgave 6d: forventet antall")
print("-"*72)
mu = 200
sigma = 40
z = (300-mu)/sigma
hale = Rational(1, 2)*(1 - erf(z/sqrt(2)))
forventet = 500*hale
print('z =', z)
print('P(X >= 300) =', N(hale))
print('Forventet antall =', N(forventet))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Omtrent \(3\) poteter.

Del 2 - Oppgave 1 - 3 poengLineært likningssystem

Oppgave 1

Oppgave:

Solveig jobber som trener for en idrettsklubb. Timelønnen avhenger av om hun jobber på dagtid, på kveldstid eller i helgene. Tabellen viser: januar \(45\) dagtimer, \(21\) kveldstimer, \(14\) helgetimer og lønn \(17830\) kroner; februar \(28\), \(35\), \(24\) og \(21470\) kroner; mars \(33\), \(18\), \(12\) og \(14280\) kroner. Bruk opplysningene til å bestemme timelønnen til Solveig når hun jobber på dagtid.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Definer ukjente

La \(d\), \(k\) og \(h\) være timelønn for dag, kveld og helg.

Steg 2 — Sett opp januar-likningen

\[ 45d+21k+14h=17830 \]

Steg 3 — Sett opp februar-likningen

\[ 28d+35k+24h=21470 \]

Steg 4 — Sett opp mars-likningen

\[ 33d+18k+12h=14280 \]

Steg 5 — Løs likningssystemet digitalt

Del 2 tillater CAS. Systemet kan løses direkte med GeoGebra CAS eller Python.

Steg 6 — Les av daglønnen

\[ d=180 \]

Steg 7 — Tolkning

Solveig tjener 180 kroner per time når hun jobber på dagtid.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke total lønn delt på totalt timetall for én måned. Det blander tre ulike timelønner.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs({45d+21k+14h=17830,28d+35k+24h=21470,33d+18k+12h=14280},{d,k,h})

-> \(d=180,\ k=250,\ h=320\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 1: lineært likningssystem")
print("-"*72)
d, k, h = symbols('d k h')
likninger = [
    Eq(45*d + 21*k + 14*h, 17830),
    Eq(28*d + 35*k + 24*h, 21470),
    Eq(33*d + 18*k + 12*h, 14280),
]
løsning = solve(likninger, (d, k, h), dict=True)[0]
print('Løsning:', løsning)
print('Timelønn dagtid =', løsning[d], 'kroner')
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Timelønnen på dagtid er \(180\) kroner.

Del 2 - Oppgave 2a - 4 poengFinansmatematikk og sparebeløp

Oppgave 2a

Oppgave:

Camilla er 11 år. Foreldrene satte inn \(6000\) kroner hver bursdag fra hun fylte 1 år til og med hun fylte 10 år. Aksjefondet ga en årlig gjennomsnittlig avkastning på \(6\,\%\). Hva var verdien på Camillas andel i aksjefondet dagen før hun fylte 11 år?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[ 1+0{,}06=1{,}06 \]

Steg 2 — Tolk innbetalingene

Innskuddet på 1-årsdagen har stått i 10 år, og innskuddet på 10-årsdagen har stått i 1 år.

Steg 3 — Skriv summen

6000\left(1{,}06^{10}+1{,}06^9+\cdots+1{,}06^1\right)

Steg 4 — Bruk geometrisk sum

Dette er en endelig geometrisk rekke.

Steg 5 — Regn digitalt

6000\sum_{j=1}^{10}1{,}06^j\approx83829{,}86

Steg 6 — Tolkning

Verdien dagen før 11-årsdagen er omtrent 83 830 kroner.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å la siste innbetaling vokse i 0 år. Den ble satt inn på 10-årsdagen og står til dagen før 11-årsdagen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

6000*Sum(1.06^j,j,1,10)

-> \(83829{,}86\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 2a: fondsverdi før 11-årsdagen")
print("-"*72)
r = 1.06
verdi = sum(6000*r**j for j in range(1, 11))
print('Vekstfaktor =', r)
for j in range(10, 0, -1):
    print(f'Innskudd 6000 vokser i {j:2d} år: {6000*r**j:10.2f} kr')
print('Samlet verdi =', round(verdi, 2), 'kr')
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Omtrent \(83830\) kroner.

Del 2 - Oppgave 2b - 4 poengFinansmatematikk med voksende innskudd

Oppgave 2b

Oppgave:

På elleveårsdagen økte de beløpet til \(12000\) kroner. Deretter øker de årlige beløpene med \(5\,\%\) hvert år til og med den dagen Camilla fyller 20 år. Avkastningen er fortsatt \(6\,\%\) per år. Hva vil verdien være like etter at det siste beløpet blir satt inn?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Del opp i gamle og nye innskudd

Innskuddene fra 1 til 10 år vokser videre fram til 20-årsdagen. De nye innskuddene skjer på bursdagene fra 11 til 20 år.

Steg 2 — Gamle innskudd ved 20 år

6000\sum_{a=1}^{10}1{,}06^{20-a}

Steg 3 — Nye innskudd

Beløpet på bursdag \(a\) er \(12000\cdot1{,}05^{a-11}\).

Steg 4 — Vekst for nye innskudd

\sum_{a=11}^{20}12000\cdot1{,}05^{a-11}\cdot1{,}06^{20-a}

Steg 5 — Legg sammen

V\approx335972{,}46

Steg 6 — Tolkning

Like etter siste innskudd er fondet verdt omtrent 335 972 kroner.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å la innskuddet på 20-årsdagen få rente. Det er satt inn like før verdien leses av, og vokser derfor i 0 år.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Sum(6000*1.06^(20-a),a,1,10)+Sum(12000*1.05^(a-11)*1.06^(20-a),a,11,20)

-> \(335972{,}46\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 2b: fondsverdi etter siste innskudd")
print("-"*72)
r_fond = 1.06
r_innskudd = 1.05
gamle = sum(6000*r_fond**(20-a) for a in range(1, 11))
nye = sum(12000*r_innskudd**(a-11)*r_fond**(20-a) for a in range(11, 21))
total = gamle + nye
print('Verdi av gamle innskudd =', round(gamle, 2), 'kr')
print('Verdi av nye innskudd =', round(nye, 2), 'kr')
print('Samlet verdi =', round(total, 2), 'kr')
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Omtrent \(335972\) kroner.

Del 2 - Oppgave 3a - 8 poengBinomisk forsøk

Oppgave 3a

Oppgave:

I en selvbetjeningskasse blir hver tiende kunde i gjennomsnitt trukket ut til kontroll. Dette kan betraktes som et binomisk forsøk med \(p=0{,}1\). Bestem sannsynligheten for at fem kunder etter hverandre ikke blir trukket ut til kontroll.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn sannsynligheten for ikke kontroll

\[ 1-p=1-0{,}1=0{,}9 \]

Steg 2 — Bruk uavhengighet

Fem kunder etter hverandre gir fem like faktorer.

Steg 3 — Regn sannsynligheten

0{,}9^5=0{,}59049

Steg 4 — Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(59{,}0\,\%\).

Steg 5 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}1^5\), som er sannsynligheten for at alle fem blir kontrollert.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

0.9^5

-> \(0{,}59049\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 3a: fem ikke kontrollerte")
print("-"*72)
p = 0.1
sannsynlighet = (1-p)**5
print('P(ikke kontroll) =', 1-p)
print('P(fem etter hverandre ikke kontroll) =', sannsynlighet)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(0{,}59049\).

Del 2 - Oppgave 3b - 8 poengForventning og varians

Oppgave 3b

Oppgave:

La \(X\) være antall kunder som blir trukket ut til kontroll av de 200 første kundene. Bestem forventningsverdien \(E(X)\) og variansen \(\operatorname{Var}(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Identifiser fordelingen

X\sim\operatorname{Bin}(n=200,p=0{,}1)

Steg 2 — Bruk forventningsformelen

E(X)=np=200\cdot0{,}1=20

Steg 3 — Bruk variansformelen

\operatorname{Var}(X)=np(1-p)

Steg 4 — Sett inn

\operatorname{Var}(X)=200\cdot0{,}1\cdot0{,}9=18

Steg 5 — Tolkning

I gjennomsnitt forventer vi 20 kontrollerte kunder blant 200, med varians 18.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å svare standardavviket når oppgaven spør om variansen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

200*0.1

-> \(20\)

200*0.1*0.9

-> \(18\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 3b: forventning og varians")
print("-"*72)
n = 200
p = 0.1
forventning = n*p
varians = n*p*(1-p)
standardavvik = varians**0.5
print('E(X) =', forventning)
print('Var(X) =', varians)
print('Standardavvik =', standardavvik)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(E(X)=20\) og \(\operatorname{Var}(X)=18\).

Del 2 - Oppgave 3c - 8 poengBinomisk sannsynlighet

Oppgave 3c

Oppgave:

Bestem \(P(X\ge25)\), der \(X\sim\operatorname{Bin}(200,0{,}1)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Skriv hendelsen som høyre hale

P(X\ge25)=1-P(X\le24)

Steg 2 — Bruk binomisk modell

Dette bør regnes digitalt i Del 2, siden summen har mange ledd.

Steg 3 — CAS-oppsett

1-\sum_{k=0}^{24}\binom{200}{k}0{,}1^k0{,}9^{200-k}

Steg 4 — Regn ut

P(X\ge25)\approx0{,}1449

Steg 5 — Tolkning

Det er omtrent \(14{,}5\,\%\) sannsynlighet for minst 25 kontrollerte kunder.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å regne \(P(X>25)\) i stedet for \(P(X\ge25)\). Her skal \(25\) tas med.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

1-BinomialCDF(200,0.1,24)

-> \(0{,}1449\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 3c: P(X >= 25)")
print("-"*72)
from math import comb
n = 200
p = 0.1
sannsynlighet = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(25, n+1))
print('P(X >= 25) =', sannsynlighet)
print('Prosent =', 100*sannsynlighet)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(P(X\ge25)\approx0{,}1449\).

Del 2 - Oppgave 3d - 8 poengHypotesetest

Oppgave 3d

Oppgave:

Ledelsen har mistanke om at færre enn \(10\,\%\) av kundene blir kontrollert. Sett opp hypoteser som de kan bruke til å avgjøre om mistanken er berettiget.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Definer parameteren

La \(p\) være den reelle andelen kunder som blir trukket ut til kontroll.

Steg 2 — Nullhypotese

Utgangspunktet er at ordningen fungerer som oppgitt.

Steg 3 — Skriv \(H_0\)

H_0:p=0{,}10

Steg 4 — Alternativ hypotese

Mistanken er at andelen er lavere enn \(10\,\%\).

Steg 5 — Skriv \(H_1\)

H_1:p<0{,}10

Steg 6 — Tolkning

Dette er en venstresidig test.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke \(H_1:p e0{,}10\). Mistanken er spesifikt at andelen er lavere.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Hypoteser

-> \(H_0:p=0{,}10,\ H_1:p<0{,}10\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 3d: hypoteser")
print("-"*72)
print('Parameter p = faktisk kontrollandel')
print('H0: p = 0.10')
print('H1: p < 0.10')
print('Testtype: venstresidig binomisk test')
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(H_0:p=0{,}10\), \(H_1:p<0{,}10\).

Del 2 - Oppgave 3e - 8 poengBinomisk hypotesetest

Oppgave 3e

Oppgave:

En tilfeldig dag brukte \(579\) kunder selvbetjeningskassen, og \(47\) ble trukket ut til kontroll. Utfør hypotesetesten og avgjør om mistanken er berettiget. Bruk signifikansnivå \(5\,\%\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Velg testobservator

Under \(H_0\) er \(X\sim\operatorname{Bin}(579,0{,}10)\).

Steg 2 — Observert verdi

x_{obs}=47

Steg 3 — Skriv p-verdien

Siden testen er venstresidig, bruker vi \(P(X\le47)\).

Steg 4 — Regn p-verdi digitalt

P(X\le47)\approx0{,}0717

Steg 5 — Sammenlign med signifikansnivå

\[ 0{,}0717>0{,}05 \]

Steg 6 — Konklusjon

Vi forkaster ikke \(H_0\) på \(5\,\%\)-nivå. Mistanken er ikke tilstrekkelig støttet av dataene.

Steg 7 — Tolkning

Resultatet kan skyldes tilfeldig variasjon selv om den observerte andelen \(47/579\approx8{,}1\,\%\) er lavere enn \(10\,\%\).

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å konkludere bare ut fra at \(47/579<0{,}10\). En hypotesetest krever p-verdi eller kritisk område.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

BinomialCDF(579,0.1,47)

-> \(0{,}0717\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 3e: binomisk hypotesetest")
print("-"*72)
from math import comb
n = 579
p0 = 0.10
x_obs = 47
p_verdi = sum(comb(n, k)*p0**k*(1-p0)**(n-k) for k in range(0, x_obs+1))
observert_andel = x_obs/n
print('Observert andel =', observert_andel)
print('P-verdi = P(X <= 47) =', p_verdi)
print('Signifikansnivå =', 0.05)
print('Forkast H0?', p_verdi < 0.05)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: P-verdi \(\approx0{,}0717\). Ikke forkast \(H_0\); mistanken er ikke berettiget på \(5\,\%\)-nivå.

Del 2 - Oppgave 4a - 9 poengLogistisk modell

Oppgave 4a

Oppgave:

Et virus sprer seg i et land. Da virusutbruddet ble oppdaget, var \(1{,}5\,\%\) av befolkningen smittet. Uten tiltak ville \(22\,\%\) vært smittet etter 20 døgn og \(44\,\%\) etter 30 døgn. Andelen som har blitt smittet \(t\) døgn etter oppdagelsen modelleres med \(g(t)=\dfrac{N}{1+a\cdot e^{-kt}}\). Bruk opplysningene til å bestemme \(N\), \(a\) og \(k\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp første likning

g(0)=\dfrac{N}{1+a}=0{,}015

Steg 2 — Sett opp andre likning

g(20)=\dfrac{N}{1+a e^{-20k}}=0{,}22

Steg 3 — Sett opp tredje likning

g(30)=\dfrac{N}{1+a e^{-30k}}=0{,}44

Steg 4 — Bruk CAS til å løse systemet

Dette er et ikke-lineært likningssystem og egner seg for CAS/numerisk løsning.

Steg 5 — Les av parameterne

N\approx0{,}5999,\qquad a\approx38{,}9923,\qquad k\approx0{,}1559

Steg 6 — Kontroll

Setter vi disse verdiene inn i \(g\), får vi omtrent \(0{,}015\), \(0{,}22\) og \(0{,}44\) ved henholdsvis \(t=0\), \(20\) og \(30\).

Steg 7 — Tolkning

Parameteren \(N\) er modellens øvre grense for andelen smittede.

Steg 8 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke prosenttallene som \(1{,}5\), \(22\) og \(44\) i stedet for andelene \(0{,}015\), \(0{,}22\) og \(0{,}44\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

NLøs({N/(1+a)=0.015,N/(1+a*exp(-20k))=0.22,N/(1+a*exp(-30k))=0.44},{N,a,k})

-> \(N=0{,}5999,\ a=38{,}9923,\ k=0{,}1559\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 4a: logistisk modell")
print("-"*72)
Nv, a, k, t = symbols('Nv a k t')
g = Nv/(1 + a*exp(-k*t))
likninger = [
    Eq(g.subs(t, 0), 0.015),
    Eq(g.subs(t, 20), 0.22),
    Eq(g.subs(t, 30), 0.44),
]
løsning = nsolve(likninger, (Nv, a, k), (0.6, 39, 0.16))
print('N, a, k =', løsning)
for tid in [0, 20, 30]:
    verdi = g.subs({Nv:løsning[0], a:løsning[1], k:løsning[2], t:tid})
    print(f'g({tid}) =', verdi.evalf())
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: \(N\approx0{,}5999\), \(a\approx38{,}9923\), \(k\approx0{,}1559\).

Del 2 - Oppgave 4b - 9 poengLogistisk grenseverdi

Oppgave 4b

Oppgave:

Hvor stor andel av befolkningen ville blitt smittet ifølge modellen \(g\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk logistisk modell

Når \(t\) blir stor, går \(e^{-kt}\) mot \(0\) fordi \(k>0\).

Steg 2 — Ta grenseverdien

\lim_{t\to\infty}\dfrac{N}{1+a e^{-kt}}=\dfrac{N}{1+0}=N

Steg 3 — Sett inn parameteren

N\approx0{,}5999

Steg 4 — Gjør om til prosent

0{,}5999\approx60{,}0\,\%

Steg 5 — Tolkning

Uten tiltak ville modellen gitt at omtrent 60 prosent av befolkningen til slutt ble smittet.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å svare \(44\,\%\) fordi dette er andelen etter 30 døgn. Spørsmålet gjelder langtidsandelen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Grenseverdi(N/(1+a*exp(-k t)), t, infinity)

-> \(N\approx0{,}5999\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 4b: langtidsandel")
print("-"*72)
N_verdi = 0.5998846648890476
print('Langtidsandel = N =', N_verdi)
print('Som prosent =', 100*N_verdi)
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Omtrent \(60\,\%\).

Del 2 - Oppgave 4c - 9 poengGraftegning

Oppgave 4c

Oppgave:

Det ble satt inn tiltak. Andelen nye registrerte smittede i løpet av døgn \(t\) er gitt ved \(f(t)=0{,}0070\cdot e^{-\frac{(t-18)^2}{300}}\), \(t\ge0\). Tegn grafen til \(f\) i et koordinatsystem.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Kjenn igjen formen

Funksjonen er en klokkeformet funksjon med topp når eksponenten er størst.

Steg 2 — Finn toppunktets \(t\)-verdi

-(t-18)^2\le0\quad\Rightarrow\quad \text{maksimum ved }t=18

Steg 3 — Finn maksimal funksjonsverdi

f(18)=0{,}0070\cdot e^0=0{,}0070

Steg 4 — Velg akser

Bruk \(t\)-akse fra for eksempel \(0\) til \(45\) døgn og andel på \(y\)-aksen.

Steg 5 — Lag punkttabell

Digitale verktøy kan brukes til å tegne kurven nøyaktig.

Steg 6 — Tolkning

Grafen viser daglig andel nye registrerte smittede, ikke samlet andel.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å tolke \(f(t)\) som total smitteandel. \(f(t)\) er andelen nye smittede i døgn \(t\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

f(t)=0.0070 exp(-(t-18)^2/300)

-> Topp ved \(t=18\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 4c: grafdata for f")
print("-"*72)
import math
def f(t):
    return 0.0070*math.exp(-((t-18)**2)/300)
print('Punkter til grafen:')
for tid in [0, 5, 10, 15, 18, 20, 25, 30, 35, 40, 45]:
    print(f't = {tid:2d}, f(t) = {f(tid):.6f}')
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Grafen er klokkeformet med toppunkt \((18,0{,}0070)\).

Del 2 - Oppgave 4d - 9 poengMaksimumspunkt

Oppgave 4d

Oppgave:

Hvilket døgn vil smitten øke raskest ifølge modellen \(f\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Tolk spørsmålet

\(f(t)\) er andelen nye smittede i døgn \(t\). Smitten øker raskest når \(f(t)\) er størst.

Steg 2 — Se på eksponenten

f(t)=0{,}0070e^{-\frac{(t-18)^2}{300}}

Steg 3 — Maksimer eksponenten

Eksponentialfunksjonen er størst når \(-(t-18)^2/300\) er størst, altså når kvadratet er minst.

Steg 4 — Finn tidspunktet

(t-18)^2=0\quad\Rightarrow\quad t=18

Steg 5 — Tolk døgn

Modellen sier at smitten øker raskest rundt døgn 18 etter at utbruddet ble oppdaget.

Steg 6 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å derivere den samlede smitteandelen. Her er \(f\) allerede daglig ny smitte, så vi maksimerer \(f\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Maksimum(0.0070 exp(-(t-18)^2/300))

-> \(t=18\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 4d: maksimum for daglig ny smitte")
print("-"*72)
t = symbols('t', real=True)
f = 0.0070*exp(-((t-18)**2)/300)
fp = diff(f, t)
kritiske = solve(Eq(fp, 0), t)
print('f_derivert =', fp)
print('Kritiske tidspunkt:', kritiske)
for tid in kritiske:
    print('f(', tid, ') =', N(f.subs(t, tid)))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Smitten øker raskest rundt døgn \(18\).

Del 2 - Oppgave 4e - 9 poengIntegral av smittekurve

Oppgave 4e

Oppgave:

Hvor stor andel av befolkningen blir smittet av dette viruset ifølge modellen med tiltak?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, føre regningen ryddig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Tolk total andel

Total andel smittede finnes ved å integrere daglig ny smitte over tid.

Steg 2 — Sett opp integralet

\int_0^{\infty}0{,}0070e^{-\frac{(t-18)^2}{300}}\,dt

Steg 3 — Bruk digitalt verktøy

Integralgrensen \(\infty\) og normalfordelingsformen gjør dette egnet for CAS/numerikk.

Steg 4 — Regn ut integralet

\int_0^{\infty}0{,}0070e^{-\frac{(t-18)^2}{300}}\,dt\approx0{,}1997

Steg 5 — Gjør om til prosent

0{,}1997\approx20{,}0\,\%

Steg 6 — Tolkning

Ifølge modellen med tiltak blir omtrent 20 prosent av befolkningen smittet.

Steg 7 — Vanlig feil

Vanlig feil: Å bruke maksimalverdien \(0{,}0070\) som total smitteandel. Totalen er arealet under kurven.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Integral(0.0070 exp(-(t-18)^2/300), t, 0, infinity)

-> \(0{,}1997\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import *
print("Del 2 Oppgave 4e: total smitteandel")
print("-"*72)
t = symbols('t', real=True)
f = 0.0070*exp(-((t-18)**2)/300)
total = N(integrate(f, (t, 0, oo)))
print('Integral fra 0 til uendelig =', total)
print('Som prosent =', N(100*total))
print("-"*72)
print("Kontroll ferdig.")

Fasit: Omtrent \(0{,}1997\), altså \(20{,}0\,\%\).

Teknisk kontroll før levering

MathJax bruker \( ... \) og \[ ... \].
Python ligger i nøytrale mørke <pre><code>-blokker.
GeoGebra CAS-bokser er visuelt beholdt.
Ingen gull- eller oransjefarger i CSS.

Matematikk S2 eksamen – høst 2021

Matematikk S2 eksamen H21 – løsningsforslag

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 — Deriver ledd for ledd

Steg 2 — Deriver potensleddet

Steg 3 — Deriver eksponentialleddet

Steg 4 — Sett sammen uttrykket

Steg 5 — Tolkning

Steg 6 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 1b

Steg 1 — Kjenn igjen sammensatt funksjon

Steg 2 — Deriver ytre funksjon

Steg 3 — Deriver indre funksjon

Steg 4 — Sett inn i kjerneregelen

Steg 5 — Kontroller definisjonsområdet

Steg 6 — Tolkning

Steg 7 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2a

Steg 1 — Bruk faktorregelen

Steg 2 — Finn hvilken verdi som skal testes

Steg 3 — Regn ut funksjonsverdien

Steg 4 — Forenkle

Steg 5 — Trekk konklusjonen

Steg 6 — Tolkning

Steg 7 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2b

Steg 1 — Skriv divisjonen

Steg 2 — Test roten til divisoren

Steg 3 — Utfør divisjonen

Steg 4 — Kontroller ved utvidelse

Steg 5 — Faktoriser kvotienten

Steg 6 — Tolkning

Steg 7 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2c

Steg 1 — Faktoriser polynomet

Steg 2 — Faktoriser andregradsfaktoren

Steg 3 — Skriv full faktorisering

Steg 4 — Finn nullpunktene

Steg 5 — Lag fortegnslinje

Steg 6 — Velg intervallene der produktet er positivt eller null

Steg 7 — Tolkning

Steg 8 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2d

Steg 1 — Gjør substitusjon

Steg 2 — Skriv likningen som polynom

Steg 3 — Faktoriser polynomet

Steg 4 — Finn mulige u-verdier

Steg 5 — Bruk kravet \(u>0\)

Steg 6 — Gå tilbake til \(x\)

Steg 7 — Tolkning

Steg 8 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 3a

Steg 1 — Bruk sammenhengen mellom sum og ledd

Steg 2 — Finn første ledd

Steg 3 — Finn \(S_{10}\)

Steg 4 — Finn \(S_9\)

Steg 5 — Finn tiende ledd

Steg 6 — Tolkning

Steg 7 — Vanlig feil

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)