S2 eksamenHøst 2011

Matematikk S2 eksamen – høst 2011

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo · Matematikk S2

Matematikk S2 eksamen Høst 2011 – løsningsforslag

Bokmål. Komplett løsningsforslag med trinnvis metode, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS og fullere Python-kontroller i nøytral/original kodevisning uten rosa highlight.

Kontrollnotat: Oppgaveteksten er transkribert fra Udir-PDF-en. Løsningene er skrevet originalt for ifingo og kontrollert digitalt.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonene

1) \(f(x)=x^2+\dfrac12x+4\)

2) \(g(x)=3e^{2x}\)

3) \(h(x)=x\cdot e^{2x}\)

4) \(i(x)=\ln\left(x^2+4\right)\)

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk potensregelen på \(f\)

\[ f'(x)=2x+\dfrac12 \]

Steg 2 — Bruk kjerneregelen på \(g\)

\[ g'(x)=3\cdot2e^{2x}=6e^{2x} \]

Steg 3 — Bruk produktregelen på \(h\)

\[ h'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot2e^{2x}=\left(1+2x\right)e^{2x} \]

Steg 4 — Bruk kjerneregelen på logaritmen

\[ i'(x)=\dfrac{2x}{x^2+4} \]

Tolkning

De deriverte uttrykker momentan vekstfart for hver funksjon.

Vanlig feil: Å glemme faktoren \(2\) i \(e^{2x}\), eller å derivere \(\ln(u)\) uten \(u'\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Derivert(x^2 + 1/2 x + 4)
→ \(2x+\dfrac12\)
2
Derivert(3e^(2x))
→ \(6e^{2x}\)
3
Derivert(x e^(2x))
→ \((1+2x)e^{2x}\)
4
Derivert(ln(x^2+4))
→ \(\dfrac{2x}{x^2+4}\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, exp, log, simplify
x = symbols('x')
funksjoner = {
    'f': x**2 + x/2 + 4,
    'g': 3*exp(2*x),
    'h': x*exp(2*x),
    'i': log(x**2 + 4)
}
for navn, uttrykk in funksjoner.items():
    derivert = simplify(diff(uttrykk, x))
    print(f"{navn}(x) = {uttrykk}")
    print(f"{navn}'(x) = {derivert}")
    print()
Fasit: \(f'(x)=2x+\dfrac12\), \(g'(x)=6e^{2x}\), \(h'(x)=\left(1+2x\right)e^{2x}\), \(i'(x)=\dfrac{2x}{x^2+4}\).
Del 1 · Oppgave 1bAritmetisk rekke

Oppgave 1b

Oppgave:

Vi har gitt rekken \(4+7+10+13+\cdots\). Bestem \(a_n\) og \(S_n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn første ledd og differanse

\[ a_1=4,\qquad d=7-4=3 \]

Steg 2 — Finn leddformelen

\[ a_n=a_1+(n-1)d=4+3(n-1)=3n+1 \]

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[ S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}2=\dfrac{n(4+3n+1)}2=\dfrac{n(3n+5)}2 \]

Tolkning

Rekken er aritmetisk fordi differansen mellom to naboledd er konstant.

Vanlig feil: Å skrive \(a_n=4+3n\) og dermed forskyve alle ledd med ett hakk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
a(n):=4+(n-1)*3
→ \(a(n)=3n+1\)
2
Sum(4+3(k-1),k,1,n)
→ \(\dfrac{n(3n+5)}2\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, simplify
n, k = symbols('n k', integer=True, positive=True)
a_n = 4 + (n - 1)*3
S_n = summation(4 + (k - 1)*3, (k, 1, n))
print("leddformel a_n =", simplify(a_n))
print("sumformel S_n =", simplify(S_n))
print("kontroll første fire ledd =", [a_n.subs(n, i) for i in range(1, 5)])
Fasit: \(a_n=3n+1\), \(S_n=\dfrac{n(3n+5)}2\).
Del 1 · Oppgave 1cUendelig geometrisk rekke

Oppgave 1c

Oppgave:

Løs likningen \(x+x^2+x^3+x^4+\cdots=3\) når \(x\in\langle -1,1 angle\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Gjenkjenn en uendelig geometrisk rekke

\[ a_1=x,\qquad k=x \]

Steg 2 — Bruk sumformelen når \(|x|<1\)

\[ S=\dfrac{x}{1-x} \]

Steg 3 — Løs likningen

\[ \dfrac{x}{1-x}=3\quad\Longrightarrow\quad x=3-3x\quad\Longrightarrow\quad4x=3\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac34 \]

Kontroll av intervallet

\(\dfrac34\in\langle -1,1 angle\), så løsningen er gyldig.

Vanlig feil: Å bruke formelen uten å kontrollere at \(|x|<1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(x/(1-x)=3)
→ \(x=\dfrac34\)
2
Abs(3/4)<1
→ true

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
x = symbols('x')
losning = solve(Eq(x/(1-x), 3), x)
print("løsninger =", losning)
for verdi in losning:
    print("ligger i intervallet (-1, 1)?", -1 < verdi < 1)
    print("sumverdi =", (verdi/(1-verdi)).simplify())
Fasit: \(x=\dfrac34\).
Del 1 · Oppgave 1dPolynomdivisjon

Oppgave 1d

Oppgave:

Vi har gitt polynomfunksjonen \(f(x)=x^3+ax+12\).

1) Bestem \(a\) slik at divisjonen \(f(x):(x-4)\) går opp.

2) Utfør divisjonen, og skriv \(f(x)\) som et produkt av førstegradsfaktorer for denne \(a\)-verdien.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Bruk faktor-/restsetningen

\[ x-4\;\text{er faktor}\quad\Longleftrightarrow\quad f(4)=0 \]
\[ 4^3+4a+12=0\quad\Longrightarrow\quad76+4a=0\quad\Longrightarrow\quad a=-19 \]

Steg 2 — Sett inn \(a=-19\)

\[ f(x)=x^3-19x+12 \]

Steg 3 — Utfør divisjonen

\[ x^3-19x+12=(x-4)(x^2+4x-3) \]

Steg 4 — Faktoriser andregradsfaktoren

\[ x^2+4x-3=0\quad\Longrightarrow\quad x=-2\pm\sqrt{7} \]
\[ f(x)=(x-4)\left(x+2-\sqrt7\right)\left(x+2+\sqrt7\right) \]
Vanlig feil: Å sette \(x=-4\) i restsetningen. Faktoren \(x-4\) betyr at vi tester \(x=4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(4^3+4a+12=0)
→ \(a=-19\)
2
Faktoriser(x^3-19x+12)
→ \((x-4)(x^2+4x-3)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve, factor, div, sqrt
x, a = symbols('x a')
f = x**3 + a*x + 12
a_verdi = solve(Eq(f.subs(x, 4), 0), a)[0]
f_med_a = f.subs(a, a_verdi)
kvotient, rest = div(f_med_a, x - 4)
print("a =", a_verdi)
print("f(x) med denne a-verdien =", f_med_a)
print("kvotient =", kvotient)
print("rest =", rest)
print("faktorisert =", factor(f_med_a, extension=sqrt(7)))
Fasit: \(a=-19\), og \(f(x)=(x-4)\left(x+2-\sqrt7\right)\left(x+2+\sqrt7\right)\).
Del 1 · Oppgave 1eRekker og mønster

Oppgave 1e

Oppgave:

Vi har gitt rekken \(1+7+19+37+\cdots\). Skriv opp \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\), \(S_4\) og bestem \(S_{100}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Summer de første leddene

\[ S_1=1,\quad S_2=1+7=8,\quad S_3=27,\quad S_4=64 \]

Steg 2 — Se mønsteret

\[ 1=1^3,\quad8=2^3,\quad27=3^3,\quad64=4^3 \]

Steg 3 — Bruk formelen

\[ S_n=n^3 \]
\[ S_{100}=100^3=1000000 \]

Tolkning

Leddet \(a_n\) er differansen mellom to kubikktall: \(a_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1\).

Vanlig feil: Å tro at selve leddene er kubikktall. Det er summene som blir kubikktall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Sum(3n^2-3n+1,n,1,100)
→ \(1000000\)
2
100^3
→ \(1000000\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, summation, simplify
n, k = symbols('n k', integer=True, positive=True)
a_k = 3*k**2 - 3*k + 1
summer = [summation(a_k, (k, 1, i)) for i in range(1, 5)]
S100 = summation(a_k, (k, 1, 100))
print("S1 til S4 =", summer)
print("S100 =", S100)
print("generell sum kontroll =", simplify(summation(a_k, (k, 1, n))))
Fasit: \(S_1=1\), \(S_2=8\), \(S_3=27\), \(S_4=64\), og \(S_{100}=1000000\).
Del 1 · Oppgave 1fFunksjonsdrøfting

Oppgave 1f

Oppgave:

For en funksjon \(f\) har vi gitt at \(f'(x)=a(x+1)(x-2)\), der \(a<0\).

1) Tegn fortegnslinjen til \(f'(x)\). Bruk denne til å bestemme \(x\)-verdien til topp- og bunnpunkt på grafen til \(f\). Bestem også hvor grafen til \(f\) stiger og synker.

2) Bestem \(f''(x)\). Bruk denne til å bestemme \(x\)-verdien til vendepunktet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Finn nullpunktene til \(f'\)

\[ f'(x)=a(x+1)(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\;\text{eller}\;x=2 \]

Steg 2 — Fortegn når \(a<0\)

\[ f'(x)<0\;\text{for}\;x<-1,\qquad f'(x)>0\;\text{for}\;-12 \]

Steg 3 — Topp og bunn

Grafen går fra synkende til stigende ved \(x=-1\), altså bunnpunkt. Grafen går fra stigende til synkende ved \(x=2\), altså toppunkt.

Steg 4 — Andrederivert og vendepunkt

\[ f'(x)=a(x^2-x-2)\quad\Longrightarrow\quad f''(x)=a(2x-1) \]
\[ f''(x)=0\quad\Longrightarrow\quad2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac12 \]
Vanlig feil: Å overse at \(a<0\) snur hele fortegnslinjen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Derivert(a(x+1)(x-2))
→ \(a(2x-1)\)
2
Løs(a(2x-1)=0,x)
→ \(x=\dfrac12\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, diff, solve, Eq, factor
x, a = symbols('x a')
f_derivert = a*(x + 1)*(x - 2)
f_andre = diff(f_derivert, x)
print("f'(x) faktorisert =", f_derivert)
print("nullpunkter til f' =", solve(Eq(f_derivert, 0), x))
print("f''(x) =", factor(f_andre))
print("vendepunkt x-verdi =", solve(Eq(f_andre, 0), x))
print("Siden a < 0: synker, stiger, synker over intervallene.")
Fasit: Bunnpunkt ved \(x=-1\), toppunkt ved \(x=2\), vendepunkt ved \(x=\dfrac12\). Grafen synker for \(x<-1\), stiger for \(-12\).
Del 1 · Oppgave 1gForventning og varians

Oppgave 1g

Oppgave:

Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel \(X\) er gitt ved \(P(X=0)=1-p\) og \(P(X=1)=p\). Bestem \(E(X)\) og \(\operatorname{Var}(X)\) uttrykt ved \(p\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Forventningsverdi

\[ E(X)=0\cdot(1-p)+1\cdot p=p \]

Steg 2 — Andre moment

\[ E(X^2)=0^2(1-p)+1^2p=p \]

Steg 3 — Varians

\[ \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2=p-p^2=p(1-p) \]

Tolkning

Dette er en Bernoulli-fordeling med suksessannsynlighet \(p\).

Vanlig feil: Å skrive variansen som bare \(p\), men da glemmer man å trekke fra \(E(X)^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
E=0*(1-p)+1*p
→ \(p\)
2
Var=p-p^2
→ \(p(1-p)\)

Python-kontroll

from sympy import symbols, simplify
p = symbols('p')
E = 0*(1-p) + 1*p
E2 = 0**2*(1-p) + 1**2*p
Var = simplify(E2 - E**2)
print("E(X) =", E)
print("E(X^2) =", E2)
print("Var(X) =", Var)
Fasit: \(E(X)=p\), \(\operatorname{Var}(X)=p(1-p)\).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 2aFinansmatematikk

Oppgave 2a

Oppgave:

En student låner totalt 450 000 kr. Første avdrag er 15 000 kr ett år etter studiet. Deretter økes de årlige avdragene med 5 % hvert år. Hvor stort blir det 2. avdraget og det 8. avdraget?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ a_n=15000\cdot1{,}05^{n-1} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Det andre avdraget får én vekstfaktor, mens det åttende får sju vekstfaktorer.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å bruke \(1{,}05^n\) i stedet for \(1{,}05^{n-1}\).
\[ a_2=15000\cdot1{,}05=15750 \]
\[ a_8=15000\cdot1{,}05^7\approx21106{,}51 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
15000*1.05
→ 15750
2
15000*1.05^7
→ 21106.51

Python-kontroll

q = 1.05
for n in [2, 8]:
    avdrag = 15000*q**(n-1)
    print(f"avdrag nummer {n} = {avdrag:.2f} kr")
Fasit: 2. avdrag er 15 750 kr. 8. avdrag er omtrent 21 106,51 kr.
Del 2 · Oppgave 2bGeometrisk sum

Oppgave 2b

Oppgave:

Hvor mye betaler studenten tilbake i alt i løpet av de 8 første avdragene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ S_8=15000\cdot\dfrac{1{,}05^8-1}{1{,}05-1} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Avdragene danner en geometrisk rekke med kvotient \(1{,}05\).

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å summere bare \(8\cdot15000\) og glemme økningen på 5 %.
\[ S_8\approx143236{,}63 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
15000*(1.05^8-1)/(1.05-1)
→ 143236.63

Python-kontroll

q = 1.05
a1 = 15000
S8 = a1*(q**8 - 1)/(q - 1)
print("første avdrag =", a1)
print("vekstfaktor =", q)
print("sum av de 8 første avdragene =", round(S8, 2), "kr")
Fasit: Omtrent 143 236,63 kr.
Del 2 · Oppgave 2cGeometrisk sum

Oppgave 2c

Oppgave:

Hvor mange år vil det ta før hele lånet er tilbakebetalt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ 15000\cdot\dfrac{1{,}05^n-1}{0{,}05}\ge450000 \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Vi finner minste heltall \(n\) som gir sum minst 450 000 kr.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å runde ned når man egentlig må ha nok avdrag til å betale hele lånet.
\[ n\approx18{,}62\quad\Longrightarrow\quad n=19 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(15000*(1.05^n-1)/0.05>=450000)
→ \(n=19\)

Python-kontroll

q = 1.05
a1 = 15000
saldo_betalt = 0
for n in range(1, 60):
    avdrag = a1*q**(n-1)
    saldo_betalt += avdrag
    print(f"år {n:2d}: avdrag = {avdrag:10.2f} kr, samlet = {saldo_betalt:10.2f} kr")
    if saldo_betalt >= 450000:
        print("første år der lånet er dekket =", n)
        break
Fasit: Det tar 19 år før hele lånet er tilbakebetalt.
Del 2 · Oppgave 2dFinansmatematikk

Oppgave 2d

Oppgave:

Hvor stort blir det siste avdraget?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ \text{siste avdrag}=450000-S_{18} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Etter 18 fulle avdrag står det igjen en rest. Det 19. avdraget justeres ned til denne resten.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å bruke det ordinære 19. avdraget uten å trekke fra det som allerede er betalt.
\[ S_{18}\approx421985{,}77 \]
\[ 450000-S_{18}\approx28014{,}23 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
450000-15000*(1.05^18-1)/0.05
→ 28014.23

Python-kontroll

q = 1.05
a1 = 15000
S18 = a1*(q**18 - 1)/(q - 1)
rest = 450000 - S18
ordinart_19 = a1*q**18
print("betalt etter 18 avdrag =", round(S18, 2), "kr")
print("ordinært 19. avdrag ville vært =", round(ordinart_19, 2), "kr")
print("siste avdrag justeres til =", round(rest, 2), "kr")
Fasit: Siste avdrag blir omtrent 28 014,23 kr.
Del 2 · Oppgave 3aEksponentialmodell

Oppgave 3a

Oppgave:

En modell for antall harer er \(N(t)=700-Ce^{-kt}\), der \(t\) er antall år etter første telling. Det er gitt at \(N(0)=400\) og \(N(5)=600\). Bruk tellingene til å vise at \(C=300\) og \(k\approx0{,}22\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ N(0)=700-C=400\Rightarrow C=300 \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Deretter bruker vi \(N(5)=600\) for å finne \(k\).

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å sette inn \(t=5\) før \(C\) er funnet.
\[ 600=700-300e^{-5k}\Rightarrow e^{-5k}=\dfrac13 \]
\[ k=\dfrac{\ln3}{5}\approx0{,}22 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs({700-C=400,700-300e^(-5k)=600})
→ \(C=300,\;k\approx0{,}22\)

Python-kontroll

from math import log
C = 700 - 400
k = log(3)/5
print("C =", C)
print("k =", k)
print("k avrundet =", round(k, 2))
print("kontroll N(5) =", 700 - C*2.718281828459045**(-5*k))
Fasit: \(C=300\) og \(k\approx0{,}22\).
Del 2 · Oppgave 3bLogaritmelikning

Oppgave 3b

Oppgave:

Finn ved regning hvor lang tid det tar før det er 650 harer i området.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ 650=700-300e^{-kt} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Vi løser likningen med \(k=\dfrac{\ln3}{5}\).

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å glemme at eksponentialleddet skal isoleres før logaritme brukes.
\[ 300e^{-kt}=50\Rightarrow e^{-kt}=\dfrac16 \]
\[ t=\dfrac{\ln6}{k}\approx8{,}15 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Løs(700-300e^(-k t)=650,t)
→ \(t\approx8{,}15\)

Python-kontroll

from math import log
k = log(3)/5
t = log(6)/k
print("k =", k)
print("tid før N(t)=650 =", t, "år")
print("avrundet =", round(t, 2), "år")
Fasit: Omtrent 8,15 år.
Del 2 · Oppgave 3cGraf og grenseverdi

Oppgave 3c

Oppgave:

Tegn grafen til \(N\). Hvor mange harer vil det være i området når det har gått lang tid?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ \lim_{t\to\infty}\left(700-300e^{-kt}\right)=700 \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Når \(t\) blir stor, går \(e^{-kt}\) mot 0 fordi \(k>0\).

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å tro at modellen vokser ubegrenset.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Grenseverdi(700-300e^(-k t),t,∞)
→ 700

Python-kontroll

from math import exp, log
k = log(3)/5
def N(t):
    return 700 - 300*exp(-k*t)
for t in [0, 5, 10, 15, 25, 50]:
    print(f"t={t:>2}: N(t)={N(t):.2f}")
print("horisontal asymptote = 700")
Fasit: Modellen nærmer seg 700 harer.
Del 2 · Oppgave 3dKjerneregel

Oppgave 3d

Oppgave:

Bruk blant annet kjerneregelen til å bestemme \(N'(5)\). Hva forteller svaret oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ N'(t)=300ke^{-kt} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Verdien \(N'(5)\) er momentan vekstfart etter 5 år.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å tolke \(N'(5)\) som antall harer, ikke endring per år.
\[ N'(5)=300\cdot\dfrac{\ln3}{5}\cdot e^{-\ln3}\approx21{,}97 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Derivert(700-300e^(-k t))
→ \(300ke^{-kt}\)
2
300*k*e^(-5k)
→ \(21{,}97\)

Python-kontroll

from math import exp, log
k = log(3)/5
N_derivert_5 = 300*k*exp(-5*k)
print("k =", k)
print("N'(5) =", N_derivert_5)
print("tolkning: cirka", round(N_derivert_5), "flere harer per år")
Fasit: \(N'(5)\approx21{,}97\), altså omtrent 22 flere harer per år etter 5 år.
Del 2 · Oppgave 4aSannsynlighet

Oppgave 4a

Oppgave:

I et spill kastes to vanlige terninger. Premie: 100 kr ved sum 11 eller 12, 50 kr ved sum 9 eller 10, 15 kr ved sum 7 eller 8, og 0 kr ved sum 6 eller mindre. Det koster 10 kr å spille. La \(X\) være nettogevinsten. Forklar at \(P(X=5)=\dfrac{11}{36}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ X=5\quad\Longleftrightarrow\quad\text{premie}=15\quad\Longleftrightarrow\quad\text{sum}=7\;\text{eller}\;8 \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Det finnes 6 utfall med sum 7 og 5 utfall med sum 8.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å telle summer i stedet for ordnede terningutfall.
\[ P(X=5)=\dfrac{6+5}{36}=\dfrac{11}{36} \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
P(sum=7 or sum=8)
→ \(\dfrac{11}{36}\)

Python-kontroll

utfall = [(a, b) for a in range(1, 7) for b in range(1, 7)]
gunstige = [(a, b) for a, b in utfall if a + b in [7, 8]]
print("antall mulige utfall =", len(utfall))
print("gunstige utfall =", len(gunstige))
print("sannsynlighet =", f"{len(gunstige)}/{len(utfall)}")
Fasit: \(P(X=5)=\dfrac{11}{36}\).
Del 2 · Oppgave 4bSannsynlighetstabell

Oppgave 4b

Oppgave:

Skriv av tabellen, og fyll ut sannsynlighetene for \(X=-10\), \(X=5\), \(X=40\) og \(X=90\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ P(X=x)=\dfrac{\text{antall gunstige terningutfall}}{36} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Nettogevinstene er premie minus 10 kr.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å glemme å trekke fra innsatsen på 10 kr.
\[ \begin{array}{c|cccc}x&-10&5&40&90\\hline P(X=x)&\dfrac{15}{36}&\dfrac{11}{36}&\dfrac{7}{36}&\dfrac{3}{36}\end{array} \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Fordeling for nettogevinst
→ \(-10:15/36,\;5:11/36,\;40:7/36,\;90:3/36\)

Python-kontroll

from collections import Counter
premie_teller = Counter()
for a in range(1, 7):
    for b in range(1, 7):
        s = a + b
        if s >= 11:
            premie = 100
        elif s >= 9:
            premie = 50
        elif s >= 7:
            premie = 15
        else:
            premie = 0
        premie_teller[premie - 10] += 1
print("antall per nettogevinst =", dict(sorted(premie_teller.items())))
for x, antall in sorted(premie_teller.items()):
    print(f"P(X={x}) = {antall}/36")
Fasit: \(P(X=-10)=\dfrac{15}{36}\), \(P(X=5)=\dfrac{11}{36}\), \(P(X=40)=\dfrac{7}{36}\), \(P(X=90)=\dfrac{3}{36}\).
Del 2 · Oppgave 4cForventningsverdi

Oppgave 4c

Oppgave:

Vil det i lengden lønne seg å spille dette spillet? Gjør beregninger som understøtter svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ E(X)=(-10)\dfrac{15}{36}+5\dfrac{11}{36}+40\dfrac{7}{36}+90\dfrac{3}{36} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Hvis forventningsverdien er positiv, lønner spillet seg i gjennomsnitt for spilleren.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å tolke ett enkelt spill som sikkert overskudd fordi forventningsverdien er positiv.
\[ E(X)=\dfrac{455}{36}\approx12{,}64 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
(-10)*15/36 + 5*11/36 + 40*7/36 + 90*3/36
→ 12.64

Python-kontroll

fordeling = {-10: 15, 5: 11, 40: 7, 90: 3}
forventning = sum(x*antall/36 for x, antall in fordeling.items())
print("fordeling =", fordeling)
print("forventet nettogevinst =", forventning, "kr")
print("lønner seg for spilleren i lengden?", forventning > 0)
Fasit: Ja, forventet nettogevinst er omtrent 12,64 kr per spill.
Del 2 · Oppgave 5aBinomisk sannsynlighet

Oppgave 5a

Oppgave:

En kontroll har \(n=120\) og \(p=0{,}15\). Bestem sannsynligheten for at akkurat 18 av pakningene har for dårlig kvalitet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ X\sim\operatorname{Bin}(120,0{,}15) \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Vi bruker binomisk punktssannsynlighet.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å bruke normalfordeling uten å forklare at det er en tilnærming.
\[ P(X=18)=\binom{120}{18}0{,}15^{18}0{,}85^{102}\approx0{,}1015 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Binomial(120,0.15,18)
→ 0.1015

Python-kontroll

from math import comb
n = 120
p = 0.15
k = 18
sannsynlighet = comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k)
print("n =", n)
print("p =", p)
print("P(X = 18) =", sannsynlighet)
print("avrundet =", round(sannsynlighet, 4))
Fasit: Omtrent 0,1015.
Del 2 · Oppgave 5bBinomisk sannsynlighet

Oppgave 5b

Oppgave:

Bestem sannsynligheten for at minst 20 av pakningene har for dårlig kvalitet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ P(X\ge20)=\sum_{k=20}^{120}\binom{120}{k}0{,}15^k0{,}85^{120-k} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Dette er en høyresidesannsynlighet.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å regne \(P(X=20)\) i stedet for \(P(X\ge20)\).
\[ P(X\ge20)\approx0{,}3414 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
1-BinomialCDF(120,0.15,19)
→ 0.3414

Python-kontroll

from math import comb
n = 120
p = 0.15
p_ge_20 = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(20, n+1))
print("P(X >= 20) =", p_ge_20)
print("avrundet =", round(p_ge_20, 4))
Fasit: Omtrent 0,3414.
Del 2 · Oppgave 5cHypotesetest

Oppgave 5c

Oppgave:

I kontrollen var 21 av 120 pakninger for dårlige. Test om dette gir grunnlag for å påstå at mer enn 15 % har for dårlig kvalitet i distriktet. Bruk signifikansnivå 5 %.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ H_0:p=0{,}15,\qquad H_1:p>0{,}15 \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Vi bruker høyresidig binomisk test med \(X\ge21\).

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å teste tosidig når alternativhypotesen sier mer enn 15 %.
\[ P(X\ge21\mid p=0{,}15)\approx0{,}2557 \]
\[ 0{,}2557>0{,}05 \]

Vi forkaster ikke \(H_0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
1-BinomialCDF(120,0.15,20)
→ 0.2557

Python-kontroll

from math import comb
n = 120
p0 = 0.15
observert = 21
p_verdi = sum(comb(n, k)*p0**k*(1-p0)**(n-k) for k in range(observert, n+1))
print("H0: p =", p0)
print("H1: p >", p0)
print("observert antall =", observert)
print("p-verdi =", p_verdi)
print("forkast ved 5 prosent?", p_verdi < 0.05)
Fasit: Nei. Testen gir ikke grunnlag for å påstå dårligere kvalitet ved 5 % signifikansnivå.
Del 2 · Oppgave 6aLogistisk modell

Oppgave 6a

Oppgave:

Oljefondet er modellert ved \(f(x)=\dfrac{3236}{1+38{,}1e^{-0{,}3763x}}\), der \(x\) er antall år etter 1996 og \(f(x)\) er milliarder kroner. Hvor stort vil Oljefondet være i 2012 ifølge modellen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ 2012-1996=16 \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Vi setter \(x=16\) i modellen.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å sette inn 2012 direkte som \(x\).
\[ f(16)=\dfrac{3236}{1+38{,}1e^{-0{,}3763\cdot16}}\approx2962{,}02 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
f(16)
→ 2962.02

Python-kontroll

from math import exp
x = 2012 - 1996
f = 3236/(1 + 38.1*exp(-0.3763*x))
print("x =", x)
print("f(16) =", f)
print("avrundet =", round(f, 2), "milliarder kroner")
Fasit: Omtrent 2962 milliarder kroner.
Del 2 · Oppgave 6bDerivasjon av brøk

Oppgave 6b

Oppgave:

Bruk kjerneregelen og regelen for derivasjon av en brøk til å vise at \(f'(x)=\dfrac{46394{,}6e^{-0{,}3763x}}{\left(1+38{,}1e^{-0{,}3763x}\right)^2}\). Bestem \(f'(4)\). Hva forteller dette tallet oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ f(x)=3236\left(1+38{,}1e^{-0{,}3763x}\right)^{-1} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Vi bruker kjerneregelen på uttrykket i parentesen.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å miste minusfortegnet to ganger; de to minusene gir positiv derivert.
\[ f'(x)=3236\cdot38{,}1\cdot0{,}3763\cdot\dfrac{e^{-0{,}3763x}}{\left(1+38{,}1e^{-0{,}3763x}\right)^2} \]
\[ 3236\cdot38{,}1\cdot0{,}3763\approx46394{,}6 \]
\[ f'(4)\approx115{,}15 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
Derivert(3236/(1+38.1e^(-0.3763x)))
→ \(\dfrac{46394{,}6e^{-0{,}3763x}}{(1+38{,}1e^{-0{,}3763x})^2}\)
2
f′(4)
→ 115.15

Python-kontroll

from sympy import symbols, exp, diff, N, simplify
x = symbols('x')
f = 3236/(1 + 38.1*exp(-0.3763*x))
fp = simplify(diff(f, x))
print("f_derivert =", fp)
print("f_derivert(4) =", N(fp.subs(x, 4), 8))
Fasit: \(f'(4)\approx115{,}15\). I år 2000 vokste fondet med omtrent 115 milliarder kroner per år ifølge modellen.
Del 2 · Oppgave 6cVekst

Oppgave 6c

Oppgave:

En økonom sier at Oljefondet alltid vil vokse. Forklar hvordan vi ut fra den gitte modellen kan støtte denne uttalelsen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ f'(x)=\dfrac{46394{,}6e^{-0{,}3763x}}{\left(1+38{,}1e^{-0{,}3763x}\right)^2} \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Telleren og nevneren er positive for alle \(x\). Derfor er \(f'(x)>0\).

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å bare se på grafen uten å begrunne med fortegnet til den deriverte.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
f′(x)>0
→ true

Python-kontroll

from math import exp
for x in [0, 4, 10, 20, 40]:
    fp = 46394.6*exp(-0.3763*x)/(1 + 38.1*exp(-0.3763*x))**2
    print(f"x={x:>2}: f'(x)={fp:.6f}, positiv? {fp > 0}")
Fasit: Modellen støtter påstanden fordi \(f'(x)>0\) for alle relevante \(x\).
Del 2 · Oppgave 6dStørst vekst

Oppgave 6d

Oppgave:

Bestem hvilket år Oljefondet har størst vekst ifølge denne modellen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig S2-metode, vise hele mellomregningen, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.

Steg 1 — Sett opp riktig modell

\[ \text{Logistisk vekst er størst når }38{,}1e^{-0{,}3763x}=1 \]

Steg 2 — Beregn og tolk

Dette er vendepunktet til den logistiske kurven.

Steg 3 — Kontroll

GeoGebra/Python brukes til å kontrollere tallverdien og avrundingen.

Vanlig feil: Å lete etter størst verdi av \(f\) i stedet for størst verdi av \(f'\).
\[ 38{,}1e^{-0{,}3763x}=1 \]
\[ x=\dfrac{\ln(38{,}1)}{0{,}3763}\approx9{,}67 \]
\[ 1996+9{,}67\approx2005{,}67 \]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS
1
ln(38.1)/0.3763
→ 9.67
2
1996+9.67
→ 2005.67

Python-kontroll

from math import log, exp
x_max = log(38.1)/0.3763
aar = 1996 + x_max
print("x for størst vekst =", x_max)
print("år =", aar)
print("nærmeste kalenderår =", round(aar))
# Numerisk kontroll rundt toppunktet for f'
def fp(x):
    return 46394.6*exp(-0.3763*x)/(1 + 38.1*exp(-0.3763*x))**2
for x in [8, 9, x_max, 10, 11]:
    print(f"x={x:.3f}: f'(x)={fp(x):.3f}")
Fasit: Størst vekst er rundt år 2006.