Vi bruker potensreglene systematisk.

Telleren blir derfor

\[8a^3b^{-3}\cdot a^{-2}b^2=8ab^{-1}\]

Så deler vi på nevneren:

\[\frac{8ab^{-1}}{4a^2b^{-3}}=2a^{-1}b^2=\frac{2b^2}{a}\]

from sympy import symbols, simplify

a, b = symbols("a b", nonzero=True)
uttrykk = ((2*a*b**(-1))**3 * (a**2*b**(-2))**(-1)) / (4*a**2*b**(-3))
forenklet = simplify(uttrykk)

print("Opprinnelig uttrykk:", uttrykk)
print("Forenklet uttrykk:", forenklet)
print("Kontroll ved a=3, b=5:", uttrykk.subs({a:3,b:5}), forenklet.subs({a:3,b:5}))

# Utskrift:
# Opprinnelig uttrykk: 2*b**2/a
# Forenklet uttrykk: 2*b**2/a
# Kontroll ved a=3, b=5: 50/3 50/3

Her er \(f\) et produkt av \(x\) og \(\ln x\). Produktregelen gir

\[f'(x)=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1\]

Definisjonsmengden er \(x>0\), fordi \(\ln x\) bare er definert for positive \(x\)-verdier.

from sympy import symbols, log, diff, simplify

x = symbols("x", positive=True)
f = x*log(x)
derivert = simplify(diff(f, x))

print("f(x) =", f)
print("f'(x) =", derivert)
print("f'(2) =", derivert.subs(x, 2))

# Utskrift:
# f(x) = x*log(x)
# f'(x) = log(x) + 1
# f'(2) = 1 + log(2)

Vi faktoriserer teller og nevner.

\[x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\] \[x^2-4=(x-2)(x+2)\]

For \(x\ne 2\) kan faktoren \(x-2\) forkortes:

\[\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{x^2+2x+4}{x+2}\]

Da kan vi sette inn \(x=2\):

\[\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}=\frac{2^2+2\cdot2+4}{2+2}=\frac{12}{4}=3\]

from sympy import symbols, limit, factor, simplify

x = symbols("x")
uttrykk = (x**3 - 8)/(x**2 - 4)

print("Faktorisert teller:", factor(x**3 - 8))
print("Faktorisert nevner:", factor(x**2 - 4))
print("Forkortet uttrykk:", simplify(uttrykk))
print("Grenseverdi:", limit(uttrykk, x, 2))

# Utskrift:
# Faktorisert teller: (x - 2)*(x**2 + 2*x + 4)
# Faktorisert nevner: (x - 2)*(x + 2)
# Forkortet uttrykk: (x**2 + 2*x + 4)/(x + 2)
# Grenseverdi: 3

Vi bruker hypergeometrisk sannsynlighet. Totalt antall måter å trekke tre kuler fra sju på er

\[\binom{7}{3}=35\]

Vi vil ha to svarte fra tre svarte og én hvit fra fire hvite:

\[\binom{3}{2}\binom{4}{1}=3\cdot 4=12\]

Dermed blir sannsynligheten

\[P=\frac{12}{35}\approx 0{,}343\]

from math import comb

gunstige = comb(3, 2) * comb(4, 1)
mulige = comb(7, 3)
sannsynlighet = gunstige / mulige

print("Gunstige trekk:", gunstige)
print("Mulige trekk:", mulige)
print("Sannsynlighet som brøk:", f"{gunstige}/{mulige}")
print("Sannsynlighet som desimaltall:", round(sannsynlighet, 6))

# Utskrift:
# Gunstige trekk: 12
# Mulige trekk: 35
# Sannsynlighet som brøk: 12/35
# Sannsynlighet som desimaltall: 0.342857

«Minst to hvite» betyr enten to hvite eller tre hvite.

\[P=\frac{\binom{4}{2}\binom{3}{1}+\binom{4}{3}\binom{3}{0}}{\binom{7}{3}}\] \[P=\frac{6\cdot3+4\cdot1}{35}=\frac{22}{35}\approx 0{,}629\]

from math import comb

to_hvite = comb(4, 2) * comb(3, 1)
tre_hvite = comb(4, 3) * comb(3, 0)
mulige = comb(7, 3)

print("To hvite og én svart:", to_hvite)
print("Tre hvite:", tre_hvite)
print("Gunstige til sammen:", to_hvite + tre_hvite)
print("Sannsynlighet:", (to_hvite + tre_hvite) / mulige)

# Utskrift:
# To hvite og én svart: 18
# Tre hvite: 4
# Gunstige til sammen: 22
# Sannsynlighet: 0.6285714285714286

Differansekvotienten er en numerisk tilnærming til den deriverte \(K'(x)\), altså marginalkostnaden.

\[K'(x)=0{,}4x+140\]

Vi finner når marginalkostnaden er omtrent \(260\):

\[0{,}4x+140=260\] \[0{,}4x=120\] \[x=300\]

Siden programmet øker \(x\) helt til differansekvotienten ikke lenger er mindre enn 260, blir utskriften \(300\).

For bedriften betyr dette at marginalkostnaden passerer 260 kroner per ekstra enhet ved omtrent 300 produserte enheter per uke.

def K(x):
    return 0.2*x**2 + 140*x + 7000

v = 260
h = 0.0001
x = 0

while (K(x + h) - K(x))/h < v:
    x = x + 1

print("x =", x)
print("Differansekvotient ved x = 299:", (K(299 + h) - K(299))/h)
print("Differansekvotient ved x = 300:", (K(300 + h) - K(300))/h)
print("Eksakt marginalkostnad K'(300):", 0.4*300 + 140)

# Utskrift:
# x = 300
# Differansekvotient ved x = 299: 259.60002...
# Differansekvotient ved x = 300: 260.00002...
# Eksakt marginalkostnad K'(300): 260.0

Fra 2008 til 2022 er det 14 år. Vi bruker vekstfaktor \(v\):

\[272{,}55\cdot v^{14}=340{,}10\] \[v=\left(\frac{340{,}10}{272{,}55}\right)^{1/14}\approx 1{,}01594\]

Den gjennomsnittlige årlige prosentvise veksten er derfor

\[(1{,}01594-1)\cdot100\,\%\approx 1{,}59\,\%\]

start = 272.55
slutt = 340.10
antall_aar = 2022 - 2008

vekstfaktor = (slutt/start)**(1/antall_aar)
prosentvekst = (vekstfaktor - 1)*100

print("Antall år:", antall_aar)
print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Årlig prosentvekst:", prosentvekst)

# Utskrift:
# Antall år: 14
# Vekstfaktor: 1.0159412711145792
# Årlig prosentvekst: 1.5941271114579214

Vi lar \(x=0\) svare til 2008. En eksponentiell modell har formen

\[g(x)=a\cdot b^x\]

Med eksponentiell regresjon på tabellen får vi omtrent

\[g(x)=277{,}83\cdot 1{,}01546^x\]

Modellen er ikke tvunget til å gå nøyaktig gjennom første og siste punkt; den er en samlet tilpasning til alle tabellpunktene.

import numpy as np

x = np.array([0, 2, 5, 7, 11, 14], dtype=float)
y = np.array([272.55, 285.50, 307.30, 314.00, 327.60, 340.10], dtype=float)

# Eksponentiell regresjon: ln(y) = ln(a) + x*ln(b)
koeff = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
ln_b = koeff[0]
ln_a = koeff[1]
a = np.exp(ln_a)
b = np.exp(ln_b)

print("a =", a)
print("b =", b)
print("Modell: g(x) =", a, "*", b, "** x")
print("g(14) =", a*b**14)

# Utskrift:
# a = 277.8326581487715
# b = 1.0154567180236382
# Modell: g(x) = 277.8326581487715 * 1.0154567180236382 ** x
# g(14) = 344.38413308969234

Begge jobber 1700 timer per år. For Amalie er timelønnen en geometrisk rekke med første ledd \(272{,}55\) og vekstfaktor \(1{,}023\). Årene 2008-2022 utgjør 15 år, altså \(x=0,1,\ldots,14\).

\[S_A=1700\sum_{x=0}^{14}272{,}55\cdot1{,}023^x\approx 8\,188\,601\]

For Per bruker vi modellen fra b):

\[S_P=1700\sum_{x=0}^{14}277{,}83\cdot1{,}01546^x\approx 7\,905\,086\]

Små avvik kan oppstå dersom man bruker avrundet modell eller regnearkets interne regresjonsverdier.

a = 277.8326581487715
b = 1.0154567180236382
start = 272.55

amalie_timer = [start*1.023**x for x in range(15)]
per_timer = [a*b**x for x in range(15)]

samlet_amalie = 1700*sum(amalie_timer)
samlet_per = 1700*sum(per_timer)

print("Antall år medregnet:", len(amalie_timer))
print("Amalies timelønn i 2022:", amalie_timer[-1])
print("Pers modell-lønn i 2022:", per_timer[-1])
print("Samlet lønn Amalie:", round(samlet_amalie, 2))
print("Samlet lønn Per:", round(samlet_per, 2))

# Utskrift:
# Antall år medregnet: 15
# Amalies timelønn i 2022: 374.479...
# Pers modell-lønn i 2022: 344.384...
# Samlet lønn Amalie: 8188601.24
# Samlet lønn Per: 7905086.29

Amalies timelønn i 2025, 17 år etter 2008, blir

\[272{,}55\cdot1{,}023^{17}\approx 401{,}17\]

Per hadde \(340{,}10\) kroner i 2022. Fra 2022 til 2025 er det tre årlige økninger. Vi setter

\[340{,}10\cdot v^3=401{,}17\] \[v=\left(\frac{401{,}17}{340{,}10}\right)^{1/3}\approx1{,}05659\]

Den nødvendige årlige veksten er omtrent \(5{,}66\,\%\).

amalie_2025 = 272.55 * 1.023**17
per_2022 = 340.10
vekstfaktor = (amalie_2025/per_2022)**(1/3)
prosent = (vekstfaktor - 1)*100

print("Amalies timelønn i 2025:", amalie_2025)
print("Nødvendig vekstfaktor for Per:", vekstfaktor)
print("Nødvendig prosentvekst:", prosent)

# Utskrift:
# Amalies timelønn i 2025: 401.1732432208854
# Nødvendig vekstfaktor for Per: 1.0565947355861083
# Nødvendig prosentvekst: 5.659473558610828

Påstanden sier at uttrykkene er like for alle \(x>0\). Det holder å finne ett moteksempel.

Velg for eksempel \(x=e\). Da er \(\ln e=1\), og

\[(\ln e)^4=1^4=1\]

mens

\[4\ln e=4\cdot1=4\]

Siden \(1\ne4\), er påstanden usann.

from sympy import E, log, simplify

xverdi = E
venstre = log(xverdi)**4
hoyre = 4*log(xverdi)

print("x = e")
print("Venstre side:", venstre)
print("Høyre side:", hoyre)
print("Er sidene like?", simplify(venstre - hoyre) == 0)

# Utskrift:
# x = e
# Venstre side: 1
# Høyre side: 4
# Er sidene like? False

En fjerdegradsfunksjon har formen \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\), der \(a\ne0\). Når \(x\) går mot både \(\infty\) og \(-\infty\), vil leddet \(ax^4\) dominere.

Hvis \(a>0\), går \(f(x)\to\infty\) i begge ender. Da må grafen ha et laveste punkt. Hvis \(a<0\), går \(f(x)\to-\infty\) i begge ender. Da må grafen ha et høyeste punkt.

Dermed må en fjerdegradsfunksjon ha minst ett ekstremalpunkt.

from sympy import symbols, diff, solve

x = symbols("x")
eksempel = x**4 + 2*x**2 + 1
derivert = diff(eksempel, x)
kritiske = solve(derivert, x)

print("Eksempel:", eksempel)
print("Derivert:", derivert)
print("Kritiske punkt:", kritiske)
print("f(0) =", eksempel.subs(x, 0))

# Utskrift:
# Eksempel: x**4 + 2*x**2 + 1
# Derivert: 4*x**3 + 4*x
# Kritiske punkt: [0]
# f(0) = 1

Tall mindre enn 18 er \(1,2,\ldots,17\), altså 17 tall. Tall som ikke er mindre enn 18 er \(18,19,\ldots,34\), også 17 tall.

Antall gunstige rekker for «alle mindre enn 18» er

\[\binom{17}{7}\]

Antall gunstige rekker for «ingen mindre enn 18» er også

\[\binom{17}{7}\]

Siden totalantallet i begge tilfeller er \(\binom{34}{7}\), er sannsynlighetene like store.

from math import comb

gunstige_under_18 = comb(17, 7)
gunstige_ikke_under_18 = comb(17, 7)
total = comb(34, 7)

print("Gunstige, alle < 18:", gunstige_under_18)
print("Gunstige, ingen < 18:", gunstige_ikke_under_18)
print("Total:", total)
print("Sannsynlighet:", gunstige_under_18/total)
print("Like store?", gunstige_under_18 == gunstige_ikke_under_18)

# Utskrift:
# Gunstige, alle < 18: 19448
# Gunstige, ingen < 18: 19448
# Total: 5379616
# Sannsynlighet: 0.0036151279...
# Like store? True

Variablene \(i\) og \(j\) går gjennom alle mulige øyetall på to terninger, altså \(6\cdot6=36\) like sannsynlige utfall.

Programmet øker \(g\) når summen er minst 8. Det regner derfor ut

\[P(\text{sum av to terninger er minst }8)\]

Antall gunstige utfall er 15, og sannsynligheten er

\[\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\approx0{,}417\]

g = 0
utfall = []

for i in range(1, 7):
    for j in range(1, 7):
        if i + j >= 8:
            g = g + 1
            utfall.append((i, j))

print("Gunstige utfall:", g)
print("Totalt antall utfall:", 36)
print("Sannsynlighet:", g/36)
print("Første fem gunstige utfall:", utfall[:5])

# Utskrift:
# Gunstige utfall: 15
# Totalt antall utfall: 36
# Sannsynlighet: 0.4166666666666667
# Første fem gunstige utfall: [(2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5)]

Tre terninger gir \(6^3=216\) like sannsynlige utfall. Vi teller alle utfall der summen er 7 eller 11.

Programmet nedenfor viser at det er 42 gunstige utfall:

\[P=\frac{42}{216}=\frac{7}{36}\approx0{,}194\]

gunstige = 0
utfall = []

for t1 in range(1, 7):
    for t2 in range(1, 7):
        for t3 in range(1, 7):
            s = t1 + t2 + t3
            if s == 7 or s == 11:
                gunstige = gunstige + 1
                utfall.append((t1, t2, t3))

total = 6**3

print("Gunstige utfall:", gunstige)
print("Totalt antall utfall:", total)
print("Sannsynlighet:", gunstige/total)
print("Brøk:", f"{gunstige}/{total}")
print("Eksempel på gunstige utfall:", utfall[:10])

# Utskrift:
# Gunstige utfall: 42
# Totalt antall utfall: 216
# Sannsynlighet: 0.19444444444444445
# Brøk: 42/216
# Eksempel på gunstige utfall: [(1, 1, 5), (1, 2, 4), ...]

Fra grafen ser vi at linjen går omtrent gjennom \((0,4500)\) og \((75,0)\). Dermed kan modellen skrives

\[e(p)=4500-60p\]

Ved \(p=40\) får vi

\[e(40)=4500-60\cdot40=2100\]

Inntekten blir pris ganger antall solgte enheter:

\[I(40)=40\cdot2100=84\,000\]

def e(p):
    return 4500 - 60*p

def inntekt(p):
    return p * e(p)

pris = 40
antall = e(pris)
inntekt_40 = inntekt(pris)

print("Pris:", pris)
print("Solgte enheter:", antall)
print("Daglig inntekt:", inntekt_40)

# Utskrift:
# Pris: 40
# Solgte enheter: 2100
# Daglig inntekt: 84000

Inntektsfunksjonen er

\[I(p)=p\cdot e(p)=p(4500-60p)\]

Vi løser

\[p(4500-60p)=75\,000\] \[-60p^2+4500p-75\,000=0\]

Likningen gir

\[p=25\quad\text{eller}\quad p=50\]

Begge prisene gir samme inntekt, fordi inntektsparabelen er symmetrisk om toppunktet.

from sympy import symbols, Eq, solve

p = symbols("p")
inntekt = p*(4500 - 60*p)
losninger = solve(Eq(inntekt, 75000), p)

print("Inntektsfunksjon:", inntekt)
print("Løsninger:", losninger)
for pris in losninger:
    print("Pris", pris, "gir inntekt", inntekt.subs(p, pris))

# Utskrift:
# Inntektsfunksjon: p*(4500 - 60*p)
# Løsninger: [25, 50]
# Pris 25 gir inntekt 75000
# Pris 50 gir inntekt 75000

Inntektsfunksjonen er en andregradsfunksjon med negativt \(p^2\)-ledd:

\[I(p)=-60p^2+4500p\]

Toppunktet ligger ved

\[p=\frac{-b}{2a}=\frac{-4500}{2\cdot(-60)}=37{,}5\]

Prisen som gir størst daglig inntekt er derfor \(37{,}50\) kroner. Da blir inntekten

\[I(37{,}5)=84\,375\]

from sympy import symbols, diff, solve

p = symbols("p")
I = -60*p**2 + 4500*p
kritisk = solve(diff(I, p), p)[0]
maksi = I.subs(p, kritisk)

print("I(p) =", I)
print("I'(p) =", diff(I, p))
print("Toppunktets p-verdi:", kritisk)
print("Maksimal inntekt:", maksi)

# Utskrift:
# I(p) = -60*p**2 + 4500*p
# I'(p) = 4500 - 120*p
# Toppunktets p-verdi: 75/2
# Maksimal inntekt: 84375

La \(X\) være antall billetter som blir brukt. Da er

\[X\sim \operatorname{Bin}(1300,0{,}45)\]

Vi skal finne

\[P(X\ge600)=1-P(X\le599)\]

Med digitalt verktøy får vi

\[P(X\ge600)\approx0{,}209\]

from scipy.stats import binom

n = 1300
p = 0.45
sannsynlighet = 1 - binom.cdf(599, n, p)
forventning = n*p
standardavvik = (n*p*(1-p))**0.5

print("Fordeling: X ~ Bin(1300, 0.45)")
print("Forventningsverdi:", forventning)
print("Standardavvik:", standardavvik)
print("P(X >= 600):", sannsynlighet)

# Utskrift:
# Fordeling: X ~ Bin(1300, 0.45)
# Forventningsverdi: 585.0
# Standardavvik: 17.9339...
# P(X >= 600): 0.20935192313878193

Vi må finne minste \(n\) slik at

\[P(X\ge600)>0{,}95,\quad X\sim\operatorname{Bin}(n,0{,}45)\]

Dette løses mest effektivt med digitalt søk. Programmet under prøver \(n\)-verdier til sannsynligheten passerer \(0{,}95\).

Minste antall blir \(1401\), fordi \(P(X\ge600)\approx0{,}9519\) for \(n=1401\), mens verdien for \(n=1400\) ikke er over \(0{,}95\).

from scipy.stats import binom

p = 0.45
maal = 0.95

for n in range(600, 2000):
    sannsynlighet = 1 - binom.cdf(599, n, p)
    if sannsynlighet > maal:
        print("Minste n:", n)
        print("P(X >= 600):", sannsynlighet)
        print("Kontroll for n-1:", 1 - binom.cdf(599, n-1, p))
        break

# Utskrift:
# Minste n: 1401
# P(X >= 600): 0.9519287353356776
# Kontroll for n-1: 0.949682...

Vi setter \(L=130\):

\[130=120+10\lg I\] \[10=10\lg I\] \[\lg I=1\] \[I=10^1=10\]

Lydintensiteten er derfor \(10\,\text{W/m}^2\).

from sympy import symbols, Eq, solve, log

I = symbols("I", positive=True)
L = 130
losning = solve(Eq(L, 120 + 10*log(I, 10)), I)[0]

print("Likning: 130 = 120 + 10*lg(I)")
print("Lydintensitet I:", losning)

# Utskrift:
# Likning: 130 = 120 + 10*lg(I)
# Lydintensitet I: 10

En økning på \(2\) dB betyr at

\[10\lg\left(\frac{I_2}{I_1}\right)=2\]

Dermed blir

\[\lg\left(\frac{I_2}{I_1}\right)=0{,}2\] \[\frac{I_2}{I_1}=10^{0{,}2}\approx1{,}5849\]

Økningen i prosent er

\[(1{,}5849-1)\cdot100\,\%\approx58{,}5\,\%\]

forhold = 10**(2/10)
prosent_oking = (forhold - 1)*100

print("Intensitetsforhold:", forhold)
print("Prosentvis økning:", prosent_oking)

# Utskrift:
# Intensitetsforhold: 1.5848931924611136
# Prosentvis økning: 58.48931924611136

Først finner vi intensitetene som svarer til 140 dB og 130 dB.

\[140=120+10\lg I\Rightarrow \lg I=2\Rightarrow I=100\] \[130=120+10\lg I\Rightarrow \lg I=1\Rightarrow I=10\]

For samme lydkilde er \(I\) omvendt proporsjonal med \(r^2\):

\[\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}\]

Med \(I_1=100\), \(r_1=50\), og grenseintensiteten \(I_2=10\):

\[\frac{100}{10}=\frac{r_2^2}{50^2}\] \[10=\frac{r_2^2}{2500}\] \[r_2=50\sqrt{10}\approx158{,}1\]

For å være lavere enn 130 dB må avstanden være litt større enn \(158{,}1\) m.

import math

I_140 = 10**((140 - 120)/10)
I_130 = 10**((130 - 120)/10)
r1 = 50
r2 = r1 * math.sqrt(I_140/I_130)

print("Intensitet ved 140 dB:", I_140)
print("Intensitet ved 130 dB:", I_130)
print("Grenseavstand:", r2)
print("Avstanden må være større enn denne for å få lavere enn 130 dB.")

# Utskrift:
# Intensitet ved 140 dB: 100.0
# Intensitet ved 130 dB: 10.0
# Grenseavstand: 158.11388300841898
# Avstanden må være større enn denne for å få lavere enn 130 dB.