S2 eksamenHøst 2020

Matematikk S2 eksamen – høst 2020

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen H20 - komplett løsningsforslag

Alle oppgaver er transkribert på bokmål og løst trinnvis med tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og full Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=2e^x+3\ln x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Deriver eksponentialleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(2e^x\right)=2e^x\]

Konstantfaktoren 2 beholdes.

Steg 2 — Deriver logaritmeleddet

\[\dfrac{d}{dx}\left(3\ln x\right)=\dfrac{3}{x}\]

Her må \(x>0\) fordi logaritmen må være definert.

Steg 3 — Sett sammen

\[f'(x)=2e^x+\dfrac{3}{x}\]

Den deriverte av en sum er summen av de deriverte.

Steg 4 — Kontroller definisjonsmengden

\[D_f=\left(0,\infty\right)\]

Den deriverte gjelder på samme åpne intervall.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Derivert[2 exp(x) + 3 ln(x)]
→ \(2e^x+\dfrac{3}{x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, log, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
f = 2*exp(x) + 3*log(x)
f_derivert = simplify(diff(f, x))
print("Oppgave 1a")
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Definisjonsmengde: x > 0")
Fasit: \(f'(x)=2e^x+\dfrac{3}{x}\)
Del 1 - Oppgave 1bProduktregel og kjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=x\left(2x+5\right)^4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Identifiser faktorene

\[u=x,\qquad v=\left(2x+5\right)^4\]

Vi bruker produktregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

\[u'=1,\qquad v'=4\left(2x+5\right)^3\cdot 2=8\left(2x+5\right)^3\]

Kjerneregelen gir faktoren 2.

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[g'(x)=u'v+uv'\]
\[g'(x)=\left(2x+5\right)^4+8x\left(2x+5\right)^3\]

Begge bidragene må tas med.

Steg 4 — Faktoriser

\[g'(x)=\left(2x+5\right)^3\left(2x+5+8x\right)=5\left(2x+5\right)^3\left(2x+1\right)\]

Faktorisert form er ofte mest oversiktlig.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Derivert[x (2x + 5)^4]
→ \(5\left(2x+5\right)^3\left(2x+1\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, factor, expand
x = symbols('x')
g = x*(2*x + 5)**4
g_derivert = diff(g, x)
print("Oppgave 1b")
print("g(x) =", g)
print("g'(x), utvidet =", expand(g_derivert))
print("g'(x), faktorisert =", factor(g_derivert))
Fasit: \(g'(x)=5\left(2x+5\right)^3\left(2x+1\right)\)
Del 1 - Oppgave 1cKvotient og eksponentialfunksjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{x^2-1}{e^{2x}}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Skriv om funksjonen

\[h(x)=\left(x^2-1\right)e^{-2x}\]

Dette gjør produktregelen enklere enn kvotientregelen.

Steg 2 — Deriver faktorene

\[\dfrac{d}{dx}\left(x^2-1\right)=2x,\qquad \dfrac{d}{dx}e^{-2x}=-2e^{-2x}\]

Eksponentialleddet krever kjerneregel.

Steg 3 — Bruk produktregelen

\[h'(x)=2x e^{-2x}+\left(x^2-1\right)\left(-2e^{-2x}\right)\]

Vi tar med begge produktene.

Steg 4 — Faktoriser og skriv som brøk

\[h'(x)=e^{-2x}\left(2x-2x^2+2\right)=\dfrac{-2x^2+2x+2}{e^{2x}}\]

Dette er en ryddig endelig form.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Derivert[(x^2 - 1)/exp(2x)]
→ \(\dfrac{-2x^2+2x+2}{e^{2x}}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
h = (x**2 - 1)/exp(2*x)
h_derivert = simplify(diff(h, x))
print("Oppgave 1c")
print("h(x) =", h)
print("h'(x) =", h_derivert)
print("Kontrollert ved symbolsk derivasjon.")
Fasit: \(h'(x)=\dfrac{-2x^2+2x+2}{e^{2x}}\)
Del 1 - Oppgave 2Aritmetisk rekke

Oppgave 2

Oppgave:

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme \(-7-3+1+5+\cdots+389\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn første ledd og differanse

\[a_1=-7,\qquad d=4\]

Hvert ledd øker med 4.

Steg 2 — Finn antall ledd

\[-7+\left(n-1\right)4=389\]
\[4\left(n-1\right)=396\quad \Rightarrow \quad n=100\]

Vi må vite antall ledd før vi kan bruke sumformelen.

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Dette er formelen for en endelig aritmetisk rekke.

Steg 4 — Regn ut

\[S_{100}=\dfrac{100\left(-7+389\right)}{2}=19100\]

Summen blir positiv fordi de store positive leddene dominerer.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Sum[Følge[-7 + 4(n - 1), n, 1, 100]]
→ \(19100\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a_n = -7 + 4*(n - 1)
sum_rekke = summation(a_n, (n, 1, 100))
print("Oppgave 2")
print("Leddformel:", a_n)
print("Antall ledd:", 100)
print("Sum:", sum_rekke)
Fasit: \(S_{100}=19100\)
Del 1 - Oppgave 3aUendelig geometrisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

I en uendelig geometrisk rekke er \(a_1=\dfrac{3}{1{,}04}\) og \(k=\dfrac{1}{1{,}04}\). Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sjekk kvotienten

\[k=\dfrac{1}{1{,}04}\approx 0{,}9615\]

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \(\left|k\right|<1\).

Steg 2 — Konkluder om konvergens

\[\left|\dfrac{1}{1{,}04}\right|<1\]

Rekken konvergerer.

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Formelen gjelder bare etter konvergenssjekken.

Steg 4 — Sett inn og forenkle

\[S=\dfrac{\dfrac{3}{1{,}04}}{1-\dfrac{1}{1{,}04}}=\dfrac{\dfrac{3}{1{,}04}}{\dfrac{0{,}04}{1{,}04}}=\dfrac{3}{0{,}04}=75\]

Summen er 75.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
3/1.04/(1 - 1/1.04)
→ \(75\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import Rational, simplify, N
# 1,04 = 104/100 = 26/25
a1 = Rational(3, 1) / Rational(26, 25)
k = Rational(1, 1) / Rational(26, 25)
S = simplify(a1/(1 - k))
print("Oppgave 3a")
print("a1 =", a1, "≈", N(a1))
print("k =", k, "≈", N(k))
print("|k| < 1:", abs(k) < 1)
print("Sum =", S)
Fasit: \(S=75\)
Del 1 - Oppgave 3bFinansmatematikk og nåverdi

Oppgave 3b

Oppgave:

Frode vil gi Benjamin 10 000 kroner hvert år i 20 år framover, første gang om ett år. Rentefoten er 2,0 %. Sett opp en rekke for beløpet Frode må sette inn i dag.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tolk første utbetaling

\[\text{Nåverdi av første utbetaling}=\dfrac{10000}{1{,}02}\]

Første betaling skjer om ett år.

Steg 2 — Tolk betaling nummer n

\[\text{Nåverdi av betaling }n=\dfrac{10000}{1{,}02^n}\]

Betaling nummer \(n\) diskonteres \(n\) år tilbake.

Steg 3 — Sett opp summen

\[\dfrac{10000}{1{,}02}+\dfrac{10000}{1{,}02^2}+\cdots+\dfrac{10000}{1{,}02^{20}}\]

Dette er rekken oppgaven ber om.

Steg 4 — Skriv med summetegn

\[\sum_{n=1}^{20}\dfrac{10000}{1{,}02^n}\]

Skrivemåten viser tydelig alle de 20 utbetalingene.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Sum[10000/1.02^n, n, 1, 20]
→ \(\sum_{n=1}^{20}\dfrac{10000}{1{,}02^n}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, Rational, N
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
rente_faktor = Rational(102, 100)
rekke = summation(Rational(10000, 1)/rente_faktor**n, (n, 1, 20))
print("Oppgave 3b")
print("Rekke: sum(10000/1.02**n for n=1..20)")
print("Nåverdi, hvis vi også regner den ut:", N(rekke, 10))
Fasit: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\dfrac{10000}{1{,}02^n}\)
Del 1 - Oppgave 4aFaktorteoremet

Oppgave 4a

Oppgave:

Et polynom \(P\) er gitt ved \(P(x)=x^3-12x-16\). Begrunn, uten polynomdivisjon, at \(P(x)\) er delelig med \((x+2)\), men ikke med \((x-2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk faktorteoremet

\[P(a)=0\quad \Leftrightarrow \quad \left(x-a\right)\text{ er faktor}\]

For \((x+2)\) tester vi \(x=-2\).

Steg 2 — Test x = -2

\[P(-2)=(-2)^3-12(-2)-16=-8+24-16=0\]

Derfor er \((x+2)\) en faktor.

Steg 3 — Test x = 2

\[P(2)=2^3-12\cdot 2-16=8-24-16=-32\]

Dette er ikke null.

Steg 4 — Konkluder

\[P(x)\text{ er delelig med }(x+2),\text{ men ikke med }(x-2)\]

Dette er en direkte bruk av faktorteoremet.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
P(-2)
→ \(0\)
2
P(2)
→ \(-32\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
P = x**3 - 12*x - 16
print("Oppgave 4a")
print("P(-2) =", P.subs(x, -2))
print("P(2) =", P.subs(x, 2))
print("Faktor x+2: ja")
print("Faktor x-2: nei")
Fasit: \(P(-2)=0\text{ og }P(2)=-32\)
Del 1 - Oppgave 4bForkorting av brøk

Oppgave 4b

Oppgave:

Forkort brøken \(\dfrac{x^3-12x-16}{4x-16}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Faktoriser telleren

\[x^3-12x-16=\left(x+2\right)^2\left(x-4\right)\]

Vi kan kontrollere ved å gange ut.

Steg 2 — Faktoriser nevneren

\[4x-16=4\left(x-4\right)\]

Nevneren er null når \(x=4\).

Steg 3 — Forkort felles faktor

\[\dfrac{\left(x+2\right)^2\left(x-4\right)}{4\left(x-4\right)}=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{4}\]

Faktoren \((x-4)\) kan forkortes for \(x e 4\).

Steg 4 — Oppgi begrensning

\[x\ne 4\]

Den opprinnelige brøken var ikke definert for \(x=4\).

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser[(x^3 - 12x - 16)/(4x - 16)]
→ \(\dfrac{\left(x+2\right)^2}{4}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, cancel
x = symbols('x')
teller = x**3 - 12*x - 16
nevner = 4*x - 16
print("Oppgave 4b")
print("Teller faktorisert:", factor(teller))
print("Nevner faktorisert:", factor(nevner))
print("Forkortet:", cancel(teller/nevner))
print("Begrensning: x != 4")
Fasit: \(\dfrac{\left(x+2\right)^2}{4},\quad x\ne 4\)
Del 1 - Oppgave 5aEkstremalpunkter

Oppgave 5a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3-12x-16\). Bestem koordinatene til toppunktet og bunnpunktet på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f'(x)=3x^2-12=3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\]

Ekstremalpunkter kan ligge der den deriverte er null.

Steg 2 — Finn kritiske punkter

\[f'(x)=0\quad \Rightarrow \quad x=-2\text{ eller }x=2\]

Dette gir to kandidater.

Steg 3 — Klassifiser med andrederivert

\[f''(x)=6x\]
\[f''(-2)=-12<0,\qquad f''(2)=12>0\]

Negativ andrederivert gir toppunkt, positiv gir bunnpunkt.

Steg 4 — Finn y-koordinater

\[f(-2)=0,\qquad f(2)=-32\]

Vi setter x-verdiene inn i funksjonen.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt[x^3 - 12x - 16]
→ \((-2,0),\ (2,-32)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 12*x - 16
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f1, x)
kritiske = solve(f1, x)
print("Oppgave 5a")
print("f'(x) =", f1)
print("f''(x) =", f2)
for verdi in kritiske:
    print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi), "f''(x) =", f2.subs(x, verdi))
Fasit: \(\text{Toppunkt }(-2,0),\quad \text{bunnpunkt }(2,-32)\)
Del 1 - Oppgave 5bVendepunkt og vendetangent

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem koordinatene til vendepunktet og en likning for vendetangenten til grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk andrederivert

\[f''(x)=6x\]

Vendepunkt kan ligge der andrederivert er null.

Steg 2 — Finn x-koordinaten

\[f''(x)=0\quad \Rightarrow \quad 6x=0\quad \Rightarrow \quad x=0\]

Andrederivert skifter fortegn rundt 0.

Steg 3 — Finn punktet

\[f(0)=-16\]

Vendepunktet er \((0,-16)\).

Steg 4 — Finn stigningstallet

\[f'(0)=3\cdot 0^2-12=-12\]

Dette er tangentens stigningstall i vendepunktet.

Steg 5 — Sett opp tangentlikningen

\[y+16=-12\left(x-0\right)\quad \Rightarrow \quad y=-12x-16\]

Dette er vendetangenten.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Vendepunkt[x^3 - 12x - 16]
→ \((0,-16)\)
2
Tangent[0, x^3 - 12x - 16]
→ \(y=-12x-16\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, expand
x = symbols('x')
f = x**3 - 12*x - 16
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f1, x)
xv = solve(f2, x)[0]
yv = f.subs(x, xv)
stigning = f1.subs(x, xv)
tangent = expand(stigning*(x - xv) + yv)
print("Oppgave 5b")
print("Vendepunkt:", (xv, yv))
print("Stigningstall:", stigning)
print("Vendetangent: y =", tangent)
Fasit: \(\text{Vendepunkt }(0,-16),\quad y=-12x-16\)
Del 1 - Oppgave 5cSkisse av graf

Oppgave 5c

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\) sammen med vendetangenten.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk nøkkelpunktene

\[\text{Toppunkt }(-2,0),\quad \text{bunnpunkt }(2,-32),\quad \text{vendepunkt }(0,-16)\]

Disse punktene styrer skissen.

Steg 2 — Tegn vendetangenten

\[y=-12x-16\]

Tangenten går gjennom vendepunktet.

Steg 3 — Bruk endeadferd

\[f(x)=x^3-12x-16\]

Siden ledende ledd er \(x^3\), går grafen ned til venstre og opp til høyre.

Steg 4 — Kontroller nullpunkter for skisse

\[f(x)=\left(x+2\right)^2\left(x-4\right)\]

Grafen tangerer x-aksen ved \(x=-2\) og krysser ved \(x=4\).

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
f(x):=x^3 - 12x - 16
→ \(f(x)=x^3-12x-16\)
2
y=-12x-16
→ \(y=-12x-16\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
f = x**3 - 12*x - 16
tangent = -12*x - 16
print("Oppgave 5c")
print("f(x) =", f)
print("Faktorisert:", factor(f))
print("Vendetangent: y =", tangent)
print("Skissepunkter: toppunkt (-2, 0), bunnpunkt (2, -32), vendepunkt (0, -16)")
Fasit: \(\text{Skissen skal ha toppunkt }(-2,0),\text{ bunnpunkt }(2,-32)\text{ og tangent }y=-12x-16\)
Del 1 - Oppgave 6aEnhetskostnad og grensekostnad

Oppgave 6a

Oppgave:

Kostnaden er \(K(x)=x^2+8x+100\). Bestem et uttrykk for enhetskostnaden og et uttrykk for grensekostnaden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Tolk enhetskostnad

\[E(x)=\dfrac{K(x)}{x}\]

Enhetskostnad er kostnad per produsert enhet.

Steg 2 — Sett inn kostnadsfunksjonen

\[E(x)=\dfrac{x^2+8x+100}{x}=x+8+\dfrac{100}{x}\]

Dette gjelder for \(x>0\).

Steg 3 — Tolk grensekostnad

\[K_m(x)=K'(x)\]

Grensekostnaden er den deriverte av kostnaden.

Steg 4 — Deriver

\[K_m(x)=2x+8\]

Dette anslår kostnadsøkningen ved én ekstra enhet.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
K(x)/x
→ \(x+8+\dfrac{100}{x}\)
2
Derivert[x^2+8x+100]
→ \(2x+8\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
K = x**2 + 8*x + 100
enhetskostnad = simplify(K/x)
grensekostnad = diff(K, x)
print("Oppgave 6a")
print("K(x) =", K)
print("Enhetskostnad E(x) =", enhetskostnad)
print("Grensekostnad K'(x) =", grensekostnad)
Fasit: \(E(x)=x+8+\dfrac{100}{x},\quad K_m(x)=2x+8\)
Del 1 - Oppgave 6bMinimering

Oppgave 6b

Oppgave:

Bestem den minste enhetskostnaden. Hva er produksjonsmengden da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Start med enhetskostnaden

\[E(x)=x+8+\dfrac{100}{x},\qquad x>0\]

Vi skal minimere denne funksjonen.

Steg 2 — Deriver

\[E'(x)=1-\dfrac{100}{x^2}\]

Kritiske punkter finner vi ved \(E'(x)=0\).

Steg 3 — Løs likningen

\[1-\dfrac{100}{x^2}=0\quad \Rightarrow \quad x^2=100\quad \Rightarrow \quad x=10\]

Vi bruker \(x>0\), derfor forkastes \(-10\).

Steg 4 — Regn minste verdi

\[E(10)=10+8+\dfrac{100}{10}=28\]

Den minste enhetskostnaden er 28 kroner.

Steg 5 — Kontroller minimum

\[E''(x)=\dfrac{200}{x^3}>0\text{ for }x>0\]

Dermed er punktet et minimum.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Minimer[x + 8 + 100/x, x > 0]
→ \(x=10,\ E=28\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, simplify
x = symbols('x', positive=True)
E = x + 8 + 100/x
E1 = diff(E, x)
kritisk = solve(E1, x)[0]
min_verdi = simplify(E.subs(x, kritisk))
print("Oppgave 6b")
print("E(x) =", E)
print("E'(x) =", E1)
print("Kritisk produksjonsmengde:", kritisk)
print("Minste enhetskostnad:", min_verdi)
Fasit: \(\text{Minste enhetskostnad er }28\text{ kroner ved }x=10\)
Del 1 - Oppgave 7aForventningsverdi og standardavvik

Oppgave 7a

Oppgave:

La \(X\) være antall tomatfrø i en pose. Fordelingen er \(P(X=6)=0{,}1\), \(P(X=7)=0{,}1\), \(P(X=8)=0{,}6\), \(P(X=9)=0{,}1\), \(P(X=10)=0{,}1\). Bestem \(E(X)\) og vis at \(SD(X)=1\). Hva forteller \(E(X)\) oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Regn forventningsverdi

\[E(X)=6\cdot 0{,}1+7\cdot 0{,}1+8\cdot 0{,}6+9\cdot 0{,}1+10\cdot 0{,}1=8\]

Forventningsverdien er vektet gjennomsnitt.

Steg 2 — Regn varians

\[Var(X)=\sum \left(k-8\right)^2P(X=k)\]

Vi må bruke avvik fra forventningsverdien.

Steg 3 — Sett inn verdiene

\[Var(X)=4\cdot 0{,}1+1\cdot 0{,}1+0\cdot 0{,}6+1\cdot 0{,}1+4\cdot 0{,}1=1\]

Variansen blir 1.

Steg 4 — Finn standardavvik

\[SD(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{1}=1\]

Standardavviket måles i frø.

Steg 5 — Tolk forventningsverdien

\[E(X)=8\]

På lang sikt vil gjennomsnittet være omtrent 8 frø per pose.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Sum[k P(k)]
→ \(8\)
2
sqrt(Sum[(k-8)^2 P(k)])
→ \(1\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import sqrt
verdier = [6, 7, 8, 9, 10]
sannsynligheter = [0.1, 0.1, 0.6, 0.1, 0.1]
forventning = sum(k*p for k, p in zip(verdier, sannsynligheter))
varians = sum((k - forventning)**2*p for k, p in zip(verdier, sannsynligheter))
standardavvik = sqrt(varians)
print("Oppgave 7a")
print("E(X) =", forventning)
print("Var(X) =", varians)
print("SD(X) =", standardavvik)
print("Tolkning: gjennomsnittlig antall frø per pose er 8 over lang tid.")
Fasit: \(E(X)=8,\quad SD(X)=1\)
Del 1 - Oppgave 7bSentralgrenseteoremet

Oppgave 7b

Oppgave:

Eline kjøper 49 uavhengige frøposer. Det totale antallet frø er \(S=X_1+X_2+\cdots+X_{49}\). Begrunn at \(S\) er tilnærmet normalfordelt. Vis at \(E(S)=392\) og \(SD(S)=7{,}0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bruk uavhengighet

\[X_1,X_2,\ldots,X_{49}\text{ er uavhengige og likt fordelte}\]

Summen av mange uavhengige variabler kan tilnærmes normalfordeling.

Steg 2 — Begrunn normaltilnærming

\[S\approx N\left(\mu_S,\sigma_S\right)\]

Dette følger av sentralgrenseteoremet.

Steg 3 — Regn forventning

\[E(S)=49\cdot E(X)=49\cdot 8=392\]

Forventninger summeres.

Steg 4 — Regn varians og standardavvik

\[Var(S)=49\cdot Var(X)=49\cdot 1=49\]
\[SD(S)=\sqrt{49}=7{,}0\]

Standardavviket skaleres med kvadratroten av antall poser.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Normal[392, 7]
→ \(S\approx N\left(392,7\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import sqrt
n = 49
E_X = 8
SD_X = 1
E_S = n*E_X
Var_S = n*SD_X**2
SD_S = sqrt(Var_S)
print("Oppgave 7b")
print("Antall poser:", n)
print("E(S) =", E_S)
print("Var(S) =", Var_S)
print("SD(S) =", SD_S)
print("Normaltilnærming: S er omtrent normalfordelt.")
Fasit: \(S\approx N\left(392,7{,}0\right)\)
Del 1 - Oppgave 7cNormalfordeling

Oppgave 7c

Oppgave:

Eline har plass til 400 potter. Bestem sannsynligheten for at Eline får nok frø til alle pottene sine.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Formuler hendelsen

\[P(S\ge 400)\]

Hun trenger minst 400 frø.

Steg 2 — Bruk normaltilnærmingen

\[S\approx N\left(392,7\right)\]

Fra del b har vi forventning 392 og standardavvik 7.

Steg 3 — Bruk kontinuitetskorreksjon

\[P(S\ge 400)\approx P(S>399{,}5)\]

Siden \(S\) er heltallig, gir dette en bedre tilnærming.

Steg 4 — Standardiser

\[z=\dfrac{399{,}5-392}{7}\approx 1{,}071\]

Vi oversetter til standard normalfordeling.

Steg 5 — Finn sannsynligheten

\[P(S\ge 400)\approx 1-\Phi\left(1{,}071\right)\approx 0{,}142\]

Sannsynligheten er omtrent 14 %. Uten kontinuitetskorreksjon får man omtrent 0,127.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
1 - NormalFordeling(392, 7, 399.5)
→ \(0{,}142\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 392
sigma = 7
grense_med_korreksjon = 399.5
z = (grense_med_korreksjon - mu)/sigma
Phi = 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
sannsynlighet = 1 - Phi
print("Oppgave 7c")
print("Normaltilnærming: S ~ N(392, 7)")
print("Kontinuitetskorreksjon: P(S >= 400) ≈ P(S > 399.5)")
print("z-verdi =", z)
print("Sannsynlighet =", sannsynlighet)
Fasit: \(P(S\ge 400)\approx 0{,}142\)
Del 1 - Oppgave 8aDefinisjonsmengde

Oppgave 8a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=\ln\left(x^2-2x\right)\). Bestem definisjonsmengden til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Logaritmekravet

\[x^2-2x>0\]

Uttrykket inni logaritmen må være positivt.

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-2x=x\left(x-2\right)\]

Dette gjør fortegnsanalysen enkel.

Steg 3 — Løs ulikheten

\[x\left(x-2\right)>0\]

Produktet er positivt når begge faktorer har samme fortegn.

Steg 4 — Oppgi intervaller

\[D_f=\left(-\infty,0\right)\cup\left(2,\infty\right)\]

Endepunktene er ikke med fordi argumentet da er null.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs[x^2 - 2x > 0]
→ \(x<0\ \lor\ x>2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
uttrykk = x**2 - 2*x
losning = solve_univariate_inequality(uttrykk > 0, x)
print("Oppgave 8a")
print("Krav: x**2 - 2*x > 0")
print("Definisjonsmengde:", losning)
Fasit: \(D_f=\left(-\infty,0\right)\cup\left(2,\infty\right)\)
Del 1 - Oppgave 8bDerivasjon og krumming

Oppgave 8b

Oppgave:

Bruk derivasjon til å vise at \(f\) verken har ekstremalpunkter eller vendepunkter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Deriver første gang

\[f'(x)=\dfrac{2x-2}{x^2-2x}=\dfrac{2\left(x-1\right)}{x\left(x-2\right)}\]

Ekstremalpunkter krever vanligvis \(f'(x)=0\) inne i definisjonsmengden.

Steg 2 — Undersøk f prime lik null

\[f'(x)=0\quad \Rightarrow \quad x=1\]

Men \(x=1\) ligger ikke i definisjonsmengden. Derfor finnes ingen ekstremalpunkter.

Steg 3 — Deriver andre gang

\[f''(x)=\dfrac{-2\left(\left(x-1\right)^2+1\right)}{x^2\left(x-2\right)^2}\]

Telleren er alltid negativ, og nevneren er positiv i definisjonsmengden.

Steg 4 — Vurder fortegn

\[f''(x)<0\text{ for alle }x\in D_f\]

Krummingen skifter ikke fortegn.

Steg 5 — Konkluder

\[\text{Ingen ekstremalpunkter og ingen vendepunkter}\]

Det finnes verken stasjonære punkter eller krumningsskifte.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Derivert[ln(x^2 - 2x)]
→ \(\dfrac{2x-2}{x^2-2x}\)
2
Derivert[ln(x^2 - 2x), 2]
→ \(\dfrac{-2\left(\left(x-1\right)^2+1\right)}{x^2\left(x-2\right)^2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, simplify, solve
x = symbols('x', real=True)
f = log(x**2 - 2*x)
f1 = simplify(diff(f, x))
f2 = simplify(diff(f1, x))
stasjonaere = solve(f1, x)
print("Oppgave 8b")
print("f'(x) =", f1)
print("Løsninger av f'(x)=0:", stasjonaere)
print("x=1 ligger ikke i definisjonsmengden.")
print("f''(x) =", f2)
print("f''(x) er negativ på begge intervallene i definisjonsmengden.")
Fasit: \(\text{Ingen ekstremalpunkter og ingen vendepunkter}\)
Del 2 - Oppgave 1aEksponentiell modell

Oppgave 1a

Oppgave:

Inntektene \(I\) til Netflix er tilnærmet gitt ved \(I(x)=6{,}594\cdot e^{0{,}234x}\), der \(x\) er antall år etter 2005. Bruk funksjonen til å lage en grafisk framstilling for årene 2005 til 2030.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Bestem intervallet

\[2005\le \text{år}\le 2030\quad \Rightarrow \quad 0\le x\le 25\]

Siden \(x=0\) svarer til 2005.

Steg 2 — Skriv grafkommando

\[I(x)=6{,}594e^{0{,}234x},\quad 0\le x\le 25\]

Dette er funksjonen som tegnes.

Steg 3 — Tolk aksene

\[x=\text{år etter 2005},\qquad I(x)=\text{milliarder kroner}\]

Grafen er sterkt voksende fordi eksponenten er positiv.

Steg 4 — Bruk noen kontrollpunkter

\[I(0)=6{,}594,\qquad I(25)\approx 2291\]

Dette gir riktig skala på grafen.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Funksjon[6.594 exp(0.234x), 0, 25]
→ \(I(x)=6{,}594e^{0{,}234x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, N
x = symbols('x')
I = 6.594*exp(0.234*x)
print("Oppgave 1a, Del 2")
print("Modell: I(x) =", I)
print("Intervall: 0 <= x <= 25")
print("I(0) =", N(I.subs(x, 0), 8))
print("I(25) =", N(I.subs(x, 25), 8))
print("Graf: tegn I(x) for x fra 0 til 25.")
Fasit: \(\text{Grafen tegnes for }0\le x\le 25\)

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1bVekstfart

Oppgave 1b

Oppgave:

I hvilket år vil inntektene første gang øke med mer enn 160 milliarder kroner per år?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Deriver modellen

\[I'(x)=6{,}594\cdot 0{,}234e^{0{,}234x}\]

Den deriverte måler økning i milliarder kroner per år.

Steg 2 — Sett opp ulikheten

\[I'(x)>160\]

Vi skal finne når vekstfarten passerer 160.

Steg 3 — Løs grensen

\[6{,}594\cdot 0{,}234e^{0{,}234x}=160\]
\[x\approx 19{,}84\]

Dette er antall år etter 2005.

Steg 4 — Oversett til årstall

\[2005+19{,}84\approx 2024{,}84\]

Modellen passerer grensen mot slutten av 2024. Første hele år etter passeringen er 2025.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs[Derivert[6.594 exp(0.234x)] = 160]
→ \(x\approx 19{,}84\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, solve, log, N
x = symbols('x')
I = 6.594*exp(0.234*x)
I_derivert = diff(I, x)
losning = solve(I_derivert - 160, x)[0]
aarstall = 2005 + losning
print("Oppgave 1b, Del 2")
print("I'(x) =", I_derivert)
print("Løsning x =", N(losning, 8))
print("Årstall =", N(aarstall, 8))
print("Tolkning: passering sent i 2024, første hele år 2025.")
Fasit: \(\text{Mot slutten av 2024, altså første hele år }2025\)
Del 2 - Oppgave 1cBestemt integral

Oppgave 1c

Oppgave:

Bestem \(\int_0^{15} I(x)\,dx\). Gi en praktisk tolkning av dette tallet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett inn funksjonen

\[\int_0^{15}6{,}594e^{0{,}234x}\,dx\]

Integralet summerer inntektsmodellen over tid.

Steg 2 — Finn antiderivert

\[\int 6{,}594e^{0{,}234x}\,dx=\dfrac{6{,}594}{0{,}234}e^{0{,}234x}+C\]

Vi deler på vekstfaktoren i eksponenten.

Steg 3 — Sett inn grensene

\[\left[\dfrac{6{,}594}{0{,}234}e^{0{,}234x}\right]_0^{15}\]

Dette gir totalen fra \(x=0\) til \(x=15\).

Steg 4 — Regn verdien

\[\int_0^{15}I(x)\,dx\approx 914{,}4\]

Enheten er omtrent milliarder kroner samlet over perioden.

Steg 5 — Tolk

\[\text{Omtrent }914\text{ milliarder kroner}\]

Dette er modellens anslag for samlet inntekt fra 2005 og 15 år framover.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Integral[6.594 exp(0.234x), 0, 15]
→ \(914{,}4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, integrate, N
x = symbols('x')
I = 6.594*exp(0.234*x)
integral = integrate(I, (x, 0, 15))
print("Oppgave 1c, Del 2")
print("Integral =", integral)
print("Numerisk verdi =", N(integral, 10))
print("Tolkning: samlet modellert inntekt i milliarder kroner.")
Fasit: \(\int_0^{15}I(x)\,dx\approx 914{,}4\)
Del 2 - Oppgave 2aEksponentiell etterspørsel

Oppgave 2a

Oppgave:

Etterspørselen er \(q(p)=1400e^{-0{,}024p}\), \(p\in\left[10,100\right]\). Bestem prisen når etterspørselen er 500 enheter per uke.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[1400e^{-0{,}024p}=500\]

Vi setter modellen lik ønsket etterspørsel.

Steg 2 — Isoler eksponentialleddet

\[e^{-0{,}024p}=\dfrac{500}{1400}\]

Deretter tar vi naturlig logaritme.

Steg 3 — Løs med logaritme

\[-0{,}024p=\ln\left(\dfrac{500}{1400}\right)\]
\[p=\dfrac{\ln\left(1400/500\right)}{0{,}024}\approx 42{,}9\]

Prisen ligger innenfor modellintervallet.

Steg 4 — Tolk

\[p\approx 43\]

Prisen bør være omtrent 43 kroner per enhet.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs[1400 exp(-0.024p)=500, p]
→ \(42{,}9\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, solve, N
p = symbols('p')
q = 1400*exp(-0.024*p)
losning = solve(q - 500, p)[0]
print("Oppgave 2a, Del 2")
print("Likning: 1400*exp(-0.024*p) = 500")
print("Pris p =", N(losning, 8))
print("Kontroll q(p) =", N(q.subs(p, losning), 8))
Fasit: \(p\approx 42{,}9\text{ kroner}\)
Del 2 - Oppgave 2bRelativ endring

Oppgave 2b

Oppgave:

Maria påstår at dersom prisen økes med 1 krone, vil etterspørselen gå ned med 2,4 %, uavhengig av startprisen. Avgjør om påstanden stemmer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sammenlign q(p+1) og q(p)

\[\dfrac{q(p+1)}{q(p)}=\dfrac{1400e^{-0{,}024(p+1)}}{1400e^{-0{,}024p}}\]

Dette måler relativ endring ved én krone prisøkning.

Steg 2 — Forenkle

\[\dfrac{q(p+1)}{q(p)}=e^{-0{,}024}\approx 0{,}9763\]

Forholdet er uavhengig av \(p\).

Steg 3 — Finn prosentvis nedgang

\[1-0{,}9763\approx 0{,}0237=2{,}37\%\]

Dette er svært nær 2,4 %.

Steg 4 — Konkluder

\[\text{Påstanden stemmer tilnærmet}\]

Mer presist er nedgangen omtrent 2,37 % for hver krone.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
q(p+1)/q(p)
→ \(e^{-0{,}024}\approx 0{,}9763\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import exp
forhold = exp(-0.024)
nedgang = 1 - forhold
print("Oppgave 2b, Del 2")
print("q(p+1)/q(p) =", forhold)
print("Relativ nedgang =", nedgang)
print("Relativ nedgang i prosent =", 100*nedgang)
print("Konklusjon: omtrent 2.4 prosent og uavhengig av p.")
Fasit: \(\text{Ja, omtrent. Nedgangen er }2{,}37\%\approx 2{,}4\%\)
Del 2 - Oppgave 2cDobling av etterspørsel

Oppgave 2c

Oppgave:

Hvor mange kroner må prisen per enhet settes ned for at etterspørselen skal dobles?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — La prisnedgangen være d

\[q(p-d)=2q(p)\]

Vi leter etter antall kroner prisen må ned.

Steg 2 — Sett inn modellen

\[1400e^{-0{,}024(p-d)}=2\cdot 1400e^{-0{,}024p}\]

Konstanten og startprisen vil forkortes.

Steg 3 — Forenkle

\[e^{0{,}024d}=2\]

Dette viser at svaret er uavhengig av startprisen.

Steg 4 — Løs for d

\[0{,}024d=\ln 2\quad \Rightarrow \quad d=\dfrac{\ln 2}{0{,}024}\approx 28{,}9\]

Prisen må settes ned omtrent 29 kroner.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs[exp(0.024 d)=2, d]
→ \(28{,}9\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, N
d = symbols('d')
prisnedgang = log(2)/0.024
print("Oppgave 2c, Del 2")
print("Likning: exp(0.024*d) = 2")
print("d = ln(2)/0.024")
print("Prisnedgang =", N(prisnedgang, 8), "kroner")
Fasit: \(\text{Prisen må settes ned med omtrent }28{,}9\text{ kroner}\)
Del 2 - Oppgave 3aNormalfordeling

Oppgave 3a

Oppgave:

Levetiden \(X\) er normalfordelt med \(\mu=12\) år og \(\sigma=1{,}5\) år. Vis at sannsynligheten for levetid kortere enn 10 år er \(p\approx 0{,}0912\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Standardiser

\[z=\dfrac{10-12}{1{,}5}=\dfrac{-2}{1{,}5}\approx -1{,}333\]

Vi oversetter til standard normalfordeling.

Steg 2 — Bruk normalfordelingen

\[P(X<10)=P(Z<-1{,}333)\]

Dette leses fra tabell eller beregnes digitalt.

Steg 3 — Finn sannsynligheten

\[P(Z<-1{,}333)\approx 0{,}0912\]

Det betyr at omtrent 9,12 % har levetid under 10 år.

Steg 4 — Konkluder

\[p\approx 0{,}0912\]

Dette stemmer med verdien oppgaven ber om.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
NormalCDF[-infinity, 10, 12, 1.5]
→ \(0{,}0912\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 12
sigma = 1.5
grense = 10
z = (grense - mu)/sigma
p = 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
print("Oppgave 3a, Del 2")
print("z =", z)
print("P(X < 10) =", p)
print("Avrundet:", round(p, 4))
Fasit: \(p\approx 0{,}0912\)
Del 2 - Oppgave 3bBinomisk fordeling

Oppgave 3b

Oppgave:

I en kvalitetskontroll velges 225 følere. La \(Y\) være antall med levetid kortere enn 10 år. Gå ut fra at \(Y\) er binomisk fordelt. Bestem \(P(Y\ge 21)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett parameterne

\[Y\sim Bin\left(225,0{,}0912\right)\]

Sannsynligheten for «kortere enn 10 år» er fra del a.

Steg 2 — Skriv sannsynligheten

\[P(Y\ge 21)=1-P(Y\le 20)\]

Dette er enklest å beregne digitalt.

Steg 3 — Bruk binomisk sum

\[P(Y\ge 21)=\sum_{k=21}^{225}\binom{225}{k}0{,}0912^k\left(1-0{,}0912\right)^{225-k}\]

Dette er den eksakte binomiske beregningen.

Steg 4 — Regn ut

\[P(Y\ge 21)\approx 0{,}489\]

Sannsynligheten er omtrent 49 %.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
1 - BinomialFordeling(225, 0.0912, 20)
→ \(0{,}489\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import comb
n = 225
p = 0.0912
sannsynlighet = sum(comb(n, k)*p**k*(1 - p)**(n - k) for k in range(21, n + 1))
print("Oppgave 3b, Del 2")
print("Y ~ Bin(225, 0.0912)")
print("P(Y >= 21) =", sannsynlighet)
print("Avrundet:", round(sannsynlighet, 3))
Fasit: \(P(Y\ge 21)\approx 0{,}489\)
Del 2 - Oppgave 3cHypotesetest

Oppgave 3c

Oppgave:

Produsenten mistenker at levetiden er kortere enn oppgitt. Sett opp en hypotesetest som kan brukes.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Velg parameter

\[\mu=\text{forventet levetid}\]

Mistanken gjelder gjennomsnittlig levetid.

Steg 2 — Nullhypotese

\[H_0:\ \mu=12\]

Nullhypotesen er produsentens oppgitte verdi.

Steg 3 — Alternativ hypotese

\[H_1:\ \mu<12\]

Mistanken er at levetiden er kortere. Dette gir venstresidig test.

Steg 4 — Testobservator

\[Z=\dfrac{\overline{X}-12}{1{,}5/\sqrt{225}}\]

Vi bruker kjent standardavvik og stort utvalg.

Steg 5 — Signifikansnivå

\[\alpha=0{,}05\]

Forkastningsområdet ligger i venstre hale.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
H0: mu = 12, H1: mu < 12
→ \(Z=\dfrac{\overline{X}-12}{1{,}5/\sqrt{225}}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, sqrt
xbar = symbols('xbar')
mu0 = 12
sigma = 1.5
n = 225
Z = (xbar - mu0)/(sigma/sqrt(n))
print("Oppgave 3c, Del 2")
print("H0: mu = 12")
print("H1: mu < 12")
print("Testobservator Z =", Z)
print("Signifikansnivå: 0.05")
Fasit: \(H_0:\mu=12,\quad H_1:\mu<12\)
Del 2 - Oppgave 3dUtføre hypotesetest

Oppgave 3d

Oppgave:

I kvalitetskontrollen var gjennomsnittlig levetid \(\overline{x}=11{,}78\) år. Utfør testen med signifikansnivå 5 %.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Sett inn i testobservatoren

\[z=\dfrac{11{,}78-12}{1{,}5/\sqrt{225}}\]

Her er \(\sqrt{225}=15\).

Steg 2 — Regn z-verdien

\[z=\dfrac{-0{,}22}{0{,}1}=-2{,}20\]

Dette er 2,20 standardfeil under nullhypotesen.

Steg 3 — Finn kritisk verdi

\[z_{0{,}05}\approx -1{,}645\]

Venstresidig test med 5 % signifikansnivå.

Steg 4 — Sammenlign

\[-2{,}20<-1{,}645\]

Testobservatoren ligger i forkastningsområdet.

Steg 5 — Konkluder

\[\text{Forkast }H_0\]

Det er grunnlag for mistanken om kortere levetid. P-verdien er omtrent 0,014.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
NormalCDF[-infinity, -2.20, 0, 1]
→ \(0{,}014\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
xbar = 11.78
mu0 = 12
sigma = 1.5
n = 225
standardfeil = sigma/sqrt(n)
z = (xbar - mu0)/standardfeil
p_verdi = 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
print("Oppgave 3d, Del 2")
print("Standardfeil =", standardfeil)
print("z =", z)
print("p-verdi =", p_verdi)
print("Konklusjon ved 5 prosent: forkast H0")
Fasit: \(\text{Forkast }H_0.\text{ Det er grunnlag for mistanken.}\)
Del 2 - Oppgave 4aGeometrisk rekke i medisin

Oppgave 4a

Oppgave:

Marit tar daglig én tablett med 20 mg virkestoff. I løpet av ett døgn bryter kroppen ned 25 %. Vis at hun har i underkant av 80 mg like etter daglig tablett.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn restfaktoren

\[k=1-0{,}25=0{,}75\]

Etter ett døgn er 75 % igjen.

Steg 2 — Sett opp mengden etter lang tid

\[20+20\cdot 0{,}75+20\cdot 0{,}75^2+\cdots\]

Like etter tabletten summeres bidrag fra alle tidligere tabletter.

Steg 3 — Bruk uendelig geometrisk rekke

\[S=\dfrac{20}{1-0{,}75}=80\]

Dette er grenseverdien.

Steg 4 — Forklar «i underkant»

\[S_n<80\text{ for alle endelige }n\]

Hun har tatt medisiner i mange år, men ikke uendelig lenge. Derfor er mengden like under 80 mg.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
20/(1 - 0.75)
→ \(80\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, Rational, oo, N
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
dose = Rational(20, 1)
k = Rational(75, 100)
grenseverdi = summation(dose*k**n, (n, 0, oo))
print("Oppgave 4a, Del 2")
print("Restfaktor:", k)
print("Uendelig sum:", grenseverdi)
print("Numerisk:", N(grenseverdi))
print("Etter endelig tid er mengden litt mindre enn grenseverdien.")
Fasit: \(\text{I underkant av }80\text{ mg}\)
Del 2 - Oppgave 4bMaksimal dose

Oppgave 4b

Oppgave:

Marit tåler ikke mer enn 60 mg. Hvor mye virkestoff kan det være i hver tablett for at hun skal unngå å få mer enn 60 mg?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — La dose være D

\[D+D\cdot 0{,}75+D\cdot 0{,}75^2+\cdots\]

Den daglige dosen er ukjent.

Steg 2 — Finn grenseverdien

\[S=\dfrac{D}{1-0{,}75}=4D\]

Dette er maksimal mengde etter lang tid.

Steg 3 — Krev at mengden ikke overstiger 60 mg

\[4D\le 60\]

Dette er toleransekravet.

Steg 4 — Løs ulikheten

\[D\le 15\]

Tabletten kan inneholde høyst 15 mg virkestoff.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
Løs[D/(1 - 0.75) <= 60, D]
→ \(D\le 15\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
D = symbols('D', positive=True)
ulikhet = D/(1 - 0.75) <= 60
losning = solve_univariate_inequality(ulikhet, D)
print("Oppgave 4b, Del 2")
print("Grenseverdi = D/(1 - 0.75) = 4D")
print("Krav: 4D <= 60")
print("Løsning:", losning)
Fasit: \(\text{Høyst }15\text{ mg per tablett}\)
Del 2 - Oppgave 4cHalveringstid og geometrisk rekke

Oppgave 4c

Oppgave:

Et annet virkestoff har halveringstid 66 timer. En bruker tar én tablett med 10 mg hver dag over lang tid. Hvor mye virkestoff har brukeren i kroppen like etter daglig tablett?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette opplysningene til matematikk, regne trinnvis, tolke resultatet og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 — Finn døgnfaktoren

\[k=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{24/66}\]

Et døgn er 24 timer av halveringstiden 66 timer.

Steg 2 — Sett opp rekken

\[10+10k+10k^2+\cdots\]

Dette er mengden like etter tabletten etter lang tid.

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[S=\dfrac{10}{1-k}=\dfrac{10}{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{24/66}}\]

Siden \(0

Steg 4 — Regn ut

\[k\approx 0{,}7772,\qquad S\approx 44{,}9\]

Brukeren har omtrent 44,9 mg i kroppen like etter tabletten.

Tolkning

Resultatet er skrevet slik at både metode, mellomregning og endelig svar kan kontrolleres.

Vanlig feil: Å hoppe over definisjonsmengde, fortegn, enhet eller digital kontroll kan gi feil selv om hovedmetoden er riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS
1
10/(1 - (1/2)^(24/66))
→ \(44{,}9\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import pow
halveringstid_timer = 66
tid_mellom_doser = 24
dose = 10
k = pow(0.5, tid_mellom_doser/halveringstid_timer)
mengde = dose/(1 - k)
print("Oppgave 4c, Del 2")
print("Døgnfaktor k =", k)
print("Mengde like etter daglig tablett = dose/(1-k)")
print("Mengde =", mengde, "mg")
print("Avrundet =", round(mengde, 1), "mg")
Fasit: \(\text{Omtrent }44{,}9\text{ mg}\)

Kontroll før levering