S2 eksamenHøst 2016

Matematikk S2 eksamen – høst 2016

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo - løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen H16 - løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har trinnvis forklaring, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med nøytral kodevisning.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 5 poeng samletDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^3-5x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Identifiser leddene

Funksjonen består av et tredjegradsledd og et førstegradsledd.

Steg 2 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\]

Steg 3 - Deriver første ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2\]

Steg 4 - Deriver andre ledd

\[\dfrac{d}{dx}\left(-5x\right)=-5\]

Steg 5 - Sett sammen

\[f'(x)=3x^2-5\]

Steg 6 - Kontroller formen

Svaret skal være et andregradsuttrykk fordi vi deriverer et tredjegradsuttrykk.

Tolkning

Den deriverte gir stigningstallet til grafen i hvert punkt.

Vanlig feil: Å glemme at den deriverte av \(-5x\) er \(-5\), ikke \(-5x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(x^3 - 5*x)
-> \(3x^2-5\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x')
f = x**3 - 5*x
f_derivert = diff(f, x)
print("Funksjonen f(x) =", f)
print("Derivert f'(x) =", f_derivert)
print("Forenklet kontroll =", simplify(f_derivert))
Fasit: \(f'(x)=3x^2-5\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1b - 5 poeng samletKjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=5\left(x^2+1\right)^7\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se den sammensatte funksjonen

Ytre funksjon er en potens, og indre funksjon er \(x^2+1\).

Steg 2 - Sett opp kjerneregelen

\[\dfrac{d}{dx}\left(u^7\right)=7u^6\cdot u'\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u=x^2+1,\qquad u'=2x\]

Steg 4 - Husk konstanten foran

\[g'(x)=5\cdot 7\left(x^2+1\right)^6\cdot 2x\]

Steg 5 - Forenkle

\[g'(x)=70x\left(x^2+1\right)^6\]

Steg 6 - Kontroller grad

Uttrykket får faktor \(x\) fordi kjernen \(x^2+1\) har derivert \(2x\).

Tolkning

Kjerneregelen forklarer hvorfor faktoren \(2x\) må med.

Vanlig feil: Å derivere potensen uten å multiplisere med den deriverte av kjernen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(5*(x^2+1)^7)
-> \(70x\left(x^2+1\right)^6\)

Python

from sympy import symbols, diff, factor
x = symbols('x')
g = 5*(x**2 + 1)**7
g_derivert = diff(g, x)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) før faktorisering =", g_derivert)
print("g'(x) faktorisert =", factor(g_derivert))
Fasit: \(g'(x)=70x\left(x^2+1\right)^6\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1c - 5 poeng samletBrøkregel og eksponentialfunksjon

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Velg brøkregelen

\[\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

Steg 2 - Sett \(u=e^x\) og \(v=e^x+1\)

\[u'=e^x,\qquad v'=e^x\]

Steg 3 - Sett inn i brøkregelen

\[h'(x)=\dfrac{e^x\left(e^x+1\right)-e^x\cdot e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\]

Steg 4 - Forenkle telleren

\[e^x\left(e^x+1\right)-e^{2x}=e^{2x}+e^x-e^{2x}=e^x\]

Steg 5 - Skriv svaret

\[h'(x)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\]

Steg 6 - Kontroller positivitet

Den deriverte er positiv for alle \(x\), fordi \(e^x>0\).

Tolkning

Funksjonen er voksende, men veksten dempes av nevneren.

Vanlig feil: Å ikke forkorte telleren riktig etter bruk av brøkregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(e^x/(e^x+1))
-> \(\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
h = exp(x)/(exp(x) + 1)
h_derivert = simplify(diff(h, x))
print("h(x) =", h)
print("h'(x) =", h_derivert)
print("Kontrollert forenkling =", simplify(h_derivert - exp(x)/(exp(x)+1)**2))
Fasit: \(h'(x)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2a - 4 poeng samletRasjonal likning

Oppgave 2a

Oppgave:

Løs likningen

\[\dfrac{3x}{x-2}=\dfrac{x^2}{x^2-4}\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn definisjonsmengden

\[x\ne 2,\qquad x\ne -2\]

Steg 2 - Faktoriser nevneren til høyre

\[x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\]

Steg 3 - Multipliser med fellesnevner

\[3x\left(x+2\right)=x^2\]

Steg 4 - Flytt alt til én side

\[3x^2+6x=x^2\Rightarrow 2x^2+6x=0\]

Steg 5 - Faktoriser

\[2x\left(x+3\right)=0\]

Steg 6 - Kontroller mot definisjonsmengden

\[x=0\quad \text{eller}\quad x=-3\]

Tolkning

Begge løsningene er lovlige fordi ingen av dem gjør en nevner lik null.

Vanlig feil: Å glemme å utelukke \(x=2\) og \(x=-2\) før man løser.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(3*x/(x-2)=x^2/(x^2-4))
-> \(x=0\ \lor\ x=-3\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq(3*x/(x - 2), x**2/(x**2 - 4))
kandidater = solve(likning, x)
gyldige = [verdi for verdi in kandidater if verdi not in [2, -2]]
print("Kandidatløsninger:", kandidater)
print("Gyldige løsninger:", gyldige)
for verdi in gyldige:
    venstre = simplify(3*verdi/(verdi - 2))
    hoyre = simplify(verdi**2/(verdi**2 - 4))
    print("x =", verdi, "gir venstre =", venstre, "og høyre =", hoyre)
Fasit: \(x=0\) eller \(x=-3\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2b - 4 poeng samletLogaritmelikning

Oppgave 2b

Oppgave:

Løs likningen \(\ln\left(x^2+2x-14\right)=0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk at \(\ln 1=0\)

Når logaritmen er lik null, må argumentet være lik \(1\).

Steg 2 - Sett argumentet lik 1

\[x^2+2x-14=1\]

Steg 3 - Flytt alt til én side

\[x^2+2x-15=0\]

Steg 4 - Faktoriser

\[\left(x+5\right)\left(x-3\right)=0\]

Steg 5 - Finn kandidatene

\[x=-5\quad \text{eller}\quad x=3\]

Steg 6 - Kontroller logaritmeargumentet

\[x^2+2x-14=1>0\quad \text{for begge løsningene}\]

Tolkning

Begge kandidatene gir logaritmeargument lik \(1\).

Vanlig feil: Å sette argumentet lik \(0\) i stedet for \(1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(ln(x^2+2*x-14)=0)
-> \(x=-5\ \lor\ x=3\)

Python

from sympy import symbols, Eq, log, solve, simplify
x = symbols('x')
argument = x**2 + 2*x - 14
losninger = solve(Eq(log(argument), 0), x)
print("Løsninger:", losninger)
for verdi in losninger:
    print("x =", verdi, "gir argument =", simplify(argument.subs(x, verdi)))
Fasit: \(x=-5\) eller \(x=3\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3a - 7 poeng samletFaktorteorem

Oppgave 3a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3-6x^2+32\). Begrunn at divisjonen \(f(x):(x+2)\) går opp, uten å utføre divisjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Divisjonen med \(x+2\) går opp dersom \(f(-2)=0\).

Steg 2 - Sett inn \(x=-2\)

\[f(-2)=(-2)^3-6(-2)^2+32\]

Steg 3 - Regn ut

\[f(-2)=-8-24+32=0\]

Steg 4 - Trekk konklusjonen

Siden resten er \(0\), er \(x+2\) en faktor.

Steg 5 - Kontroller sammenhengen

\[f(x)=\left(x+2\right)Q(x)\]

Steg 6 - Svar presist

Vi har begrunnet divisjonen uten å utføre polynomdivisjon.

Tolkning

Resten ved divisjon med \(x+2\) er null.

Vanlig feil: Å teste \(x=2\) i stedet for \(x=-2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
f(x):=x^3-6*x^2+32
-> \(f(x)=x^3-6x^2+32\)
2
f(-2)
-> \(0\)

Python

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 32
rest = f.subs(x, -2)
print("f(x) =", f)
print("Rest ved divisjon med x + 2 er f(-2) =", rest)
print("Divisjonen går opp:", rest == 0)
Fasit: \(f(-2)=0\), derfor går divisjonen opp.
Del 1 - Oppgave 3b - 7 poeng samletNullpunkt

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem nullpunktene til \(f(x)=x^3-6x^2+32\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktoren fra del a

\[f(x)=\left(x+2\right)\left(x^2-8x+16\right)\]

Steg 2 - Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2-8x+16=\left(x-4\right)^2\]

Steg 3 - Skriv full faktorisering

\[f(x)=\left(x+2\right)\left(x-4\right)^2\]

Steg 4 - Sett faktorene lik null

\[x+2=0\quad \text{eller}\quad x-4=0\]

Steg 5 - Finn nullpunktene

\[x=-2\quad \text{eller}\quad x=4\]

Steg 6 - Legg merke til dobbeltrot

Nullpunktet \(x=4\) har partallsmultiplisitet, så grafen tangerer x-aksen der.

Tolkning

Grafen krysser x-aksen ved \(-2\) og berører x-aksen ved \(4\).

Vanlig feil: Å skrive \(x=4\) to ganger som to ulike nullpunkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(x^3-6*x^2+32)
-> \(\left(x+2\right)\left(x-4\right)^2\)

Python

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 32
print("Faktorisert f(x) =", factor(f))
print("Nullpunkter =", solve(f, x))
print("Merk at x = 4 er en dobbeltrot.")
Fasit: \(x=-2\) og \(x=4\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3c - 7 poeng samletEkstremalpunkt

Oppgave 3c

Oppgave:

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver funksjonen

\[f'(x)=3x^2-12x=3x\left(x-4\right)\]

Steg 2 - Finn kritiske punkt

\[f'(x)=0\Rightarrow x=0\quad \text{eller}\quad x=4\]

Steg 3 - Bruk andrederivert

\[f''(x)=6x-12\]

Steg 4 - Test \(x=0\)

\[f''(0)=-12<0\Rightarrow \text{toppunkt}\]

Steg 5 - Test \(x=4\)

\[f''(4)=12>0\Rightarrow \text{bunnpunkt}\]

Steg 6 - Finn y-verdiene

\[f(0)=32,\qquad f(4)=0\]

Tolkning

Toppunktet er \((0,32)\), og bunnpunktet er \((4,0)\).

Vanlig feil: Å bare finne x-verdiene og glemme koordinatene til punktene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt(x^3-6*x^2+32)
-> \((0,32),\ (4,0)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 32
fp = diff(f, x)
fpp = diff(fp, x)
kritiske = solve(fp, x)
print("f'(x) =", fp)
print("f''(x) =", fpp)
for verdi in kritiske:
    print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi), "f''(x) =", fpp.subs(x, verdi))
Fasit: \((0,32)\) er toppunkt, og \((4,0)\) er bunnpunkt.
Del 1 - Oppgave 3d - 7 poeng samletVendepunkt

Oppgave 3d

Oppgave:

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk andrederivert

\[f''(x)=6x-12\]

Steg 2 - Sett andrederivert lik null

\[6x-12=0\]

Steg 3 - Løs for \(x\)

\[x=2\]

Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte

Siden \(f''(x)\) er lineær, skifter den fortegn ved \(x=2\).

Steg 5 - Finn y-verdien

\[f(2)=2^3-6\cdot 2^2+32=16\]

Steg 6 - Skriv punktet

\[\left(2,16\right)\]

Tolkning

Grafen skifter krumming i punktet \((2,16)\).

Vanlig feil: Å sette \(f'(x)=0\) i stedet for \(f''(x)=0\) når man leter etter vendepunkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Vendepunkt(x^3-6*x^2+32)
-> \((2,16)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 32
fpp = diff(f, x, 2)
x_verdi = solve(fpp, x)[0]
y_verdi = f.subs(x, x_verdi)
print("f''(x) =", fpp)
print("Vendepunktets x-verdi =", x_verdi)
print("Vendepunktets y-verdi =", y_verdi)
print("Vendepunkt =", (x_verdi, y_verdi))
Fasit: \((2,16)\) er vendepunktet.
Del 1 - Oppgave 3e - 7 poeng samletGrafskisse

Oppgave 3e

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f(x)=x^3-6x^2+32\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk nullpunktene

\[x=-2,\qquad x=4\]

Steg 2 - Bruk ekstremalpunktene

\[\text{toppunkt }(0,32),\qquad \text{bunnpunkt }(4,0)\]

Steg 3 - Bruk vendepunktet

\[(2,16)\]

Steg 4 - Bestem endeadferd

Siden ledende ledd er \(x^3\), går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Steg 5 - Tegn grafen gjennom kjente punkt

Grafen krysser ved \(x=-2\) og tangerer x-aksen ved \(x=4\).

Steg 6 - Kontroller helheten

Skissen må være stigende før toppunktet, fallende fram til bunnpunktet og stigende etterpå.

Tolkning

Skissen bestemmes av nullpunkt, ekstremalpunkt, vendepunkt og endeadferd.

Vanlig feil: Å tegne grafen slik at den krysser x-aksen ved dobbeltroten \(x=4\). Den skal berøre aksen der.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Kurve(x^3-6*x^2+32)
-> \(\text{skisse med }x=-2,\ x=4,\ (0,32),\ (4,0)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, factor
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 32
print("f(x) =", f)
print("Faktorisert =", factor(f))
print("Nullpunkter:", solve(f, x))
print("Kritiske punkter:", solve(diff(f, x), x))
print("Vendepunkt x-verdi:", solve(diff(f, x, 2), x))
print("Disse punktene brukes til å lage en korrekt grafskisse.")
Fasit: Grafen har nullpunkt \(-2\) og \(4\), topppunkt \((0,32)\), bunnpunkt \((4,0)\) og vendepunkt \((2,16)\).
Del 1 - Oppgave 4a - 4 poeng samletØkonomisk modell

Oppgave 4a

Oppgave:

En bedrift har kostnadsfunksjonen \(K(x)=ax^2+bx+c\). Forklar at opplysningene gir likningssystemet

\[100a+10b+c=3000\\400a+20b+c=8000\\20a+b=350\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk kostnaden ved 10 enheter

\[K(10)=a\cdot 10^2+b\cdot 10+c=3000\]

Steg 2 - Forenkle første likning

\[100a+10b+c=3000\]

Steg 3 - Bruk kostnaden ved 20 enheter

\[K(20)=a\cdot 20^2+b\cdot 20+c=8000\]

Steg 4 - Forenkle andre likning

\[400a+20b+c=8000\]

Steg 5 - Bruk grensekostnaden

\[K'(x)=2ax+b\]

Steg 6 - Sett inn \(x=10\)

\[K'(10)=20a+b=350\]

Tolkning

Likningssystemet uttrykker to kostnadsopplysninger og én opplysning om grensekostnad.

Vanlig feil: Å bruke \(K(10)=350\) i stedet for \(K'(10)=350\) for grensekostnaden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
K(x):=a*x^2+b*x+c
-> \(K(x)=ax^2+bx+c\)
2
K(10), K(20), K'(10)
-> \(3000,\ 8000,\ 350\)

Python

from sympy import symbols, diff
x, a, b, c = symbols('x a b c')
K = a*x**2 + b*x + c
K_derivert = diff(K, x)
print("K(x) =", K)
print("K(10) =", K.subs(x, 10), "= 3000")
print("K(20) =", K.subs(x, 20), "= 8000")
print("K'(x) =", K_derivert)
print("K'(10) =", K_derivert.subs(x, 10), "= 350")
Fasit: Dette gir akkurat likningssystemet i oppgaven.
Del 1 - Oppgave 4b - 4 poeng samletLikningssystem

Oppgave 4b

Oppgave:

Løs likningssystemet fra del a.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv systemet

\[\begin{aligned}100a+10b+c&=3000\\400a+20b+c&=8000\\20a+b&=350\end{aligned}\]

Steg 2 - Bruk tredje likning

\[b=350-20a\]

Steg 3 - Sett inn i de to første

Da får vi to likninger med \(a\) og \(c\).

Steg 4 - Løs systemet

\[a=15,\qquad b=50,\qquad c=1000\]

Steg 5 - Kontroller kostnadene

\[K(10)=3000,\qquad K(20)=8000\]

Steg 6 - Kontroller grensekostnaden

\[K'(10)=350\]

Tolkning

Kostnadsfunksjonen blir \(K(x)=15x^2+50x+1000\).

Vanlig feil: Å finne \(a,b,c\) uten å sette dem tilbake i alle tre opplysninger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs({100a+10b+c=3000,400a+20b+c=8000,20a+b=350},{a,b,c})
-> \(a=15,\ b=50,\ c=1000\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x, a, b, c = symbols('x a b c')
likninger = [
    Eq(100*a + 10*b + c, 3000),
    Eq(400*a + 20*b + c, 8000),
    Eq(20*a + b, 350),
]
losning = solve(likninger, (a, b, c), dict=True)[0]
print("Løsning:", losning)
K = losning[a]*x**2 + losning[b]*x + losning[c]
print("K(x) =", K)
print("Kontroll K(10) =", K.subs(x, 10))
print("Kontroll K(20) =", K.subs(x, 20))
print("Kontroll K'(10) =", (2*losning[a]*x + losning[b]).subs(x, 10))
Fasit: \(a=15\), \(b=50\) og \(c=1000\).
Del 1 - Oppgave 5a - 3 poeng samletAritmetisk sum

Oppgave 5a

Oppgave:

Bruk sumformelen for en aritmetisk rekke til å finne et uttrykk for summen \(1+2+3+\cdots+n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se rekken som aritmetisk

\[a_1=1,\qquad a_n=n\]

Steg 2 - Antall ledd er \(n\)

Rekken starter på 1 og slutter på \(n\).

Steg 3 - Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Steg 4 - Sett inn første og siste ledd

\[S_n=\dfrac{n\left(1+n\right)}{2}\]

Steg 5 - Skriv ryddig

\[1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\]

Steg 6 - Kontroller med en liten verdi

\[1+2+3+4=10=\dfrac{4\cdot 5}{2}\]

Tolkning

Formelen gir summen av de \(n\) første positive heltallene.

Vanlig feil: Å bruke \(n+1\) som antall ledd. Fra 1 til \(n\) er det \(n\) ledd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum(Følge(k,k,1,n))
-> \(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Python

from sympy import symbols, summation, simplify
k, n = symbols('k n', integer=True, positive=True)
sumformel = summation(k, (k, 1, n))
print("Summen 1 + 2 + ... + n =", sumformel)
print("Forenklet form =", simplify(sumformel))
print("Kontroll for n = 4:", sumformel.subs(n, 4))
Fasit: \(1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\).
Del 1 - Oppgave 5b - 3 poeng samletFigurargument

Oppgave 5b

Oppgave:

Vis hvordan du kan argumentere for resultatet i oppgave a ved å bruke figuren.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Tenk på summen som en trapp

Figuren kan tolkes som rader med \(1,2,3,\ldots,n\) ruter.

Steg 2 - Lag en kopi av trappen

Setter vi to like trapper mot hverandre, får vi et rektangel.

Steg 3 - Finn sidene i rektangelet

\[\text{høyde}=n,\qquad \text{bredde}=n+1\]

Steg 4 - Finn arealet av rektangelet

\[A=n\left(n+1\right)\]

Steg 5 - Ta halvparten

\[S_n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\]

Steg 6 - Knytt til sumformelen

Dette er samme uttrykk som i del a.

Tolkning

Figurargumentet viser hvorfor formelen er naturlig, ikke bare at den virker algebraisk.

Vanlig feil: Å glemme at rektangelet består av to like trapper, slik at man må dele på \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
n*(n+1)/2
-> \(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Python

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', positive=True, integer=True)
rektangel = n*(n + 1)
sum_trapp = rektangel/2
print("Areal av to trapper =", rektangel)
print("Areal av én trapp =", sum_trapp)
print("Forenklet sumformel =", simplify(sum_trapp))
Fasit: \(S_n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\).
Del 1 - Oppgave 6a - 4 poeng samletSannsynlighetsfordeling

Oppgave 6a

Oppgave:

Sannsynlighetsfordelingen er gitt ved verdiene \(r,-1,0,2\) med sannsynligheter \(0{,}1,0{,}3,0{,}2,p\). Forklar hvorfor \(p=0{,}4\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk total sannsynlighet

Summen av alle sannsynlighetene må være \(1\).

Steg 2 - Sett opp likningen

\[0{,}1+0{,}3+0{,}2+p=1\]

Steg 3 - Trekk sammen kjente sannsynligheter

\[0{,}6+p=1\]

Steg 4 - Løs for \(p\)

\[p=0{,}4\]

Steg 5 - Kontroller

\[0{,}1+0{,}3+0{,}2+0{,}4=1\]

Steg 6 - Konklusjon

Dermed er tabellen en gyldig sannsynlighetsfordeling.

Tolkning

Alle sannsynligheter må summeres til \(1\).

Vanlig feil: Å overse at \(r\) er en verdi av variabelen, ikke en sannsynlighet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
0.1+0.3+0.2+p=1
-> \(p=0{,}4\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
p = symbols('p')
likning = Eq(0.1 + 0.3 + 0.2 + p, 1)
losning = solve(likning, p)[0]
print("Likning for total sannsynlighet:", likning)
print("p =", losning)
print("Kontrollsum =", 0.1 + 0.3 + 0.2 + float(losning))
Fasit: \(p=0{,}4\).
Del 1 - Oppgave 6b - 4 poeng samletForventningsverdi

Oppgave 6b

Oppgave:

Bestem \(r\) dersom \(E(X)=1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk forventningsverdi

\[E(X)=\sum t\cdot P(X=t)\]

Steg 2 - Sett inn tabellverdiene

\[E(X)=0{,}1r+0{,}3\left(-1\right)+0{,}2\cdot 0+0{,}4\cdot 2\]

Steg 3 - Forenkle

\[E(X)=0{,}1r-0{,}3+0{,}8=0{,}1r+0{,}5\]

Steg 4 - Sett lik \(1\)

\[0{,}1r+0{,}5=1\]

Steg 5 - Løs

\[0{,}1r=0{,}5\Rightarrow r=5\]

Steg 6 - Kontroller

\[0{,}1\cdot 5-0{,}3+0{,}8=1\]

Tolkning

Verdien \(r=5\) gjør forventningsverdien lik \(1\).

Vanlig feil: Å multiplisere sannsynlighetene sammen i stedet for å multiplisere hver verdi med sin sannsynlighet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(0.1*r+0.3*(-1)+0.4*2=1,r)
-> \(r=5\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
r = symbols('r')
forventning = 0.1*r + 0.3*(-1) + 0.2*0 + 0.4*2
losning = solve(Eq(forventning, 1), r)[0]
print("Forventningsverdi som funksjon av r:", forventning)
print("r som gir E(X) = 1:", losning)
print("Kontroll E(X) =", forventning.subs(r, losning))
Fasit: \(r=5\).
Del 1 - Oppgave 6c - 4 poeng samletForventning og varians

Oppgave 6c

Oppgave:

Vi setter nå \(r=-5\). Bestem \(E(X)\) og \(Var(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv verdier og sannsynligheter

\[t=-5,-1,0,2\qquad P=0{,}1,0{,}3,0{,}2,0{,}4\]

Steg 2 - Finn forventningsverdien

\[E(X)=-5\cdot 0{,}1+(-1)\cdot 0{,}3+0\cdot 0{,}2+2\cdot 0{,}4=0\]

Steg 3 - Finn \(E(X^2)\)

\[E(X^2)=25\cdot 0{,}1+1\cdot 0{,}3+0+4\cdot 0{,}4=4{,}4\]

Steg 4 - Bruk variansformelen

\[Var(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2\]

Steg 5 - Sett inn

\[Var(X)=4{,}4-0^2=4{,}4\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Variansen er positiv, slik den må være.

Tolkning

Forventningsverdien er \(0\), og variansen er \(4{,}4\).

Vanlig feil: Å regne \(E(X^2)\) som \(\left(E(X)\right)^2\). Det er to ulike størrelser.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum(t*P)
-> \(0\)
2
Sum(t^2*P)-0^2
-> \(4{,}4\)

Python

values = [-5, -1, 0, 2]
probabilities = [0.1, 0.3, 0.2, 0.4]
E = sum(value*prob for value, prob in zip(values, probabilities))
E2 = sum(value**2*prob for value, prob in zip(values, probabilities))
Var = E2 - E**2
print("Verdier:", values)
print("Sannsynligheter:", probabilities)
print("E(X) =", E)
print("E(X^2) =", E2)
print("Var(X) =", Var)
Fasit: \(E(X)=0\) og \(Var(X)=4{,}4\).
Del 1 - Oppgave 7a - 5 poeng samletGrafisk økonomi

Oppgave 7a

Oppgave:

Bruk figuren med kostnadsfunksjonen \(K\) og inntektsfunksjonen \(I\). Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge daglig for at den skal ha overskudd?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Overskudd betyr \(I(x)>K(x)\)

Inntektene må ligge over kostnadene.

Steg 2 - Les av skjæringspunktene

Grafene skjærer hverandre omtrent ved \(x=100\) og \(x=400\).

Steg 3 - Finn intervallet der rød graf ligger over blå graf

\[100

Steg 4 - Tolke endepunktene

Ved skjæringspunktene er overskuddet \(0\).

Steg 5 - Skriv svaret med hele enheter

Bedriften må produsere og selge mer enn 100 og mindre enn 400 enheter.

Steg 6 - Kontroller grafisk

Mellom punktene A og C ligger inntektsgrafen over kostnadsgrafen.

Tolkning

Overskudd oppstår for produksjonsmengder mellom de to dekningspunktene.

Vanlig feil: Å ta med endepunktene. Der er overskuddet null, ikke positivt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
I(x)>K(x)
-> \(100

Python

print("Fra grafen leser vi dekningspunktene omtrent som x = 100 og x = 400.")
print("Overskudd betyr I(x) > K(x).")
print("Dermed blir overskuddsintervallet: 100 < x < 400.")
Fasit: Bedriften har overskudd når \(100
Del 1 - Oppgave 7b - 5 poeng samletGrensekostnad

Oppgave 7b

Oppgave:

Bestem grensekostnaden ved produksjon og salg av 100 enheter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Grensekostnad er stigningstall

Grensekostnaden ved \(x=100\) er stigningstallet til tangenten til \(K\) der.

Steg 2 - Finn relevant tangent

Tangenten gjennom punktet A er \(h(x)=62{,}5x+3850\).

Steg 3 - Les av stigningstallet

\[h'(x)=62{,}5\]

Steg 4 - Tolk enheten

Stigningstallet er kroner per ekstra enhet.

Steg 5 - Skriv svaret

\[K'(100)\approx 62{,}5\]

Steg 6 - Kontroller mot figuren

Tangenten er slakere enn tangenten \(g\), derfor er \(62{,}5\) rimelig ved \(x=100\).

Tolkning

Ved 100 enheter øker kostnaden med omtrent \(62{,}5\) kroner per ekstra enhet.

Vanlig feil: Å bruke y-verdien i punktet i stedet for stigningstallet til tangenten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
h(x):=62.5*x+3850
-> \(h'(x)=62{,}5\)

Python

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
h = 62.5*x + 3850
h_derivert = diff(h, x)
print("Tangent h(x) =", h)
print("Stigningstall h'(x) =", h_derivert)
print("Grensekostnad ved x = 100 er omtrent", h_derivert, "kroner per enhet")
Fasit: \(K'(100)\approx 62{,}5\) kroner per enhet.
Del 1 - Oppgave 7c - 5 poeng samletMaksimalt overskudd

Oppgave 7c

Oppgave:

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk overskuddsfunksjonen

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 2 - Maksimalt overskudd krever like marginaler

\[O'(x)=I'(x)-K'(x)=0\Rightarrow I'(x)=K'(x)\]

Steg 3 - Les stigningstallet til inntektsgrafen

Inntekten \(I\) er en rett linje med stigningstall omtrent \(100\).

Steg 4 - Finn tangent med samme stigningstall

Tangenten \(g(x)=100x-2613\) har stigningstall \(100\).

Steg 5 - Les av punktet for tangenten

Tangenten \(g\) berører kostnadsgrafen omtrent ved \(x=250\).

Steg 6 - Konkluder

\[x\approx 250\]

Tolkning

Overskuddet er størst når marginalinntekt og grensekostnad er like.

Vanlig feil: Å velge punktet der inntekt og kostnad er like. Det gir null overskudd, ikke størst overskudd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
I'(x)=K'(x)
-> \(x\approx 250\)

Python

print("Overskudd O(x) = I(x) - K(x).")
print("Maksimum når O'(x) = 0, altså I'(x) = K'(x).")
print("Fra figuren har I stigningstall 100.")
print("Tangenten g(x) = 100*x - 2613 har samme stigningstall og tangerer ved x ≈ 250.")
Fasit: Overskuddet blir størst ved omtrent \(250\) enheter.
Del 1 - Oppgave 8 - 4 poengNormaltilnærming

Oppgave 8

Oppgave:

Avgjør hvilken av de fire normalfordelingene som gir best tilnærming til \(X_1\) og hvilken som gir best tilnærming til \(X_2\). Begrunn svarene dine.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn parametere for \(X_1\)

\[X_1\sim Bin\left(32,\dfrac{1}{3}\right),\quad \mu_1=32\cdot \dfrac{1}{3}\approx 10{,}7\]

Steg 2 - Finn standardavvik for \(X_1\)

\[\sigma_1=\sqrt{32\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}}=\dfrac{8}{3}\approx 2{,}7\]

Steg 3 - Finn parametere for \(X_2\)

\[X_2\sim Bin\left(100,0{,}80\right),\quad \mu_2=80\]

Steg 4 - Finn standardavvik for \(X_2\)

\[\sigma_2=\sqrt{100\cdot 0{,}80\cdot 0{,}20}=4\]

Steg 5 - Sammenlikn med grafene

Graf D er sentrert rundt 10-11 med liten spredning. Graf A er sentrert rundt 80 med spredning omtrent 4.

Steg 6 - Konkluder

\[X_1:\ D,\qquad X_2:\ A\]

Tolkning

Fordelingene velges ved å sammenlikne forventningsverdi og standardavvik.

Vanlig feil: Å bare se på høyden på normalfordelingen og ikke på både sentrum og spredning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Normalfordeling(32/3, 8/3)
-> \(D\)
2
Normalfordeling(80, 4)
-> \(A\)

Python

from math import sqrt
n1, p1 = 32, 1/3
mu1 = n1*p1
sigma1 = sqrt(n1*p1*(1-p1))
n2, p2 = 100, 0.80
mu2 = n2*p2
sigma2 = sqrt(n2*p2*(1-p2))
print("X1: forventning =", mu1, "standardavvik =", sigma1)
print("X2: forventning =", mu2, "standardavvik =", sigma2)
print("Best tilnærming: X1 -> graf D, X2 -> graf A")
Fasit: \(X_1\): graf D, \(X_2\): graf A.

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1a - 6 poeng samletOptimalisering og volum

Oppgave 1a

Oppgave:

Et skap har kvadratisk bunn, volum \(800\) L, side/top-materiale koster 230 kroner per \(m^2\), og bunnmateriale 450 kroner per \(m^2\). Vis at \(K(x)=680x^2+\dfrac{736}{x}\), \(x>0\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Gjør om volumet

\[800\text{ L}=0{,}8\text{ m}^3\]

Steg 2 - Finn høyden

\[x^2h=0{,}8\Rightarrow h=\dfrac{0{,}8}{x^2}\]

Steg 3 - Finn areal av sideflatene

\[4xh=4x\cdot \dfrac{0{,}8}{x^2}=\dfrac{3{,}2}{x}\]

Steg 4 - Finn areal av topp og bunn

\[A_{topp}=x^2,\qquad A_{bunn}=x^2\]

Steg 5 - Regn kostnad for sideflater og topp

\[230\left(\dfrac{3{,}2}{x}+x^2\right)=\dfrac{736}{x}+230x^2\]

Steg 6 - Legg til bunnen

\[K(x)=\dfrac{736}{x}+230x^2+450x^2=680x^2+\dfrac{736}{x}\]

Tolkning

Kostnadsfunksjonen kombinerer arealkostnadene og volumkravet.

Vanlig feil: Å bruke 800 som kubikkmeter. Volumet er \(0{,}8 ext{ m}^3\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
0.8/x^2
-> \(h=\dfrac{0{,}8}{x^2}\)
2
680*x^2+736/x
-> \(680x^2+\dfrac{736}{x}\)

Python

from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x', positive=True)
volum = 0.8
h = volum/x**2
sideareal = 4*x*h
topp = x**2
bunn = x**2
K = 230*(sideareal + topp) + 450*bunn
print("høyde h =", h)
print("sideareal =", simplify(sideareal))
print("kostnadsfunksjon K(x) =", simplify(K))
Fasit: \(K(x)=680x^2+\dfrac{736}{x}\), \(x>0\).
Del 2 - Oppgave 1b - 6 poeng samletGraftegner

Oppgave 1b

Oppgave:

Bruk graftegner til å tegne grafen til \(K\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv inn funksjonen

\[K(x)=680x^2+\dfrac{736}{x}\]

Steg 2 - Bruk riktig definisjonsområde

\[x>0\]

Steg 3 - Velg passende vindu

Et fornuftig vindu er for eksempel \(0{,}2\le x\le 2\) og \(1000\le y\le 4000\).

Steg 4 - Se formen på grafen

Grafen faller først fordi \(\dfrac{736}{x}\) blir mindre, og stiger deretter fordi \(680x^2\) øker.

Steg 5 - Marker minimum

Minimum ligger rundt \(x\approx 0{,}815\).

Steg 6 - Kontroller visuelt

Grafen skal bare tegnes for positive \(x\).

Tolkning

Grafen har ett tydelig bunnpunkt for \(x>0\).

Vanlig feil: Å tegne grafen for negative \(x\), selv om sidelengden må være positiv.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Funksjon(680*x^2+736/x,0.2,2)
-> \(\text{minimum rundt }x=0{,}815\)

Python

import numpy as np
x_values = np.linspace(0.2, 2.0, 10)
K_values = 680*x_values**2 + 736/x_values
print("x-verdier:", x_values)
print("K(x)-verdier:", K_values)
print("Grafen faller først og stiger etter minimum.")
Fasit: Grafen til \(K(x)=680x^2+\dfrac{736}{x}\) har minimum rundt \(x=0{,}815\).
Del 2 - Oppgave 1c - 6 poeng samletMinimum

Oppgave 1c

Oppgave:

Bestem \(x\) slik at materialkostnadene blir lavest mulig.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver kostnadsfunksjonen

\[K'(x)=1360x-\dfrac{736}{x^2}\]

Steg 2 - Sett derivert lik null

\[1360x-\dfrac{736}{x^2}=0\]

Steg 3 - Multipliser med \(x^2\)

\[1360x^3=736\]

Steg 4 - Løs for \(x\)

\[x=\sqrt[3]{\dfrac{736}{1360}}\approx 0{,}815\]

Steg 5 - Kontroller minimum

For små \(x\) er \(K\) stor, og for store \(x\) er \(K\) også stor. Punktet er derfor et minimum.

Steg 6 - Finn minste kostnad

\[K(0{,}815)\approx 1355\]

Tolkning

Bunnen bør ha sidelengde omtrent \(0{,}815\) meter.

Vanlig feil: Å glemme å kontrollere at sidelengden må være positiv.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Minimer(680*x^2+736/x, x>0)
-> \(x\approx 0{,}815,\ K\approx 1355\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, N
x = symbols('x', positive=True)
K = 680*x**2 + 736/x
K_derivert = diff(K, x)
kritisk = solve(K_derivert, x)[0]
minste_kostnad = K.subs(x, kritisk)
print("K(x) =", K)
print("K'(x) =", K_derivert)
print("Optimal x =", N(kritisk, 6))
print("Minste kostnad =", N(minste_kostnad, 8))
Fasit: \(x\approx 0{,}815\) m, og minste kostnad er omtrent \(1355\) kroner.
Del 2 - Oppgave 2a - 5 poeng samletBinomisk sannsynlighet

Oppgave 2a

Oppgave:

Sannsynligheten for å bestå teoriprøven er \(p=0{,}52\). En dag skal 10 personer ta prøven. Bestem sannsynligheten for at minst 7 består.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Velg modell

\[X\sim Bin\left(10,0{,}52\right)\]

Steg 2 - Oversett minst 7

\[P(X\ge 7)\]

Steg 3 - Skriv som sum

\[P(X\ge 7)=\sum_{k=7}^{10}\binom{10}{k}0{,}52^k0{,}48^{10-k}\]

Steg 4 - Regn digitalt

\[P(X\ge 7)\approx 0{,}2067\]

Steg 5 - Gjør om til prosent

\[0{,}2067\approx 20{,}7\%\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Siden forventningen er \(5{,}2\), er minst 7 mulig, men ikke mest sannsynlig.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(20{,}7\%\).

Vanlig feil: Å regne bare \(P(X=7)\) og glemme \(8,9,10\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
1-BinomiskFordeling(10,0.52,6,true)
-> \(0{,}2067\)

Python

from math import comb
n = 10
p = 0.52
sannsynlighet = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(7, n+1))
print("Modell: X ~ Bin(10, 0.52)")
print("P(X >= 7) =", sannsynlighet)
print("Prosent =", 100*sannsynlighet)
Fasit: \(P(X\ge 7)\approx 0{,}2067\).
Del 2 - Oppgave 2b - 5 poeng samletBinomisk sannsynlighet

Oppgave 2b

Oppgave:

En uke skal 100 personer ta teoriprøven. Bestem sannsynligheten for at minst 70 består.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Velg modell

\[Y\sim Bin\left(100,0{,}52\right)\]

Steg 2 - Oversett minst 70

\[P(Y\ge 70)\]

Steg 3 - Skriv digital sum

\[P(Y\ge 70)=\sum_{k=70}^{100}\binom{100}{k}0{,}52^k0{,}48^{100-k}\]

Steg 4 - Regn med verktøy

\[P(Y\ge 70)\approx 0{,}000190\]

Steg 5 - Tolk prosent

\[0{,}000190\approx 0{,}019\%\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Forventningen er \(52\), så \(70\) er langt over forventet verdi.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent \(0{,}000190\).

Vanlig feil: Å bruke normalfordeling uten å være tydelig på tilnærming eller kontinuitetskorreksjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
1-BinomiskFordeling(100,0.52,69,true)
-> \(0{,}000190\)

Python

from math import comb
n = 100
p = 0.52
sannsynlighet = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(70, n+1))
print("Modell: Y ~ Bin(100, 0.52)")
print("P(Y >= 70) =", sannsynlighet)
print("Prosent =", 100*sannsynlighet)
Fasit: \(P(Y\ge 70)\approx 0{,}000190\).
Del 2 - Oppgave 2c - 5 poeng samletHypotesetest

Oppgave 2c

Oppgave:

Av de 100 siste elevene fra en bestemt kjøreskole besto 60 teoriprøven. Bruk hypotesetesting til å avgjøre om tallene støtter mistanken om juks. Bruk signifikansnivå \(5\%\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Formuler hypoteser

\[H_0:p=0{,}52,\qquad H_1:p>0{,}52\]

Steg 2 - Velg testobservator

\[X\sim Bin\left(100,0{,}52\right)\]

Steg 3 - Bruk observert verdi

\[x_{obs}=60\]

Steg 4 - Regn p-verdi

\[P(X\ge 60)\approx 0{,}0662\]

Steg 5 - Sammenlikn med signifikansnivå

\[0{,}0662>0{,}05\]

Steg 6 - Konkluder

Vi forkaster ikke \(H_0\) på \(5\%\) nivå.

Tolkning

Tallene gir ikke sterk nok statistisk støtte for mistanken på \(5\%\) signifikansnivå.

Vanlig feil: Å konkludere med juks bare fordi 60 er større enn 52. Vi må vurdere sannsynligheten for et slikt avvik.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
1-BinomiskFordeling(100,0.52,59,true)
-> \(0{,}0662\)

Python

from math import comb
n = 100
p0 = 0.52
observed = 60
p_verdi = sum(comb(n, k)*p0**k*(1-p0)**(n-k) for k in range(observed, n+1))
print("H0: p = 0.52")
print("H1: p > 0.52")
print("Observert antall bestått:", observed)
print("p-verdi = P(X >= 60) =", p_verdi)
print("Forkast H0 på 5 prosent nivå?", p_verdi < 0.05)
Fasit: Ikke forkast \(H_0\). Tallene støtter ikke mistanken på \(5\%\) nivå.
Del 2 - Oppgave 3a - 7 poeng samletInntekt

Oppgave 3a

Oppgave:

Etterspørselen er \(x=E(p)=341-p^2\) for \(p\in[4,16]\). Bestem inntekten \(I\) uttrykt ved \(p\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk inntektsdefinisjonen

\[I=p\cdot x\]

Steg 2 - Sett inn etterspørselen

\[I(p)=p\left(341-p^2\right)\]

Steg 3 - Utvid uttrykket

\[I(p)=341p-p^3\]

Steg 4 - Behold definisjonsområdet

\[p\in[4,16]\]

Steg 5 - Kontroller enheten

Pris ganger antall enheter gir kroner.

Steg 6 - Skriv ryddig svar

\[I(p)=-p^3+341p\]

Tolkning

Inntekten avhenger av både prisen og hvor mange enheter som etterspørres.

Vanlig feil: Å bruke \(x\) og \(p\) som uavhengige samtidig etter at oppgaven har gitt \(x=E(p)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
p*(341-p^2)
-> \(341p-p^3\)

Python

from sympy import symbols, expand
p = symbols('p')
E = 341 - p**2
I = p*E
print("Etterspørsel E(p) =", E)
print("Inntekt I(p) = p*E(p) =", expand(I))
Fasit: \(I(p)=341p-p^3\), \(p\in[4,16]\).
Del 2 - Oppgave 3b - 7 poeng samletMaksimal inntekt

Oppgave 3b

Oppgave:

Hvilken pris gir høyest inntekt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver inntekten

\[I'(p)=341-3p^2\]

Steg 2 - Sett derivert lik null

\[341-3p^2=0\]

Steg 3 - Løs

\[p=\sqrt{\dfrac{341}{3}}\approx 10{,}66\]

Steg 4 - Sjekk intervallet

Verdien \(10{,}66\) ligger i \([4,16]\).

Steg 5 - Kontroller maksimum

\[I''(p)=-6p<0\quad \text{for}\quad p>0\]

Steg 6 - Skriv pris

Prisen som gir høyest inntekt er omtrent \(10{,}66\) kroner.

Tolkning

Inntekten blir størst ved pris omtrent \(10{,}66\) kroner.

Vanlig feil: Å glemme å sjekke at kritisk punkt ligger i intervallet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Maksimer(341*p-p^3,4<=p<=16)
-> \(p\approx 10{,}66\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, N
p = symbols('p', positive=True)
I = 341*p - p**3
kritiske = solve(diff(I, p), p)
print("I(p) =", I)
print("I'(p) =", diff(I, p))
for verdi in kritiske:
    if verdi.is_real:
        print("Kritisk pris:", N(verdi, 6), "I(p) =", N(I.subs(p, verdi), 8))
Fasit: \(p\approx 10{,}66\) kroner.
Del 2 - Oppgave 3c - 7 poeng samletRegresjon og overskuddsmodell

Oppgave 3c

Oppgave:

Bruk blant annet tallene i tabellen til å vise at en god modell for overskuddsfunksjonen er \(O(p)=-p^3+5{,}37p^2+341p-2356\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Modeller kostnadene lineært

Tabellverdiene passer godt med en lineær kostnadsmodell.

Steg 2 - Lineær regresjon gir

\[K(x)\approx 5{,}37x+524{,}83\]

Steg 3 - Bruk etterspørselen

\[x=341-p^2\]

Steg 4 - Sett inn i kostnadsmodellen

\[K(E(p))\approx 5{,}37\left(341-p^2\right)+524{,}83\]

Steg 5 - Bruk overskudd

\[O(p)=I(p)-K(E(p))\]

Steg 6 - Forenkle

\[O(p)\approx -p^3+5{,}37p^2+341p-2356\]

Tolkning

Modellen kommer fra inntekt minus kostnad, der kostnaden først modelleres ut fra tabellen.

Vanlig feil: Å sette \(p\) direkte inn i kostnadsfunksjonen. Kostnaden avhenger av antall enheter \(x\), ikke prisen direkte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
RegPoly({(50,792),(100,1065),(150,1329),(200,1601),(250,1867),(300,2136)},1)
-> \(K(x)\approx 5{,}37x+524{,}83\)

Python

import numpy as np
x_values = np.array([50, 100, 150, 200, 250, 300], dtype=float)
K_values = np.array([792, 1065, 1329, 1601, 1867, 2136], dtype=float)
a, b = np.polyfit(x_values, K_values, 1)
print("Lineær modell K(x) = a*x + b")
print("a =", a)
print("b =", b)
print("Med avrunding: K(x) ≈ 5.37*x + 524.83")
print("Da blir O(p) ≈ -p**3 + 5.37*p**2 + 341*p - 2356")
Fasit: \(O(p)=-p^3+5{,}37p^2+341p-2356\) er en god modell.
Del 2 - Oppgave 3d - 7 poeng samletMaksimalt overskudd

Oppgave 3d

Oppgave:

Bestem den prisen som gir størst overskudd. Hvor mange enheter må bedriften produsere da?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk overskuddsmodellen

\[O(p)=-p^3+5{,}37p^2+341p-2356\]

Steg 2 - Deriver

\[O'(p)=-3p^2+10{,}74p+341\]

Steg 3 - Sett derivert lik null

\[-3p^2+10{,}74p+341=0\]

Steg 4 - Løs i intervallet

\[p\approx 12{,}60\]

Steg 5 - Finn etterspørselen

\[x=341-p^2\approx 341-12{,}60^2\approx 182\]

Steg 6 - Kontroller maksimum

Den andre løsningen ligger utenfor intervallet, og \(O\) har maksimum ved \(p\approx 12{,}60\).

Tolkning

Best pris er omtrent \(12{,}60\) kroner, og produksjonen bør være omtrent \(182\) enheter.

Vanlig feil: Å maksimere inntekten i stedet for overskuddet. Kostnadene endrer optimal pris.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Maksimer(-p^3+5.37*p^2+341*p-2356,4<=p<=16)
-> \(p\approx 12{,}60,\ x\approx 182\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, N
p = symbols('p')
O = -p**3 + 5.37*p**2 + 341*p - 2356
kritiske = solve(diff(O, p), p)
print("O(p) =", O)
print("O'(p) =", diff(O, p))
for verdi in kritiske:
    if 4 <= float(verdi) <= 16:
        x = 341 - verdi**2
        print("Optimal pris =", N(verdi, 6))
        print("Maksimalt overskudd =", N(O.subs(p, verdi), 8))
        print("Antall enheter =", N(x, 6))
Fasit: \(p\approx 12{,}60\) kroner og \(x\approx 182\) enheter.
Del 2 - Oppgave 4a - 6 poeng samletAnnuitetslån

Oppgave 4a

Oppgave:

Remine låner \(1\ 000\ 000\) kroner til årlig rente \(2{,}40\%\) over 25 år med én termin per år. Bestem terminbeløpet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett opp annuitetsformelen

\[T=L\cdot \dfrac{r}{1-\left(1+r\right)^{-n}}\]

Steg 2 - Sett inn verdier

\[L=1\ 000\ 000,\qquad r=0{,}024,\qquad n=25\]

Steg 3 - Regn terminbeløpet

\[T=1\ 000\ 000\cdot \dfrac{0{,}024}{1-1{,}024^{-25}}\]

Steg 4 - Regn digitalt

\[T\approx 53\ 657\]

Steg 5 - Tolk

Dette er beløpet som betales én gang per år.

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Beløpet er større enn første års rente, som er \(24\ 000\) kroner.

Tolkning

Terminbeløpet er omtrent \(53\ 657\) kroner per år.

Vanlig feil: Å bruke månedlig rente når oppgaven sier én termin per år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
1000000*0.024/(1-1.024^(-25))
-> \(53657\)

Python

L = 1_000_000
r = 0.024
n = 25
terminbelop = L*r/(1 - (1 + r)**(-n))
print("Lånebeløp =", L)
print("Årlig rente =", r)
print("Antall terminer =", n)
print("Terminbeløp =", terminbelop)
print("Avrundet terminbeløp =", round(terminbelop))
Fasit: \(T\approx 53\ 657\) kroner.
Del 2 - Oppgave 4b - 6 poeng samletCAS og rente

Oppgave 4b

Oppgave:

Remine kan betale maksimalt \(60\ 000\) kroner per år. Bruk CAS til å bestemme hvor høy renten kan være dersom hun skal klare å betjene lånet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett ukjent rente

La \(r\) være årlig rente som desimaltall.

Steg 2 - Bruk annuitetsformelen

\[60\ 000=1\ 000\ 000\cdot \dfrac{r}{1-\left(1+r\right)^{-25}}\]

Steg 3 - Løs med CAS

Likningen kan ikke løses enkelt for hånd, så vi bruker CAS/numerisk løsning.

Steg 4 - Digital løsning

\[r\approx 0{,}03397\]

Steg 5 - Gjør om til prosent

\[0{,}03397\approx 3{,}40\%\]

Steg 6 - Tolk

Hvis renten blir høyere enn dette, blir terminbeløpet over \(60\ 000\) kroner.

Tolkning

Maksimal årlig rente er omtrent \(3{,}40\%\).

Vanlig feil: Å skrive \(3{,}40\) som desimaltall i formelen. I formelen må renten være \(0{,}0340\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(60000=1000000*r/(1-(1+r)^(-25)),r)
-> \(r\approx 0{,}03397\)

Python

from sympy import symbols, Eq, nsolve
r = symbols('r')
L = 1_000_000
T = 60_000
n = 25
likning = Eq(T, L*r/(1 - (1 + r)**(-n)))
losning = nsolve(likning, 0.034)
print("Likning:", likning)
print("Rente som desimaltall =", losning)
print("Rente i prosent =", 100*losning)
Fasit: \(r\approx 3{,}40\%\).
Del 2 - Oppgave 4c - 6 poeng samletCAS og antall terminer

Oppgave 4c

Oppgave:

Bruk CAS til å bestemme antall terminer dersom den årlige renten er \(2{,}40\%\) og terminbeløpet er \(60\ 000\) kroner.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett ukjent antall terminer

La \(n\) være antall årlige terminer.

Steg 2 - Bruk nåverdiformelen for annuitet

\[1\ 000\ 000=60\ 000\cdot \dfrac{1-\left(1+0{,}024\right)^{-n}}{0{,}024}\]

Steg 3 - Løs med CAS

Vi løser numerisk fordi \(n\) står i eksponenten.

Steg 4 - Digital løsning

\[n\approx 21{,}54\]

Steg 5 - Tolk helt antall terminer

Hun trenger litt mer enn 21 terminer, altså 22 årlige terminer hvis terminene må være hele.

Steg 6 - Kontroller

Kortere nedbetalingstid enn 25 år er rimelig fordi terminbeløpet er høyere enn i del a.

Tolkning

Antall terminer er omtrent \(21{,}54\), altså 22 hele årlige terminer.

Vanlig feil: Å runde ned til 21 terminer. Da er ikke lånet ferdig nedbetalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(1000000=60000*(1-1.024^(-n))/0.024,n)
-> \(n\approx 21{,}54\)

Python

from sympy import symbols, Eq, nsolve
n = symbols('n')
L = 1_000_000
T = 60_000
r = 0.024
likning = Eq(L, T*(1 - (1 + r)**(-n))/r)
losning = nsolve(likning, 22)
print("Likning:", likning)
print("Antall terminer =", losning)
print("Hele terminer som trengs =", 22)
Fasit: \(n\approx 21{,}54\), altså 22 hele terminer.