Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgave, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med realistisk kjørbar kode.
Del 1 - uten hjelpemidler
Del 1 - Oppgave 1a - 3 poeng samletDerivasjon med logaritme
Oppgave 1a
Oppgave:
Deriver funksjonen \(f(x)=3\ln(x-2)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk logaritmeregelen
Vi bruker at \(\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u\prime}{u}\) når \(u\) er en deriverbar kjerne.
Steg 2 - Finn kjernen
\[u=x-2\]
Steg 3 - Deriver kjernen
\[u\prime=1\]
Steg 4 - Sett inn i kjerneregelen
\[\dfrac{d}{dx}\ln(x-2)=\dfrac{1}{x-2}\]
Steg 5 - Ta med konstantfaktoren
\[f\prime(x)=3\cdot\dfrac{1}{x-2}\]
Steg 6 - Skriv svaret ryddig
\[f\prime(x)=\dfrac{3}{x-2}\]
Tolkning
Den deriverte beskriver momentan vekstfart. Den er definert for \(x>2\), samme område som logaritmen.
Vanlig feil: Å derivere \(\ln(x-2)\) som om det var \(\ln x\) uten å kontrollere kjernen.
Rekken konvergerer fordi kvotienten i absoluttverdi er mindre enn 1.
Vanlig feil: Å tro at alle uendelige rekker har sum. Kravet \(|k|<1\) må sjekkes.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Abs(1/2) < 1
-> \(\text{true}\)
2
Grense((1/2)^n, n, infinity)
-> \(0\)
Python
from sympy import Rational, limit, symbols, oo
n = symbols('n')
k = Rational(1, 2)
print("Kvotient k =", k)
print("abs(k) < 1:", abs(k) < 1)
print("Grense for k^n når n går mot uendelig =", limit(k**n, n, oo))
Fasit: Rekken konvergerer fordi \(|k|=\dfrac{1}{2}<1\).
Del 1 - Oppgave 3c - 3 poeng samletUendelig geometrisk rekke
Oppgave 3c
Oppgave:
Bestem \(a\) slik at summen av rekken blir 10.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk formelen for uendelig sum
\[S=\dfrac{a_1}{1-k}\]
Steg 2 - Sett inn første ledd og kvotient
\[S=\dfrac{a}{1-\dfrac{1}{2}}\]
Steg 3 - Forenkle
\[S=2a\]
Steg 4 - Sett summen lik 10
\[2a=10\]
Steg 5 - Løs likningen
\[a=5\]
Steg 6 - Kontroller ved innsetting
\[5+\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{4}+\cdots=10\]
Tolkning
Første ledd må være 5 for at den uendelige summen skal bli 10.
Vanlig feil: Å sette \(a=10\) fordi summen skal være 10, uten å ta hensyn til resten av rekken.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Løs(a/(1-1/2)=10, a)
-> \(a=5\)
Python
from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify
a = symbols('a')
k = Rational(1, 2)
S = a/(1 - k)
losning = solve(Eq(S, 10), a)
print("Sumformel S =", S)
print("Løsning for a =", losning)
print("Kontrollsum når a = 5:", simplify(S.subs(a, 5)))
Fasit: \(a=5\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4a - 5 poeng samletNullpunkt
Oppgave 4a
Oppgave:
En funksjon \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3-6x^2+9x\), \(D_f=\mathbb{R}\). Bestem ved regning nullpunktene til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Sett funksjonen lik null
\[x^3-6x^2+9x=0\]
Steg 2 - Faktoriser felles faktor
\[x(x^2-6x+9)=0\]
Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket
\[x^2-6x+9=(x-3)^2\]
Steg 4 - Skriv produktlikningen
\[x(x-3)^2=0\]
Steg 5 - Finn løsningene
\[x=0\quad \text{eller}\quad x=3\]
Steg 6 - Skriv nullpunktene
\[(0,0)\quad \text{og}\quad (3,0)\]
Tolkning
Nullpunktet ved \(x=3\) er et dobbelt nullpunkt, så grafen tangerer x-aksen der.
Vanlig feil: Å skrive bare ett nullpunkt og ikke se at \((x-3)^2\) gir et dobbelt nullpunkt.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(x^3-6x^2+9x)
-> \(x(x-3)^2\)
2
Nullpunkt(f)
-> \(x=0\ \text{eller}\ x=3\)
Python
from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x
print("f(x) =", f)
print("Faktorisert =", factor(f))
print("Nullpunkter =", solve(f, x))
for verdi in solve(f, x):
print("Punkt:", (verdi, f.subs(x, verdi)))
Fasit: \((0,0)\) og \((3,0)\).
Del 1 - Oppgave 4b - 5 poeng samletTopp- og bunnpunkt
Oppgave 4b
Oppgave:
Bestem ved regning eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Grafen har toppunkt i \((1,4)\) og bunnpunkt i \((3,0)\).
Vanlig feil: Å glemme å regne ut y-verdiene etter at x-verdiene er funnet.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt(x^3-6x^2+9x)
-> \((1,4),\ (3,0)\)
Python
from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x
f1 = diff(f, x)
f2 = diff(f, x, 2)
print("f'(x) =", f1)
print("f''(x) =", f2)
for verdi in solve(f1, x):
print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi), "f''(x) =", f2.subs(x, verdi))
Fasit: Toppunkt \((1,4)\), bunnpunkt \((3,0)\).
Del 1 - Oppgave 4c - 5 poeng samletVendepunkt
Oppgave 4c
Oppgave:
Bestem ved regning vendepunktet på grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk andrederivert
\[f\prime\prime(x)=6x-12\]
Steg 2 - Sett andrederivert lik null
\[6x-12=0\]
Steg 3 - Løs for x
\[x=2\]
Steg 4 - Kontroller fortegnsskifte
Andrederiverte går fra negativ til positiv når \(x\) passerer 2.
Steg 5 - Finn y-verdien
\[f(2)=2^3-6\cdot 2^2+9\cdot 2=2\]
Steg 6 - Skriv vendepunktet
\[(2,2)\]
Tolkning
Vendepunktet ligger mellom toppunktet og bunnpunktet, der krumningen skifter.
Vanlig feil: Å stoppe ved \(x=2\) og ikke skrive punktet \((2,2)\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Vendepunkt(x^3-6x^2+9x)
-> \((2,2)\)
Python
from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x
f2 = diff(f, x, 2)
print("f''(x) =", f2)
for verdi in solve(f2, x):
print("Vendepunkt: x =", verdi, "y =", f.subs(x, verdi))
Fasit: \((2,2)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4d - 5 poeng samletGrafskisse
Oppgave 4d
Oppgave:
Lag en skisse av grafen til \(f\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Siden ledende ledd er \(x^3\), går grafen ned mot venstre og opp mot høyre.
Steg 5 - Marker dobbelt nullpunkt
Ved \(x=3\) tangerer grafen x-aksen fordi nullpunktet er dobbelt.
Steg 6 - Tegn sammenhengende kurve
Kurven skal gå gjennom punktene i riktig rekkefølge og skifte krumning i \((2,2)\).
Tolkning
En god skisse viser at grafen krysser x-aksen i origo og tangerer i \((3,0\).
Vanlig feil: Å tegne grafen slik at den krysser x-aksen ved \(x=3\) i stedet for å tangere der.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Faktoriser(f)
-> \(x(x-3)^2\)
2
Ekstremalpunkt(f)
-> \((1,4),\ (3,0)\)
Python
from sympy import symbols, factor, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3 - 6*x**2 + 9*x
print("Faktorisert f(x) =", factor(f))
print("Nullpunkter =", solve(f, x))
print("Kritiske punkter:")
for verdi in solve(diff(f, x), x):
print("x =", verdi, "f(x) =", f.subs(x, verdi))
print("Vendepunkt x =", solve(diff(f, x, 2), x))
Fasit: Grafen skal ha nullpunktene \((0,0)\) og \((3,0)\), toppunkt \((1,4)\) og vendepunkt \((2,2)\).
Del 1 - Oppgave 5a - 5 poeng samletEnhetskostnad
Oppgave 5a
Oppgave:
I figuren er kostnadsfunksjonen \(K\) markert. Linjene \(y=4{,}46x\), \(y=3{,}43x\) og \(y=2{,}06x+960\) er tegnet inn. Bestem enhetskostnaden ved produksjon av 400 enheter.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk tangentlinjen gjennom punktet
Ved \(x=400\) ligger kostnaden på linjen \(y=2{,}06x+960\).
Steg 2 - Finn kostnaden
\[K(400)=2{,}06\cdot 400+960=1784\]
Steg 3 - Bruk definisjonen
\[\text{Enhetskostnad}=\dfrac{K(x)}{x}\]
Steg 4 - Sett inn x=400
\[\dfrac{K(400)}{400}=\dfrac{1784}{400}\]
Steg 5 - Regn ut
\[\dfrac{1784}{400}=4{,}46\]
Steg 6 - Skriv enhet
Enhetskostnaden må oppgis i kroner per enhet.
Tolkning
Det koster i gjennomsnitt 4,46 kroner per enhet ved produksjon av 400 enheter.
Vanlig feil: Å bruke stigningstallet 2,06 som enhetskostnad. Det er grensekostnaden, ikke gjennomsnittskostnaden.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
K(400) = 2.06*400 + 960
-> \(1784\)
2
K(400)/400
-> \(4{,}46\)
Python
from decimal import Decimal
x = Decimal("400")
K_400 = Decimal("2.06")*x + Decimal("960")
enhetskostnad = K_400/x
print("K(400) =", K_400)
print("Enhetskostnad K(400)/400 =", enhetskostnad, "kr per enhet")
Fasit: \(4{,}46\) kroner per enhet.
Del 1 - Oppgave 5b - 5 poeng samletGrensekostnad
Oppgave 5b
Oppgave:
Forklar at grensekostnaden ved produksjon av 400 enheter er 2,06 kroner per enhet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Tolk grensekostnad
Grensekostnaden er den deriverte \(K\prime(x)\), altså stigningstallet til tangenten til kostnadskurven.
Steg 2 - Finn relevant tangent
Ved produksjon av 400 enheter er tangenten linjen \(y=2{,}06x+960\).
Steg 3 - Les av stigningstall
\[\text{stigningstall}=2{,}06\]
Steg 4 - Knytt stigningstall til derivert
\[K\prime(400)=2{,}06\]
Steg 5 - Skriv enhet
Siden x måles i enheter og K i kroner, blir enheten kroner per enhet.
Steg 6 - Konkluder
Grensekostnaden ved 400 enheter er derfor 2,06 kroner per ekstra enhet.
Tolkning
En ekstra produsert enhet rundt 400 enheter øker kostnaden med omtrent 2,06 kroner.
Vanlig feil: Å blande grensekostnad med total kostnad eller enhetskostnad.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Stigningstall(2.06x+960)
-> \(2{,}06\)
Python
from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
tangent = 2.06*x + 960
stigningstall = diff(tangent, x)
print("Tangentlinje:", tangent)
print("Stigningstall:", stigningstall)
print("Dette tolkes som grensekostnaden ved x = 400")
Fasit: \(K\prime(400)=2{,}06\) kroner per enhet.
Del 1 - Oppgave 5c - 5 poeng samletMinste enhetskostnad
Oppgave 5c
Oppgave:
Bestem den minste enhetskostnaden.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk geometrisk tolkning
Enhetskostnaden er \(\dfrac{K(x)}{x}\), altså stigningstallet til linjen fra origo til punktet \((x,K(x))\) på grafen.
Steg 2 - Finn tangenten fra origo
Den minste enhetskostnaden fås når en linje fra origo tangerer kostnadsgrafen.
Steg 3 - Les av aktuell linje
I figuren er denne linjen \(y=3{,}43x\).
Steg 4 - Les av stigningstall
\[\dfrac{K(x)}{x}=3{,}43\]
Steg 5 - Skriv enhetskostnaden
Stigningstallet er kroner per enhet.
Steg 6 - Konkluder
Den minste enhetskostnaden er derfor 3,43 kroner per enhet.
Tolkning
Minste gjennomsnittlige kostnad oppstår der linjen fra origo tangerer kostnadsgrafen.
Vanlig feil: Å velge den minste stigningstallet 2,06. Den linjen går ikke gjennom origo og representerer ikke enhetskostnaden.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Stigningstall(y=3.43x)
-> \(3{,}43\)
Python
from decimal import Decimal
stigningstall_fra_origo = Decimal("3.43")
print("Linjen fra origo har likning y = 3.43*x")
print("Minste enhetskostnad =", stigningstall_fra_origo, "kr per enhet")
Fasit: \(3{,}43\) kroner per enhet.
Del 1 - Oppgave 6a - 4 poeng samletSannsynlighetsfordeling
Oppgave 6a
Oppgave:
En stokastisk variabel \(X\) har verdiene \(-1\), \(0\) og \(1\) med sannsynligheter \(a\), \(b\) og \(c\). Vis at opplysningene \(E(X)=\dfrac{1}{2}\) og \(\operatorname{Var}(X)=\dfrac{7}{12}\) gir likningssystemet i oppgaven.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Likningssystemet kan skrives på flere likeverdige måter. Oppgavens tredje likning er en skalert og omordnet form sammen med \(a+b+c=1\).
Vanlig feil: Å bruke \(E(X)\) i stedet for \(E(X^2)\) i variansformelen.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
a+b+c=1
-> \(a+b+c=1\)
2
E(X)
-> \(-a+c=\dfrac{1}{2}\)
3
Var(X)
-> \(\dfrac{7}{12}\)
Python
from sympy import symbols, Rational, expand
_a, b, c = symbols('a b c')
mu = Rational(1, 2)
EX = -_a + c
EX2 = _a + c
var = EX2 - mu**2
print("Sum av sannsynligheter: a + b + c = 1")
print("E(X) =", EX)
print("E(X^2) =", EX2)
print("Var(X) = E(X^2) - mu^2 =", expand(var))
print("Sett Var(X) = 7/12 og mu = 1/2")
Fasit: Likningene følger av sannsynlighetssum, forventning og varians.
Del 1 - Oppgave 6b - 4 poeng samletLikningssystem
Oppgave 6b
Oppgave:
Bestem verdiene av \(a\), \(b\) og \(c\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Del 1 - Oppgave 7 - 2 poengTangent med gitt stigningstall
Oppgave 7
Oppgave:
Funksjonen \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3-3x^2+2x-2\), \(D_f=\mathbb{R}\). Bestem hvilke punkter på grafen til \(f\) som har tangent med stigningstall lik 2.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Deriver funksjonen
\[f\prime(x)=3x^2-6x+2\]
Steg 2 - Sett stigningstallet lik 2
\[3x^2-6x+2=2\]
Steg 3 - Forenkle likningen
\[3x^2-6x=0\]
Steg 4 - Faktoriser
\[3x(x-2)=0\]
Steg 5 - Finn x-verdiene
\[x=0\quad \text{eller}\quad x=2\]
Steg 6 - Finn punktene
\[f(0)=-2,\qquad f(2)=8-12+4-2=-2\]
Tolkning
Tangentene har stigningstall 2 i punktene \((0,-2)\) og \((2,-2)\).
Vanlig feil: Å svare med x-verdiene alene i stedet for punktene på grafen.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Løs(Derivert(f)=2)
-> \(x=0\ \text{eller}\ x=2\)
2
Punkt
-> \((0,-2),\ (2,-2)\)
Python
from sympy import symbols, diff, solve, Eq
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2 + 2*x - 2
f1 = diff(f, x)
losninger = solve(Eq(f1, 2), x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f1)
print("Løsninger av f'(x)=2:", losninger)
for verdi in losninger:
print("Punkt:", (verdi, f.subs(x, verdi)))
Fasit: \((0,-2)\) og \((2,-2)\).
Del 2 - Oppgave 1a - 7 poeng samletInntektsfunksjon
Oppgave 1a
Oppgave:
Sammenhengen mellom antall solgte enheter \(x\) og prisen per enhet er \(p(x)=500-0{,}1x\). Bestem et uttrykk for inntekten \(I(x)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk definisjonen av inntekt
\[I(x)=x\cdot p(x)\]
Steg 2 - Sett inn prisfunksjonen
\[I(x)=x(500-0{,}1x)\]
Steg 3 - Utvid uttrykket
\[I(x)=500x-0{,}1x^2\]
Steg 4 - Tolk leddene
Første ledd øker proporsjonalt med antall enheter, mens andre ledd trekker ned fordi prisen faller når x øker.
Steg 5 - Kontroller enheten
Pris i kroner per enhet ganger antall enheter gir kroner.
Steg 6 - Skriv ryddig svar
\[I(x)=-0{,}1x^2+500x\]
Tolkning
Inntekten er en andregradsfunksjon fordi prisen er lineær og multipliseres med \(x\).
Vanlig feil: Å bruke prisfunksjonen alene som inntekt.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
I(x):=x*(500-0.1x)
-> \(500x-0{,}1x^2\)
Python
from sympy import symbols, expand
x = symbols('x')
p = 500 - 0.1*x
I = expand(x*p)
print("p(x) =", p)
print("I(x) = x*p(x) =", I)
Fasit: \(I(x)=500x-0{,}1x^2\).
Del 2 - med hjelpemidler
Del 2 - Oppgave 1b - 7 poeng samletRegresjon og kostnadsmodell
Oppgave 1b
Oppgave:
Tabellen viser kostnaden \(K(x)\) for noen verdier av \(x\). Bruk tabellen til å lage en modell for kostnadsfunksjonen \(K\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Velg modelltype
Kostnadene øker med økende stigning, så en andregradsmodell er et rimelig valg.
Steg 2 - Legg inn data
Vi bruker punktene \((500,92300)\), \((1000,195000)\), \((1500,310000)\), \((2000,461000)\) og \((2500,641000)\).
Steg 3 - Utfør regresjon
Med regresjon får vi omtrent koeffisientene under.
Steg 4 - Skriv modellen
\[K(x)\approx 0{,}05446x^2+109{,}31x+26140\]
Steg 5 - Kontroller modellnivå
Modellen treffer ikke alle punkter eksakt, men følger tabellen godt.
Steg 6 - Avrund hensiktsmessig
Vi bruker modellen videre med avrundede koeffisienter.
Tolkning
Kostnadsmodellen er en tilnærming som brukes til videre optimalisering.
Vanlig feil: Å velge en lineær modell selv om kostnadsøkningen tydelig blir større for større \(x\).
Fasit: Likningen gir samme resultat fordi \(O\prime(x)=I\prime(x)-K\prime(x)\).
Del 2 - Oppgave 2a - 5 poeng samletOptimering med arealvilkår
Oppgave 2a
Oppgave:
Et rektangel har areal \(625\,\text{m}^2\). En 15 m lang steinmur brukes som del av inngjerdingen. Vis at gjerdelengden kan skrives som \(G(x)=\dfrac{2x^2-15x+1250}{x}\) når \(x>15\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Bruk arealet
\[xy=625\]
Steg 2 - Løs for y
\[y=\dfrac{625}{x}\]
Steg 3 - Finn gjerdelengden
Vi trenger to lengder \(x\) og to lengder \(y\), men 15 m av den ene siden erstattes av mur.
Steg 4 - Skriv G
\[G(x)=2x+2y-15\]
Steg 5 - Sett inn y
\[G(x)=2x+2\cdot\dfrac{625}{x}-15\]
Steg 6 - Skriv som en brøk
\[G(x)=\dfrac{2x^2-15x+1250}{x}\]
Tolkning
Funksjonen beskriver bare situasjoner der muren faktisk kan være en del av siden, derfor \(x>15\).
Vanlig feil: Å glemme å trekke fra de 15 meterne med steinmur.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
2x+2*(625/x)-15
-> \(\dfrac{2x^2-15x+1250}{x}\)
Python
from sympy import symbols, simplify
x = symbols('x', positive=True)
y = 625/x
G = 2*x + 2*y - 15
print("y =", y)
print("G(x) =", G)
print("G(x) som en brøk =", simplify(G))
Fasit: \(G(x)=\dfrac{2x^2-15x+1250}{x}\).
Del 2 - Oppgave 2b - 5 poeng samletMinimering
Oppgave 2b
Oppgave:
Bestem hvor langt gjerde bonden må bruke dersom han skal bruke kortest mulig gjerde. Hvilken form har området da?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Forenkle funksjonen
\[G(x)=2x-15+\dfrac{1250}{x}\]
Steg 2 - Deriver
\[G\prime(x)=2-\dfrac{1250}{x^2}\]
Steg 3 - Sett den deriverte lik null
\[2-\dfrac{1250}{x^2}=0\]
Steg 4 - Løs likningen
\[2x^2=1250\Rightarrow x^2=625\Rightarrow x=25\]
Steg 5 - Finn y
\[y=\dfrac{625}{25}=25\]
Steg 6 - Finn gjerdelengden
\[G(25)=2\cdot 25+2\cdot 25-15=85\]
Tolkning
Området blir et kvadrat på \(25\,\text{m}\) ganger \(25\,\text{m}\), og bonden trenger 85 m gjerde.
Vanlig feil: Å svare 100 m fordi omkretsen til kvadratet er 100 m, uten å trekke fra muren på 15 m.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Minimer(2x-15+1250/x)
-> \(x=25\)
2
G(25)
-> \(85\)
Python
from sympy import symbols, diff, solve, Eq
x = symbols('x', positive=True)
G = 2*x - 15 + 1250/x
G_derivert = diff(G, x)
losning = solve(Eq(G_derivert, 0), x)
print("G(x) =", G)
print("G'(x) =", G_derivert)
print("Kritiske x-verdier =", losning)
for verdi in losning:
print("x =", verdi, "y =", 625/verdi, "G(x) =", G.subs(x, verdi))
Fasit: Kortest gjerde er \(85\,\text{m}\), og området er et kvadrat med side \(25\,\text{m}\).
Del 2 - Oppgave 3a - 4 poeng samletFinansmatematikk
Oppgave 3a
Oppgave:
Katrine satte inn 20 000 kroner hvert år, første gang 1. januar 2007 og siste gang 1. januar 2010. Renten var 3,5 prosent per år. Hvor mye hadde hun 31. desember 2010?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Finn vekstfaktoren
\[1+0{,}035=1{,}035\]
Steg 2 - Bestem antall renteår
Innskuddene fra 2007, 2008, 2009 og 2010 står i henholdsvis 4, 3, 2 og 1 år fram til 31. desember 2010.
Beløpet må være mer enn 80 000 kroner fordi det er fire innskudd pluss renter.
Tolkning
Katrine hadde omtrent 87 249 kroner på kontoen ved utgangen av 2010.
Vanlig feil: Å la siste innskudd få 0 renteår. Det ble satt inn 1. januar 2010 og står til 31. desember 2010.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
20000*(1.035^4+1.035^3+1.035^2+1.035)
-> \(87249{,}32\)
Python
from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec = 16
innskudd = Decimal("20000")
r = Decimal("1.035")
belop = sum(innskudd*(r**n) for n in [4, 3, 2, 1])
print("Vekstfaktor =", r)
print("Beløp 31.12.2010 =", belop)
print("Avrundet til kroner =", belop.quantize(Decimal("1")))
Fasit: \(87249{,}32\) kroner, omtrent \(87249\) kroner.
Del 2 - Oppgave 3b - 4 poeng samletFinansmatematikk med uttak
Oppgave 3b
Oppgave:
Fra 1. januar 2011 ble renten 3,0 prosent. Katrine tok ut 8000 kroner hvert år, første gang 1. januar 2011 og siste gang 1. januar 2014. Hvor mye hadde hun 31. desember 2014?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Start med beløpet fra 2010
\[B_0\approx 87249{,}32\]
Steg 2 - Bruk ny vekstfaktor
\[1+0{,}030=1{,}03\]
Steg 3 - Uttak skjer før rente hvert år
Hvert år trekker vi først fra 8000 kroner og ganger deretter med \(1{,}03\).
Steg 4 - Skriv rekursjonen
\[B_{n+1}=(B_n-8000)\cdot 1{,}03\]
Steg 5 - Bruk rekursjonen fire ganger
\[B_4\approx 63726{,}79\]
Steg 6 - Avrund til kroner
\[63727\ \text{kroner}\]
Tolkning
Etter fire uttak og fire renteår står det omtrent 63 727 kroner igjen.
Vanlig feil: Å legge på rente før uttaket, selv om uttaket skjer 1. januar.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Iterer((B-8000)*1.03, 4 ganger)
-> \(63726{,}79\)
Python
from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec = 16
B = Decimal("87249.3175125")
r = Decimal("1.03")
uttak = Decimal("8000")
print("Start 31.12.2010 =", B)
for aar in [2011, 2012, 2013, 2014]:
B = (B - uttak)*r
print(f"31.12.{aar} = {B}")
print("Sluttbeløp avrundet til kroner =", B.quantize(Decimal("1")))
Fasit: \(63726{,}79\) kroner, omtrent \(63727\) kroner.
Del 2 - Oppgave 4a - 6 poeng samletModell og graf
Oppgave 4a
Oppgave:
Hubberts modell for verdens årlige oljeproduksjon er \(V(t)=\dfrac{3400e^{-0{,}051t}}{\left(1+56e^{-0{,}051t}\right)^2}\). Her er \(V(t)\) milliarder fat olje i år \(t\) etter 1930. Tegn grafen til \(V\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Vanlig feil: Å bruke \(T_{n+2}\) eller \(T_{n+4}\) i stedet for \(T_{n+3}\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
Forenkle(n(n+1)/2+(n+3)(n+4)/2-3)
-> \(n^2+4n+3\)
Python
from sympy import symbols, simplify, factor
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
Tn = n*(n + 1)/2
Tn3 = (n + 3)*(n + 4)/2
B = simplify(Tn + Tn3 - 3)
print("B_n utvidet =", B)
print("B_n faktorisert =", factor(B))
for verdi in [1, 2, 4, 5]:
print(f"B_{verdi} =", B.subs(n, verdi))
Fasit: \(B_n=n^2+4n+3=(n+1)(n+3)\).
Del 2 - Oppgave 6a - 8 poeng samletNormalfordeling
Oppgave 6a
Oppgave:
Innholdet i kartongene er normalfordelt med forventningsverdi \(0{,}33\) L og standardavvik \(0{,}03\) L. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig kartong inneholder mer enn \(0{,}36\) L?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Definer variabelen
\[X\sim N(0{,}33,0{,}03)\]
Steg 2 - Standardiser grensen
\[z=\dfrac{0{,}36-0{,}33}{0{,}03}=1\]
Steg 3 - Skriv sannsynligheten
\[P(X>0{,}36)=P(Z>1)\]
Steg 4 - Bruk normalfordelingstabell eller CAS
\[P(Z>1)=1-\Phi(1)\]
Steg 5 - Regn ut
\[1-\Phi(1)\approx 0{,}1587\]
Steg 6 - Skriv som prosent
\[0{,}1587\approx 15{,}9\%\]
Tolkning
Omtrent 15,9 prosent av kartongene inneholder mer enn 0,36 L.
Vanlig feil: Å bruke standardavviket som varians eller regne \(z=0{,}03\) i stedet for \(z=1\).
I en kvalitetskontroll inneholdt 25 tilfeldige kartonger gjennomsnittlig \(0{,}292\) L juice. Sett opp hypoteser og vurder om bedriften i snitt tapper for lite juice. Bruk signifikansnivå \(5\%\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
For venstresidig test på 5 prosent er kritisk verdi omtrent \(-1{,}645\).
Steg 5 - Sammenlikn
\[-6{,}33<-1{,}645\]
Steg 6 - Konkluder
Vi forkaster \(H_0\). Det er sterk evidens for at bedriften i snitt tapper for lite juice.
Tolkning
Gjennomsnittet i utvalget ligger svært langt under 0,33 L i forhold til standardfeilen.
Vanlig feil: Å bruke standardavviket 0,03 direkte i nevneren i stedet for standardfeilen \(0{,}03/\sqrt{25}\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra - CAS
1
ZTest(0.292,0.33,0.03,25)
-> \(z\approx -6{,}33\)
2
p-verdi
-> \(\approx 0{,}00000000012\)
Python
from statistics import NormalDist
import math
mu0 = 0.33
xbar = 0.292
sigma = 0.03
n = 25
standardfeil = sigma/math.sqrt(n)
z = (xbar - mu0)/standardfeil
p_verdi = NormalDist().cdf(z)
kritisk = NormalDist().inv_cdf(0.05)
print("H0: mu = 0.33")
print("H1: mu < 0.33")
print("standardfeil =", standardfeil)
print("z =", z)
print("kritisk verdi ved 5 prosent =", kritisk)
print("p-verdi =", p_verdi)
print("Forkast H0:", z < kritisk)
Fasit: Forkast \(H_0\). Det er grunnlag for å si at bedriften tapper for lite.
Del 2 - Oppgave 6d - 8 poeng samletNormalfordeling og persentil
Oppgave 6d
Oppgave:
Bedriften ønsker at omtrent 90 prosent av kartongene skal inneholde mer enn \(0{,}32\) L. Standardavviket er fortsatt \(0{,}03\) L. Hva må forventningsverdien være?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise regningen trinn for trinn og kontrollere svaret digitalt.
Steg 1 - Oversett kravet
\[P(X>0{,}32)=0{,}90\]
Steg 2 - Skriv venstresiden
\[P(X\le 0{,}32)=0{,}10\]
Steg 3 - Bruk 10-persentilen i standardnormalfordelingen
