S2 eksamenHøst 2010

Matematikk S2 eksamen – høst 2010

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo løsningsforslag

Matematikk S2 eksamen Høst 2010

Komplett løsningsforslag på bokmål. Del 1 og Del 2 er skilt, og hver deloppgave har metode, utregning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1aDerivasjon

Oppgave 1a

Oppgave:

Deriver funksjonene 1) \(f(x)=x^3-3x+4\) og 2) \(g(x)=6x\cdot e^{-2x}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver potensleddene

\[\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2\]

Konstantleddet forsvinner, og leddet \(-3x\) får derivert \(-3\).

Steg 2 - Finn den deriverte til \(f\)

\[f'(x)=3x^2-3\]

Vi deriverer ledd for ledd.

Steg 3 - Bruk produktregelen på \(g\)

\[g'(x)=6\cdot e^{-2x}+6x\cdot (-2)e^{-2x}\]

Faktoren \(e^{-2x}\) må også deriveres med kjerneregelen.

Steg 4 - Faktoriser uttrykket

\[g'(x)=\left(6-12x\right)e^{-2x}\]

Steg 5 - Kontroller metode

Begge svarene følger direkte av standardregler for potens, produkt og eksponentialfunksjon.

Tolkning

Den deriverte forteller vekstfarten til funksjonene for en vilkårlig verdi av \(x\).

Vanlig feil: Å glemme kjerneregelen i \(e^{-2x}\) gir feil fortegn og faktor.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Derivert[x^3-3x+4]
→ \(3x^2-3\)
2
Derivert[6x*e^(-2x)]
→ \((6-12x)e^{-2x}\)

Kontroll (Python)

Python
from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x + 4
g = 6*x*exp(-2*x)
print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", diff(f, x))
print('g(x) =', g)
print("g'(x) =", simplify(diff(g, x)))
Fasit: \(f'(x)=3x^2-3\) og \(g'(x)=\left(6-12x\right)e^{-2x}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1bPolynomdivisjon

Oppgave 1b

Oppgave:

Vi har gitt funksjonen \(P(x)=2x^3-6x^2-8x+24\). Vis at \(P(3)=0\), faktoriser \(P\) i førstegradsfaktorer, og forkort brøken \(\dfrac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett inn \(x=3\)

\[P(3)=2\cdot 3^3-6\cdot 3^2-8\cdot 3+24=54-54-24+24=0\]

Steg 2 - Bruk nullpunktet

Siden \(P(3)=0\), er \(x-3\) en faktor i polynomet.

Steg 3 - Faktoriser polynomet

\[P(x)=2\left(x-3\right)\left(x^2-4\right)=2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\]

Steg 4 - Faktoriser nevneren

\[2x^2-8=2\left(x^2-4\right)=2\left(x-2\right)\left(x+2\right)\]

Steg 5 - Forkort felles faktorer

\[\dfrac{2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=x-3\]

Steg 6 - Husk definisjonsmengden

Den opprinnelige brøken er ikke definert for \(x=2\) og \(x=-2\).

Tolkning

Brøken har samme verdi som \(x-3\) der den opprinnelige brøken er definert.

Vanlig feil: Å forkorte bort faktorer uten å nevne at \(x=\pm 2\) ikke er lovlige verdier i den opprinnelige brøken.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
P(x):=2x^3-6x^2-8x+24
→
2
P(3)
→ \(0\)
3
Faktoriser[P(x)]
→ \(2(x-3)(x-2)(x+2)\)
4
Faktoriser[(2x^3-6x^2-8x+24)/(2x^2-8)]
→ \(x-3\)

Kontroll (Python)

Python
from sympy import symbols, factor, simplify
x = symbols('x')
P = 2*x**3 - 6*x**2 - 8*x + 24
fraction = P/(2*x**2 - 8)
print('P(3) =', P.subs(x, 3))
print('Faktorisert P(x) =', factor(P))
print('Forkortet brøk =', simplify(fraction))
print('Ulovlige verdier i opprinnelig brøk: x = -2 og x = 2')
Fasit: \(P(x)=2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\) og brøken blir \(x-3\), for \(x\ne -2,2\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1cProsent og areal

Oppgave 1c

Oppgave:

Formelen for overflaten av en kule er \(O=4\pi r^2\). Vi øker radien \(r\) med 10 %. Hvor mange prosent øker overflaten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv ny radius

\[r_{ny}=1{,}10r\]

Steg 2 - Sett ny radius inn i formelen

\[O_{ny}=4\pi\left(1{,}10r\right)^2\]

Steg 3 - Sammenlign med gammel overflate

\[O_{ny}=4\pi\cdot 1{,}21r^2=1{,}21O\]

Steg 4 - Finn prosentøkningen

\[1{,}21-1=0{,}21=21\%\]

Steg 5 - Kontroller rimelighet

Areal vokser med kvadratet av lengdefaktoren, derfor blir økningen større enn 10 %.

Tolkning

Overflaten blir 21 % større når radien øker med 10 %.

Vanlig feil: Å svare 10 % fordi radien øker 10 %, uten å ta hensyn til at overflaten avhenger av \(r^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
1.10^2
→ \(1.21\)
2
(1.21-1)*100
→ \(21\)

Kontroll (Python)

Python
old_radius_factor = 1.00
new_radius_factor = 1.10
area_factor = new_radius_factor**2
percent_increase = (area_factor - old_radius_factor)*100
print('Lengdefaktor for radius:', new_radius_factor)
print('Arealfaktor:', area_factor)
print('Prosentvis økning:', percent_increase, '%')
Fasit: Overflaten øker med \(21\%\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1dGeometrisk rekke

Oppgave 1d

Oppgave:

En gummiball slippes fra en høyde på 10 m. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den rett opp \(\dfrac{2}{3}\) av den forrige høyden. Hva er total lengde ballen har tilbakelagt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Første bevegelse

Ballen faller først \(10\) m ned.

Steg 2 - Skriv sprettene som rekke

\[10\cdot \dfrac{2}{3}+10\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2+10\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^3+\cdots\]

Steg 3 - Husk både opp og ned

Etter første fall går hver sprett først opp og deretter ned igjen.

Steg 4 - Bruk uendelig geometrisk rekke

\[S=10+2\cdot \dfrac{10\cdot \frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}\]

Steg 5 - Regn ut summen

\[S=10+2\cdot 20=50\]

Steg 6 - Kontroller konvergens

Kvotienten er \(\dfrac{2}{3}\), og absoluttverdien er mindre enn 1. Derfor har rekken en endelig sum.

Tolkning

Ballen tilbakelegger totalt 50 meter før den stopper i modellen.

Vanlig feil: Å glemme at hver sprett etter første fall gir både en oppover- og en nedoverstrekning.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
10 + 2*Sum[10*(2/3)^n,n,1,Infinity]
→ \(50\)

Kontroll (Python)

Python
from fractions import Fraction
initial_drop = Fraction(10, 1)
ratio = Fraction(2, 3)
first_bounce = initial_drop*ratio
sum_bounces_one_way = first_bounce/(1 - ratio)
total_distance = initial_drop + 2*sum_bounces_one_way
print('Første fall:', initial_drop, 'm')
print('Første sprett:', first_bounce, 'm')
print('Sum av alle spretthøyder én vei:', sum_bounces_one_way, 'm')
print('Total tilbakelagt lengde:', total_distance, 'm')
Fasit: \(50\) m (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1eAritmetisk rekke

Oppgave 1e

Oppgave:

Vi har rekken \(1+3+5+7+\cdots\). 1) Hva slags rekke er dette? Bestem \(a_n\). 2) Bestem \(S_n\) og regn ut \(S_{100}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se på differansen

\[3-1=2,\quad 5-3=2,\quad 7-5=2\]

Steg 2 - Bestem typen

Fast differanse betyr at rekken er aritmetisk.

Steg 3 - Finn n-te ledd

\[a_n=a_1+\left(n-1\right)d=1+2\left(n-1\right)=2n-1\]

Steg 4 - Bruk sumformel

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=\dfrac{n\left(1+2n-1\right)}{2}=n^2\]

Steg 5 - Regn ut \(S_{100}\)

\[S_{100}=100^2=10000\]

Steg 6 - Kontroller mønster

Summen av de \(n\) første positive oddetallene er \(n^2\).

Tolkning

De 100 første positive oddetallene har sum 10000.

Vanlig feil: Å bruke geometrisk sumformel fordi rekken fortsetter, selv om differansen er fast.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
a(n):=2n-1
→
2
Sum[a(n),n,1,100]
→ \(10000\)

Kontroll (Python)

Python
from sympy import symbols, summation
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
a_n = 2*n - 1
S_n = summation(a_n, (n, 1, n))
S_100 = sum(2*k - 1 for k in range(1, 101))
print('n-te ledd:', a_n)
print('Sumformel:', S_n)
print('S_100 =', S_100)
Fasit: Aritmetisk rekke, \(a_n=2n-1\), \(S_n=n^2\) og \(S_{100}=10000\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1fSannsynlighetsfordeling

Oppgave 1f

Oppgave:

Gitt sannsynlighetsfordelingen \(P(X=1)=0{,}1\), \(P(X=2)=0{,}2\), \(P(X=3)=0{,}3\), \(P(X=4)=0{,}4\). Finn \(E(X)\) og \(\operatorname{Var}(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk forventningsverdi

\[E(X)=\sum x\cdot P(X=x)\]

Steg 2 - Regn ut \(E(X)\)

\[E(X)=1\cdot0{,}1+2\cdot0{,}2+3\cdot0{,}3+4\cdot0{,}4=3\]

Steg 3 - Finn \(E(X^2)\)

\[E(X^2)=1^2\cdot0{,}1+2^2\cdot0{,}2+3^2\cdot0{,}3+4^2\cdot0{,}4=10\]

Steg 4 - Bruk variansformelen

\[\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2=10-3^2=1\]

Steg 5 - Kontroller sannsynlighetene

\[0{,}1+0{,}2+0{,}3+0{,}4=1\]

Tolkning

Forventet verdi er 3, og variansen 1 beskriver spredningen rundt forventningen.

Vanlig feil: Å regne varians som gjennomsnittlig avvik uten å kvadrere avvikene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
0.1+0.2+0.3+0.4
→ \(1\)
2
1*0.1+2*0.2+3*0.3+4*0.4
→ \(3\)
3
(1^2*0.1+2^2*0.2+3^2*0.3+4^2*0.4)-3^2
→ \(1\)

Kontroll (Python)

Python
values = [1, 2, 3, 4]
probabilities = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]
expected_value = sum(x*p for x, p in zip(values, probabilities))
expected_square = sum(x**2*p for x, p in zip(values, probabilities))
variance = expected_square - expected_value**2
print('Sum av sannsynligheter:', sum(probabilities))
print('E(X) =', expected_value)
print('E(X^2) =', expected_square)
print('Var(X) =', variance)
Fasit: \(E(X)=3\) og \(\operatorname{Var}(X)=1\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1gLineært likningssystem

Oppgave 1g

Oppgave:

Løs likningssystemet \(2x+y+3z=10\), \(x+y+z=6\) og \(x+3y+2z=13\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skriv systemet

\[\begin{aligned}2x+y+3z&=10\\x+y+z&=6\\x+3y+2z&=13\end{aligned}\]

Steg 2 - Trekk den andre likningen fra den første

\[x+2z=4\]

Steg 3 - Trekk den andre likningen fra den tredje

\[2y+z=7\]

Steg 4 - Bruk \(x=4-2z\) og \(y=\dfrac{7-z}{2}\)

Sett dette inn i \(x+y+z=6\).

Steg 5 - Løs for \(z\)

\[4-2z+\dfrac{7-z}{2}+z=6\quad\Rightarrow\quad z=1\]

Steg 6 - Finn \(x\) og \(y\)

\[x=4-2\cdot1=2,\qquad y=\dfrac{7-1}{2}=3\]

Tolkning

Tallene \(x=2\), \(y=3\) og \(z=1\) oppfyller alle tre likningene.

Vanlig feil: Å gjøre fortegnsfeil ved eliminasjon, særlig i den tredje likningen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Løs[{2x+y+3z=10,x+y+z=6,x+3y+2z=13},{x,y,z}]
→ \(x=2,\ y=3,\ z=1\)

Kontroll (Python)

Python
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, z = symbols('x y z')
equations = [
    Eq(2*x + y + 3*z, 10),
    Eq(x + y + z, 6),
    Eq(x + 3*y + 2*z, 13)
]
solution = solve(equations, (x, y, z), dict=True)[0]
print('Løsning:')
print('x =', solution[x])
print('y =', solution[y])
print('z =', solution[z])
print('Kontroll i likningene:')
for equation in equations:
    print(equation.lhs.subs(solution), '=', equation.rhs)
Fasit: \(x=2\), \(y=3\) og \(z=1\) (bekreftet digitalt).

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 2aAnnuitetslån

Oppgave 2a

Oppgave:

Et par låner 1 500 000 kroner med annuitetslån, rente 4 % per år og 20 like store årlige betalinger. Finn det årlige beløpet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk nåverdiformelen for annuitet

\[L=A\cdot \dfrac{1-\left(1+r\right)^{-n}}{r}\]

Steg 2 - Løs for terminbeløpet

\[A=L\cdot \dfrac{r}{1-\left(1+r\right)^{-n}}\]

Steg 3 - Sett inn tall

\[A=1500000\cdot \dfrac{0{,}04}{1-1{,}04^{-20}}\]

Steg 4 - Regn ut

\[A\approx 110372{,}63\]

Steg 5 - Avrund til kroner

Det årlige beløpet blir omtrent 110 373 kr.

Tolkning

De må betale litt over 110 000 kr per år for å nedbetale hele lånet på 20 år.

Vanlig feil: Å bruke \(1{,}04^{20}\) i stedet for \(1{,}04^{-20}\) i nåverdiformelen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
1500000*0.04/(1-1.04^(-20))
→ \(110372.63\)

Kontroll (Python)

Python
principal = 1_500_000
interest_rate = 0.04
number_of_payments = 20
payment = principal*interest_rate/(1 - (1 + interest_rate)**(-number_of_payments))
print('Lånebeløp:', principal)
print('Årlig rente:', interest_rate)
print('Antall innbetalinger:', number_of_payments)
print('Årlig terminbeløp:', round(payment, 2))
print('Avrundet til nærmeste krone:', round(payment))
Fasit: \(110373\) kr per år (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2bAnnuitetslån

Oppgave 2b

Oppgave:

Paret kan maksimalt betale 100 000 kroner per år. Bestem hvor mange like store årlige beløp de må betale.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk samme annuitetsformel

\[1500000=100000\cdot \dfrac{1-1{,}04^{-n}}{0{,}04}\]

Steg 2 - Isoler potensen

\[0{,}6=1-1{,}04^{-n}\quad\Rightarrow\quad 1{,}04^{-n}=0{,}4\]

Steg 3 - Ta logaritmer

\[-n\ln(1{,}04)=\ln(0{,}4)\]

Steg 4 - Løs for \(n\)

\[n=\dfrac{-\ln(0{,}4)}{\ln(1{,}04)}\approx 23{,}36\]

Steg 5 - Tolk helt antall betalinger

De må betale i 24 år dersom beløpet ikke skal overstige 100 000 kr per år.

Tolkning

23,36 år betyr at 23 innbetalinger ikke er nok; de trenger 24 årlige innbetalinger.

Vanlig feil: Å runde ned til 23 år selv om lånet da ikke er fullstendig nedbetalt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Løs[1500000=100000*(1-1.04^(-n))/0.04,n]
→ \(n\approx 23.36\)

Kontroll (Python)

Python
from math import log, ceil
principal = 1_500_000
payment = 100_000
interest_rate = 0.04
n_exact = -log(1 - principal*interest_rate/payment)/log(1 + interest_rate)
n_whole = ceil(n_exact)
print('Eksakt antall betalinger:', n_exact)
print('Minste hele antall betalinger:', n_whole)
Fasit: \(24\) årlige innbetalinger (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2cFinansmatematikk

Oppgave 2c

Oppgave:

Hva må renten per år være for at 20 årlige betalinger ikke skal overstige 100 000 kroner?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett opp likningen

\[100000=1500000\cdot \dfrac{r}{1-\left(1+r\right)^{-20}}\]

Steg 2 - Merk at likningen ikke løses pent for hånd

Vi finner renten numerisk med CAS.

Steg 3 - Løs numerisk

\[r\approx 0{,}0291146\]

Steg 4 - Gjør om til prosent

\[0{,}0291146\cdot100\%\approx2{,}91\%\]

Steg 5 - Kontroller retning

Renten må være lavere enn 4 %, siden 4 % ga et terminbeløp over 100 000 kr.

Tolkning

Renten må være omtrent 2,91 % per år eller lavere.

Vanlig feil: Å sette inn \(r=0{,}04\) og tro at man har bestemt ny rente, i stedet for å løse for \(r\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Løs[100000=1500000*r/(1-(1+r)^(-20)),r]
→ \(r\approx0.0291146\)

Kontroll (Python)

Python
from math import isfinite
principal = 1_500_000
payment = 100_000
n = 20

def annuity_payment(rate):
    return principal*rate/(1 - (1 + rate)**(-n))

low = 0.0
high = 0.10
for _ in range(80):
    mid = (low + high)/2
    if annuity_payment(mid) > payment:
        high = mid
    else:
        low = mid
rate = (low + high)/2
print('Rente som desimaltall:', rate)
print('Rente i prosent:', rate*100)
print('Kontrollert terminbeløp:', annuity_payment(rate))
Fasit: Renten må være omtrent \(2{,}91\%\) per år (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2dNåverdi

Oppgave 2d

Oppgave:

Paret vil spare først og deretter låne restbeløpet, som skal nedbetales med 20 årlige betalinger på 100 000 kroner. Lånerenten er 4 %. Hvor mye må stå på sparekontoen når de låner restbeløpet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn hvor stort lån 100 000 kr per år kan betjene

\[L=100000\cdot \dfrac{1-1{,}04^{-20}}{0{,}04}\]

Steg 2 - Regn ut lånebeløpet

\[L\approx 1359032{,}63\]

Steg 3 - Sammenlign med boligprisen

\[1500000-1359032{,}63\approx 140967{,}37\]

Steg 4 - Avrund til kroner

De må ha omtrent 140 967 kr på sparekontoen.

Steg 5 - Kontroller rimelighet

Beløpet er positivt fordi 100 000 kr per år ikke er nok til å betjene hele 1 500 000 kr over 20 år med 4 % rente.

Tolkning

Dette er egenkapitalen de må ha for at restlånet skal passe med betalingsgrensen.

Vanlig feil: Å beregne framtidsverdi av betalingene i stedet for nåverdi av lånet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
100000*(1-1.04^(-20))/0.04
→ \(1359032.63\)
2
1500000-1359032.63
→ \(140967.37\)

Kontroll (Python)

Python
price = 1_500_000
payment = 100_000
interest_rate = 0.04
n = 20
loan_capacity = payment*(1 - (1 + interest_rate)**(-n))/interest_rate
needed_savings = price - loan_capacity
print('Maksimalt lån med 100 000 kr per år:', round(loan_capacity, 2))
print('Boligpris:', price)
print('Nødvendig sparebeløp:', round(needed_savings, 2))
print('Avrundet til nærmeste krone:', round(needed_savings))
Fasit: Omtrent \(140967\) kr (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3aHalveringstid

Oppgave 3a

Oppgave:

En tablett inneholder 75 mg av et stoff. Mengden halveres hver sjette time. En pasient tar én tablett. Hvor mye er igjen etter 36 timer?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn antall halveringer

\[36\div 6=6\]

Steg 2 - Bruk halveringsmodell

\[M=75\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^6\]

Steg 3 - Regn ut

\[M=\dfrac{75}{64}\approx1{,}17\]

Steg 4 - Kontroller rimelighet

Etter seks halveringer skal det være svært lite igjen.

Tolkning

Etter 36 timer er det omtrent 1,17 mg igjen i kroppen.

Vanlig feil: Å halvere bare én gang fordi tallet 36 ikke brukes til å finne antall perioder.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
75*(1/2)^6
→ \(1.171875\)

Kontroll (Python)

Python
initial_amount = 75
half_life_hours = 6
elapsed_hours = 36
number_of_halvings = elapsed_hours/half_life_hours
remaining = initial_amount*(1/2)**number_of_halvings
print('Antall halveringer:', number_of_halvings)
print('Mengde etter 36 timer:', remaining, 'mg')
print('Avrundet:', round(remaining, 2), 'mg')
Fasit: \(1{,}17\) mg (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3bGeometrisk rekke

Oppgave 3b

Oppgave:

En annen pasient får én tablett hver tolvte time. Etter 72 timer, like etter at den sjette tabletten er tatt, er mengden \(75+75\cdot0{,}25+75\cdot0{,}25^2+75\cdot0{,}25^3+75\cdot0{,}25^4+75\cdot0{,}25^5\). Bruk sumformel og finn summen. Finn også langsiktig mengde når pasienten får én tablett hver tolvte time.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Forklar kvotienten

På 12 timer går det to halveringer, så restfaktoren er \(\left(\dfrac12\right)^2=0{,}25\).

Steg 2 - Bruk endelig sumformel

\[S_6=75\cdot \dfrac{1-0{,}25^6}{1-0{,}25}\]

Steg 3 - Regn ut summen

\[S_6\approx 99{,}9756\]

Steg 4 - Bruk uendelig sum for lang tid

\[S=75\cdot \dfrac{1}{1-0{,}25}=100\]

Steg 5 - Kontroller grenseverdi

Summen etter seks tabletter ligger like under 100 mg, som passer med grenseverdien.

Tolkning

Etter 72 timer er mengden omtrent 99,98 mg, og på lang sikt nærmer den seg 100 mg.

Vanlig feil: Å bruke kvotient \(0{,}5\) i stedet for \(0{,}25\) når dosene tas hver tolvte time.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
75*(1-0.25^6)/(1-0.25)
→ \(99.9756\)
2
75/(1-0.25)
→ \(100\)

Kontroll (Python)

Python
from fractions import Fraction
dose = Fraction(75, 1)
ratio = Fraction(1, 4)
number_of_terms = 6
finite_sum = dose*(1 - ratio**number_of_terms)/(1 - ratio)
long_term_sum = dose/(1 - ratio)
print('Kvotient mellom doser:', ratio)
print('Sum etter 6 tabletter:', float(finite_sum), 'mg')
print('Eksakt sum etter 6 tabletter:', finite_sum)
print('Langsiktig mengde:', float(long_term_sum), 'mg')
Fasit: \(S_6\approx99{,}98\) mg og langsiktig mengde \(100\) mg (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3cUendelig rekke

Oppgave 3c

Oppgave:

En bestemt pasient bør ikke ha mer enn 80 mg i kroppen. Finn hvor mange milligram hver tablett kan inneholde dersom pasienten skal ta én tablett i døgnet over lang tid.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Finn døgnfaktoren

\[\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac{1}{16}\]

Steg 2 - La tablettmengden være \(a\)

På lang sikt blir samlet mengde en uendelig geometrisk sum.

Steg 3 - Sett opp ulikheten

\[\dfrac{a}{1-\frac{1}{16}}\le 80\]

Steg 4 - Løs ulikheten

\[\dfrac{16a}{15}\le80\quad\Rightarrow\quad a\le75\]

Steg 5 - Kontroller med grenseverdi

Hvis \(a=75\), blir langtidsmengden nøyaktig \(80\) mg.

Tolkning

Hver tablett kan inneholde maksimalt 75 mg.

Vanlig feil: Å bruke faktoren \(1/4\) i stedet for \(1/16\) for ett døgn.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Løs[a/(1-1/16)=80,a]
→ \(a=75\)

Kontroll (Python)

Python
from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
amount = symbols('amount')
ratio_per_day = Rational(1, 16)
long_term = amount/(1 - ratio_per_day)
solution = solve(Eq(long_term, 80), amount)[0]
print('Restfaktor etter ett døgn:', ratio_per_day)
print('Langtidsmengde:', long_term)
print('Maksimal tablettmengde:', solution, 'mg')
print('Kontroll:', long_term.subs(amount, solution), 'mg')
Fasit: Maksimalt \(75\) mg per tablett (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4 alternativ I aEksponentialfunksjon

Oppgave 4 alternativ I a

Oppgave:

Funksjonen er \(f(x)=\left(x-1\right)e^x\) for \(-3\le x\le2\). Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom koordinataksene og grafen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Skjæring med y-aksen

\[f(0)=\left(0-1\right)e^0=-1\]

Steg 2 - Skjæring med x-aksen

\[\left(x-1\right)e^x=0\]

Steg 3 - Bruk at eksponentialfaktoren aldri er null

\[e^x>0\quad\Rightarrow\quad x-1=0\]

Steg 4 - Finn punktet

\[x=1\quad\Rightarrow\quad (1,0)\]

Tolkning

Grafen skjærer y-aksen i \((0,-1)\) og x-aksen i \((1,0)\).

Vanlig feil: Å sette \(e^x=0\) som en mulig løsning.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
f(x):=(x-1)*e^x
→
2
f(0)
→ \(-1\)
3
Løs[f(x)=0,x]
→ \(x=1\)

Kontroll (Python)

Python
from sympy import symbols, exp, solve
x = symbols('x')
f = (x - 1)*exp(x)
y_axis = f.subs(x, 0)
x_axis_solutions = solve(f, x)
print('f(0) =', y_axis)
print('Skjæring med y-aksen: (0,', y_axis, ')')
print('Løsninger av f(x)=0:', x_axis_solutions)
print('Skjæring med x-aksen: (1, 0)')
Fasit: \((0,-1)\) og \((1,0)\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4 alternativ I bEkstremalpunkt

Oppgave 4 alternativ I b

Oppgave:

Finn ved regning koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \(f(x)=\left(x-1\right)e^x\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver funksjonen

\[f'(x)=1\cdot e^x+\left(x-1\right)e^x=x e^x\]

Steg 2 - Sett den deriverte lik null

\[x e^x=0\]

Steg 3 - Bruk at \(e^x>0\)

\[x=0\]

Steg 4 - Finn funksjonsverdien

\[f(0)=-1\]

Steg 5 - Klassifiser punktet

For \(x<0\) er \(f'(x)<0\), og for \(x>0\) er \(f'(x)>0\). Punktet er derfor et bunnpunkt.

Tolkning

Grafen har bunnpunkt i \((0,-1)\). På lukket intervall er endepunkter også relevante for maksimum/minimum, men det indre stasjonære punktet er bunnpunktet.

Vanlig feil: Å overse at \(e^x\) alltid er positiv.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Derivert[(x-1)*e^x]
→ \(xe^x\)
2
Løs[x*e^x=0]
→ \(x=0\)
3
f(0)
→ \(-1\)

Kontroll (Python)

Python
from sympy import symbols, exp, diff, solve, simplify
x = symbols('x')
f = (x - 1)*exp(x)
derivative = diff(f, x)
critical_points = solve(derivative, x)
print("f'(x) =", simplify(derivative))
print('Kritiske punkter:', critical_points)
for value in critical_points:
    print('x =', value, 'gir f(x) =', f.subs(x, value))
print('Fortegn: f er avtakende før 0 og voksende etter 0')
Fasit: Bunnpunkt \((0,-1)\), ingen indre toppunkt (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4 alternativ I cAndrederivert

Oppgave 4 alternativ I c

Oppgave:

Bestem koordinatene til punktet der grafen til \(f\) synker raskest.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Synker raskest betyr minst verdi av \(f'(x)\)

Vi minimerer den deriverte \(f'(x)=x e^x\).

Steg 2 - Deriver vekstfarten

\[f''(x)=\left(x+1\right)e^x\]

Steg 3 - Sett \(f''(x)=0\)

\[\left(x+1\right)e^x=0\quad\Rightarrow\quad x=-1\]

Steg 4 - Finn punktet på grafen

\[f(-1)=\left(-2\right)e^{-1}=-\dfrac{2}{e}\]

Steg 5 - Kontroller at vekstfarten er minst

\(f'(x)=xe^x\) har minimum ved \(x=-1\).

Tolkning

Grafen synker raskest i punktet \(\left(-1,-\dfrac{2}{e}\right)\).

Vanlig feil: Å finne bunnpunktet til \(f\) i stedet for minimumspunktet til \(f'\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Derivert[x*e^x]
→ \((x+1)e^x\)
2
Løs[(x+1)*e^x=0]
→ \(x=-1\)
3
f(-1)
→ \(-2/e\)

Kontroll (Python)

Python
from sympy import symbols, exp, diff, solve, simplify
x = symbols('x')
f = (x - 1)*exp(x)
first_derivative = diff(f, x)
second_derivative = diff(first_derivative, x)
x_value = solve(second_derivative, x)[0]
y_value = simplify(f.subs(x, x_value))
print("f'(x) =", first_derivative)
print("f''(x) =", second_derivative)
print('Punktet der grafen synker raskest:')
print('x =', x_value)
print('y =', y_value)
Fasit: \(\left(-1,-\dfrac{2}{e}\right)\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4 alternativ I dBestemt integral

Oppgave 4 alternativ I d

Oppgave:

Tegn grafen til \(f\). Bruk digitalt hjelpemiddel og bestem arealet av området avgrenset av førsteaksen, grafen til \(f\) og linjene \(x=1\) og \(x=2\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Se fortegnet på intervallet

For \(1\le x\le2\) er \(x-1\ge0\) og \(e^x>0\), så arealet er integralet.

Steg 2 - Sett opp integralet

\[A=\int_1^2 \left(x-1\right)e^x\,dx\]

Steg 3 - Finn antiderivert

\[\int \left(x-1\right)e^x\,dx=\left(x-2\right)e^x+C\]

Steg 4 - Regn ut arealet

\[A=\left[\left(x-2\right)e^x\right]_1^2=0-\left(-e\right)=e\]

Steg 5 - Desimaltall

\[A=e\approx2{,}718\]

Tolkning

Arealet er omtrent 2,72 kvadratenheter.

Vanlig feil: Å ta med negativt areal eller å integrere på feil intervall.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Integral[(x-1)*e^x,1,2]
→ \(e\approx2.718\)

Kontroll (Python)

Python
from sympy import symbols, exp, integrate, N
x = symbols('x')
f = (x - 1)*exp(x)
area = integrate(f, (x, 1, 2))
print('Integral fra 1 til 2 av (x - 1)*e^x:')
print('Eksakt areal =', area)
print('Desimalverdi =', N(area, 10))
Fasit: \(A=e\approx2{,}718\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4 alternativ II aModellering

Oppgave 4 alternativ II a

Oppgave:

Antall deltakere følger modellen \(D(x)=120-100e^{-0{,}35x}+80e^{-0{,}09x}\). Tegn grafen og finn antall deltakere den andre og tiende uka.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Tolk uketallet

\(D(0)\) er første uke, derfor er andre uke \(x=1\) og tiende uke \(x=9\).

Steg 2 - Regn ut \(D(1)\)

\[D(1)=120-100e^{-0{,}35}+80e^{-0{,}09}\approx122{,}65\]

Steg 3 - Regn ut \(D(9)\)

\[D(9)=120-100e^{-3{,}15}+80e^{-0{,}81}\approx151{,}30\]

Steg 4 - Avrund til hele personer

Andre uke: omtrent 123 deltakere. Tiende uke: omtrent 151 deltakere.

Tolkning

Modellen tilsier at deltakerantallet først øker fra første uke.

Vanlig feil: Å bruke \(x=2\) for andre uke i stedet for \(x=1\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
D(x):=120-100e^(-0.35x)+80e^(-0.09x)
→
2
D(1)
→ \(122.65\)
3
D(9)
→ \(151.30\)

Kontroll (Python)

Python
from math import exp

def D(x):
    return 120 - 100*exp(-0.35*x) + 80*exp(-0.09*x)

print('D(1), andre uke =', D(1))
print('Avrundet:', round(D(1)), 'deltakere')
print('D(9), tiende uke =', D(9))
print('Avrundet:', round(D(9)), 'deltakere')
Fasit: Andre uke ca. \(123\), tiende uke ca. \(151\) deltakere (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4 alternativ II bLikning og grenseverdi

Oppgave 4 alternativ II b

Oppgave:

Bestem når det ifølge modellen er 137 deltakere. Bruk uttrykket til å forklare hva antall deltakere stabiliserer seg på over lang tid.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett opp likningen

\[120-100e^{-0{,}35x}+80e^{-0{,}09x}=137\]

Steg 2 - Løs numerisk

\[x\approx1{,}99\quad\text{eller}\quad x\approx17{,}04\]

Steg 3 - Tolk ukene

Dette betyr omtrent i uke 3 og uke 18, fordi \(x=0\) er første uke.

Steg 4 - Finn langtidsverdien

\[\lim_{x\to\infty}D(x)=120-100\cdot0+80\cdot0=120\]

Tolkning

Modellen gir 137 deltakere to ganger: på vei opp og på vei ned mot 120.

Vanlig feil: Å tro at likningen bare har én løsning fordi modellen inneholder eksponentialledd.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Løs[D(x)=137,x]
→ \(x\approx1.99\lor x\approx17.04\)
2
Grenseverdi[D(x),x,Infinity]
→ \(120\)

Kontroll (Python)

Python
from math import exp

def D(x):
    return 120 - 100*exp(-0.35*x) + 80*exp(-0.09*x)

def bisection_root(left, right):
    for _ in range(80):
        mid = (left + right)/2
        if (D(left) - 137)*(D(mid) - 137) <= 0:
            right = mid
        else:
            left = mid
    return (left + right)/2

root_1 = bisection_root(0, 5)
root_2 = bisection_root(10, 25)
print('Første løsning x =', root_1, 'D(x) =', D(root_1))
print('Andre løsning x =', root_2, 'D(x) =', D(root_2))
print('Langtidsverdi når eksponentialleddene går mot 0: 120')
Fasit: \(x\approx1{,}99\) og \(x\approx17{,}04\), stabilisering på \(120\) deltakere (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4 alternativ II cMaksimum

Oppgave 4 alternativ II c

Oppgave:

Bestem ved regning i hvilken uke man kan regne med flest deltakere.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Deriver modellen

\[D'(x)=35e^{-0{,}35x}-7{,}2e^{-0{,}09x}\]

Steg 2 - Sett den deriverte lik null

\[35e^{-0{,}35x}=7{,}2e^{-0{,}09x}\]

Steg 3 - Samle eksponentialleddene

\[e^{-0{,}26x}=\dfrac{7{,}2}{35}\]

Steg 4 - Løs med logaritmer

\[x=\dfrac{-\ln\left(\frac{7{,}2}{35}\right)}{0{,}26}\approx6{,}08\]

Steg 5 - Tolk uke

\(x\approx6{,}08\) betyr rundt den sjuende uka, siden \(x=0\) er første uke.

Tolkning

Flest deltakere forventes omtrent i uke 7.

Vanlig feil: Å tolke \(x=6{,}08\) som sjette uke i stedet for tidspunktet litt etter seks uker etter første trimuke.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Løs[35e^(-0.35x)-7.2e^(-0.09x)=0,x]
→ \(x\approx6.08\)
2
D(6.0818)
→ \(154.38\)

Kontroll (Python)

Python
from math import log, exp

def D(x):
    return 120 - 100*exp(-0.35*x) + 80*exp(-0.09*x)

x_max = -log(7.2/35)/0.26
max_participants = D(x_max)
print('Tidspunkt for maksimalverdi x =', x_max)
print('Dette svarer til omtrent uke:', int(x_max) + 1)
print('Maksimalt modellert deltakerantall:', max_participants)
print('Avrundet:', round(max_participants), 'deltakere')
Fasit: Omtrent i uke 7, ved \(x\approx6{,}08\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4 alternativ II dSummering

Oppgave 4 alternativ II d

Oppgave:

Hvor mange vil ha deltatt på trimmen i løpet av de 20 første ukene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Bruk riktige x-verdier

De 20 første ukene tilsvarer \(x=0,1,2,\ldots,19\).

Steg 2 - Sett opp summen

\[\sum_{x=0}^{19}D(x)\]

Steg 3 - Regn digitalt

\[\sum_{x=0}^{19}\left(120-100e^{-0{,}35x}+80e^{-0{,}09x}\right)\approx2837{,}53\]

Steg 4 - Avrund til personer

Totalt blir dette omtrent 2838 deltakerbesøk.

Tolkning

Summen teller deltakere per uke samlet over 20 uker.

Vanlig feil: Å integrere kontinuerlig fra 0 til 20 når oppgaven spør om ukentlige antall for 20 uker.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Sum[D(x),x,0,19]
→ \(2837.53\)

Kontroll (Python)

Python
from math import exp

def D(x):
    return 120 - 100*exp(-0.35*x) + 80*exp(-0.09*x)

weekly_values = [D(x) for x in range(20)]
total = sum(weekly_values)
print('Ukeverdier for x = 0 til 19:')
for x, value in enumerate(weekly_values):
    print(f'x = {x:2d}, D(x) = {value:.4f}')
print('Sum for 20 første uker =', total)
print('Avrundet sum =', round(total))
Fasit: Omtrent \(2838\) deltakerbesøk (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5aNormalfordeling

Oppgave 5a

Oppgave:

Besøkstallet per uke er normalfordelt med gjennomsnitt 1000 og standardavvik 140. Finn sannsynligheten for at flere enn 1200 personer besøker butikken i en tilfeldig uke.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Standardiser

\[Z=\dfrac{X-1000}{140}\]

Steg 2 - Finn z-verdi

\[z=\dfrac{1200-1000}{140}\approx1{,}4286\]

Steg 3 - Bruk normalfordeling

\[P(X>1200)=P(Z>1{,}4286)\]

Steg 4 - Regn ut digitalt

\[P(X>1200)\approx0{,}0766\]

Tolkning

Det er omtrent 7,7 % sannsynlighet for mer enn 1200 besøkende.

Vanlig feil: Å bruke venstresannsynligheten \(P(X<1200)\) i stedet for høyresannsynligheten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
1-Normal[1000,140](1200)
→ \(0.0766\)

Kontroll (Python)

Python
from math import erf, sqrt
mu = 1000
sigma = 140
x_value = 1200
z = (x_value - mu)/sigma
cdf = 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))
probability = 1 - cdf
print('z-verdi:', z)
print('P(X > 1200) =', probability)
print('Prosent:', probability*100)
Fasit: \(0{,}0766\), altså omtrent \(7{,}7\%\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5bNormalfordeling

Oppgave 5b

Oppgave:

Finn sannsynligheten for at besøkstallet er mellom 900 og 1100.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Standardiser grensene

\[z_1=\dfrac{900-1000}{140}\approx-0{,}7143,\qquad z_2=\dfrac{1100-1000}{140}\approx0{,}7143\]

Steg 2 - Skriv sannsynligheten

\[P(900

Steg 3 - Regn med normalfordeling

\[P\approx0{,}5249\]

Steg 4 - Kontroller symmetri

Intervallet ligger symmetrisk rundt gjennomsnittet 1000.

Tolkning

Sannsynligheten er omtrent 52,5 %.

Vanlig feil: Å beregne bare én hale i stedet for sannsynligheten mellom to grenser.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Normal[1000,140](1100)-Normal[1000,140](900)
→ \(0.5249\)

Kontroll (Python)

Python
from math import erf, sqrt
mu = 1000
sigma = 140
lower = 900
upper = 1100

def normal_cdf(x):
    z = (x - mu)/sigma
    return 0.5*(1 + erf(z/sqrt(2)))

probability = normal_cdf(upper) - normal_cdf(lower)
print('z nedre =', (lower - mu)/sigma)
print('z øvre =', (upper - mu)/sigma)
print('P(900 < X < 1100) =', probability)
Fasit: \(0{,}5249\), altså omtrent \(52{,}5\%\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5cBinomisk fordeling

Oppgave 5c

Oppgave:

I en halvtime kommer 12 personer innom. 70 % kjøper noe. Bruk binomisk fordeling og finn sannsynligheten for 1) akkurat 9 kjøpere og 2) minst 9 kjøpere.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Definer modellen

\[X\sim\operatorname{Binomisk}\left(n=12,p=0{,}70\right)\]

Steg 2 - Akkurat 9 kjøpere

\[P(X=9)=\binom{12}{9}0{,}70^9\cdot0{,}30^3\approx0{,}2397\]

Steg 3 - Minst 9 kjøpere

\[P(X\ge9)=\sum_{k=9}^{12}\binom{12}{k}0{,}70^k0{,}30^{12-k}\]

Steg 4 - Regn ut summen

\[P(X\ge9)\approx0{,}4925\]

Tolkning

Det er omtrent 24,0 % sannsynlighet for akkurat 9 kjøpere og 49,3 % for minst 9.

Vanlig feil: Å tolke minst 9 som bare 9.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Binomial[12,0.7,9]
→ \(0.2397\)
2
Sum[Binomial[12,0.7,k],k,9,12]
→ \(0.4925\)

Kontroll (Python)

Python
from math import comb
n = 12
p = 0.70
q = 1 - p
exact_9 = comb(n, 9)*p**9*q**3
at_least_9 = sum(comb(n, k)*p**k*q**(n-k) for k in range(9, n+1))
print('Modell: X ~ Bin(n=12, p=0.70)')
print('P(X = 9) =', exact_9)
print('Bidrag for P(X >= 9):')
for k in range(9, n+1):
    probability = comb(n, k)*p**k*q**(n-k)
    print(f'P(X = {k}) = {probability:.10f}')
print('P(X >= 9) =', at_least_9)
Fasit: \(P(X=9)\approx0{,}2397\) og \(P(X\ge9)\approx0{,}4925\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5dHypotesetest

Oppgave 5d

Oppgave:

Etter en reklamekampanje kjøpte 47 av 60 besøkende noe. Bruk hypotesetesting og vurder om kampanjen har ført til økt salg. Signifikansnivå 5 %.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven presist, vise metoden steg for steg og kontrollere svaret digitalt.

Steg 1 - Sett opp hypoteser

\[H_0:p=0{,}70,\qquad H_1:p>0{,}70\]

Steg 2 - Bruk binomisk modell under nullhypotesen

\[X\sim\operatorname{Binomisk}\left(60,0{,}70\right)\]

Steg 3 - Finn p-verdien

\[P(X\ge47)=\sum_{k=47}^{60}\binom{60}{k}0{,}70^k0{,}30^{60-k}\approx0{,}100\]

Steg 4 - Sammenlign med signifikansnivået

\[0{,}100>0{,}05\]

Steg 5 - Trekk konklusjon

Vi forkaster ikke \(H_0\). Det er ikke nok statistisk grunnlag på 5 %-nivå til å si at kampanjen har økt salget.

Tolkning

Andelen 47 av 60 er høy, men ikke høy nok til å være signifikant på 5 %-nivå i denne testen.

Vanlig feil: Å konkludere med effekt bare fordi observert andel \(47/60\) er større enn 0,70, uten å gjøre testen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Sum[Binomial[60,0.7,k],k,47,60]
→ \(0.100\)

Kontroll (Python)

Python
from math import comb
n = 60
p0 = 0.70
observed = 47
p_value = sum(comb(n, k)*p0**k*(1-p0)**(n-k) for k in range(observed, n+1))
observed_share = observed/n
print('H0: p = 0.70')
print('H1: p > 0.70')
print('Observert andel:', observed_share)
print('p-verdi P(X >= 47) under H0:', p_value)
print('Signifikansnivå:', 0.05)
if p_value < 0.05:
    print('Konklusjon: Forkast H0')
else:
    print('Konklusjon: Forkast ikke H0')
Fasit: Ikke signifikant økning på 5 %-nivå; \(p\text{-verdi}\approx0{,}100\) (bekreftet digitalt).