ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen H19 - løsningsforslag

Komplett bokmålsversjon med Del 1 og Del 2. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll, Python-kontroll og fasit.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=\dfrac{1}{2}\ln x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Identifiser funksjonstypen

f(x)=\dfrac{1}{2}\ln x

Dette er en konstant multiplisert med en logaritme.

Steg 2 - Bruk logaritmeregelen

\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}

Regelen gjelder for positive x-verdier.

Steg 3 - Ta med konstantfaktoren

f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x}

Konstanten blir stående ved derivasjon.

Steg 4 - Forenkle

f'(x)=\dfrac{1}{2x}

Dette er enkleste form.

Steg 5 - Oppgi definisjonsmengde

\[x>0\]

Logaritmen krever positivt argument.

Steg 6 - Kontroller et punkt

f'(2)=\dfrac{1}{4}

Et innsettingspunkt gir en rask kontroll.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Derivert[1/2 ln(x)]

→ \(\dfrac{1}{2x}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, simplify
x = symbols('x', positive=True)
f = log(x)/2
f_derivert = simplify(diff(f, x))
print("Oppgave 1a")
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Kontroll f'(2) =", f_derivert.subs(x, 2))

Fasit: \(f'(x)=\dfrac{1}{2x}, \text{for }x>0\)

Del 1 - Oppgave 1bProduktregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=3x e^{2x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Se produktet

g(x)=3x e^{2x}

Funksjonen er et produkt av 3x og en eksponentialfunksjon.

Steg 2 - Deriver første faktor

\[(3x)'=3\]

Den deriverte av 3x er 3.

Steg 3 - Deriver andre faktor

\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}

Kjerneregelen gir faktor 2.

Steg 4 - Bruk produktregelen

g'(x)=3e^{2x}+3x\cdot2e^{2x}

Vi bruker produktregelen på de to faktorene.

Steg 5 - Faktoriser

g'(x)=3e^{2x}\left(1+2x\right)

Faktorisert form er ryddigst.

Steg 6 - Kontroller ved x lik null

\[g'(0)=3\]

Dette er en enkel rimelighetskontroll.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Derivert[3x exp(2x)]

→ \(3e^{2x}\left(1+2x\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, factor
x = symbols('x')
g = 3*x*exp(2*x)
g_derivert = factor(diff(g, x))
print("Oppgave 1b")
print("g(x) =", g)
print("g'(x) faktorisert =", g_derivert)
print("Kontroll g'(0) =", g_derivert.subs(x, 0))

Fasit: \(g'(x)=3e^{2x}\left(1+2x\right)\)

Del 1 - Oppgave 1cKvotientregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{x^2+1}{x-3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Sett teller og nevner

u=x^2+1,\qquad v=x-3

Vi bruker kvotientregelen.

Steg 2 - Deriver teller og nevner

u'=2x,\qquad v'=1

Disse uttrykkene trengs i regelen.

Steg 3 - Bruk kvotientregelen

h'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Nevneren skal kvadreres.

Steg 4 - Sett inn

h'(x)=\dfrac{2x\left(x-3\right)-\left(x^2+1\right)}{\left(x-3\right)^2}

Parenteser er viktige i telleren.

Steg 5 - Forenkle telleren

\[2x^2-6x-x^2-1=x^2-6x-1\]

Da får vi en samlet teller.

Steg 6 - Oppgi begrensning

\[x e 3\]

Nevneren i den opprinnelige funksjonen kan ikke være null.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Derivert[(x^2+1)/(x-3)]

→ \(\dfrac{x^2-6x-1}{\left(x-3\right)^2}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x')
h = (x**2 + 1)/(x - 3)
h_derivert = simplify(diff(h, x))
print("Oppgave 1c")
print("h(x) =", h)
print("h'(x) =", h_derivert)
print("Definisjonsmengde: x != 3")

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{x^2-6x-1}{\left(x-3\right)^2},\quad x e 3\)

Del 1 - Oppgave 2aAritmetisk rekke

Oppgave 2a

Oppgave:

I en aritmetisk rekke er \(a_1=-8\) og \(a_4=7\). Bestem en formel for \(a_n\) uttrykt ved \(n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Bruk leddformelen

a_n=a_1+\left(n-1\right)d

Dette er formelen for aritmetiske rekker.

Steg 2 - Sett inn fjerde ledd

\[a_4=-8+3d=7\]

Fra første til fjerde ledd er det tre differanser.

Steg 3 - Løs for differansen

3d=15\quad \Rightarrow\quad d=5

Differansen er fast.

Steg 4 - Sett inn i formelen

a_n=-8+5\left(n-1\right)

Dette gir leddformelen.

Steg 5 - Forenkle

\[a_n=5n-13\]

Dette er en enkel eksplisitt formel.

Steg 6 - Kontroller

a_4=5\cdot4-13=7

Formelen gir riktig fjerde ledd.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[-8+3d=7,d]

→ \(d=5\)

a(n):=-8+5(n-1)

→ \(a_n=5n-13\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
n, d = symbols('n d')
a1 = -8
likning = Eq(a1 + 3*d, 7)
d_verdi = solve(likning, d)[0]
an = simplify(a1 + (n - 1)*d_verdi)
print("Oppgave 2a")
print("d =", d_verdi)
print("a_n =", an)
print("Kontroll a_4 =", an.subs(n, 4))

Fasit: \(a_n=5n-13\)

Del 1 - Oppgave 2bAritmetisk sum

Oppgave 2b

Oppgave:

Vis at \(a_{40}=187\), og bestem summen av de 40 første leddene i rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Bruk formelen

\[a_n=5n-13\]

Vi setter inn n lik 40.

Steg 2 - Finn ledd nummer 40

a_{40}=5\cdot40-13=187

Dette viser påstanden.

Steg 3 - Velg sumformel

S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Steg 4 - Sett inn

S_{40}=\dfrac{40\left(-8+187\right)}{2}

Første og siste ledd er kjent.

Steg 5 - Regn ut

S_{40}=20\cdot179=3580

Dette er summen av 40 ledd.

Steg 6 - Kontroller med sigma

\sum_{n=1}^{40}\left(5n-13\right)=3580

Summasjonskontrollen gir samme tall.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Sum[5n-13,n,1,40]

→ \(3580\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
an = 5*n - 13
a40 = an.subs(n, 40)
S40 = summation(an, (n, 1, 40))
print("Oppgave 2b")
print("a_40 =", a40)
print("S_40 =", S40)
print("Kontroll med sumformel =", 40*(-8 + a40)/2)

Fasit: \(a_{40}=187\quad \text{og}\quad S_{40}=3580\)

Del 1 - Oppgave 3aUendelig geometrisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved \(6-3+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{8}+\cdots\). Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Finn første ledd

\[a_1=6\]

Dette er første ledd i rekken.

Steg 2 - Finn kvotienten

k=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2}

Hvert ledd fås ved å multiplisere med samme tall.

Steg 3 - Sjekk konvergens

|k|=\dfrac{1}{2}<1

Da konvergerer den uendelige geometriske rekken.

Steg 4 - Bruk sumformelen

S=\dfrac{a_1}{1-k}

Formelen gjelder når absoluttverdien av kvotienten er mindre enn 1.

Steg 5 - Sett inn

S=\dfrac{6}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{6}{\dfrac{3}{2}}=4

Her må fortegnet i nevneren behandles riktig.

Steg 6 - Kontroller delsum

S_{10}\approx4{,}0039

Delsummene nærmer seg 4.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

6/(1-(-1/2))

→ \(4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import Rational, summation, symbols, simplify
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
a1 = Rational(6, 1)
k = Rational(-1, 2)
S = simplify(a1/(1 - k))
S10 = summation(a1*k**n, (n, 0, 9))
print("Oppgave 3a")
print("a1 =", a1)
print("k =", k)
print("|k| < 1:", abs(k) < 1)
print("Sum =", S)
print("Delsum med 10 ledd =", S10)

Fasit: \(\text{Rekken konvergerer, og }S=4\)

Del 1 - Oppgave 3bPeriodisk desimaltall

Oppgave 3b

Oppgave:

Forklar at 0,135135135... kan skrives som en uendelig geometrisk rekke, og skriv tallet som en brøk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Skriv første periode

0{,}135=\dfrac{135}{1000}

Perioden har tre siffer.

Steg 2 - Skriv neste periode

0{,}000135=\dfrac{135}{1000^2}

Hver ny periode flyttes tre plasser.

Steg 3 - Skriv rekken

0{,}135135135\cdots=\dfrac{135}{1000}+\dfrac{135}{1000^2}+\dfrac{135}{1000^3}+\cdots

Dette er geometrisk.

Steg 4 - Finn kvotienten

k=\dfrac{1}{1000}

Hvert ledd er en tusendel av forrige.

Steg 5 - Summer

S=\dfrac{\dfrac{135}{1000}}{1-\dfrac{1}{1000}}=\dfrac{135}{999}

Vi bruker sumformelen.

Steg 6 - Forkort

\dfrac{135}{999}=\dfrac{5}{37}

Brøken forkortes med 27.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

135/1000/(1-1/1000)

→ \(\dfrac{5}{37}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from fractions import Fraction
forste_ledd = Fraction(135, 1000)
kvotient = Fraction(1, 1000)
sum_rekke = forste_ledd/(1 - kvotient)
print("Oppgave 3b")
print("Første ledd =", forste_ledd)
print("Kvotient =", kvotient)
print("Brøk =", sum_rekke)
print("Desimalkontroll =", float(sum_rekke))

Fasit: \(0{,}135135135\cdots=\dfrac{5}{37}\)

Del 1 - Oppgave 4Likningssystem med parameter

Oppgave 4

Oppgave:

Gitt systemet \(a x-2y+z=4\), \(2x+z=6\), \(3x+3y+z=7\). Du får vite at \(x=-2\) er en del av løsningen. Bestem \(a\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Sett inn i andre likning

2\left(-2\right)+z=6

Dette gir z direkte.

Steg 2 - Finn z

\[z=10\]

Vi flytter minus 4 til høyre side.

Steg 3 - Sett inn i tredje likning

3\left(-2\right)+3y+10=7

Nå kan y bestemmes.

Steg 4 - Finn y

3y+4=7\quad \Rightarrow\quad y=1

Dermed kjenner vi y og z.

Steg 5 - Sett inn i første likning

a\left(-2\right)-2\cdot1+10=4

Dette gir en likning med a.

Steg 6 - Løs

-2a+8=4\quad \Rightarrow\quad a=2

Parameteren er bestemt.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs systemet med x=-2

→ \(a=2,\ y=1,\ z=10\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
a, y, z = symbols('a y z')
x_verdi = -2
likninger = [Eq(a*x_verdi - 2*y + z, 4), Eq(2*x_verdi + z, 6), Eq(3*x_verdi + 3*y + z, 7)]
losning = solve(likninger, (a, y, z), dict=True)[0]
print("Oppgave 4")
print("x =", x_verdi)
print("Løsning =", losning)
for nr, likning in enumerate(likninger, start=1):
    print(f"Kontroll likning {nr}:", likning.subs(losning))

Fasit: \(a=2\)

Del 1 - Oppgave 5aPolynomdivisjon

Oppgave 5a

Oppgave:

Funksjonen \(f(x)=x^3+3x^2-4\). Vis at \(f(x)=\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Test nullpunkt

\[f(1)=1+3-4=0\]

Da er x minus 1 en faktor.

Steg 2 - Polynomdivider

x^3+3x^2-4=\left(x-1\right)\left(x^2+4x+4\right)

Divisjon gir kvotienten.

Steg 3 - Faktoriser kvotienten

x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2

Dette er et kvadrat.

Steg 4 - Sett sammen

f(x)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)^2

Faktorene kan skrives i valgfri rekkefølge.

Steg 5 - Kontroller ved utviding

\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)=x^3+3x^2-4

Utviding gir opprinnelig polynom.

Steg 6 - Tolk nullpunkter

x=-2\ \text{dobbelt},\quad x=1\ \text{enkelt}

Dette brukes i grafskissen.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Faktoriser[x^3+3x^2-4]

→ \(\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor, expand, div
x = symbols('x')
f = x**3 + 3*x**2 - 4
kvotient, rest = div(f, x - 1)
print("Oppgave 5a")
print("f(1) =", f.subs(x, 1))
print("Kvotient =", kvotient)
print("Rest =", rest)
print("Faktorisert =", factor(f))
print("Utvidet kontroll =", expand((x + 2)**2*(x - 1)))

Fasit: \(f(x)=\left(x+2\right)^2\left(x-1\right)\)

Del 1 - Oppgave 5bEkstremalpunkter

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Deriver

f'(x)=3x^2+6x=3x\left(x+2\right)

Ekstremalpunkter kan ligge der den deriverte er null.

Steg 2 - Finn kritiske x-verdier

f'(x)=0\quad \Rightarrow\quad x=-2\ \text{eller}\ x=0

Begge verdier undersøkes.

Steg 3 - Andrederiver

\[f''(x)=6x+6\]

Andrederiverttesten klassifiserer.

Steg 4 - Klassifiser x lik minus 2

\[f''(-2)=-6<0\]

Dette er toppunkt.

Steg 5 - Klassifiser x lik null

\[f''(0)=6>0\]

Dette er bunnpunkt.

Steg 6 - Finn koordinater

f(-2)=0,\quad f(0)=-4

Da får vi punktene.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Ekstremalpunkt[x^3+3x^2-4]

→ \((-2,0),\ (0,-4)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, factor
x = symbols('x')
f = x**3 + 3*x**2 - 4
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f1, x)
print("Oppgave 5b")
print("f'(x) =", factor(f1))
print("f''(x) =", f2)
for verdi in solve(f1, x):
    print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi), "f''(x) =", f2.subs(x, verdi))

Fasit: \(\text{Toppunkt }(-2,0)\ \text{og bunnpunkt }(0,-4)\)

Del 1 - Oppgave 5cVendetangent

Oppgave 5c

Oppgave:

Bestem likningen til vendetangenten til grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Finn andrederivert

\[f''(x)=6x+6\]

Vendepunktet har andrederivert lik null.

Steg 2 - Løs

6x+6=0\quad \Rightarrow\quad x=-1

Dette er x-koordinaten.

Steg 3 - Finn y-verdi

\[f(-1)=-1+3-4=-2\]

Vendepunktet er minus 1, minus 2.

Steg 4 - Finn stigningstall

\[f'(-1)=3-6=-3\]

Tangentens stigningstall er den deriverte.

Steg 5 - Bruk punktform

y+2=-3\left(x+1\right)

Vi setter inn punkt og stigningstall.

Steg 6 - Forenkle

\[y=-3x-5\]

Dette er tangentlikningen.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Tangent[-1,x^3+3x^2-4]

→ \(y=-3x-5\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, simplify
x = symbols('x')
f = x**3 + 3*x**2 - 4
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f1, x)
xv = solve(f2, x)[0]
yv = f.subs(x, xv)
stigning = f1.subs(x, xv)
tangent = simplify(stigning*(x - xv) + yv)
print("Oppgave 5c")
print("Vendepunkt =", (xv, yv))
print("Stigningstall =", stigning)
print("Tangent y =", tangent)

Fasit: \(y=-3x-5\)

Del 1 - Oppgave 5dGrafskisse

Oppgave 5d

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Nullpunkter

x=-2\ \text{dobbelt},\quad x=1\ \text{enkelt}

Grafen tangerer ved dobbelt nullpunkt og krysser ved enkelt nullpunkt.

Steg 2 - Ekstremalpunkter

\text{toppunkt }(-2,0),\quad \text{bunnpunkt }(0,-4)

Disse punktene markeres.

Steg 3 - Vendepunkt

\text{vendepunkt }(-1,-2)

Her skifter grafen krumming.

Steg 4 - Endeadferd

f(x)\sim x^3

Grafen går ned til venstre og opp til høyre.

Steg 5 - Lag punkttabell

f(-4)=-20,\quad f(2)=16

Ekstrapunkter hjelper skissen.

Steg 6 - Konklusjon

\text{Tegn en glatt tredjegradsfunksjon gjennom punktene}

Skissen skal vise riktig fortegn og tangering.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Funksjon[x^3+3x^2-4]

→ \(\text{grafskisse}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = x**3 + 3*x**2 - 4
print("Oppgave 5d")
for verdi in [-4, -2, -1, 0, 1, 2]:
    print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi))
print("Toppunkt: (-2, 0)")
print("Bunnpunkt: (0, -4)")
print("Vendepunkt: (-1, -2)")

Fasit: \(\text{Skisse med toppunkt }(-2,0)\text{, bunnpunkt }(0,-4)\text{ og nullpunkter }-2\ \text{og}\ 1\)

Del 1 - Oppgave 5eLogaritmelikning

Oppgave 5e

Oppgave:

Løs likningen \(\left(\ln x\right)^3+3\left(\ln x\right)^2-4=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Substituer

u=\lnx

Da får vi en polynomlikning.

Steg 2 - Skriv polynomet

\[u^3+3u^2-4=0\]

Dette er samme polynom som i oppgave 5.

Steg 3 - Faktoriser

u^3+3u^2-4=\left(u+2\right)^2\left(u-1\right)

Faktorform gir løsningene.

Steg 4 - Finn u

u=-2\ \text{eller}\ u=1

Dobbeltrot gir ikke ekstra x-verdi.

Steg 5 - Gå tilbake

\ln x=-2\ \Rightarrow\ x=e^{-2},\quad \ln x=1\ \Rightarrow\ x=e

Eksponentialfunksjonen opphever logaritmen.

Steg 6 - Kontroller

\[x>0\]

Begge løsningene er positive.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[(ln(x))^3+3(ln(x))^2-4=0]

→ \(x=e^{-2}\ \text{eller}\ x=e\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, solve, exp, factor
x = symbols('x', positive=True)
u = symbols('u')
polynom = u**3 + 3*u**2 - 4
u_losninger = solve(polynom, u)
x_losninger = [exp(verdi) for verdi in u_losninger]
print("Oppgave 5e")
print("Faktorisert polynom =", factor(polynom))
print("u-løsninger =", u_losninger)
print("x-løsninger =", x_losninger)

Fasit: \(x=e^{-2}\ \text{eller}\ x=e\)

Del 1 - Oppgave 6aLogistisk modell

Oppgave 6a

Oppgave:

Bestem tallet \(a\) i modellen \(h(t)=\dfrac{100}{1+a e^{-0{,}0693t}}\) når \(h(0)=20\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Sett inn t lik null

h(0)=\dfrac{100}{1+a e^0}=\dfrac{100}{1+a}

Eksponentialleddet blir 1.

Steg 2 - Bruk h(0)

\dfrac{100}{1+a}=20

Dette gir en likning for a.

Steg 3 - Løs

100=20\left(1+a\right)

Vi multipliserer med nevneren.

Steg 4 - Finn a

5=1+a\quad \Rightarrow\quad a=4

Parameteren er 4.

Steg 5 - Kontroller

h(0)=\dfrac{100}{1+4}=20

Startverdien stemmer.

Steg 6 - Sjekk med vendepunkt

4e^{-0{,}0693\cdot20}\approx1

Dette passer med opplysningen om andrederivert.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[100/(1+a)=20,a]

→ \(a=4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, exp, N
a = symbols('a')
likning = Eq(100/(1 + a), 20)
a_verdi = solve(likning, a)[0]
print("Oppgave 6a")
print("Likning =", likning)
print("a =", a_verdi)
print("Kontroll h(0) =", 100/(1 + a_verdi))
print("Vendepunktkontroll =", N(a_verdi*exp(-0.0693*20)))

Fasit: \(a=4\)

Del 1 - Oppgave 6bTolkning

Oppgave 6b

Oppgave:

Hvilken informasjon gir tallet 100 i modellen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Se på modellen

h(t)=\dfrac{100}{1+4e^{-0{,}0693t}}

Tallet 100 står i telleren.

Steg 2 - La t bli stor

e^{-0{,}0693t} o 0

Eksponentialleddet forsvinner på lang sikt.

Steg 3 - Finn grenseverdi

\lim_{t o \infty}h(t)=\dfrac{100}{1+0}=100

Dette er øvre grense.

Steg 4 - Tolk modell

\[h(t) o100\]

Bestanden nærmer seg 100.

Steg 5 - Begrep

\text{bæreevne}=100

I logistisk vekst er dette bæreevnen.

Steg 6 - Rimelighet

\[h(0)=20<100\]

Startverdien er under bæreevnen.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Grenseverdi[100/(1+4 exp(-0.0693t))]

→ \(100\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, limit, oo
t = symbols('t', positive=True)
h = 100/(1 + 4*exp(-0.0693*t))
print("Oppgave 6b")
print("h(t) =", h)
print("Grenseverdi =", limit(h, t, oo))
print("Tolkning: 100 er bæreevnen.")

Fasit: \(\text{Tallet 100 er modellens øvre grense eller bæreevne.}\)

Del 1 - Oppgave 6cStørst vekstfart

Oppgave 6c

Oppgave:

Når øker hekkebestanden raskest?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Bruk opplysningen

\[h''(20)=0\]

I en logistisk modell er dette vendepunktet.

Steg 2 - Vekstfart

h\ \text{øker raskest i vendepunktet}

Den deriverte er størst der krummingen skifter.

Steg 3 - Bruk parameteren

\[a=4\]

Fra del a.

Steg 4 - Vendepunktbetingelse

4e^{-0{,}0693t}=1

Dette gir tidspunktet.

Steg 5 - Løs

t=\dfrac{\ln4}{0{,}0693}\approx20{,}0

Dette stemmer med oppgitt andrederivert.

Steg 6 - Konkluder

\[t=20\]

Bestanden øker raskest etter 20 år.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

ln(4)/0.0693

→ \(20{,}0\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import log, N
k = 0.0693
a = 4
tidspunkt = log(a)/k
print("Oppgave 6c")
print("t = ln(a)/k")
print("t =", N(tidspunkt))
print("Konklusjon: omtrent 20 år")

Fasit: \(\text{Hekkebestanden øker raskest etter 20 år.}\)

Del 1 - Oppgave 7aForventningsverdi

Oppgave 7a

Oppgave:

Bestem forventningsverdien \(E(X)\) fra tabellen, og tolk svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Formel

E(X)=\sumkP(X=k)

Multipliser hver verdi med sannsynligheten.

Steg 2 - Sett inn

E(X)=0\cdot0{,}45+1\cdot0{,}30+2\cdot0{,}10+3\cdot0{,}10+4\cdot0{,}05

Alle tabellverdier tas med.

Steg 3 - Regn bidrag

\[E(X)=0+0{,}30+0{,}20+0{,}30+0{,}20\]

Vi summerer bidragene.

Steg 4 - Finn verdi

\[E(X)=1{,}0\]

Forventet antall er 1.

Steg 5 - Tolk

1\ \text{skade per tre i gjennomsnitt}

Dette gjelder over mange trær.

Steg 6 - Kontroller sannsynligheter

\[0{,}45+0{,}30+0{,}10+0{,}10+0{,}05=1\]

Fordelingen er gyldig.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Forventning fra tabell

→ \(1\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from fractions import Fraction
verdier = [0, 1, 2, 3, 4]
p = [Fraction(45,100), Fraction(30,100), Fraction(10,100), Fraction(10,100), Fraction(5,100)]
EX = sum(k*q for k, q in zip(verdier, p))
print("Oppgave 7a")
print("Sum sannsynligheter =", sum(p))
print("E(X) =", EX)
print("Tolkning: én skade per tre i gjennomsnitt.")

Fasit: \(E(X)=1{,}0\)

Del 1 - Oppgave 7bVarians

Oppgave 7b

Oppgave:

Vis at \(\operatorname{Var}(X)=1{,}4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Formel

\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2

Vi bruker forventning og andre moment.

Steg 2 - Regn E av X kvadrat

E(X^2)=0+0{,}30+0{,}40+0{,}90+0{,}80=2{,}40

Verdiene kvadreres før multiplikasjon.

Steg 3 - Bruk E(X)

\[E(X)=1\]

Fra del a.

Steg 4 - Regn varians

\operatorname{Var}(X)=2{,}40-1^2=1{,}40

Dette viser påstanden.

Steg 5 - Standardavvik

\sigma=\sqrt{1{,}4}\approx1{,}18

Dette er typisk spredning.

Steg 6 - Kontroll

\[1{,}4>0\]

Varians kan ikke være negativ.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Varians fra tabell

→ \(1{,}4\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from fractions import Fraction
verdier = [0, 1, 2, 3, 4]
p = [Fraction(45,100), Fraction(30,100), Fraction(10,100), Fraction(10,100), Fraction(5,100)]
EX = sum(k*q for k, q in zip(verdier, p))
EX2 = sum(k**2*q for k, q in zip(verdier, p))
VarX = EX2 - EX**2
print("Oppgave 7b")
print("E(X) =", EX)
print("E(X^2) =", EX2)
print("Var(X) =", VarX)
print("Standardavvik =", float(VarX)**0.5)

Fasit: \(\operatorname{Var}(X)=1{,}4\)

Del 1 - Oppgave 7cNormaltilnærming

Oppgave 7c

Oppgave:

Begrunn at \(S\) er tilnærmet normalfordelt. Bestem \(E(S)\) og \(\operatorname{Var}(S)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Skriv summen

S=X_1+X_2+\cdots+X_{400}

Summen består av mange uavhengige variabler.

Steg 2 - Bruk sentralgrensesetningen

\[n=400\]

Dette er stort nok til normaltilnærming.

Steg 3 - Forventning

\[E(S)=400E(X)\]

Forventninger summeres.

Steg 4 - Sett inn

E(S)=400\cdot1=400

Fra del a.

Steg 5 - Varians

\operatorname{Var}(S)=400\operatorname{Var}(X)

Uavhengighet gjør at variansene summeres.

Steg 6 - Sett inn

\operatorname{Var}(S)=400\cdot1{,}4=560

Dette gir variansen til S.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normalfordeling[400,sqrt(560)]

→ \(E=400,\ Var=560\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from fractions import Fraction
n = 400
EX = Fraction(1,1)
VarX = Fraction(14,10)
print("Oppgave 7c")
print("E(S) =", n*EX)
print("Var(S) =", n*VarX)
print("S er tilnærmet normalfordelt ved sentralgrensesetningen.")

Fasit: \(E(S)=400,\quad \operatorname{Var}(S)=560\)

Del 1 - Oppgave 7dNormalfordeling

Oppgave 7d

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at eplegården må sette i verk tiltak når \(\mu_Y=50\) og \(\sigma_Y=8\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Oversett kravet

\dfrac{Y}{50}>1{,}2

Gjennomsnittet må være mer enn 1,2.

Steg 2 - Finn grense

\[Y>60\]

Vi multipliserer med 50.

Steg 3 - Standardiser

Z=\dfrac{Y-50}{8}

Dette gir standard normalfordeling.

Steg 4 - Finn z-verdi

z=\dfrac{60-50}{8}=1{,}25

Grensen ligger 1,25 standardavvik over forventningen.

Steg 5 - Sannsynlighet

P(Y>60)=1-\Phi\left(1{,}25\right)

Vi trenger høyre hale.

Steg 6 - Regn ut

P(Y>60)\approx0{,}1056

Det er omtrent 10,6 prosent.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

1-Normal[50,8,60]

→ \(0{,}1056\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 50
sigma = 8
grense = 60
z = (grense - mu)/sigma
Phi = lambda value: 0.5*(1 + erf(value/sqrt(2)))
sannsynlighet = 1 - Phi(z)
print("Oppgave 7d")
print("Grense Y >", grense)
print("z =", z)
print("P(Y > 60) =", sannsynlighet)
print("Prosent =", 100*sannsynlighet)

Fasit: \(P(Y>60)\approx0{,}106\)

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1aLikningssystem

Oppgave 1a

Oppgave:

Sett opp tre likninger med tre ukjente for kalkuner, griser og juletrær.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Definer variabler

k=\text{kalkuner},\quad g=\text{griser},\quad j=\text{juletrær}

Vi bruker tre ukjente.

Steg 2 - Total

\[k+g+j=1284\]

Dette er samlet antall dyr og trær.

Steg 3 - Føtter

\[2k+4g+j=2599\]

Kalkuner har 2 føtter, griser 4 og juletrær 1.

Steg 4 - Forhold

k=2\left(g+j\right)

Kalkuner er dobbelt så mange som griser og trær til sammen.

Steg 5 - System

\begin{cases}k+g+j=1284\\2k+4g+j=2599\\k=2\left(g+j\right)\end{cases}

Dette er systemet.

Steg 6 - Kontroll

3\ \text{likninger, 3 ukjente}

Systemet kan løses i CAS.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

k+g+j=1284

→ \(\)

2k+4g+j=2599

→ \(\)

k=2(g+j)

→ \(\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq
k, g, j = symbols('k g j')
likninger = [Eq(k + g + j, 1284), Eq(2*k + 4*g + j, 2599), Eq(k, 2*(g + j))]
print("Oppgave 1a Del 2")
for nr, likning in enumerate(likninger, start=1):
    print(f"Likning {nr}:", likning)

Fasit: \(\begin{cases}k+g+j=1284\\2k+4g+j=2599\\k=2\left(g+j\right)\end{cases}\)

Del 2 - Oppgave 1bCAS

Oppgave 1b

Oppgave:

Bruk CAS til å løse systemet. Hvor mange griser er det?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - System

\begin{cases}k+g+j=1284\\2k+4g+j=2599\\k=2\left(g+j\right)\end{cases}

Dette løses digitalt.

Steg 2 - CAS-resultat

k=856,\quad g=153,\quad j=275

Alle antall er heltall.

Steg 3 - Kontroller total

\[856+153+275=1284\]

Totalen stemmer.

Steg 4 - Kontroller føtter

2\cdot856+4\cdot153+275=2599

Føttene stemmer.

Steg 5 - Kontroller forhold

856=2\left(153+275\right)

Forholdet stemmer.

Steg 6 - Svar

\[g=153\]

Oppgaven spør etter griser.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Løs[{k+g+j=1284,2k+4g+j=2599,k=2(g+j)},{k,g,j}]

→ \(k=856,\ g=153,\ j=275\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
k, g, j = symbols('k g j')
likninger = [Eq(k + g + j, 1284), Eq(2*k + 4*g + j, 2599), Eq(k, 2*(g + j))]
losning = solve(likninger, (k, g, j), dict=True)[0]
print("Oppgave 1b Del 2")
print("Løsning =", losning)
print("Antall griser =", losning[g])
for nr, likning in enumerate(likninger, start=1):
    print(f"Kontroll likning {nr}:", likning.subs(losning))

Fasit: \(\text{Det er }153\text{ griser.}\)

Del 2 - Oppgave 2aGraftegner

Oppgave 2a

Oppgave:

Tegn grafen til \(I(p)=1500p e^{-0{,}05p}\) for \(p\in[10,80]\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Definer funksjon

I(p)=1500p e^{-0{,}05p}

Inntekten avhenger av prisen p.

Steg 2 - Intervall

10\le p\le80

Grafen skal begrenses til dette intervallet.

Steg 3 - GeoGebra-kommando

Funksjon(1500p e^{-0{,}05p},10,80)

Dette tegner riktig utsnitt.

Steg 4 - Les form

\[I(p)>0\]

Inntekten er positiv.

Steg 5 - Topp visuelt

p\approx20

Grafen stiger først og synker etterpå.

Steg 6 - Punktkontroll

I(10)\approx9098,\quad I(20)\approx11036,\quad I(80)\approx2198

Dette støtter grafen.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Funksjon[1500p exp(-0.05p),10,80]

→ \(\text{graf}\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, N
p = symbols('p')
I = 1500*p*exp(-0.05*p)
print("Oppgave 2a Del 2")
for verdi in [10, 20, 40, 80]:
    print("p =", verdi, "I(p) =", N(I.subs(p, verdi), 8))
print("Grafen tegnes på intervallet [10, 80].")

Fasit: \(\text{Grafen har topp omtrent ved }p=20\)

Del 2 - Oppgave 2bMaksimum

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem prisen som gir høyest inntekt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Deriver

I'(p)=1500e^{-0{,}05p}\left(1-0{,}05p\right)

Produktregel gir dette uttrykket.

Steg 2 - Sett lik null

\left(1-0{,}05p\right)=0

Eksponentialleddet er aldri null.

Steg 3 - Løs

\[p=20\]

Dette er kritisk punkt.

Steg 4 - Kontroller intervallet

20\in[10,80]

Punktet er tillatt.

Steg 5 - Sammenlikn

I(20)>I(10),\ I(80)

Endepunktene er lavere.

Steg 6 - Tolk

\[p=20\]

Prisen bør være 20 kroner.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Maksimum[1500p exp(-0.05p),10,80]

→ \((20,\ 11036{,}4)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, solve, N
p = symbols('p')
I = 1500*p*exp(-0.05*p)
I_derivert = diff(I, p)
print("Oppgave 2b Del 2")
print("I'(p) =", I_derivert)
print("Kritiske punkter =", solve(I_derivert, p))
for verdi in [10, 20, 80]:
    print("p =", verdi, "I(p) =", N(I.subs(p, verdi), 10))

Fasit: \(\text{Høyest inntekt fås ved }p=20\text{ kroner.}\)

Del 2 - Oppgave 2cOmforming

Oppgave 2c

Oppgave:

Vis at \(I(x)=20x\ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Start

\[I=px\]

Inntekt er pris ganger antall.

Steg 2 - Finn x

x=\dfrac{I}{p}=1500e^{-0{,}05p}

Vi deler inntektsuttrykket på p.

Steg 3 - Ta logaritme

\ln\left(\dfrac{x}{1500}\right)=-0{,}05p

Logaritmen opphever eksponentialfunksjonen.

Steg 4 - Løs for p

p=20\ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)

Vi bruker logaritmeregler.

Steg 5 - Sett inn

I=x\cdot20\ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)

Nå bruker vi I lik px.

Steg 6 - Konklusjon

I(x)=20x\ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)

Formelen er vist.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Forenkle[x*20 ln(1500/x)]

→ \(20x\ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, simplify
x = symbols('x', positive=True)
p_uttrykk = 20*log(1500/x)
I_x = simplify(x*p_uttrykk)
print("Oppgave 2c Del 2")
print("p(x) =", p_uttrykk)
print("I(x) =", I_x)
print("Kontroll ved x = 500:", I_x.subs(x, 500))

Fasit: \(I(x)=20x\ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)\)

Del 2 - Oppgave 2dOverskudd

Oppgave 2d

Oppgave:

Bestem det største overskuddet per uke når kostnaden er \(K(x)=2000+15x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Skriv overskudd

O(x)=20x\ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)-2000-15x

Overskudd er inntekt minus kostnad.

Steg 2 - Deriver

O'(x)=20\ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)-35

Dette følger av produktregelen.

Steg 3 - Sett lik null

20\ln\left(\dfrac{1500}{x}\right)-35=0

Maksimum kan ligge her.

Steg 4 - Løs

x=\dfrac{1500}{e^{1{,}75}}\approx260{,}7

Dette er antall solgte enheter ved maksimum.

Steg 5 - Regn overskudd

O(260{,}7)\approx3213

Dette er kroner per uke.

Steg 6 - Tolk

3213\ \text{kroner}

Største overskudd er omtrent 3213 kroner.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Maksimum[20x ln(1500/x)-2000-15x]

→ \(3213{,}2\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from sympy import symbols, log, diff, solve, N
x = symbols('x', positive=True)
O = 20*x*log(1500/x) - 2000 - 15*x
O_derivert = diff(O, x)
kritisk = solve(O_derivert, x)[0]
print("Oppgave 2d Del 2")
print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", O_derivert)
print("Kritisk x =", N(kritisk, 10))
print("Maksimalt overskudd =", N(O.subs(x, kritisk), 10))

Fasit: \(\text{Største overskudd er omtrent }3213\text{ kroner per uke.}\)

Del 2 - Oppgave 3aNormalfordeling

Oppgave 3a

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig gutt løper 3000 meter på under 13 minutter når \(\mu=12\text{ min }43\text{ s}\) og \(\sigma=54\text{ s}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Gjør om til sekunder

\mu=12\cdot60+43=763,\quad \sigma=54

Vi regner i sekunder.

Steg 2 - Grense

13\text{ min}=780\text{ s}

Kravet er X mindre enn 780.

Steg 3 - Standardiser

z=\dfrac{780-763}{54}\approx0{,}315

Dette gir z-verdi.

Steg 4 - Bruk normalfordeling

P(X<780)=\Phi\left(0{,}315\right)

Vi finner arealet til venstre.

Steg 5 - Regn ut

\Phi\left(0{,}315\right)\approx0{,}624

Sannsynligheten er cirka 0,624.

Steg 6 - Tolk

0{,}624=\text{62,4 prosent}

Omtrent 62 prosent greier kravet.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Normal[763,54,780]

→ \(0{,}624\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu = 12*60 + 43
sigma = 54
grense = 13*60
z = (grense - mu)/sigma
Phi = lambda value: 0.5*(1 + erf(value/sqrt(2)))
print("Oppgave 3a Del 2")
print("mu =", mu)
print("sigma =", sigma)
print("z =", z)
print("P(X < 780) =", Phi(z))

Fasit: \(P(X<780)\approx0{,}624\)

Del 2 - Oppgave 3bNormalfordeling percentil

Oppgave 3b

Oppgave:

Hvor lang tid kan Pål høyst bruke for å være blant de 5 prosent raskeste?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Raskest betyr lav tid

\text{5 prosent raskest = 5-prosentilen}

Vi bruker venstre hale.

Steg 2 - Finn z

\[P(Z Dette er standard normalfordeling. Steg 3 - Bruk transformasjon \[x=\mu+z\sigma\] Vi går tilbake til sekunder. Steg 4 - Sett inn \[x=763-1{,}645\cdot54\approx674{,}2\] Dette er tiden i sekunder. Steg 5 - Gjør om \[674{,}2\text{ s}\approx11\text{ min }14\text{ s}\] Vi deler på 60. Steg 6 - Konkluder \[\text{høyst omtrent 11 min 14 s}\] Lengre tid er ikke blant de raskeste 5 prosent. TolkningSvaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves. Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet. Kontroll (GeoGebra CAS) GeoGebra - CAS1InverseNormal[763,54,0.05]→ \(674{,}2\text{ s}\) Kontroll (Python)Python-kontrollfrom statistics import NormalDist mu = 12*60 + 43 sigma = 54 z = NormalDist().inv_cdf(0.05) tid = mu + z*sigma print("Oppgave 3b Del 2") print("z =", z) print("Tid i sekunder =", tid) print("Minutter =", int(tid//60)) print("Sekunder =", tid - 60*int(tid//60))

Fasit: \(\text{Han kan høyst bruke omtrent 11 min 14 s.}\)

Del 2 - Oppgave 3cHypotesetest

Oppgave 3c

Oppgave:

Sett opp en hypotesetest for å undersøke om treningsprogrammet har god effekt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Parameter

\mu=\text{forventet løpstid etter program}

Vi tester forventet tid.

Steg 2 - Nullhypotese

H_0:\ \mu=763

Uten effekt er tiden uendret.

Steg 3 - Alternativ

H_1:\ \mu<763

God effekt betyr kortere tid.

Steg 4 - Testobservator

Z=\dfrac{\barX-763}{54/\sqrt{25}}

Standardavviket antas kjent.

Steg 5 - Signifikansnivå

\alpha=0{,}05

Dette brukes i del d.

Steg 6 - Forkastningsområde

\[Z<-1{,}645\]

Venstresidig test på 5 prosent nivå.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Z=(Gjennomsnitt-763)/(54/sqrt(25))

→ \(H_1:\mu<763\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from statistics import NormalDist
mu0 = 12*60 + 43
sigma = 54
n = 25
alpha = 0.05
kritisk = NormalDist().inv_cdf(alpha)
print("Oppgave 3c Del 2")
print("H0: mu =", mu0)
print("H1: mu <", mu0)
print("Testobservator: Z = (x_bar - mu0)/(sigma/sqrt(n))")
print("Kritisk z =", kritisk)

Fasit: \(H_0:\mu=763,\quad H_1:\mu<763\)

Del 2 - Oppgave 3dHypotesetest

Oppgave 3d

Oppgave:

Gjennomsnittstiden blir 12 min 27 s. Utfør testen på 5 prosent nivå.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Gjør om til sekunder

\barx=12\cdot60+27=747

Vi bruker samme enhet.

Steg 2 - Regn standardfeil

\dfrac{54}{\sqrt{25}}=\dfrac{54}{5}=10{,}8

n er 25.

Steg 3 - Testverdi

z=\dfrac{747-763}{10{,}8}\approx-1{,}48

Dette er observert z.

Steg 4 - Kritisk verdi

\[-1{,}645\]

Venstresidig 5 prosent test.

Steg 5 - Sammenlikn

\[-1{,}48>-1{,}645\]

Vi forkaster ikke nullhypotesen.

Steg 6 - p-verdi

p\approx0{,}069>0{,}05

Konklusjonen blir den samme.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

NormalCDF[-infinity,-1.481]

→ \(0{,}069\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

from math import erf, sqrt
mu0 = 12*60 + 43
sigma = 54
n = 25
xbar = 12*60 + 27
z = (xbar - mu0)/(sigma/sqrt(n))
Phi = lambda value: 0.5*(1 + erf(value/sqrt(2)))
p_verdi = Phi(z)
print("Oppgave 3d Del 2")
print("x_bar =", xbar)
print("z =", z)
print("p-verdi =", p_verdi)
print("Konklusjon: p-verdi > 0.05, ikke forkast H0.")

Fasit: \(\text{Ikke grunnlag på 5 prosent nivå for å si at treningsprogrammet har god effekt.}\)

Del 2 - Oppgave 4aFinansmatematikk

Oppgave 4a

Oppgave:

Vis at samlet inntekt i årene 2020-2029 blir i overkant av 5,97 millioner kroner uten videreutdanning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Første lønn

a_1=478400\cdot1{,}04

Dette er lønnen i 2020.

Steg 2 - Vekstfaktor

\[k=1{,}04\]

Årlig økning er 4 prosent.

Steg 3 - Antall ledd

\[n=10\]

Årene 2020 til 2029 gir 10 ledd.

Steg 4 - Sumformel

S_{10}=a_1\dfrac{k^{10}-1}{k-1}

Dette er en geometrisk rekke.

Steg 5 - Sett inn

S_{10}=478400\cdot1{,}04\cdot\dfrac{1{,}04^{10}-1}{0{,}04}

Alle leddene er med.

Steg 6 - Resultat

S_{10}\approx5\ 973\ 471

Dette er over 5,97 millioner.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

478400*1.04*(1.04^10-1)/(1.04-1)

→ \(5\ 973\ 471\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

start_2019 = 478400
vekst = 1.04
inntekter = []
for år in range(2020, 2030):
    lønn = start_2019*(vekst**(år - 2019))
    inntekter.append(lønn)
    print("År", år, "lønn =", round(lønn, 2))
samlet = sum(inntekter)
print("Oppgave 4a Del 2")
print("Samlet inntekt =", samlet)
print("I millioner =", samlet/1_000_000)

Fasit: \(\text{Samlet inntekt blir omtrent }5\ 973\ 471\text{ kroner.}\)

Del 2 - Oppgave 4bFinansmatematikk

Oppgave 4b

Oppgave:

Bestem samlet inntekt i 2020-2029 dersom Svein tar videreutdanning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Nullinntekt

2020\ \text{og}\ 2021:\ 0

Han har ingen inntekt disse to årene.

Steg 2 - Første lønn etterpå

\[a_1=574000\]

Dette er lønnen i 2022.

Steg 3 - Antall inntektsår

\[n=8\]

Årene 2022 til 2029 gir 8 ledd.

Steg 4 - Sumformel

S_8=574000\dfrac{1{,}04^8-1}{1{,}04-1}

Dette er en geometrisk rekke.

Steg 5 - Regn ut

S_8\approx5\ 288\ 966

Dette er samlet inntekt i perioden.

Steg 6 - Tolk

5\ 288\ 966<5\ 973\ 471

Videreutdanning gir lavere samlet inntekt innen 2029.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

574000*(1.04^8-1)/(1.04-1)

→ \(5\ 288\ 966\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

vekst = 1.04
start_2022 = 574000
inntekter = []
for år in range(2020, 2030):
    if år < 2022:
        lønn = 0
    else:
        lønn = start_2022*(vekst**(år - 2022))
    inntekter.append(lønn)
    print("År", år, "lønn =", round(lønn, 2))
print("Oppgave 4b Del 2")
print("Samlet inntekt =", sum(inntekter))

Fasit: \(\text{Samlet inntekt blir omtrent }5\ 288\ 966\text{ kroner.}\)

Del 2 - Oppgave 4cFinansmatematikk og CAS

Oppgave 4c

Oppgave:

Bestem hvor lenge han må jobbe etter videreutdanningen før samlet inntekt fra 2020 minst er like stor som uten videreutdanning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive opplysningene matematisk, velge riktig metode, vise mellomregning, tolke svaret og kontrollere med digitale verktøy.

Steg 1 - Definer n

n=\text{år med ny lønn fra og med 2022}

Vi sammenlikner samlede summer.

Steg 2 - Uten videreutdanning

S_u(n)=478400\cdot1{,}04\dfrac{1{,}04^{n+2}-1}{1{,}04-1}

Uten-alternativet har to ekstra år fra 2020 og 2021.

Steg 3 - Med videreutdanning

S_m(n)=574000\dfrac{1{,}04^n-1}{1{,}04-1}

Med-alternativet starter i 2022.

Steg 4 - Ulikhet

S_m(n)\geS_u(n)

Vi søker minste heltall n.

Steg 5 - CAS-resultat

\[n=20\]

Da er med-alternativet minst like stort.

Steg 6 - Kalenderår

\[2021+20=2041\]

Han må jobbe til og med 2041.

Tolkning

Svaret er satt opp slik at både metode, mellomregning, enhet og endelig konklusjon kan etterprøves.

Vanlig feil: Ikke hopp over definisjonsmengde, fortegn, enheter eller digital kontroll av sluttresultatet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Minste n med S_med >= S_uten

→ \(n=20\)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

vekst = 1.04
uten_start = 478400
med_start = 574000
print("Oppgave 4c Del 2")
for n in range(1, 60):
    uten = sum(uten_start*(vekst**i) for i in range(1, n + 3))
    med = sum(med_start*(vekst**i) for i in range(0, n))
    if med >= uten:
        print("Minste n =", n)
        print("Sum uten videreutdanning =", uten)
        print("Sum med videreutdanning =", med)
        print("Siste år =", 2021 + n)
        break

Fasit: \(\text{Han må jobbe 20 år etter videreutdanningen, altså til og med 2041.}\)

Teknisk kontroll før levering

MathJax bruker bare runde og firkantede MathJax-delimitere.
Python ligger i pre/code og bruker nøytral mørk kodevisning uten ekstra highlight.
GeoGebra CAS-bokser er beholdt visuelt.
Ingen varme aksentfarger er brukt i CSS.

Matematikk S2 eksamen – høst 2019

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 - Identifiser funksjonstypen

Steg 2 - Bruk logaritmeregelen

Steg 3 - Ta med konstantfaktoren

Steg 4 - Forenkle

Steg 5 - Oppgi definisjonsmengde

Steg 6 - Kontroller et punkt

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 1b

Steg 1 - Se produktet

Steg 2 - Deriver første faktor

Steg 3 - Deriver andre faktor

Steg 4 - Bruk produktregelen

Steg 5 - Faktoriser

Steg 6 - Kontroller ved x lik null

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 1c

Steg 1 - Sett teller og nevner

Steg 2 - Deriver teller og nevner

Steg 3 - Bruk kvotientregelen

Steg 4 - Sett inn

Steg 5 - Forenkle telleren

Steg 6 - Oppgi begrensning

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2a

Steg 1 - Bruk leddformelen

Steg 2 - Sett inn fjerde ledd

Steg 3 - Løs for differansen

Steg 4 - Sett inn i formelen

Steg 5 - Forenkle

Steg 6 - Kontroller

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 2b

Steg 1 - Bruk formelen

Steg 2 - Finn ledd nummer 40

Steg 3 - Velg sumformel

Steg 4 - Sett inn

Steg 5 - Regn ut

Steg 6 - Kontroller med sigma

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 3a

Steg 1 - Finn første ledd

Steg 2 - Finn kvotienten

Steg 3 - Sjekk konvergens

Steg 4 - Bruk sumformelen

Steg 5 - Sett inn

Steg 6 - Kontroller delsum

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 3b

Steg 1 - Skriv første periode

Steg 2 - Skriv neste periode

Steg 3 - Skriv rekken

Steg 4 - Finn kvotienten

Steg 5 - Summer

Steg 6 - Forkort

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

Python-kontroll

Oppgave 4