Matematikk S2 H09 - komplett løsningsforslag

Fullstendig, originalt løsningsforslag med trinnvis regning, kontroll i Python og GeoGebra CAS-formuleringer. Formatet er laget for publisering i ifingo-stil med ren MathJax og nøytral kodevisning.

Del 1 og Del 2BokmålREA3028 S2

Kontrollprinsipp: Alle deloppgaver er skrevet med vanlige matematiske steg først, deretter digital kontroll. På oppgave 4 er både alternativ I og alternativ II løst, selv om eksamenskandidaten bare skulle velge ett alternativ.

Del 1

Oppgave 1a 1

Deriver $f(x)=x^3\ln x$.

Vis løsning

Bruk produktregelen: $(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$. Her er $u=x^3$ og $v=\ln x$.
Da er $u^\prime=3x^2$ og $v^\prime=\dfrac{1}{x}$.
$f^\prime(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\dfrac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2=x^2(3\ln x+1)$

Svar: $f^\prime(x)=x^2(3\ln x+1)$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
f = x**3 * sp.log(x)
derivert = sp.diff(f, x)
faktorisert = sp.factor(derivert)
print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", derivert)
print('faktorisert =', faktorisert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

DeriverDerivative[x^3 ln(x)]

FaktoriserFactor[%]

Oppgave 1a 2

Deriver $g(x)=3e^{2x}+e^{x^2}$.

Vis løsning

For det første leddet bruker vi kjerneregelen: $(3e^{2x})^\prime=3\cdot 2e^{2x}=6e^{2x}$.
For det andre leddet er kjernen $x^2$, derfor blir den deriverte $2xe^{x^2}$.
$g^\prime(x)=6e^{2x}+2xe^{x^2}$

Svar: $g^\prime(x)=6e^{2x}+2xe^{x^2}$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
g = 3*sp.exp(2*x) + sp.exp(x**2)
derivert = sp.diff(g, x)
print('g(x) =', g)
print("g'(x) =", derivert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

DeriverDerivative[3 exp(2x)+exp(x^2)]

Kontroller6 exp(2x)+2x exp(x^2)

Oppgave 1b

Aritmetisk rekke med $a_3=8$ og $a_8=23$. Bestem $a_1$, $d$ og $S_{50}$.

Vis løsning

I en aritmetisk følge er $a_n=a_1+(n-1)d$.
Vi får likningene $a_1+2d=8$ og $a_1+7d=23$. Trekker vi den første fra den andre, får vi $5d=15$, altså $d=3$.
Da er $a_1=8-2\cdot 3=2$.
$S_{50}=\dfrac{50}{2}(2a_1+49d)=25(4+147)=3775$

Svar: $a_1=2,\ d=3,\ S_{50}=3775$

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
n = 50
a1, d = symbols('a1 d')
losning = solve([Eq(a1 + 2*d, 8), Eq(a1 + 7*d, 23)], [a1, d])
S50 = n/2 * (2*losning[a1] + (n-1)*losning[d])
print('a1 =', losning[a1])
print('d =', losning[d])
print('S50 =', S50)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

LøsSolve[{a1+2d=8,a1+7d=23},{a1,d}]

Sum50/2*(2*a1+49*d)

Oppgave 1c

Løs likningen $\dfrac{6}{x^2-3x}+\dfrac{x-2}{x}=\dfrac{2}{x-3}$.

Vis løsning

Først setter vi betingelser: $x\ne 0$ og $x\ne 3$.
Faktoriser nevneren: $x^2-3x=x(x-3)$. Multipliser hele likningen med $x(x-3)$.
$\[6+(x-2)(x-3)=2x\]$
$6+x^2-5x+6=2x\quad\Rightarrow\quad x^2-7x+12=0$
$\[(x-3)(x-4)=0\]$
$x=3$ er ikke lov fordi nevneren blir null. Derfor står $x=4$ igjen.

Svar: $x=4$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
likning = sp.Eq(6/(x**2 - 3*x) + (x - 2)/x, 2/(x - 3))
kandidater = sp.solve(sp.together(likning.lhs - likning.rhs).as_numer_denom()[0], x)
gyldige = [verdi for verdi in kandidater if verdi not in (0, 3)]
print('kandidater =', kandidater)
print('gyldige løsninger =', gyldige)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

LøsSolve[6/(x^2-3x)+(x-2)/x=2/(x-3)]

Betingelsex != 0, x != 3

Oppgave 1d 1

Vis at $x=-1$ er nullpunkt for $f(x)=2x^3-10x^2+6x+18$ og faktoriser.

Vis løsning

Sett inn $x=-1$:
$\[f(-1)=2(-1)^3-10(-1)^2+6(-1)+18=-2-10-6+18=0\]$
Dermed er $(x+1)$ en faktor.
Polynomdivisjon gir $2x^3-10x^2+6x+18=(x+1)(2x^2-12x+18)$.
Faktoriser andregradsuttrykket:
$\[2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2\]$
$\[f(x)=2(x+1)(x-3)^2\]$

Svar: $f(x)=2(x+1)(x-3)^2$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = 2*x**3 - 10*x**2 + 6*x + 18
verdi_minus_1 = f.subs(x, -1)
faktorisert = sp.factor(f)
print('f(-1) =', verdi_minus_1)
print('faktorisert =', faktorisert)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Nullpunktf(-1)

FaktoriserFactor[2x^3-10x^2+6x+18]

Oppgave 1d 2

Løs ulikheten $f(x)\ge 0$ for $f(x)=2(x+1)(x-3)^2$.

Vis løsning

Faktoren $2$ er positiv, og $(x-3)^2\ge 0$ for alle $x$.
Uttrykket skifter derfor fortegn bare ved faktoren $x+1$.
Siden kvadratfaktoren bare berører x-aksen ved $x=3$, blir fortegnet bestemt av $x+1$.
$f(x)\ge 0\quad\Leftrightarrow\quad x+1\ge 0\quad\Leftrightarrow\quad x\ge -1$

Svar: $x\in[-1,\infty)$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', real=True)
f = 2*(x + 1)*(x - 3)**2
losning = sp.solve_univariate_inequality(f >= 0, x)
print('faktorisert f(x) =', f)
print('løsning av f(x) >= 0:', losning)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Fortegnslinje2(x+1)(x-3)^2 >= 0

Løsx >= -1

Oppgave 1e

Løs likningssettet $x+y-z=0$, $2x+y-z=2$, $4x+y-2z=1$.

Vis løsning

Trekk den første likningen fra den andre: $x=2$.
Sett $x=2$ inn i første likning: $2+y-z=0$, altså $z=y+2$.
Sett $x=2$ og $z=y+2$ inn i tredje likning:
$\[8+y-2(y+2)=1\]$
$8+y-2y-4=1\quad\Rightarrow\quad 4-y=1\quad\Rightarrow\quad y=3$
Da blir $z=5$.

Svar: $(x,y,z)=(2,3,5)$

Python-kontroll

import sympy as sp
x, y, z = sp.symbols('x y z')
likninger = [sp.Eq(x+y-z, 0), sp.Eq(2*x+y-z, 2), sp.Eq(4*x+y-2*z, 1)]
losning = sp.solve(likninger, [x, y, z], dict=True)[0]
print('løsning =', losning)
print('kontroll rad 1 =', (x+y-z).subs(losning))
print('kontroll rad 2 =', (2*x+y-z).subs(losning))
print('kontroll rad 3 =', (4*x+y-2*z).subs(losning))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

LøsSolve[{x+y-z=0,2x+y-z=2,4x+y-2z=1}]

KontrollSubstitute[{x=2,y=3,z=5}]

Oppgave 1f 1

For $f(x)=x^3-3x+6$: finn $f^\prime(x)$ og topp-/bunnpunkt.

Vis løsning

Deriver:
$f^\prime(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$
Kritiske punkter er $x=-1$ og $x=1$.
$\[f(-1)=(-1)^3-3(-1)+6=8\]$
$\[f(1)=1-3+6=4\]$
Andrederivert er $f^{\prime\prime}(x)=6x$. Ved $x=-1$ er den negativ, altså toppunkt. Ved $x=1$ er den positiv, altså bunnpunkt.

Svar: $f^\prime(x)=3x^2-3,\ toppunkt\ (-1,8),\ bunnpunkt\ (1,4)$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - 3*x + 6
fp = sp.diff(f, x)
fpp = sp.diff(fp, x)
kritiske = sp.solve(sp.Eq(fp, 0), x)
for punkt in kritiske:
    print('x =', punkt, 'f(x) =', f.subs(x, punkt), "f''(x) =", fpp.subs(x, punkt))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

DeriverDerivative[x^3-3x+6]

EkstremalpunktSolve[f'(x)=0]

Oppgave 1f 2

Bestem eventuelle vendepunkter for $f(x)=x^3-3x+6$.

Vis løsning

Vendepunkt finnes der andrederivert skifter fortegn.
$f^{\prime\prime}(x)=6x$
Likningen $6x=0$ gir $x=0$. Siden $6x$ går fra negativ til positiv, får vi vendepunkt.
$\[f(0)=6\]$

Svar: $Vendepunktet er\ (0,6)$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**3 - 3*x + 6
fpp = sp.diff(f, x, 2)
vende_x = sp.solve(sp.Eq(fpp, 0), x)[0]
print("f''(x) =", fpp)
print('vendepunkt x =', vende_x)
print('vendepunkt y =', f.subs(x, vende_x))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

AndrederivertDerivative[f,x,2]

VendepunktSolve[6x=0]

Oppgave 2a

Spesiell terning med tre toere, to treere og en sekser. Gi sannsynlighetsfordelingen til $X$.

Vis løsning

Det er seks like sannsynlige sider.
Tre sider viser 2, to sider viser 3 og en side viser 6.
$P(X=2)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2},\quad P(X=3)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3},\quad P(X=6)=\dfrac{1}{6}$

Svar: $P(X=2)=\dfrac12,\ P(X=3)=\dfrac13,\ P(X=6)=\dfrac16$

Python-kontroll

verdier = [2, 2, 2, 3, 3, 6]
fordeling = {x: verdier.count(x)/len(verdier) for x in sorted(set(verdier))}
print('fordeling for X:')
for x, p in fordeling.items():
    print('P(X =', x, ') =', p)
print('sum sannsynligheter =', sum(fordeling.values()))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Tabell{2:1/2, 3:1/3, 6:1/6}

Sum1

Oppgave 2b

Regn ut $E(X)$ og $\operatorname{Var}(X)$.

Vis løsning

Forventningsverdien:
$E(X)=2\cdot\dfrac12+3\cdot\dfrac13+6\cdot\dfrac16=1+1+1=3$
Deretter regner vi ut $E(X^2)$:
$E(X^2)=2^2\cdot\dfrac12+3^2\cdot\dfrac13+6^2\cdot\dfrac16=2+3+6=11$
$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2=11-3^2=2$

Svar: $E(X)=3,\ \operatorname{Var}(X)=2$

Python-kontroll

fordeling = {2: 1/2, 3: 1/3, 6: 1/6}
EX = sum(x*p for x, p in fordeling.items())
EX2 = sum(x**2*p for x, p in fordeling.items())
varX = EX2 - EX**2
print('E(X) =', EX)
print('E(X^2) =', EX2)
print('Var(X) =', varX)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

ForventningSum[x*P(X=x)]

VariansE(X^2)-E(X)^2

Oppgave 2c

To kast. $Y$ er summen av antall øyne. Bestem fordelingen til $Y$.

Vis løsning

Vi konvoluerer fordelingen til $X$ med seg selv.
Mulige summer er $4,5,6,8,9,12$.
$P(Y=4)=\dfrac14,\quad P(Y=5)=\dfrac13,\quad P(Y=6)=\dfrac19$
$P(Y=8)=\dfrac16,\quad P(Y=9)=\dfrac19,\quad P(Y=12)=\dfrac{1}{36}$
Kontroll: $\dfrac{9+12+4+6+4+1}{36}=1$.

Svar: $Y:4,5,6,8,9,12 med sannsynligheter \dfrac14,\dfrac13,\dfrac19,\dfrac16,\dfrac19,\dfrac1{36}$

Python-kontroll

from fractions import Fraction
fordeling_X = {2: Fraction(1, 2), 3: Fraction(1, 3), 6: Fraction(1, 6)}
fordeling_Y = {}
for x1, p1 in fordeling_X.items():
    for x2, p2 in fordeling_X.items():
        y = x1 + x2
        fordeling_Y[y] = fordeling_Y.get(y, Fraction(0, 1)) + p1*p2
for y in sorted(fordeling_Y):
    print('P(Y =', y, ') =', fordeling_Y[y])
print('sum =', sum(fordeling_Y.values()))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

CAS-tabellSequence[sum probabilities]

KontrollSum probabilities = 1

Oppgave 3a

Rekken har n-te ledd $a_n=\dfrac{2^{n-1}}{3^n}$. Skriv fire første ledd og vis at rekken er geometrisk.

Vis løsning

$a_1=\dfrac{2^0}{3^1}=\dfrac13,\quad a_2=\dfrac{2}{9},\quad a_3=\dfrac{4}{27},\quad a_4=\dfrac{8}{81}$
Kvotienten mellom to påfølgende ledd er
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^n/3^{n+1}}{2^{n-1}/3^n}=\dfrac{2}{3}$
Rekken er geometrisk med $a_1=\dfrac13$ og $k=\dfrac23$.

Svar: $a_1=\dfrac13,\ a_2=\dfrac29,\ a_3=\dfrac4{27},\ a_4=\dfrac8{81},\ k=\dfrac23$

Python-kontroll

from fractions import Fraction
ledd = [Fraction(2**(n-1), 3**n) for n in range(1, 5)]
kvotient = ledd[1] / ledd[0]
print('fire første ledd =', ledd)
print('kvotient =', kvotient)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

LeddSequence[2^(n-1)/3^n,n,1,4]

Kvotienta(n+1)/a(n)=2/3

Del 2

Oppgave 3b

Bestem hvor mange ledd som minst må tas med for at $S_n>0,999$.

Vis løsning

For en geometrisk rekke med $a_1=\dfrac13$ og $k=\dfrac23$ er
$S_n=\dfrac{a_1(1-k^n)}{1-k}=1-\left(\dfrac23\right)^n$
Vi krever
$1-\left(\dfrac23\right)^n>0,999$
$\left(\dfrac23\right)^n<0,001$
Logaritmer gir $n>\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(2/3)}\approx 17,04$. Minste hele tall er $18$.

Svar: $Minst\ 18\ ledd$

Python-kontroll

import math
n_grense = math.log(0.001) / math.log(2/3)
for n in range(1, 25):
    S_n = 1 - (2/3)**n
    print('n =', n, 'S_n =', round(S_n, 6))
    if S_n > 0.999:
        print('første n med S_n > 0.999 er', n)
        break
print('logaritmisk grense =', n_grense)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

SumformelS_n=1-(2/3)^n

Løsn > ln(0.001)/ln(2/3)

Oppgave 3c

Avgjør om rekken konvergerer, og finn eventuelt summen.

Vis løsning

En geometrisk rekke konvergerer når $|k|<1$. Her er $k=\dfrac23$.
Derfor konvergerer rekken.
$S=\dfrac{a_1}{1-k}=\dfrac{1/3}{1-2/3}=1$

Svar: $Rekken konvergerer og har sum\ 1$

Python-kontroll

from fractions import Fraction
a1 = Fraction(1, 3)
k = Fraction(2, 3)
sum_uendelig = a1 / (1 - k)
print('a1 =', a1)
print('k =', k)
print('abs(k) < 1:', abs(k) < 1)
print('uendelig sum =', sum_uendelig)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Konvergensabs(2/3)<1

Sum(1/3)/(1-2/3)

Oppgave 3d

Vurder medisinbehandlingen: daglig dose $0,33$ mg, kroppen bryter ned $33,3\,\%$ per døgn, faregrense $1,5$ mg.

Vis løsning

Når kroppen bryter ned omtrent $33,3\,\%$, blir omtrent $66,7\,\%$ igjen etter ett døgn.
Mengden i kroppen etter mange dager kan modelleres som en geometrisk rekke:
$0,33+0,33\cdot 0,667+0,33\cdot 0,667^2+\cdots$
Grenseverdien er omtrent
$S=\dfrac{0,33}{1-0,667}\approx 0,991$
Dette er under $1,5$ mg. Ut fra modellen ville behandlingen ikke overskride faregrensen.

Svar: $Ja, modellen gir en langtidsmengde på omtrent\ 0,99\ mg<1,5\ mg$

Python-kontroll

dose = 0.33
andel_igjen = 0.667
grense = 1.5
mengde = 0.0
for dag in range(1, 21):
    mengde = mengde*andel_igjen + dose
    print('dag', dag, 'mengde etter tablett =', round(mengde, 4), 'mg')
langtidsverdi = dose / (1 - andel_igjen)
print('langtidsverdi =', round(langtidsverdi, 4), 'mg')
print('under faregrensen:', langtidsverdi < grense)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Modelldose/(1-retention)

Sammenlikn0.991 < 1.5

Oppgave 4 Alternativ I a

Tegn grafene til $K_A(x)=0,3x^2+20x+1000$ og $I_A(x)=200x-x^2$. Finn grafisk størst overskudd.

Vis løsning

Overskuddet er vertikalavstanden mellom inntektsgrafen og kostnadsgrafen:
$\[O_A(x)=I_A(x)-K_A(x)=-1,3x^2+180x-1000\]$
Grafisk finner vi størst overskudd der denne avstanden er størst.
Toppunktet for overskuddsfunksjonen ligger ved
$x=\dfrac{-180}{2\cdot(-1,3)}=\dfrac{900}{13}\approx 69,2$
Altså bør bedriften produsere omtrent $69$ enheter.

Svar: $Omtrent\ 69\ enheter$

Python-kontroll

import numpy as np
xverdier = np.linspace(0, 150, 301)
KA = 0.3*xverdier**2 + 20*xverdier + 1000
IA = 200*xverdier - xverdier**2
O = IA - KA
indeks = np.argmax(O)
print('beste x på rutenett =', xverdier[indeks])
print('maks overskudd på rutenett =', O[indeks])
print('kostnad der =', KA[indeks])
print('inntekt der =', IA[indeks])

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

GrafKA(x), IA(x), 0 <= x <= 150

Maks avstandMax[IA-KA]

Oppgave 4 Alternativ I b

Finn grensekostnad og grenseinntekt. Bestem produksjonen som gir størst overskudd.

Vis løsning

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen:
$K_A^\prime(x)=0,6x+20$
Grenseinntekten er den deriverte av inntektsfunksjonen:
$I_A^\prime(x)=200-2x$
Størst overskudd får vi når $I_A^\prime(x)=K_A^\prime(x)$:
$\[200-2x=0,6x+20\]$
$180=2,6x\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{900}{13}\approx 69,2$

Svar: $K_A^\prime(x)=0,6x+20,\ I_A^\prime(x)=200-2x,\ x\\approx69,2$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
KA = sp.Rational(3, 10)*x**2 + 20*x + 1000
IA = 200*x - x**2
losning = sp.solve(sp.Eq(sp.diff(KA, x), sp.diff(IA, x)), x)[0]
O = IA - KA
print("K_A'(x) =", sp.diff(KA, x))
print("I_A'(x) =", sp.diff(IA, x))
print('x for størst overskudd =', losning, '=', float(losning))
print('maks overskudd =', float(O.subs(x, losning)))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

DeriverDerivative[KA], Derivative[IA]

LøsKA'(x)=IA'(x)

Oppgave 4 Alternativ I c

For vare B er etterspørselen $e(p)=1000-17p$ med $p\ge 50$. Finn inntekt og prisen som gir størst inntekt.

Vis løsning

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter:
$\[I_B(p)=p(1000-17p)=1000p-17p^2\]$
Parabelen har toppunkt ved $p=\dfrac{1000}{34}\approx29,4$, men dette er utenfor området $p\ge 50$.
For $p\ge 50$ avtar inntekten, og største inntekt i det aktuelle intervallet fås ved $p=50$.
$\[I_B(50)=50(1000-850)=7500\]$

Svar: $I_B(p)=1000p-17p^2,\ størst inntekt ved\ p=50,\ I_B=7500$

Python-kontroll

import sympy as sp
p = sp.symbols('p')
IB = p*(1000 - 17*p)
topp_unrestricted = sp.solve(sp.diff(IB, p), p)[0]
print('I_B(p) =', sp.expand(IB))
print('toppunkt uten prisbetingelse =', float(topp_unrestricted))
print('I_B(50) =', IB.subs(p, 50))
print('etterspørsel ved p=50 =', 1000 - 17*50)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Inntektp*(1000-17p)

Maks på p>=50p=50

Oppgave 4 Alternativ I d

Finn $K_B$ som funksjon av $p$ når $K_B(x)=800+10x+0,04x^2$ og $x=1000-17p$.

Vis løsning

Sett etterspørselen direkte inn i kostnadsfunksjonen:
$\[K_B(p)=800+10(1000-17p)+0,04(1000-17p)^2\]$
Utvidet form:
$\[K_B(p)=11,56p^2-1530p+50800\]$

Svar: $K_B(p)=800+10(1000-17p)+0,04(1000-17p)^2$

Python-kontroll

import sympy as sp
p = sp.symbols('p')
x = 1000 - 17*p
KB = 800 + 10*x + sp.Rational(4, 100)*x**2
print('K_B(p) ikke utvidet = 800 + 10*(1000 - 17*p) + 0.04*(1000 - 17*p)^2')
print('K_B(p) utvidet =', sp.expand(KB))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Sett innKB(1000-17p)

UtvidExpand[%]

Oppgave 4 Alternativ I e

Hvilken pris gir størst overskudd, og hvor stort er det maksimale overskuddet?

Vis løsning

Overskuddet er $O_B(p)=I_B(p)-K_B(p)$.
$O_B(p)=1000p-17p^2-\left(11,56p^2-1530p+50800\right)$
$\[O_B(p)=-28,56p^2+2530p-50800\]$
Toppunktet uten betingelsen $p\ge 50$ ligger ved $p\approx44,29$, men dette er ikke lov.
I intervallet $50\le p\le 1000/17$ er overskuddet avtakende fra $p=50$.
$\[O_B(50)=4300\]$

Svar: $Pris\ p=50\ kroner, maksimalt overskudd\ 4300\ kroner$

Python-kontroll

import sympy as sp
p = sp.symbols('p')
IB = 1000*p - 17*p**2
KB = 800 + 10*(1000 - 17*p) + sp.Rational(4, 100)*(1000 - 17*p)**2
OB = sp.expand(IB - KB)
kritisk = sp.solve(sp.diff(OB, p), p)[0]
print('O_B(p) =', OB)
print('kritisk pris uten betingelse =', float(kritisk))
print('O_B(50) =', OB.subs(p, 50))
print('O_B(1000/17) =', sp.simplify(OB.subs(p, sp.Rational(1000, 17))))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

OverskuddIB(p)-KB(p)

Maks i intervallp=50

Oppgave 4 Alternativ II a

Kostnaden er $K(x)=2000e^{x/400}$. Forklar enhetskostnaden ved $x=150$.

Vis løsning

Enhetskostnaden er $E(x)=\dfrac{K(x)}{x}$.
For $x=150$ får vi $E(150)=\dfrac{K(150)}{150}$.
Stigningstallet til linjen fra origo til punktet $(150,K(150))$ er
$\dfrac{K(150)-0}{150-0}=\dfrac{K(150)}{150}=E(150)$
Dermed er enhetskostnaden lik dette stigningstallet.

Svar: $E(150)=K(150)/150,\ lik stigningstallet fra origo til\ (150,K(150))$

Python-kontroll

import math
x = 150
K = 2000*math.exp(x/400)
E = K/x
print('K(150) =', round(K, 3))
print('E(150) = K(150)/150 =', round(E, 3))
print('stigningstall fra origo =', round((K - 0)/(x - 0), 3))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

GrafK(x)=2000 exp(x/400)

LinjeLine[(0,0),(150,K(150))]

Oppgave 4 Alternativ II b

Bestem grafisk produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad.

Vis løsning

Lavest enhetskostnad betyr lavest stigningstall fra origo til grafen.
Den beste linjen fra origo er tangent til grafen.
Tangensbetingelsen er $K^\prime(x)=\dfrac{K(x)}{x}$.
Siden $K^\prime(x)=5e^{x/400}$, får vi
$5e^{x/400}=\dfrac{2000e^{x/400}}{x}$
$5=\dfrac{2000}{x}\quad\Rightarrow\quad x=400$

Svar: $Lavest enhetskostnad ved\ x=400\ enheter$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
K = 2000*sp.exp(x/400)
betingelse = sp.Eq(sp.diff(K, x), K/x)
losning = sp.solve(betingelse, x)[0]
print("betingelse K'(x) = K(x)/x")
print('løsning x =', losning)
print('enhetskostnad =', float(K.subs(x, losning)/losning))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

TangentLine from origin tangent to K

LøsK'(x)=K(x)/x

Oppgave 4 Alternativ II c

Finn grensekostnaden og grensekostnaden ved $x=300$. Forklar.

Vis løsning

Grensekostnaden er den deriverte:
$K^\prime(x)=2000\cdot e^{x/400}\cdot\dfrac{1}{400}=5e^{x/400}$
Ved $x=300$:
$K^\prime(300)=5e^{300/400}=5e^{0,75}\approx10,59$
Det betyr at når produksjonen er rundt 300 enheter, øker kostnaden med omtrent $10,59$ kroner for én ekstra enhet.

Svar: $K^\prime(x)=5e^{x/400},\ K^\prime(300)\\approx10,59$

Python-kontroll

import math
x = 300
grensekostnad = 5*math.exp(x/400)
print("K'(x) = 5*exp(x/400)")
print("K'(300) =", round(grensekostnad, 4))
print('tolkning: omtrent', round(grensekostnad, 2), 'kr per ekstra enhet rundt x=300')

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

DeriverDerivative[2000 exp(x/400)]

VerdiK'(300)

Oppgave 4 Alternativ II d

Finn grafisk når enhetskostnaden er lik grensekostnaden.

Vis løsning

Vi bruker samme likning som i b:
$\dfrac{K(x)}{x}=K^\prime(x)$
$\dfrac{2000e^{x/400}}{x}=5e^{x/400}$
Del på $e^{x/400}$ og løs:
$\dfrac{2000}{x}=5\quad\Rightarrow\quad x=400$

Svar: $Ved\ x=400\ enheter$

Python-kontroll

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
K = 2000*sp.exp(x/400)
E = K/x
M = sp.diff(K, x)
losning = sp.solve(sp.Eq(E, M), x)[0]
print('E(x) = K(x)/x')
print("M(x) = K'(x)")
print('E(x)=M(x) ved x =', losning)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

SkjæringE(x)=K'(x)

Løsx=400

Oppgave 4 Alternativ II e

Inntekten er $I(x)=50x-0,05x^2$. Bestem overskuddet når enhetskostnaden er lik grensekostnaden.

Vis løsning

Fra d vet vi at dette skjer ved $x=400$.
Inntekten blir
$I(400)=50\cdot400-0,05\cdot400^2=20000-8000=12000$
Kostnaden blir
$K(400)=2000e^{400/400}=2000e\approx5436,56$
Overskuddet er
$O(400)=12000-2000e\approx6563,44$
Dette er positivt, altså gir produksjonen overskudd.

Svar: $Overskuddet er omtrent\ 6563\ kroner$

Python-kontroll

import math
x = 400
I = 50*x - 0.05*x**2
K = 2000*math.exp(x/400)
O = I - K
print('x =', x)
print('I(400) =', I)
print('K(400) =', round(K, 4))
print('overskudd =', round(O, 4))

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

BeregnI(400)-K(400)

Resultat12000-2000e

Oppgave 5

1500 personer ble spurt. 321 ville stemt på partiet. Ved forrige valg fikk partiet $19,8\,\%$. Vurder om partiet har hatt framgang.

Vis løsning

Utvalgsandelen er
$\hat p=\dfrac{321}{1500}=0,214=21,4\,\%$
Forrige valg ga $p_0=0,198$. Forskjellen i utvalget er $0,214-0,198=0,016$, altså $1,6$ prosentpoeng.
Vi tester om dette er større enn det tilfeldig variasjon normalt kan forklare. Under antakelsen $p=0,198$ er standardavviket til antall stemmer
$\sigma=\sqrt{1500\cdot0,198\cdot0,802}\approx15,43$
Forventet antall er $1500\cdot0,198=297$. Observasjonen er $321$, altså $24$ over forventet.
$z=\dfrac{321-297}{15,43}\approx1,56$
Dette er ikke stort nok til å konkludere sikkert med framgang på et vanlig $5\,\%$ nivå. Et 95 prosent konfidensintervall blir omtrent $[19,3\,\%,23,5\,\%]$, som inneholder $19,8\,\%$.
Det er altså en positiv tendens i målingen, men statistisk sett er det ikke sikkert at partiet faktisk har hatt framgang.

Svar: $Målingen tyder på framgang, men gir ikke sikker statistisk konklusjon på 5 prosent nivå$

Python-kontroll

import math
n = 1500
x = 321
p_hat = x/n
p0 = 0.198
forventet = n*p0
sigma_antall = math.sqrt(n*p0*(1-p0))
z = (x - forventet)/sigma_antall
se_hat = math.sqrt(p_hat*(1-p_hat)/n)
nedre = p_hat - 1.96*se_hat
ovre = p_hat + 1.96*se_hat
print('utvalgsandel =', round(p_hat, 4))
print('forventet antall ved p0 =', forventet)
print('standardavvik for antall =', round(sigma_antall, 4))
print('z-verdi =', round(z, 4))
print('95 prosent intervall =', (round(nedre, 4), round(ovre, 4)))
print('inneholder 0.198:', nedre <= p0 <= ovre)

GeoGebra CAS / grafisk kontroll

Testz=(321-297)/sqrt(1500*0.198*0.802)

IntervallOne proportion z interval

Matematikk S2 eksamen – høst 2009

Del 1

Oppgave 1a 1

Oppgave 1a 2

Oppgave 1b

Oppgave 1c

Oppgave 1d 1

Oppgave 1d 2

Oppgave 1e

Oppgave 1f 1

Oppgave 1f 2

Oppgave 2a

Oppgave 2b

Oppgave 2c

Oppgave 3a

Del 2

Oppgave 3b

Oppgave 3c

Oppgave 3d

Oppgave 4 Alternativ I a

Oppgave 4 Alternativ I b

Oppgave 4 Alternativ I c

Oppgave 4 Alternativ I d

Oppgave 4 Alternativ I e

Oppgave 4 Alternativ II a

Oppgave 4 Alternativ II b

Oppgave 4 Alternativ II c

Oppgave 4 Alternativ II d

Oppgave 4 Alternativ II e

Oppgave 5