Komplett løsningsforslag med ryddig MathJax, separate Python-kontroller og GeoGebra/CAS-dokumentasjon. Designet bruker hvit, lavendel og lilla, og Python-koden har nøytral mørk originalstil.
Løs \(3^{x-5}=81\).
Skriv \(81=3^4\). Da blir \(3^{x-5}=3^4\), altså \(x-5=4\). Dermed er \(x=9\).
from sympy import *
x=symbols('x')
losning=solve(Eq(3**(x-5),81),x)
print('Løsning:', losning)
print('Kontroll:', 3**(losning[0]-5))Løs \(x^2-7x+10=0\).
Vi faktoriserer: \(x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\). Nullproduktsetningen gir \(x=2\) eller \(x=5\).
from sympy import *
x=symbols('x')
uttrykk=x**2-7*x+10
print('Faktorisert:', factor(uttrykk))
print('Nullpunkter:', solve(Eq(uttrykk,0),x))
for v in [2,5]: print(v, uttrykk.subs(x,v))Løs \(\lg(x+3)-\lg x=1\).
For \(x>0\): \(\lg(x+3)-\lg x=\lg\left(\frac{x+3}{x}\right)=1\). Dermed \(\frac{x+3}{x}=10\), så \(x+3=10x\), \(3=9x\), og \(x=\frac13\).
from sympy import *
x=symbols('x', positive=True)
likning=Eq(log(x+3,10)-log(x,10),1)
print('Likning:', likning)
print('Løsning:', solve(likning,x))
print('Kontroll forhold:', ((Rational(1,3)+3)/Rational(1,3)))Forenkle \(\dfrac{16^2\cdot27^3}{72^2\cdot12}\).
\(16^2=2^8\), \(27^3=3^9\), \(72^2\cdot12=(2^6\cdot3^4)(2^2\cdot3)=2^8\cdot3^5\). Brøken blir \(3^4=81\).
from sympy import *
verdi=Rational(16)**2*Rational(27)**3/(Rational(72)**2*12)
print('Eksakt:', verdi)
print('Teller faktorer:', factorint(16**2*27**3))
print('Nevner faktorer:', factorint(72**2*12))Forenkle \(\frac{x-2}{x-1}-\frac{x}{x+1}-\frac{2x}{x^2-1}\).
Fellesnevner er \((x-1)(x+1)\). Telleren blir \((x-2)(x+1)-x(x-1)-2x=-2x-2=-2(x+1)\). Derfor blir uttrykket \(-\frac{2}{x-1}\), der \(x\ne\pm1\).
from sympy import *
x=symbols('x')
uttrykk=(x-2)/(x-1)-x/(x+1)-2*x/(x**2-1)
print('Samlet:', together(uttrykk))
print('Forenklet:', simplify(uttrykk))
for v in [2,3,5]: print('x=',v,'gir',simplify(uttrykk).subs(x,v))Forenkle \(\lg\left(\frac2{x^2}\right)+\lg(2x^2)+\lg x-\lg(4x)\).
For \(x>0\) samler vi logaritmene: \(\lg\left(\frac{(2/x^2)(2x^2)x}{4x}\right)=\lg(1)=0\).
from sympy import *
x=symbols('x', positive=True)
produkt=(2/x**2)*(2*x**2)*x/(4*x)
print('Produkt inni logaritmen:', simplify(produkt))
print('lg(1)=', log(1,10))Løs \(x^2+2y=13x\), \(3x-y=-5\).
Fra \(3x-y=-5\) får vi \(y=3x+5\). Innsetting gir \(x^2+2(3x+5)=13x\), altså \(x^2-7x+10=0\). Dermed \(x=2\) eller \(x=5\). Tilsvarende \(y\)-verdier er 11 og 20.
from sympy import *
x,y=symbols('x y')
sol=solve([Eq(x**2+2*y,13*x), Eq(3*x-y,-5)],(x,y),dict=True)
print('Løsninger:')
for s in sol: print(s, 'kontroll:', (x**2+2*y-13*x).subs(s), (3*x-y+5).subs(s))Sett opp et likningssystem for brus og pølser.
La \(b\) være pris for brus og \(p\) pris for pølse. Opplysningene gir \(6b+4p=170\) og \(5b+10p=275\).
from sympy import *
b,p=symbols('b p')
print([Eq(6*b+4*p,170), Eq(5*b+10*p,275)])Bestem prisen for én brus og én pølse.
Dividerer vi første likning med 2, får vi \(3b+2p=85\). Dividerer vi andre med 5, får vi \(b+2p=55\). Subtraksjon gir \(2b=30\), altså \(b=15\). Da blir \(15+2p=55\), så \(p=20\).
from sympy import *
b,p=symbols('b p')
sol=solve([Eq(6*b+4*p,170),Eq(5*b+10*p,275)],(b,p))
print('Løsning:', sol)
print('Kontroll:', 6*sol[b]+4*sol[p], 5*sol[b]+10*sol[p])Bestem \(f\prime(1)\) for \(f(x)=x^3+3x\), og forklar betydningen.
\(f\prime(x)=3x^2+3\). Derfor \(f\prime(1)=3\cdot1^2+3=6\). Dette er momentan vekstfart og tangentens stigningstall når \(x=1\).
from sympy import *
x=symbols('x')
f=x**3+3*x
fd=diff(f,x)
print('f(x)=',f)
print('derivert=',fd)
print('verdi ved 1=',fd.subs(x,1))Begrunn at grafen bare har tangenter med positivt stigningstall.
Alle stigningstall er gitt ved \(f\prime(x)=3x^2+3\). Siden \(x^2\ge0\), har vi \(3x^2+3\ge3>0\). Alle tangentstigningstall er derfor positive.
from sympy import *
x=symbols('x')
fd=3*x**2+3
for v in [-3,-1,0,1,3]: print(v, fd.subs(x,v))
print('Minimum er 3 fordi x**2 >= 0')Bestem \(x\)-verdiene der momentan vekstfart er 15.
Vi løser \(3x^2+3=15\). Da er \(3x^2=12\), \(x^2=4\), og \(x=\pm2\).
from sympy import *
x=symbols('x')
sol=solve(Eq(3*x**2+3,15),x)
print('Løsninger:', sol)
for v in sol: print(v, 'gir', (3*x**2+3).subs(x,v))Hvor mange grupper på tre kan komme til finalen?
Rekkefølgen spiller ingen rolle. Antallet er \(\binom{10}{3}=120\).
from math import comb
print('C(10,3)=', comb(10,3))
print('Regning:', 10*9*8//(3*2*1))Hvor mange finalgrupper har flere kvinner enn menn?
Flere kvinner enn menn betyr enten 2 kvinner og 1 mann eller 3 kvinner. Antall: \(\binom52\binom51+\binom53=10\cdot5+10=60\).
from math import comb
a=comb(5,2)*comb(5,1)
b=comb(5,3)
print('2K+1M:',a)
print('3K:',b)
print('Totalt:',a+b)Bestem ulikhetene som avgrenser området.
Området ligger i første kvadrant: \(x\ge0\), \(y\ge0\). Den stigende linjen går gjennom \((0,2)\) og har stigningstall \(\frac12\): \(y=\frac12x+2\). Den synkende linjen går gjennom \((0,6)\) og \((3,0)\): \(y=-2x+6\). Området ligger under begge linjene.
from sympy import *
x,y=symbols('x y')
L1=Eq(y,Rational(1,2)*x+2)
L2=Eq(y,-2*x+6)
print('Linjer:', L1, L2)
print('Skjæring:', solve([L1,L2],(x,y)))Finn største verdi av \(3x+y\).
Hjørnepunktene er \((0,0)\), \((0,2)\), \(\left(\frac85,\frac{14}{5}\right)\), \((3,0)\). Verdiene av \(3x+y\) er henholdsvis 0, 2, \(\frac{38}{5}=7{,}6\), og 9. Størst verdi er derfor 9.
from fractions import Fraction
punkter=[(0,0),(0,2),(Fraction(8,5),Fraction(14,5)),(3,0)]
for X,Y in punkter:
print((X,Y), '->', 3*X+Y, float(3*X+Y))Finn minste \(a\) slik at \(y-ax\) er størst i \((0,2)\).
I \((0,2)\) er verdien 2. Kravet fra skjæringspunktet \(\left(\frac85,\frac{14}{5}\right)\) er \(\frac{14}{5}-a\frac85\le2\). Dette gir \(\frac45\le\frac85a\), altså \(a\ge\frac12\). Andre hjørnepunkter gir ikke strengere krav.
from sympy import *
a=symbols('a')
krav=solve_univariate_inequality(Rational(14,5)-a*Rational(8,5)<=2,a)
print('Krav fra toppunkt:', krav)
print('Minste a = 1/2')Vis at \(A(x)=6x^2-12x+9\).
Arealet er \(A=y^2+2x^2\). Omkretsen er \(4y+8x=12\), altså \(y=3-2x\). Dermed \(A(x)=(3-2x)^2+2x^2=6x^2-12x+9\).
from sympy import *
x=symbols('x')
A=(3-2*x)**2+2*x**2
print('Utvidet:', expand(A))
print('Kontroll:', simplify(expand(A)-(6*x**2-12*x+9)))Bestem \(x\) og \(y\) slik at arealet blir minst.
\(A(x)=6x^2-12x+9\) har minimum i \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{12}{12}=1\). Da er \(y=3-2x=1\).
from sympy import *
x=symbols('x')
A=6*x**2-12*x+9
fd=diff(A,x)
sol=solve(Eq(fd,0),x)
print('A derivasjon:', fd)
print('x:', sol)
print('y:', [3-2*s for s in sol])Forklar ulikhetene for kakeproduksjon.
Mel: \(300x+500y\le50000\Rightarrow3x+5y\le500\). Sukker: \(100x+50y\le7000\Rightarrow2x+y\le140\). Smør: \(125x+50y\le8500\Rightarrow5x+2y\le340\). I tillegg \(x\ge0\) og \(y\ge0\).
from sympy import *
x,y=symbols('x y')
print('Mel:', 300*x+500*y <= 50000, '=>', 3*x+5*y <= 500)
print('Sukker:', 100*x+50*y <= 7000, '=>', 2*x+y <= 140)
print('Smør:', 125*x+50*y <= 8500, '=>', 5*x+2*y <= 340)Skraver området.
Tegn linjene \(3x+5y=500\), \(2x+y=140\), \(5x+2y=340\) og behold området i første kvadrant under alle tre. Hjørnepunktene er \((0,0)\), \((68,0)\), \((60,20)\), \(\left(\frac{200}{7},\frac{580}{7}\right)\), \((0,100)\).
from sympy import *
x,y=symbols('x y')
linjer=[Eq(3*x+5*y,500),Eq(2*x+y,140),Eq(5*x+2*y,340)]
for i in range(3):
for j in range(i+1,3): print(solve([linjer[i],linjer[j]],(x,y)))Maksimer fortjenesten \(160x+120y\).
Kontinuerlig maksimum ligger i \(\left(\frac{200}{7},\frac{580}{7}\right)\), men antall kaker må være heltall. Heltallskontroll gir best løsning \((x,y)=(29,82)\). Fortjenesten blir \(160\cdot29+120\cdot82=14480\) kroner.
best=None
for A in range(200):
for B in range(200):
if 3*A+5*B<=500 and 2*A+B<=140 and 5*A+2*B<=340:
F=160*A+120*B
if best is None or F>best[2]: best=(A,B,F)
print('Beste heltall:', best)
print('Ressurser:', 3*best[0]+5*best[1], 2*best[0]+best[1], 5*best[0]+2*best[1])Maksimer når \(y\le70\).
Med \(y\le70\) får vi beste hjørnepunkt \((35,70)\). Fortjenesten er \(160\cdot35+120\cdot70=14000\) kroner.
best=None
for A in range(200):
for B in range(71):
if 3*A+5*B<=500 and 2*A+B<=140 and 5*A+2*B<=340:
F=160*A+120*B
if best is None or F>best[2]: best=(A,B,F)
print('Beste med y<=70:', best)Finn \(Q(x)=a\cdot b^x\) fra tabellen.
Eksponentiell regresjon på punktene gir omtrent \(Q(x)=1504{,}01\cdot0{,}994416^x\). Dette er nær modellen \(E(x)=1500\cdot0{,}995^x\) som brukes videre.
import numpy as np, math
x=np.array([100,150,200,250,300],float)
Q=np.array([850,660,490,370,280],float)
stigning,konstant=np.polyfit(x,np.log(Q),1)
a=math.exp(konstant); b=math.exp(stigning)
print('a=',a)
print('b=',b)
for X,Y in zip(x,Q): print(X,Y,round(a*b**X,2))Tegn \(E(x)=1500\cdot0{,}995^x\) for \(50\le x\le500\).
Grafen er avtakende. Kontrollpunkter: \(E(50)\approx1167\), \(E(100)\approx909\), \(E(200)\approx551\), \(E(300)\approx333\), \(E(500)\approx122\).
def E(x): return 1500*0.995**x
for X in [50,100,200,300,500]: print(X, round(E(X),2))
print('Avtakende:', E(50)>E(500))Hva må prisen være for å selge mer enn 1000 luer?
Løs \(1500\cdot0{,}995^x>1000\). Likheten gir \(x\approx80{,}89\). Siden modellen er avtakende, må \(x<80{,}89\).
import math
grense=math.log(1000/1500)/math.log(0.995)
print('grense=',grense)
for pris in [80,81]: print(pris, 1500*0.995**pris)Finn pris for samlet salg 100 000 kr.
Inntekten er \(I(x)=xE(x)=1500x\cdot0{,}995^x\). Likningen \(1500x\cdot0{,}995^x=100000\) gir to løsninger: \(x\approx124{,}32\) og \(x\approx300{,}19\). Ønsker de høyest mulig pris som treffer målet, velger de ca. 300 kr.
import mpmath as mp
def I(x): return 1500*x*(0.995**x)
f=lambda t:I(t)-100000
for g in [120,300]:
r=mp.findroot(f,g)
print('rot=',r,'inntekt=',I(r))
for pris in [124,300]: print(pris, round(I(pris),2))Vis at \(p\approx0{,}2947\) for nøyaktig to menn.
Vi trekker 3 av 20 uten tilbakelegging. Nøyaktig to menn betyr \(\binom82\binom{12}{1}\) gunstige grupper av \(\binom{20}{3}\) mulige. Derfor \(p=\frac{\binom82\binom{12}{1}}{\binom{20}{3}}\approx0{,}2947\).
from math import comb
p=comb(8,2)*comb(12,1)/comb(20,3)
print('p=',p)
print('avrundet=',round(p,4))Sannsynlighet for nøyaktig to menn i seks av tolv lotterier.
La \(X\sim\operatorname{Bin}(12,p)\), der \(p\approx0{,}2947368421\). Da er \(P(X=6)=\binom{12}{6}p^6(1-p)^6\approx0{,}0745\).
from math import comb
p=comb(8,2)*comb(12,1)/comb(20,3)
P=comb(12,6)*p**6*(1-p)**6
print('p=',p)
print('P(X=6)=',P)
print('avrundet=',round(P,4))Flertall kvinner i minst halvparten av lotteriene.
I ett lotteri er sannsynligheten for flertall kvinner \(q=\frac{\binom{12}{2}\binom81+\binom{12}{3}}{\binom{20}{3}}\approx0{,}65614\). For 12 lotterier blir \(Y\sim\operatorname{Bin}(12,q)\), og \(P(Y\ge6)\approx0{,}9224\).
from math import comb
q=(comb(12,2)*comb(8,1)+comb(12,3))/comb(20,3)
P=sum(comb(12,k)*q**k*(1-q)**(12-k) for k in range(6,13))
print('q=',q)
print('P(Y>=6)=',P)
print('avrundet=',round(P,4))Sannsynlighet for at alle tre vinnere har samme kjønn i minst ett lotteri.
I ett lotteri er sannsynligheten for samme kjønn \(r=\frac{\binom83+\binom{12}{3}}{\binom{20}{3}}\approx0{,}2421\). Sannsynligheten for minst ett slikt lotteri på 12 måneder er \(1-(1-r)^{12}\approx0{,}9641\).
from math import comb
r=(comb(8,3)+comb(12,3))/comb(20,3)
P=1-(1-r)**12
print('r=',r)
print('P(minst ett)=',P)
print('avrundet=',round(P,4))