S2 eksamenHøst 2015

Matematikk S2 eksamen – høst 2015

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Høsten 2015 - løsningsforslag

Fullstendig bokmålsversjon med Del 1 og Del 2, trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 4 poeng samletDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=x^3+2x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\]

Steg 2 - Deriver første ledd

\[\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2\]

Steg 3 - Deriver andre ledd

\[\dfrac{d}{dx}2x=2\]

Steg 4 - Sett sammen leddene

\[f\prime(x)=3x^2+2\]

Steg 5 - Kontroller fortegn og form

Den deriverte skal være et andregradspolynom fordi originalfunksjonen er et tredjegradspolynom.

Steg 6 - Skriv svaret

\[f\prime(x)=3x^2+2\]

Tolkning

Den momentane vekstfarten er alltid positiv fordi \(3x^2+2>0\).

Vanlig feil: Å derivere \(2x\) til \(x\) i stedet for \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(x^3+2x)
-> \(3x^2+2\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x')
f = x**3 + 2*x
f_derivert = diff(f, x)
kontroll = simplify(f_derivert - (3*x**2 + 2))
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Kontroll, differanse mot forventet svar =", kontroll)
Fasit: \(f\prime(x)=3x^2+2\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1b - 4 poeng samletKjerneregel og eksponentialfunksjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=3e^{2x-1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se ytre og indre funksjon

Ytre funksjon er \(e^u\), og kjernen er \(u=2x-1\).

Steg 2 - Bruk kjerneregelen

\[\dfrac{d}{dx}e^{u}=u\prime e^{u}\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u=2x-1,\qquad u\prime=2\]

Steg 4 - Ta med konstantfaktoren

\[g\prime(x)=3\cdot 2e^{2x-1}\]

Steg 5 - Forenkle

\[g\prime(x)=6e^{2x-1}\]

Steg 6 - Kontroller struktur

Eksponentialuttrykket beholdes, mens faktoren fra kjernen multipliseres inn.

Tolkning

Funksjonen vokser for alle \(x\) fordi den deriverte er positiv.

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2\) fra kjerneregelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(3*exp(2*x-1))
-> \(6e^{2x-1}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
g = 3*exp(2*x - 1)
g_derivert = diff(g, x)
forventet = 6*exp(2*x - 1)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("Kontroll, differanse =", simplify(g_derivert - forventet))
Fasit: \(g\prime(x)=6e^{2x-1}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1c - 4 poeng samletProduktregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=x^2e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Gjenkjenn produktet

Funksjonen er produktet av \(x^2\) og \(e^x\).

Steg 2 - Bruk produktregelen

\[(uv)\prime=u\prime v+uv\prime\]

Steg 3 - Deriver faktorene

\[u=x^2,\ u\prime=2x,\qquad v=e^x,\ v\prime=e^x\]

Steg 4 - Sett inn

\[h\prime(x)=2xe^x+x^2e^x\]

Steg 5 - Faktoriser

\[h\prime(x)=e^x(x^2+2x)\]

Steg 6 - Skriv eventuelt videre

\[h\prime(x)=xe^x(x+2)\]

Tolkning

Faktorisert form viser at nullpunktene til den deriverte er \(x=0\) og \(x=-2\).

Vanlig feil: Å bruke bare potensregelen og glemme at \(e^x\) også er en faktor.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(x^2*exp(x))
-> \(e^x(x^2+2x)\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor, expand
x = symbols('x')
h = x**2*exp(x)
h_derivert = diff(h, x)
print("h(x) =", h)
print("h'(x) utvidet =", expand(h_derivert))
print("h'(x) faktorisert =", factor(h_derivert))
Fasit: \(h\prime(x)=e^x(x^2+2x)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2a - 5 poeng samletEkstremalpunkt

Oppgave 2a

Oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3+3x^2-9x\), \(D_f=\mathbb{R}\). Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=3x^2+6x-9\]

Steg 2 - Faktoriser den deriverte

\[f\prime(x)=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)\]

Steg 3 - Finn kritiske verdier

\[f\prime(x)=0\Rightarrow x=-3\quad \text{eller}\quad x=1\]

Steg 4 - Bruk andrederivert

\[f\prime\prime(x)=6x+6\]

Steg 5 - Klassifiser punktene

\[f\prime\prime(-3)=-12<0,\qquad f\prime\prime(1)=12>0\]

Steg 6 - Finn y-verdiene

\[f(-3)=27,\qquad f(1)=-5\]

Tolkning

Grafen har toppunkt \((-3,27)\) og bunnpunkt \((1,-5)\).

Vanlig feil: Å bare finne x-verdiene og glemme funksjonsverdiene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt(x^3+3x^2-9x)
-> \((-3,27),\ (1,-5)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 + 3*x**2 - 9*x
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f, x, 2)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f1)
print("f''(x) =", f2)
for verdi in solve(f1, x):
    print("Kritisk x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi), "f''(x) =", f2.subs(x, verdi))
Fasit: \((-3,27)\) er toppunkt, og \((1,-5)\) er bunnpunkt.
Del 1 - Oppgave 2b - 5 poeng samletVendepunkt

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk andrederivert

\[f\prime\prime(x)=6x+6\]

Steg 2 - Sett lik null

\[6x+6=0\]

Steg 3 - Løs for x

\[x=-1\]

Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte

Andrederiverte skifter fra negativ til positiv når \(x\) passerer \(-1\).

Steg 5 - Finn y-verdien

\[f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2-9(-1)=11\]

Steg 6 - Skriv vendepunktet

\[(-1,11)\]

Tolkning

Grafen går fra å være konkav ned til konkav opp i dette punktet.

Vanlig feil: Å skrive bare \(x=-1\) i stedet for koordinaten \((-1,11)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Vendepunkt(x^3+3x^2-9x)
-> \((-1,11)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 + 3*x**2 - 9*x
f2 = diff(f, x, 2)
kandidater = solve(f2, x)
print("f''(x) =", f2)
print("Kandidater:", kandidater)
for verdi in kandidater:
    print("Vendepunkt: x =", verdi, "y =", f.subs(x, verdi))
Fasit: \((-1,11)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2c - 5 poeng samletGrafskisse

Oppgave 2c

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk ekstremalpunktene

\[\text{Toppunkt }(-3,27),\qquad \text{bunnpunkt }(1,-5)\]

Steg 2 - Bruk vendepunktet

\[\text{Vendepunkt }(-1,11)\]

Steg 3 - Finn nullpunkter numerisk for skissen

\[x\approx -4{,}85,\quad x=0,\quad x\approx 1{,}85\]

Steg 4 - Bestem endeoppførsel

Siden ledende ledd er \(x^3\), går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.

Steg 5 - Tegn med riktig krumning

Grafen er konkav ned før vendepunktet og konkav opp etter vendepunktet.

Steg 6 - Kontroller sammenheng

Skissen må passere origo fordi \(f(0)=0\).

Tolkning

En god skisse viser toppunkt, bunnpunkt, vendepunkt og nullpunkter i omtrent riktig plassering.

Vanlig feil: Å tegne grafen som en parabel i stedet for en tredjegradsfunksjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Nullpunkt(x^3+3x^2-9x)
-> \(x\approx -4{,}85,\ 0,\ 1{,}85\)
2
Ekstremalpunkt(f)
-> \((-3,27),\ (1,-5)\)

Python

from sympy import symbols, nroots, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 + 3*x**2 - 9*x
print("Nullpunkter numerisk:", [round(float(r), 4) for r in nroots(f)])
print("Kritiske punkter:")
for verdi in solve(diff(f, x), x):
    print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi))
print("Vendepunkt x:", solve(diff(f, x, 2), x))
Fasit: Grafskissen skal ha toppunkt \((-3,27)\), bunnpunkt \((1,-5)\) og vendepunkt \((-1,11)\).
Del 1 - Oppgave 3a - 3 poeng samletFaktorteorem

Oppgave 3a

Oppgave:

Forklar at polynomet \(x^3-ax^2+2ax-8\) alltid er delelig med \((x-2)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Polynomet er delelig med \(x-2\) dersom verdien ved \(x=2\) er lik null.

Steg 2 - Sett inn x=2

\[2^3-a\cdot 2^2+2a\cdot 2-8\]

Steg 3 - Forenkle

\[8-4a+4a-8=0\]

Steg 4 - Konkluder

Resten ved divisjon med \(x-2\) er null.

Steg 5 - Legg merke til a-leddene

Leddet \(-4a\) og \(4a\) opphever hverandre uansett verdi av \(a\).

Steg 6 - Skriv slutningen

Derfor gjelder deleligheten for alle reelle verdier av \(a\).

Tolkning

Deleligheten er uavhengig av parameteren \(a\).

Vanlig feil: Å teste med én bestemt verdi av \(a\) og tro at det beviser alle tilfeller.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Substituer(x^3-a*x^2+2*a*x-8, x, 2)
-> \(0\)

Python

from sympy import symbols, simplify
x, a = symbols('x a')
P = x**3 - a*x**2 + 2*a*x - 8
verdi = simplify(P.subs(x, 2))
print("P(x) =", P)
print("P(2) =", verdi)
print("Resten er null for alle a:", verdi == 0)
Fasit: Polynomet er alltid delelig med \(x-2\).
Del 1 - Oppgave 3b - 3 poeng samletPolynomdivisjon

Oppgave 3b

Oppgave:

Forkort brøken

\[\dfrac{x^3-x^2+2x-8}{x-2}\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Faktoriser telleren

Siden brøken har nevner \(x-2\), tester vi om telleren har denne faktoren.

Steg 2 - Utfør divisjon

\[x^3-x^2+2x-8=(x-2)(x^2+x+4)\]

Steg 3 - Sett inn i brøken

\[\dfrac{(x-2)(x^2+x+4)}{x-2}\]

Steg 4 - Forkort felles faktor

\[x^2+x+4\]

Steg 5 - Husk definisjonsvilkåret

Den opprinnelige brøken er ikke definert for \(x=2\).

Steg 6 - Skriv forkortet form

\[x^2+x+4,\qquad x\ne 2\]

Tolkning

Forkortingen gir et polynom, men brøken har fortsatt hull ved \(x=2\) i opprinnelig uttrykk.

Vanlig feil: Å glemme at \(x=2\) ikke er lovlig i den opprinnelige brøken.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(x^3-x^2+2x-8)
-> \((x-2)(x^2+x+4)\)

Python

from sympy import symbols, factor, simplify
x = symbols('x')
teller = x**3 - x**2 + 2*x - 8
uttrykk = teller/(x - 2)
print("Teller faktorisert =", factor(teller))
print("Forkortet uttrykk =", simplify(uttrykk))
print("Merk: x = 2 er ikke lovlig i opprinnelig brøk")
Fasit: \(x^2+x+4\), der \(x\ne 2\).
Del 1 - Oppgave 4 - 3 poengLikningssystem

Oppgave 4

Oppgave:

Løs likningssystemet

\[\begin{aligned}x+2y-z&=2\\2x-y+z&=3\\3x-2y+2z&=2\end{aligned}\]
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv systemet på standardform

Vi har tre lineære likninger med tre ukjente.

Steg 2 - Eliminer z med de to første likningene

Legger vi sammen de to første, får vi \(3x+y=5\).

Steg 3 - Kombiner første og tredje

Bruk eliminasjon for å få en ny likning uten \(z\).

Steg 4 - Løs de to nye likningene

\[x=4,\qquad y=-7\]

Steg 5 - Sett inn for å finne z

\[4+2(-7)-z=2\Rightarrow z=-12\]

Steg 6 - Kontroller i alle likninger

Verdiene skal tilfredsstille alle de tre opprinnelige likningene.

Tolkning

Løsningen er ett punkt i rommet: \((4,-7,-12)\).

Vanlig feil: Å kontrollere bare den første likningen og ikke hele systemet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs({x+2y-z=2, 2x-y+z=3, 3x-2y+2z=2})
-> \(x=4,\ y=-7,\ z=-12\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, z = symbols('x y z')
likninger = [
    Eq(x + 2*y - z, 2),
    Eq(2*x - y + z, 3),
    Eq(3*x - 2*y + 2*z, 2),
]
losning = solve(likninger, (x, y, z), dict=True)[0]
print("Løsning:", losning)
for nr, likning in enumerate(likninger, start=1):
    print("Kontroll likning", nr, "=", likning.subs(losning))
Fasit: \(x=4\), \(y=-7\), \(z=-12\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5a - 3 poeng samletGeometrisk rekke

Oppgave 5a

Oppgave:

En rekke er gitt ved \(1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\). Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen \(S_n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn første ledd

\[a_1=1\]

Steg 2 - Finn kvotienten

\[k=\dfrac{1/2}{1}=\dfrac12\]

Steg 3 - Forklar geometrisk struktur

Hvert ledd fås ved å multiplisere forrige ledd med \(\dfrac12\).

Steg 4 - Bruk sumformelen

\[S_n=a_1\dfrac{1-k^n}{1-k}\]

Steg 5 - Sett inn

\[S_n=\dfrac{1-\left(\dfrac12\right)^n}{1-\dfrac12}\]

Steg 6 - Forenkle

\[S_n=2\left(1-\left(\dfrac12\right)^n\right)\]

Tolkning

Summen nærmer seg 2 når antall ledd blir stort.

Vanlig feil: Å bruke formelen for aritmetisk rekke fordi leddene ser enkle ut.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum((1/2)^(i-1), i, 1, n)
-> \(2\left(1-\left(\dfrac12\right)^n\right)\)

Python

from sympy import symbols, summation, Rational, simplify
n, i = symbols('n i', integer=True, positive=True)
ledd = Rational(1, 2)**(i - 1)
S_n = simplify(summation(ledd, (i, 1, n)))
print("Generelt ledd =", ledd)
print("S_n =", S_n)
print("Kontroll for n = 5:", S_n.subs(n, 5))
Fasit: \(S_n=2\left(1-\left(\dfrac12\right)^n\right)\).
Del 1 - Oppgave 5b - 3 poeng samletUendelig geometrisk rekke

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem summen av den uendelige rekken \(1+\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk første ledd og kvotient

\[a_1=1,\qquad k=\dfrac12\]

Steg 2 - Sjekk konvergens

\[\left|\dfrac12\right|<1\]

Steg 3 - Bruk formelen for uendelig geometrisk rekke

\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]

Steg 4 - Sett inn

\[S=\dfrac{1}{1-\dfrac12}\]

Steg 5 - Regn ut

\[S=2\]

Steg 6 - Kontroller med grenseverdi

\[\lim_{n\to\infty}2\left(1-\left(\dfrac12\right)^n\right)=2\]

Tolkning

Den uendelige summen er en grenseverdi, ikke en vanlig endelig addisjon.

Vanlig feil: Å tro at en uendelig rekke alltid må bli uendelig stor.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum((1/2)^(i-1), i, 1, infinity)
-> \(2\)

Python

from sympy import symbols, summation, Rational, oo
i = symbols('i', integer=True, positive=True)
ledd = Rational(1, 2)**(i - 1)
S = summation(ledd, (i, 1, oo))
print("Uendelig geometrisk rekke med k = 1/2")
print("Summen er", S)
Fasit: \(S=2\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6a - 4 poeng samletTallfølge

Oppgave 6a

Oppgave:

En tallfølge \(\{a_n\}\) er gitt ved \(a_n=n^3+1\). Skriv opp de fire første leddene i tallfølgen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett inn n=1

\[a_1=1^3+1=2\]

Steg 2 - Sett inn n=2

\[a_2=2^3+1=9\]

Steg 3 - Sett inn n=3

\[a_3=3^3+1=28\]

Steg 4 - Sett inn n=4

\[a_4=4^3+1=65\]

Steg 5 - Samle leddene

\[2,\ 9,\ 28,\ 65\]

Steg 6 - Kontroller veksten

Følgen vokser raskt fordi den inneholder tredje potens.

Tolkning

De fire første leddene er \(2,9,28,65\).

Vanlig feil: Å starte med \(n=0\) når oppgaven spør om \(a_1\) først.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sekvens(n^3+1, n, 1, 4)
-> \(2, 9, 28, 65\)

Python

from sympy import symbols
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
for verdi in range(1, 5):
    a_n = verdi**3 + 1
    print(f"a_{verdi} = {verdi}^3 + 1 = {a_n}")
Fasit: \(a_1=2\), \(a_2=9\), \(a_3=28\), \(a_4=65\).
Del 1 - Oppgave 6b - 4 poeng samletDelelighet

Oppgave 6b

Oppgave:

Vis at leddene \(a_1,a_2,a_3\) og \(a_4\) er delelige med henholdsvis 2, 3, 4 og 5.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk leddene fra a

\[a_1=2,\quad a_2=9,\quad a_3=28,\quad a_4=65\]

Steg 2 - Kontroller første ledd

\[2=2\cdot 1\]

Steg 3 - Kontroller andre ledd

\[9=3\cdot 3\]

Steg 4 - Kontroller tredje ledd

\[28=4\cdot 7\]

Steg 5 - Kontroller fjerde ledd

\[65=5\cdot 13\]

Steg 6 - Konkluder

Alle de fire påstandene stemmer.

Tolkning

Mønsteret peker mot at \(a_n\) er delelig med \(n+1\).

Vanlig feil: Å bare se at tallene er store nok, uten å vise divisjonen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Mod(2,2)
-> \(0\)
2
Mod(9,3)
-> \(0\)
3
Mod(28,4)
-> \(0\)
4
Mod(65,5)
-> \(0\)

Python

for n in range(1, 5):
    a_n = n**3 + 1
    divisor = n + 1
    print("n =", n)
    print("a_n =", a_n)
    print("n + 1 =", divisor)
    print("Rest ved divisjon =", a_n % divisor)
    print("---")
Fasit: Påstanden stemmer for de fire første leddene.
Del 1 - Oppgave 6c - 4 poeng samletAlgebraisk bevis

Oppgave 6c

Oppgave:

Vis at \(a_n\) er delelig med \(n+1\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Start med uttrykket

\[a_n=n^3+1\]

Steg 2 - Bruk sum av kuber

\[n^3+1^3=(n+1)(n^2-n+1)\]

Steg 3 - Faktoriser

\[a_n=(n+1)(n^2-n+1)\]

Steg 4 - Les av faktoren

Uttrykket har \(n+1\) som faktor.

Steg 5 - Bruk definisjon av delelighet

Når \(a_n\) kan skrives som \((n+1)\) ganger et heltallsuttrykk, er \(a_n\) delelig med \(n+1\).

Steg 6 - Konkluder generelt

Dette gjelder for alle positive heltall \(n\).

Tolkning

Beviset viser hele mønsteret, ikke bare de fire første leddene.

Vanlig feil: Å bruke mange eksempler som om det var et generelt bevis.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(n^3+1)
-> \((n+1)(n^2-n+1)\)

Python

from sympy import symbols, factor, simplify
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a_n = n**3 + 1
faktorisert = factor(a_n)
kvotient = simplify(a_n/(n + 1))
print("a_n =", a_n)
print("Faktorisert =", faktorisert)
print("Kvotient a_n/(n+1) =", kvotient)
Fasit: \(a_n=(n+1)(n^2-n+1)\), derfor er \(a_n\) delelig med \(n+1\).
Del 1 - Oppgave 7a - 4 poeng samletInntekt

Oppgave 7a

Oppgave:

La \(x\) være antall produserte og solgte enheter. Kostnaden er \(K(x)=20000+120x+0{,}05x^2\), og prisen per enhet er \(p(x)=480-0{,}1x\). Bestem et uttrykk for inntekten \(I(x)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk inntektsdefinisjon

Inntekt er antall solgte enheter multiplisert med pris per enhet.

Steg 2 - Skriv formelen

\[I(x)=x\cdot p(x)\]

Steg 3 - Sett inn prisfunksjonen

\[I(x)=x(480-0{,}1x)\]

Steg 4 - Multipliser ut

\[I(x)=480x-0{,}1x^2\]

Steg 5 - Kontroller enhet

Uttrykket gir kroner når \(x\) er antall enheter.

Steg 6 - Skriv svaret

\[I(x)=480x-0{,}1x^2\]

Tolkning

Inntekten er en andregradsfunksjon fordi prisen avhenger lineært av antallet.

Vanlig feil: Å bruke bare prisfunksjonen som inntekt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Utvid(x*(480-0.1*x))
-> \(480x-0{,}1x^2\)

Python

from sympy import symbols, expand, Rational
x = symbols('x')
p = 480 - Rational(1, 10)*x
I = expand(x*p)
print("p(x) =", p)
print("I(x) = x*p(x) =", I)
Fasit: \(I(x)=480x-0{,}1x^2\).
Del 1 - Oppgave 7b - 4 poeng samletOverskudd og optimering

Oppgave 7b

Oppgave:

Bestem et uttrykk for overskuddet \(O(x)\). Bestem produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk overskudd = inntekt - kostnad

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 2 - Sett inn uttrykkene

\[O(x)=480x-0{,}1x^2-(20000+120x+0{,}05x^2)\]

Steg 3 - Forenkle

\[O(x)=-0{,}15x^2+360x-20000\]

Steg 4 - Finn toppunktet

Siden koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, har parabelen et maksimum.

Steg 5 - Bruk toppunktformel

\[x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{360}{2\cdot(-0{,}15)}=1200\]

Steg 6 - Kontroller med andrederivert

\[O\prime\prime(x)=-0{,}30<0\]

Tolkning

Størst overskudd oppnås ved produksjon og salg av 1200 enheter.

Vanlig feil: Å maksimere inntekten i stedet for overskuddet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt(-0.15*x^2+360*x-20000)
-> \(x=1200\)

Python

from sympy import symbols, Rational, expand, diff, solve
x = symbols('x')
K = 20000 + 120*x + Rational(5, 100)*x**2
p = 480 - Rational(1, 10)*x
I = expand(x*p)
O = expand(I - K)
O1 = diff(O, x)
O2 = diff(O, x, 2)
print("K(x) =", K)
print("I(x) =", I)
print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", O1)
print("O''(x) =", O2)
print("Maksimum ved x =", solve(O1, x)[0])
Fasit: \(O(x)=-0{,}15x^2+360x-20000\), størst overskudd ved \(x=1200\).
Del 1 - Oppgave 8a - 4 poeng samletForventningsverdi

Oppgave 8a

Oppgave:

I et terningspill kastes to vanlige terninger. Sum 10 gir 200 kroner i gevinst, sum 7 gir 50 kroner, ellers ingen gevinst. La \(a\) være prisen for ett spill, og \(X\) utbyttet til kasinoet. Skriv av og fyll ut tabellen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Tolk kasinoets utbytte

Kasinoet får alltid inn \(a\) kroner, men må eventuelt betale gevinst.

Steg 2 - Finn sannsynlighet for ingen gevinst

\[P(\text{ikke }7\text{ eller }10)=\dfrac{27}{36}\]

Steg 3 - Finn sannsynlighet for sum 10

\[P(10)=\dfrac{3}{36}\]

Steg 4 - Finn sannsynlighet for sum 7

\[P(7)=\dfrac{6}{36}\]

Steg 5 - Fyll ut utbytter

\[X=a,\quad X=a-200,\quad X=a-50\]

Steg 6 - Fyll ut tabellen

\[P(X=a)=\dfrac{27}{36},\quad P(X=a-200)=\dfrac{3}{36},\quad P(X=a-50)=\dfrac{6}{36}\]

Tolkning

Tabellen beskriver kasinoets utbytte, ikke spillerens gevinst.

Vanlig feil: Å bytte om sannsynlighetene for sum 7 og sum 10.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Binomial? Nei - tell utfall for to terninger
-> \(27/36,\ 3/36,\ 6/36\)

Python

from collections import Counter
summer = Counter(i + j for i in range(1, 7) for j in range(1, 7))
antall_sum_10 = summer[10]
antall_sum_7 = summer[7]
antall_annet = 36 - antall_sum_10 - antall_sum_7
print("Antall mulige utfall =", 36)
print("Antall med sum 10 =", antall_sum_10)
print("Antall med sum 7 =", antall_sum_7)
print("Antall andre summer =", antall_annet)
print("Sannsynligheter:", antall_annet/36, antall_sum_10/36, antall_sum_7/36)
Fasit: \(P(X=a)=\dfrac{27}{36}\), \(P(X=a-200)=\dfrac{3}{36}\), \(P(X=a-50)=\dfrac{6}{36}\).
Del 1 - Oppgave 8b - 4 poeng samletForventningsverdi

Oppgave 8b

Oppgave:

Hva bør kasinoet sette prisen \(a\) til for at de i det lange løp skal ha et gjennomsnittlig utbytte på 5 kroner per spill?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv forventningsverdien

\[E(X)=a\cdot\dfrac{27}{36}+(a-200)\cdot\dfrac{3}{36}+(a-50)\cdot\dfrac{6}{36}\]

Steg 2 - Samle a-leddene

\[E(X)=a\cdot\dfrac{36}{36}-\dfrac{600+300}{36}\]

Steg 3 - Forenkle

\[E(X)=a-25\]

Steg 4 - Sett ønsket forventning

\[a-25=5\]

Steg 5 - Løs likningen

\[a=30\]

Steg 6 - Kontroller

\[E(X)=30-25=5\]

Tolkning

Kasinoet bør ta 30 kroner per spill for å få forventet utbytte på 5 kroner.

Vanlig feil: Å regne forventningsverdien for spilleren i stedet for kasinoet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(a-25=5)
-> \(a=30\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify
a = symbols('a')
E = a*Rational(27, 36) + (a - 200)*Rational(3, 36) + (a - 50)*Rational(6, 36)
print("E(X) =", simplify(E))
losning = solve(Eq(E, 5), a)[0]
print("Pris a som gir forventet utbytte 5 kroner =", losning)
print("Kontroll E(X) ved a = 30:", E.subs(a, 30))
Fasit: \(a=30\) kroner.
Del 1 - Oppgave 9a - 6 poeng samletNormalfordeling

Oppgave 9a

Oppgave:

Levetiden \(X\) til en type lyspærer er normalfordelt med forventet levetid \(\mu=2000\) timer og standardavvik \(\sigma=400\) timer. Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære lyser færre enn 1600 timer.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Standardiser

\[Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\]

Steg 2 - Sett inn 1600

\[z=\dfrac{1600-2000}{400}=-1\]

Steg 3 - Skriv sannsynligheten

\[P(X<1600)=P(Z<-1)\]

Steg 4 - Bruk normalfordelingstabellen

\[P(Z<-1)\approx 0{,}1587\]

Steg 5 - Skriv i prosent

\[0{,}1587\approx 15{,}9\%\]

Steg 6 - Kontroller rimelighet

1600 ligger ett standardavvik under forventningsverdien, så sannsynligheten bør være omtrent 16 prosent.

Tolkning

Omtrent 15,9 prosent av pærene lyser færre enn 1600 timer.

Vanlig feil: Å bruke \(z=1\) i stedet for \(z=-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Normal(2000,400).cdf(1600)
-> \(0{,}1587\)

Python

from statistics import NormalDist
mu = 2000
sigma = 400
fordeling = NormalDist(mu=mu, sigma=sigma)
sannsynlighet = fordeling.cdf(1600)
print("mu =", mu)
print("sigma =", sigma)
print("z =", (1600 - mu)/sigma)
print("P(X < 1600) =", round(sannsynlighet, 4))
Fasit: \(P(X<1600)\approx 0{,}1587\).
Del 1 - Oppgave 9b - 6 poeng samletNormalfordeling og prosentil

Oppgave 9b

Oppgave:

Sannsynligheten er 90 prosent for at en tilfeldig valgt pære vil lyse i mer enn \(x\) timer. Bestem \(x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Oversett teksten

\[P(X>x)=0{,}90\]

Steg 2 - Gjør om til venstresannsynlighet

\[P(X\le x)=0{,}10\]

Steg 3 - Finn z-verdi

Fra standard normalfordeling er 10-prosentilen omtrent \(z=-1{,}28\).

Steg 4 - Bruk standardisering

\[\dfrac{x-2000}{400}\approx -1{,}28\]

Steg 5 - Løs for x

\[x\approx 2000-1{,}28\cdot 400=1488\]

Steg 6 - Tolk

90 prosent av pærene varer lenger enn omtrent 1488 timer.

Tolkning

Tallet er lavere enn forventningsverdien fordi 90 prosent skal ligge over denne grensen.

Vanlig feil: Å bruke 90-prosentilen i stedet for 10-prosentilen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
InversNormal(0.10, 2000, 400)
-> \(1487{,}4\)

Python

from statistics import NormalDist
mu = 2000
sigma = 400
fordeling = NormalDist(mu=mu, sigma=sigma)
x_verdi = fordeling.inv_cdf(0.10)
print("Vi trenger P(X <= x) = 0.10")
print("x =", round(x_verdi, 1))
print("Kontroll P(X > x) =", round(1 - fordeling.cdf(x_verdi), 4))
Fasit: \(x\approx 1488\) timer.
Del 1 - Oppgave 9c - 6 poeng samletNormalfordelingsgraf

Oppgave 9c

Oppgave:

Hvilken av de grafiske framstillingene i eksamenssettet illustrerer \(X\)? Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk forventningsverdien

Grafen må ha sentrum og toppunkt ved omtrent \(x=2000\).

Steg 2 - Bruk standardavviket

Standardavviket \(400\) bestemmer bredden på kurven.

Steg 3 - Se etter symmetri

En normalfordeling er symmetrisk om forventningsverdien.

Steg 4 - Sammenlikn med alternativene

Riktig graf er den symmetriske klokkekurven med topp rundt 2000 og passende spredning.

Steg 5 - Begrunn med parameterne

\[X\sim N(2000,400)\]

Steg 6 - Flagg visuell kontroll

Tolkning

Riktig graf er normalfordelingskurven som er symmetrisk om 2000 timer.

Vanlig feil: Å velge en skjev graf eller en graf med toppunkt et annet sted enn 2000.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Normalfordeling(2000,400)
-> \(\text{symmetrisk om }2000\)

Python

from statistics import NormalDist
mu = 2000
sigma = 400
fordeling = NormalDist(mu=mu, sigma=sigma)
for verdi in [1200, 1600, 2000, 2400, 2800]:
    tetthet = fordeling.pdf(verdi)
    print("x =", verdi, "tetthet =", round(tetthet, 8))
print("Kurven er symmetrisk: pdf(1600) = pdf(2400)")
Fasit: Grafen med topp ved \(2000\) og symmetrisk form skal velges.
Del 2 - Oppgave 1a - 8 poeng samletEksponentialmodell og graf

Oppgave 1a

Oppgave:

Maria trener på et apparat. Treningseffekten i kilojoule per minutt er gitt ved \(f(x)=42(1-e^{-x})+1{,}05x\), \(x\ge 0\). Bruk graftegner til å tegne grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv funksjonen

\[f(x)=42(1-e^{-x})+1{,}05x\]

Steg 2 - Definer området

\[x\ge 0\]

Steg 3 - Finn startverdi

\[f(0)=42(1-1)+0=0\]

Steg 4 - Se på veksten

Eksponentialleddet gjør at kurven først stiger raskt.

Steg 5 - Legg merke til lineær del

Leddet \(1{,}05x\) gjør at funksjonen fortsetter å øke også etter at eksponentialdelen flater ut.

Steg 6 - Tegn grafen

Grafen starter i origo, øker raskt og får etter hvert omtrent lineær vekst.

Tolkning

Grafen viser treningseffekt per minutt, ikke samlet energiforbruk.

Vanlig feil: Å tegne grafen for integralet i stedet for grafen til \(f\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
f(x):=42*(1-exp(-x))+1.05*x
-> \(f(0)=0\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff
x = symbols('x')
f = 42*(1 - exp(-x)) + 1.05*x
print("f(x) =", f)
print("f(0) =", f.subs(x, 0))
print("f'(x) =", diff(f, x))
for verdi in [0, 1, 3, 5, 10]:
    print("x =", verdi, "f(x) =", round(float(f.subs(x, verdi)), 3))
Fasit: Grafen starter i \((0,0)\) og øker for \(x\ge 0\).

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1b - 8 poeng samletGrafisk løsning

Oppgave 1b

Oppgave:

Bruk grafen til å bestemme treningseffekten etter 3 min og når treningseffekten er 50 kJ/min.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn f(3)

\[f(3)=42(1-e^{-3})+1{,}05\cdot 3\]

Steg 2 - Regn numerisk

\[f(3)\approx 43{,}06\]

Steg 3 - Sett opp likningen for 50

\[42(1-e^{-x})+1{,}05x=50\]

Steg 4 - Løs grafisk eller digitalt

\[x\approx 7{,}64\]

Steg 5 - Tolk første svar

Etter 3 minutter forbrenner Maria omtrent \(43{,}1\) kJ per minutt.

Steg 6 - Tolk andre svar

Treningseffekten blir 50 kJ per minutt etter omtrent \(7{,}6\) minutter.

Tolkning

Svarene gjelder effekt per minutt, ikke total energi.

Vanlig feil: Å blande verdien \(f(3)\) med integralet fra 0 til 3.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
f(3)
-> \(43{,}06\)
2
Løs(f(x)=50)
-> \(x\approx 7{,}64\)

Python

from sympy import symbols, exp, nsolve
x = symbols('x')
f = 42*(1 - exp(-x)) + 1.05*x
verdi_etter_3 = f.subs(x, 3).evalf()
tid_for_50 = nsolve(f - 50, 8)
print("f(3) =", round(float(verdi_etter_3), 3), "kJ/min")
print("Tid når f(x) = 50:", round(float(tid_for_50), 3), "minutter")
print("Kontroll f(tid) =", round(float(f.subs(x, tid_for_50)), 3))
Fasit: \(f(3)\approx 43{,}06\) og \(x\approx 7{,}64\) minutter.
Del 2 - Oppgave 1c - 8 poeng samletBestemt integral

Oppgave 1c

Oppgave:

Det samlede energiforbruket de første \(t\) minuttene er \(E(t)=\int_0^t f(x)\,dx\). Bestem det samlede energiforbruket de første 10 minuttene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett inn t=10

\[E(10)=\int_0^{10}\left(42(1-e^{-x})+1{,}05x\right)dx\]

Steg 2 - Finn antiderivert

\[\int \left(42(1-e^{-x})+1{,}05x\right)dx=42x+42e^{-x}+0{,}525x^2+C\]

Steg 3 - Bruk grensene

\[E(10)=\left[42x+42e^{-x}+0{,}525x^2\right]_0^{10}\]

Steg 4 - Regn ut

\[E(10)\approx 430{,}50\]

Steg 5 - Tolk enhet

Siden \(f\) måles i kJ per minutt, måles integralet i kJ.

Steg 6 - Kontroller rimelighet

Effekten ligger rundt 40 kJ/min etter kort tid, så rundt 430 kJ på 10 min er rimelig.

Tolkning

Det samlede energiforbruket de første 10 minuttene er omtrent 431 kJ.

Vanlig feil: Å bruke \(f(10)\) som total energimengde.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Integral(f(x), 0, 10)
-> \(430{,}50\)

Python

from sympy import symbols, exp, integrate, N
x = symbols('x')
f = 42*(1 - exp(-x)) + 1.05*x
E10 = integrate(f, (x, 0, 10))
print("f(x) =", f)
print("E(10) eksakt =", E10)
print("E(10) numerisk =", round(float(N(E10)), 3), "kJ")
Fasit: \(E(10)\approx 430{,}5\) kJ.
Del 2 - Oppgave 1d - 8 poeng samletIntegral og likning

Oppgave 1d

Oppgave:

Anslå hvor lenge Maria må trene for at det samlede energiforbruket skal bli 1300 kJ.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk E(t)

\[E(t)=\int_0^t f(x)\,dx\]

Steg 2 - Skriv uttrykket

\[E(t)=42t+42e^{-t}-42+0{,}525t^2\]

Steg 3 - Sett opp likningen

\[42t+42e^{-t}-42+0{,}525t^2=1300\]

Steg 4 - Løs numerisk

\[t\approx 24{,}47\]

Steg 5 - Tolk svaret

Maria må trene omtrent \(24{,}5\) minutter.

Steg 6 - Kontroller

Setter vi \(t=24{,}47\) inn i \(E(t)\), får vi omtrent 1300 kJ.

Tolkning

Svaret er en tid, ikke en effekt.

Vanlig feil: Å løse \(f(t)=1300\) i stedet for \(E(t)=1300\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(Integral(f,0,t)=1300)
-> \(t\approx 24{,}47\)

Python

from sympy import symbols, exp, nsolve

t = symbols('t')
E = 42*t + 42*exp(-t) - 42 + 0.525*t**2
losning = nsolve(E - 1300, 25)
print("E(t) =", E)
print("Løsning t =", round(float(losning), 3), "minutter")
print("Kontroll E(t) =", round(float(E.subs(t, losning)), 3), "kJ")
Fasit: \(t\approx 24{,}47\) minutter.
Del 2 - Oppgave 2a - 8 poeng samletLineær regresjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Tabellene viser gjennomsnittsfarten for verdensrekordløp i maraton for noen år. Lag lineære modeller \(f\) og \(g\) for farten til menn og kvinner. La \(x\) være antall år etter 1900.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Definer x-verdier

For eksempel blir år 1909 til \(x=9\), og år 1988 til \(x=88\).

Steg 2 - Legg inn menn-data

Menn: \((9,4{,}38), (13,4{,}51), \ldots, (88,5{,}55)\).

Steg 3 - Legg inn kvinner-data

Kvinner: \((63,3{,}24), (67,3{,}75), \ldots, (85,4{,}98)\).

Steg 4 - Kjør lineær regresjon

Regresjon gir en rett linje på formen \(ax+b\).

Steg 5 - Menns modell

\[f(x)\approx 0{,}0151x+4{,}293\]

Steg 6 - Kvinners modell

\[g(x)\approx 0{,}0810x-1{,}745\]

Tolkning

Kvinners modell har større stigningstall i datasettet, fordi rekordfarten økte raskere i perioden som er valgt.

Vanlig feil: Å bruke årstall direkte uten å flytte til \(x\) år etter 1900, dersom modellen skal tolkes med oppgavens x.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
RegLin(menn)
-> \(0{,}0151x+4{,}293\)
2
RegLin(kvinner)
-> \(0{,}0810x-1{,}745\)

Python

import numpy as np

year_m = np.array([1909, 1913, 1920, 1935, 1960, 1970, 1988])
speed_m = np.array([4.38, 4.51, 4.61, 4.81, 5.20, 5.43, 5.55])
year_w = np.array([1963, 1967, 1970, 1973, 1975, 1979, 1985])
speed_w = np.array([3.24, 3.75, 3.85, 4.22, 4.44, 4.77, 4.98])

x_m = year_m - 1900
x_w = year_w - 1900

am, bm = np.polyfit(x_m, speed_m, 1)
aw, bw = np.polyfit(x_w, speed_w, 1)
print("Menn: f(x) =", round(am, 5), "* x +", round(bm, 5))
print("Kvinner: g(x) =", round(aw, 5), "* x +", round(bw, 5))
Fasit: \(f(x)\approx 0{,}0151x+4{,}293\) og \(g(x)\approx 0{,}0810x-1{,}745\).
Del 2 - Oppgave 2b - 8 poeng samletSkjæring mellom modeller

Oppgave 2b

Oppgave:

Hvilket år vil kvinner løpe like raskt som menn, ifølge modellene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett modellene like

\[0{,}0151x+4{,}293=0{,}0810x-1{,}745\]

Steg 2 - Samle x-ledd

\[4{,}293+1{,}745=(0{,}0810-0{,}0151)x\]

Steg 3 - Løs

\[x\approx 91{,}6\]

Steg 4 - Gjør om til årstall

\[1900+91{,}6\approx 1992\]

Steg 5 - Tolk modellsvaret

Ifølge den lineære modellen skjer lik fart rundt 1992.

Steg 6 - Vurder rimelighet kort

Dette er en ekstrapolering fra historiske data og må tolkes forsiktig.

Tolkning

Modellene predikerer lik fart rundt år 1992.

Vanlig feil: Å svare \(x=91{,}6\) uten å gjøre om til årstall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Skjæring(f,g)
-> \(x\approx 91{,}6\Rightarrow 1992\)

Python

import numpy as np
am, bm = 0.01505099, 4.29285093
aw, bw = 0.08098175, -1.74466551
x_intersection = (bm - bw)/(aw - am)
year = 1900 + x_intersection
print("Skjæringspunkt x =", round(x_intersection, 3))
print("År =", round(year, 1))
print("Menns fart =", round(am*x_intersection + bm, 3))
print("Kvinners fart =", round(aw*x_intersection + bw, 3))
Fasit: Omtrent år \(1992\).
Del 2 - Oppgave 2c - 8 poeng samletModellvurdering

Oppgave 2c

Oppgave:

I 2014 løp raskeste mannlige løper med gjennomsnittsfart 5,72 m/s, mens beste kvinnelige løper samme år løp med 5,01 m/s. Hvordan vurderer du gyldigheten til modellene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn modellens x for 2014

\[x=2014-1900=114\]

Steg 2 - Beregn modellverdi for menn

\[f(114)\approx 6{,}01\]

Steg 3 - Beregn modellverdi for kvinner

\[g(114)\approx 7{,}49\]

Steg 4 - Sammenlikn med faktiske tall

Faktisk var menn \(5{,}72\) m/s og kvinner \(5{,}01\) m/s.

Steg 5 - Vurder avvik

Særlig kvinnemodellen gir en svært urealistisk verdi.

Steg 6 - Konkluder

De lineære modellene har dårlig gyldighet langt utenfor dataperioden.

Tolkning

Regresjonslinjene kan beskrive en historisk periode, men er svake som langsiktige prognoser.

Vanlig feil: Å tro at en modell alltid er gyldig utenfor dataintervallet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
f(114)
-> \(6{,}01\)
2
g(114)
-> \(7{,}49\)

Python

am, bm = 0.01505099, 4.29285093
aw, bw = 0.08098175, -1.74466551
x = 2014 - 1900
modell_menn = am*x + bm
modell_kvinner = aw*x + bw
print("x for 2014 =", x)
print("Modell menn =", round(modell_menn, 3), "m/s")
print("Faktisk menn =", 5.72, "m/s")
print("Modell kvinner =", round(modell_kvinner, 3), "m/s")
print("Faktisk kvinner =", 5.01, "m/s")
Fasit: Modellene er lite gyldige for 2014, særlig kvinnemodellen.
Del 2 - Oppgave 2d - 8 poeng samletLogistisk modell

Oppgave 2d

Oppgave:

En logistisk modell for mennenes maratonfart er \(h(x)=\dfrac{6{,}65}{1+0{,}751e^{-0{,}012x}}\). Hvilket år vil maraton første gang bli løpt på under to timer? Maratondistansen er 42195 m.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn nødvendig fart

\[v=\dfrac{42195}{7200}\approx 5{,}8604\text{ m/s}\]

Steg 2 - Sett opp likningen

\[\dfrac{6{,}65}{1+0{,}751e^{-0{,}012x}}=5{,}8604\]

Steg 3 - Løs numerisk

\[x\approx 143{,}18\]

Steg 4 - Gjør om til årstall

\[1900+143{,}18\approx 2043\]

Steg 5 - Tolk første gang

Modellen passerer grensen i løpet av 2043.

Steg 6 - Vurder modell

Dette er en modellframskriving og må tolkes med usikkerhet.

Tolkning

Ifølge den logistiske modellen skjer dette omtrent i 2043.

Vanlig feil: Å bruke 2 timer som 2 i stedet for 7200 sekunder.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(h(x)=42195/7200)
-> \(x\approx 143{,}18\Rightarrow 2043\)

Python

from sympy import symbols, exp, nsolve
x = symbols('x')
fart_to_timer = 42195/7200
h = 6.65/(1 + 0.751*exp(-0.012*x))
losning = nsolve(h - fart_to_timer, 145)
year = 1900 + float(losning)
print("Fart som kreves for under 2 timer =", round(fart_to_timer, 6), "m/s")
print("x =", round(float(losning), 3))
print("År =", round(year, 1))
print("Kontroll h(x) =", round(float(h.subs(x, losning)), 6))
Fasit: Omtrent år \(2043\).
Del 2 - Oppgave 3a - 4 poeng samletFinansmatematikk

Oppgave 3a

Oppgave:

Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 2015. Det skal deles ut et fast beløp 31.12 hvert år. Styret antar årlig avkastning 10,0 prosent. Hvor mye kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Tolk evigvarende fond

Fondet skal aldri bli mindre på lang sikt dersom bare avkastningen deles ut.

Steg 2 - Beregn årlig avkastning

\[50\cdot 0{,}10=5\]

Steg 3 - Tolk enhet

Beløpene er i millioner kroner.

Steg 4 - Maksimal årlig utdeling

\[5\text{ millioner kroner}\]

Steg 5 - Kontroller

Hvis fondet får 5 millioner i avkastning og deler ut 5 millioner, står kapitalen igjen på 50 millioner.

Steg 6 - Skriv svar med dato

Beløpet kan deles ut ved hvert årsskifte dersom forutsetningen holder.

Tolkning

Maksimal evig utdeling er 5 millioner kroner per år.

Vanlig feil: Å dele ut mer enn avkastningen og samtidig tro at fondet aldri går tomt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
50*0.10
-> \(5\)

Python

kapital = 50_000_000
rente = 0.10
utdeling = kapital*rente
print("Startkapital =", kapital, "kr")
print("Årlig avkastning =", rente)
print("Maksimal varig utdeling =", round(utdeling), "kr")
print("Kapital etter rente og utdeling =", kapital*(1+rente) - utdeling)
Fasit: \(5\) millioner kroner per år.
Del 2 - Oppgave 3b - 4 poeng samletFinansmatematikk og rekursjon

Oppgave 3b

Oppgave:

Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett opp rekursjon

\[K_n=1{,}10K_{n-1}-8\]

Steg 2 - Startverdi

\[K_0=50\]

Steg 3 - Forklar enhet

Kapitalen måles i millioner kroner.

Steg 4 - Simuler år for år

Etter hvert år får fondet 10 prosent avkastning før utdelingen trekkes fra.

Steg 5 - Finn når kapitalen passerer null

\[K_{10}\approx 2{,}19,\qquad K_{11}\approx -5{,}59\]

Steg 6 - Tolk dato

Fondet blir tomt ved utdelingen i det 11. året, altså 31.12.2025.

Tolkning

Fondet tømmes ved den 11. utdelingen, i 2025.

Vanlig feil: Å trekke utdelingen før renten dersom modellen forutsetter avkastning gjennom året før 31.12.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Nest(K:=1.10*K-8, K0=50)
-> \(K_{11}<0\)

Python

kapital = 50.0
rente = 0.10
utdeling = 8.0
print("Beløp i millioner kroner")
print("Startkapital:", kapital)
for aar in range(1, 20):
    kapital = kapital*(1 + rente) - utdeling
    kalenderaar = 2015 + aar - 1
    print("Etter utdeling", aar, "år", kalenderaar, "kapital =", round(kapital, 3))
    if kapital <= 0:
        print("Fondet er tomt ved utdelingen i år", kalenderaar)
        break
Fasit: Fondet blir tomt i \(2025\) (ved 11. utdeling).
Del 2 - Oppgave 4 - 4 poengLikningssystem med CAS

Oppgave 4

Oppgave:

Tabellen viser næringsinnhold og energiinnhold i 100 g smøreost, helmelk og hvitost. Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme energiinnholdet i 1 g fett, 1 g karbohydrater og 1 g proteiner.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Definer ukjente

La \(F\) være kJ per gram fett, \(K\) kJ per gram karbohydrater og \(P\) kJ per gram proteiner.

Steg 2 - Smøreostlikning

\[25F+2K+6P=1010\]

Steg 3 - Helmelklikning

\[3{,}5F+4{,}5K+3{,}3P=270\]

Steg 4 - Hvitostlikning

\[27F+27P=1500\]

Steg 5 - Løs systemet med CAS

\[F\approx 33{,}74,\qquad K\approx 17{,}76,\qquad P\approx 21{,}81\]

Steg 6 - Tolk enheten

Verdiene er kilojoule per gram av hvert næringsstoff.

Tolkning

Fett har høyest energiinnhold per gram i denne beregningen.

Vanlig feil: Å sette inn 100 g som ekstra faktor selv om tabellen allerede gjelder 100 g av hvert produkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs({25F+2K+6P=1010, 3.5F+4.5K+3.3P=270, 27F+27P=1500})
-> \(F\approx 33{,}74,\ K\approx 17{,}76,\ P\approx 21{,}81\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
F, K, P = symbols('F K P')
likninger = [
    Eq(25*F + 2*K + 6*P, 1010),
    Eq(3.5*F + 4.5*K + 3.3*P, 270),
    Eq(27*F + 27*P, 1500),
]
losning = solve(likninger, (F, K, P), dict=True)[0]
print("Energi per gram fett =", round(float(losning[F]), 3), "kJ/g")
print("Energi per gram karbohydrater =", round(float(losning[K]), 3), "kJ/g")
print("Energi per gram proteiner =", round(float(losning[P]), 3), "kJ/g")
for nr, likning in enumerate(likninger, start=1):
    print("Kontroll likning", nr, "=", bool(likning.subs(losning)))
Fasit: \(F\approx 33{,}74\) kJ/g, \(K\approx 17{,}76\) kJ/g og \(P\approx 21{,}81\) kJ/g.
Kontrollnotat: Filen er kontrollert for MathJax-delimitere, balanserte kodeblokker, nøytral Python-visning og fravær av rosa/gull designfarger.