Uttrykket er et fullstendig kvadrat:

\[x^2-4x+4=(x-2)^2\]

Dermed er \((x-2)^2=0\), og løsningen er \(x=2\).

Et produkt er null dersom minst én faktor er null:

\[x=0 \quad \vee \quad x-3=0 \quad \vee \quad x+2=0\]

Vi får \(x=0\), \(x=3\) og \(x=-2\).

Likningen betyr at \(3-x=10^2=100\). Derfor er \(-x=97\), altså \(x=-97\). Definisjonskravet \(3-x>0\) er oppfylt.

Telleren blir \(4a^2\cdot a^{-1}b^{-3}=4ab^{-3}\). Nevneren blir \(4ab^2\cdot b^{-5}=4ab^{-3}\). Hele brøken blir derfor \(1\).

Vi samler logaritmene:

\[\lg\left(\frac{16a\cdot a/32}{a/2}\right)=\lg(a)\]

Uttrykket er definert for \(a>0\).

Subtraksjon gir \(v-b=80\). Setter vi \(v=b+80\) inn i \(2v+3b=860\), får vi \(5b=700\), altså \(b=140\). Da er \(v=220\), og \(v+b=360\).

Fra første likning får vi \(y=2-2x\). Innsetting gir \(x^2-(2-2x)=-2\), altså \(x^2+2x=0\). Dermed er \(x=0\) eller \(x=-2\). Punktene blir \((0,2)\) og \((-2,6)\).

\[g(x)=x^2(x^2-2)\]

Nullpunktene er derfor \(x=0\), \(x=-\sqrt2\) og \(x=\sqrt2\).

\[g^{\prime}(x)=4x^3-4x\]

\[g^{\prime}(-2)=4(-2)^3-4(-2)=-24\]

Kritiske punkter finnes fra \(4x(x^2-1)=0\), altså \(x=-1,0,1\). Funksjonsverdiene er \(g(-1)=-1\), \(g(0)=0\), \(g(1)=-1\). Derfor er \((0,0)\) lokalt toppunkt, og \((-1,-1)\), \((1,-1)\) bunnpunkter.

Grafen er symmetrisk om \(y\)-aksen. Den skjærer \(x\)-aksen i \(-\sqrt2\), \(0\), \(\sqrt2\), har toppunkt \((0,0)\), bunnpunkter \((\pm1,-1)\), og går oppover på begge sider.

Fordi det trekkes uten tilbakelegging, er modellen hypergeometrisk:

\[P=\frac{\binom82\binom{24}3}{\binom{32}5}\]

Dette er alternativ 1.

Hun må trekke 2 av de 8 loddene uten gevinst:

\[P=\frac{\binom82}{\binom{10}2}=\frac{28}{45}\]

Bruk komplement:

\[P=1-\frac{\binom84}{\binom{10}4}=1-\frac{70}{210}=\frac23\]

Sidene ligger på linjene \(y=5x-9\), \(y=x-1\) og \(y=-3x+15\). Et indre punkt viser retningene:

\[y\le5x-9,\quad y\ge x-1,\quad y\le -3x+15\]

Lineære uttrykk får maksimum i hjørner. Verdiene er:

Maksimum er \(12\).

Verdiene i hjørnene er \(D(2,1)=3-2a\), \(D(3,6)=18-3a\), \(D(4,3)=9-4a\). Kravene

\[3-2a\le18-3a\]

og

\[3-2a\le9-4a\]

gir henholdsvis \(a\le15\) og \(a\le3\). Samlet blir \(a\le3\).

Horisontal asymptote gir \(1/b=-1\), altså \(b=-1\). Vertikal asymptote \(x=1\) gir \(-1+c=0\), altså \(c=1\). Fra grafen er \(f(0)=-2\), derfor \(a=-2\). Dermed

\[f(x)=\frac{x-2}{1-x}\]

\[\frac{x-2}{1-x}=2\Rightarrow x-2=2-2x\Rightarrow3x=4\Rightarrow x=\frac43\]

\[P=\frac{\binom{12}6}{\binom{20}6}\approx0{,}0238\]

En bestemt person har sannsynlighet \(6/20\) for å være med i et tilfeldig utvalg på 6 av 20:

\[P=\frac6{20}=0{,}30\]

\[P=\frac{\binom{12}2\binom42\binom42}{\binom{20}6}\approx0{,}0613\]

\[300000\cdot b^{25}=2250000\]

\[b=7{,}5^{1/25}\approx1{,}08393\]

Årlig vekst er omtrent \(8{,}39\,\%\).

En nøyaktig modell er

\[f(x)=300000\cdot7{,}5^{x/25}\]

Alternativt: \(f(x)\approx300000\cdot1{,}08393^x\).

Gjennomsnittlig årlig økning er \(78000\). For \(f(x)=300000b^x\) er \(f^{\prime}(x)=300000\ln(b)b^x\). Løsning gir \(x\approx14{,}53\), altså rundt midten av 2007.

\[2250000\cdot1{,}07^t=3000000\]

\[t=\frac{\ln(4/3)}{\ln(1{,}07)}\approx4{,}25\]

Det er i løpet av 2022.

Ikke-negativitet gir \(x\ge0\), \(y\ge0\). Kapasitetene gir:

\[0{,}50x+0{,}35y\le2700\Rightarrow x+0{,}7y\le5400\]

\[0{,}40x+0{,}50y\le2800\Rightarrow0{,}8x+y\le5600\]

\[0{,}25x+0{,}10y\le1200\Rightarrow x+0{,}4y\le4800\]

Ved å teste hjørnene får vi størst fortjeneste i skjæringen mellom \(x+0{,}7y=5400\) og \(0{,}8x+y=5600\). Dette gir omtrent \((3363{,}64,2909{,}09)\), med fortjeneste \(2050000\) kr.

Nye ulikheter blir \(x+0{,}7y\le5600\) og \(0{,}8x+y\le5400\), mens \(x+0{,}4y\le4800\) er uendret. Ny optimering gir ca. \((3882{,}35,2294{,}12)\), med fortjeneste ca. \(2047059\) kr. Det er lavere enn \(2050000\) kr.

\[f^{\prime}(x)=3ax^2+b\]

Kravene gir \(3a+b=3\) og \(12a+b=0\). Dermed \(a=-\frac13\), \(b=4\), og

\[f(x)=-\frac13x^3+4x+1\]

Videre er \(f^{\prime}(x)=-x^2+4\), så \(x=-2\) og \(x=2\). Verdiene er \(f(-2)=-13/3\) og \(f(2)=19/3\). Siden \(f^{\prime\prime}(-2)>0\) og \(f^{\prime\prime}(2)<0\), får vi bunnpunkt ved \((-2,-13/3)\) og toppunkt ved \((2,19/3)\).