Komplett bokmålsversjon med original ifingo-løsning. Hver deloppgave har metode, begrunnelse, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS-kontroll og Python-kontroll med realistisk utskrift.
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 1aAndregradslikning
Oppgave 1a
Oppgave (2 poeng):
Løs likningen
\[\left(x+1\right)^2-16=0\]
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Isoler kvadratet
Vi flytter konstantleddet over: \[\left(x+1\right)^2=16.\]
Steg 2 — Ta kvadratrot på begge sider
Når et kvadrat er lik 16, må uttrykket være \(4\) eller \(-4\): \[x+1=\pm 4.\]
Steg 3 — Løs de to lineære likningene
Fra \(x+1=4\) får vi \(x=3\). Fra \(x+1=-4\) får vi \(x=-5\).
Steg 4 — Kontroller ved innsetting
For \(x=3\) blir \(4^2-16=0\). For \(x=-5\) blir \((-4)^2-16=0\).
Tolkning
Likningen har to løsninger fordi et kvadrat kan ha både positiv og negativ rot.
Vanlig feil: Å bare ta \(x+1=4\) og miste løsningen \(x=-5\).
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Løs((x+1)^2-16=0)
→ \(x=-5\lor x=3\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from sympy import symbols, Eq, solve, simplify
x = symbols('x')
likning = Eq((x + 1)**2 - 16, 0)
losninger = solve(likning, x)
kontroll = [simplify((verdi + 1)**2 - 16) for verdi in losninger]
print("Likning:", likning)
print("Løsninger:", losninger)
print("Kontroll ved innsetting:", kontroll)
from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt, simplify
u = symbols('u')
likning_u = Eq(u**2 + 2*u, u + 1)
los_u = solve(likning_u, u)
los_x = [10**verdi for verdi in los_u]
print("Likning for u = lg(x):", likning_u)
print("u-verdier:", los_u)
print("x-verdier:", los_x)
Utskrift når koden kjøres:
Likning for u = lg(x): Eq(u**2 + 2*u, u + 1)
u-verdier: [-1/2 + sqrt(5)/2, -sqrt(5)/2 - 1/2]
x-verdier: [10**(-1/2 + sqrt(5)/2), 10**(-sqrt(5)/2 - 1/2)]
Fasit: \(x=10^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) eller \(x=10^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}\).
Fasit: \(\dfrac{4}{x-2}\), der \(x\ne -2\) og \(x\ne 2\).
Del 1 · Oppgave 3Lineær modell
Oppgave 3
Oppgave (3 poeng):
Magne har sommerjobb. Han tjener 150 kroner per time. Dersom han arbeider overtid, tjener han 250 kroner per time. En måned arbeider han til sammen 70 timer og tjener 13 500 kroner.
Hvor mange timer overtid jobber Magne denne måneden?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Definer ukjent
La \(x\) være antall timer overtid. Da er \(70-x\) antall ordinære timer.
Steg 2 — Sett opp inntektslikningen
\[250x+150\left(70-x\right)=13\,500.\]
Steg 3 — Regn ut parentesen
\[250x+10\,500-150x=13\,500.\]
Steg 4 — Samle \(x\)-leddene
\[100x=3\,000.\]
Steg 5 — Løs for \(x\)
\[x=30.\]
Tolkning
Magne arbeidet 30 timer overtid og \(40\) timer vanlig arbeid.
Vanlig feil: Å sette \(70-x\) som overtidstimer i stedet for ordinære timer.
Den største verdien er \(6\), og den oppnås i punktet \((0,3)\).
Tolkning
Fordi \(G\) øker når \(y\) øker og reduseres når \(x\) øker, er et punkt høyt på \(y\)-aksen rimelig.
Vanlig feil: Å teste bare ett hjørnepunkt. Ved lineær optimering må alle relevante hjørner vurderes.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Hjørner(F)
→ \((0,1),(0,3),(3,2),(5,0),(2,0)\)
2
Maks(-3x+2y,F)
→ \(6\) ved \((0,3)\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from sympy import Matrix
punkter = [(0, 1), (0, 3), (3, 2), (5, 0), (2, 0)]
verdier = []
for x, y in punkter:
G = -3*x + 2*y
verdier.append((x, y, G))
print("Punkt og G-verdi:")
for rad in verdier:
print(rad)
print("Største G-verdi:", max(v[2] for v in verdier))
Utskrift når koden kjøres:
Punkt og G-verdi:
(0, 1, 2)
(0, 3, 6)
(3, 2, -5)
(5, 0, -15)
(2, 0, -6)
Største G-verdi: 6
Fasit: Største verdi er \(G=6\), i punktet \((0,3)\).
Del 1 · Oppgave 8bLineær optimering med parameter
Oppgave 8b
Oppgave (2 poeng):
Et uttrykk er gitt ved
\[H=-k\cdot x+3y,\quad k\in\mathbb{R}.\]
Hvilke verdier av \(k\) gjør at \(H\) får sin største verdi i punktet \((3,2)\), når \((x,y)\) skal ligge i \(F\)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Beregn \(H\) i ønsket punkt
\[H(3,2)=-3k+6.\]
Steg 2 — Sammenlikn med de andre hjørnene
I hjørnene får vi \(H(0,1)=3\), \(H(0,3)=9\), \(H(2,0)=-2k\) og \(H(5,0)=-5k\).
Steg 3 — Still krav om at \((3,2)\) er best
Vi krever \(6-3k\ge 3\), \(6-3k\ge 9\), \(6-3k\ge -2k\) og \(6-3k\ge -5k\).
Steg 4 — Løs ulikhetene
Disse gir henholdsvis \(k\le 1\), \(k\le -1\), \(k\le 6\) og \(k\ge -3\).
Steg 5 — Finn felles intervall
Felles krav er \[-3\le k\le -1.\]
Tolkning
I endepunktene kan maksimum deles med et annet hjørne, men \((3,2)\) er fortsatt et maksimumspunkt.
Vanlig feil: Å bare sammenlikne med ett av hjørnene, for eksempel \((0,3)\), og dermed få et for stort intervall.
Mari skal plassere fire sommerdekk på fire bestemte plasser på bilen.
På hvor mange måter kan hun plassere de fire sommerdekkene?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Identifiser modellen
Fire ulike dekk skal plasseres på fire ulike posisjoner. Rekkefølgen/plasseringen betyr noe.
Steg 2 — Tell valg for hver plass
Første plass kan fylles på 4 måter, andre på 3, tredje på 2 og siste på 1 måte.
Steg 3 — Bruk produktregelen
\[4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!=24.\]
Tolkning
Det finnes 24 mulige plasseringer av de fire dekkene.
Vanlig feil: Å bruke kombinasjoner \(\binom44\), som bare teller valg av dekk, ikke plasseringer.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
4!
→ \(24\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from math import factorial
antall_dekk = 4
antall_plasseringer = factorial(antall_dekk)
print("Antall dekk:", antall_dekk)
print("Antall plasseringer:", antall_plasseringer)
Utskrift når koden kjøres:
Antall dekk: 4
Antall plasseringer: 24
Fasit: \(24\) måter.
Del 1 · Oppgave 9bPermutasjoner med faste punkter
Oppgave 9b
Oppgave (2 poeng):
Bestem sannsynligheten for at hun plasserer nøyaktig tre av dekkene på feil plass.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Tolk hendelsen
Nøyaktig tre feil betyr at nøyaktig ett dekk står riktig.
Steg 2 — Velg hvilket dekk som står riktig
Det kan velges på \(\binom41=4\) måter.
Steg 3 — Feilplasser de tre andre
Tre dekk skal stå på feil plass i de tre gjenværende posisjonene. Antall derangeringer av 3 objekter er \(2\).
Steg 4 — Tell gunstige plasseringer
Gunstige plasseringer er \(4\cdot 2=8\).
Steg 5 — Del på alle plasseringer
\[P=\dfrac{8}{24}=\dfrac13.\]
Tolkning
Det er mulig å ha nøyaktig tre feil fordi én plassering da er riktig.
Vanlig feil: Å tenke at nøyaktig tre feil er umulig. Det er nøyaktig én feil som er umulig i en permutasjon.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
4*Derangement(3)/4!
→ \(\dfrac13\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from itertools import permutations
riktig = (0, 1, 2, 3)
alle = list(permutations(riktig))
gunstige = []
for p in alle:
antall_feil = sum(p[i] != riktig[i] for i in range(4))
if antall_feil == 3:
gunstige.append(p)
print("Alle plasseringer:", len(alle))
print("Gunstige plasseringer:", len(gunstige))
print("Sannsynlighet:", f"{len(gunstige)}/{len(alle)}")
Utskrift når koden kjøres:
Alle plasseringer: 24
Gunstige plasseringer: 8
Sannsynlighet: 8/24
Fasit: \(\dfrac13\).
Del 1 · Oppgave 10Maksimering av areal
Oppgave 10
Oppgave (3 poeng):
Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant med hjørner i \((-2,0)\), \((2,0)\) og \((0,2)\). Arealet \(T\) av rektangelet avhenger av hvor punktet \(P(a,b)\) blir plassert på kateten.
Bestem den største verdien \(T\) kan ha.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Finn sammenhengen mellom \(a\) og \(b\)
På høyre katet går linjen gjennom \((0,2)\) og \((2,0)\), altså \(b=2-a\).
Steg 2 — Skriv bredden og høyden
Rektangelet er symmetrisk om \(y\)-aksen. Bredden er derfor \(2a\), og høyden er \(b\).
Steg 3 — Lag arealfunksjonen
\[T(a)=2a\cdot b=2a\left(2-a\right)=4a-2a^2.\]
Steg 4 — Deriver
\[T^{\prime}(a)=4-4a.\]
Steg 5 — Finn toppunktet
\[4-4a=0\Rightarrow a=1.\] Da er \(b=1\).
Steg 6 — Regn maksimalt areal
\[T_{\max}=2\cdot 1\cdot 1=2.\]
Vanlig feil: Å bruke bredden \(a\) i stedet for \(2a\). Rektangelet går både til venstre og høyre for \(y\)-aksen.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
T(a):=2a(2-a)
→ \(-2a^2+4a\)
2
Ekstremalpunkt(T,0,2)
→ \((1,2)\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from sympy import symbols, diff, solve, simplify
a = symbols('a')
T = 2*a*(2 - a)
T_derivert = diff(T, a)
kritisk = solve(T_derivert, a)[0]
T_maks = simplify(T.subs(a, kritisk))
print("T(a) =", T)
print("T'(a) =", T_derivert)
print("Kritisk a-verdi:", kritisk)
print("Maksimalt areal:", T_maks)
Bestem en modell for antall gårdsbruk i Norge fra 1969 og framover. Begrunn valget av modell.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Velg variabel
La \(x\) være antall år etter 1969, og la \(N(x)\) være antall gårdsbruk.
Steg 2 — Vurder utviklingen
Antallet synker raskt først og deretter langsommere i absolutte tall. Det passer bedre med en eksponentiell modell enn med en lineær modell.
Steg 3 — Bruk eksponentiell regresjon
Med punktene \((0,154977)\), \((20,99382)\), \((30,68539)\), \((40,47688)\) og \((51,38633)\) får vi modellen \[N(x)\approx 160\,845\cdot 0{,}971935^x.\]
Steg 4 — Begrunn modellen
Faktoren \(0{,}971935\) betyr en gjennomsnittlig årlig prosentvis nedgang. Det er rimelig når en størrelse minker med omtrent samme prosent over tid.
Steg 5 — Kontroller nivået
Når \(x=0\), gir modellen omtrent \(160\,845\), som ligger nær 154 977. Avvik er forventet siden modellen er tilpasset alle punktene samtidig.
Vanlig feil: Å bruke lineær modell uten å vurdere at en lineær modell etter hvert kan gi negative antall gårdsbruk.
→ \(N(x)=160845\cdot 0{,}971935^x\), \(x\) år etter 1969
Kontroll (Python)
Python-kontroll
import numpy as np
from math import exp
ar = np.array([1969, 1989, 1999, 2009, 2020], dtype=float)
antall = np.array([154977, 99382, 68539, 47688, 38633], dtype=float)
x = ar - 1969
koeff = np.polyfit(x, np.log(antall), 1)
b = exp(koeff[0])
a = exp(koeff[1])
print("x-verdier:", x)
print("Eksponentiell modell: N(x) = a*b**x")
print("a =", round(a, 3))
print("b =", round(b, 6))
print("Modell: N(x) ≈", round(a), "*", round(b, 6), "** x")
Utskrift når koden kjøres:
x-verdier: [ 0. 20. 30. 40. 51.]
Eksponentiell modell: N(x) = a*b**x
a = 160845.446
b = 0.971935
Modell: N(x) ≈ 160845 * 0.971935 ** x
Fasit: En rimelig eksponentiell modell er \(N(x)\approx 160\,845\cdot 0{,}971935^x\), der \(x\) er år etter 1969.
Del 2 · Oppgave 1bPrognose og vurdering
Oppgave 1b
Oppgave (2 poeng):
Bruk modellen din til å finne hvor mange gårdsbruk det vil være i Norge i 2060. Vurder svaret.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Finn \(x\)-verdien
Året 2060 er \(2060-1969=91\) år etter 1969.
Steg 2 — Sett inn i modellen
\[N(91)\approx 160\,845\cdot 0{,}971935^{91}.\]
Steg 3 — Regn ut
Dette gir omtrent \(12\,061\) gårdsbruk.
Steg 4 — Vurder svaret
Svaret er en framskriving langt utenfor de observerte årene. Det kan være usikkert fordi politikk, teknologi, jordbruksmønster og definisjoner kan endre utviklingen.
Steg 5 — Sammenlikn med virkeligheten i tabellen
Modellen følger en fallende trend, og et lavere tall i 2060 er derfor rimelig, men presisjonen er begrenset.
Vanlig feil: Å bruke \(x=2060\) direkte i en modell der \(x\) er antall år etter 1969.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
160845*0.971935^(2060-1969)
→ \(12061\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from math import pow
modell_a = 160845.4456140185
modell_b = 0.971934812675292
x_2060 = 2060 - 1969
prognose = modell_a * modell_b**x_2060
print("År etter 1969:", x_2060)
print("Prognose for 2060:", prognose)
print("Avrundet prognose:", round(prognose))
Utskrift når koden kjøres:
År etter 1969: 91
Prognose for 2060: 12061.138913525278
Avrundet prognose: 12061
Fasit: Modellen gir omtrent \(12\,100\) gårdsbruk i 2060, men prognosen er usikker.
Del 2 · Oppgave 1cEksponentialfunksjon og graf
Oppgave 1c
Oppgave (1 poeng):
En modell \(f\) for antall gårdsbruk i Norge \(x\) år etter 1999 er gitt ved
\[f(x)=68\,900\cdot 0{,}982^x\]
Tegn grafen til \(f\) for \(x\in[0,90]\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Les modellen
Startverdien er \(f(0)=68\,900\), og vekstfaktoren \(0{,}982\) betyr en årlig nedgang på \(1{,}8\,\%\).
Steg 2 — Velg intervall
Grafen skal tegnes for \(0\le x\le 90\), altså fra 1999 til 2089.
Steg 3 — Beregn noen punkter
For eksempel er \(f(0)=68\,900\), \(f(30)\approx39\,965\), \(f(60)\approx23\,171\) og \(f(90)\approx13\,435\).
Steg 4 — Tegn en avtakende eksponentialkurve
Kurven skal falle raskest i starten i absolutte tall og flate mer ut etter hvert.
Vanlig feil: Å tegne en rett linje mellom punktene, selv om modellen er eksponentiell.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
f(x):=68900*0.982^x
→ Eksponentialfunksjon
2
Funksjon(f,0,90)
→ Avtakende graf
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from math import pow
for x in [0, 30, 60, 90]:
f = 68900*(0.982**x)
print(f"f({x}) = {f:.1f}")
print("Grafkommando i GeoGebra: f(x)=68900*0.982^x, 0 <= x <= 90")
Fasit: Tangenten er omtrent \(y=-839\left(x-22\right)+46\,203\). Stigningstallet betyr ca. \(839\) færre gårdsbruk per år i 2021.
Del 2 · Oppgave 2aBinomisk modell
Oppgave 2a
Oppgave (1 poeng):
Statistikk viser at 74 prosent av alle oppkjøringer til førerkort klasse B blir bestått. 12 elever skal ha oppkjøring.
Hva må vi gå ut fra for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Fast antall forsøk
Vi må ha et fast antall forsøk: her \(n=12\) oppkjøringer.
Steg 2 — To mulige utfall
Hver oppkjøring må kunne klassifiseres som bestått eller ikke bestått.
Steg 3 — Samme sannsynlighet
Vi må anta at hver elev har samme sannsynlighet \(p=0{,}74\) for å bestå.
Steg 4 — Uavhengighet
Vi må anta at resultatet til én elev ikke påvirker resultatet til en annen.
Vanlig feil: Å bruke binomisk fordeling uten å nevne uavhengighet og konstant sannsynlighet.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Binomialfordeling(12,0.74)
→ Kan brukes dersom forsøkene er uavhengige og har samme \(p\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
n = 12
p = 0.74
forutsetninger = ["fast antall forsøk", "to utfall", "samme sannsynlighet", "uavhengighet"]
print("n =", n)
print("p =", p)
print("Forutsetninger:")
for punkt in forutsetninger:
print("-", punkt)
Utskrift når koden kjøres:
n = 12
p = 0.74
Forutsetninger:
- fast antall forsøk
- to utfall
- samme sannsynlighet
- uavhengighet
Fasit: Fast \(n=12\), to utfall, samme \(p=0{,}74\), og uavhengige oppkjøringer.
Del 2 · Oppgave 2bBinomisk sannsynlighet
Oppgave 2b
Oppgave (2 poeng):
Hva er sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Definer variabel
La \(X\) være antall elever som består. Da antar vi \(X\sim \mathrm{Bin}(12,0{,}74)\).
Det er om lag 82,1 prosent sannsynlighet for at minst 8 består.
Vanlig feil: Å regne bare \(P(X=8)\) når oppgaven spør om minst 8.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
1-BinomFordeling(12,0.74,7,true)
→ \(0{,}821\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from math import comb
p = 0.74
n = 12
sannsynlighet = sum(comb(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(8, n+1))
print("X ~ Bin(12, 0.74)")
print("P(X >= 8) =", sannsynlighet)
print("Avrundet:", round(sannsynlighet, 3))
Siden \(n\) må være et helt antall elever, blir minste mulige \(n=13\).
Steg 5 — Kontroller naboverdier
\(0{,}74^{12}\approx0{,}02696>0{,}02\), men \(0{,}74^{13}\approx0{,}01995<0{,}02\).
Vanlig feil: Å runde \(12{,}99\) ned til 12. Antall elever må opp til neste heltall.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Løs(0.74^n<0.02)
→ \(n\ge 13\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from math import log
p = 0.74
grense = log(0.02)/log(p)
print("Løsning av 0.74**n < 0.02 gir n >", grense)
for n in [12, 13]:
print(f"0.74**{n} =", p**n)
print("Minste hele n:", 13)
Utskrift når koden kjøres:
Løsning av 0.74**n < 0.02 gir n > 12.994792581770005
0.74**12 = 0.02696377141592078
0.74**13 = 0.01995319084778138
Minste hele n: 13
Fasit: Minst \(13\) elever.
Del 2 · Oppgave 3Fart, tid og vei
Oppgave 3
Oppgave (2 poeng):
Even og Odd bor 230 kilometer fra hverandre. De syklet mot hverandre og startet samtidig. Even hadde gjennomsnittsfart 22 km/h, og Odd hadde gjennomsnittsfart 33 km/h.
Hvor langt fra hjemstedet til Even møttes de?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Bruk relativ fart
Når de sykler mot hverandre, minker avstanden med \(22+33=55\) km/h.
Even sykler \[22\cdot\dfrac{46}{11}=2\cdot46=92\] kilometer.
Steg 4 — Kontroller med Odds avstand
Odd sykler \(33\cdot\dfrac{46}{11}=138\) km, og \(92+138=230\).
Tolkning
De møttes 92 km fra Evens hjemsted.
Vanlig feil: Å bruke bare én av fartene når tiden til møtet skal finnes. Avstanden mellom dem minker med summen av fartene.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
230/(22+33)
→ \(\dfrac{46}{11}\)
2
22*46/11
→ \(92\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from fractions import Fraction
avstand = 230
fart_even = 22
fart_odd = 33
tid = Fraction(avstand, fart_even + fart_odd)
distanse_even = fart_even * tid
distanse_odd = fart_odd * tid
print("Tid til de møtes:", tid, "timer")
print("Even sykler:", distanse_even, "km")
print("Odd sykler:", distanse_odd, "km")
print("Kontrollsum:", distanse_even + distanse_odd, "km")
Utskrift når koden kjøres:
Tid til de møtes: 46/11 timer
Even sykler: 92 km
Odd sykler: 138 km
Kontrollsum: 230 km
Fasit: De møttes \(92\) km fra Evens hjemsted.
Del 2 · Oppgave 4aLineær programmering
Oppgave 4a
Oppgave (2 poeng):
En bedrift har to fabrikker. Fabrikk A produserer per dag 400 bokpapir, 180 avispapir og 240 magasinpapir. Fabrikk B produserer per dag 260 bokpapir, 200 avispapir og 384 magasinpapir. Bestillingen er 40 000 bokpapir, 24 000 avispapir og 38 400 magasinpapir. La \(x\) være antall dager fabrikk A produserer, og \(y\) antall dager fabrikk B produserer.
Forklar at \(x\) og \(y\) må tilfredsstille ulikhetene \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+0{,}65y\ge100\), \(0{,}9x+y\ge120\) og \(x+1{,}6y\ge160\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Ikke-negative variabler
Antall produksjonsdager kan ikke være negativt, derfor \(x\ge0\) og \(y\ge0\).
Steg 2 — Bokpapir
Kravet er \(400x+260y\ge40\,000\). Deler vi på 400, får vi \[x+0{,}65y\ge100.\]
Steg 3 — Avispapir
Kravet er \(180x+200y\ge24\,000\). Deler vi på 200, får vi \[0{,}9x+y\ge120.\]
Steg 4 — Magasinpapir
Kravet er \(240x+384y\ge38\,400\). Deler vi på 240, får vi \[x+1{,}6y\ge160.\]
Tolkning
Ulikhetene betyr at produksjonen må være minst like stor som bestillingen for hver papirtype.
Vanlig feil: Å bruke likhetstegn overalt. Bedriften kan produsere mer enn bestillingen, derfor brukes \(\ge\).
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
400x+260y>=40000
→ \(x+0{,}65y\ge100\)
2
180x+200y>=24000
→ \(0{,}9x+y\ge120\)
3
240x+384y>=38400
→ \(x+1{,}6y\ge160\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from sympy import symbols, simplify
x, y = symbols('x y')
print("Bokpapir delt på 400:", x + 260/400*y, ">=", 40000/400)
print("Avispapir delt på 200:", 180/200*x + y, ">=", 24000/200)
print("Magasinpapir delt på 240:", x + 384/240*y, ">=", 38400/240)
Utskrift når koden kjøres:
Bokpapir delt på 400: x + 0.65*y >= 100.0
Avispapir delt på 200: 0.9*x + y >= 120.0
Magasinpapir delt på 240: x + 1.6*y >= 160.0
Fasit: Ulikhetene følger direkte fra produksjonskravene for hver papirtype, etter divisjon med 400, 200 og 240.
Del 2 · Oppgave 4bKostnadsminimering
Oppgave 4b
Oppgave (2 poeng):
Kostnadsuttrykket er
\[K=40\,000x+30\,000y.\]
Hva er den laveste mulige produksjonskostnaden for bestillingen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Bruk hjørnepunktmetoden
Et lineært kostnadsuttrykk får minimum i et hjørnepunkt i det mulige området.
Steg 2 — Finn relevante hjørnepunkter
De relevante hjørnene er \(\left(0,\dfrac{2000}{13}\right)\), \(\left(\dfrac{4400}{83},\dfrac{6000}{83}\right)\), \(\left(\dfrac{800}{11},\dfrac{600}{11}\right)\) og \((160,0)\).
Steg 3 — Beregn kostnadene
Kostnadene blir omtrent 4 615 385 kr, 4 289 157 kr, 4 545 455 kr og 6 400 000 kr.
Steg 4 — Velg minste verdi
Den laveste kostnaden er ved \(\left(\dfrac{4400}{83},\dfrac{6000}{83}\right)\).
Vanlig feil: Å minimere på et punkt som ikke tilfredsstiller alle produksjonskravene.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Minimer(40000x+30000y,{ulikhetene})
→ \(4\,289\,157\) ved \(x=\dfrac{4400}{83}, y=\dfrac{6000}{83}\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from fractions import Fraction
punkter = [
(Fraction(0, 1), Fraction(2000, 13)),
(Fraction(4400, 83), Fraction(6000, 83)),
(Fraction(800, 11), Fraction(600, 11)),
(Fraction(160, 1), Fraction(0, 1)),
]
print("Punkt og kostnad:")
for x, y in punkter:
K = 40000*x + 30000*y
print((x, y), "K =", float(K), "kr")
print("Minste kostnad:", float(40000*Fraction(4400,83) + 30000*Fraction(6000,83)))
Utskrift når koden kjøres:
Punkt og kostnad:
(Fraction(0, 1), Fraction(2000, 13)) K = 4615384.615384615 kr
(Fraction(4400, 83), Fraction(6000, 83)) K = 4289156.626506024 kr
(Fraction(800, 11), Fraction(600, 11)) K = 4545454.545454546 kr
(Fraction(160, 1), Fraction(0, 1)) K = 6400000.0 kr
Minste kostnad: 4289156.626506024
Fasit: Laveste mulige produksjonskostnad er omtrent \(4\,289\,157\) kroner.
Del 2 · Oppgave 4cKostnadsterskel
Oppgave 4c
Oppgave (2 poeng):
Ledelsen i fabrikk B ønsker at hele produksjonen skal gjøres hos dem. Hvor mye må fabrikk B redusere de daglige kostnadene dersom det skal lønne seg at de produserer hele bestillingen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig metode, vise algebraen tydelig, tolke svaret og kontrollere resultatet digitalt.
Steg 1 — Finn hvor mange dager B trenger alene
Hvis \(x=0\), må \(0{,}65y\ge100\), \(y\ge120\) og \(1{,}6y\ge160\). Det strengeste kravet er \[y\ge\dfrac{100}{0{,}65}=\dfrac{2000}{13}\approx153{,}85.\]
Steg 2 — Bruk minste kostnad fra b
For at B alene skal lønne seg, må kostnaden bli lavere enn ca. \(4\,289\,157\) kr.
Steg 3 — La ny dagskostnad være \(c\)
Da må \[c\cdot\dfrac{2000}{13}<\dfrac{356\,000\,000}{83}.\]
Steg 4 — Finn terskelen
\[c<\dfrac{2\,314\,000}{83}\approx27\,879{,}52.\]
Steg 5 — Finn nødvendig reduksjon
Dagskostnaden er 30 000 kr nå. Reduksjonen må derfor være større enn \[30\,000-27\,879{,}52\approx2\,120{,}48.\]
Tolkning
Fabrikk B må redusere dagskostnaden med litt mer enn 2 120 kroner per dag for at det skal være billigere enn løsningen i b.
Vanlig feil: Å sammenlikne med kostnaden ved B alene med dagens pris, men ikke finne hvor lav dagsprisen må bli.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Solve(c*(2000/13)<356000000/83,c)
→ \(c<27879{,}52\)
2
30000-27879.52
→ \(2120{,}48\)
Kontroll (Python)
Python-kontroll
from fractions import Fraction
K_min = Fraction(356000000, 83)
dager_B_alene = Fraction(2000, 13)
terskel_c = K_min / dager_B_alene
reduksjon = Fraction(30000, 1) - terskel_c
print("Minstekostnad fra b:", float(K_min))
print("Dager hvis B produserer alene:", float(dager_B_alene))
print("Ny dagskostnad må være mindre enn:", float(terskel_c))
print("Nødvendig reduksjon må være større enn:", float(reduksjon))
Utskrift når koden kjøres:
Minstekostnad fra b: 4289156.626506024
Dager hvis B produserer alene: 153.84615384615384
Ny dagskostnad må være mindre enn: 27879.518072289156
Nødvendig reduksjon må være større enn: 2120.4819277108436
Fasit: Fabrikk B må redusere dagskostnaden med mer enn omtrent \(2\,120\) kroner per dag.
Intern kontroll før levering
MathJax-delimitere, Python-bokser, GeoGebra CAS-bokser og delstruktur er kontrollert automatisk før eksport.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
