Matematikk S2 eksamen Høsten 2017 - løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Alle deloppgaver er transkribert og løst med stegvis forklaring, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samletDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=2x^2-4x^3\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Identifiser leddene

Funksjonen består av to potensledd. Vi deriverer hvert ledd for seg.

Steg 2 - Bruk potensregelen

\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Steg 3 - Deriver første ledd

\dfrac{d}{dx}\left(2x^2\right)=4x

Steg 4 - Deriver andre ledd

\dfrac{d}{dx}\left(-4x^3\right)=-12x^2

Steg 5 - Sett sammen

\[f'(x)=4x-12x^2\]

Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen til \(f\) i punktet \(x\).

Vanlig feil: Å skrive \(-4\cdot 3x^2\) uten å få med fortegnet riktig i svaret.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(2*x^2-4*x^3)

-> \(4x-12x^2\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x')
f = 2*x**2 - 4*x**3
f_derivert = diff(f, x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Forenklet f'(x) =", simplify(f_derivert))

Fasit: \(f'(x)=4x-12x^2\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samletProduktregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=x^2e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se produktet

Funksjonen er produktet av \(x^2\) og \(e^x\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)'=u'v+uv'\]

Steg 3 - Sett \(u=x^2\) og \(v=e^x\)

u'=2x,\qquad v'=e^x

Steg 4 - Deriver

\[g'(x)=2xe^x+x^2e^x\]

Steg 5 - Faktoriser

g'(x)=e^x\left(x^2+2x\right)

Tolkning

Faktorisert form gjør det lettere å undersøke fortegn og stigning.

Vanlig feil: Å derivere bare \(x^2\) og la \(e^x\) stå uten produktregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(x^2*e^x)

-> \(e^x\left(x^2+2x\right)\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor
x = symbols('x')
g = x**2 * exp(x)
g_derivert = diff(g, x)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) før faktorisering =", g_derivert)
print("g'(x) faktorisert =", factor(g_derivert))

Fasit: \(g'(x)=e^x\left(x^2+2x\right)\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 1c - 5 poeng samletLogaritme og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\ln\left(x^3+3x+1\right)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Identifiser indre funksjon

\[u=x^3+3x+1\]

Steg 2 - Bruk regelen for logaritme

\dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

\[u'=3x^2+3\]

Steg 4 - Sett inn

h'(x)=\dfrac{3x^2+3}{x^3+3x+1}

Steg 5 - Kontroller definisjonskravet

Uttrykket gjelder der \(x^3+3x+1>0\), fordi logaritmen krever positivt argument.

Tolkning

Kjerneregelen gjør at telleren blir den deriverte av uttrykket inni logaritmen.

Vanlig feil: Å glemme telleren \(3x^2+3\) og bare skrive den inverse av logaritmeargumentet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(ln(x^3+3*x+1))

-> \(\dfrac{3x^2+3}{x^3+3x+1}\)

Python

from sympy import symbols, log, diff, simplify
x = symbols('x')
h = log(x**3 + 3*x + 1)
h_derivert = diff(h, x)
print("h(x) =", h)
print("h'(x) =", simplify(h_derivert))
print("Merk: uttrykket gjelder der logaritmeargumentet er positivt.")

Fasit: \(h'(x)=\dfrac{3x^2+3}{x^3+3x+1}\) der logaritmen er definert.

Del 1 - Oppgave 2a - 4 poeng samletPolynomdivisjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Utfør divisjonen

\left(x^3-5x^2-4x+20\right):\left(x-5\right)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Grupper leddene

x^3-5x^2-4x+20=x^2\left(x-5\right)-4\left(x-5\right)

Steg 2 - Faktoriser felles faktor

x^3-5x^2-4x+20=\left(x-5\right)\left(x^2-4\right)

Steg 3 - Utfør divisjonen

\dfrac{\left(x-5\right)\left(x^2-4\right)}{x-5}=x^2-4

Steg 4 - Kontroller ved multiplikasjon

\left(x-5\right)\left(x^2-4\right)=x^3-5x^2-4x+20

Tolkning

Divisjonen går opp uten rest.

Vanlig feil: Å glemme å kontrollere resten. Her er resten \(0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Divisjon(x^3-5*x^2-4*x+20, x-5)

-> \(x^2-4\)

Python

from sympy import symbols, div, expand
x = symbols('x')
P = x**3 - 5*x**2 - 4*x + 20
Q, R = div(P, x - 5)
print("Polynom P(x) =", P)
print("Kvotient =", Q)
print("Rest =", R)
print("Kontroll:", expand((x - 5)*Q + R))

Fasit: \(x^2-4\) (rest \(0\)).

Del 1 - Oppgave 2b - 4 poeng samletFaktorteorem

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem \(t\) slik at divisjonen nedenfor går opp.

\left(x^3+tx^2+5x-2t\right):\left(x+1\right)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Divisjon med \(x+1\) går opp når polynomet har nullverdi for \(x=-1\).

Steg 2 - Sett inn \(x=-1\)

\[P(-1)=(-1)^3+t(-1)^2+5(-1)-2t\]

Steg 3 - Forenkle

\[P(-1)=-1+t-5-2t=-6-t\]

Steg 4 - Sett resten lik null

\[-6-t=0\]

Steg 5 - Løs

\[t=-6\]

Tolkning

Når \(t=-6\), er \(x+1\) en faktor i polynomet.

Vanlig feil: Å sette inn \(x=1\) i stedet for \(x=-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs((-1)^3+t*(-1)^2+5*(-1)-2*t=0,t)

-> \(t=-6\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x, t = symbols('x t')
P = x**3 + t*x**2 + 5*x - 2*t
rest = P.subs(x, -1)
losning = solve(Eq(rest, 0), t)
print("Rest ved divisjon med x + 1:", rest)
print("t-verdi som gir rest 0:", losning[0])

Fasit: \(t=-6\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 3 - 2 poengLineært likningssystem

Oppgave 3

Oppgave:

Løs likningssystemet

\begin{aligned}x+y+2z&=-3\\x+3y+z&=2\\2x+y+z&=2\end{aligned}

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv systemet ryddig

Vi har tre lineære likninger med tre ukjente.

Steg 2 - Trekk første likning fra andre

(x+3y+z)-(x+y+2z)=2-(-3)\Rightarrow 2y-z=5

Steg 3 - Trekk første likning fra tredje

(2x+y+z)-(x+y+2z)=2-(-3)\Rightarrow x-z=5

Steg 4 - Bruk de nye likningene

z=x-5,\qquad 2y-(x-5)=5\Rightarrow x=2y

Steg 5 - Sett inn i første likning

2y+y+2(2y-5)=-3\Rightarrow 7y=7\Rightarrow y=1

Steg 6 - Finn \(x\) og \(z\)

x=2,\qquad z=-3

Tolkning

Løsningen er skjæringspunktet mellom de tre planene.

Vanlig feil: Å kontrollere bare én av de tre likningene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs({x+y+2z=-3,x+3y+z=2,2x+y+z=2},{x,y,z})

-> \(x=2,\ y=1,\ z=-3\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, z = symbols('x y z')
likninger = [
    Eq(x + y + 2*z, -3),
    Eq(x + 3*y + z, 2),
    Eq(2*x + y + z, 2),
]
losning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0]
print("Løsning:", losning)
print("Kontroll av likningene:")
for nr, likning in enumerate(likninger, start=1):
    print(f"Likning {nr}:", likning.subs(losning), "->", bool(likning.subs(losning)))

Fasit: \(x=2\), \(y=1\) og \(z=-3\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 4 - 2 poengLogaritmeregning

Oppgave 4

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig

\ln\left(\dfrac{e^2}{2}\right)+2\ln 2-\ln\left(\dfrac{2}{e^4}\right)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk logaritmeregelen for brøk

\ln\left(\dfrac{e^2}{2}\right)=\ln(e^2)-\ln 2=2-\ln 2

Steg 2 - Forenkle siste logaritme

\ln\left(\dfrac{2}{e^4}\right)=\ln 2-\ln(e^4)=\ln 2-4

Steg 3 - Sett inn i uttrykket

(2-\ln 2)+2\ln 2-(\ln 2-4)

Steg 4 - Trekk sammen logaritmene

-\ln 2+2\ln 2-\ln 2=0

Steg 5 - Trekk sammen konstantene

\[2+4=6\]

Tolkning

Alle logaritmeleddene kansellerer, og uttrykket blir et helt tall.

Vanlig feil: Å glemme at minus foran siste logaritme skifter fortegn på begge leddene inni parentesen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

ln(e^2/2)+2*ln(2)-ln(2/e^4)

-> \(6\)

Python

from sympy import E, log, simplify
uttrykk = log(E**2/2) + 2*log(2) - log(2/E**4)
print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Forenklet uttrykk:", simplify(uttrykk))

Fasit: \(6\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 5a - 4 poeng samletAritmetisk rekke

Oppgave 5a

Oppgave:

En aritmetisk rekke er gitt ved \(3+7+11+15+\cdots+119\). Bestem en formel for ledd nummer \(n\) i denne rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn første ledd og differanse

a_1=3,\qquad d=7-3=4

Steg 2 - Bruk leddformelen

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

Steg 3 - Sett inn

\[a_n=3+(n-1)4\]

Steg 4 - Forenkle

\[a_n=4n-1\]

Steg 5 - Kontroller siste ledd

4n-1=119\Rightarrow n=30

Tolkning

Rekken har 30 ledd, og hvert nytt ledd øker med 4.

Vanlig feil: Å skrive \(4n+3\) fordi man glemmer at første ledd svarer til \(n=1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

a(n):=3+(n-1)*4

-> \(4n-1\)

Løs(4*n-1=119,n)

-> \(n=30\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, expand
n = symbols('n')
a1 = 3
d = 4
an = expand(a1 + (n - 1)*d)
antall_ledd = solve(Eq(an, 119), n)[0]
print("Første ledd:", a1)
print("Differanse:", d)
print("Formel for a_n:", an)
print("Antall ledd fram til 119:", antall_ledd)

Fasit: \(a_n=4n-1\) (rekka har 30 ledd).

Del 1 - Oppgave 5b - 4 poeng samletAritmetisk sum

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem summen av rekken \(3+7+11+15+\cdots+119\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk resultatet fra del a

a_1=3,\qquad a_{30}=119

Steg 2 - Velg sumformel

S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}

Steg 3 - Sett inn

S_{30}=\dfrac{30\left(3+119\right)}{2}

Steg 4 - Regn ut parentesen

\[3+119=122\]

Steg 5 - Regn ferdig

S_{30}=15\cdot 122=1830

Tolkning

Summen av alle leddene fra 3 til 119 er 1830.

Vanlig feil: Å bruke 119 som antall ledd. 119 er siste ledd, ikke antall ledd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

30*(3+119)/2

-> \(1830\)

Python

from sympy import symbols, summation
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
an = 4*n - 1
sum_rekke = summation(an, (n, 1, 30))
print("Leddformel:", an)
print("Sum fra n = 1 til n = 30:", sum_rekke)

Fasit: \(S_{30}=1830\) (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 6a - 4 poeng samletGrensekostnad

Oppgave 6a

Oppgave:

Totalkostnaden er gitt ved \(K(x)=x^2+50x+6400\). Her er \(x\) antall produserte enheter per uke. Bestem grensekostnaden når det produseres 50 enheter. Hva forteller dette svaret oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Grensekostnad betyr derivert

K'(x)=\dfrac{dK}{dx}

Steg 2 - Deriver kostnadsfunksjonen

\[K'(x)=2x+50\]

Steg 3 - Sett inn \(x=50\)

K'(50)=2\cdot 50+50=150

Steg 4 - Ta med enhet

Kostnaden er i kroner og \(x\) er antall enheter, så grensekostnaden måles i kroner per enhet.

Steg 5 - Tolkning

Når produksjonen er 50 enheter per uke, øker totalkostnaden omtrent med 150 kroner hvis produksjonen økes med én enhet.

Vanlig feil: Å regne \(K(50)\) i stedet for \(K'(50)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(x^2+50*x+6400)

-> \(2x+50\)

2*50+50

-> \(150\)

Python

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
K = x**2 + 50*x + 6400
grensekostnad = diff(K, x)
verdi = grensekostnad.subs(x, 50)
print("K(x) =", K)
print("K'(x) =", grensekostnad)
print("K'(50) =", verdi, "kroner per ekstra enhet")

Fasit: \(K'(50)=150\), altså omtrent 150 kroner per ekstra enhet.

Del 1 - Oppgave 6b - 4 poeng samletGjennomsnittskostnad

Oppgave 6b

Oppgave:

Bestem den produksjonsmengden \(x\) som gir lavest kostnad per produserte enhet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Lag gjennomsnittskostnaden

A(x)=\dfrac{K(x)}{x}=\dfrac{x^2+50x+6400}{x}

Steg 2 - Forenkle

A(x)=x+50+\dfrac{6400}{x}

Steg 3 - Deriver

A'(x)=1-\dfrac{6400}{x^2}

Steg 4 - Sett den deriverte lik null

1-\dfrac{6400}{x^2}=0

Steg 5 - Løs

x^2=6400\Rightarrow x=80

Steg 6 - Kontroller minimum

A''(x)=\dfrac{12800}{x^3}>0\quad \text{for }x>0

Tolkning

Lavest kostnad per enhet får vi ved 80 produserte enheter per uke.

Vanlig feil: Å minimere totalkostnaden \(K(x)\) i stedet for kostnad per enhet \(A(x)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert((x^2+50*x+6400)/x)

-> \(1-\dfrac{6400}{x^2}\)

Løs(1-6400/x^2=0,x)

-> \(x=80\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, simplify
x = symbols('x', positive=True)
K = x**2 + 50*x + 6400
A = simplify(K/x)
A_derivert = diff(A, x)
kritiske = solve(A_derivert, x)
print("Gjennomsnittskostnad A(x) =", A)
print("A'(x) =", A_derivert)
print("Kritisk x-verdi:", kritiske)
print("A(80) =", A.subs(x, 80))

Fasit: \(x=80\) enheter per uke (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 7a - 7 poeng samletNullpunkt

Oppgave 7a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=(x-2)e^x\). Bestem eventuelle nullpunkter til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett funksjonen lik null

\[(x-2)e^x=0\]

Steg 2 - Bruk at \(e^x\) aldri er null

e^x>0\quad \text{for alle }x

Steg 3 - Løs lineærfaktoren

x-2=0\Rightarrow x=2

Steg 4 - Finn punktet

\[f(2)=0\]

Tolkning

Grafen skjærer x-aksen i \((2,0)\).

Vanlig feil: Å sette \(e^x=0\). Det har ingen løsning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs((x-2)*e^x=0,x)

-> \(x=2\)

Python

from sympy import symbols, exp, solve
x = symbols('x')
f = (x - 2)*exp(x)
nullpunkter = solve(f, x)
print("f(x) =", f)
print("Nullpunkter x =", nullpunkter)
for xverdi in nullpunkter:
    print("f(", xverdi, ") =", f.subs(x, xverdi))

Fasit: \((2,0)\) er nullpunktet.

Del 1 - Oppgave 7b - 7 poeng samletEkstremalpunkt

Oppgave 7b

Oppgave:

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til \(f(x)=(x-2)e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver funksjonen

f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x

Steg 2 - Sett den deriverte lik null

\[(x-1)e^x=0\]

Steg 3 - Bruk at \(e^x>0\)

x-1=0\Rightarrow x=1

Steg 4 - Finn y-verdien

\[f(1)=(1-2)e^1=-e\]

Steg 5 - Kontroller typen

f'(x)<0\text{ for }x<1,\quad f'(x)>0\text{ for }x>1

Tolkning

Grafen avtar før \(x=1\) og vokser etterpå, så punktet er et bunnpunkt.

Vanlig feil: Å kalle punktet toppunkt uten å undersøke fortegnsskifte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert((x-2)*e^x)

-> \((x-1)e^x\)

f(1)

-> \(-e\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, solve, simplify
x = symbols('x')
f = (x - 2)*exp(x)
f1 = simplify(diff(f, x))
kritisk = solve(f1, x)[0]
print("f'(x) =", f1)
print("Kritisk x-verdi:", kritisk)
print("Punkt:", (kritisk, simplify(f.subs(x, kritisk))))
print("Fortegn: f'(0) =", f1.subs(x, 0), ", f'(2) =", f1.subs(x, 2))

Fasit: \((1,-e)\) er bunnpunkt. Det finnes ikke toppunkt.

Del 1 - Oppgave 7c - 7 poeng samletVendepunkt

Oppgave 7c

Oppgave:

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til \(f(x)=(x-2)e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk første deriverte fra del b

\[f'(x)=(x-1)e^x\]

Steg 2 - Deriver en gang til

f''(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x=xe^x

Steg 3 - Sett andrederiverte lik null

\[xe^x=0\]

Steg 4 - Bruk at \(e^x>0\)

\[x=0\]

Steg 5 - Finn y-verdien

\[f(0)=(0-2)e^0=-2\]

Steg 6 - Kontroller fortegnsskifte

\(f''(x)=xe^x\) skifter fortegn fra negativ til positiv når \(x\) passerer 0.

Tolkning

Grafen går fra konkav ned til konkav opp i punktet \((0,-2\)).

Vanlig feil: Å finne \(f(x)=0\) uten å kontrollere at krumningen faktisk skifter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

AndreDerivert((x-2)*e^x)

-> \(xe^x\)

f(0)

-> \(-2\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, solve, simplify
x = symbols('x')
f = (x - 2)*exp(x)
f2 = simplify(diff(f, x, 2))
vende_x = solve(f2, x)[0]
print("f''(x) =", f2)
print("Mulig vendepunkt ved x =", vende_x)
print("Punkt:", (vende_x, simplify(f.subs(x, vende_x))))
print("Kontroll f''(-1) =", f2.subs(x, -1), ", f''(1) =", f2.subs(x, 1))

Fasit: \((0,-2)\) er vendepunktet.

Del 1 - Oppgave 7d - 7 poeng samletGrafskisse

Oppgave 7d

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f(x)=(x-2)e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk nøkkelpunktene

\text{Nullpunkt: }(2,0),\quad \text{bunnpunkt: }(1,-e),\quad \text{vendepunkt: }(0,-2)

Steg 2 - Bestem endeadferd mot venstre

\lim_{x\to -\infty}(x-2)e^x=0^{-}

Steg 3 - Bestem endeadferd mot høyre

\lim_{x\to \infty}(x-2)e^x=\infty

Steg 4 - Bruk monotonien

Grafen avtar for \(x<1\) og vokser for \(x>1\).

Steg 5 - Bruk krumningen

Grafen er konkav ned for \(x<0\) og konkav opp for \(x>0\).

Tolkning

Skissen skal vise at grafen ligger nær x-aksen til venstre, har bunnpunkt ved \((1,-e)\) og skjærer x-aksen ved \(x=2\).

Vanlig feil: Å tegne grafen som et vanlig polynom. Eksponentialfaktoren gjør at grafen nærmer seg 0 mot venstre.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

f(x):=(x-2)*e^x

Ekstremalpunkt(f)

-> \((1,-e)\)

Vendepunkt(f)

-> \((0,-2)\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, limit, oo, simplify
x = symbols('x')
f = (x - 2)*exp(x)
f1 = simplify(diff(f, x))
f2 = simplify(diff(f, x, 2))
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f1)
print("f''(x) =", f2)
print("lim x -> -oo:", limit(f, x, -oo))
print("lim x -> oo:", limit(f, x, oo))
print("Nøkkelpunkter: nullpunkt (2, 0), bunnpunkt (1, -e), vendepunkt (0, -2)")

Fasit: Grafen skisseres med nullpunkt \((2,0)\), bunnpunkt \((1,-e)\) og vendepunkt \((0,-2)\).

Del 1 - Oppgave 8a - 8 poeng samletForventning og varians

Oppgave 8a

Oppgave:

I et lotteri koster hvert lodd 10 kroner. Halvparten av loddene gir gevinst 10 kroner, 10 prosent gir gevinst 50 kroner, og resten gir ingen gevinst. Den stokastiske variabelen \(X\) er nettogevinsten på et tilfeldig lodd. Vis at \(E(X)=0\) og \(Var(X)=200\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn mulige nettogevinster

X=0\text{ med }p=0{,}50,\quad X=40\text{ med }p=0{,}10,\quad X=-10\text{ med }p=0{,}40

Steg 2 - Regn forventningsverdien

E(X)=0\cdot 0{,}50+40\cdot 0{,}10+(-10)\cdot 0{,}40=0

Steg 3 - Regn \(E(X^2)\)

E(X^2)=0^2\cdot 0{,}50+40^2\cdot 0{,}10+(-10)^2\cdot 0{,}40=200

Steg 4 - Bruk variansformelen

Var(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2=200-0^2=200

Tolkning

Spillet er rettferdig i forventning, men enkeltlodd kan variere mye.

Vanlig feil: Å bruke gevinstene 10 og 50 direkte i stedet for nettogevinst etter loddpris.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

0*0.5+40*0.1+(-10)*0.4

-> \(0\)

0^2*0.5+40^2*0.1+(-10)^2*0.4

-> \(200\)

Python

from fractions import Fraction
verdier = [0, 40, -10]
sannsynligheter = [Fraction(1, 2), Fraction(1, 10), Fraction(2, 5)]
E = sum(x*p for x, p in zip(verdier, sannsynligheter))
E2 = sum(x*x*p for x, p in zip(verdier, sannsynligheter))
Var = E2 - E**2
print("Verdier for X:", verdier)
print("Sannsynligheter:", sannsynligheter)
print("E(X) =", E)
print("E(X^2) =", E2)
print("Var(X) =", Var)

Fasit: \(E(X)=0\) og \(Var(X)=200\).

Del 1 - Oppgave 8b - 8 poeng samletSentralgrenseteoremet

Oppgave 8b

Oppgave:

La \(S=X_1+X_2+\cdots+X_{50}\) være nettogevinsten ved kjøp av 50 lodd. Begrunn at \(S\) er tilnærmet normalfordelt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se på summen

\(S\) er summen av 50 like fordelte loddkjøp.

Steg 2 - Anta uavhengighet

Loddene kan modelleres som uavhengige eller tilnærmet uavhengige tilfeldige forsøk.

Steg 3 - Bruk sentralgrenseteoremet

En sum av mange uavhengige stokastiske variabler blir ofte tilnærmet normalfordelt.

Steg 4 - Vurder antallet

Her er \(n=50\), som er stort nok til at normaltilnærming er rimelig.

Tolkning

Vi kan derfor bruke normalfordeling til å beregne omtrentlige sannsynligheter for \(S\).

Vanlig feil: Å skrive at hvert enkelt lodd er normalfordelt. Det er summen som blir tilnærmet normalfordelt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

n=50

-> \(stort nok for normaltilnærming\)

Python

n = 50
print("S er summen av", n, "uavhengige eller tilnærmet uavhengige variabler.")
print("Sentralgrenseteoremet gir at summen kan modelleres tilnærmet normalfordelt.")

Fasit: \(S\) er tilnærmet normalfordelt ved sentralgrenseteoremet.

Del 1 - Oppgave 8c - 8 poeng samletForventning og standardavvik for sum

Oppgave 8c

Oppgave:

Vis at \(E(S)\approx 0\) og \(SD(S)\approx 100\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk forventning for sum

E(S)=E(X_1+\cdots+X_{50})=50E(X)

Steg 2 - Sett inn \(E(X)=0\)

E(S)=50\cdot 0=0

Steg 3 - Bruk varians for uavhengige summer

\[Var(S)=50Var(X)\]

Steg 4 - Sett inn \(Var(X)=200\)

Var(S)=50\cdot 200=10000

Steg 5 - Finn standardavviket

SD(S)=\sqrt{10000}=100

Tolkning

Et samlet resultat fra 50 lodd vil typisk ligge omtrent 100 kroner fra forventningen.

Vanlig feil: Å multiplisere standardavviket med 50. Det er variansen som adderes.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

50*0

-> \(0\)

sqrt(50*200)

-> \(100\)

Python

from sympy import sqrt
E_X = 0
Var_X = 200
n = 50
E_S = n*E_X
Var_S = n*Var_X
SD_S = sqrt(Var_S)
print("E(S) =", E_S)
print("Var(S) =", Var_S)
print("SD(S) =", SD_S)

Fasit: \(E(S)=0\) og \(SD(S)=100\).

Del 1 - Oppgave 8d - 8 poeng samletNormalfordeling

Oppgave 8d

Oppgave:

Anja ønsker å kjøpe en jakke til 650 kroner, men har bare 500 kroner. Hun vurderer å kjøpe lodd for alle pengene. Bestem sannsynligheten for at hun får nok penger til å kjøpe jakken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Oversett situasjonen

Hun trenger minst 150 kroner i nettogevinst fordi \(650-500=150\).

Steg 2 - Bruk normaltilnærmingen

S\sim N(0,100)

Steg 3 - Standardiser

P(S\ge 150)=P\left(Z\ge \dfrac{150-0}{100}\right)=P(Z\ge 1{,}5)

Steg 4 - Bruk tabell

P(Z\le 1{,}5)\approx 0{,}9332

Steg 5 - Finn høyresannsynligheten

P(Z\ge 1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668

Tolkning

Hun har omtrent 6,7 prosent sannsynlighet for å få nok penger.

Vanlig feil: Å bruke 650 som grense for nettogevinsten. Hun trenger bare 150 kroner mer enn hun allerede har.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Normal(0,100,150,inf)

-> \(0{,}0668\)

Python

from math import erf, sqrt
mu = 0
sigma = 100
grense = 150
z = (grense - mu)/sigma
Phi = 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
sannsynlighet = 1 - Phi
print("Grense for nettogevinst:", grense)
print("z-verdi:", z)
print("P(Z <= z):", Phi)
print("P(S >= 150):", sannsynlighet)

Fasit: \(P(S\ge 150)\approx 0{,}0668\), altså omtrent 6,7 prosent.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1a - 10 poeng samletEksponentialmodell

Oppgave 1a

Oppgave:

Julie har fått ny jobb. Funksjonen \(f(x)=400000\cdot 1{,}05^x\) er en modell for årslønnen i kroner \(x\) år etter at hun startet. Bruk graftegner til å tegne grafen til \(f\) for \(0\le x\le 35\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Definer funksjonen

f(x)=400000\cdot 1{,}05^x

Steg 2 - Velg intervall

0\le x\le 35

Steg 3 - Startverdi

\[f(0)=400000\]

Steg 4 - Sluttverdi i vinduet

f(35)=400000\cdot 1{,}05^{35}\approx 2206414

Steg 5 - Tolk grafen

Grafen er en voksende eksponentialkurve, siden vekstfaktoren \(1{,}05\) er større enn 1.

Tolkning

Lønnen øker med 5 prosent per år i modellen.

Vanlig feil: Å tegne som lineær vekst. Her øker lønnen med prosent, ikke med fast kronebeløp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

f(x):=400000*1.05^x

Funksjon(f,0,35)

-> \(\text{voksende eksponentialgraf}\)

Python

from sympy import symbols
x = symbols('x')
def f(verdi):
    return 400000*(1.05**verdi)
print("Tabell for f(x) = 400000*1.05^x")
for verdi in [0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35]:
    print(f"x = {verdi:2d}, f(x) = {f(verdi):,.2f} kr")

Fasit: Grafen er voksende fra \(400000\) til omtrent \(2206414\) på intervallet.

Del 2 - Oppgave 1b - 10 poeng samletEksponentiallikning

Oppgave 1b

Oppgave:

Når vil årslønnen hennes passere 800 000 kroner?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett opp likningen

400000\cdot 1{,}05^x=800000

Steg 2 - Del på 400000

1{,}05^x=2

Steg 3 - Ta logaritme

x=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05}

Steg 4 - Regn ut

x\approx 14{,}21

Steg 5 - Tolk tidspunktet

Årslønnen passerer 800 000 kroner litt etter 14 år, altså i løpet av det 15. året.

Vanlig feil: Å svare 14 år uten å sjekke at lønnen først er over 800 000 etter litt mer enn 14 år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs(400000*1.05^x=800000,x)

-> \(x\approx 14{,}21\)

Python

from sympy import log, N
x_verdi = log(2)/log(1.05)
print("Løsning x = ln(2)/ln(1.05)")
print("x =", N(x_verdi, 8))
print("År 14:", 400000*(1.05**14))
print("År 15:", 400000*(1.05**15))

Fasit: \(x\approx 14{,}21\), altså i løpet av det 15. året.

Del 2 - Oppgave 1c - 10 poeng samletDerivasjon med CAS

Oppgave 1c

Oppgave:

Bruk CAS til å bestemme hvor mange år det går før lønnsøkningen per år passerer 50 000 kroner.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Lønnsøkning per år modelleres med den deriverte

f'(x)=400000\ln(1{,}05)\cdot 1{,}05^x

Steg 2 - Sett opp grensen

400000\ln(1{,}05)\cdot 1{,}05^x=50000

Steg 3 - Løs med CAS

x\approx 19{,}28

Steg 4 - Tolk ulikheten

Lønnsøkningen passerer 50 000 kroner per år for \(x>19{,}28\).

Steg 5 - Kalenderfortolkning

Det skjer etter omtrent 19,3 år, altså i løpet av det 20. året etter start.

Vanlig feil: Å bruke forskjellen \(f(x+1)-f(x)\) uten å forklare at oppgaven ber om CAS og momentanfart/grenseøkning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Derivert(400000*1.05^x)

-> \(400000\ln(1{,}05)\cdot 1{,}05^x\)

Løs(400000*ln(1.05)*1.05^x=50000,x)

-> \(19{,}28\)

Python

from sympy import symbols, log, Eq, solve, N
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(400000*log(1.05)*(1.05**x), 50000), x)[0]
print("Løser 400000*ln(1.05)*1.05^x = 50000")
print("x =", N(losning, 8))
print("Tolkning: lønnsøkningen passerer 50000 kr per år etter dette tidspunktet.")

Fasit: \(x\approx 19{,}28\), altså i løpet av det 20. året.

Del 2 - Oppgave 1d - 10 poeng samletBestemt integral

Oppgave 1d

Oppgave:

Julie regner med å jobbe i bedriften i 30 år. Bestem en tilnærmingsverdi for hvor mye hun vil tjene i løpet av perioden, ved å regne ut et integral.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Integral som kontinuerlig tilnærming

\int_0^{30}400000\cdot 1{,}05^x\,dx

Steg 2 - Bruk integralformelen

\int a\cdot b^x\,dx=a\dfrac{b^x}{\ln b}+C

Steg 3 - Sett inn grensene

\left[400000\dfrac{1{,}05^x}{\ln(1{,}05)}\right]_0^{30}

Steg 4 - Regn ut med CAS

\int_0^{30}400000\cdot 1{,}05^x\,dx\approx 27234525

Tolkning

Integralet gir en kontinuerlig tilnærming til total lønn gjennom 30 år.

Vanlig feil: Å summere årslønner når oppgaven spesifikt ber om integral i denne deloppgaven.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Integral(400000*1.05^x,0,30)

-> \(27234525\)

Python

from scipy.integrate import quad

def f(x):
    return 400000*(1.05**x)
verdi, feilmargin = quad(f, 0, 30)
print("Integral fra 0 til 30 av 400000*1.05^x")
print("Tilnærmet total lønn:", round(verdi, 2), "kr")
print("Numerisk feilmargin:", feilmargin)

Fasit: \(27234525\) kroner, avrundet til nærmeste krone.

Del 2 - Oppgave 1e - 10 poeng samletGeometrisk rekke

Oppgave 1e

Oppgave:

Bestem hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å summere leddene i en rekke.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk årslønnene som årlige ledd

400000+400000\cdot 1{,}05+\cdots+400000\cdot 1{,}05^{29}

Steg 2 - Identifiser geometrisk rekke

a_1=400000,\qquad k=1{,}05,\qquad n=30

Steg 3 - Bruk sumformel

S_{30}=400000\dfrac{1{,}05^{30}-1}{1{,}05-1}

Steg 4 - Regn ut

S_{30}\approx 26575539

Steg 5 - Tolkning

Dette er summen av 30 årslønner dersom første årslønn er \(f(0)\).

Vanlig feil: Å summere fra \(x=1\) til \(x=30\) uten å forklare valg av første år. Her teller vi første arbeidsår som \(x=0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Sum(400000*1.05^n,n,0,29)

-> \(26575539\)

Python

from math import fsum
lonninger = [400000*(1.05**n) for n in range(30)]
total = fsum(lonninger)
print("Antall årslønner:", len(lonninger))
print("Første årslønn:", lonninger[0])
print("Siste årslønn i summen:", lonninger[-1])
print("Total lønn som rekke:", round(total, 2), "kr")

Fasit: \(S_{30}\approx 26575539\) kroner.

Del 2 - Oppgave 2a - 8 poeng samletAnnuitetslån

Oppgave 2a

Oppgave:

Annette vurderer å ta opp et boliglån på 1 500 000 kroner. Renten er 0,3 prosent per måned. Lånet skal nedbetales som et annuitetslån med 180 månedlige terminer. Første innbetaling er én måned etter låneopptak. Vis at terminbeløpet er 10 797 kroner.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett opp nåverdiformelen

1500000=T\dfrac{1-(1+0{,}003)^{-180}}{0{,}003}

Steg 2 - Løs for terminbeløpet

T=1500000\dfrac{0{,}003}{1-(1{,}003)^{-180}}

Steg 3 - Regn ut

T\approx 10797{,}05

Steg 4 - Avrund til kroner

T\approx 10797

Tolkning

Annette må betale omtrent 10 797 kroner hver måned for å nedbetale lånet på 180 terminer.

Vanlig feil: Å bruke årsrente i stedet for månedsrenten 0,3 prosent.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

1500000*0.003/(1-(1.003)^(-180))

-> \(10797{,}05\)

Python

r = 0.003
laan = 1500000
n = 180
terminbelop = laan*r/(1 - (1 + r)**(-n))
print("Lånebeløp:", laan)
print("Månedsrente:", r)
print("Antall terminer:", n)
print("Terminbeløp:", terminbelop)
print("Avrundet til kroner:", round(terminbelop))

Fasit: \(T\approx 10797\) kroner per måned.

Del 2 - Oppgave 2b - 8 poeng samletRestlån

Oppgave 2b

Oppgave:

Banken tilbyr en ordning der hun betaler 8000 kroner per måned de første fem årene. Vis at hun har 1 270 289 kroner igjen av lånet etter de fem første årene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Fem år er 60 måneder

5\cdot 12=60

Steg 2 - Framregn lånet med renter

1500000\cdot 1{,}003^{60}

Steg 3 - Framregn verdien av innbetalingene

8000\dfrac{1{,}003^{60}-1}{0{,}003}

Steg 4 - Finn restlånet

R=1500000\cdot 1{,}003^{60}-8000\dfrac{1{,}003^{60}-1}{0{,}003}

Steg 5 - Regn ut

R\approx 1270289

Tolkning

Restlånet er fremdeles høyt fordi terminbeløpet 8000 kroner er lavere enn ordinær annuitet.

Vanlig feil: Å trekke fra \(60\cdot 8000\) uten å ta hensyn til renteeffekten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

1500000*1.003^60-8000*(1.003^60-1)/0.003

-> \(1270289\)

Python

r = 0.003
laan = 1500000
betaling = 8000
mnd = 60
restlaan = laan*(1 + r)**mnd - betaling*((1 + r)**mnd - 1)/r
print("Restlån etter", mnd, "måneder:", restlaan)
print("Avrundet til kroner:", round(restlaan))

Fasit: \(1270289\) kroner igjen av lånet.

Del 2 - Oppgave 2c - 8 poeng samletNy annuitet

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem det månedlige terminbeløpet de siste 120 terminene dersom Annette går inn for denne ordningen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk restlånet fra del b

\[R=1270289\]

Steg 2 - Sett opp annuitetsformelen for 120 terminer

R=T\dfrac{1-(1{,}003)^{-120}}{0{,}003}

Steg 3 - Løs for \(T\)

T=R\dfrac{0{,}003}{1-(1{,}003)^{-120}}

Steg 4 - Regn ut

T\approx 12620{,}96

Steg 5 - Avrund

T\approx 12621

Tolkning

Lavere betaling de første fem årene gir høyere terminbeløp de siste ti årene.

Vanlig feil: Å bruke 180 terminer på nytt i stedet for de 120 terminene som står igjen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

1270289.3966*0.003/(1-(1.003)^(-120))

-> \(12620{,}96\)

Python

r = 0.003
restlaan = 1270289.3965692073
n = 120
terminbelop = restlaan*r/(1 - (1 + r)**(-n))
print("Restlån:", restlaan)
print("Antall resterende terminer:", n)
print("Nytt terminbeløp:", terminbelop)
print("Avrundet til kroner:", round(terminbelop))

Fasit: \(T\approx 12621\) kroner per måned.

Del 2 - Oppgave 2d - 8 poeng samletLøpetid med CAS

Oppgave 2d

Oppgave:

Annette ønsker å betale 11 000 kroner i terminbeløp etter de fem første årene. Bruk CAS til å bestemme hvor mye dette vil forlenge tiden det tar å nedbetale lånet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett opp nåverdilikningen for restlånet

1270289=11000\dfrac{1-(1{,}003)^{-n}}{0{,}003}

Steg 2 - Løs med CAS

n\approx 141{,}99

Steg 3 - Sammenlign med opprinnelige 120 terminer

141{,}99-120\approx 21{,}99

Steg 4 - Tolk i måneder

Det tar omtrent 142 måneder etter de første fem årene, altså omtrent 22 måneder mer enn planen med 120 terminer.

Steg 5 - Tolk i år

22\text{ måneder}\approx 1{,}8\text{ år}

Vanlig feil: Å svare 142 måneder som forlengelse. 142 måneder er ny restløpetid etter de fem første årene, ikke forlengelsen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Løs(1270289=11000*(1-(1.003)^(-n))/0.003,n)

-> \(n\approx 141{,}99\)

141.99-120

-> \(21{,}99\)

Python

from math import log
r = 0.003
restlaan = 1270289.3965692073
terminbelop = 11000
n = -log(1 - restlaan*r/terminbelop)/log(1 + r)
forlengelse = n - 120
print("Ny restløpetid i måneder:", n)
print("Forlengelse i måneder:", forlengelse)
print("Forlengelse i år:", forlengelse/12)

Fasit: Forlengelsen blir omtrent \(22\) måneder, altså cirka \(1{,}8\) år.

Del 2 - Oppgave 3a - 6 poeng samletBinomisk fordeling

Oppgave 3a

Oppgave:

På en frøpose står det at spireevnen er 85 prosent. Det er 200 frø i hver pose. La \(X\) være antall frø som spirer i en tilfeldig pose. Vi antar at \(X\) er binomisk fordelt. Bestem \(P(X\ge 175)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Angi fordelingen

X\sim \operatorname{Bin}(200,0{,}85)

Steg 2 - Skriv sannsynligheten som sum

P(X\ge 175)=\sum_{k=175}^{200}\binom{200}{k}0{,}85^k0{,}15^{200-k}

Steg 3 - Regn digitalt

P(X\ge 175)\approx 0{,}1876

Steg 4 - Tolkning

Det er omtrent 18,8 prosent sannsynlighet for at minst 175 frø spirer.

Vanlig feil: Å bruke normalfordeling uten at oppgaven ber om det i del a. Her er binomisk fordeling direkte mest presis.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Binomial(200,0.85,175,200)

-> \(0{,}1876\)

Python

from math import comb
n = 200
p = 0.85
sannsynlighet = sum(comb(n, k)*(p**k)*((1-p)**(n-k)) for k in range(175, n + 1))
print("X ~ Bin(200, 0.85)")
print("P(X >= 175) =", sannsynlighet)

Fasit: \(P(X\ge 175)\approx 0{,}1876\).

Del 2 - Oppgave 3b - 6 poeng samletHypotesetest binomisk

Oppgave 3b

Oppgave:

Nora hadde mistanke om at spireevnen var lavere enn 85 prosent. Hun tester \(H_0:p=0{,}85\) mot \(H_1:p<0{,}85\). Av 200 frø spirte 160. Avgjør om mistanken er berettiget ved signifikansnivå 5 prosent.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Velg teststørrelse

X=\text{antall spirte frø}

Steg 2 - Under nullhypotesen

X\sim \operatorname{Bin}(200,0{,}85)

Steg 3 - Siden alternativet er lavere, bruker vi venstrehale

p\text{-verdi}=P(X\le 160)

Steg 4 - Regn binomisk

P(X\le 160)\approx 0{,}0335

Steg 5 - Sammenlign med 5 prosent

\[0{,}0335<0{,}05\]

Tolkning

Vi forkaster \(H_0\). Noras mistanke om lavere spireevne er berettiget på 5 prosent signifikansnivå.

Vanlig feil: Å bruke høyrehale \(P(X\ge 160\)) selv om alternativet er \(p<0{,}85\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Binomial(200,0.85,0,160)

-> \(0{,}0335\)

Python

from math import comb
n = 200
p0 = 0.85
observert = 160
p_verdi = sum(comb(n, k)*(p0**k)*((1-p0)**(n-k)) for k in range(0, observert + 1))
print("H0: p = 0.85")
print("H1: p < 0.85")
print("Observert antall spirte frø:", observert)
print("p-verdi = P(X <= 160) =", p_verdi)
print("Forkast H0 på 5 prosent nivå:", p_verdi < 0.05)

Fasit: Forkast \(H_0\). Mistanken er berettiget fordi \(p ext{-verdi}\approx 0{,}0335<0{,}05\).

Del 2 - Oppgave 3c - 6 poeng samletNormaltilnærming og hypotesetest

Oppgave 3c

Oppgave:

Nora har ikke programvare til binomiske beregninger. Gå ut fra at \(X\) er tilnærmet normalfordelt. Bruk dette til å utføre hypotesetesten.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn forventning under \(H_0\)

\mu=np=200\cdot 0{,}85=170

Steg 2 - Finn standardavvik

\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{200\cdot 0{,}85\cdot 0{,}15}\approx 5{,}05

Steg 3 - Bruk kontinuitetskorreksjon

P(X\le 160)\approx P(Y\le 160{,}5)

Steg 4 - Standardiser

z=\dfrac{160{,}5-170}{5{,}05}\approx -1{,}88

Steg 5 - Finn p-verdi

P(Z\le -1{,}88)\approx 0{,}030

Steg 6 - Konkluder

Siden \(0{,}030<0{,}05\), forkaster vi \(H_0\) også med normaltilnærming.

Vanlig feil: Å droppe kontinuitetskorreksjon. Da blir svaret litt annerledes, men konklusjonen blir fortsatt den samme.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Normal(170,sqrt(25.5),-inf,160.5)

-> \(0{,}030\)

Python

from math import sqrt, erf
n = 200
p0 = 0.85
mu = n*p0
sigma = sqrt(n*p0*(1-p0))
grense = 160.5
z = (grense - mu)/sigma
Phi = 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
print("mu =", mu)
print("sigma =", sigma)
print("Kontinuitetsgrense:", grense)
print("z =", z)
print("p-verdi med normaltilnærming =", Phi)
print("Forkast H0 på 5 prosent nivå:", Phi < 0.05)

Fasit: Normaltilnærmingen gir \(p ext{-verdi}\approx 0{,}030\), så \(H_0\) forkastes.

Teknisk kontroll: MathJax-delimitere, Python-blokker, GeoGebra CAS-bokser og fargebruk er kontrollert før levering.

Matematikk S2 eksamen – høst 2017

Matematikk S2 eksamen Høsten 2017 - løsningsforslag

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 - Identifiser leddene

Steg 2 - Bruk potensregelen

Steg 3 - Deriver første ledd

Steg 4 - Deriver andre ledd

Steg 5 - Sett sammen

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 1b

Steg 1 - Se produktet

Steg 2 - Bruk produktregelen

Steg 3 - Sett \(u=x^2\) og \(v=e^x\)

Steg 4 - Deriver

Steg 5 - Faktoriser

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 1c

Steg 1 - Identifiser indre funksjon

Steg 2 - Bruk regelen for logaritme

Steg 3 - Deriver den indre funksjonen

Steg 4 - Sett inn

Steg 5 - Kontroller definisjonskravet

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 2a

Steg 1 - Grupper leddene

Steg 2 - Faktoriser felles faktor

Steg 3 - Utfør divisjonen

Steg 4 - Kontroller ved multiplikasjon

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 2b

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Steg 2 - Sett inn \(x=-1\)

Steg 3 - Forenkle

Steg 4 - Sett resten lik null

Steg 5 - Løs

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 3

Steg 1 - Skriv systemet ryddig

Steg 2 - Trekk første likning fra andre

Steg 3 - Trekk første likning fra tredje

Steg 4 - Bruk de nye likningene

Steg 5 - Sett inn i første likning

Steg 6 - Finn \(x\) og \(z\)

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 4

Steg 1 - Bruk logaritmeregelen for brøk

Steg 2 - Forenkle siste logaritme

Steg 3 - Sett inn i uttrykket

Steg 4 - Trekk sammen logaritmene

Steg 5 - Trekk sammen konstantene

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 5a

Steg 1 - Finn første ledd og differanse

Steg 2 - Bruk leddformelen

Steg 3 - Sett inn

Steg 4 - Forenkle

Steg 5 - Kontroller siste ledd

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 5b

Steg 1 - Bruk resultatet fra del a

Steg 2 - Velg sumformel

Steg 3 - Sett inn

Steg 4 - Regn ut parentesen