S2 eksamenHøst 2013

Matematikk S2 eksamen – høst 2013

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Høsten 2013

Komplett løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgavetekst, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og fullere Python-kontroll med utskrift.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1a - 4 poeng samletDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonen \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Skriv som potens

\[f(x)=x^{-2}\]

Steg 2 - Bruk potensregelen

\[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\]

Steg 3 - Deriver

\[f\prime(x)=-2x^{-3}\]

Steg 4 - Skriv svaret som brøk

\[f\prime(x)=-\dfrac{2}{x^3}\]

Steg 5 - Kontroller definisjonsmengden

Uttrykket gjelder for \(x\ne 0\).

Steg 6 - Sjekk rimelighet

Når \(x\) øker positivt, blir \(1/x^2\) mindre, derfor er den deriverte negativ.

Tolkning

Den deriverte beskriver hvor raskt funksjonen \(1/x^2\) endrer seg.

Vanlig feil: Å derivere \(x^2\) i nevneren direkte uten å skrive om til potens.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(1/x^2)
-> \(-\dfrac{2}{x^3}\)

Python

from sympy import symbols, diff, simplify
x = symbols('x')
f = 1/x**2
f_derivert = diff(f, x)
forventet = -2/x**3
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", f_derivert)
print("Kontroll f'(x) - forventet =", simplify(f_derivert - forventet))
Fasit: \(f\prime(x)=-\dfrac{2}{x^3}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1b - 4 poeng samletKjerneregel

Oppgave 1b

Oppgave:

Deriver funksjonen \(g(x)=5(x-1)^5\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Identifiser ytre og indre funksjon

Ytre funksjon er femtepotens, og indre funksjon er \(x-1\).

Steg 2 - Bruk kjerneregelen

\[\dfrac{d}{dx}\left(5u^5\right)=25u^4\cdot u\prime\]

Steg 3 - Deriver kjernen

\[u=x-1\quad\Rightarrow\quad u\prime=1\]

Steg 4 - Sett inn

\[g\prime(x)=25(x-1)^4\cdot 1\]

Steg 5 - Forenkle

\[g\prime(x)=25(x-1)^4\]

Steg 6 - Kontroller fortegn og grad

Den deriverte skal være et fjerdegraduttrykk.

Tolkning

Den deriverte er null ved \(x=1\), der grafen har horisontal tangent.

Vanlig feil: Å glemme faktoren fra potensen og bare skrive \(5(x-1)^4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(5*(x-1)^5)
-> \(25(x-1)^4\)

Python

from sympy import symbols, diff, factor, simplify
x = symbols('x')
g = 5*(x - 1)**5
g_derivert = diff(g, x)
print("g(x) =", g)
print("g'(x) =", g_derivert)
print("g'(x) faktorisert =", factor(g_derivert))
print("Kontroll =", simplify(g_derivert - 25*(x - 1)**4))
Fasit: \(g\prime(x)=25(x-1)^4\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1c - 4 poeng samletBrøkregel og kjerneregel

Oppgave 1c

Oppgave:

Deriver funksjonen \(h(x)=\dfrac{e^{-2x}}{x-3}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Velg brøkregelen

\[\left(\dfrac{u}{v}\right)\prime=\dfrac{u\prime v-uv\prime}{v^2}\]

Steg 2 - Deriver teller og nevner

\[u=e^{-2x},\ u\prime=-2e^{-2x},\qquad v=x-3,\ v\prime=1\]

Steg 3 - Sett inn i brøkregelen

\[h\prime(x)=\dfrac{(-2e^{-2x})(x-3)-e^{-2x}\cdot 1}{(x-3)^2}\]

Steg 4 - Faktoriser teller

\[h\prime(x)=\dfrac{e^{-2x}\left(-2(x-3)-1\right)}{(x-3)^2}\]

Steg 5 - Forenkle parentesen

\[-2(x-3)-1=-2x+5\]

Steg 6 - Skriv svaret

\[h\prime(x)=\dfrac{(5-2x)e^{-2x}}{(x-3)^2}\]

Tolkning

Funksjonen og den deriverte er ikke definert for \(x=3\).

Vanlig feil: Å bruke produktregelen på telleren, men glemme nevnerens deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(exp(-2*x)/(x-3))
-> \(\dfrac{(5-2x)e^{-2x}}{(x-3)^2}\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, factor, simplify
x = symbols('x')
h = exp(-2*x)/(x - 3)
h_derivert = diff(h, x)
forventet = (5 - 2*x)*exp(-2*x)/(x - 3)**2
print("h(x) =", h)
print("h'(x) =", h_derivert)
print("h'(x) samlet =", factor(h_derivert))
print("Kontroll =", simplify(h_derivert - forventet))
Fasit: \(h\prime(x)=\dfrac{(5-2x)e^{-2x}}{(x-3)^2}\), \(x\ne 3\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2a - 5 poeng samletPolynomdivisjon

Oppgave 2a

Oppgave:

Vis at polynomdivisjonen \((x^3+2x^2-21x+18):(x-1)\) går opp, uten å gjennomføre divisjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk faktorsetningen

Divisjonen med \(x-1\) går opp dersom polynomet har nullpunkt \(x=1\).

Steg 2 - Sett inn \(x=1\)

\[P(1)=1^3+2\cdot1^2-21\cdot1+18\]

Steg 3 - Regn ut

\[P(1)=1+2-21+18=0\]

Steg 4 - Trekk konklusjon

Siden resten er \(0\), er \(x-1\) en faktor.

Steg 5 - Knytt til divisjon

Når resten er null, sier vi at divisjonen går opp.

Steg 6 - Kontroller metoden

Vi trengte ikke å finne hele kvotienten.

Tolkning

Faktorsetningen er raskeste metode når divisoren er lineær.

Vanlig feil: Å utføre lang polynomdivisjon selv om oppgaven spør om å vise at divisjonen går opp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
P(x):=x^3+2*x^2-21*x+18
-> \(P(1)=0\)

Python

from sympy import symbols, rem
x = symbols('x')
P = x**3 + 2*x**2 - 21*x + 18
rest = rem(P, x - 1, domain='QQ')
print("P(x) =", P)
print("P(1) =", P.subs(x, 1))
print("Rest ved divisjon med x - 1 =", rest)
Fasit: Divisjonen går opp fordi \(P(1)=0\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2b - 5 poeng samletFaktorisering

Oppgave 2b

Oppgave:

Skriv så enkelt som mulig \(\dfrac{x^3+2x^2-21x+18}{x^2-1}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Faktoriser nevneren

\[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

Steg 2 - Bruk resultatet fra a

Telleren har faktoren \(x-1\).

Steg 3 - Faktoriser telleren

\[x^3+2x^2-21x+18=(x-1)(x+6)(x-3)\]

Steg 4 - Sett inn i brøken

\[\dfrac{(x-1)(x+6)(x-3)}{(x-1)(x+1)}\]

Steg 5 - Forkort felles faktor

\[\dfrac{(x+6)(x-3)}{x+1}\]

Steg 6 - Husk begrensninger

Opprinnelig nevner gir \(x\ne 1\) og \(x\ne -1\).

Tolkning

Uttrykket kan forkortes, men de opprinnelige forbudte \(x\)-verdiene gjelder fortsatt.

Vanlig feil: Å glemme at \(x=1\) fortsatt ikke er lov etter forkorting.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Faktoriser((x^3+2*x^2-21*x+18)/(x^2-1))
-> \(\dfrac{(x+6)(x-3)}{x+1}\)

Python

from sympy import symbols, factor, cancel
x = symbols('x')
uttrykk = (x**3 + 2*x**2 - 21*x + 18)/(x**2 - 1)
print("Uttrykk =", uttrykk)
print("Telleren faktorisert =", factor(x**3 + 2*x**2 - 21*x + 18))
print("Nevneren faktorisert =", factor(x**2 - 1))
print("Forkortet uttrykk =", cancel(uttrykk))
Fasit: \(\dfrac{(x+6)(x-3)}{x+1}\), der \(x\ne \pm 1\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2c - 5 poeng samletPolynom med parameter

Oppgave 2c

Oppgave:

Bestem tallene \(a\) og \(b\) slik at divisjonen \((x^3+ax+b):(x^2+2x-3)\) går opp.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Faktoriser divisoren

\[x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\]

Steg 2 - Bruk nullpunktene

For at divisjonen skal gå opp, må telleren være null for \(x=1\) og \(x=-3\).

Steg 3 - Sett inn \(x=1\)

\[1+a+b=0\]

Steg 4 - Sett inn \(x=-3\)

\[-27-3a+b=0\]

Steg 5 - Løs systemet

\[a=-7,\qquad b=6\]

Steg 6 - Kontroller

\[x^3-7x+6=(x-1)(x+2)(x-3)\]

Tolkning

Tallene må gjøre telleren delelig med begge faktorene i divisoren.

Vanlig feil: Å bare bruke ett av nullpunktene til andregradsdivisoren.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs({1+a+b=0, -27-3a+b=0})
-> \(a=-7,\ b=6\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, rem
x, a, b = symbols('x a b')
P = x**3 + a*x + b
likninger = [Eq(P.subs(x, 1), 0), Eq(P.subs(x, -3), 0)]
losning = solve(likninger, (a, b), dict=True)[0]
P_lost = P.subs(losning)
print("Likninger:", likninger)
print("Losning:", losning)
print("Telleren blir:", P_lost)
print("Faktorisert teller:", factor(P_lost))
print("Rest ved divisjon:", rem(P_lost, x**2 + 2*x - 3))
Fasit: \(a=-7\) og \(b=6\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3a - 4 poeng samletAritmetisk rekke

Oppgave 3a

Oppgave:

I en aritmetisk rekke er \(a_2=6\) og \(a_5=18\). Skriv opp de fire første leddene i rekken.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk at følgen er aritmetisk

Fast differanse betyr at samme tall legges til hver gang.

Steg 2 - Finn differansen

\[d=\dfrac{a_5-a_2}{5-2}=\dfrac{18-6}{3}=4\]

Steg 3 - Finn første ledd

\[a_1=a_2-d=6-4=2\]

Steg 4 - Finn tredje ledd

\[a_3=a_2+d=6+4=10\]

Steg 5 - Finn fjerde ledd

\[a_4=10+4=14\]

Steg 6 - Skriv listen

\[2,\ 6,\ 10,\ 14\]

Tolkning

Differansen \(4\) gir en jevn aritmetisk vekst.

Vanlig feil: Å bruke \(18-6=12\) som differanse uten å dele på tre hopp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sekvens(2+4*(n-1), n, 1, 4)
-> \(\{2,6,10,14\}\)

Python

a2 = 6
a5 = 18
forskjell_i_indeks = 5 - 2
d = (a5 - a2)/forskjell_i_indeks
a1 = a2 - d
ledd = [a1 + (n - 1)*d for n in range(1, 5)]
print("a2 =", a2)
print("a5 =", a5)
print("d =", d)
print("De fire første leddene =", ledd)
Fasit: De fire første leddene er \(2,\ 6,\ 10,\ 14\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3b - 4 poeng samletAritmetisk følge

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem en formel for \(a_n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk aritmetisk leddformel

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

Steg 2 - Sett inn \(a_1=2\) og \(d=4\)

\[a_n=2+(n-1)\cdot4\]

Steg 3 - Utvid parentesen

\[a_n=2+4n-4\]

Steg 4 - Forenkle

\[a_n=4n-2\]

Steg 5 - Kontroller med \(n=2\)

\[a_2=4\cdot2-2=6\]

Steg 6 - Kontroller med \(n=5\)

\[a_5=4\cdot5-2=18\]

Tolkning

Formelen gir riktig ledd direkte fra leddnummeret.

Vanlig feil: Å skrive \(a_n=2+4n\) og dermed forskyve alle leddene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
a(n):=4*n-2
-> \(a_n=4n-2\)

Python

from sympy import symbols, simplify
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a_n = 2 + (n - 1)*4
print("a_n før forenkling =", a_n)
print("a_n forenklet =", simplify(a_n))
print("Kontroll a_2 =", a_n.subs(n, 2))
print("Kontroll a_5 =", a_n.subs(n, 5))
Fasit: \(a_n=4n-2\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3c - 4 poeng samletSum av aritmetisk rekke

Oppgave 3c

Oppgave:

Bestem en formel for summen \(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk sumformelen

\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\]

Steg 2 - Sett inn \(a_1=2\) og \(a_n=4n-2\)

\[S_n=\dfrac{n(2+4n-2)}{2}\]

Steg 3 - Forenkle parentesen

\[2+4n-2=4n\]

Steg 4 - Regn ferdig

\[S_n=\dfrac{n\cdot4n}{2}=2n^2\]

Steg 5 - Kontroller for \(n=4\)

\[S_4=2+6+10+14=32\]

Steg 6 - Sammenlikn med formelen

\[2\cdot4^2=32\]

Tolkning

Summen av de \(n\) første leddene er \(2n^2\).

Vanlig feil: Å bruke bare siste ledd i stedet for gjennomsnittet av første og siste ledd.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Sum(4*n-2, n, 1, m)
-> \(2m^2\)

Python

from sympy import symbols, summation, simplify
k, n = symbols('k n', integer=True, positive=True)
a_k = 4*k - 2
S_n = summation(a_k, (k, 1, n))
print("a_k =", a_k)
print("S_n =", S_n)
print("S_n forenklet =", simplify(S_n))
print("Kontroll S_4 =", S_n.subs(n, 4))
Fasit: \(S_n=2n^2\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4a - 4 poeng samletFunksjonsdrøfting

Oppgave 4a

Oppgave:

Vi har gitt funksjonen \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+1\), \(D_f=\mathbb{R}\). Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=x^2-2x=x(x-2)\]

Steg 2 - Finn kritiske punkt

\[f\prime(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\ \lor\ x=2\]

Steg 3 - Bruk andrederivert

\[f\prime\prime(x)=2x-2\]

Steg 4 - Klassifiser \(x=0\)

\[f\prime\prime(0)=-2<0\quad\Rightarrow\quad \text{toppunkt}\]

Steg 5 - Klassifiser \(x=2\)

\[f\prime\prime(2)=2>0\quad\Rightarrow\quad \text{bunnpunkt}\]

Steg 6 - Finn funksjonsverdiene

\[f(0)=1,\qquad f(2)=\dfrac{8}{3}-4+1=-\dfrac{1}{3}\]

Tolkning

Grafen har toppunkt i \((0,1)\) og bunnpunkt i \(\left(2,-\dfrac{1}{3}\right)\).

Vanlig feil: Å finne nullpunktene til \(f\) i stedet for nullpunktene til \(f\prime\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Ekstremalpunkt(1/3*x^3-x^2+1)
-> \((0,1),\ \left(2,-\dfrac{1}{3}\right)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, simplify
x = symbols('x')
f = x**3/3 - x**2 + 1
fp = diff(f, x)
fpp = diff(fp, x)
kritiske = solve(fp, x)
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp)
print("f''(x) =", fpp)
for punkt in kritiske:
    print("x =", punkt, "f(x) =", simplify(f.subs(x, punkt)), "f''(x) =", fpp.subs(x, punkt))
Fasit: Toppunkt \((0,1)\), bunnpunkt \(\left(2,-\dfrac{1}{3}\right)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4b - 4 poeng samletVendepunkt

Oppgave 4b

Oppgave:

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Start med andrederivert

\[f\prime\prime(x)=2x-2\]

Steg 2 - Sett andrederivert lik null

\[2x-2=0\]

Steg 3 - Løs likningen

\[x=1\]

Steg 4 - Sjekk fortegnsskifte

Andrederivert går fra negativ til positiv når \(x\) passerer \(1\).

Steg 5 - Finn funksjonsverdien

\[f(1)=\dfrac{1}{3}-1+1=\dfrac{1}{3}\]

Steg 6 - Skriv vendepunktet

\[\left(1,\dfrac{1}{3}\right)\]

Tolkning

Vendepunktet er der grafen går fra å vende nedover til å vende oppover.

Vanlig feil: Å stoppe ved \(f\prime\prime(x)=0\) uten å finne \(y\)-verdien.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Vendepunkt(1/3*x^3-x^2+1)
-> \(\left(1,\dfrac{1}{3}\right)\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve, simplify
x = symbols('x')
f = x**3/3 - x**2 + 1
fpp = diff(f, x, 2)
x_vende = solve(fpp, x)[0]
y_vende = simplify(f.subs(x, x_vende))
print("f''(x) =", fpp)
print("x-verdi for vendepunkt =", x_vende)
print("y-verdi for vendepunkt =", y_vende)
print("Vendepunkt =", (x_vende, y_vende))
Fasit: Vendepunkt \(\left(1,\dfrac{1}{3}\right)\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4c - 4 poeng samletGrafskisse

Oppgave 4c

Oppgave:

Lag en skisse av grafen til \(f\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk nøkkelpunktene

Toppunktet er \((0,1)\), bunnpunktet er \(\left(2,-\dfrac{1}{3}\right)\), og vendepunktet er \(\left(1,\dfrac{1}{3}\right)\).

Steg 2 - Finn monotonien

Siden \(f\prime(x)=x(x-2)\), vokser grafen for \(x<0\) og \(x>2\), og minker for \(0

Steg 3 - Finn krumming

Grafen vender nedover for \(x<1\) og oppover for \(x>1\).

Steg 4 - Marker startinformasjon

Grafen skjærer \(y\)-aksen i \((0,1\)).

Steg 5 - Tegn formen

Tegn en tredjegradsform som først stiger, så synker, og deretter stiger igjen.

Steg 6 - Kontroller skissen

Skissen skal ha samme ekstremalpunkt og vendepunkt som i a og b.

Tolkning

Skissen skal vise hovedformen til grafen, ikke nødvendigvis alle nullpunktene nøyaktig.

Vanlig feil: Å tegne et andregradsuttrykk i stedet for en tredjegradsfunksjon.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Funksjon(1/3*x^3-x^2+1)
-> \(\text{tredjegradsgraf med topp, bunn og vendepunkt}\)

Python

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
f = x**3/3 - x**2 + 1
fp = diff(f, x)
fpp = diff(f, x, 2)
print("Skisseinformasjon")
print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", fp, "gir kritiske x-verdier", solve(fp, x))
print("f''(x) =", fpp, "gir vendepunkt x =", solve(fpp, x)[0])
print("Punkter: topp (0, 1), bunn (2, -1/3), vendepunkt (1, 1/3)")
Fasit: Grafskissen skal ha toppunkt \((0,1)\), bunnpunkt \(\left(2,-\dfrac{1}{3}\right)\) og vendepunkt \(\left(1,\dfrac{1}{3}\right)\).
Del 1 - Oppgave 5 - 3 poengLikningssystem

Oppgave 5

Oppgave:

Tre venner spiste lunsj på en sushi-restaurant. Kvitteringene viser: Meny B: 2 biter laks, 1 bit scampi og 2 biter tunfisk koster 88 kroner. Meny A: 3 biter laks, 2 biter scampi og 1 bit tunfisk koster 101 kroner. Meny C: 3 biter laks, 1 bit scampi og 2 biter tunfisk koster 103 kroner. Hvor mye hadde en bit sushi med laks, en bit med scampi og en bit med tunfisk kostet dersom de hadde blitt bestilt hver for seg?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Definer variabler

La \(l\) være prisen på laks, \(s\) scampi og \(t\) tunfisk.

Steg 2 - Sett opp likninger

\[2l+s+2t=88,\quad 3l+2s+t=101,\quad 3l+s+2t=103\]

Steg 3 - Finn laks ved å trekke likningene fra hverandre

\[(3l+s+2t)-(2l+s+2t)=103-88\quad\Rightarrow\quad l=15\]

Steg 4 - Sett inn \(l=15\)

\[s+2t=58,\qquad 2s+t=56\]

Steg 5 - Løs de to siste likningene

\[t=20,\qquad s=18\]

Steg 6 - Kontroller i alle menyene

Meny B: \(2\cdot15+18+2\cdot20=88\), meny A: \(45+36+20=101\).

Tolkning

Prisene per bit er laks 15 kroner, scampi 18 kroner og tunfisk 20 kroner.

Vanlig feil: Å glemme at mineralvannet er trukket fra i menyprisene i oppgaveteksten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs({2l+s+2t=88, 3l+2s+t=101, 3l+s+2t=103})
-> \(l=15,\ s=18,\ t=20\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve
l, s, t = symbols('l s t')
likninger = [
    Eq(2*l + s + 2*t, 88),
    Eq(3*l + 2*s + t, 101),
    Eq(3*l + s + 2*t, 103)
]
losning = solve(likninger, (l, s, t), dict=True)[0]
print("Likninger:")
for likning in likninger:
    print(" ", likning)
print("Losning:", losning)
Fasit: Laks: \(15\) kr, scampi: \(18\) kr, tunfisk: \(20\) kr (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6a - 4 poeng samletSannsynlighet

Oppgave 6a

Oppgave:

I et terningspill på et kasino kastes to terninger. Dersom summen blir 2 eller 12, får spilleren 200 kroner. Blir summen 7, får hun 20 kroner. Ellers må spilleren betale \(a\) kroner til kasinoet. La \(X\) være utbyttet til kasinoet ved en spilleomgang. Forklar at \(P(X=-20)=\dfrac{1}{6}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Tolk \(X=-20\)

Kasinoet taper 20 kroner når spilleren får 20 kroner.

Steg 2 - Finn når dette skjer

Dette skjer når summen av terningene er \(7\).

Steg 3 - Tell gunstige utfall

Summen 7 kan fås som \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\).

Steg 4 - Tell mulige utfall

To terninger gir \(6\cdot6=36\) like sannsynlige utfall.

Steg 5 - Regn sannsynligheten

\[P(X=-20)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\]

Steg 6 - Kontroller tolkningen

Negativt utbytte for kasinoet betyr gevinst for spilleren.

Tolkning

Sannsynligheten \(1/6\) kommer fra de seks utfallene med sum 7.

Vanlig feil: Å skrive \(1/12\) fordi det finnes én sum av tolv mulige summer; summene er ikke like sannsynlige.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Antall({(i,j): i+j=7})/36
-> \(\dfrac{1}{6}\)

Python

utfall = [(i, j) for i in range(1, 7) for j in range(1, 7)]
gunstige = [(i, j) for (i, j) in utfall if i + j == 7]
sannsynlighet = len(gunstige)/len(utfall)
print("Antall mulige utfall =", len(utfall))
print("Gunstige utfall for sum 7 =", gunstige)
print("P(X = -20) =", sannsynlighet)
Fasit: \(P(X=-20)=\dfrac{1}{6}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6b - 4 poeng samletSannsynlighetstabell

Oppgave 6b

Oppgave:

Skriv av og fyll ut tabellen for \(X\), der verdiene er \(a\), \(-20\) og \(-200\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Finn sannsynlighet for \(-200\)

Kasinoet taper 200 kroner når summen er 2 eller 12. Det er \(2\) utfall.

Steg 2 - Regn den sannsynligheten

\[P(X=-200)=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}\]

Steg 3 - Bruk resultatet fra a

\[P(X=-20)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\]

Steg 4 - Finn resten

Alle andre summer gir utbytte \(a\) for kasinoet.

Steg 5 - Regn resten

\[P(X=a)=1-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{7}{9}\]

Steg 6 - Skriv tabellen

\[\begin{array}{c|ccc}x&a&-20&-200\\ \hline P(X=x)&\dfrac{7}{9}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{18}\end{array}\]

Tolkning

Sannsynlighetene summerer til \(1\).

Vanlig feil: Å gi summen 2 og 12 sannsynlighet \(2/12\) i stedet for å telle terningutfall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Tabell({a,-20,-200})
-> \(\left\{\dfrac{7}{9},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{18}\right\}\)

Python

from fractions import Fraction
p_minus_200 = Fraction(2, 36)
p_minus_20 = Fraction(6, 36)
p_a = 1 - p_minus_20 - p_minus_200
print("P(X = -200) =", p_minus_200)
print("P(X = -20) =", p_minus_20)
print("P(X = a) =", p_a)
print("Sum av sannsynligheter =", p_a + p_minus_20 + p_minus_200)
Fasit: \(P(X=a)=\dfrac{7}{9}\), \(P(X=-20)=\dfrac{1}{6}\), \(P(X=-200)=\dfrac{1}{18}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6c - 4 poeng samletForventningsverdi

Oppgave 6c

Oppgave:

Kasinoet vil sette \(a\) slik at de i det lange løp tjener 5 kroner per spill. Bestem verdien til \(a\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk forventningsverdi

\[E(X)=a\cdot\dfrac{7}{9}+(-20)\cdot\dfrac{1}{6}+(-200)\cdot\dfrac{1}{18}\]

Steg 2 - Sett forventningen lik 5

\[a\cdot\dfrac{7}{9}-\dfrac{20}{6}-\dfrac{200}{18}=5\]

Steg 3 - Skriv med nevner 9

\[\dfrac{7a}{9}-\dfrac{30}{9}-\dfrac{100}{9}=\dfrac{45}{9}\]

Steg 4 - Samle ledd

\[\dfrac{7a-130}{9}=\dfrac{45}{9}\]

Steg 5 - Løs for \(a\)

\[7a-130=45\quad\Rightarrow\quad 7a=175\quad\Rightarrow\quad a=25\]

Steg 6 - Kontroller forventningen

\[25\cdot\dfrac{7}{9}-20\cdot\dfrac{1}{6}-200\cdot\dfrac{1}{18}=5\]

Tolkning

Kasinoet må ta 25 kroner i de vanlige tapssituasjonene for at forventet gevinst skal bli 5 kroner.

Vanlig feil: Å bruke spillerens utbytte i stedet for kasinoets utbytte og dermed snu fortegnene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(a*7/9-20/6-200/18=5)
-> \(a=25\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational, simplify
a = symbols('a')
forventning = a*Rational(7, 9) - 20*Rational(1, 6) - 200*Rational(1, 18)
likning = Eq(forventning, 5)
losning = solve(likning, a)[0]
print("E(X) =", forventning)
print("Likning:", likning)
print("a =", losning)
print("Kontroll E(X) =", simplify(forventning.subs(a, losning)))
Fasit: \(a=25\) kroner (bekreftet digitalt).

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1a - 5 poeng samletMarginalanalyse

Oppgave 1a

Oppgave:

En bedrift produserer og selger \(x\) enheter per dag. Kostnadene og inntektene er gitt ved \(K(x)=0{,}1x^2-10x+2200\) og \(I(x)=2400\ln(x+1)\). Bestem \(K\prime(100)\) og \(I\prime(100)\). Kan du ut fra disse tallene si om bedriften bør produsere flere eller færre enn 100 enheter per dag?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Deriver kostnadsfunksjonen

\[K\prime(x)=0{,}2x-10\]

Steg 2 - Regn marginalkostnad ved 100

\[K\prime(100)=0{,}2\cdot100-10=10\]

Steg 3 - Deriver inntektsfunksjonen

\[I\prime(x)=\dfrac{2400}{x+1}\]

Steg 4 - Regn marginalinntekt ved 100

\[I\prime(100)=\dfrac{2400}{101}\approx 23{,}76\]

Steg 5 - Sammenlikn

Siden \(I\prime(100)>K\prime(100)\), øker inntekten mer enn kostnaden ved én ekstra enhet.

Steg 6 - Konkluder

Bedriften bør produsere flere enn 100 enheter, i hvert fall lokalt rundt 100.

Tolkning

Marginalinntekten er større enn marginalkostnaden ved 100 enheter.

Vanlig feil: Å sammenlikne \(I(100)\) og \(K(100)\) i stedet for de deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(0.1*x^2-10*x+2200)
-> \(0{,}2x-10\)
2
2400/(100+1)
-> \(23{,}76\)

Python

from sympy import symbols, diff, log, N
x = symbols('x')
K = 0.1*x**2 - 10*x + 2200
I = 2400*log(x + 1)
Kp = diff(K, x)
Ip = diff(I, x)
print("K(x) =", K)
print("I(x) =", I)
print("K'(x) =", Kp)
print("I'(x) =", Ip)
print("K'(100) =", N(Kp.subs(x, 100), 6))
print("I'(100) =", N(Ip.subs(x, 100), 6))
Fasit: \(K\prime(100)=10\), \(I\prime(100)\approx 23{,}76\). Bedriften bør produsere flere enn 100 enheter (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 1b - 5 poeng samletOverskuddsmaksimering

Oppgave 1b

Oppgave:

Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd for bedriften.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Definer overskudd

\[O(x)=I(x)-K(x)=2400\ln(x+1)-0{,}1x^2+10x-2200\]

Steg 2 - Deriver overskuddet

\[O\prime(x)=\dfrac{2400}{x+1}-0{,}2x+10\]

Steg 3 - Sett den deriverte lik null

\[\dfrac{2400}{x+1}-0{,}2x+10=0\]

Steg 4 - Løs med CAS

\[x\approx 136{,}97\]

Steg 5 - Vurder heltall

Produksjonsmengden må være et helt antall enheter, så vi vurderer omkring \(137\).

Steg 6 - Kontroller maksimum

Overskuddet øker før dette punktet og minker etterpå.

Tolkning

Bedriften får størst overskudd ved omtrent 137 enheter per dag.

Vanlig feil: Å maksimere inntekten alene og glemme kostnadsfunksjonen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Maksimum(2400*ln(x+1)-(0.1*x^2-10*x+2200))
-> \(x\approx 136{,}97\)

Python

from sympy import symbols, diff, log, solve, N
x = symbols('x')
K = 0.1*x**2 - 10*x + 2200
I = 2400*log(x + 1)
O = I - K
Op = diff(O, x)
kandidater = solve(Op, x)
print("O(x) =", O)
print("O'(x) =", Op)
print("Kandidater:")
for kandidat in kandidater:
    print(" ", N(kandidat, 8))
print("Overskudd ved 137 =", N(O.subs(x, 137), 8))
Fasit: Omtrent \(137\) enheter per dag (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2a - 4 poeng samletNormalfordeling

Oppgave 2a

Oppgave:

I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi \(\mu\) og standardavvik \(\sigma\). 10 prosent er lavere enn 173 cm og 10 prosent er høyere enn 183 cm. Bestem \(\mu\). Hvor mange prosent er lavere enn 183 cm?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk symmetri

Normalfordelingen er symmetrisk om forventningsverdien.

Steg 2 - Finn midtpunktet

\[\mu=\dfrac{173+183}{2}=178\]

Steg 3 - Tolk 183 cm

Når 10 prosent er høyere enn 183 cm, må 90 prosent være lavere enn 183 cm.

Steg 4 - Skriv sannsynligheten

\[P(X<183)=0{,}90\]

Steg 5 - Kontroller plassering

183 ligger 5 cm over forventningsverdien.

Steg 6 - Konkluder

Dette passer med at 173 ligger 5 cm under forventningsverdien.

Tolkning

Forventningsverdien er midt mellom de to symmetriske percentilene.

Vanlig feil: Å sette \(\mu=173\) fordi 10 prosent ligger under 173.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Mean({173,183})
-> \(178\)

Python

mu = (173 + 183)/2
andel_under_183 = 1 - 0.10
print("Nedre 10-prosentpunkt =", 173)
print("Ovre 90-prosentpunkt =", 183)
print("Forventningsverdi mu =", mu)
print("Andel under 183 cm =", andel_under_183)
Fasit: \(\mu=178\) cm, og \(90\) prosent er lavere enn 183 cm (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2b - 4 poeng samletNormalfordeling

Oppgave 2b

Oppgave:

Bestem standardavviket \(\sigma\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Standardiser 183 cm

\[z=\dfrac{183-178}{\sigma}=\dfrac{5}{\sigma}\]

Steg 2 - Bruk 90-prosentpunktet

For standardnormalfordelingen er 90-prosentpunktet omtrent \(1{,}2816\).

Steg 3 - Sett opp likningen

\[\dfrac{5}{\sigma}=1{,}2816\]

Steg 4 - Løs for standardavviket

\[\sigma=\dfrac{5}{1{,}2816}\approx 3{,}90\]

Steg 5 - Kontroller 173 cm

173 cm ligger samme avstand under \(\mu\), altså ved \(z=-1{,}2816\).

Steg 6 - Konkluder

Standardavviket er omtrent 3,9 cm.

Tolkning

Et standardavvik på ca. 3,9 cm gjør at 173 og 183 blir symmetriske 10-prosentgrenser.

Vanlig feil: Å bruke 1,64 som z-verdi; det passer for 95 prosent ensidig, ikke 90 prosent.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
InverseNormal(0.90,0,1)
-> \(1{,}2816\)
2
5/1.2816
-> \(3{,}90\)

Python

from statistics import NormalDist
z_90 = NormalDist().inv_cdf(0.90)
sigma = 5/z_90
print("z-verdi for 90 prosent =", z_90)
print("sigma = 5/z_90 =", sigma)
print("sigma avrundet =", round(sigma, 2))
Fasit: \(\sigma\approx 3{,}90\) cm (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3a - 6 poeng samletLogistisk modell

Oppgave 3a

Oppgave:

Ifølge modellen \(f(x)=\dfrac{98{,}0}{1+0{,}206e^{-0{,}0113x}}\) er \(f(x)\) forventet levealder for dem som er født \(x\) år etter 2012. Hva blir forventet levealder for dem som blir født i 2020?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Finn \(x\)

\[x=2020-2012=8\]

Steg 2 - Sett inn i modellen

\[f(8)=\dfrac{98{,}0}{1+0{,}206e^{-0{,}0113\cdot8}}\]

Steg 3 - Regn eksponenten

\[-0{,}0113\cdot8=-0{,}0904\]

Steg 4 - Bruk digital beregning

\[f(8)\approx 82{,}48\]

Steg 5 - Avrund for kontekst

Forventet levealder oppgis naturlig til omtrent én desimal.

Steg 6 - Konkluder

Modellen gir litt over 82 år.

Tolkning

For dem som er født i 2020, gir modellen omtrent 82,5 år.

Vanlig feil: Å sette \(x=2020\) i stedet for antall år etter 2012.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
98/(1+0.206*exp(-0.0113*8))
-> \(82{,}48\)

Python

from math import exp
x = 2020 - 2012
f = 98.0/(1 + 0.206*exp(-0.0113*x))
print("x =", x)
print("Forventet levealder f(8) =", f)
print("Avrundet til en desimal =", round(f, 1))
Fasit: \(f(8)\approx 82{,}5\) år (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3b - 6 poeng samletLikning med modell

Oppgave 3b

Oppgave:

Bestem i hvilket år nyfødte kan forvente en levealder på 84 år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Sett modellen lik 84

\[\dfrac{98}{1+0{,}206e^{-0{,}0113x}}=84\]

Steg 2 - Løs for nevneren

\[1+0{,}206e^{-0{,}0113x}=\dfrac{98}{84}\]

Steg 3 - Isoler eksponentialleddet

\[e^{-0{,}0113x}=\dfrac{\frac{98}{84}-1}{0{,}206}\]

Steg 4 - Ta naturlig logaritme

\[-0{,}0113x=\ln\left(\dfrac{\frac{98}{84}-1}{0{,}206}\right)\]

Steg 5 - Løs digitalt

\[x\approx 18{,}75\]

Steg 6 - Finn årstallet

\[2012+18{,}75\approx 2030{,}75\]

Tolkning

Modellen passerer 84 år i løpet av 2031.

Vanlig feil: Å runde \(x\) ned til 2030 uten å tolke at 18,75 år etter 2012 er sent i 2030.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(98/(1+0.206*exp(-0.0113*x))=84)
-> \(x\approx 18{,}75\)

Python

from math import log
x = -log(((98/84) - 1)/0.206)/0.0113
aar = 2012 + x
print("x-verdi når f(x)=84 =", x)
print("År =", aar)
print("Tolkning: i løpet av", int(aar) + 1)
Fasit: I løpet av \(2031\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3c - 6 poeng samletDerivasjon av modell

Oppgave 3c

Oppgave:

Bruk \(f\prime(x)\) til å vise at forventet levealder i Norge stadig øker, ifølge modellen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Skriv modellen

\[f(x)=98\left(1+0{,}206e^{-0{,}0113x}\right)^{-1}\]

Steg 2 - Deriver med kjerneregel

\[f\prime(x)=98\cdot(-1)\left(1+0{,}206e^{-0{,}0113x}\right)^{-2}\cdot0{,}206\cdot(-0{,}0113)e^{-0{,}0113x}\]

Steg 3 - Forenkle fortegnet

\[f\prime(x)=\dfrac{98\cdot0{,}206\cdot0{,}0113e^{-0{,}0113x}}{\left(1+0{,}206e^{-0{,}0113x}\right)^2}\]

Steg 4 - Vurder telleren

Alle faktorer i telleren er positive for \(x\ge 0\).

Steg 5 - Vurder nevneren

Nevneren er et kvadrat og derfor positiv.

Steg 6 - Konkluder

\[f\prime(x)>0\quad\text{for alle }x\ge 0\]

Tolkning

Siden den deriverte er positiv, øker forventet levealder hele tiden i modellen.

Vanlig feil: Å anta økning fra grafen uten å bruke fortegnet til den deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Derivert(98/(1+0.206*exp(-0.0113*x)))
-> \(\text{positiv for }x\ge 0\)

Python

from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x', real=True)
f = 98/(1 + 0.206*exp(-0.0113*x))
fp = simplify(diff(f, x))
print("f'(x) =", fp)
for testpunkt in [0, 20, 100]:
    print("f'(", testpunkt, ") =", fp.subs(x, testpunkt).evalf())
Fasit: \(f\prime(x)>0\) for \(x\ge 0\), så modellen er voksende (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3d - 6 poeng samletGrenseverdi

Oppgave 3d

Oppgave:

Hva vil forventet levealder i Norge gå mot i det lange løp, ifølge modellen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Tolk langt løp

Langt løp betyr at \(x\to\infty\).

Steg 2 - Se på eksponentialleddet

\[e^{-0{,}0113x}\to 0\quad\text{når }x\to\infty\]

Steg 3 - Finn nevnerens grenseverdi

\[1+0{,}206e^{-0{,}0113x}\to 1\]

Steg 4 - Finn funksjonsverdien

\[f(x)\to \dfrac{98}{1}=98\]

Steg 5 - Tolk

Modellen har en øvre horisontal asymptote ved \(98\).

Steg 6 - Konkluder

Forventet levealder går mot 98 år.

Tolkning

I modellen er 98 år en øvre grenseverdi, ikke en verdi som nødvendigvis nås nøyaktig.

Vanlig feil: Å si at levealderen øker uten grense fordi funksjonen er voksende.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Grenseverdi(98/(1+0.206*exp(-0.0113*x)), x, uendelig)
-> \(98\)

Python

from sympy import symbols, exp, limit, oo
x = symbols('x')
f = 98/(1 + 0.206*exp(-0.0113*x))
grense = limit(f, x, oo)
print("f(x) =", f)
print("Grenseverdi når x går mot uendelig =", grense)
Fasit: \(98\) år (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4a - 4 poeng samletRegresjon

Oppgave 4a

Oppgave:

CD-salget i Norge er gitt i tabell for antall år etter 2002: \(x=0,1,\ldots,9\) og omsetning i millioner kroner \(943,866,876,759,659,620,526,473,352,235\). I hvilket år kan vi regne med at CD-salget er slutt dersom utviklingen fortsetter på samme måte?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Velg lineær modell

Tabellen viser en tydelig fallende trend, og spørsmålet om når salget blir null passer med lineær regresjon.

Steg 2 - Bruk regresjon

\[g(x)\approx -77{,}11x+977{,}89\]

Steg 3 - Sett modellen lik null

\[-77{,}11x+977{,}89=0\]

Steg 4 - Løs for \(x\)

\[x\approx 12{,}68\]

Steg 5 - Gjør om til år

\[2002+12{,}68\approx 2014{,}68\]

Steg 6 - Tolk

Modellen tilsier at salget blir omtrent null i løpet av 2015.

Tolkning

Lineær regresjon gir at CD-salget tar slutt rundt 2015 dersom trenden fortsetter.

Vanlig feil: Å bruke siste differanse alene og ignorere resten av tabellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
RegLin({0,...,9},{943,...,235})
-> \(g(x)\approx -77{,}11x+977{,}89\)

Python

import numpy as np
x = np.arange(10, dtype=float)
y = np.array([943, 866, 876, 759, 659, 620, 526, 473, 352, 235], dtype=float)
stigning, konstant = np.polyfit(x, y, 1)
x_null = -konstant/stigning
aar = 2002 + x_null
print("Lineær modell: y =", stigning, "* x +", konstant)
print("x-verdi når y = 0:", x_null)
print("År:", aar)
Fasit: Omtrent i \(2015\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4b - 4 poeng samletEksponentiell modell

Oppgave 4b

Oppgave:

Omsetning av nedlastet/streamet musikk er gitt ved \(x=0,1,2,3,4,5\) år etter 2006 og omsetning \(26,42,57,89,143,248\) millioner kroner. Bestem en eksponentiell modell \(f(x)\) og finn omsetningen i 2013 dersom utviklingen fortsetter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Velg modelltype

\[f(x)=a\cdot b^x\]

Steg 2 - Utfør eksponentiell regresjon

\[f(x)\approx 25{,}38\cdot1{,}553^x\]

Steg 3 - Finn \(x\) for 2013

\[x=2013-2006=7\]

Steg 4 - Sett inn

\[f(7)\approx 25{,}38\cdot1{,}553^7\]

Steg 5 - Regn ut

\[f(7)\approx 552\]

Steg 6 - Tolk enheten

Omsetningen er målt i millioner kroner.

Tolkning

Modellen gir omtrent 552 millioner kroner i 2013.

Vanlig feil: Å bruke \(x=2013\) i stedet for \(7\) år etter 2006.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
RegEksp({0,...,5},{26,42,57,89,143,248})
-> \(25{,}38\cdot1{,}553^x\)

Python

import numpy as np
x = np.arange(6, dtype=float)
y = np.array([26, 42, 57, 89, 143, 248], dtype=float)
log_y = np.log(y)
log_b, log_a = np.polyfit(x, log_y, 1)
a = np.exp(log_a)
b = np.exp(log_b)
verdi_2013 = a*b**7
print("Eksponentiell modell: f(x) = a*b^x")
print("a =", a)
print("b =", b)
print("f(7) =", verdi_2013)
Fasit: \(f(x)\approx 25{,}38\cdot1{,}553^x\), og \(f(7)\approx 552\) millioner kroner (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5a - 6 poeng samletAnnuitetslån

Oppgave 5a

Oppgave:

Lise låner 100 000 kroner. Hun betaler 16 274,54 kroner i slutten av hvert år i 10 år. Vis at den årlige renten er på 10 prosent.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk nåverdi av annuitet

\[L=A\cdot\dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r}\]

Steg 2 - Sett inn opplysningene

\[100000=16274{,}54\cdot\dfrac{1-(1+r)^{-10}}{r}\]

Steg 3 - Test \(r=0{,}10\)

\[16274{,}54\cdot\dfrac{1-1{,}10^{-10}}{0{,}10}\approx 100000\]

Steg 4 - Sammenlikn med lånet

Nåverdien av betalingene blir omtrent 100 000 kroner.

Steg 5 - Tolk renten

Når nåverdien stemmer med lånebeløpet, er renten korrekt.

Steg 6 - Konkluder

\[r=0{,}10=10\%\]

Tolkning

Annuitetsformelen viser at betalingene tilsvarer et lån på 100 000 kroner ved 10 prosent rente.

Vanlig feil: Å multiplisere \(16274{,}54\) med 10 og tro at det er nåverdien av lånet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
16274.54*(1-1.10^(-10))/0.10
-> \(100000\)

Python

A = 16274.54
r = 0.10
n = 10
naaverdi = A*(1 - (1 + r)**(-n))/r
print("Årlig terminbeløp =", A)
print("Rente =", r)
print("Antall år =", n)
print("Nåverdi av annuiteten =", naaverdi)
Fasit: Årlig rente er \(10\%\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5b - 6 poeng samletFinansmatematikk

Oppgave 5b

Oppgave:

Aksjene har en årlig verdiøkning på 12 prosent. Bestem verdien av aksjene i slutten av det 10. året. Vis at netto fortjeneste etter 10 år blir 51 210,57 kroner når betalingene sammenliknes ved slutten av år 10.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Finn aksjeverdien

\[100000\cdot1{,}12^{10}\approx 310584{,}82\]

Steg 2 - Finn framtidsverdien av lånebetalingene

\[16274{,}54\cdot\dfrac{1{,}12^{10}-1}{0{,}12}\approx 259374{,}25\]

Steg 3 - Tolk framtidsverdien

Dette er hva de årlige betalingene tilsvarer ved slutten av år 10 når de forrentes med 12 prosent.

Steg 4 - Regn netto fortjeneste

\[310584{,}82-259374{,}25=51210{,}57\]

Steg 5 - Kontroller avrunding

Små avvik kan skyldes avrunding av terminbeløpet.

Steg 6 - Konkluder

Netto fortjeneste blir omtrent 51 210,57 kroner.

Tolkning

Aksjeverdien er ca. 310 584,82 kroner, og netto fortjeneste blir ca. 51 210,57 kroner.

Vanlig feil: Å trekke bare summen av innbetalingene uten å ta hensyn til framtidsverdi ved sammenlikningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
100000*1.12^10
-> \(310584{,}82\)
2
310584.82-16274.54*(1.12^10-1)/0.12
-> \(51210{,}57\)

Python

A = 16274.54
startverdi = 100000
vekst = 0.12
n = 10
aksjeverdi = startverdi*(1 + vekst)**n
framtidsverdi_betalinger = A*((1 + vekst)**n - 1)/vekst
netto = aksjeverdi - framtidsverdi_betalinger
print("Aksjeverdi etter 10 år =", aksjeverdi)
print("Framtidsverdi av betalingene =", framtidsverdi_betalinger)
print("Netto fortjeneste =", netto)
Fasit: Aksjeverdi \(310584{,}82\) kr og netto fortjeneste \(51210{,}57\) kr (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5c - 6 poeng samletSparing og rente

Oppgave 5c

Oppgave:

I stedet vil Lise spare 16 274,54 kroner i slutten av hvert år i 10 år. Hva må sparerenten være for at hun skal ha like mye i banken som verdien av aksjene i b)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Bruk framtidsverdi av annuitet

\[F=A\cdot\dfrac{(1+r)^{10}-1}{r}\]

Steg 2 - Sett målet lik aksjeverdien

\[16274{,}54\cdot\dfrac{(1+r)^{10}-1}{r}=310584{,}82\]

Steg 3 - Løs numerisk

Likningen kan ikke løses enkelt for hånd i S2, så vi bruker CAS/Python.

Steg 4 - Få renten

\[r\approx 0{,}1373\]

Steg 5 - Skriv som prosent

\[0{,}1373\approx 13{,}7\%\]

Steg 6 - Kontroller

Med denne renten blir sparebeløpet etter 10 år lik aksjeverdien.

Tolkning

Sparerenten må være omtrent 13,7 prosent per år.

Vanlig feil: Å bruke nåverdiformelen for lån i stedet for framtidsverdien av sparing.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Løs(16274.54*((1+r)^10-1)/r=310584.82)
-> \(r\approx 0{,}1373\)

Python

from scipy.optimize import brentq
A = 16274.54
maal = 100000*(1.12)**10
n = 10
def framtidsverdi(r):
    return A*((1 + r)**n - 1)/r
rot = brentq(lambda r: framtidsverdi(r) - maal, 0.0001, 0.50)
print("Målbeløp =", maal)
print("Sparerente som desimaltall =", rot)
print("Sparerente i prosent =", 100*rot)
print("Kontroll framtidsverdi =", framtidsverdi(rot))
Fasit: \(r\approx 13{,}7\%\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 6a - 5 poeng samletBinomisk fordeling

Oppgave 6a

Oppgave:

Et parti hadde oppslutning 6,0 prosent. La \(X\) være antall av 100 personer som ville stemme på partiet. Finn forventningsverdi og standardavvik dersom oppslutningen fortsatt er 6,0 prosent.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Identifiser fordelingen

\[X\sim \operatorname{Bin}(n=100,p=0{,}06)\]

Steg 2 - Bruk forventningsverdi

\[E(X)=np=100\cdot0{,}06=6\]

Steg 3 - Bruk varians

\[\operatorname{Var}(X)=np(1-p)=100\cdot0{,}06\cdot0{,}94=5{,}64\]

Steg 4 - Finn standardavvik

\[\sigma=\sqrt{5{,}64}\approx 2{,}37\]

Steg 5 - Tolk

Vi forventer i gjennomsnitt 6 av 100 personer.

Steg 6 - Kontroller enheten

Standardavviket måles i antall personer, ikke prosentpoeng.

Tolkning

Forventet antall er 6 personer, og standardavviket er omtrent 2,37 personer.

Vanlig feil: Å bruke 6 som prosent i formelen i stedet for \(0{,}06\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
Binomial(100,0.06)
-> \(E=6,\ \sigma\approx2{,}37\)

Python

from math import sqrt
n = 100
p = 0.06
forventning = n*p
varians = n*p*(1 - p)
standardavvik = sqrt(varians)
print("n =", n)
print("p =", p)
print("E(X) =", forventning)
print("Var(X) =", varians)
print("Standardavvik =", standardavvik)
Fasit: \(E(X)=6\) og \(\sigma\approx 2{,}37\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 6b - 5 poeng samletHypotesetest

Oppgave 6b

Oppgave:

Av 100 tilfeldig valgte personer var det 10 som oppga at de ville stemme på partiet. Sett opp hypoteser og test om partiet har grunn til å tro at de har hatt framgang. Bruk signifikansnivå 5 prosent.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese oppgaven nøyaktig, velge riktig metode, regne trinnvis, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 - Sett opp hypoteser

\[H_0:p=0{,}06,\qquad H_1:p>0{,}06\]

Steg 2 - Velg testobservator

Vi bruker \(X\sim\operatorname{Bin}(100,0{,}06)\) under nullhypotesen.

Steg 3 - Bruk observert verdi

\[x_{obs}=10\]

Steg 4 - Regn p-verdi

\[P(X\ge 10)\approx 0{,}0775\]

Steg 5 - Sammenlikn med 5 prosent

\[0{,}0775>0{,}05\]

Steg 6 - Konkluder

Vi forkaster ikke \(H_0\). Partiet har ikke statistisk grunnlag på 5 prosent nivå for å si at oppslutningen har økt.

Tolkning

Resultatet 10 av 100 er ikke nok til å påvise framgang på 5 prosent signifikansnivå.

Vanlig feil: Å teste tosidig eller å sammenlikne 10 direkte med forventningsverdien uten å finne halerisiko.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS
1
1-BinomialCDF(100,0.06,9)
-> \(0{,}0775\)

Python

from math import comb
n = 100
p0 = 0.06
x_obs = 10
p_verdi = sum(comb(n, k)*(p0**k)*((1 - p0)**(n - k)) for k in range(x_obs, n + 1))
print("H0: p =", p0)
print("H1: p >", p0)
print("Observert x =", x_obs)
print("P(X >= 10 | H0) =", p_verdi)
print("Signifikansnivå =", 0.05)
print("Forkaster H0?", p_verdi <= 0.05)
Fasit: Forkast ikke \(H_0\). Ingen signifikant framgang på 5 prosent nivå (p-verdi \(\approx 0{,}0775\)).