Komplett, kontrollert og elevvennlig loesningsforslag. Alle deloppgaver er skrevet med trinnvis matematikk, CAS-/GeoGebra-steg og Python-kontroll som viser realistisk kjorestruktur.
Deriver \(f(x)=3x^3-2x+5\).
Vi deriverer ledd for ledd. Konstantleddet forsvinner, og potensregelen gir
from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
f = 3*x**3 - 2*x + 5
print('f(x) =', f)
print("f'(x) =", diff(f, x))Deriver \(g(x)=xe^{2x}\).
Bruk produktregelen \((uv)'=u'v+uv'\), med \(u=x\) og \(v=e^{2x}\).
from sympy import symbols, exp, diff, factor
x = symbols('x')
g = x*exp(2*x)
derivert = diff(g, x)
print('g(x) =', g)
print("g'(x) =", derivert)
print('faktorisert=', factor(derivert))Bestem \(h'(2)\) når \(h(x)=\dfrac{e^x}{x-1}\).
Vi bruker kvotientregelen.
from sympy import symbols, exp, diff, simplify
x = symbols('x')
h = exp(x)/(x - 1)
h_derivert = simplify(diff(h, x))
verdi = h_derivert.subs(x, 2)
print('h(x) =', h)
print("h'(x) =", h_derivert)
print("h'(2) =", verdi)Vis at \(P(3)=0\) for \(P(x)=2x^3-6x^2-8x+24\).
from sympy import symbols
x = symbols('x')
P = 2*x**3 - 6*x**2 - 8*x + 24
print('P(3) =', P.subs(x, 3))Faktoriser polynomet i førstegradsfaktorer.
Siden \(P(3)=0\), er \(x-3\) en faktor. Polynomdivisjon gir
from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
P = 2*x**3 - 6*x**2 - 8*x + 24
print('P(x) =', P)
print('faktorisert =', factor(P))Forkort \(\dfrac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}\).
Forkortingen gjelder for \(x\ne 2\) og \(x\ne -2\).
from sympy import symbols, cancel
x = symbols('x')
uttrykk = (2*x**3 - 6*x**2 - 8*x + 24)/(2*x**2 - 8)
print('uttrykk =', uttrykk)
print('forkortet =', cancel(uttrykk))Fyll ut tabellen og foreslaa en formel for delsummen.
Sumnene blir perfekte kubikktall:
Da er \(a_3=19\), \(a_4=37\), \(a_5=61\) og \(\sqrt[3]{S_n}=n\).
for n in range(1, 7):
a_n = 3*n**2 - 3*n + 1
S_n = n**3
print(f'n={n:>2} a_n={a_n:>3} S_n={S_n:>3} kubikkrot={n}')Forklar at \(a_n=S_n-S_{n-1}\) og vis formelen for \(a_n\).
Delsummen fram til og med ledd n minus delsummen fram til og med leddet foer gir akkurat ledd n.
from sympy import symbols, expand
n = symbols('n')
a_n = expand(n**3 - (n - 1)**3)
print('a_n = S_n - S_(n-1)')
print('a_n =', a_n)For \(f(x)=x^3-4x^2+4x\) paa \([-1,4]\), bestem nullpunkter og lokale topp- og bunnpunkter.
Nullpunktene er \(x=0\) og \(x=2\).
Dermed er kritiske punkter \(x=\dfrac{2}{3}\) og \(x=2\).
Fortegnsskifte i den deriverte viser toppunkt ved den foerste og bunnpunkt ved den andre.
from sympy import symbols, factor, diff, solve, Rational
x = symbols('x')
f = x**3 - 4*x**2 + 4*x
print('faktorisert f =', factor(f))
print("f'(x) =", factor(diff(f, x)))
for punkt in [0, 2, Rational(2, 3)]:
print('x =', punkt, ' f(x) =', f.subs(x, punkt))Tegn grafen til funksjonen.
Grafen gaar gjennom nullpunktene, har lokal topp ved \(x=\dfrac{2}{3}\) og lokal bunn ved \(x=2\). Endepunktene gir \(f(-1)=-9\) og \(f(4)=16\). Dette gir en presis skisse.
from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = x**3 - 4*x**2 + 4*x
for punkt in [-1, 0, 2/3, 2, 4]:
print(f'x={punkt:>5} f(x)={float(f.subs(x, punkt)):>8.4f}')Du faar vite at \(f(0)=300\), \(f'(10)=0\) og \(f''(10)=-10\). Tolk opplysningene.
\(f(0)=300\) betyr at vulkanen spruter ut omtrent 300 tonn lava per time ved starten. \(f'(10)=0\) betyr at utslippsraten har et stasjonært punkt etter 10 timer. Siden \(f''(10)<0\), er grafen konkav ned der, og utslippsraten har lokalt maksimum.
print('f(0)=300: startfarten er 300 tonn per time')
print("f'(10)=0: utslippsraten er stasjonær etter 10 timer")
print("f''(10)=-10<0: punktet er et lokalt maksimum")Forklar hvorfor vi kan sette \(K'(x)=I'(x)\) naar vi skal finne stoerst overskudd.
Overskuddet er inntekt minus kostnad:
Ved et indre maksimum maa den deriverte av overskuddet vaere null.
Altsaa er grenseinntekt lik grensekostnad ved optimal produksjon, dersom maksimum ligger inne i definisjonsmengden.
print('O(x)=I(x)-K(x)')
print("O'(x)=I'(x)-K'(x)")
print("Ved maksimum: O'(x)=0, altsaa I'(x)=K'(x)")\(X\sim N(100,15)\). Bestem \(P(X<95)\).
from statistics import NormalDist
X = NormalDist(mu=100, sigma=15)
sannsynlighet = X.cdf(95)
print('P(X < 95) =', round(sannsynlighet, 4))Finn minste IQ-poengsum for aa komme blant de 2 prosent hoeyeste.
Topp 2 prosent betyr at 98 prosent ligger under grensen.
Siden poengsummen maa vaere minst et helt tall, runder vi opp.
from statistics import NormalDist
Z = NormalDist()
X = NormalDist(mu=100, sigma=15)
z = Z.inv_cdf(0.98)
grense = X.inv_cdf(0.98)
print('z for 98 % =', round(z, 4))
print('IQ-grense =', round(grense, 4))
print('Minst helt poengtall =', 131)Bestem verdien til de tre mynttypene fra tabellen.
La \(x,y,z\) vaere verdiene i kroner for mynttype 1, 2 og 3. Tabellen gir
Loesning av systemet gir verdiene.
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, z = symbols('x y z')
likninger = [
Eq(3*x + 2*y + 4*z, 120),
Eq(2*x + 3*y + 2*z, 75),
Eq(2*x + 5*y + 3*z, 105),
]
print(solve(likninger, [x, y, z]))Forklar at rekken \(7+\dfrac{14}{9}+\dfrac{28}{81}+\dfrac{56}{729}+\cdots\) konvergerer, og finn summen.
Forholdet mellom to naboledd er \(\dfrac{2}{9}\). Siden \(\left|\dfrac{2}{9}\right|<1\), konvergerer rekken.
from fractions import Fraction
a1 = Fraction(7, 1)
k = Fraction(2, 9)
S = a1/(1-k)
print('forhold k =', k)
print('sum =', S)En ball slippes fra 10 m og spretter opp \(\dfrac{2}{3}\) av forrige hoeyde. Finn total tilbakelagt lengde.
Foerst faller ballen 10 m. Deretter gaar hver spretthoeyde baade opp og ned.
from fractions import Fraction
start = Fraction(10, 1)
k = Fraction(2, 3)
oppover_sum = start*k/(1-k)
total = start + 2*oppover_sum
print('sum av alle oppturer =', oppover_sum)
print('total lengde =', total, 'm')For \(f(x)=(x-1)e^x\) paa \([-3,2]\), finn skjaering med aksene.
Skjaering med y-aksen:
Skjaering med x-aksen krever \((x-1)e^x=0\). Siden \(e^x\ne 0\), maa \(x=1\).
from sympy import symbols, exp, solve
x = symbols('x')
f = (x - 1)*exp(x)
print('f(0) =', f.subs(x, 0))
print('nullpunkt:', solve(f, x))Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.
Siden \(e^x>0\), bestemmes fortegnet av \(x\). Dermed skifter \(f'(x)\) fra negativ til positiv ved \(x=0\).
from sympy import symbols, exp, diff, solve
x = symbols('x')
f = (x - 1)*exp(x)
fp = diff(f, x)
print("f'(x) =", fp)
print('kritiske punkter:', solve(fp, x))
print('f(0)=', f.subs(x, 0))Bestem koordinatene til punktet der grafen synker raskest.
Grafen synker raskest der den deriverte har lavest verdi. Vi studerer derfor \(f'(x)=xe^x\).
from sympy import symbols, exp, diff, solve, simplify
x = symbols('x')
f = (x - 1)*exp(x)
fp = diff(f, x)
fpp = diff(fp, x)
punkt_x = solve(fpp, x)[0]
punkt_y = simplify(f.subs(x, punkt_x))
print("f'(x) =", fp)
print("f''(x) =", fpp)
print('x-verdi =', punkt_x)
print('punkt =', (punkt_x, punkt_y))Bruk CAS til aa bestemme \(n\) og \(m\) naar \(1729=1^3+n^3\) og \(1729=m^3+(m+1)^3\).
Da er \(1729=1^3+12^3=9^3+10^3\).
from sympy import symbols, Eq, solve
n, m = symbols('n m')
print('n-loesning:', solve(Eq(1729, 1**3 + n**3), n))
print('m-loesning:', solve(Eq(1729, m**3 + (m + 1)**3), m))
print('kontroll :', 1**3 + 12**3, 9**3 + 10**3)Bruk CAS til aa finne de tre kubikktallene naar et kubikktall er summen av tre paafoelgende kubikktall.
Vi loeser \(k^3+(k+1)^3+(k+2)^3=6^3\) fordi teksten sier at kubikktallet er \(6^3\).
Dermed er de tre kubikktallene \(3^3\), \(4^3\) og \(5^3\).
from sympy import symbols, Eq, solve
k = symbols('k')
likning = Eq(k**3 + (k + 1)**3 + (k + 2)**3, 6**3)
print('loesninger:', solve(likning, k))
print('kubikktall:', 3**3, 4**3, 5**3)
print('sum:', 3**3 + 4**3 + 5**3)Bruk \(f''(x)\) til aa bestemme naar Oljefondet har stoerst vekst for \(f(x)=\dfrac{3236}{1+38,1e^{-0,3763x}}\).
For en logistisk funksjon skjer stoerst vekst i vendepunktet, der andrederivert er null.
Dette er omtrent 9,67 aar etter 1996, altsaa i 2005 til 2006.
from sympy import symbols, exp, diff, nsolve
x = symbols('x')
f = 3236/(1 + 38.1*exp(-0.3763*x))
fp = diff(f, x)
fpp = diff(fp, x)
x0 = nsolve(fpp, 10)
print('x ved vendepunkt =', round(float(x0), 4))
print('aar etter 1996 =', round(float(x0), 4))
print('fondet da =', round(float(f.subs(x, x0)), 1))
print('vekst da =', round(float(fp.subs(x, x0)), 1))Enhetskostnaden er \(E(x)=0,15x+7+\dfrac{2000}{x}\), og salgsprisen er 55 kr. Finn \(K(x)\) og \(I(x)\).
Totalkostnaden er antall enheter ganger enhetskostnaden.
from sympy import symbols, expand
x = symbols('x')
E = 0.15*x + 7 + 2000/x
K = expand(x*E)
I = 55*x
print('K(x)=', K)
print('I(x)=', I)Finn produksjonsmengder som gir overskudd, og mengden som gir stoerst overskudd.
Overskudd krever \(O(x)>0\). Nullpunktene blir omtrent
Siden parabelen vender nedover, er overskuddet positivt mellom nullpunktene. Toppunktet ligger ved
from sympy import symbols, solve, diff
x = symbols('x')
O = -0.15*x**2 + 48*x - 2000
nullpunkter = solve(O, x)
optimal_x = solve(diff(O, x), x)[0]
print('O(x)=', O)
print('nullpunkter:', [round(float(v), 4) for v in nullpunkter])
print('optimal x:', optimal_x)
print('maks overskudd:', O.subs(x, optimal_x))Tegn grafen til \(D(x)=120-100e^{-0,35x}+80e^{-0,09x}\).
Grafen starter ved \(D(0)=100\), oeker foerst og flater etter hvert ut mot \(120\) deltakere. Den skal tegnes for aktuelle uker etter oppstart.
from math import exp
def D(x):
return 120 - 100*exp(-0.35*x) + 80*exp(-0.09*x)
for uke in [0, 5, 10, 20, 40, 52]:
print(f'uke={uke:>2} D(uke)={D(uke):>8.2f}')Bestem \(\int_0^{20}D(x)\,dx\) og forklar hva svaret betyr.
Siden D(x) er antall deltakere per uke, forteller integralet omtrentlig samlet antall deltakerbesoek i de 20 foerste ukene.
from sympy import symbols, exp, integrate, N
x = symbols('x')
D = 120 - 100*exp(-0.35*x) + 80*exp(-0.09*x)
verdi = integrate(D, (x, 0, 20))
print('integral eksakt uttrykk =', verdi)
print('integral numerisk =', round(float(N(verdi)), 2))Kroppsvekten er normalfordelt med \(\mu=79,2\) og \(\sigma=6,4\). Finn andelen mellom 75,0 kg og 85,0 kg.
from statistics import NormalDist
X = NormalDist(mu=79.2, sigma=6.4)
andel = X.cdf(85.0) - X.cdf(75.0)
print('P(75 < X < 85) =', round(andel, 4))
print('andel i prosent =', round(100*andel, 2))Sett opp hypoteser og test om gjennomsnittsvekten har gaatt ned. Bruk 5 prosent signifikansnivaa.
Vi bruker venstresidig z-test med kjent standardavvik.
Vi forkaster nullhypotesen. Det er grunnlag for aa hevde at gjennomsnittsvekten har gaatt ned.
from statistics import NormalDist
from math import sqrt
mu0 = 79.2
xbar = 76.0
sigma = 6.4
n = 30
z = (xbar - mu0)/(sigma/sqrt(n))
p_verdi = NormalDist().cdf(z)
print('z-verdi =', round(z, 4))
print('p-verdi =', round(p_verdi, 5))
print('forkast H0:', p_verdi < 0.05)Kontantpris er 20 000 kr, eller 729 kr per maaned i 36 maaneder. Finn maanedsrente og aarsrente.
Naa verdien av annuiteten settes lik kontantprisen.
Loest numerisk gir
from sympy import symbols, nsolve
r = symbols('r')
likning = 729*(1 - (1+r)**(-36))/r - 20000
maanedsrente = nsolve(likning, 0.015)
aarsrente = (1 + maanedsrente)**12 - 1
print('maanedsrente =', round(float(maanedsrente), 6))
print('maanedsrente prosent =', round(100*float(maanedsrente), 3))
print('aarsrente prosent =', round(100*float(aarsrente), 2))