S2 eksamenHøst 2022

Matematikk S2 eksamen – høst 2022

ifingo
Norsk (Bokmål)

ifingo - Matematikk S2

Matematikk S2 Eksempelsett H22 – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Oppgavene er transkribert fra Udir-PDF-en, og løsningene har trinnvis regning, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll der det passer.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1aIntegrasjon

Regn ut bestemt integral

Oppgave:

Regn ut integralet \(\displaystyle \int_{0}^{1}\left(4x^2+3\right)\,dx\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Del opp integralet

Vi bruker at integralet av en sum er summen av integralene.

\[\int_{0}^{1}\left(4x^2+3\right)\,dx=\int_{0}^{1}4x^2\,dx+\int_{0}^{1}3\,dx\]

Steg 2 — Integrer første ledd

Potensregelen gir at \(\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}{3}\).

\[\int 4x^2\,dx=\dfrac{4x^3}{3}\]

Steg 3 — Integrer konstantleddet

Integral av en konstant er konstanten multiplisert med \(x\).

\[\int 3\,dx=3x\]

Steg 4 — Sett sammen antiderivert

\[F(x)=\dfrac{4x^3}{3}+3x\]

Steg 5 — Sett inn grensene

\[\left[\dfrac{4x^3}{3}+3x\right]_{0}^{1}=\left(\dfrac{4}{3}+3\right)-0\]

Steg 6 — Forenkle svaret

\[\dfrac{4}{3}+3=\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{13}{3}\]

Tolkning

Integralverdien er arealet under grafen til \(4x^2+3\) fra \(x=0\) til \(x=1\).

Vanlig feil: Å skrive \(4x^3\) i stedet for \(\dfrac{4x^3}{3}\) når man integrerer \(4x^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Integral(4x^2+3,0,1)
→ \(\dfrac{13}{3}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, integrate
x = symbols("x")
print(integrate(4*x**2 + 3, (x, 0, 1)))
Fasit: \(\dfrac{13}{3}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 1bIntegrasjon og substitusjon

Regn ut ubestemt integral

Oppgave:

Regn ut integralet \(\displaystyle \int 4x\sqrt{x^2+2}\,dx\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Velg substitusjon

Kjernen under kvadratroten er \(x^2+2\), og den deriverte av denne kjernen er \(2x\). Derfor passer substitusjon.

\[u=x^2+2\]

Steg 2 — Deriver substitusjonen

\[du=2x\,dx\]

Steg 3 — Tilpass faktoren

I integralet står \(4x\,dx\), og dette er \(2\cdot 2x\,dx\).

\[4x\,dx=2\,du\]

Steg 4 — Skriv integralet i \(u\)

\[\int 4x\sqrt{x^2+2}\,dx=2\int u^{1/2}\,du\]

Steg 5 — Integrer med potensregelen

\[2\int u^{1/2}\,du=2\cdot \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{4}{3}u^{3/2}+C\]

Steg 6 — Sett tilbake

\[\dfrac{4}{3}u^{3/2}+C=\dfrac{4}{3}\left(x^2+2\right)^{3/2}+C\]

Tolkning

Substitusjonen virker fordi faktoren foran kvadratroten er proporsjonal med den deriverte av uttrykket under roten.

Vanlig feil: Å miste faktoren \(2\) når \(4x\,dx\) skrives om til \(2\,du\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Integral(4x*sqrt(x^2+2),x)
→ \(\dfrac{4}{3}\left(x^2+2\right)^{3/2}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, sqrt, integrate
x = symbols("x")
print(integrate(4*x*sqrt(x**2 + 2), x))
Fasit: \(\dfrac{4}{3}\left(x^2+2\right)^{3/2}+C\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2aFølger og rekker

Forklar aritmetisk rekke

Oppgave:

Forklar hva det vil si at en rekke \(a_1+a_2+\cdots+a_n\) er aritmetisk.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Forklar følgen bak rekken

En rekke er summen av leddene i en følge. Derfor ser vi først på følgen \(a_1,a_2,\ldots,a_n\).

Steg 2 — Fast differanse

Rekken er aritmetisk når leddene som summeres kommer fra en aritmetisk følge. Det betyr at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant.

\[a_{i+1}-a_i=d\]

Steg 3 — Leddformel

Når differansen er konstant, kan hvert ledd skrives som

\[a_n=a_1+\left(n-1\right)d\]

Steg 4 — Sumformel

Summen av de \(n\) første leddene kan skrives som

\[S_n=\dfrac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}\]

Steg 5 — Begrunn formelen

Formelen kommer av at første og siste ledd, andre og nest siste ledd, og så videre, får samme sum.

Tolkning

Aritmetisk betyr altså jevn økning eller jevn reduksjon fra ett ledd til det neste.

Vanlig feil: Å blande aritmetisk rekke med geometrisk rekke. Aritmetisk bruker fast differanse, geometrisk bruker fast kvotient.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
a(n):=a1+(n-1)d
→ \(a_n=a_1+\left(n-1\right)d\)

Kontroll (Python)

Python

def aritmetisk_folge(a):
    d = a[1] - a[0]
    return all(a[i+1] - a[i] == d for i in range(len(a)-1))
print(aritmetisk_folge([1, 3, 5, 7]))
Fasit: En aritmetisk rekke er summen av ledd fra en følge med konstant differanse \(d\). (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 2bAritmetiske rekker

Murstein i 20 rader

Oppgave:

En murer skal lage en mur slik figuren viser. Bruk teorien om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Les mønsteret

Figuren viser en mur der øverste rad har \(1\) murstein, neste rad har \(3\), deretter \(5\), og slik fortsetter det. Antallet øker med \(2\) for hver rad.

Steg 2 — Identifiser aritmetisk følge

\[a_1=1,\qquad d=2,\qquad n=20\]

Steg 3 — Finn nederste rad

\[a_{20}=a_1+\left(20-1\right)d=1+19\cdot 2=39\]

Steg 4 — Sett opp sumformelen

Totalt antall murstein er summen av radene.

\[S_{20}=\dfrac{20\left(a_1+a_{20}\right)}{2}\]

Steg 5 — Regn summen

\[S_{20}=\dfrac{20\left(1+39\right)}{2}=10\cdot 40=400\]

Steg 6 — Kontroller med kjent sum

Summen av de \(20\) første oddetallene er \(20^2\), altså \(400\).

Tolkning

Mureren trenger \(400\) murstein hvis mønsteret fortsetter som vist i figuren.

Vanlig feil: Å anta at radene er \(1,2,3,\ldots,20\) i stedet for oddetallene \(1,3,5,\ldots,39\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Sum[2n-1,n,1,20]
→ \(400\)

Kontroll (Python)

Python

print(sum(2*n - 1 for n in range(1, 21)))
Fasit: \(400\) murstein (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 3Geometriske rekker

Uendelig geometrisk rekke

Oppgave:

En uendelig geometrisk rekke \(b_1+b_2+b_3+b_4+\cdots\) konvergerer mot \(6\). Summen av de tre første leddene er \(\dfrac{38}{9}\). Bestem summen av de fire første leddene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Skriv total sum

For en uendelig geometrisk rekke er

\[S_\infty=\dfrac{b_1}{1-k}=6\]

Steg 2 — Bruk formelen for tre første ledd

\[S_3=b_1\left(1+k+k^2\right)=\dfrac{38}{9}\]

Steg 3 — Skriv \(S_3\) ved hjelp av \(S_\infty\)

Siden \(\dfrac{b_1}{1-k}=6\), får vi

\[S_3=6\left(1-k^3\right)\]

Steg 4 — Finn kvotienten

\[6\left(1-k^3\right)=\dfrac{38}{9}\quad\Rightarrow\quad 1-k^3=\dfrac{19}{27}\quad\Rightarrow\quad k^3=\dfrac{8}{27}\]

Steg 5 — Ta tredjerot

\[k=\dfrac{2}{3}\]

Steg 6 — Finn fjerde ledd

Første ledd er \(b_1=6\left(1-\dfrac{2}{3}\right)=2\).

\[b_4=b_1k^3=2\cdot \dfrac{8}{27}=\dfrac{16}{27}\]

Steg 7 — Legg til fjerde ledd

\[S_4=S_3+b_4=\dfrac{38}{9}+\dfrac{16}{27}=\dfrac{130}{27}\]

Tolkning

Summen av fire ledd er litt større enn summen av tre ledd, men fortsatt mindre enn grenseverdien \(6\).

Vanlig feil: Å bruke \(S_3=\dfrac{b_1\left(1-k^3\right)}{1-k}\) uten å koble dette til \(S_\infty=6\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Løs(6*(1-k^3)=38/9,k)
→ \(k=\dfrac{2}{3}\)
2
2*(1-(2/3)^4)/(1-2/3)
→ \(\dfrac{130}{27}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import Rational
k = Rational(2, 3)
b1 = 2
S4 = b1*(1-k**4)/(1-k)
print(S4)
Fasit: \(S_4=\dfrac{130}{27}\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4aSannsynlighetsfordeling

Forventningsverdi

Oppgave:

En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen: \(x=0,1,2,3\) og \(P(X=x)=0{,}2,k,2k,5k\). Forklar hvorfor \(k\) må være \(0{,}1\). Bestem forventningsverdien \(E(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Bruk at sannsynlighetene summerer til 1

\[0{,}2+k+2k+5k=1\]

Steg 2 — Samle \(k\)-leddene

\[0{,}2+8k=1\]

Steg 3 — Løs for \(k\)

\[8k=0{,}8\quad\Rightarrow\quad k=0{,}1\]

Steg 4 — Skriv sannsynlighetene

\[P(X=0)=0{,}2,\quad P(X=1)=0{,}1,\quad P(X=2)=0{,}2,\quad P(X=3)=0{,}5\]

Steg 5 — Bruk forventningsverdiformelen

\[E(X)=\sum x\cdot P(X=x)\]

Steg 6 — Regn ut

\[E(X)=0\cdot 0{,}2+1\cdot 0{,}1+2\cdot 0{,}2+3\cdot 0{,}5=2\]

Tolkning

Forventningsverdien er \(2\), altså det langsiktige gjennomsnittet dersom forsøket gjentas mange ganger.

Vanlig feil: Å glemme sannsynligheten \(0{,}2\) når man setter opp sumlikningen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
0.2+k+2k+5k=1
→ \(k=0{,}1\)
2
0*0.2+1*0.1+2*0.2+3*0.5
→ \(2\)

Kontroll (Python)

Python

xs=[0,1,2,3]
ps=[0.2,0.1,0.2,0.5]
print(sum(x*p for x,p in zip(xs,ps)))
Fasit: \(k=0{,}1\) og \(E(X)=2\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 4bSannsynlighet

Varians

Oppgave:

Bestem variansen \(\operatorname{Var}(X)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Bruk variansformelen

\[\operatorname{Var}(X)=E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2\]

Steg 2 — Bruk forventningsverdien fra del a

\[E(X)=2\]

Steg 3 — Finn \(E\left(X^2\right)\)

\[E\left(X^2\right)=0^2\cdot 0{,}2+1^2\cdot 0{,}1+2^2\cdot 0{,}2+3^2\cdot 0{,}5\]

Steg 4 — Regn ut \(E\left(X^2\right)\)

\[E\left(X^2\right)=0+0{,}1+0{,}8+4{,}5=5{,}4\]

Steg 5 — Sett inn i variansformelen

\[\operatorname{Var}(X)=5{,}4-2^2=5{,}4-4=1{,}4\]

Steg 6 — Kontroller positivitet

Variansen må være ikke-negativ. \(1{,}4>0\), så svaret er rimelig.

Tolkning

Variansen måler spredningen rundt forventningsverdien \(2\).

Vanlig feil: Å regne \(E\left(X^2\right)\) som \(\left(E(X)\right)^2\). Dette er ikke det samme.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
0^2*0.2+1^2*0.1+2^2*0.2+3^2*0.5-2^2
→ \(1{,}4\)

Kontroll (Python)

Python

xs=[0,1,2,3]
ps=[0.2,0.1,0.2,0.5]
EX=sum(x*p for x,p in zip(xs,ps))
EX2=sum(x*x*p for x,p in zip(xs,ps))
print(EX2-EX**2)
Fasit: \(\operatorname{Var}(X)=1{,}4\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5aNormalfordeling

Bestem \(\mu\) og \(\sigma\)

Oppgave:

I en gruppe elever er høyden tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi \(\mu\) og standardavvik \(\sigma\). I denne fordelingen er \(15{,}9\) prosent av elevene lavere enn \(173\) cm og \(15{,}9\) prosent av elevene er høyere enn \(183\) cm. Bestem \(\mu\) og \(\sigma\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Bruk symmetri

Normalfordelingen er symmetrisk om forventningsverdien \(\mu\). Siden like store andeler ligger utenfor på hver side, ligger \(\mu\) midt mellom \(173\) og \(183\).

Steg 2 — Finn forventningsverdien

\[\mu=\dfrac{173+183}{2}=178\]

Steg 3 — Koble \(15{,}9\,\%\) til standard normalfordeling

I standard normalfordeling er \(P(Z<-1)pprox 0{,}159\). Derfor ligger \(173\) omtrent ett standardavvik under \(\mu\).

Steg 4 — Finn standardavviket

\[\sigma=178-173=5\]

Steg 5 — Kontroller høyre side

\[183-178=5\]

Steg 6 — Konkluder

Begge opplysningene passer med \(\mu=178\) og \(\sigma=5\).

Tolkning

Omtrent \(68\,\%\) av elevene vil ligge mellom \(173\) cm og \(183\) cm.

Vanlig feil: Å sette \(\mu=173\) eller \(\mu=183\) i stedet for midtpunktet mellom dem.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Mean({173,183})
→ \(178\)
2
(183-173)/2
→ \(5\)

Kontroll (Python)

Python

print((173+183)/2, (183-173)/2)
Fasit: \(\mu=178\) cm og \(\sigma=5\) cm (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 5bNormalfordeling

Andel høyere enn 180 cm

Oppgave:

Hvor stor andel av elevene er høyere enn \(180\) cm?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Bruk \(\mu\) og \(\sigma\)

\[\mu=178,\qquad \sigma=5\]

Steg 2 — Standardiser \(180\)

\[z=\dfrac{180-178}{5}=0{,}4\]

Steg 3 — Sett opp sannsynligheten

\[P(X>180)=P(Z>0{,}4)\]

Steg 4 — Bruk standard normalfordeling

Fra tabell får vi \(P(Z\le 0{,}4)pprox 0{,}6554\).

Steg 5 — Finn halen

\[P(Z>0{,}4)=1-0{,}6554=0{,}3446\]

Steg 6 — Skriv som prosent

\[0{,}3446\approx 34{,}5\,\%\]

Tolkning

Omtrent én av tre elever er høyere enn \(180\) cm i modellen.

Vanlig feil: Å svare \(0{,}6554\), som er andelen lavere enn \(180\) cm.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
1-Normal(178,5,180)
→ \(0{,}3446\)

Kontroll (Python)

Python

from statistics import NormalDist
N=NormalDist(mu=178, sigma=5)
print(1-N.cdf(180))
Fasit: Omtrent \(34{,}5\,\%\) (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 6Derivasjon og økonomi

Hvorfor grensekostnad lik grenseinntekt?

Oppgave:

Forklar hvorfor vi kan sette grensekostnad lik grenseinntekt når vi skal finne det største overskuddet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Definer overskudd

Overskudd er inntekt minus kostnad.

\[O(x)=I(x)-K(x)\]

Steg 2 — Deriver overskuddet

\[O^{\prime}(x)=I^{\prime}(x)-K^{\prime}(x)\]

Steg 3 — Tolk de deriverte

\(I^{\prime}(x)\) er grenseinntekt, og \(K^{\prime}(x)\) er grensekostnad.

Steg 4 — Bruk nødvendig vilkår for maksimum

Dersom størst overskudd ligger i et indre punkt, må den deriverte være null.

\[O^{\prime}(x)=0\]

Steg 5 — Sett inn uttrykket for \(O^{\prime}\)

\[I^{\prime}(x)-K^{\prime}(x)=0\]

Steg 6 — Omformuler

\[I^{\prime}(x)=K^{\prime}(x)\]

Steg 7 — Husk kontroll av maksimum

Etterpå må vi kontrollere at punktet faktisk gir maksimum, for eksempel med fortegnslinje, andrederivert eller sammenligning med endepunkter.

Tolkning

Ved maksimalt overskudd er ekstra inntekt fra én enhet lik ekstra kostnad ved å produsere én enhet.

Vanlig feil: Å tro at størst overskudd alltid finnes ved \(I(x)=K(x)\). Det gir null overskudd, ikke størst overskudd.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
O(x):=I(x)-K(x)
→ \(O^{\prime}(x)=I^{\prime}(x)-K^{\prime}(x)\)
2
Løs(O'(x)=0)
→ \(I^{\prime}(x)=K^{\prime}(x)\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, diff
x = symbols("x")
I = x**2 + 10*x
K = 3*x**2
O = I - K
print(diff(O, x))
print(diff(I, x), diff(K, x))
Fasit: Vi setter \(I^{\prime}(x)=K^{\prime}(x)\) fordi \(O^{\prime}(x)=0\) ved et indre maksimum for \(O(x)=I(x)-K(x)\). (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 7aProgrammering og integrasjon

Forklar programkode

Oppgave:

En elev har skrevet kode som setter \(a=0\), \(b=2\), \(n=10000\), definerer \(f(x)=x^2+2\), setter \(h=\dfrac{b-a}{n}\), og summerer \(f(a+i\cdot h)\cdot h\) for \(i=0,1,\ldots,n-1\). Forklar hva eleven ønsker å regne ut.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Se på intervallet

Koden bruker \(a=0\) og \(b=2\). Derfor arbeider den på intervallet \([0,2]\).

Steg 2 — Se på funksjonen

Funksjonen i koden er

\[f(x)=x^2+2\]

Steg 3 — Tolk \(h\)

\(h\) er bredden på hvert rektangel i en numerisk sum.

\[h=\dfrac{2-0}{10000}\]

Steg 4 — Tolk løkken

Løkken summerer arealet av mange smale rektangler med høyde \(f(a+i h)\) og bredde \(h\).

Steg 5 — Identifiser metoden

Dette er en venstresum som tilnærmer et bestemt integral.

Steg 6 — Skriv integralet

\[\int_{0}^{2}\left(x^2+2\right)\,dx\]

Tolkning

Eleven ønsker å finne arealet under grafen til \(f(x)=x^2+2\) fra \(0\) til \(2\).

Vanlig feil: Å tro at programmet løser en likning. Det gjør det ikke; det tilnærmer et integral.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Sum((a+i*h)^2+2)*h
→ Venstresum for \(\int_0^2\left(x^2+2\right)\,dx\)

Kontroll (Python)

Python

a=0
b=2
n=10000
h=(b-a)/n
def f(x):
    return x**2+2
I=sum(f(a+i*h)*h for i in range(n))
print(round(I,3))
Fasit: Programmet tilnærmer \(\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x^2+2\right)\,dx\) med en venstresum. (bekreftet digitalt).
Del 1 - Oppgave 7bIntegrasjon

Eksakt verdi av integral

Oppgave:

Hva blir det eksakte svaret på oppgaven eleven ønsker å løse?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Sett opp integralet

\[I=\int_{0}^{2}\left(x^2+2\right)\,dx\]

Steg 2 — Del integralet

\[I=\int_{0}^{2}x^2\,dx+\int_{0}^{2}2\,dx\]

Steg 3 — Integrer

\[\int \left(x^2+2\right)\,dx=\dfrac{x^3}{3}+2x\]

Steg 4 — Sett inn grensene

\[I=\left[\dfrac{x^3}{3}+2x\right]_{0}^{2}\]

Steg 5 — Regn ut

\[I=\left(\dfrac{8}{3}+4\right)-0=\dfrac{8}{3}+\dfrac{12}{3}=\dfrac{20}{3}\]

Steg 6 — Sammenlign med programmet

Programmet skriver omtrent \(6{,}667\), som stemmer med \(\dfrac{20}{3}\).

Tolkning

Det eksakte arealet er \(\dfrac{20}{3}\), mens programmet gir en numerisk tilnærming.

Vanlig feil: Å svare med avrundingen \(6{,}667\) når oppgaven ber om eksakt svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Integral(x^2+2,0,2)
→ \(\dfrac{20}{3}\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, integrate
x=symbols("x")
print(integrate(x**2+2, (x,0,2)))
Fasit: \(\dfrac{20}{3}\) (bekreftet digitalt).

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1aRegresjon og modellering

Logistisk modell for Oljefondet

Oppgave:

Tabellen viser markedsverdien til Statens pensjonsfond utland for årene 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020 og 2021. Markedsverdiene er \(386,1016,2275,3816,7510,10914,12340\) milliarder kroner. Lag en logistisk funksjon \(g\) som gir oss en god modell for markedsverdien \(x\) år etter 2000.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Definer variabelen

La \(x\) være antall år etter 2000. Da får vi datapunktene \((0,386),(4,1016),\ldots,(21,12340)\).

Steg 2 — Velg logistisk modell

En logistisk modell kan skrives som

\[g(x)=\dfrac{L}{1+a e^{-bx}}\]

Steg 3 — Bruk regresjon

Vi legger punktene inn i GeoGebra eller Python og kjører logistisk regresjon.

Steg 4 — En mulig modell

\[g(x)=\dfrac{20267}{1+42{,}35e^{-0{,}1978x}}\]

Steg 5 — Kontroller modellverdier

Modellen gir omtrent \(g(21)=12167\), nær tabellverdien \(12340\).

Steg 6 — Vurder modell

Modellen er ikke eksakt, men følger hovedtrekket i datasettet og har en øvre grense.

Tolkning

Ifølge modellen nærmer fondet seg en metningsverdi på omtrent \(20267\) milliarder kroner.

Vanlig feil: Å bruke årstallet \(2000,2004,\ldots\) direkte i stedet for \(x=0,4,\ldots\). Det gir ofte dårligere og mindre tolkbare parametere.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
RegLogist({(0,386),(4,1016),(8,2275),(12,3816),(16,7510),(20,10914),(21,12340)})
→ \(g(x)=\dfrac{20267}{1+42{,}35e^{-0{,}1978x}}\)

Kontroll (Python)

Python

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
x=np.array([0,4,8,12,16,20,21],float)
y=np.array([386,1016,2275,3816,7510,10914,12340],float)
def g(x,L,a,b):
    return L/(1+a*np.exp(-b*x))
print(curve_fit(g,x,y,p0=[20000,40,0.2],maxfev=100000)[0])
Fasit: En mulig modell er \(g(x)=\dfrac{20267}{1+42{,}35e^{-0{,}1978x}}\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 1bLogistisk modellering

Vil modellen passere 20 000?

Oppgave:

Vil markedsverdien noen gang bli mer enn \(20\,000\) milliarder kroner ifølge modellen \(g\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Bruk øvre grense i modellen

I en logistisk modell er \(L\) den horisontale asymptoten.

Steg 2 — Les av \(L\)

\[L\approx 20267\]

Steg 3 — Sammenlign med \(20\,000\)

\[20267>20000\]

Steg 4 — Konkluder prinsippielt

Siden asymptoten ligger over \(20\,000\), kan modellen passere \(20\,000\).

Steg 5 — Finn omtrent når

Vi kan løse \(g(x)=20000\) digitalt.

Steg 6 — Digital løsning

\[g(x)=20000\quad\Rightarrow\quad x\approx 45\]

Tolkning

Dette tilsvarer omtrent år \(2000+45=2045\).

Vanlig feil: Å svare nei fordi logistiske funksjoner stagnerer. Den stagnerer først nær \(20267\), som er høyere enn \(20000\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Løs(g(x)=20000,x)
→ \(x\approx 45\)

Kontroll (Python)

Python

from math import log
L=20266.9905; a=42.3476709; b=0.197755959
x=-log((L/20000-1)/a)/b
print(x, 2000+x)
Fasit: Ja, modellen passerer \(20\,000\) milliarder kroner, omtrent rundt år \(2045\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 1cLogistisk modell

Raskest vekst

Oppgave:

I hvilket år vokste markedsverdien raskest ifølge modellen \(g\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Bruk logistisk teori

En logistisk funksjon vokser raskest i vendepunktet.

Steg 2 — Vendepunkt for modellen

For \(g(x)=\dfrac{L}{1+ae^{-bx}}\) ligger vendepunktet ved

\[x=\dfrac{\ln a}{b}\]

Steg 3 — Sett inn parametere

\[x=\dfrac{\ln(42{,}35)}{0{,}1978}\]

Steg 4 — Regn ut

\[x\approx 18{,}94\]

Steg 5 — Oversett til år

\[2000+18{,}94\approx 2019\]

Steg 6 — Kontroller med grafen

Grafen er brattest rundt vendepunktet, altså rundt \(2019\).

Tolkning

Ifølge modellen var årlig vekst størst omtrent i \(2019\).

Vanlig feil: Å velge året med størst tabelløkning uten å bruke den logistiske modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
ln(42.35)/0.1978
→ \(18{,}94\)
2
2000+18.94
→ \(2018{,}94\)

Kontroll (Python)

Python

from math import log
a=42.3476709; b=0.197755959
print(log(a)/b, 2000+log(a)/b)
Fasit: Omtrent i år \(2019\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 1dRegresjon og modellkritikk

Alternativ modell

Oppgave:

En politiker mener en logistisk modell ikke er realistisk, siden det er rimelig å anta at verdien av fondet ikke vil stagnere i framtiden. Foreslå en annen modell \(h\) som du mener kan være rimelig å bruke for verdien av fondet, dersom antagelsen til politikeren legges til grunn.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Tolke kritikken

Kritikken gjelder at logistisk modell har en øvre grense. Vi bør derfor velge en modell uten horisontal asymptote.

Steg 2 — Velg eksponentiell modell

En eksponentiell modell passer godt når veksten kan være prosentvis over tid.

\[h(x)=A\cdot B^x\]

Steg 3 — Kjør eksponentiell regresjon

Med datapunktene fra tabellen får vi en modell omtrent

\[h(x)=504{,}0\cdot 1{,}1732^x\]

Steg 4 — Begrunn valget

Denne modellen stagnerer ikke, og passer derfor bedre med antagelsen om at fondet ikke har en fast øvre grense.

Steg 5 — Vurder svakhet

Svakheten er at eksponentiell vekst på lang sikt kan bli svært høy og derfor også kan være urealistisk.

Steg 6 — Bruk modellen med forbehold

Modellen kan være rimelig for en begrenset framtidsperiode, men ikke nødvendigvis for svært mange tiår.

Tolkning

Modellvalg skal begrunnes både matematisk og med situasjonen som modelleres.

Vanlig feil: Å foreslå en annen logistisk modell. Den har fortsatt stagnasjon og svarer ikke på kritikken.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
RegEksp(data)
→ \(h(x)=504{,}0\cdot 1{,}1732^x\)

Kontroll (Python)

Python

import numpy as np
x=np.array([0,4,8,12,16,20,21],float)
y=np.array([386,1016,2275,3816,7510,10914,12340],float)
b,loga=np.polyfit(x,np.log(y),1)
A=np.exp(loga); B=np.exp(b)
print(A,B)
Fasit: Et mulig forslag er \(h(x)=504{,}0\cdot 1{,}1732^x\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 1eDerivasjon og modellering

Sammenlikn vekstfart i 2023

Oppgave:

Hvor mye raskere vil verdien av fondet øke per år i \(2023\) ifølge modellen \(h\) sammenliknet med modellen \(g\)?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Finn riktig \(x\)-verdi

År \(2023\) betyr \(x=23\), siden \(x\) er år etter \(2000\).

Steg 2 — Deriver logistisk modell

Vi bruker digital derivasjon eller formelen for den deriverte av logistisk modell.

Steg 3 — Beregn \(g^{\prime}(23)\)

\[g^{\prime}(23)\approx 857\]

Steg 4 — Deriver eksponentiell modell

For \(h(x)=504{,}0e^{0{,}15975x}\) er

\[h^{\prime}(x)=0{,}15975\cdot h(x)\]

Steg 5 — Beregn \(h^{\prime}(23)\)

\[h^{\prime}(23)\approx 3174\]

Steg 6 — Finn forskjellen

\[h^{\prime}(23)-g^{\prime}(23)\approx 3174-857=2317\]

Steg 7 — Enhet

Enheten er milliarder kroner per år.

Tolkning

Ifølge den eksponentielle modellen vokser fondet omtrent \(2300\) milliarder kroner per år raskere i \(2023\) enn ifølge den logistiske modellen.

Vanlig feil: Å sammenlikne \(h(23)\) og \(g(23)\) i stedet for de deriverte \(h^{\prime}(23)\) og \(g^{\prime}(23)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
g'(23)
→ \(857\)
2
h'(23)
→ \(3174\)
3
h'(23)-g'(23)
→ \(2317\)

Kontroll (Python)

Python

import math
L=20266.9905; a=42.3476709; b=0.197755959
gp=L*a*b*math.exp(-b*23)/(1+a*math.exp(-b*23))**2
A=504.0390053; c=0.1597528081
hp=c*A*math.exp(c*23)
print(gp, hp, hp-gp)
Fasit: Omtrent \(2317\) milliarder kroner per år raskere. (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2aKontinuerlig sannsynlighet

Finn konstant i tetthetsfunksjon

Oppgave:

Levetiden \(T\) til en lyspære har tetthetsfunksjon \(f(t)=k e^{-0{,}005t}\) for \(t>0\), og \(f(t)=0\) for \(t\le 0\). Vis at \(k=0{,}005\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Bruk kravet til tetthet

Arealet under en tetthetsfunksjon må være \(1\).

Steg 2 — Sett opp integralet

\[\int_{0}^{\infty} k e^{-0{,}005t}\,dt=1\]

Steg 3 — Integrer eksponentialfunksjonen

\[\int_{0}^{\infty} e^{-0{,}005t}\,dt=\dfrac{1}{0{,}005}\]

Steg 4 — Sett inn

\[k\cdot \dfrac{1}{0{,}005}=1\]

Steg 5 — Løs for \(k\)

\[k=0{,}005\]

Steg 6 — Kontroller enhet

Siden \(t\) måles i timer, har \(k\) enhet per time.

Tolkning

Konstanten normaliserer tettheten slik at total sannsynlighet blir \(1\).

Vanlig feil: Å integrere fra \(-\infty\) selv om tettheten er \(0\) for \(t\le 0\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Integral(k*e^(-0.005t),0,∞)=1
→ \(k=0{,}005\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, integrate, exp, oo, solve
t,k=symbols("t k", positive=True)
print(solve(integrate(k*exp(-0.005*t),(t,0,oo))-1,k))
Fasit: \(k=0{,}005\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2bKontinuerlig sannsynlighet

Levetid mer enn 400 timer

Oppgave:

Hva er sannsynligheten for at lyspærens levetid er mer enn \(400\) timer?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Sett opp halen

\[P(T>400)=\int_{400}^{\infty}0{,}005e^{-0{,}005t}\,dt\]

Steg 2 — Bruk eksponentialfordeling

For denne fordelingen er overlevelsessannsynligheten

\[P(T>t)=e^{-0{,}005t}\]

Steg 3 — Sett inn \(t=400\)

\[P(T>400)=e^{-0{,}005\cdot 400}=e^{-2}\]

Steg 4 — Regn desimalverdi

\[e^{-2}\approx 0{,}1353\]

Steg 5 — Skriv som prosent

\[0{,}1353\approx 13{,}5\,\%\]

Steg 6 — Rimelighetskontroll

Sannsynligheten er under \(50\,\%\), noe som passer fordi forventet levetid senere viser seg å være \(200\) timer.

Tolkning

Omtrent \(13{,}5\,\%\) av lyspærene varer mer enn \(400\) timer.

Vanlig feil: Å regne \(P(T<400)\) i stedet for \(P(T>400)\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
1-Integral(0.005e^(-0.005t),0,400)
→ \(e^{-2}\approx 0{,}1353\)

Kontroll (Python)

Python

import math
print(math.exp(-2))
Fasit: \(e^{-2}\approx 0{,}135\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 2cKontinuerlig stokastisk variabel

Forventningsverdi

Oppgave:

Forventningsverdien \(\mu\) til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjon \(f\) er gitt ved \(\mu=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)\,dx\). Bestem forventningsverdien til \(T\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Bruk at tettheten er null for \(t\le 0\)

\[E(T)=\int_{0}^{\infty}t\cdot 0{,}005e^{-0{,}005t}\,dt\]

Steg 2 — Gjenkjenn eksponentialfordeling

Tettheten har formen \(\lambda e^{-\lambda t}\), der \(\lambda=0{,}005\).

Steg 3 — Bruk kjent forventning

\[E(T)=\dfrac{1}{\lambda}\]

Steg 4 — Sett inn \(\lambda=0{,}005\)

\[E(T)=\dfrac{1}{0{,}005}=200\]

Steg 5 — Kontroller med CAS

Direkte integrasjon gir samme verdi.

Steg 6 — Enhet

Siden \(T\) er målt i timer, er forventningsverdien \(200\) timer.

Tolkning

I gjennomsnitt varer denne typen lyspære \(200\) timer ifølge modellen.

Vanlig feil: Å svare \(0{,}005\), som er rateparameteren, ikke forventningsverdien.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Integral(t*0.005e^(-0.005t),0,∞)
→ \(200\)

Kontroll (Python)

Python

from sympy import symbols, integrate, exp, oo
t=symbols("t", positive=True)
print(integrate(t*0.005*exp(-0.005*t),(t,0,oo)))
Fasit: \(E(T)=200\) timer (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 3Hypotesetest og binomisk sannsynlighet

Mistanke om terninger

Oppgave:

Sigrid har to terninger som hun syntes mistenkelig ofte gir seksere. Hun kastet dem \(100\) ganger og fikk at begge terningene gav seksere \(7\) ganger. Bruk hypotesetesting og sannsynlighet til å avgjøre om Sigrid kan ha grunn til mistanken. Synliggjør forutsetningene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Formuler forutsetninger

Vi antar at kastene er uavhengige, og at rettferdige terninger gir sekser med sannsynlighet \(\dfrac{1}{6}\) på hver terning.

Steg 2 — Sannsynlighet ved rettferdige terninger

\[p=P(\text{begge seksere})=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}\]

Steg 3 — Definer stokastisk variabel

La \(X\) være antall ganger begge terningene viser sekser i \(100\) kast. Under nullhypotesen er

\[X\sim \operatorname{Bin}\left(100,\dfrac{1}{36}\right)\]

Steg 4 — Hypoteser

\[H_0:p=\dfrac{1}{36},\qquad H_1:p>\dfrac{1}{36}\]

Steg 5 — P-verdi

Sigrid observerte \(7\) eller flere. P-verdien blir

\[P(X\ge 7)\]

Steg 6 — Beregn digitalt

\[P(X\ge 7)\approx 0{,}0217\]

Steg 7 — Konklusjon på \(5\,\%\)-nivå

Siden \(0{,}0217<0{,}05\), er resultatet uvanlig dersom terningene er rettferdige. Sigrid kan derfor ha grunn til mistanken.

Tolkning

Dette beviser ikke at terningene er jukset med, men gir statistisk grunnlag for mistanke under forutsetningene.

Vanlig feil: Å bruke \(p=\dfrac{1}{6}\) i stedet for \(p=\dfrac{1}{36}\), fordi hendelsen er at begge terningene gir sekser.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
1-BinomiskFordeling(100,1/36,6,true)
→ \(0{,}0217\)

Kontroll (Python)

Python

from math import comb
p=1/36
prob=sum(comb(100,k)*p**k*(1-p)**(100-k) for k in range(7,101))
print(prob)
Fasit: Ja, på \(5\,\%\)-nivå kan Sigrid ha grunn til mistanken, fordi \(P(X\ge 7)\approx 0{,}0217\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 4Finansmatematikk

Avbetaling og rente

Oppgave:

Bjarne skal kjøpe et hjemmekinoanlegg. Anlegget koster \(20\,000\) kroner. Han velger avbetaling og betaler \(729\) kroner per måned i \(36\) måneder. Første innbetaling er én måned etter kjøpsdatoen. Bestem renten per måned for avbetalingstilbudet. Hva er årsrenten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Bruk nåverdi av annuitet

Kjøpsprisen er nåverdien av de \(36\) månedlige betalingene.

Steg 2 — Sett opp likning

\[20000=729\cdot \dfrac{1-\left(1+r\right)^{-36}}{r}\]

Steg 3 — Forklar ukjent

Her er \(r\) månedsrenten som desimaltall.

Steg 4 — Løs digitalt

Likningen kan ikke løses pent for hånd, så vi bruker CAS eller numerisk løsning.

Steg 5 — Månedsrente

\[r\approx 0{,}01549\]

Steg 6 — Skriv som prosent

\[0{,}01549\approx 1{,}55\,\%\]

Steg 7 — Effektiv årsrente

\[\left(1+r\right)^{12}-1\approx \left(1{,}01549\right)^{12}-1\approx 0{,}2026\]

Steg 8 — Tolk årsrenten

Effektiv årsrente er derfor omtrent \(20{,}3\,\%\).

Vanlig feil: Å gange månedsrenten med \(12\) og kalle det årsrente uten å presisere at det da er nominell rente. Effektiv årsrente bruker rentes rente.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
Løs(20000=729*(1-(1+r)^(-36))/r,r)
→ \(r\approx 0{,}01549\)
2
(1+r)^12-1
→ \(0{,}2026\)

Kontroll (Python)

Python

import mpmath as mp
f=lambda r: 729*(1-(1+r)**(-36))/r-20000
r=mp.findroot(f, 0.015)
print(r, (1+r)**12-1)
Fasit: Månedsrenten er omtrent \(1{,}55\,\%\), og effektiv årsrente er omtrent \(20{,}3\,\%\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5aFølger og rekursjon

Hanois tårn med tre disker

Oppgave:

I spillet Hanois tårn kaller vi det minste antallet forflytninger for å flytte \(n\) disker for \(F(n)\). Bestem \(F(3)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Start med én disk

For én disk trengs én flytting.

\[F(1)=1\]

Steg 2 — To disker

For to disker må vi flytte øverste disk bort, flytte nederste disk, og flytte øverste disk tilbake.

\[F(2)=3\]

Steg 3 — Tre disker

For tre disker flytter vi først to disker til hjelpepinnen. Det tar \(F(2)=3\) flyttinger.

Steg 4 — Flytt største disk

Deretter flyttes den største disken én gang.

Steg 5 — Flytt to disker oppå

Til slutt flyttes de to små diskene over på den største. Det tar igjen \(F(2)=3\) flyttinger.

Steg 6 — Regn totalen

\[F(3)=3+1+3=7\]

Tolkning

Det minste antallet flyttinger for tre disker er \(7\).

Vanlig feil: Å prøve å telle en tilfeldig flyttestrategi. Oppgaven spør om minste antall flyttinger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
2^3-1
→ \(7\)

Kontroll (Python)

Python

def F(n):
    return 2**n - 1
print(F(3))
Fasit: \(F(3)=7\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5bRekursjon

Rekursiv sammenheng

Oppgave:

Det er en rekursiv sammenheng mellom \(F(n)\) og \(F(n-1)\). Bestem den rekursive sammenhengen. Bruk denne til å bestemme \(F(10)\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Flytt \(n-1\) disker først

For å flytte \(n\) disker må vi først flytte de \(n-1\) øverste diskene til en hjelpepinn. Det krever \(F(n-1)\) flyttinger.

Steg 2 — Flytt største disk

Deretter flyttes den største disken én gang.

Steg 3 — Flytt \(n-1\) disker tilbake

Til slutt må de \(n-1\) diskene flyttes oppå den største disken. Det krever igjen \(F(n-1)\) flyttinger.

Steg 4 — Sett opp rekursjonen

\[F(n)=F(n-1)+1+F(n-1)=2F(n-1)+1\]

Steg 5 — Startverdi

\[F(1)=1\]

Steg 6 — Beregn oppover

Ved gjentatt bruk får vi \(F(10)=1023\).

Tolkning

Antallet flyttinger omtrent dobles hver gang vi legger til én ny disk.

Vanlig feil: Å skrive \(F(n)=F(n-1)+1\). Man må flytte \(n-1\) disker både før og etter den største disken.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
F(n):=2F(n-1)+1, F(1)=1
→ \(F(10)=1023\)

Kontroll (Python)

Python

F=1
for n in range(2,11):
    F=2*F+1
print(F)
Fasit: \(F(n)=2F(n-1)+1\), \(F(1)=1\), og \(F(10)=1023\). (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 5cFølger og rekker

Eksplisitt formel

Oppgave:

Det finnes også en eksplisitt formel for \(F\). Undersøk og finn denne formelen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Skriv noen verdier

\[F(1)=1,\quad F(2)=3,\quad F(3)=7,\quad F(4)=15\]

Steg 2 — Se mønsteret

Verdiene er én mindre enn toerpotenser:

\[1=2^1-1,\quad 3=2^2-1,\quad 7=2^3-1,\quad 15=2^4-1\]

Steg 3 — Foreslå formel

\[F(n)=2^n-1\]

Steg 4 — Kontroller i rekursjonen

Hvis \(F(n-1)=2^{n-1}-1\), så blir

\[2F(n-1)+1=2\left(2^{n-1}-1\right)+1=2^n-1\]

Steg 5 — Kontroller startverdien

\[F(1)=2^1-1=1\]

Steg 6 — Konkluder

Formelen stemmer både med startverdien og den rekursive sammenhengen.

Tolkning

Hanois tårn vokser eksponentielt: én ekstra disk krever omtrent dobbelt så mange flyttinger.

Vanlig feil: Å skrive \(2n-1\), som er lineær vekst. Her er veksten eksponentiell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
2^n-1
→ \(F(n)=2^n-1\)

Kontroll (Python)

Python

for n in range(1,6):
    print(n, 2**n - 1)
Fasit: \(F(n)=2^n-1\) (bekreftet digitalt).
Del 2 - Oppgave 6Normalfordeling og simulering

Simulere høyde over 175 cm

Oppgave:

På en skole er det \(323\) jenter og \(301\) gutter. La \(X\) være høyden til en tilfeldig valgt jente og \(Y\) være høyden til en tilfeldig valgt gutt. Vi antar at \(X\) og \(Y\) er normalfordelte med \(\mu_X=168\) cm, \(\mu_Y=180\) cm, \(\sigma_X=6\) cm og \(\sigma_Y=8\) cm. Lag et program som du kan bruke til å simulere sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er høyere enn \(175\) cm. Bestem denne sannsynligheten.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først identifisere hvilken matematisk modell som passer, deretter regne trinnvis og kontrollere svaret digitalt der det er relevant.

Steg 1 — Velg elevtype tilfeldig

Sannsynligheten for å velge en jente er \(\dfrac{323}{624}\), og sannsynligheten for å velge en gutt er \(\dfrac{301}{624}\).

Steg 2 — Simuler høyde

Hvis eleven er jente, trekkes høyden fra \(N(168,6)\). Hvis eleven er gutt, trekkes høyden fra \(N(180,8)\).

Steg 3 — Tell over grensen

For hver simulering teller vi om høyden er større enn \(175\) cm.

Steg 4 — Estimer sannsynlighet

Sannsynligheten estimeres som antall elever over \(175\) cm delt på antall simuleringer.

Steg 5 — Eksakt modelluttrykk

Vi kan også regne sannsynligheten med total sannsynlighet:

\[P=\dfrac{323}{624}P(X>175)+\dfrac{301}{624}P(Y>175)\]

Steg 6 — Beregn delene

\[P(X>175)\approx 0{,}1217,\qquad P(Y>175)\approx 0{,}7340\]

Steg 7 — Kombiner

\[P\approx \dfrac{323}{624}\cdot 0{,}1217+\dfrac{301}{624}\cdot 0{,}7340\approx 0{,}417\]

Tolkning

Omtrent \(41{,}7\,\%\) av elevene er høyere enn \(175\) cm i modellen.

Vanlig feil: Å regne gjennomsnittet av jenters og gutters sannsynlighet uten å vekte med antall jenter og gutter.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra CAS
1
323/624*(1-Normal(168,6,175))+301/624*(1-Normal(180,8,175))
→ \(0{,}417\)

Kontroll (Python)

Python

from random import random, gauss
N=200000
count=0
for _ in range(N):
    if random() < 323/624:
        h=gauss(168,6)
    else:
        h=gauss(180,8)
    if h > 175:
        count += 1
print(count/N)

from statistics import NormalDist
p=(323/624)*(1-NormalDist(168,6).cdf(175))+(301/624)*(1-NormalDist(180,8).cdf(175))
print(p)
Fasit: Omtrent \(0{,}417\), altså \(41{,}7\,\%\). (bekreftet digitalt).